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Random Process(Chinese Edition)

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Submitted By maplewf
Words 75075
Pages 301
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Ï° Ìâ ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- 43 µÚ¶þ Õ Ëæ »ú±äÁ¿¼°Æä ·Ö²¼ ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- 50 ¡ì 2. 1 ¡ì 2. 2 ¡ì 2. 3 ¡ì 2. 4 Ëæ »ú±äÁ¿¼°Æä ·Ö²¼º¯ Êý ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- 50 ÀëÉ¢ÐÍËæ »ú±äÁ¿¼°Æä ·Ö²¼ ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- 55 Á¬ ÐøÐÍËæ »ú±äÁ¿¼°Æä ·Ö²¼ ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- 66 Ëæ »ú±äÁ¿º¯ ÊýµÄ·Ö²¼ ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- 77

Ï° Ìâ ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- 83 µÚÈýÕ ¶à ά Ëæ »ú±äÁ¿¼°Æä ·Ö²¼ ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- 88 ¡ì 3. 1 ¡ì 3. 2 ¡ì 3. 3 ¡ì 3. 4 ¡ì 3. 5 ¶à ά Ëæ »ú±äÁ¿¼°Æä ·Ö²¼ ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- 88 ±ßÔµ·Ö²¼ ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- 95 Ìõ ¼þ·Ö²¼ ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- 105 Ëæ »ú±äÁ¿µÄ¶ÀÁ¢ÐÔ ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- 111 Á½ Ëæ ¸ö »ú±äÁ¿µÄº¯ ÊýµÄ·Ö²¼ ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- 117 ¡¤ 1 ¡¤

¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- 132 µÚËÄ Õ Ëæ »ú±äÁ¿µÄÊý×Ö ÌØÕ÷¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- 138 ¡ì 4. 1 ¡ì 4. 2 ¡ì 4. 3 ¡ì 4. 4 Ï° Ìâ Ëæ »ú±äÁ¿µÄÊýѧÆÚ ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- 138 Íû ·½²î ¡¢ ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- 149 ¾Ø Ð-·½²î ÓëÏà ¹Øϵ Êý ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- 159 ĸº¯ ÊýÓëÌØÕ÷ Êý ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- 168 º¯ ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- 183

µÚÎå Õ ¼«ÏÞ ¶¨ Àí ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- 188 ¡ì 5. 1 ¡ì 5. 2 Ï° Ìâ ´ó Êý¶¨ ÂÉ ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- 188 ÖÐ ¼«ÏÞ ¶¨ Àí ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- 195 ÐÄ ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- 204

µÚÁùÕ Ëæ »ú¹ý ³Ì µÄÒ»°ã ¸ÅÄî ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- 206 ¡ì 6. 1 ¡ì 6. 2 ¡ì 6. 3 ¡ì 6. 4 ¡ì 6. 5 ¡ì 6. 6 ¡ì 6. 7 Ï° Ìâ Ëæ »ú¹ý ³Ì µÄ¸ÅÄͳ ¼Æ ÌØÐÔ ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- 206 ƽ Ëæ ºâ »ú¹ý ³Ì ¼°Æä ¹Øº¯ Êý ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- 216 Ïà Ëæ »ú¹ý ³Ì µÄ΢ ·ÖÓë»ý·Ö ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- 225 ƽ ¹ý ³Ì µÄ±éÀúÐÔ ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- 231 ºâ ¸ß ˹ Ëæ »ú¹ý ³Ì ¶ÀÁ¢ÔöÁ¿¹ý ³Ì ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- 235 ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- 240

Âí¶û ¿É·ò Á´ ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- 244 ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- 252

µÚÆß Õ ƽ Ëæ ÎÈ »ú¹ý ³Ì µÄÆ× ·ÖÎö ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- 261 ¡ì 7. 1 ¡ì 7. 2 ¡ì 7. 3 ¡¤ 2 ¡¤ Ëæ »ú¹ý ³Ì µÄ¹¦ ÂÊ ÃÜ ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- 261 Æ× ¶È ¹¦ ÂÊ ÃÜ Æ× ¶ÈÓë×Ô ¹Øº¯ ÊýÖ® Ïà ¼äµÄ¹Øϵ ¡- ¡- ¡- ¡- 266 »¥Æ× ¶È¼°Æä ÖÊ ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- 272 ÃÜ ÐÔ

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µÚ°ËÕ Õ-´ø Ëæ »ú¹ý ³Ì ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- 289 ¡ì 8. 1 ¡ì 8. 2 ¡ì 8. 3 ¡ì 8. 4 Ï° Ìâ ½âÎö ÐÅ ºÅÓë½âÎö ¹ý ³Ì Õ-´ø ¹ý ³Ì µÄ±í ʾ ·¨ ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- 289 ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- 297 ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- 305

Õ-´ø ¸ß ˹ Ëæ »ú¹ý ³Ì µÄ°ü ÂçºÍ Ïà λ µÄ¸ÅÂÊ ·Ö²¼ ¡- 303 ÓàÏÒÐÅ ºÅÓëÕ-´ø ¸ß ˹ ¹ý ³Ì Ö® ºÍ ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- 308

¸½Â¼ ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- 312 Ò» ¸½Â¼ ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- 136 ¶þ ¸½ ±í ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- 319 ²Î ¿¼ÎÄÏ× ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- ¡- 325

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{ ³ö ÏÖÕýÃæ} , { ³ö ÏÖ·´ Ãæ}¶¼ÊÇ , ÔÙ ÈçÔÚE4
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, ËüÃÇ ÊÇ E1 ¶¼

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{ ³ö ÏÖµãÊý

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{ ³ö ÏÖµã Êý i} , i = 1 , 2 ,

{ ½Ó µ½1 ´Î Ñ°ºô } , { ½Ó 2 ´Î Ñ° µ½

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{³ö ÏÖż Êýµã } , { ³ö ÏÖµÄ
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{½Ó µ½µÄÑ°ºô ´Î Êý³¬¹ý 10} , ÔÚE6

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µÄÎÞ ¹Ê ÕÏʱ ¼ä³¬¹ý 1 000 Сʱ} µÈ¶¼ ÊǸ´ ºÏ ʼþ¡£ µ« ӦעÒâ, Çø·Ö ʼþΪ »ù±¾ ʼþºÍ ¸´ ºÏ ʼþÊÇÏà ¶ÔÓÚ ¾ßÌå ÊÔ ÑéµÄ¹Û²ì Ä¿±ê¶ø ÑÔ µÄ, ²» ¿É¾ø¶Ô»¯ ¡£ ÀýÈç { ÕýÃæ Ç¡ºÃ ³ö ÏÖÒ»´Î } ¼È E2 ÊÇ E3 µÄ Ê ¼þ µÄ Ê ¼þ Ò² ÊÇ Ê ¼þ ¡£ ÔÚ

, ËüÊÇ E3

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1 000 СʱΪ ÕýÆ·, µ±ÎÒÃÇ

¹Û²ì µç ÄÔ ÕýÆ·»¹ ÊÇ Æ·Ê±, { µç ÄÔ ÕýÆ·} = { µç ÄÔ ¹Ê ÕÏÔË Ê± ÊÇ ´Î Ϊ ÎÞ ÐÐ ¼ä ³¬¹ý 1 000 Сʱ} ÔòÊÇ Ò»»ù ±¾ ʼþ, ÔÙ Èçµ±Á½ ¶ÄͽÖÀÒ»÷»×Ó Î» , ÒÔ ÏÖÆæ ³ö Êýµã»¹ ÊÇ Êýµã¾ö¶¨ ÊäÓ® ż µÄ³¡ ºÏ Ï , { ³ö ÏÖÆæ Êýµã}¼°{ ³ö ÏÖż Êýµã}¶¼ »ù±¾ ÊÇ Ê¼þ¡£ Ëæ »úʼþÖÐ Á½ ¼«¶ËÇé¿ö : Ò»¸ö ÊÇ ÓÐ ¸ö ÿ´Î ÊÔ ÑéÖÐ ±Ø ¶¼ È»·¢ Éú µÄʼþ, ³ÆΪ ±Ø Ȼʼþ, ¼Ç ¦¸ ¡£ Ô٠Ϊ Ò»¸ö ÊÇ Ã¿´Î ÊÔÑéÖÐ ²» ·¢ Éú ¶¼ µÄʼþ, ³ÆΪ ²» ¿ÉÄÜ Ê¼þ, ¼Ç ¦¼ ÀýÈçÔÚ E4 Ϊ ¡£
ÖÐ

{³ö ÏֵĵãÊý²» ³¬

¹ý 6 }ÊÇ È»Ê¼þ, {³ö Ïֵĵã Êý³¬ ¹ý 6} ÊÇ ¿ÉÄÜ ±Ø ²» ʼþ¡£ ±Ø Ȼʼþ ºÍ ²» ¿ÉÄÜ Ê¼þÒÑ Ëæ ÎÞ »úÐÔ ¿ÉÑÔ µ«Îª ÁË·½±ã, °ÑËüÃÇ Îª Ëæ , ÊÓ »úʼþ µÄÌØÀý¡£ ÕýÈç΢ »ý ·ÖÖÐ Êý¿ÉÊÓ ±äÁ¿µÄÌØÀý¡£ ³£ Ϊ ¡¤ 3 ¡¤

, ÐèÒª Ñù±¾ ¿Õ¼äµÄ ¸Å Äî ¡£ ÊÔ E µÄËùÓÐ ±¾ Ñé »ù ½á¹û ¹¹ ³É µÄ¼¯ºÏ ³ÆΪ Ñù±¾ ¿Õ¼ä, ¼Ç ¦¸ , Ϊ ¦¸ ÖÐ µÄÔª Ëؼ´ E µÄÿ¸ö »ù ±¾ ½á¹û ³ÆΪ Ñù±¾ , ¼Ç ¦Ø, ¼´ ¦¸ = µã Ϊ {¦Ø}¡£ Àý 1.1
½â ¦¸ 1

¸ø³öËæ »úÊÔ E1 - E7 Ñé = { H, T}

µÄ Ñù ±¾ ¿Õ ¼ä ¡£

¦¸ 2 = { HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT} ¦¸ 3 = {0 , 1 , 2 , 3 } ¦¸ 4 = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6} ¦¸ 5 = {0 , 1 , 2 , ¡- } ¦¸ 6 = { t | t¡Ý0 } ¦¸ 7 = { ( x , y ) } | x2 + y2 ¡Ü 10} ҪעÒâµÄÊÇ: ÔÚ ÃèÊö¸÷ ¸ö ²» ͬ µÄÊÔÑéʱ, ÎÒÃDz» ½öÒª¹æ ¶¨ Õý Òª½øÐÐ µÄ³Ì Ðò, ¶øÇÒ Òª¹æ ¶¨ ʲ ô ÊÇÎÒÃÇËù¹Û ²ì µÄ¡£ ÀýÈç E2
ͬ ÊÇ ½« Ò» Ó² ±Ò Å× Èý ´Î ºÍ

E3

, µ«ÓÉ ¹Û²ì Ä¿µÄ²» ͬ , ËüÃÇ Îª ²» ͬµÄËæ ÓÚ ÊÓ »ú

ÊÔ Òò¶øËüÃÇ Ñé, µÄÑù±¾ ¿Õ¼äÒ²²» Ò»Ñù¡£ ÓÐ ÁËÑù±¾ ¿Õ¼äµÄ¸Å Äî ºó , ÎÒÃǿɽ«Ëæ ʼþ±í ʾ Ñù±¾ »ú Ϊ ¿Õ¼ä ÖÐ µÄij Щ Ñù±¾ µÄ¼¯ºÏ , ¼´±í ʾ Ñù±¾ µã Ϊ ¿Õ¼ä ¦¸ µÄ×Ó ¼¯¡£ ÀýÈç E4 µÄ Ñù ±¾ ¿Õ ¼ä Ϊ ¦¸ 4

= {1 , 2 , 3 , 4 , 5, 6} , ʼþ Ai = {³ö ÏÖµãÊý i} , i = 1 ,

2 , ¡- , 6 , B = {³ö ÏÖż Êýµã} , C = { ³ö ÏֵĵãÊý²» ³¬ ¹ý 3 } ¿É±í ʾ Ϊ ¦¸ 4 E7 µÄ ×Ó ¼¯ ÖÐ Ê ¼þ

: Ai = { i} i = 1 , 2 , ¡- 6 , B = { 2 , 4 , 6 } , C = {1 , 2 , 3 }¡£ ÔÚ A = { Âäµã ÓëÔ-µã µÄ¾àÀë²» ³¬ ¹ý 1} ¿É±í ʾ A = { ( x, Ϊ µÄ ×Ó ¼¯ ¡£ ¸´ ºÏ Ê ¼þ ÊÇ ÓÉ ¶à ¸ö Ñù ±¾ µã ×é

y ) | x2 + y2 ¡Ü 1} , ËüÊǦ¸ 7 ¡¤ 4

»ù ±¾ Ê ¼þ ÊÇ Ñù ±¾ ¿Õ ¼ä µÄ µ¥ µã ¼¯ ¡£ ¡¤

, Ëü¾ÍÊÇÑù±¾ ¿Õ¼ä ¦¸ ¡£ ²» ¿É ÄÜ Ê¼þ²» º¬ÈÎ ºÎ Ñù±¾ , Ëü¾ÍÊÇ µã ¿Õ¼¯ ¦¼ ¡£ Ëùνʼþ A ·¢ Éú, ÊÇ Ö¸ÔÚ Ò»´Î ÊÔ ÑéÖÐ µ±ÇÒ , ½öµ± A °ü º¬µÄij ¸ö Ñù±¾ µã³ö ÏÖ¡£ ËÄ¡¢ ʼþ¼äµÄ ¹Ø ϵ ¼°ÆäÔËËã ʼþÊÇ Ò»¼¯ºÏ , Òò´Ë ʼþÖ® ¼äµÄ¹Ø ϵ ¼°Æä Ëã¿ÉÓà ÔË ¼¯ºÏ Ö® ¼ä µÄ¹Øϵ ºÍ ÔË ËãÀ´ ´¦ Àí ¡£ Ï Ãæ ÎÒÃÇ ¹ý Àý×Ó ÒÔ Í¨ ¼Ó ˵Ã÷ ¡£ Àý 1.2 ´ÓÒ»Åú ²úÆ· Ð Ö ÈÎÈ¡ 8 ¼þ, ¹Û²ì Æä µÄÕýÆ·¼þÊý , ÔòÕâ ÖÐ ¦¸ = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8} ÎÒÃÇ ÒýÈëÏ ÁÐ »úʼþ Ëæ A = {ÕýÆ·¼þÊý²» ³¬¹ý 3} = { 0 , 1 , 2 , 3} B = {È¡µ½2 ¼þ»ò 3 ¼þÕýÆ·} = { 2 , 3} C = {È¡µ½2 ÖÁ5 ¼þÕýÆ·} = { 2 , 3 , 4, 5} D = {È¡µ½µÄÕýÆ·¼þÊý²» ÉÙ ÓÚ2 ÇÒ ¶à ÓÚ5} = { 2 , 3 , 4 , 5} ²» E = {È¡µ½µÄÕýÆ·¼þÊýÖÁ Ϊ 4 } = {4 , 5 , 6 , 7 , 8} ÉÙ F = {È¡µ½µÄÕýÆ·¼þÊý¶àÓÚ4 } = {5 , 6 , 7 , 8} Éè ¦¸ Ϊ ÊÔÑé E µÄÑù±¾ ¿Õ¼ä, A, B , Ak ( k = 1 , 2 , ¡- ) Ϊ Ëæ»ú ʼþ¡£ 1. Ê µÄ ¼þ °üº¬Óë ÏàµÈ Èô ¼þA ·¢ Éú±Ø Ê Ȼµ¼Ö Ê¼þ B ·¢ Éú, Ôò³Æʼþ B °ü º¬ ʼþ A¡£ ´Ë ʱ A ÖÐ µÄÑù±¾ µãÒ»¶¨ ÊôÓÚB¡£ ¼Ç AÌ B¡£ Ϊ ÈçÔÚ 2 ÖÐ BÌ A, FÌ E¡£ Àý ÏÔÈ»¶ÔÈÎ Òâʼþ A ¶¼ ¦¼ AÌ ¦¸ ¡£ ÓÐ Ì Èôʼþ A Óë B Âú×ã AÌ µÈ, ¼Ç A = B¡£ Ϊ ¡¤ 5 ¡¤ B ÇÒBÌ A, Ôò³Æʼþ A Óëʼþ B Ïà Ò»ÊÔ ÑéµÄÑù±¾ ¿Õ¼äΪ

