ESERCIZI DI MICROECONOMIA
ESERCIZIO 1 Data la seguente funzione (inversa) di domanda di magliette D(p) : p = 20 1 q 5 dove p é il prezzo e q è la quantità domandata di magliette a) Si trovi il prezzo delle magliette in corrispondenza del quale l’ elasticità della domanda al prezzo in valore assoluto è pari ad 1 b) Descrivere, senza far ricorso nè a calcoli nè a gra…ci, come variano i ricavi dei produttori di magliette al crescere del prezzo, se il prezzo delle magliette aumenta oltre il valore trovato al punto a). SOLUZIONE ESERCIZIO 1 a) Si trovi il prezzo delle magliette in corrispondenza del quale l’ elasticità della domanda al prezzo in valore assoluto è pari ad 1 L’ elasticità della domanda rispetto al prezzo è:
D

=

q=q p=p

=

qp pq 1 5q

Esplicitiamo la funzione di domanda rispetto alla quantità q: p ! q = 100 5p

= 20

q Calcoliamo il rapporto p per variazioni molto piccole di p e q, ovvero calcoliamo la derivata di q rispetto a p, moltiplicando poi il valore ottenuto per p . q

La derivata di q = 100

5p rispetto a p è pari a
D

5, dunque l’ elasticità è:

=

qp pq

=

5p q
D

Il valore assoluto di

D

, dato che

5 p è negativo, è: j q

j = 5p. q

Vogliamo trovare quel prezzo in corrispondenza del quale l’ elasticità è pari ad 1, quindi risolviamo la seguente equazione rispetto a p: 5p = 1 q dove q = 100 Otterremo: 5 100p 5p = 1 ! 5p = 100 10p = 100 ! p = 10 5p 5p.

b) Descrivere, senza far ricorso nè a calcoli nè a gra…ci, come variano i ricavi dei produttori di magliette al crescere del prezzo, se il prezzo delle magliette aumenta oltre il valore trovato al punto a). Il valore appena trovato è 10. Oltre questo valore l’ elasticità diventa maggiore di 1 in valore assoluto, questo signi…ca che per un prezzo superiore a 10 i ricavi pq scendono, perché la quantità diminuisce più che proporzionalmente rispetto all’ aumento del prezzo. 1

ESERCIZIO 2 Nel mercato delle pere domanda e o¤erta sono rappresentate dalle seguenti equazioni D S : p = 20 2q, 1 : p = 10 + q, 2

rispettivamente. a) Determinate l’ equilibrio di mercato, rappresentatelo gra…camente nel piano (q; p) e calcolate il surplus dei consumatori. b) Determinate e rappresentate gra…camente come varia l’ equilibrio di mercato se i produttori ricevono un sussidio t = 3 per ogni pera scambiata sul mercato. c) Calcolate e rappresentate gra…camente il nuovo surplus dei consumatori. Calcolate e commentate la ripartizione del sussidio tra produttori e consumatori. SOLUZIONE ESERCIZIO 2 Nel mercato delle pere domanda e o¤erta sono rappresentate dalle seguenti equazioni D S : p = 20 2q, 1 : p = 10 + q, 2

rispettivamente. a) Determinate l’ equilibrio di mercato, rappresentatelo gra…camente nel piano (q; p) e calcolate il surplus dei consumatori. La quantità di equilibrio q si trova eguagliando la funzione di domanda a quella di o¤erta: 20 2q 5 1 10 + q ) 10 = q 2 2 2 ) q = 10 ) q = 4. 5 =

Il prezzo di equilibrio p si ottiene sostituendo q sia nella funzione di domanda che in quella di o¤erta p = 20 1 2q = 10 + q ) 2 p = 12.

L’ equilibrio di mercato E è dunque pari a (q ; p ) = (4; 12). Il surplus dei consumatori è la di¤erenza fra il prezzo massimo che ciascuno è disposto a pagare per le pere e il prezzo di equilibrio (= e¤ettivamente pagato). Il surplus è misurato dall’ area compresa tra la curva di domanda e la retta orizzontale che indica il prezzo di equilibrio. 2

Nel nostro caso lineare tale area è quella di un triangolo con base 4 e altezza 20 12 = 8. L’ area è (4 8) =2 = 16. b) Determinate e rappresentate gra…camente come varia l’ equilibrio di mercato se i produttori ricevono un sussidio t = 3 per ogni pera scambiata sul mercato L’ introduzione del sussidio fa sì che su ogni pera venduta i produttori ricevano il prezzo p cui devono aggiungere t = 3 che viene pagato dallo stato. La nuova funzione di o¤erta S 0 sarà dunque 1 S 0 : p + 3 = 10 + q ) 2 1 p = 7 + q. 2 Dunque la nuova quantità di equilibrio si trova eguagliando la funzione di domanda D a quella di o¤erta S 0 : 20 2q 1 5 7 + q ) 13 = q 2 2 2 ) q = 13 ) q = 5:2. 5 = sia nella funzione di

