GUIA 5 A FRACCIONES RACIONALES

Descomposición en fracciones parciales. En MATEMATICA 1 se han transformado sumas y sustracciones de expresiones racionales en una sola fracción, utilizando las operaciones de suma y resta. En CALCULO INTEGRAL y ecuaciones diferenciales puede ser extremadamente ventajoso invertir el proceso, es decir, poder escribir una fracción racional como la suma o resta de dos o mas fracciones. Ejemplo

. El proceso de escribir la fracción anterior como la suma de dos o más fracciones racionales de menor grado en los polinomios que hacen parte de los denominadores, se llama descomposición en fracciones parciales. Definición 1 . Dada una expresión racional de la forma y son polinomios y ; si el grado de donde es

menor que el grado de propia.

, la fracción racional se llama fracción

Definición. Si en la fracción racional

se da que el grado

de

es

mayor o igual que el grado de

,

la fracción racional

se llama fracción impropia. Si es una fracción impropia se puede escribir, utilizando el

algoritmo de la división, como la suma de un polinomio y una fracción propia de la manera siguiente:

es el polinomio cociente. es el polinomio residuo. Ejemplo 2.

. Teorema A. En un polinomio con coeficientes reales siempre existe una factorización completa en factores lineales ó factores lineales y cuadráticas irreducibles. El anterior teorema, que se enuncia sin demostración, permitirá escribir cualquier expresión racional propia como la suma de fracciones racionales con polinomios en los denominadores de grado 1 o 2. La forma de estas fracciones, llamadas parciales, la garantiza el siguiente teorema. Teorema B. Cualquier fracción propia escrita en su mínima

expresión se puede descomponer en la suma de fracciones parciales de la forma siguiente:
•

Si

tiene un factor lineal no repetido, de la forma

,

entonces la descomposición en fracciones parciales contiene un término de la forma determinar. donde A es una constante a

Si

tiene un factor lineal

que se repite k veces, de la

forma

, en tonces la descomposición en fracciones parciales

de contiene términos de la forma donde A1, A2,....,Ak son constantes a determinar. Si tiene un factor cuadrático, de la forma irreducible en los reales, que no se repite, entonces la Descomposición en fracciones parciales de Término de la forma determinar.
•

contiene un

, donde A y B son constantes a

Si forma

tiene un factor cuadrático irreducible en los reales de la , entonces la descomposición en fracciones

•

parciales de

contiene términos de la

•

forma

•

donde A1, B1, A2, B2,....,Ak, Bk son constantes a determinar.

Ejemplo 3.

Descomponga en fracciones parciales Solución.

.

se puede descomponer como el producto de dos factores lineales no repetidos así: . Por tanto,

.

Se sabe que, Como y tienen denominadores iguales,

Se debe cumplir que, que,

o sea

Como los dos polinomios son iguales, se debe cumplir que:

Se obtiene que Entonces, Ejemplo 4. Descomponga

,

.

en fracciones parciales.

Solución. tiene dos factores lineales y uno de ellos está repetido dos veces, por tanto:

Como en la igualdad anterior, los denominadores son iguales, se debe cumplir entonces, . Como la anterior ecuación, es una identidad debe ser válida para todos los valores reales de x.

En particular, si Si Si , se tiene:

se tiene: o sea que .

, o sea que

.

, por tanto O sea que,

.

. Ejemplo 5.

Descomponga en fracciones parciales Solución.

.

tiene un factor cuadrático que no se puede factorizar como el producto de dos factores lineales con coeficientes reales. Por tanto,

. O sea que,

. Como en la igualdad anterior los denominadores son iguales, se debe cumplir que,

Puesto que los anteriores polinomios son iguales se debe cumplir que:

La solución, al anterior sistema de ecuaciones, es: , O sea que: , .

. Ejemplo 6 Descomponer en fracciones parciales

Solución. consta de un factor cuadrático repetido dos veces e irreducible sobre los reales. Por tanto:

Como en la anterior igualdad los denominadores son iguales, se debe cumplir que: . Desarrollando los factores anteriores y reordenando se tiene: . Como los anteriores polinomios son iguales, se debe cumplir que:

Al resolver el anterior sistema de ecuaciones se tiene que: , Por tanto: , , .