2 ÖÐC = D¡£ 2. Ê µÄ ¼þ ºÍ ¡° Ê ¼þA ÓëʼþB ÖÁ ÓÐ ÉÙ Ò»¸ö ·¢ Éú¡± һʼþ, ³Æ¸Ã ʼþΪ Ê ÊÇ ¼þ A ÓëʼþB µÄºÍ ( ²¢ ) ʼþ, ¼Ç A¡È B¡£ ʼþ A¡È B ÊÇ Îª ÓÉA »ò B µÄÑù±¾ µã×é³É µÄ¼¯ºÏ ¡£ ÀýÈçÔÚ 1. 2 ÖÐA¡È C = { 0, 1 , 2 , 3 , 4 , 5}¡£ Àý Ò» µØ, ° n ¸ö ʼþA1 , A2 , ¡- , An °ã ¡
¼þ
n

ÖÐ ÖÁ ÉÙ ÓÐ Ò» ¸ö ¡-

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Éú ¡±ÊÇ Ò» ÊÂ

, ³ÆΪ A, A2 , ¡- , An

µÄ ºÍ

ÊÂ ¼þ

, ¼Ç A1 ¡È A2 ¡È Ϊ

An , ¼ò¼Ç Ϊ

¡È Ai ¡£ i=1 µ± Éæ ¼° ÎÞ Çî ¶à ¸ö Ê ¼þ ʱ

, ¿É°ÑʼþºÍ Íƹ㠵½¿ÉÁÐ Çî ( ¼¯ºÏ ¿É ÎÞ

ÁÐ Çî ÊÇ ÎÞ Ö¸¼¯ºÏ ÖÐ µÄÔªËØÓë×Ô È»Êý¼¯½¨Á¢Ò»Ò»¶ÔÓ¦µÄ¹Øϵ ) ¶à ¸ö ¡Þ ʼþµÄ³¡ ºÏ , ¼´Òý½øʼþ¡È1 Ai ±í ʾ A1 , A2 , ¡- ¡- Öî ʼþÖÐ ÉÙÓÐ ¡° ÖÁ i= Ò»¸ö ·¢ Éú¡± ¡£ 3. Ê µÄ ¼þ »ý ¡° Ê ¼þA Óëʼþ B ͬʱ Éú¡± Ò»¸ö ʼþ, ³ÆΪ Ê¼þ A Óëʼþ ·¢ ÊÇ B µÄ»ý ( ½») ʼþ, ¼Ç A¡É B »ò AB¡£ »ý ʼþ AB ÊÇ Îª ÓÉA Óë B µÄ¹« ¹² Ñù±¾ µãËù¹¹ ³É µÄ¼¯ºÏ ¡£ ÀýÈçÔÚ 1. 2 ÖÐ AC = {2 , 3} , AF = ¦¼ Àý , ¡£ ÓëºÍ Ê ¼þÇéÐÎÏà ͬ , ¿É°Ñ»ý ʼþµÄ¸Å Äî Íƹã ÖÁ n ¸ö ʼþ¼°¿É ÁÐ Çî ¶à¸ö ʼþµÄ³¡ ºÏ ¡£ ¼´ n ¸ö ʼþA1 , A2 , ¡- , An ÎÞ ¡°
Ò» Ê ¼þ ³Æ Ϊ ͬ ʱ ·¢ ¡¡É Éú ¡±Õâ

A1 , A2 , ¡- , An n µÄ »ý

ÊÂ ¼þ

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A1 ¡É A2 ¡É µÄ ³¡ ºÏ

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A1 A2 ¡- An , Ò² ¿É ¼ò¼Ç i¡É Ai ¡£ Ϊ = 1
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¡Þ , ÓÃ¡É Ai i=1

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A1 , A2 , ¡- ¡- Öîʼþͬʱ Éú¡± ·¢ ¡£ 4. »¥²» ÏàÈÝ ¼þ Ê Èô ¼þA ÓëʼþB ²» ÄÜ Ê± Éú, ¼´ AB = ¦¼, Ôò³Æ A ºÍ B ÊÇ Ê ͬ ·¢ ¡¤ 6 ¡¤

1. 2 ÖÐ A Óë F »¥²» Ïà ÈÝ, B Óë E ÊÇ , »¥²» Ïà Èݵġ£ Èô n ¸ö ʼþ A1 , A2 , ¡- , An
ÖÐ ÈÎ Òâ Á½ ¸ö Ê ¼þ ¶¼ »¥ ²» Ïà ÈÝ

, ¼´

Ai Aj = ¦¼( i¡Ù j, i, j = 1 , 2 , ¡- n ) , Ôò³ÆÕâ n ¸ö ʼþ»¥²» Ïà ÈÝ¡£ 5. ¶Ô Ê Á¢ ¼þ Èô A, B »¥²» Ïà ÈÝ, ÇÒ ËüÃÇ µÄºÍ ʼþΪ ±Ø Ȼʼþ, ¼´ AB = ¦¼ ÇÒ A¡È B = ¦¸ , Ôò³Æ A ºÍ B »¥Îª ¶ÔÁ¢Ê¼þ, »ò³Æ A Óë B »¥ Ϊ Äæʼþ¡£ ʼþ A µÄÄæ ʼþ¼Ç A¡£ A ±í ʾ A ²» ·¢ Éú¡± Ϊ ¡° Õâһʼþ¡£ ÀýÈçÔÚ 1. 2 ÖÐA Óë E »¥Îª Äæ Àý ʼþ, ¼´ A = E, E = A¡£ A Óë B ¶ÔÁ¢, ÊÇ Ö¸Ê¼þ A ÓëʼþB ¼È ÄÜ ²» ͬʱ ÉúÓÖ È»ÓÐ ·¢ ±Ø Ò»¸ö ·¢ Éú, ¼´ÔÚ Ã¿´Î ÊÔ ÑéÖÐ A Óë B ÓÐ Ö»ÓÐ ÇÒ Ò»¸ö ·¢ Éú¡£ ÏÔÈ»ÓÐ A = A, AA = ¦¼ A ¡È A = ¦¸ , ¦¸ = ¦¼,¦¼ = ¦¸ , ÓÉ Òå¿ÉÖª , ¶ÔÁ¢Ê¼þ±Ø »¥ ²» Ïà ÈÝʼþ, ·´ Ö® »¥²» Ïà ÈݵÄÁ½ ¶¨ Ϊ , ¸ö ʼþδ ±Ø ¶ÔÁ¢Ê¼þ¡£ ÊÇ 6. Ê µÄ ¼þ ²î ¡° Ê ¼þA ·¢ Éú¶ø ʼþB ²» ·¢ Éú¡± Õâһʼþ³ÆΪ Ê¼þ A Óëʼþ B µÄ²î ʼþ¡£ ¼Ç A - B¡£ Ϊ ÀýÈçÔÚ 1 ÖÐ A - B = { 0 , 1} , B - A = ¦¼, C - A = {4 , 5 } Àý ²î ʼþ A - B ÊÇ ÊôÓÚA ¶ø ²» ÊôÓÚB µÄÑù±¾ ×é³É µÄ¼¯ºÏ ¡£ ÓÉ µã ÏÔÈ»ÓÐ A - B = AB = A - AB , A = ¦¸ - A ¶ÔÓÚ ÒâÁ½ ÈΠʼþ A, B, ×Ü ÈçÏ ·Ö½â ÓÐ A = AB ¡È AB, A ¡È B = A ¡È ( BA) = B ¡È ( AB) Ϊ ÁË°ï Öú´ó ¼Ò ½âÉÏ Êö¸Å Äî , ÏְѼ¯ºÏ ÂÛÖÐ Àí µÄ¼¯ºÏ µÄ¹Øϵ ºÍ ÔË ËãÓë¸Å ÂÊÂÛ µÄʼþµÄ¹Øϵ ºÍ ÔË ÖÐ Ëã¶ÔÓ¦Æð , Èç±í 1. 1 Ëùʾ À´ ¡£

¡¤ 7 ¡¤

1.1 ·û ºÅ ¦¸
¦¼ ¦Ø¡Ê ¦¸ {¦Ø} AÌ ¦¸ AÌ B

¼¯Ï ÂÛ º È« ¼¯
¿Õ ¼¯ ¦¸ ÖÐ µÄÔª ËØ µ¥µã ¼¯ ¦¸ µÄ×Ó¼¯ A ¼¯ºÏ B °ü º¬ A

¸ÅÂÊ ÂÛ Ñù ¿Õ ; ±Ø ±¾ ¼ä Ȼʼþ
²» ¿ÉÄÜ Ê¼þ Ñù±¾ µã »ù ±¾ ʼþ ʼþ A ʼþ B °ü º¬ ʼþ A ( ʼþ A ·¢ ÉúÔòʼþ B ±Ø·¢ Éú )

A= B

¼¯ ºÏ A Ó뼯ºÏ B Ïà µÈ

ʼþ A Óëʼþ B Ïà µÈ Ê¼þ A Óëʼþ B µÄºÍ ʼþ

A¡È B

¼¯ºÏ A Ó뼯 ºÏ B µÄ²¢ ¼¯ ( ʼþ A Óë B ÖÁ ÉÙÓÐ Ò»¸ö ·¢ Éú ) ʼþ A Óëʼþ B µÄ»ý ʼþ

A¡É B

¼¯ºÏ A Ó뼯 ºÏ B µÄ½»¼¯ ( ʼþ A Óë B ¶¼·¢ Éú) ʼþ A Óëʼþ B µÄ²î ʼþ

A- B

¼¯ºÏ A Ó뼯 ºÏ B µÄ²î ¼¯ ( ʼþ A ·¢ Éú¶ø B ²» ·¢ Éú ) ʼþ A µÄÄæʼþ»ò¶ÔÁ¢Ê¼þ

A

¼¯ºÏ A µÄÓ༯ ( A ²» ·¢ Éú ) ʼþ A Óëʼþ B »¥²» Ïà ÈÝ»ò»¥³â

AB = ¦¼

¼¯ ºÏ A Ó뼯 ºÏ B ûÓÐ ¹² Ôª ËØ ¹« ( A, B ²» ÄÜͬʱ·¢ Éú )

ÒÔÉÏ Ê ¼þ ¼ä µÄ ¹Ø ϵ Óë ÔË Ëã ¿É Óà ÎÄ ÊÏ

( Venn ) ͼÀ´Ö±¹ÛµØ±í ʾ ¡£

ÈôÓà Ãæ µÄÒ»¸ö ¾Ø ƽ ÉÏ Ðαí ʾ Ñù±¾¿Õ¼ä ¦¸ , ¾Ø ÐÎÄÚ µÄµã ±í ʾ Ñù±¾ µã , Ô² A ÓëÔ² B ·Ö ±ð±í ʾ ʼþA ÓëʼþB , Ôò A Óë B µÄ¹Ø ϵ ºÍ ÔË ËãÈçͼ 1. 1 ( a ) ¡« (f) Ëùʾ ¡£ ¡¤ 8 ¡¤

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Ïm ( ÏmÆ Æ ¿ (

ü A

A

B

” 2

” 2

A S Ý Ý ? ? B (b) A ¡È B B S (c) AB

S ( a ) AÌ B

A-B A B S ( d) A-B Ä & Ä & B S+ É É +

B= A

A S B ( c ) A B = ¦¼ A S ( f) A

ͼ

1. 1

7. Ê µÄ Ëã ¼þ ÔË ÂÉ Ê µÄ Ëã ×ãÒÔ ¼þ ÔË Âú ÏÂÔË ÂÉ Ëã : (1) ½»»»ÂÉ: A¡È B = B¡È A, AB = BA; (2) ½áºÏ ÂÉ: ( A¡È B) ¡È C = A¡È ( B¡È C) , ( A¡É B) ¡É C = A¡É ( B¡É C) ; (3) ·ÖÅäÂÉ: A( B¡È C) = ( AB) ¡È ( AC) A¡È ( BC) = ( A¡È B) ¡É ( A¡È C) ; (4) µÂ ¡¤Ä¦ ¸ù ( De Morgan) ÂÉ: A¡È B = A¡É B Ò»°ã µØ¶ÔÓÐ ¸ö Ê ÏÞ ¼þ¼°¿ÉÁÐ Çî ¸ö Ê ÎÞ ¼þÓÐ n n n n

A¡É B = A¡ÈB

¡È Ai = i¡É Ai , i=1 =1

¡É Ai = i¡È Ai i=1 =1 ¡¤ 9
¡¤

¡Þ Ai = ¡É1 Ai , i= 1 i=
Àý

¡Þ ¡Þ ¡É1 Ai = ¡È1 Ai i= i=

1.3

Éè A, B, C Ϊ Èý¸ö ʼþ, ÊÔ ÓÃA, B, C ±í ʾ ÁРϠʼþ:

(1) A ·¢ ÉúÇÒB Óë C ÖÁ ÓÐ ÉÙ Ò»¸ö ·¢ Éú; (2) A Óë B ¶¼ Éú¶ø C ²» ·¢ Éú; ·¢ (3) A, B, C ÖÐ Ç¡ÓÐ Ò»¸ö ·¢ Éú; (4) A, B, C ÖÐ ¶àÓÚ ²» Ò»¸ö ·¢ Éú; (5) A, B, C ²» ¶¼ Éú; ·¢ (6) A, B, C ÖÐ ÉÙ Á½ ·¢ Éú¡£ ÖÁ ÓÐ ¸ö ½â (1) A( B¡È C) ; (2) ABC »ò AB- C; «… (3) ABC¡È«…C¡ÈA«… «… AB «… «… BC; (4) ABC¡È ABC¡ÈABC¡È«… »òAB¡È AC¡È BC; «… «… «… «… «… ABC «… (5) ABC»ò A¡È B¡È C; (6) AB¡È AC¡È BC »ò ABC¡È ABC¡È ABC¡È ABC¡£ «… «… Àý 1.4 ÊÔ Ê ¡± ²úÆ·©Ïú¶ø ²úÆ· ÍÏú¡± ¶Ô Ê ¡£ Çó ¼þ¼× ³ ÒÒ Ö µÄ Á¢ ¼þ ½â Éè A = { ¼× Æ·³©Ïú } , B = { ÒÒ Æ·³©Ïú }¡£ Ôò ¼× Æ·³© ²ú ²ú ¡° ²ú Ïú ¶øÒÒ Æ·ÖÍÏú ¡± ²ú ¿É±í ʾ AB , AB µÄ¶ÔÁ¢Ê¼þΪ Ϊ «… «… AB = A ¡È B = A ¡È B «… ¼´ËùÇó¶ÔÁ¢Ê¼þΪ¡° ¼× Æ·ÖÍÏú »òÒÒ Æ·³©Ïú ¡± ²ú ²ú ¡£

¡ì

1. 2

Ê ¼þµÄ¸ÅÂÊ

Ëæ Ê µÄ ´øÓÐ ¼ ÐÔ µ± ÃÇà´Î ×ö ÊÔ Ê± »ú ¼þ ·¢Éú Å È» ¡£µ« ÎÒ ¶ ijһ Ñé ,
³£ ³£ »á²ì ¾õµ½Ä³ Щ Ê¼þ³ö ÏֵĿÉÄÜ Òª´ó Щ ¶øÁí һЩ ÐÔ , ʼþ·¢ Éú µÄ¿ÉÄÜ ÒªÐ¡Ò»Ð© ¼È ÐÔ ¡£ È»Ëæ»úʼþµÄ·¢ ÉúµÄ¿ÉÄÜÐÔ ´ó С֮ ÓÐ ±ð¡£ ÎÒÃÇ È»Ïë µ½¸Ã Óà ×Ô Ò»¸ö Êý×Ö P( A) À´ ±êÖ¾ ʼþ A ·¢ ÉúµÄ¿ÉÄÜ ¡£ ÐÔ ½Ï´ó µÄ¿ÉÄÜ Óà ÐÔ ½Ï´ó µÄÊý×Ö ±êÖ¾ ½ÏСµÄ¿ÉÄÜÐÔ ½ÏСµÄÊý×Ö , Óà À´ ¡¤ 1 0 ¡¤

