Unidad 2
Conceptos de Probabilidad Aplicada y Aplicaciones

Objetivos Integrar las técnicas cuantitativas para toma de decisiones dentro de la organización y explicar las decisiones basadas en elementos cuantitativos. * Entender los conceptos de probabilidades aplicados a la toma de decisiones incluyendo condiciones de incertidumbre. Temas Principales a Estudiar * Conceptos fundamentales * Tipos de probabilidad * Eventos que son Grupalmente Exhaustivos y Mutuamente Exclusivos * Eventos estadísticamente independientes * Eventos estadísticamente dependientes * La forma general del teorema de Bayes * Variables aleatorias * Distribución de la probabilidad * Distribución Binomial * Distribución Normal * Distribución Exponencial * Distribución de Poisson
Resumen
Conceptos de Probabilidades y Aplicaciones
La vida es incierta y no estamos seguros de lo que el futuro nos traerá. Los riesgos y las probabilidades son parte de nuestra vida diaria. La Probabilidad es una declaración numérica acerca de la posibilidad de que un evento pueda ocurrir.
Conceptos Fundamentales
Existen dos reglas básicas con respecto a las matemáticas de las probabilidades: 1. La probabilidad, P, de cualquier evento o estado de la naturaleza, pueda ocurrir es mayor o igual a 0 y menor o igual a 1. Esto es: 0 <= P (evento) <= 1 2. La suma de las probabilidades simples de todos los resultados posibles de una actividad debe ser igual a 1,
Tipos de Probabilidades
Existen dos formas diferentes de determinar la probabilidad: el enfoque objetivo y el enfoque sujetivo.
Probabilidad Objetiva n La probabilidad de un evento P es la frecuencia relativa de ocurrencia de ese evento comparado a un gran número de observaciones de prueba. Típicamente se basa en datos históricos. P (evento) = Número de ocurrencias del evento / Número total de intentos o resultados n Se puede determinar también por lo que se conoce como el Método Clásico o Lógico: Este consiste en determinar de manera lógica la probabilidad, sin tener que hacer los intentos. Ejemplo: La probabilidad de tener cara o sello (head or tail) al lanzar una moneda es ½. De igual forma, la probabilidad de sacar un trébol de una baraja de 52 cartas se puede determinar de manera lógica como 13/52 o ¼ = 0.25 = 25% dado que hay 13 cartas con tréboles.
Probabilidad Sujetiva n Se basa en la experiencia y juicio de las personas que hacen el estimado. n Number of possible outcomes Subjective probability is based on the experience and judgment of the person making the estimate. n Algunos de los métodos para hacer evaluaciones de probabilidades sujetivas incluyen: encuestas, juicios de expertos y método de Delfi.
Eventos Mutuamente Excluyentes
Los eventos se dicen que son mutuamente excluyentes si únicamente uno de los eventos ocurre en cualquier intento. Ejemplos: lanzar una moneda al aire resultará siempre en cara o cruz. Tirar un dado resultará solo en uno de seis posibles resultados.
Eventos Colectivamente Exhaustivos
Los eventos se dicen que son colectivamente exhaustivos si la lista de resultados incluye cada resultado posible. Ejemplos: Ambos cara o cruz como posibles resultados al lanzar una moneda. Todos los seis posibles resultados al tirar un dato.