. Ejemplo 7

Descomponer en fracciones parciales Solución.

..

La anterior fracción racional es una fracción impropia; por tanto, utilizando el algoritmo de la división se tiene:

.

Pero

.

. O sea que: Como consecuencia, y . .

Entonces

.

PARA DESARROLLAR LOS EJERCICIOS SOBRE FRACCIONES PARCIALES SE DEBEN TENER ENCUENTA LOS SIGUIENTES CASOS QUE TE AYUDARAN A DESCOMPONER EXPRESIONES RACIONALES ESTOS SON: 1) Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal.

2) Descomposición en fracciones parciales con un factor lineal repetido. 3) Descomposición en fracciones parciales con un factor cuadrático irreducible. 4) Descomposición en fracciones parciales con factor cuadrático repetido. Procedimiento para: Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal. Paso 1: Siempre me debo de fijar si el grado de la función del numerador es menor que la del denominador. Si es mayor debo realizar una división larga para bajar el grado de la función del numerador. Paso 2: Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales, px +q, o factores cuadráticos irreductibles, ax 2 + bx + c , y agrupar los factores repetidos para que la función del denominador sea un producto de factores diferentes de la forma ( px + q ) , donde m ≥ 1 o ax 2 + bx + c los números m y n no pueden ser negativos. Paso 3: Si son Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un factor lineal repetido. m (

)

n

A B + + ... primer factor segundo factor
Ejemplo 1: Determinar la descomposición en fracciones parciales de: 4 x 2 + 13 x − 9 x 3 + 2 x 2 − 3x

Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una división larga. Segundo: factorizo el denominador x 3 + 2 x 2 − 3 x = x x 2 + 2 x − 3 = x( x + 3)( x − 1) Tercero: coloco cada factor obtenido de la siguiente forma 4 x + 13 x − 9 A B C = + + 3 2 x + 2 x − 3x x x + 3 x − 1
2

(

)

Obtengo el mínimo común denominador, lo opero y lo igualo al numerador. 4 x 2 + 13 x − 9 = A( x + 3)( x − 1) + B( x )( x − 1) + C ( x )( x + 3) Podemos resolverlo por matrices o por el método que más nos convenga: Opero los paréntesis

4 x 2 + 13 x − 9 = A x 2 + 2 x − 3 + B x 2 − x + C x 2 + 3 x

( (

) (

) (

)

Ahora formo mi primera ecuación con los términos al cuadrado asi 4 x 2 + 13 x − 9 = A x 2 + 2 x − 3 + B x 2 − x + C x 2 + 3 x 4 x 2 + 13 x − 9 = Ax 2

(

) ( ) ( ) + 2 Ax − 3 A) + (Bx − Bx ) + (Cx + 3Cx )
2 2

Multiplico las letras en los paréntesis Quito los paréntesis Los ordeno Factorizo asi

4 x 2 + 13 x − 9 = Ax 2 + 2 Ax − 3 A + Bx 2 − Bx + Cx 2 + 3Cx 4 x + 13 x − 9 = x ( A + B + C ) + x(2 A − B + 3C ) − 3 A
2 2

4 x 2 + 13 x − 9 = Ax 2 + Bx 2 + Cx 2 + 2 Ax − Bx + 3Cx − 3 A

Mis tres ecuaciones son: + 1A + 1B + 1C = 4 2 A − 1B + 3C = +13 − 9 = −3 A Tomo la tercera ecuación y encuentro el valor de A − 9 = −3 A −9 =A −3 3= A Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones

(3)(1) + B + C = 4
3+ B +C =4 B+C =4−3 B + C =1 2 A − 1B + 3C

+ 1A + 1B + 1C

=4

(2)(3) − B + 3C = 13
6 − B + 3C = 13 − B + 3C = 13 − 6

= +13

− B + 3C = 7 Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C B + C =1 − B + 3C = 7 4C = 8 C=2