P( A) ¾Í³ÆΪ Ê¼þ A µÄ¸Å ÂÊ¡£ ÔÚ , ÎÒÃÇ ´Ë Ö»¸ø ÁËʼþ A µÄ¸Å ÂÊ P( A) µÄÒ»ÖÖ ÐÔ ¶¨ ÃèÊö¡£ ÖÁ ÓÚ ÂʵĶ¨ Á¿¶¨ ÒåºÍ ¾ßÌå Ëã·¨ ÔÚ ÂÊÂÛ ¸Å ¸Å µÄ·¢ չʷ ÉÏ , ÈËÃÇÕë¶Ô²» ͬÀàÐ͵ÄËæ »úÊÔ ´Ó²» ͬ½Ç Ñé, ¶È¸ø ³ö Á˲» ͬµÄ¶¨ ÒåºÍ Ëã·¨ ¡£ Ï Ãæ ÎÒÃÇ ½éÉÜ ÂÊÂÛ Õ¹Ê· ÉÏ ³ö ÏÖ¹ý µÄ¸Å ÂʵÄͳ ¼Æ Òå, ¹Å µä¶¨ Òå, ¼¸ ¸Å ·¢ ¶¨ ºÎ ¶¨ Òå¡£ Ò»¡¢ ¸Å ÂÊµÄ Í³ ¼Æ Òå ¶¨ ¶¨ Òå1.2.1 Éè E Ϊ Ò»Ëæ »úÊÔ Ñé, A Ϊ E µÄһʼþ, ÔÚ Í¬ Ìõ Ïà
±í ʾ Ê ¼þ

¼þÏ ½« E ¶ÀÁ¢µØÖØ ½øÐÐn ´Î , ÒÔnA ¸´ ÖÐ ÉúµÄ´Î Êý , ³Æ nA ·¢
Ϊ

A ÔÚ n ´Î ÊÔÑé Õâ nA n

A ÔÚ Õân ´Î ÊÔÑéÖÐ ÉúµÄƵ , ³Æ±ÈÖµ ·¢ Êý

Ϊ Ê¼þA µÄƵ ¼Ç fn ( A) ¼´ ÂÊ, Ϊ fn ( A) = nA n (1. 2. 1)

ÀýÈ罫һӲ±Ò Å×100 ´Î ÕýÃæ ÏÖ 52 ´Î , ÄÇ ¡° ³ö ÏÖÕýÃæ ÕâÒ» ³ö ô ¡± ʼþÔÚ Õâ100 ´Î ÊÔ ÑéÖÐ µÄƵ Ϊ 0 .52¡£ ÂÊ ÓÉ Òå, Ò× ¶¨ ¼ûƵ ÂʾßÓÐ ÁÐ ÖÊ Ï ÐÔ : (1) ¶ÔÓÚ Ò»Ê¼þ A, ÓÐ ÈÎ 0¡Ü fn ( A) ¡Ü1 (2) (3) Èô A1 , A2 , ¡- , Am fn fn ( ¦¸ ) = 1
»¥ ²» m (1. 2. 2) (1. 2. 3)

Ïà

ÈÝ

, Ôò m ¡È i=1 Ai = ¡Æ fn ( A) i= 1

(1. 2. 4)

ʼþ A ·¢ ÉúµÄƵ Âʱí ʾA ·¢ ÉúµÄƵ ³Ì ¶È, Ò»°ã µØ, A ·¢ Éú ·± µÄ¿ÉÄÜ Óú´ó , ÔÚ ÐÔ ¶à´Î ÖØ ÊÔ ¸´ ÑéÖÐ A µÄ·¢ Éú»áÓúƵ , ¼´ A µÄƵ ·± ÂÊfn ( A) »áÓú´ó ¡£ ·´ Ö® A µÄƵ Èô ÂÊÓú´ó ±í Ã÷A ·¢ ÉúµÄ¿ÉÄÜ Ò² Óú ÐÔ ´ó ¡£ Òò´Ë Ƶ ÂÊÓë¸Å ÂÊÓ¦ÓÐ ½ôÃÜ µÄ¹Øϵ ¡£ ÔÚ Êµ¼Ê ³£ °ÑƵ ÖÐ ÂÊ×÷ ¸Å Ϊ ¡¤ 11 ¡¤

, ¼´Ê¹ ͬÑù½øÐÐ n ´Î ÊÔ Æµ fn ( A) Ò²»á²» ͬ¡£ µ«ÈËÃÇ ÁË Ñé, ÂÊ ¾-¹ý ³¤ ÆÚ Êµ¼ù·¢ ÏÖ , µ±ÊÔÑé´Î Êý n Ô½ , Ƶ ´ó ÂʵIJ¨ ¶¯ ÐÔ »áÔ½ С¡£ µ± n ³ä ·Ö´ó ʱ, Ƶ ÂÊ»á ÔÚ Ò»¸ö Öµ¸½½ü°Ú¶¯ , n Ô½ °Ú¶¯ ·ù ¶ÈÔ½ ij ´ó С¡£ Õâ¸ö Öµ³ÆΪ Ƶ ÂʵÄÎÈ ¶¨ Öµ, Ƶ ÂʵÄÎÈ ¶¨ Öµ·´ Ó³ÁËʼþ A ·¢ Éú µÄ¿ÉÄÜ ´ó С¡£ Õë¶ÔÕâÒ»ÊÂʵ, ÎÒÃÇ°Ñʼþ A µÄƵ ÐÔ ÂʵÄÎÈ ¶¨ Öµ¶¨ ÒåΪ Ê¼þA µÄ¸Å ÂÊ¡£ ÕâÒ»¶¨ Òå³ÆΪ ¸Å ÂʵÄͳ ¼Æ Òå¡£ ¶¨ ÀúÊ· ÉÏ ÖøÃûµÄͳ ¼Æ ѧ¼Ò ·á ( Buffon) ºÍ Ƥ Ñ· ( Pearson ) Ôø½ø ÆÑ ¶û ÐÐ ´ó Á¿Å× ¹ý Ó²±Ò µÄÊÔ Æä Ñé, ½á¹û Èç±í 1. 2 Ëùʾ ¡£ ±í 1.2
ʵÑéÕß
µÂ ¡¤Ä¦ ¸ù ÆÑ ·á n 2 048 4 040 12 000 24 000 nH 1 061 2 048 6 019 12 012 fn ( H ) 0 .5 18 1 0 .5 06 9 0 .5 01 6 0 .5 00 5

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¿É ¼û ³ö ÏÖ Õý Ãæ µÄ Æµ ÂÊ ×Ü ÔÚ

0 .5 ¸½½ü°Ú¶¯ ¡£ Ëæ ÊÔ ×Å Ñé´Î ÊýµÄÔö

¼Ó Ëü»á Öð½¥ÎÈ ¶¨ ÓÚ0 .5 ¡£ , ¸ÅÂÊ µÄͳ ¼Æ ÒåµÄÖØ ÐÔ ²» ÔÚ ËüÌá ¹©ÁË ¶¨ Òª , ÓÚ Ò»ÖÖ Òå¸ÅÂ浀 ¶¨ ·½·¨ ¡ª¡ª¡ª Ëüʵ¼Ê ûÓÐ ¹©ÕâÖÖ ÉÏ Ìá ·½·¨ , ÒòΪ ÄãÓÀ Ô¶²» ¿ÉÄÜ ¾Ý ÒÀ Õâ Ò»¶¨ ÒåÈ· ÇÐ µØ¸ø ³ö ÈÎ ºÎ Ò»¸ö Ê ¼þµÄ¸ÅÂÊ Æä ÒªÐÔ ÓÚ µã : Ò» ¡£ ÖØ ÔÚ Á½ ÊÇ ¹©ÁË Ìá Ò»ÖÖ ¹À¼Æ ¸ÅÂÊ µÄ·½·¨ , ÀýÈçÔÚ ÒµÉú²ú ÖÐ ¾Ý È¡ µÄÒ» ¹¤ ÒÀ ³é Щ Æ·µÄ¼ìÑéÈ¥¹À¼Æ Æ·µÄ·Ï Æ·ÂÊ; ÔÚ Ñ§ÉÏ ÒÀ »ý ÀÛ ²ú ²ú Ò½ ¾Ý µÄ×ÊÁÏÈ¥ ¹À¼Æ ¼²²¡ µÄËÀ ÂÊ Íö µÈ¡£ ¶þ ÊÇ ËüÌá ¹©ÁË Ò»ÖÖ ¼ìÑéÀíÂÛ ÕýÈ· Óë·ñ µÄ×¼ Ôò¡£ ÉèÏë ¸ù ¾Ý ijһÀíÂÛ ¼Ù Ëã³ö ÁËijʼþ A µÄ¸Å ÂÊΪ p, ÕâÒ» »ò ¶¨ Àí ÂÛ »ò¼Ù ÊÇ Óëʵ¼Ê ·û ? ÎÒÃÇ ÎÞ °ÑÎÕ , ÓÚ ÎÒÃÇ ¶¨ ·ñ Ïà ²¢ ÊÇ ¿ÉËßÖî ÊÔ Ñé, ¼´½øÐÐ Á¿ÖØ µÄÊÔ ´ó ¸´ ÑéÒÔ ¹Û²ì ʼþ A µÄƵ n ( A) ¡£ Èô fn ( A) ÂÊf Óë p ½Ó Ôò¿ÉÒÔ Îª ÊÔÑé½á¹û Ö§³ÖÁËÓÐ Àí ÂÛ ÈôÏà ²î ½ÏÔ¶, ½ü, ÈÏ ¹Ø ¡£ ¡¤ 1 2 ¡¤

: ËüµÄÈ« ²¿ ¿ÉÄÜ µÄ»ù±¾ ½á¹û Ö»ÓÐ ÏÞ ¸ö , ¶øÇÒ ÓÐ ´ÓÊÔÑéµÄÌõ ¼þºÍ ʵʩ ·½·¨ ÉÏ È¥·ÖÎö , ÎÒÃÇ ²» µ½ÈÎ ºÎ Àí ÓÉÈÏ Îª Æä ij Ò»»ù ±¾ ÕÒ ÖÐ ½á¹û ±È Ò»Æä ÈÎ Ëü »ù±¾ ½á¹û ¸ü ¾ßÓÅ ( ¸ü Ò× Éú) , ¼´¿ÉÒÔ Îª ÿһ»ù ±¾ ÊÆ ·¢ ÈÏ ½á¹û ·¢ ÉúµÄ ¿ÉÄÜ Ïà ͬ¡£ ÀýÈ翼ÂÇ Ñé: ÖÀ ÐÔ ÊÔ Ò»ÁùÃæ ¾ùÔÈ µÄ÷»×Ó ÕâÒ»ÊÔ , ÑéÓÐ6 ¸ö »ù±¾ ½á¹û ¶ø ÇÒ ¿ÉÒÔ Îª ³ö ÏÖÿ¸ö µã ÊýµÄ»ú»á ÊÇ ÈÏ ¾ùµÈµÄ¡£ ÕâÀàËæ »úÊÔ ÑéÎÒÃÇ ³ÆÖ® ¹Å µä ¸ÅÐÍ , ÔÚ µä ¸Å ÐÍÖРΪ ¹Å ʼþµÄ¸Å ÂÊÊÇÈÝÒ× ±» ºÏ Àí µØ¶¨ ÒåµÄ¡£ ¶¨ Òå1.2.2 Ñù±¾ µã×Ü ÊýÓÐ ; ÏÞ (2) µÈ ¿ÉÄÜÐÔ Ã¿´Î ÊÔÑéÖÐ ¸ö »ù ±¾ : ¸÷ ʼþ·¢ ÉúµÄ ¿É ÄÜÐÔ Ïà ͬ¡£ Ôò³ÆÊÔ E Ϊ ¹Å µä¸Å ÐÍ¡£ Ò²³ÆΪ µÈ¿ÉÄÜ ÐÍ¡£ Ñé ¸Å ¶¨ Òå1.2.3 Éè E ÊÇÖ»º¬ ÓÐn ¸ö »ù±¾ ʼþµÄ¹Å µä¸Å ÐÍ , A ÊÇ m n ÓÉm ¸ö »ù±¾ ʼþ×é³É µÄËæ »úʼþ, Ôò A µÄ¸Å Âʶ¨ ÒåΪ P( A) = (1. 2. 5) Èô Ñé E ¾ßÓÐ ÊÔ ÈçÏ ÌØÕ÷ : (1) ÓÐ ÐÔ ÊÔÑéÖ»²ú ÉúÓÐ ¸ö »ù ±¾ ÏÞ : ÏÞ Ê¼þ, ¼´Ñù±¾ ¿Õ¼äÖÐ µÄ

ÓÉ 2. 5) ʽ ÒåµÄ¸Å ÂʳÆΪ ¹Å µä ¸Å ÂÊ, ÕâÖÖ (1. ¶¨ ·½·¨ ¼òµ¥ Ö± , ¹Û ²» ÐèÒª×÷ Ñé¡£ µ«Ö»ÄÜ Ìض¨ µÄËæ ÊÔ ÔÚ »úÏÖÏó ÖÐ Óà ÓÉ Ê¹ ¡£ ÕâÒ»¶¨ Òå²» ÄÑ ³ö ¹Å µä¸Å ÂʾßÓÐ ÊöÐÔ : ¿´ Ï ÖÊ (1) ¶ÔÓÚ Ò»Ê¼þ A, ÓÐ ÈÎ O¡Ü P( A) ¡Ü1 (2) (3) Èô A1 , A2 , ¡- , Am P( ¦¸ ) = 1
Á½ Á½ »¥ ²» Ïà ÈÝ

(1. 2. 6) (1. 2. 7) , Ôò ¡¤ 13 ¡¤

m

m

P i¡È Ai = ¡Æ P( Ai ) =1 i=1 Àý 1.5 A2 = {Èý´Î ³ö ÏÖͬһÃæ} , Çó P( A1 ) , P( A2 ) ¡£ ½â ÎÒÃÇ ¿¼ÂÇ 1. 1 ÖÐ E2 ¡ì
¦¸ 2 µÄ Ñù ±¾ ¿Õ ¼ä

(1. 2. 8)

½« »Ó²±Ò Èý , Éèʼþ A1 = { Ç¡ÓÐ Ò Å× ´Î Ò»´Î ³ö ÏÖÕýÃæ} ,

= { HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT} , ÇÒ ¶Ô³ÆÐÔ ÓÉ ÖªÃ¿¸ö »ù±¾ ʼþ·¢ Éú

¶ø A1 = { HTT, THT, TTH} , A2 = { HHH, TTT}¡£ ¦¸ 2
ÖÐ Ö» º¬ ÓÐ ÓÐ ÏÞ ¸ö Ñù ±¾ µã

µÄ¿ÉÄÜ Ïà ͬ , ¹Ê ÓÉ ( 1. 2. 5 ) , µÃ ÐÔ Ê½ P( A1 ) = 3 2 1 , P( A2 ) = = 8 8 4 µÄ Ñù ±¾ ¿Õ ¼ä ¦¸ 3

×¢Òâ, ÈôÎÒÃÇ ¿¼ÂÇ¡ì 1. 1 ÖÐ E3

= { 0 , 1 , 2 , 3 }¡£

ÈçÎÒÃÇ Îª Å× ÈÏ Ò»´Î Ó²±Ò ÏÖÕýÃæ ³ö Óë³ö ÏÖ·´ Ãæ µÈ¿ÉÄÜ ÄÇ E3 ÊÇ µÄ, ô
ÖÐ µÄ ¸÷ ¸ö »ù ±¾ Ê ¼þ ·¢ Éú µÄ ¿É ÄÜ ÐÔ »á ²» Ïà ͬ ¡£ Òò ´Ë ²» ÄÜ Óà ʽ

