TEORÍA DE PORTAFOLIOS
Tarificación Dinámica
Segundo Semestre 2015

Integrante

Daniela Lemarie G.

Profesor

Alejandro Mackay

Fecha

Agosto 2015

Tabla de Contenidos

1

RESUMEN EJECUTIVO ............................................................................................................................... 1

2

DESARROLLO ........................................................................................................................................... 2

2.1

Datos ............................................................................................................................................... 2

2.2

Matriz de Excesos ............................................................................................................................. 3

2.3

Matriz de Varianza y Covarianza ........................................................................................................ 4

2.4

Matriz de Correlaciones .................................................................................................................... 4

2.5

Portafolio Eficiente ........................................................................................................................... 5

2.6

Cómputos ........................................................................................................................................ 7

2.7

Recta Mercado de Capitales .............................................................................................................. 8

2.8

Proporción de inversión .................................................................................................................... 9

3

CONCLUSIÓN ......................................................................................................................................... 10

1

1 RESUMEN EJECUTIVO
La teoría de carteras propone que el inversor debe abordar la cartera como un todo, estudiando las características de riesgo y retorno global, en lugar de escoger valores individuales en virtud del retorno esperado de cada valor en particular. Con esto es posible combinar diferentes activos y de esta manera mejorar la relación de rentabilidad/riesgo de las inversiones. El objetivo principal es maximizar el Retorno
Esperado y minimizar la desviación del mercado.
En esta teoría el Costo de Oportunidad frente al Riesgo será invertir en la Tasa libre de
Riesgo, que denominaremos Rf. Para obtener las proporciones correctas el inversor debe elegir un porcentaje de su cartera en una cartera con riesgo (ω) y el resto en activo libre de riesgo (1- ω).
En el presente informe se desarrollará la construcción de portafolios de inversión con un portafolio múltiple de 6 activos utilizando la metodología descrita anteriormente para lograr obtener los resultados necesarios para la creación de una curva envolvente.

1

2 DESARROLLO
2.1 Datos
La matriz de Retornos que se utilizará para los 6 activos es la siguiente:

Año/Activo
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1983
R(E)
σi

AMR
-35.1%
70.8%
73.3%
-20.3%
16.6%
-26.6%
1.2%
-2.6%
106.4%
19.4%
20.3%
47.8%

MATRIZ DE RETORNOS
BS
GE
-11.5%
-42.5%
24.7%
37.2%
36.7%
25.5%
-42.7%
-4.9%
-4.5%
-5.7%
1.6%
9.0%
47.5%
33.5%
-20.4%
-2.8%
-14.9%
69.7%
36.8%
31.1%
5.3%
15.0%
29.6%
31.0%

HR
-21.1%
22.3%
58.2%
-9.4%
27.5%
7.9%
-18.9%
-74.3%
-26.2%
186.8%
15.3%
70.2%

MO
-7.6%
2.1%
12.8%
7.1%
13.7%
2.2%
20.0%
9.1%
22.4%
20.7%
10.3%
9.6%

UK
23.3%
35.7%
7.8%
-27.2%
-13.5%
22.5%
36.6%
4.8%
4.6%
26.4%
12.1%
20.9%

Tabla 1 Matriz de Retornos de activos

La tabla anterior muestra además el Retorno esperado que tiene cada activo en un periodo de 10 años y su respectiva deviación estándar.

2

2.2 Matriz de Excesos
Para obtener las proporciones de ω que maximizan el retorno, se generará una matriz de excesos, donde se debe calcular para cada celda la diferencia entre el valor del Retorno y su Retorno Esperado (Ri – R(E)) de forma de poder estandarizar la matriz, la suma por columna para cada activo debe dar cero para un óptimo calculo, como se muestra a continuación en la figura.
Los resultados fueron los siguientes:

Año/Activo
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1983

AMR
-55.4%
50.5%
53.0%
-40.7%
-3.7%
-46.9%
-19.1%
-23.0%
86.1%
-0.9%

MATRIZ DE EXCESOS
BS
GE
-16.9%
-57.5%
19.4%
22.2%
31.3%
10.5%
-48.0%
-19.9%
-9.8%
-20.7%
-3.7%
-6.0%
42.2%
18.5%
-25.7%
-17.8%
-20.2%
54.7%
31.5%
16.1%