B + C =1 B + 2 =1 B = 1− 2 B = −1 Coloco las respuestas en la letra correspondiente 4 x 2 + 13 x − 9 A B C 3 1 2 = + + = − + 3 2 x + 2 x − 3x x x + 3 x − 1 x x + 3 x − 1 Hay otro sistema que se puede usar únicamente cuando los términos son lineales y no repetidos que es mucho mas fácil. 4 x 2 + 13 x − 9 A B C = + + 3 2 x + 2 x − 3x x x + 3 x − 1 Obtengo el mínimo común denominador, lo opero y lo igualo al numerador. 4 x 2 + 13 x − 9 = A(x + 3)( x − 1) + B ( x )( x − 1) + C ( x )( x + 3) Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fracción parcial x+3= 0 x −1 = 0 x=0 x = −3 x =1 Ahora sustituyo los valores de x

x=0 4 x 2 + 13 x − 9 = A(x + 3)( x − 1) + B ( x )( x − 1) + C ( x )( x + 3)
2

0 + 0 − 9 = A(3)(− 1) + 0 B + 0C − 9 = −3 A 3= A

4(0 ) + 13(0 ) − 9 = A(0 + 3)(0 − 1) + B(0 )(0 − 1) + C (0 )(0 + 3)

x = -3 4 x 2 + 13 x − 9 = A(x + 3)( x − 1) + B( x )( x − 1) + C ( x )( x + 3)
2

36 − 39 − 9 = A(0 )(− 4 ) + B(− 3)(− 4 ) + C (− 3)(0 ) − 12 = 12 B

4(− 3) + 13(− 3) − 9 = A(− 3 + 3)(− 3 − 1) + B(− 3)(− 3 − 1) + C (− 3)(− 3 + 3)

−1 = B x=1 4 x 2 + 13 x − 9 = A(x + 3)( x − 1) + B( x )( x − 1) + C ( x )( x + 3)

4 + 13 − 9 = A(4 )(0 ) + B(1)(0 ) + C (1)(4 ) 8 = 4C 2=C

4(1) + 13(1) − 9 = A(1 + 3)(1 − 1) + B(1)(1 − 1) + C (1)(1 + 3)
2

Respuesta: 4 x 2 + 13 x − 9 A B C 3 1 2 = + + = − + 3 2 x + 2 x − 3x x x + 3 x − 1 x x + 3 x − 1

EJERCICIOS
1) 8x −1 (x − 2)(x + 3)
5 x − 12 x2 − 4x 4 x 2 − 5 x − 15 x3 − 4 x 2 − 5x

2)

x − 29 (x − 4 )(x + 1)

3)

x + 34 x − 4 x − 12
2

4)

5)

4 x 2 − 15 x − 1 (x − 1)(x + 2)(x − 3)
37 − 11 (x + 1) x 2 − 5 x + 6

6)

x 2 + 19 x + 20 x( x + 2)( x − 5)

7)

8)

(

)

Descomposición en fracciones parciales con un factor lineal repetido.
Ejemplo: x 2 + 10 x − 36 2 x ( x − 3) Notamos en el ejercicio que hay un término lineal repetido que es ( x − 3) Entonces lo colocamos asi: A B C + + x x − 3 ( x − 3)2
Si fuera al cubo el término repetido ( x − 3) lo pondríamos: A B C D + + + 2 x x − 3 ( x − 3) ( x − 3)3
3
2

Ejemplo resuelto por pasos:

x 2 + 10 x − 36 2 x ( x − 3)

Primero escribimos en el denominador del término lineal x, luego escribimos en el denominador el término repetido elevado a la 1 y por último escribimos en el denominador el término repetido elevado al cuadrado así:

x 2 + 10 x − 36 A B C = + + 2 x x − 3 ( x − 3)2 x ( x − 3)
Como tenemos término repetido ya no podemos usar la forma fácil de resolver únicamente por sistemas de ecuaciones. Pasos operamos el mínimo común denominador y lo igualamos al numerador.

x 2 + 10 x − 36 = A( x − 3) + B( x )( x − 3) + C ( x )
2

Operamos los paréntesis x 2 + 10 x − 36 = A x 2 − 6 x + 9 + B x 2 − 3 x + C ( x )