(1. 2. 5) Ëã³ö P( A1 ) ¡£ µ±Ñù±¾ ¿Õ¼äÖÐ µÄÑù±¾ µã½Ï¶àʱ, ÎÒÃÇ Ò»°ã ²» ÔÙ ¦¸ ÖÐ ½« µÄÑù±¾ µãÒ»Ò»ÁÐ À´ , ¶øÖ»Ðè·Ö±ðÇó³ö ¦¸ ÖÐ A ÖÐ ³ö Óë µÄÑù±¾ ¸ö Êý ( ¼´»ù µã ±¾ ʼþµÄ¸ö Êý) Ô٠ʽ 1. 2. 5 ) ¼´¿ÉÇó³ö A µÄ¸Å ÂÊ¡£ ÓÉ ( Àý 1.6 Ò»´üÖÐ ÓÐ10 ¸ö Çò, Æä ÖÐ4 ¸ö ºì Çò, 6 ¸ö °× Çò, ¿¼ÂÇÁ½ ÖÖ È¡Çò·½Ê½ ( a ) Ò»´Î È¡ Ò»Çò, ¹Û²ì ÑÕ : É«ºó ·Å »Ø´ü ÖÐ È»ºó ÔÙ Ò» , È¡ Çò¡£ ÕâÖÖ È¡Çò·½Ê½ ×öÓÐ »Ø³é Ñù¡£ ( b) Ò»´Î È¡ Ò»Çò, È¡ ºó ²» ·Å »Ø ½Ð ·Å ´ü ÖÐ È»ºó ÔÙ ¡£ ÕâÖÖ Çò·½ ʽ ×öÎÞ ·Å »Ø³é Ñù¡£ ÏÖ´Ó´ü ÖÐ , È¡ È¡ ½Ð Á¬Ðø È¡ 3 Çò, ÊÔ ·Ö±ð¾ÍÉÏ Êö·½Ê½ ÏÂÇó( ¢¡ ) È¡ ³ö µÄ3 ÇòȫΪ °× ÇòµÄ¸ÅÂÊ; ( ¢¢ ) È¡ ³ö µÄ3 ÇòÖÐ2 ¸ö ºì Çò1 ¸ö °× ÇòµÄ¸ÅÂÊ ¡£ ½â Éè A, B ·Ö±ðʼþ È¡³ö µÄ 3 ÇòȫΪ °× Çò¡±, ° È¡³ö µÄ 3 Çò ¡° ¡ ÖÐ2 ¸ö ºì Çò 1 ¸ö °× Çò¡± ¡£ ( a ) ÓÐ ·Å»Ø³é Ñù ´Ó´ü ÖÐ 3 ¸ö Çò, ÿÖÖ ·¨ ¾ÍÊÇ È¡ È¡ Ò»¸ö »ù±¾ ½á¹û , ÓÉ ·¨ Ô-ÀíÒ× ³Ë ¡¤ 1 4 ¡¤

n = 10 , A ÖÐ Ñù±¾ µãµÄ¸ö ÊýΪ m1 = 6 , B ÖÐ µÄÑù±¾ µãµÄ¸ö ÊýΪ m2 = C3 6 P( A) = 3 = 0 .216, 10 ( b) ÎÞ ·Å»Ø³é Ñù Ñù±¾ ¿Õ¼äÖÐ Ñù±¾ ×Ü µã ÊýΪ n = 10 ¡Á9 ¡Á8 , A ÖÐ µÄÑù±¾ µã¸ö Êý Ϊ m1 = 6¡Á5¡Á4 , B ÖÐ µÄÑù±¾ µãµÄ¸ö ÊýΪ m2 = C3 ¡Á 4¡Á3¡Á6 , ËùÒÔ P( A) = 6¡Á5¡Á4 1 = ¡Ö0 .167 10¡Á9¡Á8 6
2 2 3 2 ¡Á

3

3

4

2 ¡Á

6 , ÓÚ ÓÉ (1. 2. 5) ¿ÉµÃ ÊÇ Ê½ C3
2 ¡Á

p( B) =

4 3 10

2 ¡Á

6

= 0 .288

C3 ¡Á 4¡Á3¡Á6 P( B) = = 0 .3 10¡Á9¡Á8 Àý1.7 Éè ÓÐN ¼þ²ú Æ·Æä ÓÐD ¼þ´Î Æ·, ½ñ´ÓÖÐ È¡ n ¼þ, ÖÐ ÈÎ ÎÊ Æä Ç¡ÓÐk ( k¡Ü D) ¼þ´Î Æ·µÄ¸Å ÂÊÊÇ ÖÐ ¶àÉÙ? ½â Éè A ±í ʾ ¡° È¡µ½µÄ n ¼þ²ú Æ·ÖРʼþ Ç¡ÓÐk ¼þ´Î Æ·¡± ¡£ ´Ó N ¼þ²ú Æ·È¡ n ¼þ, ÿһÖÖ È¡·¨ Ϊ Ò»»ù ±¾ ½á¹û , Òò´Ë Ñù±¾ ¿Õ ¼ä µÄÑù±¾ µãµÄ×Ü ÊýΪ CN , ʼþ A ÖÐ µÄÑù±¾ ¸ö ÊýΪ CD CN µã ÊÇ ËùÇó¸Å ÂÊΪ k n CD CN -P( A) = n CN Àý k D n k n - k D

, ÓÚ

1.8

½« n Ö»ÇòËæ »úµØ·Å Èë N ( N¡Ý n ) ¸ö ºÐ×Ó È¥, ÊÔ ÖÐ ÇóÏÂ

ÁРʼþµÄ¸Å ÂÊ: A = {ij Ö¸¶¨ µÄ n ¸ö ºÐ×Ó ¸÷ÓÐ ÖÐ Ò»Çò} ; B = {ÿ¸ö ºÐ×Ó ¶àÓÐ ÖÁ Ò»Çò} ; C = {ij Ö¸¶¨ µÄÒ»¸ö ºÐ×Ó Ç¡ÓÐm ( m¡Ü n) ¸ö Çò}¡£ ÖÐ ½â n ¸ö ÇòÖРÿ¸ö Çò¶¼ ÓÐN ÖÖ ·¨ , Òò¶ø n ¸ö Çò·Å Èë N ¸ö ºÐ ·Å
ÖÖ ·Å ·¨ n

×Ó ¹² ÓÐNn ÖÐ

, ÿÖÖ ·¨ ¼´Îª Ò»»ù ±¾ ·Å ʼþ, Òò´Ë Ñù±¾ ¿Õ¼äÖÐ n n m

µÄÑù±¾ µã×Ü ÊýΪ N , ¶ø A ÖÐ µÄÑù±¾ µã¸ö ÊýΪ n( n - 1) ¡- 2¡¤1 = n !, B ÖÐ µÄÑù±¾ µã¸ö ÊýΪ CN¡¤ n ! = AN , C ÖÐ Ñù±¾ ¸ö ÊýΪ Cn ( N µã ¡¤ 15 ¡¤

1)

n - m

, ÓÚ ÊÇ P( A) = n! Nn n AN P( B) = n N Cn ( N - 1) P( C) = n N
ÓÐ Ðí ¶à ÎÊ Ìâ ºÍ ±¾ Àý ÓÐ Ïà m n - m

= C

m n

1 N

m

N-1 N

n - m

ͬ µÄ Êý ѧ Ä£ ÐÍ ¡£ Àý Èç

, ¼Ù ÉèÿÈ˵ÄÉú

ÈÕ Ò»Äê 365 Ìì ÖÐ ÔÚ µÄÈÎ Ò»Ìì ÊǵȿÉÄÜ ¼´¶¼ µÄ, µÈÓÚ1/ 365 , ÄÇ Ëæ ô »úµØÑ¡È¡ n( n¡Ü365) ¸ö ÈË, ËûÃÇ µÄÉúÈÕ ¸÷²» Ïà ͬµÄ¸Å ÂÊΪ n A3 65 365 ¡¤364¡- (365 - n + 1) p1 = n = n 365 365 ÖÁ ÉÙ ÓÐ Á½ ÈË Éú ÈÕ Ïà ͬ µÄ ¸Å ÂÊ Îª n

365 - 365 ¡¤364¡- (365 - n + 1) p2 = = 1 - p1 n 365
¾- ¼Æ Ëã ¿É µÃ Ï Êö ½á ¹û

n p2

20

23

30

40

50

64

100

0 .411 0 .507 0 .706 0 .891 0 .970 0 .997 0 .9999997 Àý1.9 ´Ó0 , 1 , ¡- , 9 ¹² 10¸ö Êý×Ö Ëæ µØÓÐ »ØµØ½Ó È¡ 4 ÖÐ »ú ·Å Á¬

¸ö Êý×Ö, ²¢ °´ Æä ÏÖµÄÏÈ ºó ÅÅ³É Ò»ÁÐ ÊÔ ³ö ¡£ ÇóÏ ÁРʼþµÄ¸Å ÂÊ (1) A1 = {4 ¸ö Êý×Ö ³É Ò»¸ö ż ; ÅÅ Êý} (2) A2 = {4 ¸ö Êý×Ö ³É Ò»¸ö ËÄ Êý} ; ÅŠλ (3) A3 = {4 ¸ö Êý×Ö ÖÐ0 Ç¡ºÃ³ö ÏÖÁ½ } ¡£ ´Î ½â ÒòΪ ÊÇ ·Å »Ø³é Ñù, ËùÒÔ ÓÐ Ñù±¾ ¿Õ¼äÖÐ Ñù±¾ µã×Ü ÊýΪ 10
Èô ʹ 4 ¡£

4 ¸ö Êý×Ö ×é³É ż ÔòÖ»ÐèÄ© Êý×Ö Å¼ Êý, λ Ϊ Êý¼´¿É¡£ ÕâÓÐ
3 ÖÖ È¡ ·¨ ¡£ ÓÚ Êý

5 ÖÖ ¿ÉÄÜ 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , ¶øÇ°Èýλ Êý×Ö ÈÎ ÒâµÄ, ÓÐ10 : ÊÇ
ÊÇ

A1

¹²

º¬ ¡¤

ÓÐ

C5¡¤ 10

1

3 ¸ö Ñù ±¾ µã ¡£ Àà ËÆ µØ ¿É Öª

A2

ÖÐ Ñù ±¾ µã

µÄ ¸ö

¡¤ 1 6

C9¡¤ 10 , A3

1

3

ÖÐ Ñù ±¾ µã µÄ ¸ö

Êý Ϊ

C4¡¤ 9 , ´Ó¶ø
1 3

2

2

C5¡¤ 10 P( A1 ) = = 0 .5 104 C9 ¡Á 10 P( A2 ) = = 0 .9 4 10 C4¡¤ 9 P( A3 ) = = 0 .048 6 4 10 Àý1.10 ( Ò»¸ö ¹Å ÀÏ µÄÎÊ Ìâ ) Ò»¶Ô÷»×Ó ÖÀ25 ´Î ¡£ ÎÊ ³ö ÏÖË« Á¬ 6 Óë²» ³ö ÏÖË« 6 µÄ¸ÅÂÊ ¸ö ´ó ? ÄÄ ½â Éè A = {³ö ÏÖË« 6} , B = {²» ³ö ÏÖË« 6} , Ò»¶Ô÷»×Ó ÖÀ1 ´Î , ÓÐ6¡Á6 = 36 ÖÖ ½á¹û ¡£ ÖÀ25 ´Î ¹² ÓÐ36
25 ÖÖ ½á ¹û 2 2 1 3

, ÖÀ Ò»´Î ³ö ÏÖË« 6 Ö»

ÓÐ1 ÖÖ ½á¹û , ²» ³ö ÏÖË« 6 ÓÐ35 ÖÖ ½á¹û , ÖÀ25 ´Î ²» ³ö ÏÖË« 6 ¹² ÓÐ 3525 ÖÖ ½á ¹û , ¶øÖÁ ÓÐ ÉÙ Ò»´Î ³ö ÏÖË« 6 ÓÐ3625 - 352 5 ÖÖ ½á ¹û ¡£ Òò ´Ë 35 P( B) = 25 ¡Ö 0 .494 5 36 P( A) = 36
25 25

- 35 = 1 - P( A) = 0 .505 5 25 36

25

ËùÒÔ ÏÖË« 6 µÄ¸ÅÂÊ ¡£ ³ö ´ó Õâ¸ö ÎÊ Ìâ ÔÚ17 ÊÀ ¼ÍÓÉ Ë¹ ¿¨ ½â¾ö¡£ ËûÂÛ ÅÁ Ö¤ÁËÔÚ Ö»Ñº ³ö ÏÖË« 6 Óë²» ³ö ÏÖË« 6 µÄѺ±£ÖРѺ³ö ÏÖË« 6 ¸ü ÓÐ , Àû¡£ Àý1.11 (³é Ç© Óë˳Ðò ÎÞ¹Ø)´ü ÖÐ ÓÐa ¸ö °×Çò b ¸ö ºÚÇò,ÏÖÓÐa + b ¸ö ÈË ´Î ´ÓÖÐ Çò,ÇóµÚ k(1¡Ük¡Üa + b)¸ö ÈË ÒÀ È¡Ò» È¡µ½ °×ÇòµÄ¸ÅÂÊ ¡£ ½â ÉèÏë a + b ¸ö ÈËÈ¡µ½µÄÇòÒÀ ÐòÅÅ³É Ò»ÁÐ, ÄÇ Ã¿ÖÖ Ë³ ô ÅÅ ÁÐ ¾ÍÊÇ Ò»¸ö »ù ±¾ ½á¹û , ×Ü µÄ»ù±¾ ¹² ½á¹û ÊýΪ a + b ¸ö ÔªËصÄÈ«ÅÅ ÁÐ a + b) !, µÚ k ¸ö ÈËÈ¡µ½°×Çò¼´Îª µÚ k ¸ö λ ÖÃÉÏ ÅÅÉÏ Ò»¸ö °× Êý( Çò¹² ÓÐa ÖÖ Ñ¡Ôñ, ¶øÆä a + b - 1 ¸ö ÇòÔÚ Óà a + b - 1 ¸ö λ Öà Óà Æä ÉÏ ÈÎ ÒâÅÅ ¹² ÓÐ a + b - 1) ! ÖÖ µ½, ( ÅÅ·¨ ¡£ Òò´Ë ËùÇóµÄ¸Å ÂÊΪ Pk = a a + b - 1) ! ¡¤( a = ( a + b) ! a+ b ¡¤ 17 ¡¤

k ÎÞ ¹Ø¡£ Õâ ¾ÍÊÇ Ç© ³é Óë˳ Ðò ¹Ø , ÈËÃÇ ²É Óà ǩ ÎÞ ³£ ³é ÕâÖÖ ·½·¨ À´Ìå ÏÖ¹« ƽ ¡£ ÕâÖÖ Æ½ Ö» ͨ ¹ý ¸Å ÂÊ ²Å ÄÜ Ã÷ ÐÔ ¹« ÐÔ ÓÐ ÂÛ ²û Çå³þ ¡£ Õâ Ò»ÎÊÌâ ÓÐ Íâ Ò» ½â·¨ , ÎÒÃÇ Áí ÖÖ ÉèÏë °Ñ a + b ¸ö ÇòËæ »úµØ·Å Èë a + b ¸ö ºÐ×Ó , ÿ¸ö ºÐ×Ó ÖÐ Ö»Ðí·Å Ò»¸ö ¡£ ÎÒÃÇ ¹ØÐĵÄÊÇ a ¸ö ºÐ×Ó ÄÄ ·Å ÓÐ °×Çò( Áí Íâ b ¸ö ºÐ ×Ó Ò»¶¨ ÊÇ·Å ºÚ Çò) ¡£ ÕâÑù»ù ±¾ ½á¹û ×Ü ÊýΪ Ca + b , ¶øÒªÇóµÚ k ¸ö ºÐ×Ó °×Çò¹² ÓÐC a + ·Å
¸Å ÂÊ Îª a a - 1 b - 1 ÖÖ Ñ¡ Ôñ ¡£ Õâ Ñù Ëù Çó µÄ

