Universidad de Puerto Rico en Bayamón
Departamento de Español

Complejidad, Rendimiento y Utilización Algorítmica

Artículo escrito por:
Hector E. Maisonet Guzmán – 841-10-3930

Curso ESCO 4005 Sección LJ1
PhD. José A. Rodríguez Valentín

21 de mayo de 2014

COMPLEJIDAD, RENDIMIENTO Y UTILIZACIÓN ALGORÍTMICA

Donald Knuth indicó: “Un algoritmo debe ser visto para ser creído”. Por lo tanto se define un algoritmo como un conjunto prescrito de instrucciones o reglas bien definidas, ordenadas y finitas, las cuales permiten realizar una actividad mediante una serie de pasos sucesivos que no generen dudas a quien deba realizar dicha actividad. Estas actividades tienen como estado; uno inicial y uno de entrada, siguiendo una serie de pasos para llegar a su estado final y obtener una solución. Los algoritmos son independientes de los lenguajes de programación. En cada problema el algoritmo puede escribirse y luego ejecutarse en un lenguaje de programación diferente. El algoritmo es la infraestructura de cualquier solución, escrita luego en cualquier lenguaje de programación. Muchos autores han señalado a estos conjuntos de instrucciones como soluciones a problemas abstractos o soluciones a problemas de cálculo. Los algoritmos pueden ser expresados de diferentes maneras, como por ejemplo: lenguaje natural, seudocódigo, flujogramas, lenguaje de programación, entre otros. Cabe destacar que la expresión de un algoritmo mediante el uso del lenguaje natural puede contener ambigüedad y ser demasiado extensa dando como resultado una descripción no muy satisfactoria. Por otro lado, el uso de seudocódigo y de flujograma hace la descripción de un algoritmo más entendible y sencillo para el programador. El flujograma es la técnica más antigua utilizada, pero a su vez es una técnica visual de entender el algoritmo. El seudocódigo permite una solución al problema mediante un algoritmo escrito en palabras normales de un idioma utilizando palabras imperativas. (Véase Apéndice 1 para ejemplo de flujograma y Apéndice 2 para ejemplo de seudocódigo). Otra forma de entender el comportamiento de algoritmos es mediante el concepto de sistema formal, y una sistema formal es aquel sistema lógico-deductivo construido por un lenguaje formal, una gramática formal. Las cuales, restringen aquellas expresiones correctamente formadas de dicho lenguaje, las reglas de inferencia y un conjunto de axiomas. La noción de estos sistemas corresponde a la formalización rigurosa y completa del concepto de sistema axiomático. Una vez que los algoritmos son creados se implementan en programas o aplicaciones. No obstante, existen otros medios para implementar estos algoritmos, como lo son: las redes neurales artificiales, circuitos eléctricos, dispositivos eléctricos o mecánicos, por lo cual, no todo los algoritmos son necesariamente para ser implementados mediantes códigos de computadora. Existen también algoritmos que son para implementarse mediante el uso de mano escritura; como lo son: la suma, la resta, y otras aritméticas simples. Además, podemos destacar los algoritmos para grafos como el algoritmo de Euclides y el algoritmo de Hamilton, entre otros. La mayoría de los algoritmos suelen escribirse con una estructura secuencial. Las estructuras secuenciales son aquellas que ejecutan cada instrucción una detrás de las otra. Cabe destacar que estas instrucciones internamente contiene bloques de código compuestos por: selecciones condicionales, ciclos y variables. Las variables en bloque de código pueden estar clasificadas como: simples, contador, acumulador o de trabajo. Las variables simples consisten en asignar un valor constate, puede ser alfanumérico o lógico como por ejemplo (var 20, var 0.5 var TRUE, var “Hello”). Las variables tipo contador consisten en tener un uso como verificación de la cantidad de veces que se realiza un proceso, este tipo de variables se pueden utilizar como control de ciclos o centinelas como por ejemplo (var 0, then: var var + 1). Las variables tipo acumuladoras tienen como función mantener una suma de procesos como por ejemplo (var var + var_2). Las variables clasificadas como de trabajos son aquellas que pueden recibir una operación matemática que implica más de una variable como por ejemplo (result 2(var + var_2) – var_3).
Algoritmos como funciones