(

) (

)

x 2 + 10 x − 36 = Ax 2 − 6 Ax + 9 A + Bx 2 − 3Bx + (Cx ) Multiplico las letras en los paréntesis x 2 + 10 x − 36 = Ax 2 − 6 Ax + 9 A + Bx 2 − 3Bx + Cx x + 10 x − 36 = x ( A + B ) + x(− 6 A − 3B + C ) + 9 A
2 2

(

) (

)

Quito los paréntesis Los ordeno Factorizo asi

x + 10 x − 36 = Ax + Bx − 6 Ax − 3Bx + Cx + 9 A
2 2 2

Formo mis 3 ecuaciones
A+ B =1 − 6 A − 3B + C = 10 9 A = −36 Resolviendo me queda: 9 A = −36 A = −4 Sustituyo valores en la primera ecuación: A+ B =1 − 4 + B =1 B = 4 +1 B=5 Sustituyo valores en la segunda ecuación

− 6 A − 3B + C = 10 24 − 15 + C = 10 9 + C = 10 C = 10 − 9 C =1 respuesta x 2 + 10 x − 36 − 4 5 1 = + + 2 x x − 3 ( x − 3)2 x ( x − 3)

EJERCICIOS 9)
2x + 3 (x − 1)2

10)

5x 2 − 4 x 2 (x + 2)

11)

19 x 2 + 50 x − 25 3x 3 − 5 x 2

10 − x 12) 2 x + 10 x + 25

x2 − 6 13) (x + 2)(2 x − 1)

2x2 + x 14) (x − 1)2 (x + 1)2

Descomposición de una fracción parcial que contiene un factor cuadrático irreducible.
4 x 3 − x 2 + 15 x − 29 2 x3 − x 2 + 8x − 4 Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una división larga. 2 3 2 2x − x + 8x − 4 4 x 3 − x 2 + 15 x − 29 − 4 x 3 + 2 x 2 − 16 x + 8 x 2 − x − 21 4 x 3 − x 2 + 15 x − 29 x 2 − x − 21 = 2+ 3 2 x3 − x 2 + 8x − 4 2 x − x 2 + 8x − 4
Factorizo el denominador: 2 x 3 − x 2 + 8 x − 4 = x 2 (2 x − 1) + 4(2 x − 1) = x 2 + 4 (2 x − 1)

(

)

x 2 + 4 es un término cuadrático irreducible por lo que ahora opero asi: x 2 − x − 21 Ax + B C + = 2 3 2 2 x − x + 8x − 4 x + 4 2x − 1

Operamos el mínimo común denominador

x 2 − x − 21 = ( Ax + B )(2 x − 1) + C x 2 + 4

(

)

Multiplico las letras en los paréntesis Quito los paréntesis Los ordeno Factorizo asi

x 2 − x − 21 = 2 Ax 2 − Ax + 2 Bx − B + Cx 2 + 4C x 2 − x − 21 = x 2 (2 A + C ) + x(− A + 2 B ) + (− B + 4C )
Formar las ecuaciones: 2A + C =1 − A + 2 B = −1 − B + 4C = −21

x 2 − x − 21 = 2 Ax 2 + Cx 2 − Ax + 2 Bx − B + 4C

Puedes resolverlo por el método que quieras, en este caso seguiremos practicando la resolución por matrices

+ 2 + 0 1 +1 −1 + 2 0 −1 0 − 1 4 − 21 +1 − 2 0 +1 + 0 − 1 4 − 21 + 2 + 0 1 +1 +1 − 2 0 +1 + 0 − 1 4 − 21 + 0 + 4 1 −1 +1 − 2 0 + 1 + 0 − 1 4 − 21 + 0 + 0 17 − 85 − R1 = R1

− 2 R1 + R3 = R3

−2 +4 0 −2 + 2 + 0 1 +1 + 0 + 4 1 −1
4 R2 + R3 = R3 0 − 4 16 − 84

0 + 4 +1 − 1 0 + 0 17 − 85
− B + 4C = −21 − B = −21 + 20 B =1 A − 2B = 1 A = 1 + 2B A = 1+ 2 A=3

17C = −85 C = −5

RESPUESTA:

4 x 3 − x 2 + 15 x − 29 x 2 − x − 21 Ax + B C 3x + 1 −5 = 2+ 3 = 2+ 2 + = 2+ 2 + 3 2 2 2 x − x + 8x − 4 2 x − x + 8x − 4 x + 4 2x −1 x + 4 2x −1 Aquí te dejo un método muy útil para que lo apliques en las integrales MÉTODO DE HEAVISIDE Es un método que permite calcular las constantes de los desarrollos en fracciones parciales para fracciones racionales propias p(x) / Q(x). PROCEDIMIENTO: 1) Factorizar el denominador Q(x). de la fracción racional propia P(x) / Q(x). 2) Identificar el caso o combinación de casos, al que corresponden los factores del denominador. 3) Escribir el desarrollo en fracciones parciales para la fracción P(x) / Q(x). 4) Buscar el común denominador para el lado derecho de la expresión. 5) Cancelar denominador del lado izquierdo,con denominador del lado derecho. 6)Simplificar el lado derecho de la expresión de tal forma que su estructura se parezca a la expresión del lado izquierdo del igual. 7) Comparar lado derecho con lado izquierdo del igual. Y establecer condiciones (léase ecuaciones)para las constantes de las FRACCIONES PARCIALES, de tal forma que se cumpla idénticamente la igualdad. 8) Solucione el sistema de ecuaciones resultante utilizando cualquier método que usted conozca. 9) Reemplace los valores de las constantes en el desarrollo en fracciones parciales original Sea una función de la variable frecuencia compleja S:
2 ( 2 S + 8) /( S + 3S +2)

1) Factorizar el denominador Q(x). de la fracción racional propia P(x) / Q(x) 2 S + 3S +2 = ( s + 1 )( s + 2 ) 2 (2S + 8)/ (S + 3S +2) = (2S + 8)/ (s+1) (s+2)

2) Identificar el caso o combinación de casos, al que corresponden los factores del denominador. Se trata de un doble caso A)

3)Escribir el desarrollo en fracciones parciales para la fracción P(x) / Q(x)

(2S + 8)/ (s+1) (s+2) = A/(s+1) +

B/ (s+2)

En Donde A y B son las constantes a determinar

4) Buscar el común denominador para el lado derecho de la expresión
(2S + 8) / (s+1) (s+2) = A(s+2)+B(s+1) / (s+1)* (s+2)

5)

Cancelar denominador del lado izquierdo, con denominador del lado derecho

2S+8 = A(s+2)+ B( s+1 )

6) Simplificar el lado derecho de la expresión de tal forma que su estructura se parezca a la expresión del lado izquierdo del igual 2S+8 = As+2A+ Bs+ B 2S+8 =( A + B )S + ( 2A + B)

7) Comparar lado derecho con lado izquierdo del igual. Y establecer condiciones (léase ecuaciones)para las constantes de las FRACCIONES PARCIALES, de tal forma que se cumpla idénticamente la igualdad. 2S+8 =( A + B )S + ( 2A + B) Las condiciones para que se cumpla esta igualdad son: 2 = (A + B) Ecuación # 1. 8 = ( 2A + B) Ecuación # 2 8) Solucione el sistema de ecuaciones resultante utilizando cualquier método que u conozca A= 6 B=-4 9) Reemplace los valores de las constantes en el desarrollo en fracciones parciales original:
(2S + 8)/ (s+1) (s+2) = A/(s+1) + B/ (s+2)

(2S + 8)/ (s+1) (s+2) = 6/(s+1) +

[(-4/ (s+2) ]

(2S + 8)/ (s+1) (s+2) = 6/(s+1) - 4/ (s+2)

y finalmente podemos concluir que: 2 ( 2 S + 8) /( S + 3S +2) = 6/(s+1) - 4/ (s+2)

No Olvides De Aplicar Los Conocimientos Que Adquiriste En Al Gebra Lineal Sobre Solución De Ecuaciones Simultaneas Con Dos O mas Incógnitas Utilizando Matrices O Determinantes Cuando Estemos en :

Integración Mediante Fracciones Parciales