Caa -+ 1b - 1 a Pk = = a a+ b Ca + b Õâ ÖÖ Á½ ½â·¨ µÄ´ð °¸ Ïà ͬ ( Ϊ ʲ ô»áÏà ͬ ? Çë¶ÁÕß ¿¼) ¡£ ˼ Èý ¡¢¼¸ ºÎ ¸Å ÂÊ ¹Åµä¸ÅÂÊÖ»ÊÊ Ñù±¾ Óà ¿Õ¼äÖÐ Ñù±¾ µãÓÐ ÇÒ ÏÞ Ã¿¸ö »ù±¾ ʼþ·¢ Éú µÄ¿ÉÄÜ Ïà ͬµÄ³¡ ºÏ ¡£ ÔÚ ÐÔ Êµ¼Ê , ¾-³£ Óöµ½ ÖÐ Ñù±¾ ¿Õ¼äÖÐ Ñù±¾ µãÓÐ ÎÞ Çî¶àÇÒ ¾ßÓÐ µÈ¿ÉÄÜ µÄÇé¿ö¡£ ÔÚ ÐÔ ÕâÖÖ Çé¿öÏ , ÎÒÃÇ ½«¹Å µä¸Å ÂʵĶ¨ Òå ÉÔ ÉÔ ÒýÉì Ò» , ±ãµÃÏ Ãæ Ï ½éÉÜ µÄ¼¸ºÎ ¸Å ÂÊ ¡£ ¶¨ Òå1.2.4 Èô Ñé E ¾ß ÈçÏ ÌØÕ÷ ÊÔ ÓÐ : (1) Ñù±¾ ¿Õ¼ä ¦¸ ÊÇ Ò»Î¬¡¢ ¶þά»òÈýά¿Õ¼äÖÐ ¶ÈÁ¿ÓÐ µÄÇø¼ä»ò ÏÞ ÇøÓò( ÕâÀï Ëù˵µÄ¶ÈÁ¿Ö¸Çø¼äµÄ³¤ ¶È, ÇøÓòµÄÃæ ¡¢ »ý ) ¡£ »ý Ìå (2) Ñù±¾ µãÔÚ¦¸ ÖÐ ¾ùÔÈ ·Ö²¼¡£ Ôò ³ÆÊÔ E Ϊ ¼¸ºÎ ¸Å ÐÍ , A Ϊ E µÄһʼþ, ÎÒÃÇ Òå A µÄ¸Å Ñé ¶¨ ÂÊ Îª P( A) = L( A) L( ¦¸ ) (1. 2. 9)

L( A) , L( ¦¸ ) ·Ö±ð±í ʾ A Óë ¦¸ µÄ¶ÈÁ¿¡£ ²¢ ³ÆÓÉ(1. 2. 9) ʽ ÒåµÄ¸Å ¶¨ ÂÊ ¼¸ºÎ ¸Å ÂÊ Îª ¡£ ÓÉ ¼¸ºÎ ¸Å ÂʵĶ¨ Òå Öª¼¸ºÎ ¸ÅÂÊ¾ß Ï ÊöÐÔ : Ò× ÓÐ ÖÊ (1) ¶ÔÓÚ ÈÎһʠA, ÓÐ ¼þ ¡¤ 1 8 ¡¤

0¡Ü P( A) ¡Ü1 (2) P( ¦¸ ) = 1 (3) Èô¿ÉÁÐ Ê A1 , A2 , ¡- Á½ »¥²» Ïà ÈÝ, Ôò ¸ö ¼þ Á½ ¡Þ ¡Þ P ¡È Ai = ¡Æ P Ai i=1 i=1 Àý

1.12

( Ô¼ ÎÊ Ìâ )¼× ÒÒ ÈËÏà Ô¼ ijһ¶Î ʱ T ÄÚ Ô¤¶¨ Ãæ ¡¢ Á½ ÔÚ ¼ä ÔÚ

µØ µã»áÃæ ÏÈ µ½ÕߵȺò Áí Ò»ÈË, ¾-¹ý ʱ¼ä t ( t < T) ºó ¼´ÀëÈ¥¡£ Çó ¡£ ¼× ÒÒ ÈËÄÜ ¡¢ Á½ »áÃæ µÄ¸Å ÂÊ( ¼Ù ËûÃÇ ¶¨ ÔÚT ÄÚ Ò»Ê± µ½´ï Ô¤¶¨ µãÊÇ ÈÎ ¿Ì µÈ¿ÉÄÜ ¡£ µÄ) ½â Éè¼× ÒÒ ÈËÔÚ ¡¢ Á½ ʱ¼ä T ÄÚ µ½´ï Ô¤¶¨ µãµÄʱ ·Ö±ðΪ x ºÍ ¿Ì y , Ôò ËüÃÇ ¿ÉÒÔ È¡[0 , T]ÄÚ µÄÈÎ Ò»Öµ, ¼´ 0¡Ü x¡Ü T, 0¡Ü y¡Ü T, ¶øÁ½ ÈË »áÃæ µÄ³ä ÒªÌõ ¼þÊÇ x- y ¡Ü t¡£ ÿһ¸ö x ºÍ ÿһ¸ö y ±ã¹¹ ³É ƽ ÉÏ µÄÒ»¸ö µã ( x, y ) , Ëü¾ÍÊÇ Ãæ Ò» ¸ö »ù±¾ ½á¹û , Òò Ñù±¾ ´Ë ¿Õ¼ä Ϊ ¦¸ = { ( x , y ) Éè A = {¼× ÒÒ ÈËÄÜ ¡¢ Á½ »áÃæ} , Ôò A = { ( x , y) ÓÚ ÊÇ L( A) T2 - ( T - t ) 2 P( A) = = =12 L( ¦¸ ) T
Àý

0¡Ü x¡Ü T, 0¡Ü y¡Ü T}

| x - y | ¡Ü t, 0¡Ü x¡Ü T, 0¡Ü y¡Ü T} t2 1T

1.13 ƽÉÏ»- ÓÐ ¾à ë a µÄһЩ ÐÐ , Ïò ƽ ÉÏÈÎ Òâ Ãæ µÈ À Ϊ ƽ Ïß Ãæ

Ͷ Ò»³¤ Ϊ l ( l < a) µÄÕë, ÊÔ ÇóÕëÓëƽ Ïß Ïà ½»µÄ¸Å ÂÊ( ¼û 1. 2) ¡£ ÐРͼ ½â ÒÔM ±íʾ ÂäÏ ºó ÕëµÄÖÐ , x ±í ʾ M Óë×î ½üһƽ Ïß µÄ µã ÐÐ ¾à , ¦Õ±í ʾ Àë ÕëÓë´ËÏß µÄ¼Ð , Ò× ½Ç ¼û 0¡Ü x¡Ü ÕâÁ½ ¾ö¶¨ ÁËxO¦Õ ʽ a , 0¡Ü¦Õ¡Ü ¦Ð 2
¦¸

ƽ Ãæ ÉÏ Ò» ¾Ø ÐÎ Çø Óò

, ¦¸ ¾ÍÊÇ Ñù±¾ ¿Õ¼ä ÕëÓëƽ ¡£ ¡¤ 19 ¡¤

ÐÐ Ïà ½»µÄ³ä ÒªÌõ ¼þΪ Ïß

x¡Ü

l sin ¦Õ 2 l sin¦Õ, ( x, ¦Õ) ¡Ê¦¸ } 2

ÎÒÃÇ ÕëÓëƽ Ïß Ïà ½»Õâһʠ½« ÐÐ ¼þ¼Ç A, ÄÇ Îª ô A = { ( x ,¦Õ) ÓÚ ÊÇ P( A) = ¡ú '
¡ü '

x¡Ü

¦Ð l L( A) a 2l = / ¡Ò 0 2 sin¦Õd¦Õ 2 ¦Ð= ¦Ða L( ¦¸ ) a 2

/ ä• e A4 g Æ x 2 / x = l si n ¦Õ 2

M ¦Õ x

¦Ð ¦Õ
ͼ

1. 2

ÕâÒ»ÎÊ Ìâ ¾Í ÊÇËù νµÄÆÑ Í¶ ÕëÎÊ Ìâ , ÎÒÃÇ ·á ×¢Òâµ½´Ë¸Å ÂÊÖ»ÒÀ Àµ

l ÓÚ Öµ , ¹Ê µ± l, a ³É ±È ±È Àý±ä»¯ ʱ, ¸ÅÂʲ» ±ä, Õâ ÓëÖ± ¹ÛÏà ·û ¡£ ÕâÒ» a ½á »¹ Ìá ¹©ÁË ¹û Ò»¸ö Çó¦ÐÖµµÄ·½·¨ : ÈçÎÒÃÇ Á¿ÖØ µØ×öÕâÒ»ÊÔ ´ó ¸´ Ñé, ÓÉ ÂÊ Æµ µÄÎÈ ¶¨ ÐÔ ¿ÉÒÔ , µÃµ½ P( A) µÄ¹À ¼Æ ´Ó¶ø ¿ÉµÃ³ö ¦ÐµÄ½üËÆ Öµ, Öµ ÀúÊ· ÉÏ ÓÐ ¡£ ¼¸Î» ѧÕß×ö¹ý Õâ ÑùµÄÊÔ Æä Ñé, ½á¹û Èç±í 1. 3 Ëùʾ ¡£ ±í 1.3
ÊÔ Õß Ñé
Wolf Smit h Fox Lazzarini

ʱ ( Äê) ¼ä
1850 1855 1884 1925

Õ볤 l 0 .80 0 .60 0 .75 0 .83

Ͷ Õë´Î Êý 5 000 3 204 1 030 3 408

Ïà ½»´Î Êý 2 532 1 218 489 1 808

¦ÐµÄ¹À ¼Æ Öµ 3 .159 56 3 .156 65 3 .159 51 3 .141 592 92

¡¤ 2 0

¡¤

1. 3 ¸ÅÂÊ ¿Õ¼ä ÉÏ ½ÎÒ ½ÉÜ ¸Å µÄ ¸ö¶¨Òå¶Ôͬ Ò»¸ÅÄî¸ø ³ö ²» ͬ µÄ¶¨ Ò» Ú ÃÇ é ÁË ÂÊ Èý ,
ÒåÊÇ ·½±ãµÄ¡£ ʵ¼Ê ÒÔ Èý¸ö ¶¨ ÒåÊÇ ²» ÉÏ ÉÏ Õë¶Ô²» ͬ ÀàÐ͵ÄÊÔÑé¶ø Éè ¼Æ Ã¿Ò» ¶¨ Ò嶼 Æä ÏÞ ÐÔ ÔÚ µÄ, ÖÖ ÓÐ ¾Ö ¡£ ʵ¼Ê Ó¦Óà Ëæ ÖÐ »úÊÔ ÑéµÄÀàÐÍÊÇ ¶à ÖÖ ÑùµÄ¡£ Òò´ËÓÐ Òª½¨Á¢ ¶à ±Ø ¸ÅÂÊ µÄͳ Ò»¶¨ Òå¡£ ÊýѧÉÏ ×î ³£ Óà Ҳ , ÊÇ ÓÐ ×î ЧµÄ°ì ·¨ ÊÇ Àí»¯ ¡£ ÔÚ ½áÁË ¹« ×Ü Ç°È˵ÄÑÐ ¾¿³É ¹û »ù´¡ ÉÏ , ¿Â¶û Ī¸ç Âå·ò ÓÚ1933 Ä꽨Á¢ÁË ¸ÅÂÊ µÄ¹« Àí»¯ ¶¨ Òå¡£ ÕâÒ»¶¨ Òå¸ÅÀ¨ÁË Àú Ê· ÉÏ ¼¸ÖÖ ¸ÅÂÊ ÒåÖÐ ¹² ͬ ÌØÕ÷, ͬ ʱ±Ü ¶¨ µÄ ÃâÁË ×Ô ¸÷ µÄ¾Ö ÐÔ º¬ »ì ÏÞ ºÍ Ö® ¡£ ÕâÒ»¶¨ ÒåΪ ÏÖ´ú ¸ÅÂÊ ·¢ Õ¹´ò ÏÂÁ˼áʵ»ù ´¡ , ´Ó´Ë , ¸ÅÂÊ ´¦ ÂÛ ÂÛ ²Å³É Ϊ ÁË Ò»¸ö ÑÏÃÜ µÄÊýѧ ·ÖÖ§ ¡£ ÔÚ ¾ßÌå µÄÊÔ ÑéÖÐ ÓÐ ÊÔ , Щ ÑéÆä Ñù±¾ ¿Õ¼äµÄËùÓÐ ¼¯¾ù¿ÉÒÔ ÎÒ ×Ó ÊÇ ÃÇ µÄÑÐ ¾¿¶ÔÏó , »òÕß˵¾ù¿ÉÒÔ ÎÒÃÇ ÊÇ ÒªÌÖÂÛ µÄËæ Ê ÓÐ Ôò²» »ú ¼þ, Щ ÊÇ ±ÈÈç , ÔÚ ¡£ ¹Åµä ¸ÅÐÍÖÐ Æä , Ñù±¾ ¿Õ¼äµÄËùÓÐ ¼¯¾ù¿ÉÇóÆä ×Ó ¸ÅÂÊ, Òò ¶øËüÃÇ ¶¼¿ÉÒÔ ÎÒÃÇ ÊÇ ÌÖÂÛ µÄ¶ÔÏó , ¶ø ÔÚ ¼¸ºÎ ¸ÅÐÍÖÐ Æä , Ñù±¾ ¿Õ¼äÖÐ , ÓÐ ×Ó Ð© ¼¯²» ¿ÉÇóÆä ¶È»òÃæ ³¤ »ý»òÌå »ý, Òò¶ø ÎÒÃÇ °ÑËüÃÇ ÈëÑÐ ²» ÁÐ ¾¿ ¶ÔÏó , »òÕß˵²» °ÑËüÃÇ Îª Ëæ ÊÓ »úʼþ ¶ÔÓÚ ¡£ ÊÔÑé E, Æä Ñù±¾ ¿Õ¼äΪ ¦¸ , ÎÒÃÇ ¦¸ µÄһЩ ¼¯×÷ ÑÐ °Ñ ×Ó Îª ¾¿¶ÔÏó , ½«ÕâЩ ¼¯¹¹ ³É µÄ¼¯ºÏ ´Ø ×Ó ¼Ç F, ¿¼ µ½ ¼þ ÔË ¼°¸ÅÂÊ Ëã ÐèÒª, ÎÒÃÇ Îª ÂÇ Ê µÄ Ëã ¼Æ µÄ ÒªÇóF ¶Ô ²¢ ½»¡¢ µÈ Ëã ±Õ Òò ÎÒÃÇ ¸ø ³ö ¸ÅÂÊ ¹« Àí»¯ ¶¨Òå Ç°, ÏȽé һϠÔË ·â , ´Ë, ÔÚ µÄ Ö® ÉÜ ¦Ò ´ú ÊýµÄ¸ÅÄî¡£ ¶¨ Òå1.3.1 É覸 Ϊ Ñù ¿Õ , ³Æ ¦¸ µÄÒ» ×Ó ±¾ ¼ä Щ ¼¯Ëù×é³É µÄ¼¯ºÏ F Ϊ ¦¸ µÄ ¸ö ¦Ò ´ú Êý, Èç¹û F Âú Ò» ×ãÏÂÁÐ ¼þ Ìõ : (1) ¦¸ ¡ÊF; (2) Èç A¡ÊF , Ôò A¡ÊF; ¡Þ (3) Èç An ¡Ê F , n = 1, 2 , ¡- , Ôò¡È1 An ¡Ê F¡£ n= ¡¤ 21 ¡¤

, {¦¼ ¦¸ }Ϊ ¦¸ µÄÒ»¸ö ¦Ò - ´ú Êý, ËüÊÇ ¦¸ µÄ×î С ¦Ò - ´ú Êý¡£ , ¦¸ µÄËùÓÐ ¼¯×é³ÉµÄ¼¯ºÏ ÊǦ¸ µÄ×î ´ó ¦Ò - ´ú Êý¡£ Éè A Ϊ ¦¸ µÄÒ» ×Ó ×Ó ¼¯, Ôò{¦¼ A, A, ¦¸ }Ϊ ¦¸ µÄÒ»¸ö ¦Ò- ´ú Êý¡£ , ÎÒÃÇ ¦¸ µÄ¦Ò - ´ú Êý F ÓÖ °Ñ ³ÆΪ ¦¸ µÄ ¼þ ²¢ ½ö°Ñ F ÖÐ Ôª Ê Óò, µÄ ËØ ³ÉΪ Ê ¡£ ¿´ ¼þ ¦Ò ´ú ÊýµÄ¶¨ ÒåÖÐ Ö»Òª Çó¶ÔÄæ ¿ÉÁÐ ÔËËã·â ±Õ ÊÂʵÉÏ Õâʱ , ²¢ , ¦Ò - ´ú Êý¶Ô½», ²î µÈÔË ËãÒ²ÊÇ ±Õ ·â µÄ¡£ ¶¨ Àí 1.3.1 ÈôF Ϊ ¦¸ µÄ Ò»¸ö ¦Ò ´ú Êý, Ôò (1) ¦¼ ¡ÊF ; (2) Èô A, B¡ÊF, Ôò A¡É B¡ÊF , A - B¡ÊF ; n n