HR
-36.4%
7.0%
42.9%
-24.7%
12.2%
-7.4%
-34.2%
-89.6%
-41.4%
171.5%

MO
-17.8%
-8.1%
2.5%
-3.1%
3.5%
-8.1%
9.8%
-1.1%
12.2%
10.4%

UK
11.2%
23.6%
-4.3%
-39.3%
-25.6%
10.4%
24.5%
-7.3%
-7.5%
14.3%

Tabla 2 Matriz de Excesos calculada

3

2.3 Matriz de Varianza y Covarianza
Luego, se reflejará la varianza y covarianza en forma como una matriz. Esta se calculará dividiendo el producto de la matriz de excesos (A) con su transpuesta (AT) por M-1, donde
M es la cantidad de periodos. Es decir:
[

]

La matriz resultante es la siguiente:

Activo
AMR
BS
GE
HR
MO
UK

AMR
22.9%
4.2%
12.0%
5.5%
2.3%
0.7%

MATRIZ DE VARIANZA COVARIANZA
BS
GE
HR
4.2%
12.0%
5.5%
8.8%
3.9%
11.4%
3.9%
9.6%
4.9%
11.4%
4.9%
49.3%
1.0%
2.2%
2.1%
4.5%
1.6%
3.0%

MO
2.3%
1.0%
2.2%
2.1%
0.9%
-0.2%

UK
0.7%
4.5%
1.6%
3.0%
-0.2%
4.4%

Tabla 3 Matriz de Covarianza calculada

La interpretación de esta matriz ayuda a entender la relación que existe entre 2 activos correlacionados, es decir, el comportamiento de un activo i con respecto a la variación del otro activo j.

2.4 Matriz de Correlaciones
Gracias a la matriz de varianza y covarianza será posible analizar con mayor profundidad la relación que existe entre cada una de las acciones de la cartera obteniendo una matriz de correlaciones ( ), que muestra el grado de relación entre ambos activos cuyo valor se
}. En el contexto financiero, el coeficiente de correlación encuentra en el intervalo { representará el grado de relación entre los movimientos de los precios de los activos incluidos en la cartera.
Para ello, cada celda contendrá la siguiente fórmula:

4

La matriz obtenida fue la siguiente:

Activo
AMR
BS
GE
HR
MO
UK

MATRIZ DE CORRELACIONES
BS
GE
HR
0.29
0.81
0.16
1.00
0.43
0.55
0.43
1.00
0.23
0.55
0.23
1.00
0.35
0.72
0.32
0.73
0.25
0.21

AMR
1.00
0.29
0.81
0.16
0.50
0.07

MO
0.50
0.35
0.72
0.32
1.00
-0.08

UK
0.07
0.73
0.25
0.21
-0.08
1.00

Tabla 4 Matriz de Correlaciones calculada

Para poder interpretar estos datos, es necesario considerar:
a) Cuando el valor de la correlación es 1, los precios se mueven proporcionalmente, es decir, un aumento o disminución en el precio de un activo implica un aumento o disminución en el precio del otro.
b) Cuando el valor de la correlación sea -1 significa que los precios se mueven en direcciones opuestas, lo que quiere decir que si un activo aumenta o disminuye su precio, el otro activo disminuirá o aumentará respectivamente.
c) Cuando el valor de la correlación es 0, el movimiento del precio de un activo no tiene efecto sobre el movimiento del precio de otro activo.

2.5 Portafolio Eficiente
Con el objetivo de obtener la recta de mercado de capitales para dos carteras eficientes
(Mercado e Y) de los datos obtenidos anteriormente, se considerarán dos tasas: una de libre riesgo y otra constante de dos carteras eficientes.
Para obtener de esta información, será necesario realizar los siguientes cálculos:
a) Primero se debe calcular el retorno para cada activo, el que se obtendrá restando el retorno esperado de cada activo con su tasa de libre riesgo, dependiendo de la cartera, se deberá restar la tasa de libre riesgo o la tasa constante c.
;

5

b) Luego se calculará un factor que denominaremos Z en ambas carteras multiplicando la matriz inversa de varianza y covarianza con la matriz de Retornos para cada activo obtenida en a). Estos porcentajes deberán ser estandarizados, para ello se asumirá que la suma total de la matriz corresponde al 100% y se calculará cada porcentaje dividiendo el dato de cada celda por el total de los resultados. A estos resultados les llamaremos M e Y, correspondientes a la cartera
1 y 2 respectivamente.
Los resultados obtenidos fueron los siguientes:
Portafolio Eficiente M (E(Rm)-rf)
3.00%
M
11.18%
-29.73%
-29.65%
2.05%
97.99%
48.16%

rf:

Activo
AMR
BS
GE
HR
MO
UK

Retorno
17.32%
2.31%
12.01%
12.29%
7.25%
9.10%

Z
418.90%
-1114.19%
-1111.34%
76.94%
3672.44%
1804.82%

Tabla 5 Matriz de Portafolio Eficiente de Mercado

Portafolio Eficiente Y (E(Rm)-c) c: Activo Retorno
Z
AMR
10.32%
137.25%
BS
-4.69%
-472.84%
GE
5.01%
-180.23%
HR
5.29%
63.99%
MO
0.25%
563.56%
UK
2.10%
561.84%

10%
Y
20.38%
-70.20%
-26.76%
9.50%
83.67%
83.41%

Tabla 6 Matriz de Portafolio Eficiente Y

6

2.6 Cómputos
Con los datos obtenidos anteriormente ya será posible calcular los datos finales según las siguientes fórmulas:
[ ] [

]

Dónde:
[ ]: Matriz M obtenida en el paso anterior (Ver Tabla 5).
[

]: Matriz transpuesta de los promedios de Retornos esperados (ver Tabla 1 fila E(R)).
[ ] [

]

Dónde:
[ ]: Matriz Y obtenida en el paso anterior (Ver Tabla 6).
[

]: Matriz transpuesta de los promedios de Retornos esperados (ver Tabla 1 fila E(R)).
([

] [

]) [ ]

Dónde:
[ ]: Matriz M obtenida en el paso anterior (Ver Tabla 5).
[

]: Matriz transpuesta de M obtenida en el paso anterior (Ver Tabla 5).

[

]: Matriz de varianza y covarianza.
([

] [

]) [ ]

Dónde:
[ ]: Matriz Y obtenida en el paso anterior (Ver Tabla 6).
[

]: Matriz transpuesta de Y obtenida en el paso anterior (Ver Tabla 6).

[

]: Matriz de varianza y covarianza.

La desviación estándar será la raíz de cada varianza calculada.
[

] [

]

[ ]

7

Los resultados obtenidos fueron los siguientes:

Estimador
E(R)
2

Cov(M,Y) ρ(M,Y) Cómputos
M
12.43%
0.25%
5.02%

Y
16.52%
0.97%
9.84%

0.36%
73.10%

Tabla 7 Resultados estimadores estadísticos

2.7 Recta Mercado de Capitales
En base a los procedimientos anteriores, se estimarán los datos que se graficarán en el próximo paso, para ello se consideraron 3 casos de desviación estándar con su respectiva
Esperanza de Retorno de portafolio.
Recta Mercado de Capitales
E(Rp)

0
3.00%
5.02%
12.43%
10.03%
21.86%
Tabla 8 Recta de Mercado de Capitales

8

2.8 Proporción de inversión
Al realizar el procedimiento descrito anteriormente ya es posible hacer un análisis de proporciones de inversión para las carteras eficientes. Para esto, se realizará una prueba de hipótesis en donde la proporción varía entre -1.5 y 2.
Con esta prueba de hipótesis se obtendrán los retornos esperados y desviación estándar para cada caso de proporción. Al graficar los datos obtenidos en esta simulación, la gráfica resultante de la envolvente es la siguiente:

Envolvente
Esperanza de Retorno

25.00%
20.00%

y = 1.8799x + 0.03
R² = 1

15.00%
10.00%
5.00%
0.00%
0.00%

5.00%

10.00%

15.00%

20.00%

25.00%

Desviación Estándar

La línea recta corresponde a la Recta de Mercado de Capitales del punto anterior.

9

3 CONCLUSIÓN
En este desarrollo fue posible conocer la metodología que se debe llevar a cabo para la elaboración de una cartera eficiente, siguiendo los pasos descritos anteriormente será posible realizar un análisis de proporciones de inversión para cada cartera y simular resultados para distintos valores dados.
Los resultados entregados son una herramienta que ayudan a la toma de decisiones para invertir en múltiples activos, considerando siempre la desviación estándar y su retorno esperado. 10