La rama de la teoría de la compatibilidad ha comprobado y establecido que un algoritmo se puede concebir como una función que transforma los datos de un problema en los datos de una solución. No obstante, los datos se pueden representar a su vez como secuencias de bits. Cada secuencia de bits representa a un número natural, por ende los algoritmos son en esencia funciones de números naturales que en sí se pueden calcular. Aunque, un algoritmo calcula una función f: N N donde cada número natural es la codificación de un problema o de una solución al mismo. En ocasiones, los algoritmos son sustentables para nunca terminar, por lo que se denomina que se encuentra en un ciclo infinito. Cuando se da esta situación, el algoritmo nunca devuelve ningún resultado, de tal forma se denomina a la función que es indefinida. Por otro lado, se sugiere que los algoritmos son funciones parciales, es señalar, que no necesariamente están definidas por su dominio de definición. Cuando una función puede ser calculada por medios algorítmicos, sin importar la cantidad de memoria que ocupe o el tiempo de ejecución que se tome, se caracteriza dicha función como computable. La mejor forma de ver cómo los algoritmos se comportan como funciones es analizando su comportamiento mediantes aplicaciones. Estas aplicaciones son conocidas como aplicaciones matemáticas, las cuales establecen una correspondencia entre dos conjuntos de elementos de forma que todo elemento del conjunto de partida se asocie con un elemento único del conjunto de llegada. Un ejemplo de esta aplicación es aquel conjunto de partida E en un conjunto de llegada F. La aplicación asocia un elemento x dentro del conjunto E y un elemento y dentro del conjunto F. El elemento se denomina imagen del elemento x, mientras que el elemento x se llama antecedente del elemento y. Dentro de este tipo de aplicaciones existen diferentes categorías como: inyectivas, sobreyectivas o biyectivas. Las aplicaciones invectivas son todas aquellas en las que los elementos del conjunto de llegada F tiene como máximo antecedente en el conjunto de partida E. Una aplicación no es inyectivas si existen al menos dos elementos de E distintos que tienen la misma imagen en F. Las aplicaciones sobreyectivas son aquellas en las cuales los elementos de llegada F tienen al menos un antecedente en el conjunto de partida F. Por último, las aplicaciones biyectivas son la que a su vez son inyectivas y sobreyectivas. Una vez que un algoritmo sea correctamente funcional, es necesario definir criterios para medir su rendimiento o comportamiento. Estos criterios se centran principalmente en su simplicidad y en el uso eficiente de los recursos. Muchas veces se piensa que un algoritmo sencillo no es eficiente. Sin embargo, la sencillez es una característica muy interesante a la hora de diseñar un algoritmo, pues facilita su verificación, el estudio de su eficiencia y su mantenimiento. El uso eficiente de los recursos, éste suele medirse en función de dos parámetros: el espacio y el tiempo. El espacio lo definimos como la cantidad de memoria que utiliza, y el tiempo, se define como lo que espera en ejecutar. Ambos representan los costos que supone encontrar la solución al problema planteado mediante un algoritmo. Las funciones son estructuras que pueden tomar una serie de parámetros, y que al finalizar el proceso contenido en la función vuelve al punto seguido donde fue invocado o llamado. Las funciones usan un identificador de la misma forma que las variables, y además permiten devolver un valor. Normalmente se ejecutan de forma secuencial, mientras la función no acabe su proceso el programa que lo haya invocado espera. (Vea Apéndice 3 para ejemplo implementación de una función en el lenguaje de programación C).
Análisis de Algoritmo

Los estudios matemáticos de las propiedades de los algoritmos informáticos han abarcado un amplio espectro, desde los estudios de complejidad generales hasta los resultados analíticos específicos. Una parte importante de los análisis de algoritmos son las relaciones recurrentes. Las relaciones recurrente son ecuaciones que define una secuencia recursiva, entiéndase cada término de la secuencia es definido como una función de términos anteriores. En otras palabras, una relación recurrente es la forma específica de un proceso basado en su propia definición. No obstante, un algoritmo puede ser expresado como recursivo, lo que conlleva a que la solución de un problema en términos de una llamada a sí mismo.
Para poder codificar un algoritmo recursivo se debe tener ciertas propiedades básicas, generalmente la primera llamada al subprograma se plantea sobre un problema de tamaño u orden N, cada nueva ejecución recurrente del mismo se planteara sobre problemas, de igual naturaleza que el original, pero un tamaño menor que N, de tal forma que irá reduciendo progresivamente la complejidad de problema a resolver, hasta llegar a una solución que sea más o menos trivial.
Cabe destacar que para cada proceso iterativo controlado por ciclos existe una forma recurrente de codificarlo. La clave para construir un subprograma o rutina recurrente son: tener un caso base, para evitar que la recursión no sea infinita. Cada llamada recurrente debe definir sobre un problema de menor complejidad. (Vea Apéndice 4 para ejemplos de recurrencia e iterativa). La recurrencia de primer orden son aquellas que pueden aplicar la técnica de su propia definición hasta dejar constantes y valores iniciales, dejando una versión simple de la función. Por otra parte la iteración, se aplica directamente al siguiente tipo de recurrencia comúnmente encontrado, que se reduce inmediatamente a una suma. (Vea Apéndice 5 para ejemplos de suma). La recurrencia de primer orden no lineal surge en una amplia variedad de situaciones, y no podemos esperar a tener una solución de forma cerrada. Por lo tanto, se suele utilizar la convergencia simple. Este método permite calcular los valores iniciales de una recurrencias con un aspecto complicado, que simplemente convergen a una constante, esto es posible porque cada iteración aumenta el número de dígitos significativos, a disposición de un número constante de dígitos. La recurrencia de alto nivel o alto orden son aquellas donde el lado derecho de la ecuación es una combinación lineal y así sucesivamente, y donde los coeficientes involucrados son constantes.
Algoritmos de Ordenamiento