(3) Èô Ai ¡Ê F, i = 1, 2 , ¡- , n , Ôò = 1 Ai ¡Ê F, ¡É Ai ¡Ê F ; ¡È i i=1 ¡Þ (4) Èô Ai ¡Ê F, i = 1, 2 , ¡- , Ôò¡É Ai ¡Ê F¡£ i=1 Ö¤ ÊÇ µ¥µÄ Áô¸ø ¶ÁÕßÈ¥Íê ³É¡£ Ã÷ ¼ò , ÏÂÃæ ÎÒÃÇ ³ö ¸Å ÂÊ ¸ø µÄ¹« Àí »¯ ¶¨ Òå¡£ ¶¨ Òå1.3.2 ÉèF Ϊ Ñù ¿Õ¼ä¦¸ ÉÏµÄ¦Ò ´ú Êý, P ÊǶ¨ ÒåÔÚF ±¾ ÉÏµÄ Öµ ʵ ¼¯º¯ Êý, Èç¹û ËüÂú×ã: (1) ¶ÔÓÚ ÈÎÒâµÄ A¡ÊF, ÓÐ0¡Ü P( A) ¡Ü1; (2) P( ¦¸ ) = 1; (3) Èô Ai ¡Ê F, i = 1, 2 , ¡- , ÇÒ i¡Ùj ʱ Ai Aj = ¦¼, Ôò µ± ¡Þ ¡Þ P ¡È Ai = ¡Æ P( Ai ) i=1 i=1 Ôò P Ϊ ¶¨ Òå ( ¦¸ , F ) ÉÏ µÄ¸Å ÂÊ, P( A) ( A¡ÊF) Ϊ Ê¼þ A µÄ¸Å ÂÊ, ³Æ ÔÚ ÈýÔª×Ü ( ¦¸ , F , P) ³ÆΪ ¸Å ÂÊ¿Õ¼ä ³Æ¶¨ ÒåÖÐ Ìå ¡£ µÄÌõ ¼þ(3) Ϊ ¿ÉÁÐ ¿É ¼Ó ¡£ ÐÔ Àý 1.14 É覸 = {¦Ø , ¦Ø , ¡- , ¦Ø }Ö»º¬ÓÐn ¸ö ²» ͬµÄ»ù±¾ ʼþ, 1 2 n ¦¸ µÄÈ«Ìå ×Ó ¼¯×é³ÉµÄ¼¯ºÏ ¼Ç F , ÔòF µÄ¦¸ µÄ ¸ö ¦Ò ´ú Êý¡£ ¶ÔÓÚ Îª Ò» ÈÎÒâ A¡ÊF , ¶¨ Òå ¡¤ 2 2 ¡¤

P( A) =

m n

Æä ÖÐm Ϊ A ÖРͬµÄ»ù±¾ ²» ʼþ µÄ¸ö Êý¡£ ÈÝÒ× ÑéÖ¤ËüÂú×ã¸ÅÂʶ¨ Òå ÖÐ µÄÌõ ¼þ(1) , (2) , (3) ¡£ Òò¶ø( ¦¸ , F, P) ÊÇ Ò»¸Å ÂÊ¿Õ¼ä, ÕâÕýÊÇ µä ¹Å ¸ÅÐ͵ĸŠÂÊ¿Õ ¼ä¡£ Àý 1.15 É覸 = {0 , 1 , 2 , ¡- } , ÓÉ È«Ìå ·Ç ¸º ÕûÊý×é³É , ¦¸ µÄÈ«Ìå ×Ó ¼¯Ëù×é³É µÄ¼¯ºÏ F ÊǦ¸ ÖÐ Ò» ¦Ò ´ú Êý, ¶Ô ÈÎ Òâ A¡ÊF , ¶¨ µÄ ¸ö ÓÚ µÄ Òå k P( A) = ¡Æ e k ¡Ê A

- ¦Ë¦Ë

k!

(¦Ë > 0 Ϊ ³£ Êý)

P(¦¼) = 0 Ôò( ¦¸ , F , P) Ϊ Ò»¸ÅÂÊ¿Õ ¼ä¡£ Ö¤ Ã÷ F Ϊ Ò»¦Ò ´ú ÊýÊÇ Ò×¼ûµÄ, ÎÒÃÇ Ö»ÐèÑéÖ¤ P Âú×㶨 Òå 1. 3. 1 ÖÐ Èý¸ö Ìõ ¼þ: ¡Þ (1) P( ¦¸ ) = ¡Æ e k=0
- ¦Ë ¦Ë k

k!

= e - ¦Ë¡¤ e¦Ë = 1

(2) ¶ÔÓÚ ·Ç¸º Õû k Êý k e ¹Ê¶ÔÓÚ ÒâµÄ A¡ÊF , ÓÐ ÈÎ

- ¦Ë¦Ë

¡Ý0 k! k k

0 ¡Ü P( A) = ¡Æ e k¡Ê A

-¦Ë ¦Ë

k!

¡Ü ¡Æ e k ¡Ê ¦¸

- ¦Ë ¦Ë

k!

= 1

(3) Éè Ai ¡Ê F, i = 1, 2 , ¡- , ÇÒAi Aj = ¦¼, i¡Ùj Ôò ¡Þ ¡Þ ¡Þ k k - ¦Ë ¦Ë - ¦Ë ¦Ë P ¡È Ai = ¡Æ e = e = P( Ai ) i=1 k ! ¡Æ ¡Æ k ! ¡Æ
¡Þ k ¡Ê ¡È A i =1 i i = 1 k¡Ê A i i=1

ÓÉ ¿É¼û, ( ¦¸ , F , P)ÊÇ ´Ë Ò»¸ÅÂÊ¿Õ ¼ä¡£ Àý 1.16 É覸 = {1 , 2, ¡- , }ÓÉ È«Ìå ×Ô È»Êý×é³É , A1
Ìå ż Êý ×é ³É µÄ ¼¯ ºÏ Ϊ ¦¸ ÖÐ µÄ È«

, A2

Ϊ

È« Ìå

Ææ Êý ×é ³É µÄ ¼¯ ºÏ

, Ôò{¦¼, A1 , A2 , ¦¸ }Ϊ ¡¤ 23 ¡¤

- ´ú Êý, ¶¨ Òå P(¦¼) = 0, P( A1 ) = P( A2 ) = F , P) Ϊ Ò» ÂÊ¿Õ ¸Å ¼ä¡£

1 , P( ¦¸ ) = 1 Ôò( ¦¸ , 2

ÓÉ Òå1. 3. 2 ¿Éµ¼³ö ¸ÅÂÊ Ò»Ð© ÒªÐÔ ¡£ ¶¨ µÄ ÖØ ÖÊ ¶¨ Àí 1.3.2 Éè P Ϊ ¸Å ÂÊ, Ôò (1) P(¦¼ = 0 ) (2) Èç Ai
¡Ê

(1. 3. 1) n n

F , i = 1, 2 , ¡- , n, ÓÖAi Aj = ¦¼, i ¡Ù j, Ôò P i¡È Ai = ¡Æ P( Ai ) =1 i=1 (1. 3. 2)

ÌرðÈô A, B¡ÊF , ÇÒAB = ¦¼, Ôò P( A¡È B) = P( A) + P( B) (3) ¶ÔÓÚ ÈÎÒâ¶þʼþ A, B, ÓÐ P( A¡È B) = P( A) + P( B) - P( AB) Ö¤ Ã÷ (1) ÒòΪ ¦¼= ¦¼ ¡È ¡- , ÓÉ ¡È¦¼ ¸ÅÂÊ µÄ¿ÉÁÐ ¿É¼Ó µÃ ÐÔ P(¦¼ = P(¦¼) + P(¦¼) + ¡) ÓÚ ÊÇ P(¦¼) = 0 (2) Áî An + 1 = An + 2 = ¡- = ¦¼, ÀûÓà P(¦¼) = 0 , µÃ ¡Þ n n ¡Þ P ¡È Ai = P ¡È Ai = ¡Æ P( Ai ) = ¡Æ P( Ai ) i=1 l=1 i=1 i= 1

(1. 3. 3) (1. 3. 4)

(3) Òò A¡È B = A¡È ( BA) , ¶ø A¡É( BA) = ¦¼, ¹Ê «… «… P( A¡È B) = P( A) + P( BA) «… È»¶ø , B = AB¡È BA, ( AB) ¡É ( BA) = ¦¼, ¹Ê «… «… P( B) = P( AB) + P( BA) «… ¼´ P( BA) = P( B) - P( AB) «… ´Ó¶ø P( A¡È B) = P( A) + P( B) - P( AB) ÍÆ ÂÛ1 Èç A, B Ϊ ¶þʼþ ÇÒAÌ B, Ôò ¡¤ 2 4 ¡¤

P( B - A) = P( B) - P( A) , P( B)¡Ý P( A) P( B) = P( A) + P( B - A) ËùÒÔ P( B - A) = P( B) - P( A) , ÏÂʽ ³É Á¢¡£ ºã P( B - A) = P( B) - P( AB) ÍÆ ÂÛ2 ¶Ô ÈÎÒâ ¼þA, ÓÐ ÓÚ Ê P( A) = 1 - P( A) Ö¤ Ã÷ ÓÉ «… ¦¼ÇÒA¡È A = ¦¸ , ËùÒÔ ÓÚAA = 1 = P( ¦¸ ) = P( A¡È A) = P( A) + P A ´Ó¶øµÃ֤ʽ 3. 7)¡£ (1. ÍÆ ÂÛ3 P( B) ¡Ý P( A)

(1. 3. 5)

Ö¤ Ã÷ Èô AÌ B, Ôò B = A¡È ( B - A) ÇÒA¡É ( B - A) = ¦¼, ÓÚ ÊÇ

×¢: ÍÆÂÛ1 ÖÐ µÄÌõ ¼þ AÌ B ÊÇ ¿ÉÈ¥µôµÄ¡£ µ«ÔÚ ºÎ Çé¿öÏ , ²» ÈÎ (1. 3. 6) (1. 3. 7)

( Ò» ¼Ó ¹« ʽ °ã ·¨ )¶ÔÓÚ ÈÎÒâ n ¸ö Ê A1 , A2 , ¡- , An , ÓÐ ¼þ n n

P i¡È Ai = ¡Æ P( Ai ) =1 i=1 ¡Æ
1 ¡Ü i < j< k ¡Ü n

1 ¡Ü i¡Ü j¡Ü n

¡Æ

P( Ai Aj ) + P( A1 A2 ¡- An ) (1. 3. 8)

( Ai Aj Ak ) + ¡- + ( - 1)

n -1

Ö¤ Ã÷ Óà ÄÉ Ö¤, n = 2 ʱʽ 3. 8) »¯ Ϊ ʽ 3. 4) , ÏÖÉè n = ¹é ·¨ (1. (1. k ʱ (1. 3. 8)³É Á¢, Ôò n = k + 1 ʱ ʽ k+1 k i =1 k k

P ¡È Ai = P i =1 k ¡È Ai

¡È

Ak+1 = P i¡È Ai + P Ak+1 - P =1 k -1

¡È Ai Ak+1 i= 1 k = ¡Æ P(Ai ) + ¡Æ P(Ai Aj ) +¡- + (- 1 ) i =1 1¡Ü i< j¡Ük ¡Æ P(Ai Aj Ak+1 ) + ¡- + ( - 1)
1¡Ü i < j¡Ü k k+ 1

P(A1 A ¡- Ak ) - ¡Æ P(Ai Ak+1 ) 2 i= 1

k -1

P(A1 A2¡- Ak+1 ) + P(Ak+1 )

= ¡Æ P( Ai ) i=1 ¶¨ Àí 1.3.3

k ¡Æ k + 1 P( Ai Aj ) + ¡- + ( - 1) P( A1 A2 ¡- Ak+ 1 ) 1 ¡Ü i < j¡Ü

( ¸Å ÂʵÄÁ¬ÐøÐÔ Éè An ¡Ê F , n = 1 , 2 , ¡- , ÇÒ A1 Ì ) ¡¤ 25
¡¤

A2 Ì

A3 Ì

¡-

, Ôò ¡Þ P n¡È1 An = n¡ú ¡Þ P( An ) lim =

Ö¤Ã÷ ¼Ç B1 = A1 , B2 = A2 - A1 , ¡- , Bn = An - An - 1 , ¡ÏÔÈ»ÓÐ n i=1 n

¡È Bi = i¡È Ai = An , =1

¡Þ ¡Þ ¡È B i = ¡È Ai i=1 i=1

×¢ Òâ µ½

B1 , B2 , ¡- , Á½ »¥³â , ÓÉ Á½ ¿ÉÁÐ ¿É¼Ó ÐÔ ¡Þ ¡Þ ¡Þ P n¡È1 An = P n¡È1 Bn = ¡Æ P( Bn ) = = n=1 n n

= nlim ¡Æ ¡ú ¡Þ

i= 1

P Bi = nlim P i¡È Bi =1 ¡ú ¡Þ

= nlim P( An ) ¡ú ¡Þ ÍÆÂÛ Éè An ¡Ê F, n = 1 , 2 , ¡- , ÇÒ A1 É A2 É A3 É ¡Þ P n¡É1 An = n¡ú ¡Þ P( An ) lim = Á½ Àý×Ó ¸ö ¡£ Àý 1.17 ¡° A¡± µÄ¸Å ÂÊ¡£ ½â Éè A = { ÈÎ È¡ µÄ 13 ÕÅ ÖÐ ÉÙÓÐ ¡° A¡± , ²¢ Éè Ai = ÅÆ ÖÁ Ò»ÕÅ } {ÈÎ È¡µÄ 13 ÕÅ ÖÐ ÅÆ Ç¡ÓÐi ÕÅ A¡± , i = 1 , 2 , 3 , 4 Ôò ¡° } A = A1 ¡È A2 ¡È A3 ¡È A4 , ÇÒA1 , A2 , A3 , A4 C4 C48 P( Ai ) = C1 3 52 Òò´Ë C4 C48 P( A) = ¡Æ P( Ai ) = ¡Æ C13 i= 1 i=1 52 ¡¤ 2 6 ¡¤
4 4

¡-

, Ôò

ʼþµÄ¹Øϵ ¡¢ ËãºÍ ¸Å ÂʵÄÐÔ ÔÚ ÔË ÖÊ ½âÌâ ÖÐ ·Ç ³£ ÓÐ µÄ, ÏÖ¾Ù ÊÇ Óà һ¸± ÆËË ( 52 ÕÅ , ´ÓÖÐ È¡ 13 ÕÅ ÇóÖÁ ¿ ÅÆ ) ÈÎ , ÉÙÓÐ Ò»ÕÅ

