En la figura se muestra el diagrama de bloques de un sistema que se desea controlar mediante un control por realimentación de estado. Se pretende que el error de seguimiento a la referencia sea 0 y que la función de transferencia de lazo cerrado sea la de un sistema de 2o orden sin ceros y con un amortiguamiento igual a 0.7. Además se desea la respuesta más rápida posible a un escalón de 0 a 5 en la referencia sin saturación del mando. Los límites del mando valen +/-10.

a) Obtener la representación de estado del sistema a controlar con entrada U y salida Y. [2] Siguiendo los caminos desde la entrada de los integradores, siempre en sentido contrario a las flechas, se obtiene una representación de estado como la siguiente:
1 2

=

0 −0 1

1 · −0 7
1 2

1 2

+

0 ·U 1

Y = 1

1 ·

+ 0 ·U

b) Dibujar un diagrama de bloques del sistema de control por realimentación de estado que cumpla con las especificaciones deseadas. Supóngase que tanto la salida como las variables de estado se pueden medir. Especificar la frontera del control, es decir, qué partes del sistema se programarían en un microprocesador. [2]

c) Diséñese el control, especificando los valores numéricos de todas las ganancias necesarias. [2] En un archivo .m se introducen las matrices A, B, C, y D que se han hallado anteriormente. El siguiente paso es calcular las matrices ampliadas, estas matrices son de la forma:  A A = −C B = B −D  0 0 0

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Una vez se han obtenido las matrices ampliadas, se procede a la elección de la colocación de los polos. En este caso se tiene la restricción de que la función de transferencia en lazo cerrado no tenga ningún cero y que sea de 2o orden. Primero se tratará de obtener una función de transferencia en lazo cerrado sin ceros. El control solo introduce polos en la función de transferencia, así que habrá que buscar qué cero introduce la planta. P = +1 +07 +01

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Como se puede apreciar, el cero introducido por la planta es = −1, por tanto para eliminarlo, uno de los polos escogidos para el control tiene que ser = −1, para que anule el cero existente. Como se tienen dos variables de estado a controlar, se deben definir dos polos, pero además, como se han ampliado las matrices para introducir la acción integral, se debe añadir un polo más. = ω · −ρ + 1 − ρ2 −ρ+ 1 − ρ2 − 1 ω

Ahora se debe definir un valor de ω para hacer un diseño inicial, con el cual se comprobará que se cumplen las especificaciones de saturación en el mando. Si no se cumpliera, se varía el valor de ω hasta que el mando . no sature. Para comenzar se ha escogido 10 Haciendo pruebas hasta que el mando no sature, se ha llegado a la conclusión de que la ω óptima es 4 5 . Aquí se muestran el mando y la salida, para comprobar que el mando no satura y que la salida tiene error de seguimiento a la referencia 0.

Se comprueba que la función de transferencia no tiene ningún cero, mediante la función “Linear analisys” de Simulink. F( ) = 20 25 + 6 3 + 20 25

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Ojo al verificar si no hay ningún cero en la función de transferencia, porque a veces Matlab no reduce la función de transferencia, eliminando el cero que se quería eliminar. Para no llevarse un susto, al ejecutar el comando tf() de Matlab con la función de transferencia obtenida, hay que acordarse de utilizar también la función minreal(), como se muestra a continuación:

F = minreal(tf(F));

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Ahora se muestra el código de Matlab utilizado para realizar todos los pasos anteriores:

% A B C D

------------ Matrices de estado del sistema ------------- % = [0 1;-0.1 -0.7] = [0 1]' = [1 1] = 0