Un algoritmo de ordenamiento es un algoritmo que pone elementos de una lista o un vector en una secuencia dada por una relación de orden, por lo cual el resultado de salida ha de ser una permutación o reordenamiento de la entrada que satisfaga la relación de orden dada. Las relaciones de orden más usadas son el orden numérico y el orden lexicográfico. Los algoritmos de ordenación son numerosos, por ello se debe prestar especial atención en su elección. Para determinar cuál de todos es el mejor, hay que prestar atención en la eficiencia. La eficiencia es el factor que mide la calidad y rendimiento de un algoritmo. En el caso de la operación de ordenación, existen dos criterios que suelen seguir a la hora de decidir qué algoritmo, el primero es el tiempo de menor ejecución en computadora, el segundo es el menor número de instrucciones. Sin embargo, no siempre es fácil efectuar estas medidas ya que pueden no disponerse de instrucciones para medida de tiempo.
El mejor criterio para medir la eficiencia de un algoritmo es aislar una operación específica clave en la ordenación y contar el número de veces que se realiza. Así, en el caso de los algoritmos de ordenación, se utilizará como medida de su eficiencia, el número de comparaciones entre elementos efectuados. El algoritmo de ordenación A será más eficiente que el B, si requiere menor número de comparaciones. Se pueden clasificar los diferentes tipos de algoritmos de ordenamientos como básicos y avanzados. Los algoritmos de ordenamiento básicos son aquellos que son fácil de entender, fácil de implementar y para ciertas cantidades de datos son eficientes y para otras son ineficientes. La mayoría de estos algoritmos de este tipo suelen tener un rendimiento exponencial, en otras palabras va decreciendo su tiempo de ejecución si los datos son grandes; ejemplos de tipo de ordenación son: algoritmos por selección (selection sort) y algoritmos por inserción (insertion sort). (Vea Apéndice 6 para una explicación gráfica). Por otro lado, existen los algoritmos de ordenamiento avanzados los cuales son más eficientes pero, más difícil de entender y un poco más difícil de ser implementado. El rendimiento en los algoritmos de ordenamiento avanzados la mayoría son logarítmicos, quiere indicar que su tiempo de ejecución es la mitad de los exponenciales y no se ve afectado por la cantidad de datos; ejemplos de estos tipos de ordenamiento avanzado: ordenamiento rápido (quick sort), ordenación por urnas (bin sort), ordenación por unificación (merge sort), ordenación por montículo (heap sort), entre otros. (Véase Apéndice 7 para una explicación gráfica ordenamientos avanzados).
Algoritmo de Búsqueda