Á½ Á½ »¥ ³â

¡£

i

13 - i

i = 1,2, 3,4

i

13 - i ¡Ö

0 .696

, ÎÒÃÇ Áí Ò»·½·¨ À´ ¼Æ Óà ËãÕâÒ»¸Å ÂÊ¡£ C48 P( A) = 13 C52
´Ó ¶ø 13

C13 48 P( A) = 1 - P( A) = 1 - 13 ¡Ö 0 .696 C52 ±È½ÏÁ½ ·½·¨ ¿ÉÒÔ ³ö µÚ¶þ ÖÖ ÖÖ ¿´ ·½·¨ ¼Æ ËãÒª¼òµ¥Ð© ¡£ Àý1.18 Çó P( AB) ¡£ ½â ÓÉ ÓÚ P( A - B) = P( A) - P( AB) Òò´Ë P( AB) = P( A) - P( A - B) = 0 .7 - 0 .3 = 0 .4 Òò¶ø P( AB) = 1 - P( AB) = 1 - 0 .4 = 0 .6 ÉÏ Ò»½Ú ½éÉÜ µÄͳ ¼Æ ¸ÅÂÊ ¹Åµä ¸ÅÂÊ ¼¸ºÎ ¸ÅÂÊ ¡¢ ¡¢ ¶¼Âú×ã¸ÅÂÊ µÄ¹« Àí»¯ ¶¨ ÒåÖÐ µÄÌõ ¼þ, Òò´Ë ËüÃǶ¼¿ÉÄÉÈë¸Å ÂʵĹ« Àí »¯ Ìå ϵ Ö® ¡£ ÖÐ ¸ÅÂʵĹ« Àí »¯ ¶¨ ÒåËäÈ»¿Ì »®Á˸ŠÂʵı¾ µ« ûÓÐ ËßÈËÃÇ ÖÊ, ¸æ ÈçºÎ ȥȷ ¶¨ ¸Å ÂÊ¡£ ËùÒÔ Á˸ŠÂʹ« Àí »¯ ¶¨ ÒåÖ® , °Ñͳ ¼Æ ÂÊ¡¢ µä¸Å ÓÐ ºó ¸Å ¹Å ÂÊ¡¢ ¼¸ºÎ ¸Å ÂÊ¿´ ×÷ ¶¨ ¸Å ÂʵÄÈýÖÖ È· ·½·¨ µ¹ ÊÇ ºÜÇ¡µ±µÄ¡£ ¹ØÓÚ ÂÊ¿Õ¼äµÄ¶¨ ÒåÎÒÃÇ Ò»µã×¢½â: ¦¸ ÖÐ ¸Å ×÷ Ò»×Ó A ÊÇ Îª ¼¯ ·ñ һʼþ, Íê È«È¡¾öÓÚ A ÊÇ ÊôÓÚF, ÔÚ ÒåF ʱ, ²¢ ûÓÐ ·ñ ¶¨ ÒªÇó ¦¸ µÄ È«Ìå ×Ó ¼¯¶¼ ÊôÓÚF , Òò¶ø ²¢ ²» ÊÇ ¦¸ ÖÐ µÄÒ»ÇÐ ¼¯¶¼ ×Ó Ò»¶¨ ÊÇʼþ¡£ Õâ Ñù´ø À´ Á˺ܴó µÄ¹ã ·º ÐÔ ·ñ ÔòÁ¬ , ¼¸ºÎ ¸Å Âʶ¼²» ÄÜ ÄÉÈ빫 Àí »¯ ¶¨ ÒåÖ® ¡£ ÄÇ ÔÚ ÖРô ʵ¼Ê Ìâ ÖÐ Ó¦¸Ã ÈçºÎ Ñ¡Ôñ F ? Ò² ¾ÍÊÇ ÎÊ , ˵Ӧ¸Ã Ìô Ñ¡ ¦¸ ÖÐ µÄÄÄЩ ¼¯×÷ Ëæ ×Ó Îª »úʼþ? ÕâÈ¡¾öÓÚ Ìâ µÄÌØÊâÐÔ ±Ø ÎÊ , Ðë ¾ß ÎÊ Ìâ ¾ßÌå ½â¾ö¡£ ÔÚ ºó µÄÀí ÂÛÖÐ ÎÒÃÇ×Ü Ìå ÒÔ , ÊÂÏÈ ¼Ù F ÒÑ ¶¨ ¾Ñ¡¶¨¡£ ¡¤ 27 ¡¤ Éè A, B Ϊ Á½ ʼþÇÒP ( A) = 0 .7 , P( A - B ) = 0 .3 ,

1. 4

Ìõ ¼þ¸ÅÂÊ

Ò» ¡¢Ìõ¼þ µÄ Òå ÐÔ ¸ÅÂÊ ¶¨ ¼° ÖÊ ÔÚµ ÎÊÌâÖÐ ÁËÒª¿¼ÂÇʼþ A µÄ¸Å ÂÊ, »¹ Òª¿¼ÂÇÔÚ ÒÑÖª Ê ¼Ê , ³ý ¡°
ʼþ B ·¢ Éú¡± µÄÌõ ¼þÏ , ʼþ A ·¢ ÉúµÄ¸Å ÂÊ¡£ Ò»°ã ˵À´ , ÕâÁ½ ¸Å ¸ö ÂÊδ ±Ø ͬ¡£ ÎÒÃÇ Ïà °Ñºó Õ߽Р×öÌõ ¼þ¸Å ÂÊ, ¼Ç P( A| B) ¡£ Ϊ Àý 1.19 ÊÔ ÎÊ (1) ¸Ã Ö°¹¤ ¼¼ ÊõÓÅ ÐãµÄ¸Å ÂÊÊÇ ¶àÉÙ? (2) ÒÑ ÖªÑ¡³ö µÄÊÇ Ö°¹¤ , ËûΪ ¼¼ ÄÐ ÊõÓÅ ÐãµÄ¸Å ÂÊÊÇ ¶àÉÙ? ½â Éè A = { Ñ¡³ö µÄÖ°¹¤ ¼¼ ÊõÓÅ , B = {Ñ¡³ö µÄÖ°¹¤ Ϊ ÄÐÖ° Ðã} ¹¤ }¡£ ½Ó µä¸Å ÂÊ¼Æ ¹Å ËãµÃ P( A) = 60 3 = 400 20 20 1 = 200 10 ij¹¤³§ÓÐ Ö°¹¤ 400 Ãû, Æä ÄÐ Ö°¹¤ ¸÷Õ¼ ÖÐ Å® Ò»°ë , ÄÐÅ® Ö°¹¤ ÖÐ ÊõÓÅ ¼¼ ÐãµÄ·Ö ±ðΪ 20 ÈËÓë 40 ÈË¡£ ÏÖ´ÓÖÐ Ñ¡Ò»ÃûÖ°¹¤ , ÈÎ

P( A| B) =

ÏÔÈ» P( A) ¡Ù P( A | B) ¡£ ºó Ò»¸Å ÂÊÊÇ ÒÑ Ê¼þ B ·¢ ÉúµÄÌõ ÔÚ Öª ¼þϠʼþA ·¢ ÉúµÄ¸Å ÂÊ, ÔÚ ÀýÖÐ ±¾ ʼþ B µÄ·¢ Éú¶ÔʼþA µÄ·¢ Éú ²ú ÉúÁËÓ°Ïì , Òò¶øÕâÁ½ ¸Å Âʲ» Ïà µÈ¡£ ½øÒ»²½¼Æ ¸ö Ëã¿ÉµÃ P( A| B) = 1 20/ 400 P( AB) = = 10 200/ 400 P( B)

ÕâÒ»¹Øϵ ʽ ´Ó±¾ ÊÇ ÀýÖÐ µÃ³ö µÄ, µ«Ëü¾ßÓÐ ±éÒâÒå¡£ ±È , ¿¼ ÆÕ Èç ÂÇ µä ¸Å ÐÍ E, Éè E µÄ»ù±¾ ¹Å ʼþ×Ü n, ʼþ B °ü º¬µÄ»ù ±¾ Êý ʼþ ÊýΪ mB , ʼþ AB Ëù°ü º¬µÄ»ù±¾ ʼþÊýΪ mAB , ÔòÓÐ P( A | B) = ¡¤ 2 8 ¡¤ mA B mAB/ n P( AB) = = mB mB/ n P( B)

, ÎÒÃÇ ¿É½¨Á¢Ìõ ¼þ¸Å ÂʵÄÒ»°ã ¶¨ Òå¡£ ¶¨ Òå1.4.1 | B) ¶¨ ÒåΪ P( A | B) = P( AB) P( B) (1. 4. 1) Éè( ¦¸ , F , P ) Ϊ Ò»¸Å ÂÊ¿Õ¼ä, A¡ÊF , B¡ÊF , ÇÒ P ( B) > 0 , ÔÚ ÖªÊ¼þ B ·¢ ÉúÌõ ¼þÏ , ʼþ A ·¢ ÉúµÄÌõ ¼þ¸Å ÂÊ P ( A ÒÑ

¸ù ¾Ý ¼þ¸Å ÂʵĶ¨ Òå, ²» ÄÑ Ìõ ÑéÖ¤Ëü·û ºÏ ¸Å Âʹ« Àí »¯ ¶¨ ÒåµÄÈý ¸ö Ìõ ¼þ¡£ ¶¨ Àí 1.4.1 Èô B¡ÊF ÇÒP( B) > 0 , Ôò( P( A B) ×÷ A µÄ¼¯ / Ϊ º¯ ÊýÊÇF É쵀 ¸ÅÂÊ ¼´Âú×ã: , (1) ¶ÔÓÚ Ò» A¡ÊF , ÓÐ ÈÎ 0¡Ü P( A | B) ¡Ü1 (2) P( ¦¸ | B) = 1 (3) Éè Ai ¡Ê F, i = 1 , 2 , ¡- ÇÒAi Aj = ¦¼, i¡Ù j, Ôò ¡Þ ¡Þ P ¡È Ai | B = ¡Æ P Ai | B i=1 i=1 ´Ë ¶¨ Àí µÄÖ¤Ã÷ ¼òµ¥ , Çë¶ÁÕßÈ¥Íê ³É ¡£ Ìõ ¼þ¸Å ÂÊ P( A | B) ¼È È»ÊÇ Ò»¸ö ¸Å ÂÊ, Ò²¾ÍÂú×ã¸Å ÂʵÄÒ»°ã ÐÔ ÖÊ Ìõ ¼þ¸Å ÂÊÊÇ ÂÊÂÛ Ò»¸ö ºÜÖØ ºÜ»ù±¾ ¡£ ¸Å ÖÐ Òª¡¢ µÄ¸Å Äî , ±Ø ÐëºÜºÃ µØ Àí ½âºÍ ÕÆ ÎÕËü¡£ ¼Æ ËãÌõ ¼þ¸Å ÂÊ P( A| B) Ò»°ã ÓÐ ÖÖ Á½ ·½·¨ : ( 1) ÔÚ Ëõ¼õµÄÑù±¾ ¿Õ¼ä¦¸ B ( A | B) ¡£ ÕâÀï Ëù˵µÄ ¦¸ B ¼ä, Ò²¼´ ¦¸ B = B¡£ (2) ÔÚ Ô-Ñù±¾ ¿Õ¼ä ¦¸ ÖÐ ÏÈ ¼Æ P( AB) , P( B) , ÔÙ , Ëã ÓÉ(1. 4. 1) ʽ ÇóµÃ P( A| B) ¡£ Àý 1.20 ijÅú ²úÆ·² 20 ¼þ, Æä ¹ ÖÐ4 ¼þΪ ´Î Æ·, Æä ÓàΪ ÕýÆ·, ²» ¡¤ 29 ¡¤ ·Å »ØµØ´ÓÖÐ È¡Á½ , Ò»´Î È¡Ò»¼þ¡£ ÈôµÚÒ»´Î È¡µ½µÄÊÇ Æ·, ÎÊ µÚ ÈÎ ´Î ´Î
ÖÐ ¼Æ Ëã

A ·¢ ÉúµÄ¸Å ÂÊ, ¾Í¿ÉµÃµ½ P

¾Í ÊÇ Ê ¼þ

B Ëù°ü º¬ µÄÑù±¾ ¹¹ ³É µÄ¿Õ µã

? ½â Áî A = { µÚÒ»´Î È¡µ½´Î Æ·} , B = {µÚ¶þ ´Î È¡µ½´Î Æ·} , ÐèÇó P( B | A) ¡£ (1) ÔÚ Ëõ¼õµÄÑù±¾ ¿Õ¼äÖÐ Ëã¡£ ÒòµÚÒ»´Î ÒÑ ¼Æ ¾-È¡ µÃÁË´Î Æ·, ʣϠµÄ²ú Æ·¹² 19 ¼þÆä ÖÐ3 ¼þ´Î Æ·, ´Ó¶ø P( B| A) = (2) ÔÚ Ô-Ñù±¾ ¿Õ¼äÖÐ Ëã, ÓÉ ¼Æ ÓÚ P( A) = ¹Ê P( B | A) = Àý1.21 P( AB) 4¡Á3/ 20¡Á19 3 = = P( A) 4/ 20 19 4 4¡Á3 , P( AB) = 20 20¡Á19 3 19

Éè ijµØ Àú Çø Ê·ÉÏ´Óij´Î ÌØ´óºéË® Éú ºóÔÚ20 Äê ·¢ ÒÔ

ÄÚ ÉúÌØ´ó ºé Ë® ·¢ µÄ¸ÅÂÊ 80 % , ÔÚ30 ÄêÄÚ ÉúÌØ´ó ºé Ë® Ϊ ·¢ µÄ¸ÅÂÊ Îª 85 % , ¸Ã µØÇøÏÖ¼ºÎÞ ÌØ´ó ºé Ë®20 ÄêÁË, ÔÚ À´ 10 ÄêÄÚ Î´ ½«·¢ ÉúÌØ´ó ºé Ë® µÄ¸ÅÂÊ ¶à ÉÙ? ÊÇ ½â Áî A = { ¸Ã µØÇø´Óij ´Î ÌØ´ó ºé Ë® Éúºó 20 ÄêÄÚ ÌØ´ó ºé ·¢ ÎÞ Ë® , B = {¸Ã µØÇø´Óij ´Î ÌØ´ó ºé Ë® Éúºó 30 ÄêÄÚ ÌØ´ó ºé Ë® , Ôò } ·¢ ÎÞ } ËùÇóµÄ¸Å ÂÊΪ P( B | A) , ÓÉ ÓÚAB = B , ÇÒ P( A) = 0 .2 , P( AB) = P ( B) = 0 .15 , ÓÚ ÓÉ 1. 4. 1 ) ʽ ÊÇ ( ÓÐ P( B | A) = P( AB) 0 .15 = = 0 .75 P( A) 0 .2

P( B | A) = 1 - P( B | A) = 1 - 0 .75 = 0 .25 ¶þ ¡¢ ³Ë ·¨ ¹« ʽ ÓÉ ¼þ¸ÅÂÊ Ìõ µÄ¶¨ Òå, ÎÒÃÇ ¿ÉµÃÒ»¸ö ·Ç ³£ ÓÐ µÄ¹« ʽ Õâ¾ÍÊÇ Óà , ¸Å ÂÊµÄ³Ë ·¨ ¹« ʽ ¡£ Éè P( B) > 0, ÔòÓÐ ¡¤ 3 0 ¡¤

P( AB) = P( B) P( A| B) ͬÑù, µ± P( A) > 0 ʱ, ÓÐ P( AB) = P( A) P( B| A) ÉÏ Êö³Ë ·¨ ¹« ʽ ¿ÉÍƹã ÖÁ ÒâÓÐ ¸ö ʼþµÄÇéÐÎ: ÈÎ ÏÞ Éè P( A1 A2 ¡- An - 1 ) > 0 , ÔòÓÐ P( A1 A2 ¡- An )

(1. 4. 2) (1. 4. 3)

= P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 ) ¡- P( An | A1 A2 ¡- An - 1 ) (1. 4. 4) Àý 1.22 Éè ´üÖÐ ÓÐa Ö»°×Çò, b Ö»ºÚÇò¡£ ÈÎ ÒâÈ¡³ö Ò»Çòºó ·Å , ºó n2 = n - n1 »Ø, ²¢ ÔÙ ÈëÓëÈ¡³ö µÄÇòͬɫµÄÇò c Ö», ÔÙ ·Å È¡µÚ¶þ´Î , Èç´Ë ¼ÌÐø, ¹² È¡ÁË n ´Î ¡£ ÎÊ Ç° n1
ÊÇ ¶à ÉÙ ´Î È¡ ³ö ºÚ Çò ´Î È¡ °× Çò µÄ ¸Å ÂÊ

? b a+ b b+ c a + b+ c b + ( n1 - 1) c a + b + ( n1 - 1) c a = a + b + n1 c = a + ( n2 - 1) c a + b+ ( n - 1) c

½â Éè Ai = {µÚ i ´Î È¡µ½ºÚÇò} , i = 1 , 2 , ¡- , n Ôò P( A1 ) =

P( A2 | A1 ) = ¡- ¡-

P An 1 | A1 A2 ¡- An1 -

1

P An1 + 1 | A1 A2 ¡- An1 ¡- ¡-

P An | A1 A2 ¡- An 1 An1 + 1 ¡- An - 1 ÓÚ ËùÇóµÄ¸Å ÂÊΪ ÊÇ

=

1 2 P A A2¡- An1 An1+1¡- An = P( A1 ) P(A2 | A )¡- P An1+1 | A1 A ¡- An1 1
¡-

P An | A1 A2¡- An1 An1+1 ¡- An -1

¡¤ 31

¡¤

= ¡¤

b + ( n1 - 1) c b b+ c b +2c ¡¤ ¡¤ ¡a + b a + b + c a + b + 2 c a + b + ( n1 - 1) c a + ( n2 - 1) c a ¡a + b + n1 c a + b + ( n - 1 ) c ( ºÎ ʱ Ï ÊÖ Ç¿) Éä»÷Ë® ºÍ ʵÁ¦ Íê È«Ïà µÈµÄ¼× ÏÈ Îª ƽ ¡¢