% ------------------ Matrices ampliadas ------------------- % Aa = [A zeros(2,1);-C 0] Ba = [B;-D] % ---------- Definición de los polos del control ---------- % wn = 4.5; seta = 0.7; polos = wn*[-seta+1j*sqrt(1-seta^2) -seta-1j*sqrt(1-seta^2) -1/wn]; % ---------- Cálculo de las ganancias del control --------- % % Si se va a colocar un polo repetido, hay que utilizar acker() que hace lo % mismo que place() pero permite polos duplicados Ka = place(Aa,Ba,polos); K = Ka(1:2) Ki = Ka(3)
d) Indíquese la localización de los polos en lazo cerrado para cumplir con los requisitos establecidos para el control. [2] La localización de los polos pedida ya se ha explicado antes, de todas maneras, se vuelven a mostrar los valores de los polos que se han escogido para diseñar el control: = ω · −ρ + 1 − ρ2 −ρ+ 1 − ρ2 − 1 ω

Y ahora se muestra también el diagrama de polos y ceros del sistema para comprobar como se ha eliminado el cero.

Como se puede apreciar en la figura, el polo que se ha colocado para contrarrestar el efecto del cero, cae encima del cero, con lo que se elimina este cero. Examen de realimentación de estado David Polo Tascón 3o ITIEI 3

e) Calcúlese la función de transferencia en lazo cerrado entre referencia y salida, comprobando que la ganancia estática vale 1 y que no contienen ceros. [2] La función de transferencia también se calculó anteriormente, pero se vuelve a mostrar aquí para realizar las comprobaciones pedidas. F( ) = 20 25 + 6 3 + 20 25

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Para calcular la ganancia estática se sustituyen las s por 0. Si la función fuese discreta (con z) entonces habría que sustituir las z por 0. F (0) = 20 25 20 25 = =1 + 6 3 · 0 + 20 25 20 25

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Por tanto queda demostrado que la ganancia estática vale 0. Comprobar que la función no tiene ceros es fácil a simple vista, puesto que no hay ninguna s en el numerador f) Diseñar un estimador de estado u observador directamente en tiempo discreto. Se sugiere inicialmente que los polos del observador sean 5 veces más rápidos que los dominantes del lazo cerrado. Para diseñar el observador directamente en tiempo discreto, hay que calcularse primero las ecuaciones de espacio de estado del sistema en tiempo discreto. Una vez se tienen, se puede empezar a diseñar el observador. Las ecuaciones en espacio de estado del sistema en tiempo discreto son: X [ + 1] = A X [ ] + B [ ] = C X[ ] + D Si se le añade el observador queda: ˆ ˆ X [ + 1] = A X [ ] + B ˆ [ ] + G ( [ ] − ˆ [ ]) ˆ ˆ[ ] = C X [ ] + D ˆ[ ] ˆ Y sustituyendo ˆ [ ] en la ecuación de X [ + 1] queda: ˆ ˆ X [ + 1] = (A − G C ) X [ ] + (B − G D ) ˆ [ ] + G [ ] [ ] [ ]

Ahora se plantea la ecuación en espacio de estado del sistema con el control en tiempo discreto: X [ + 1] = A X [ ] + B [ ] = −K X [ ]  [ ]   X [ + 1] = (A − B K )X [ ]

Si se comparan las matrices que multiplican al vector de variables de estado en el caso del sistema y en el caso del observador, se encuentran ciertas similitudes: X [ + 1] = (A − B K )X [ ]  

 ˆ ˆ X [ + 1] = (A − G C ) X [ ] + · · · En ambos casos hay un vector de ganancias que multiplica a una de las matrices de estado, en el caso del sistema es K y en el caso del observador es G , pero no están colocadas en el mismo lugar. Gracias a las herramientas que nos proporciona el álgebra, se sabe que la traspuesta de una matriz tiene los mismos autovalores que la matriz original y además se cumple una propiedad que es la siguiente: (A · B)T = BT · AT Conociendo esto, para colocar la matriz del observador que multiplica al vector de variables de estado de la forma de la matriz del sistema que multiplica al vector de variables de estado, se realiza la traspuesta: (A − G C )T = AT − C T G T Examen de realimentación de estado David Polo Tascón 3o ITIEI 4