En ciencias de computadoras o ingeniería de informática el uso de los algoritmos de búsqueda es imprescindible y son una de las operaciones más importantes en el procesamiento de la información ya que continuamente nos vemos en la necesidad de investigar unos datos. Un algoritmo de búsqueda consiste en buscar un elemento en una estructura de datos (listas, vectores, matrices y otros), devolviendo así, un valor lógico (Cierto o Falso) en el caso de que exista o no. Los algoritmos de búsqueda tienen dos objetivos primordiales: determinar si el elemento buscado se encuentra o no en la estructura. En el caso que se encuentre el elemento, se devuelve a la posición en la que se encuentra.
Existen diferentes tipos de búsqueda una más eficiente que otras e incluso una más fácil de implementar. Cabe destacar que la implementación de los diferentes tipos de algoritmo para buscar depende de la cantidad de datos que se maneja. Algunos ejemplos de algoritmos de búsqueda son: búsqueda linear o secuencial (linear search o sequential search), búsqueda binaria (binary search), entre otros. La búsqueda secuencial o linear busca un elemento de una lista utilizando un valor destino llamado índice (key). En este tipo de búsqueda los elementos de una lista o vector se exploran uno detrás del otro. Un buen ejemplo de este tipo de búsqueda es el directorio telefónico de una ciudad. El algoritmo de búsqueda secuencial compara cada elemento de la estructura de datos con el índice deseado. Dado que la estructura de datos no está en un orden prefijado es probable que el elemento se encuentre al inicio, a la mitad o al final.
El algoritmo para búsqueda binaria a comparación de la búsqueda linear es más rápido, debido a que comienza su ejecución a mitad de la estructura de datos. Lo único que exige este tipo de algoritmo es que siempre la estructura de dato debe estar ordenada, de tal modo que proporcione una técnica de indagación mejorada. Un ejemplo para entender este tipo de búsqueda es la exploración de una palabra en un diccionario. Según la elección de palabra, se abre el diccionario cerca del principio, al centro o al final dependiendo de la primera letra de la palabra que se pretende buscar. Puede uno acertar con la página correcta; pero, normalmente, no es así y el lector se mueve a la página anterior o posterior del texto. Por ejemplo, si la palabra comienza con «J» y se está en la «L» se mueve uno hacia atrás. Este proceso continúa hasta que se encuentra la página donde está la palabra o hasta concluir que la palabra no está en la lista. (Véase Apéndice 8 para explicación gráfica).
Implementación de Algoritmos Eficientes

La implementación de un algoritmo eficiente se refiere a aquel que tenga un costo de tiempo y de recursos mínimos. Respecto al uso eficiente de los recursos, éste suele medirse en función de dos parámetros: el espacio, es decir, memoria que se utiliza, y el tiempo, lo que demora en ejecutarse. Ambos representan unos costos que supone encontrar la solución al problema planteado mediante un algoritmo. Dichos parámetros van a servir además para comparar algoritmos entre sí, permitiendo determinar el más adecuado entre varios que solucionan un mismo problema. El tiempo de ejecución de un algoritmo va a depender de diversos factores como son: los datos de entrada que se le suministre, la calidad del código generado por el compilador para crear el programa objeto, la naturaleza y rapidez de las instrucciones de la máquina del procesador concreto que ejecute el programa, y la complejidad intrínseca del algoritmo.
Para poder categorizar los diferentes tipos de algoritmos se realiza unos estudios teóricos, lo normal de este estudio es estimar su complejidad de forma asintótica, para ello se utiliza la notación de O-grande (Big-O) para representar la complejidad de un algoritmo como una función que depende del tamaño de la entrada N. (Véase Apéndice 9 para ejemplos en una tabla de las notaciones). Otra forma de medir el rendimiento algorítmico es mediante la técnica de comparativa (Benchmark). La cual es el resultado de la ejecución de un programa informático o un conjunto de programas en una máquina, con el objetivo de estimar el rendimiento de un elemento concreto y poder comparar los resultados con máquinas similares. La técnica de comparativa se puede utilizar en componentes como en la Unidad de Procesamiento Central (CPU), Memoria de Acceso Aleatorio (RAM), tarjetas gráficas, entre otros. En el caso de los algoritmos de surgir uno nuevo y ser implementado es comparado con sus predecesores para asegurar su eficiencia. Las medidas de uso de recurso de los algoritmos están dado por el tamaño de entrada N. Existen dos tipos de medidas bastante comunes que son: complejidad temporal y complejidad espacial. La complejidad temporal se define como el tiempo que tarda en demorar un algoritmo en finalizar. En el caso de la complejidad espacial está definido por cuanto uso de memoria necesita el código y la cantidad que necita los datos sobre los cuales ejecuta el algoritmo. De esta forma los ordenadores o computadoras tienen un impacto en el consumo de energía ya sea por pila o batería o conectada a una toma de electricidad. Estos consumos pueden ser directo o indirecto; un consumo directo es la energía requerida por el ordenador o computadora. Por otro lado el consumo indirecto de energía es aquella requerida por la iluminación, enfriamiento, procesamiento y otros.
No obstante, existen otros tipos de medidas que podrían ser relevante a la hora de ejecución de un algoritmo como: capacidad de transmisión, espacio externo, tiempo de respuesta. La capacidad de transmisión se entiende como las limitaciones que puede causar el ancho de banda. En el caso de espacio externo, se ve afectado por el espacio requerido en un disco o en otro dispositivo externo; esto podría ser mediante un uso temporal. En otras palabras, que utilice el espacio externo a medida que va ejecutando o podría ser una necesidad de largo plazo, como referencia. Ejemplo de este caso es el acceso a un archivo en una memoria externa. Importante y más aún el tiempo de respuesta es bastante relevante, ya que el algoritmo debería responder en un tiempo rápido para una aplicación cuyo datos deben transferidos a eventos externos.
Conclusión