Il prezzo di equilibrio p si ottiene sostituendo q domanda che in quella di o¤erta p = 20 2q p 1 =7+ q 2 = 9:6. )

Il nuovo equilibrio di mercato E 0 è dunque pari a (q ; p ) = (5:2; 9:6). c) Calcolate e rappresentate gra…camente il nuovo surplus dei consumatori. Calcolate e commentate la ripartizione del sussidio tra produttori e consumatori. Notate che il prezzo di equilibrio è sceso di 2:4, ovvero i consumatori pagano 2:4 in meno per ciascuna pera. Dato che il sussidio iniziale era pari a 3, signi…ca che il rimanente 0.6 è intascato dai produttori. Inoltre, il surplus è ora pari a [5:2 (20 9:6)] =2 = 27: 04, maggiore del valore precedente: più consumatori acquistano pere perché il prezzo è più basso; chi già le comprarva paga ora di meno. ESERCIZIO 3 Le preferenze di Anna sono espresse dalla seguente funzione di utilità CobbDouglas: 3

1 U (x1 x2 ) = 5 log x1 + 4 log x2 5 dove x1 è la quantità consumata del primo bene e x2 del secondo. Siano p1 = 5 il prezzo del primo bene e p2 = 10 il prezzo del secondo Sia R = 175 il reddito di Anna a) Si calcolino direttamente, senza risolvere il problema di massimizzazione dell’ utilità di Anna, le spese ottime p1 x1 e p2 x2 che Anna sostiene per il primo e per il secondo bene rispettivamente. b) Si risolva il problema di massimizzazione dell’ utilità di Anna. Veri…care la correttezza del risultato confrontandolo con quanto ottenuto al punto precedente. c) Si supponga che venga introdotta una tassa pari a 10 per ogni unità acquistata del bene 2. Si risolva il nuovo problema di massimizzazione. SOLUZIONI ESERCIZIO 3

Nelle funzioni Cobb-Douglas la spesa per l’ acquisto di ciascun bene è una frazione costante del reddito. Quando i parametri a e b che moltiplicano ciascun log nella funzione di utilità hanno somma pari a 1, tali frazioni di reddito coincidono esattamente con i parametri a e b. Nel nostro caso a = 1 mentre b = 4 , la loro somma è 1. Dato R = 175, si 5 5 ha dunque che la spesa per i due beni sarà:
1 spesa bene 1: p1 x1 = aR = 5 175 = 35

spesa bene 2: p1 x2 = bR = 4 175 = 140 5 b) Si risolva il problema di massimizzazione dell’ utilità di Anna. Veri…care la correttezza del risultato confrontandolo con quanto ottenuto al punto precedente. Data la funzione di utilità u(x1 x2 ), le quantità che un individuo sceglierà di consumare in equilibrio sono quelle che risolvono il seguente sistema ( M U1 p1 M U2 = p2 p1 x1 + p2 x2 = R dove ux1 (xi ); i = 1; 2, è l’ utilità marginale e pi il prezzo del bene i Ora sostiuiamo i nostri dati ( 1

1 5 x1 4 1 5 x2

=

5 10

5x1 + 10x2 = 175

!

1 x2 4 x1

=

1 2

Dalla prima equazione abbiamo x2 = 2x1 . Sostituiamo questo valore nella retta di bilancio 5x1 + 10x2 = 175: 4

5x1 + 10

2x1 = 175 ! 25x1 = 175 x1 = 7

Al …ne di ottenere la quantità di equilibrio del bene 2 si sostituisce x1 in: x2 = 2x1 ! x2 = 2 7 = 14

Veri…chiamo ora che la spesa per il bene 1 e per il bene 2 coincida con quella trovata al punto a) dell’ esercizio. Il risultato precedente era: p1 x1 = 35 p2 x2 = 140 Veri…ca:ì p1 x1 = 5 7 = 35 p2 x2 = 10 14 = 140 c) Si supponga che venga introdotta una tassa pari a 10 per ogni unità acquistata del bene 2. Si risolva il nuovo problema di massimizzazione. Se viene stabilita una tassa pari a 10 per ogni unità acquistata del bene 2, il suo prezzo salirà a p2 = 10 + 10 = 20. Le quantità che un individuo sceglierà di consumare in equilibrio sono quelle che risolvono il seguente sistema: ( 1 1 5 x1 1 x2 5 =1 4 1 = 20 ! 4 x 4 1
5 x2