Cuando tomamos una baraja de naipes, se pueden establecer fácilmente algunas relaciones. Por ejemplo:
P (sacar un 7) = 4/52 = 1/13
P (sacar un corazón) = 13/52 = ¼ n Estos dos eventos no son mutuamente excluyentes ya que se puede sacar un 7 de corazón. n Además, estos dos eventos no son colectivamente exhaustivos ya que hay otras cartas en la baraja además de los 7s y los corazones.
Adición de Eventos Mutuamente Excluyentes
A menudo se quiere conocer si un primer evento o un segundo ocurrirán. Esto se denomina la unión de dos eventos. n Cuando dos eventos son mutuamente excluyentes, la ley de la adición es: P(evento A or evento B) = P(evento A) + P(evento B) ó P(A or B) = P(A) + P(B) n Ejemplo:
P(espada o trébol) = P(espada) + P(trébol) = 13/52 + 13/52 = 26/52 = 1/2 = 0.50 = 50%
Adición de Eventos que no son Mutuamente Excluyentes
La ecuación debe modificarse para evitar la doble suma. La probabilidad se debe reducir restando la probabilidad de que ambos eventos ocurran a la vez.
P(evento A or evento B) = P(evento A) + P(evento B) - P(evento A y evento B ocurriendo ambos) ó P(A or B) = P(A) + P(B) – P(A y B) n Ejemplo: Sacar un 5 y sacra un diamante.
P(cinco o diamante) = P(cinco) + P(diamante) - P(cinco y diamante) = 4/52 + 13/52 -1/52 = 16/52 = 4/13
Eventos Estadísticamente Independientes
Los eventos pueden ser independientes o dependientes. Cuando la ocurrencia de un evento no tiene efecto en la probabilidad de ocurrencia de un segundo evento, se dice que son independientes.
Existen tres tipos de probabilidad bajo tanto la independencia o la dependencia estadística: marginal, de unión y condicional. n Probabilidad Marginal (or simple) es justamente la probabilidad de ocurrencia de un evento P(A). n Probabilidad de Unión es la probabilidad de que ocurran dos o más eventos y es igual al producto de sus probabilidades marginales en caso de eventos independientes. P(AB) = P(A) x P(B) n Probabilidad Condicional es la probabilidad de un evento B dado que el evento A ha ocurrido. P(B | A) = P(B). O la probabilidad de un evento A dado que el evento B ha ocurrido. P(A | B) = P(A).
Eventos Estadísticamente Dependientes
La probabilidad marginal de la ocurrencia de un evento se calcula lo mismo, P(A).
Calcular la probabilidad condicional es un poco más complicado. La probabilidad de un evento A dado que el evento B ha ocurrido es: P(A|B) = P(AB) / P(B) y P(AB) = P(A|B) x P(B)
Revisión de las Probabilidades con el Teorema de Bayes
El teorema de Bayes se usa para incorporar información adicional a medida que está disponible y ayuda a crear probabilidades revisadas o posteriores.
Variables Aleatorias
Una variable aleatoria asigna un número real a cada resultado o evento posible en un experimento. Existen dos tipos: discreta cuando asume un conjunto de valores finito o limitado y continúa cuando puede asumir un valor cualquiera de un conjunto infinito.
Distribución de Probabilidades de una Variable Aleatoria Discreta
Con una variable aleatoria discreta, cada evento tiene asignado un valor de probabilidad para cada evento. Para apreciar mejor las características de la distribución de las probabilidades, a menudo estas se presentan de forma gráfica. Este gráfico nos da un dibujo de su forma que ayuda a identificar la tendencia central de la distribución o valor medio o esperado y la cantidad de variabilidad o dispersión de la distribución y que se denomina varianza.
Valor Esperado de una Distribución de Probabilidades Discreta
El valor esperado es una medida de la tendencia central de la distribución y es el promedio ponderado de los valores de la variable aleatoria.
Varianza de una Distribución de Probabilidades Discreta
Se computa de la siguiente manera: Variance = ∑ [Xi – E(X)]2P(Xi) i = 1, n
Distribución de Probabilidades de una Variable Aleatoria Continua
Dado que las variables aleatorias pueden tomar un número infinito de valores, las reglas fundamentales para las variables aleatorias continuas deben modificarse: n La suma de las probabilidades debe continuar siendo igual a 1 pero la probabilidad de cada valor de la variable aleatoria debe ser igual a cero o de lo contrario la suma sería infinitamente grande. n La distribución de las probabilidades se define con una función matemática continua llamada la función de densidad de las probabilidades o sólo la función de probabilidad y que se representa f(X).
Se estudiarán a continuación dos distribuciones continuas importantes: la distribución Normal y la Exponencial, y dos distribuciones discretas: la de Poisson y la Binomial (ver gráficas y ejemplos en la presentación en PowerPoint) Ver gráficas y ejemplos en la presentación en PowerPoint.
Distribución Binomial
Muchos experimentos en la empresa se pueden caracterizar por el proceso de Bernoulli. La probabilidad de obtener un resultado específico en un proceso de Bernoulli se describe con la distribución de probabilidad binomial.
Para ser un proceso Bernoulli, un experimento debe reunir las características siguientes:
1. Cada intento tiene únicamente dos resultados posibles
2. La probabilidad permanece la misma de un intento al próximo
3. Los intentos son estadísticamente independientes
4. El número de intentos es un entero positive
La distribución binomial se usa para encontrar la probabilidad de un número específico de sucesos de un número n de intentos e un proceso Bernoulli.
Para encontrar la probabilidad se tiene: n = número de intentos p = probabilidad de ocurrencia en cualquier intento simple r = número de ocurrencias q = 1 – p = probabilidad de falla
La fórmula binomial es: n! Probabilidad de r ocurrencias en n intentos = --------------- pr qn-r r! (n – r)!
Además, el valor esperado y la varianza se definen como: Valor esperado (medio) = np Varianza = np (1-p)
Distribución Normal
Es la distribución de probabilidades continuas más populares y útil. Su fórmula para la función de densidad de probabilidad es bastante compleja. Se especifica completamente cuando conocemos el promedio, µ, y la desviación estándar, s.
La distribución normal es simétrica con el punto medio representando el promedio. Desplazando el promedio no cambia la forma de la distribución. Los valores en el eje-X se miden en números de desviaciones estándares alejados del promedio.
Cuando los valores de la desviación estándar son muy grandes, la curva tiende a aplanarse. Cuando tienden a ser muy pequeños, la curva se hace muy aguda.
Distribución F
Es una distribución de probabilidad continua que ayuda a verificar hipótesis de varianzas. La estadística F es la tasa de dos muestras de varianzas. Las distribuciones F tienen dos conjuntos de grados de libertad. Los grados de libertad se basan en el tamaño de la muestra y se usan para calcular el numerador y el denominador de la tasa.
Distribución Exponencial
Se denomina también la distribución exponencial negativa y es una distribución continua usada a menudo en modelos de líneas de espera para describir el tiempo requerido para servir a un cliente.
Distribución de Poisson
Es una distribución discreta usada a menudo en modelos de líneas de espera para describir tasas de llegadas a través del tiempo.

NOTAS

Cap - Capítulo PL x - Problemas Libro Cap x
AA - Artículo, Posteo Análisis Crítico AR - Artículo Reacción
FP - Foro de Debate, Posteo Contribución
FR - Foro de Debate, Reacción FS - Foro de Debate, Síntesis
U - Unidad

Curso: Metodos Cuanitativos para la Toma de Decisiones, Universidad Interamericana de Puerto Rico