Al finalizar esta investigación podemos deducir que la eficiencia de un algoritmo depende de la utilización que el usuario le va a asignar. Aunque un algoritmo sea analizado de tal forma que uno sea más eficiente sobre los otros, esto va de la mano con la cantidad de datos que se pretende trabajar. No obstante, un “algoritmo ideal” es aquel que se puede ajustar a la cantidad de datos. El cual tiene como base una correlación entre los diferentes algoritmos ya sea para buscar, ordenar, entre otros, según la necesidad del usuario. Hoy día este tipo de algoritmo es el más implementado en las aplicaciones de las empresas y modelajes matemáticos, aunque sea más complejo internamente, tiene un mejor rendimiento ya que puede ser tanto linear, como constante o logarítmico. Un ejemplo de este “algoritmo ideal” en la implantación de un algoritmo de ordenamiento en el lenguaje de programación JAVA.
Las implementaciones algorítmicas en estos tiempos buscan cumplir con lo expresado por los dos científicos de computación Donald Knuth y Tony Hoare, donde establecen que: “Debemos olvidarnos de las pequeñas eficiencias y suspender de decir que alrededor del 97% la mayoría de las veces es ser eficiente. Esto porque la optimización prematura es la raíz de todos los males”. Un buen programador debe buscar el codificar un algoritmo que sea eficiente el 100% de las veces, cuando este se puede alcanzar aunque implique un poco más de trabajo.

Bibliografía

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Sipser, M. (2006). Introduction to the theory of computation. Boston: Thomson Course Technology. Impreso.

Apéndice 1

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Apéndice 2

Apéndice 3:

Apéndice 4

Apéndice 5

Extraído del texto “Analysis of Algorithmss” de Robert Sedwick
Extraído del texto “Analysis of Algorithmss” de Robert Sedwick

Apéndice 6
Extraído del texto “Algorithms” de Robert Sedwick
Extraído del texto “Algorithms” de Robert Sedwick
Extraído del texto “Algorithms” de Robert Sedwick
Extraído del texto “Algorithms” de Robert Sedwick

Apéndice 7

Extraído de la página personal.kent.edu
Extraído de la página personal.kent.edu
Extraído del foro de la página www.dreamcode.com
Extraído del foro de la página www.dreamcode.com

Extraído de la página de en.wikipedia.org
Extraído de la página de en.wikipedia.org

Extraído de la página de images.zhuxinquan.com

Extraído de la página de images.zhuxinquan.com

Apéndice 8

Extraído de la página www.c-sharpcorner.com
Extraído de la página www.c-sharpcorner.com

Extraído de la página csit.parkland.edu
Extraído de la página csit.parkland.edu

Notación | Nombre | Descripción | O(1) | constante | Determinar si un número es par o impar. Usar una tabla de consulta que asocia constantetamaño. Usar una función hash para obtener un elemento. | O( log n) | logarítmico | Buscar un elemento específico en un vector utilizando un árbol binario de búsqueda o un árbol de búsqueda balanceado, así como todas las operaciones en un Heap binomial. | O(n) | lineal | Buscar un elemento específico en una lista desordenada o en un árbol degenerado (peor caso). | O(n log n) | Log linear o cuasi linear | Ejecutar una transformada rápida de Fourier; heapsort, quicksort (caso peor y promedio), o merge sort | O(n2) | cuadrático | Multiplicar dos números de n dígitos por un algoritmo simple. Bubble sort (caso peor o implementación sencilla), Shell sort, quicksort (caso peor). | O(cn), c > 1 | exponencial | Encontrar la solución exacta al problema del viajante utilizando programación dinámica. Determinar si dos sentencias lógicas son equivalentes utilizando una búsqueda por fuerza bruta |
Apéndice 9

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[ 1 ]. Premisa que se considera evidente, se acepta sin demostración y permite deducción de otras fórmulas.
[ 2 ]. Paradigma de aprendizaje y procesamiento automático inspirado en la forma en que funciona el sistema nervioso de los animales.
[ 3 ]. Sistema de número binario donde se usa solo dos dígitos, el 0 y el 1.
[ 4 ]. Variable que puede ser recibida por una función, rutina o subrutina.
[ 5 ]. Elementos textuales (símbolos) que nombran identidades en los lenguajes de programación.
[ 6 ]. Repetición de un proceso hasta conseguir la meta deseada
[ 7 ]. Técnica de solución que está basada en su propia definición.
[ 8 ]. Relación de orden, se utiliza para ordenar productos cartesianos de conjuntos ordenados.