5x1 + 20x2 = 175

Dopo l’ introduzione della tassa sul prezzo del bene 2, cambia il rapporto dei prezzi relativi. Dalla prima: x2 = x1 . Sostituiamo questo valore nella retta di bilancio 5x1 + 20x2 = 175 e otterremo: 5x1 + 20x1 = 175 ! 25x1 = 175 x1 = 7 Al …ne di ottenere la quantità di equilibrio del bene 2 si sostituisce x1 in: x1 = x2 ! x2 = 7.

5

ESERCIZIO 4 Le preferenze di Elisabet sono espresse dalla seguente funzione di utilità Cobb-Douglas: 1 1 u (x1 ; x2 ) = log x1 + log x2 , 2 2 dove x1 è la quantità consumata del primo bene e x2 del secondo. Siano p1 = 2 il prezzo del primo bene e p2 = 3 il prezzo del secondo. Sia R = 120 il reddito di Elisabet. (a) Si calcolino direttamente (ovvero senza risolvere il problema di massimizzazione dell’ utilità di Elisabet!) le spese p1 x1 e p2 x2 che Elisabet decide di sostenere per il primo e per il secondo bene, rispettivamente. (b) Si risolva, sia algebricamente che gra…camente, il problema di massimizzazione dell’ utilità di Elisabet, così trovando le funzioni di domanda, x1 e x2 , dei due beni. Si veri…chi la correttezza del risultato confrontandolo con quanto ottenuto al punto precedente. SOLUZIONE ESERCIZIO 4: (VEDI SOL. ES. 3) ESERCIZIO 5 La funzione di domanda nel mercato degli omogeneizzati è 1 q, 2 dove p è il prezzo degli omogeneizzati e q la quantità domandata degli omogeneizzati. (a) Si trovi il prezzo degli omogeneizzati in corrispondenza del quale l’ elasticità in valore assoluto della domanda rispetto al prezzo è pari a 1. (b) Per quale valore-soglia di p i ricavi pq dei produttori di omogeneizzati iniziano a diminuire se il prezzo continua ad aumentare? Si motivi la risposta senza fare ricorso a calcoli nè a gra…ci. SOLUZIONE ESERCIZIO 5: (VEDI SOL. ES. 1) (a) p = 10 1 q 2 q = 20 2p D = 2p q quindi 2 20 p 2p = 1, ovvero p = 5 (b) (Oltre) p = 5. ESERCIZIO 6 (es. 8.7 p. 261 del libro B-B) Un’ impresa che produce imballaggi ha a disposizione una funzione di produzione Q = KL + K con K capitale e L lavoro. (a) Si scriva la funzione di costo totale di lungo periodo in funzione dei prezzi di capitale, r, e lavoro, w. (b) Se i prezzi degli input raddoppiano, raddoppia anche il costo totale? SOLUZIONE ESERCIZIO 6 (es. 8.7 p. 261 del libro B-B) D (p) : p = 10 La scelta ottima (=che minimizza il costo totale wL + rK) della quantità dei due input è data dalla risoluzione del seguente sistema: =w r Q = KL + K 6
M PL M PK

La combinazione dei due fattori produttivi dovrà essere tale da permettere esattamente la produzione di un livello generico Q (l’ isoquanto è dunque la seconda equazione Q = KL + K che sarà il vincolo da rispettare) e dovrà essere "ottima"; in altri termini, la pendenza dell’ isoquanto (data M PL dal SM ST = M PK ) dovrà coincidere con quella dell’ isocosto (condizione necessaria a¢ nchè le due curve siano tangenti). Si ha M PL = K e M PK = L + 1. Dunque risolviamo =w r Q = KL + K rispetto a K e L. Si ha K = w (L + 1) r Q = K (L + 1) Q= O r w 2 (L + 1) r r w 1=L r r Q w
K L+1

Da cui

Q

Dunque w K = r

La funzione di costo minimo è c = wL + rK ovvero r r c=w 2 Q 1 w (b) Prezzi degli input diventano 2w e 2r. p r Sostituisco in c = w 2 Q w 1 e ottengo 2r 2w 2 Q 2w r 1 !

r r = 2w 2 Q w

1

ovvero 2 volte c: il costo totale raddoppia se raddoppiano i costi dei due input!

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