Y ya se puede utilizar la función place() o acker() para colocar los polos del observador en la matriz G . Después de un breve baño en matemáticas, se comienza por discretizar la planta. Para ello se toma su modelo en espacio de estado y se discretiza como siempre, con la función c2d():

mod_c = ss(A,B,C,D); % se define la función en tiempo continuo en espacio de estado mod_d = c2d(mod_c,tc); % se discretiza la función, con un periodo de muestreo tc
Una vez se tiene el modelo del sistema discretizado, hay que definir los polos del observador. Como se quieren observar dos variables, se definen dos polos:

polos_obs = wn*[-5 -5];
Además, el diseño de observador que se está realizando es discreto, así que se discretizan los polos del observador con la fórmula = T :

polos_obs_d = exp(polos_obs*tc);
Ahora se hallan las matrices de estado del sistema en tiempo discreto de una manera muy sencilla:

Ad Bd Cd Dd

= = = =

mod_d.a mod_d.b mod_d.c mod_d.d

% % % %

Matriz Matriz Matriz Matriz

A B C D

en en en en

tiempo tiempo tiempo tiempo

discreto discreto discreto discreto

Luego, utilizando la explicación matemática anterior, se calcula el vector de ganancias del observador:

Gd = acker(Ad',Cd',polos_obs_d); Gd = Gd';
Y como último paso, se generan las matrices de estado del observador:

Ado Bdo Cdo Ddo

= = = =

Ad-Gd*Cd; [Bd-Gd*Dd Gd]; eye(2); % Genera una matriz identidad de 2x2 zeros(2,2); % Genera una matriz de ceros de 2x2

Ya sólo queda comprobar que el diseño del observador se ha realizado correctamente. Para ello, hay que dibujar en una misma gráfica la respuesta del sistema con observador y sin él. Ambas gráficas tienen que estar superpuestas, al carecer el sistema de perturbaciones. A continuación se muestran las gráficas comparadas sin observador y con observador:

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Algunos consejos prácticos de Matlab
Existen maneras de comprobar si el diseño por realimentación de estado se ha realizado bien. Para ello se repetirán las ecuaciones de espacio de estado del control, para explicar de donde viene lo que se va a contar:
X

 =A·X +B·U  X = (A − B · K )X  U = −K · X

Calculando los autovalores de la matriz (A − B · K ) se obtienen los polos del control, que si el diseño está bien hecho, deben coincidir con los que se escogieron para el diseño. Para hallar los autovalores de la matriz, se realiza con la función eig(). Hallando los de la matriz de este problema se obtiene:   −1 0000 −3 1500 + 3 2136  −3 1500 − 3 2136 Que coinciden con los del diseño, por tanto el diseño es correcto. Al visualizar la salida en el “scope” de Simulink, a veces ocurre que no muestra la señal desde el principio. Esto es a causa de que está limitando los puntos que registra. Para que los muestre todos, solo hay que pulsar en el boton “Parameters” en la parte superior izquierda de la pantalla del “scope”, pinchar en la pestaña “History” y desmarcar la opción “Limit data points to last”. A continuación se muestra la ventana.

Para comprobar si se han obtenido correctamente las matrices de estado del sistema, se puede recurrir a un truco. El truco consiste en tener el diagrama de Simulink del sistema, colocar un “Input point” en la entrada del sistema, un “Output point” a la salida del sistema y hacer clic en “Tools”, luego en “Control design” y finalmente en “Linear analisys”. Luego pulsar en “Linearize” y arrastrar el sistema generado al “Workspace”. Una vez en el “Workspace” se llama al sistema generado escribiendo simplemente el nombre, y se mostrarán las 4 matrices de estado. También para realizar esto, y si se tiene la función de transferencia del sistema, se puede utilizar la función de Matlab tf2ss(), que se utiliza de la siguiente manera:

[A,B,C,D]=tf2ss(P)
Donde A, B, C, y D, son las matrices que se quieren obtener y P es la función de transferencia del sistema.

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