Àý 1.23

ÒÒ ÅÚ Á½ ±øÕóµØ¶ÔÀÝ¡£ ¼Ù Èôÿһ·½ ¶¼ ÄÜ Öª ¶Ô·½ µÄλ ÖÃ, µÚÒ»·¢ ²» È· µÄÃüÖÐ ÂÊΪ ¦Á¡£ Ò»¾-·¢ ÉäÓÖ ÃüÖÐ ¾Í½«±© δ , ¶×Ô ¼ºµÄÄ¿±ê, Ôâµ½¶Ô ·½»¹ »÷, ÈÎ ºÎ Ò»·½¶¼ ûÃüÖÐ »¹ ¶Ô·½ ʱ, ½«ÂÖ ´ò Ï ȥ, ÃüÖÐ ·¬ Âʶ¼Îª ¦Â(¦Â> ¦Á) ¡£ ÊÔ , ÔÚ ÎÊ ÔõÑùµÄÌõ ¼þÏ ÏÈ Ï ÊÖ Ç¿ ? Ϊ ½â Éè Ai ÖÐ ¶Ô·½ , p1
ºÍ ºÍ

Bi

·Ö

±ð ±í ʾ ÏÈ Ê¾ ÏÈ ·¢

·¢

Õß Óë ºó ·¢

·¢

Õß ÔÚ µÚ

i ´Î Éä»÷ʱÃü , Ôò

p2

·Ö ±ð ±í

Õß Óë ºó

Õß È¡ ʤ µÄ ¸Å ÂÊ

p1 = P( A1 ) + P A1 B1 A2 + P A1 B1 A2 B2 A3 + ¡= P( A1 ) + P( A1 ) P( B1 | A1 ) P( A2 | A1 B1 ) + ¡= ¦Á + (1 - ¦Á) (1 - ¦Â)¦Â + (1 - ¦Á) (1 - ¦Â) = ¦Á + (1 - ¦Á) (1 - ¦Â)¦Â [ 1 - ( 1 - ¦Â) ] / = ¦Á + (1 - ¦Á) (1 - ¦Â)/ (2 - ¦Â) p2 = P A1 B1 + P A1 B1 A2 B2 + ¡= P A P B1 | A + P A1 P B1 | A P A | A B P B2 | A B A +¡1 1 1 2 1 1 1 1 2 = (1 - ¦Á)¦Â + (1 - ¦Á) (1 - ¦Â) = (1 - ¦Á)¦Â [1 - (1 - ¦Â) ] / = (1 - ¦Á)/ (2 - ¦Â) µ±¦Â < 2¦Á ʱ p1 > p2 , ´Ë ÄËÊÇ Ï ÊÖ Ç¿µÄÌõ ¼þ¡£ ÏÈ Îª Èý ¡¢ È« ¸Å Âʹ« ʽÓë ±´ Ҷ˹ ¹« ʽ È«¸Å Âʹ« ʽ ¸Å ÂÊÂÛ µÄÒ»¸ö »ù±¾ ʽ Ëü°Ñ¸´ ÔÓ ÊÇ ÖÐ ¹« ¡£ µÄ¸Å ÂÊ¼Æ ËãÎÊ Ìâ »¯ ·± ¾Í¼ò¡£ Ï Ãæ ÎÒÃÇ ½éÉÜ È«¸Å Âʹ« ʽ Ó뱴Ҷ˹ ¹« ʽ Ϊ ´Ë ¡£ ¡¤ 3 2 ¡¤
2 2 ¦Â 2 3 ¦Â

+ ¡-

+ ¡-

1.4.2 n , Âú×ã

Éè( ¦¸ , F , P) Ϊ ¸Å ÂÊ¿Õ¼ä, Èô Ai ¡Ê F , i = 1 , 2 , ¡- ,

(1) Ai Aj = ¦¼, i¡Ù j, i, j = 1 , 2 , ¡- , n n (2) i¡È Ai = ¦¸ =1 Ôò³Æ A1 , A2 , ¡- , An
Èô Ϊ ¦¸ Ϊ µÄ Ò» ¸ö ¦¸ »® ·Ö ¡£ »® ·Ö

A1 , A2 , ¡- , An

µÄ Ò» ¸ö ·¢

, ÄÇ ÔÚ Ã´ ÿ´Î ÊÔÑéÖÐ Öîʼþ
Ò» ÊÂ ¼þ

A1 A2 , ¡- , An

ÖÐ ÓÐ ÇÒ ½ö ÓÐ Ò» ¸ö

Éú ¡£ ¶Ô ÓÚ ÈÎ

B , ʼþ B ¿É

±»·Ö½âΪ n ¸ö »¥²» Ïà ÈݵÄʼþ, ¼´ÓÐ n n

B = B¦¸ = B i¡È Ai = i¡È BAi = 1 = 1
ÇÒ

BAi ¡É BAj = ¦¼ ¶¨ Àí 1.4.2

i¡Ù j,

i, j = 1 , 2 , ¡- , n
¦¸ µÄ Ò» ¸ö »® ·Ö

( È«¸Å Âʹ« ʽ Éè A1 , A2 , ¡- , An Ϊ ) n ,

ÇÒP( Ai ) > 0 , i = 1 , 2 , ¡- , n¡£ Ôò¶ÔÈΠһʼþ B¡ÊF , ÓÐ P( B) = ¡Æ P( Ai ) P( B | Ai ) i=1 (1. 4. 5)

(1. 4. 5) ʽ ³ÆΪ È«¸Å Âʹ« ʽ ¡£ Ö¤Ã÷ ÒòΪ n B = i¡È BAi =1
ÇÒ

BA1 , BA2 , ¡- , BAn

Á½ Á½ »¥ ³â

, ÓÉ ÂÊµÄ¼Ó ¹« ʽ ¸Å ·¨ ¼°³Ë ·¨ ¹« ʽ ¿É , n µÃ n P( B) = ¡Æ P( BAi ) = ¡Æ P( Ai ) P( B | Ai ) i=1 i=1

ÔÚ ¶à ÎÊ Ìâ ÖÐ P ( B ) ²» Ò× ºÜ ÇóµÃ, È´ ÈÝÒ× µ½ ¦¸ µÄÒ»¸ö »®·Ö ÕÒ A1 , A2 , ¡- , An , ÇÒ P ( Ai ) Óë P( B | Ai ) ( i = 1 , 2 , ¡- , n) ÈÝÒ× ÇóµÃ, ÄÇ Ã´ ÓÉ È«¸Å Âʹ« ʽ ±ã¿ÉÇó³ö P( B) ¡£ Áí Ò»¸ö ÖØ ÒªµÄ¹« ʽ Ï ÊöµÄ±´ ÊÇ ¡¤ 33 ¡¤

( Bayes) ¹« ʽ ¡£ ¶¨ Àí 1.4.3 Éè A1 , A2 , ¡- , An
Ϊ ¦¸ µÄ Ò» ¸ö »® ·Ö

, B Ϊ ÈÎ Ò»ÊÂ

¼þ, ÇÒ P( Ai ) > 0, i = 1 , 2 , ¡- , n , P( B) > 0 , Ôò P( Ai | B) = P( Ai ) P( B | Ai ) n i = 1 , 2 , ¡- , n

¡Æ P( Aj ) P( B | Aj ) j=1 (1. 4. 6) ³Æʽ 4. 6) Ϊ ±´Ò¶Ë¹ ¹« ʽ (1. ¡£ Ò× Çë¶ÁÕßÍê ³É ¡£ Ö¤, Èç¹û ÎÒÃÇ °Ñʼþ B ¿´ ³É ½á¹û ¡±°ÑÖîʼþ A1 , A2 , ¡- , An ¡° , µ¼ Ö Õâ Ò» ½á ¹û ½á ¹û µÄ ¿É ÄÜ µÄ ¡° Ô- Òò ¡±¡£ Ôò ¸Å ÂÊ ¿´ ³É

P( B | Ai ) Ϊ Ô-Òò Ai
·¢ Éú µÄ ¸Å ÂÊ

µ¼ ÖÂ

B ·¢ ÉúµÄ¸Å ÂÊ, ¶ø¸Å ÂÊ P( Ai ) Ϊ Ô-Òò Ai

( i = 1,2,

¡- , n) ¡£ ÕâÑùÎÒÃÇ¿ÉÐÎÏó µØ°ÑÈ« ¸Å Âʹ« ʽ ³É Ϊ¡° ÓÉÔ-ÒòÍÆ½á ¿´ ¹û ¡±¶ø±´Ò¶Ë¹ ¹« ʽ , ÔòÇ¡ºÃ Ïà ·´ , Æä ÓÃÔÚ ¡° Óɽá¹û ÍÆÔ-Òò¡± ÓÐ ×÷ ÓÚ ¡£ Á˽á¹û B¡± ÖØ ¼Æ ¡° , РËãµ¼Ö B ·¢ ÉúµÄ¸÷¸ö Ô-ÒòµÄ¿ÉÄÜ ¡£ ÐÔ Í¨ ¹ý ÒÔ Àý×Ó ÎÒÃÇ¿ÉÒÔ ³ö ÕâÁ½ ¹« ʽ ¼Æ Ï , ¿´ ¸ö ÔÚ Ëã¸Å ÂÊʱµÄ ×÷ ¡£ Óà Àý 1.24 ij¹¤³§ÓÉ ¡¢ ¡¢ ¼× ÒÒ ±ûÈý̨ »úÆ÷ ú É ²úͬһÐÍºÅµÄ ²úÆ· , ËüÃǵIJú Á¿¸÷ Õ¼30% , 35 % , 35 % , ·Ï Æ·ÂÊ·Ö ±ðΪ 5 % , 4 % , 3 % ¡£ ²ú Æ·»ì ÔÚ Ò»Æð (1 ) ´Ó¸Ã ³§ µÄ²ú Æ·ÖÐ È¡Ò»¼þ, ÇóËüÊÇ·Ï Æ·µÄ¸Å ¡£ ÈÎ ÂÊ¡£ (2) ÈôÈ¡³ö µÄ²ú Æ·ÊÇ Æ·, ÇóËüÊÇ ¼× ÒÒ ±ûÈý̨ »úÆ÷ ·Ï ÓÉ ¡¢ ¡¢ Éú²ú µÄ ¸Å Âʸ÷ÊÇ ¶àÉÙ? ½â Éè A1 , A2 , A3
±û »ú Æ÷ Éú ²ú µÄ ¡± ¡£ ·Ö ±ð ±í ʾ Ê ¼þ ¡° È¡ ³ö µÄ ²ú Æ· ·Ö ±ð ÓÉ ¼× ¡¢ ÒÒ ¡¢

B ±í ʾ ¡° È¡³ö µÄ²ú ƷΪ ·Ï Æ·¡± Ôò ʼþ ¡£

P( A1 ) = 30 % , P( A2 ) = 35 % , P( A3 ) = 35 % P( B | A1 ) = 5 % , P( B| A2 ) = 4 % , P( B | A3 ) = 3 % ÓÉ È«¸Å Âʹ« ʽ µÃ , P( B) = P( A1 ) P( B | A1 ) + P( A2 ) P( B | A2 ) + P( A3 ) P( B | A3 ) ¡¤ 3 4 ¡¤

= 30 % ¡Á 5 % + 35 % ¡Á 4 % + 35 % ¡Á 3 % = 3 .95 % ÓÉ ±´Ò¶Ë¹ ¹« ʽ µÃ , P( A1 | B) = P( A2 | B) = P( A3 | B) = Àý 1.25 30 % ¡Á 5 % 30 = ¡Ö 37 .98 % 3 .95 % 79 35 % ¡Á 4 % ¡Ö 35 .44 % 3 .95 % 35 % ¡Á 3 % ¡Ö 26 .58 % 3 .95 %

¶Ô ÍùµÄ ÒÔ Êý¾Ý ·ÖÎö ½áû±í Ã÷, µ±»ú Æ÷ ¹ µ÷ÕûÁ¼ ʱ, ºÃ

²ú Æ·µÄºÏ ¸ñ ÂÊΪ 90 % , ¶ø »ú Æ÷ µ÷ÕûÁ¼ ʱ, Æä ¸ñ ÂÊΪ 30 % ¡£ δ ºÃ ºÏ ÿÌì »úÆ÷ ¶¯ ʱ, »úÆ÷ ¿ª µ÷ÕûÁ¼ µÄ¸Å ÂÊΪ 75 % ¡£ ÊÔÇóÒÑ Ä³ ÈÕÉú ºÃ Öª ²ú µÄµÚÒ»¼þ²ú Æ·ÊÇ ¸ñ Æ·, »úÆ÷ ºÏ µ÷ÕûÁ¼ µÄ¸Å ÂÊÊÇ ºÃ ¶àÉÙ? ½â Éè A = { »úÆ÷ µ÷ÕûÁ¼ } , B = { Éú²ú µÄµÚÒ»¼þ²ú ƷΪ ºÏ ¸ñ ºÃ Æ·}¡£ ÒÑ Öª P( B | A) = 0 .9 P( B | A) = 0 .3 P( A) = 0 .75 ÒÀ ÒâËùÐèÇóµÄ¸ÅÂÊ P( A| B) , ÓÉ Ìâ Ϊ ±´Ò¶Ë¹ ¹« ʽ µÃ , P( A | B) = = P( A) P( B | A) P( A) P( B | A) + P( A) P( B | A) 0 .75 ¡Á 0 .9 = 0 .9 0 .75 ¡Á 0 .9 + 0 .25 ¡Á 0 .3

Õâ¾Í˵Ã÷, µ±Éú²ú µÄ²ú ƷΪ ºÏ ¸ñ Ʒʱ, ´Ë ʱ »úÆ÷ µ÷ÕûÁ¼ µÄ¸Å ÂÊΪ ºÃ 0 .9 ¡£ ÕâÀï , ¸Å ÂÊ 0 .75 ÊÇ ÓÉÒÔ µÄÊý¾Ý Îö µÃµ½µÄ, ½Ð Íù ·Ö ×öÏÈ Ñé¸Å ÂÊ¡£ ¶øµÃÐÅ ºó Ô٠РÒÔ ÕýµÄ¸Å ÂʽРϢ ÖØ ¼Ó ÐÞ ×öºó Ñé¸Å ÂÊ¡£ ÓÐ Á˺ó Ñé ¸Å ÂÊÎÒÃÇ ¾ÍÄÜ ¶Ô»úÆ÷ µÄÇé¿öÓÐ ½øÒ»²½µÄÁ˽⡣ Àý 1.26 ¾Ý ÷²éijµØ ¾Ó µÄ °©·¢ ²¡ ÂÊ Íò·ÖÖ® , ÏÖÓà µ Çø Ãñ ¸Î Ϊ ËÄ ¼× µ° °×·¨ ¼ì²é ¸Î °©¡£ Èô³Ê ÑôÐÔ ±í Ã÷ Ì¥ , »¼¸Î °©, Èô³Ê ÒõÐÔ ±í Ã÷²» , »¼¸Î °©¡£ ÓÉ ¼¼ ÓÚ ÊõºÍ ²Ù×÷ Íê ÉÆ ¼°ÖÖ Ô-Òò, ÊÇ °©»¼Õßδ ±Ø ²» ÒÔ ÖÖ ¸Î ¼ì³ö ÑôÐÔ ²» ÊÇ , »¼ÕßÒ²ÓÐ ¿ÉÄÜ ¼ì³ö ³Ê ÑôÐÔ Ó¦¡£ ¼Ç B = {¸Ã µØÇø¾Ó ·´ Ãñ»¼¸Î °©} , A = {¼ì Ñé³Ê ÑôÐÔ ¸ù ¾Ýͳ ¼Æ ÁÏ , ÉÏ ÊöÁ½ ´í Îó µÄ }¡£ ×Ê ÖÖ ¡¤ 35 ¡¤

P( A| B) = 0 .01 , P( A| B) = 0 .05 ÏÖijÈËÒÑ ¼ì³ö ³Ê ÑôÐÔ ÎÊ Ëû»¼¸Î °©µÄ¸Å ÂÊ P( B | A) ÊÇ , ¶àÉÙ? ½â ÒÑ P( B) = 0 .000 4 , P ( B ) = 0 .999 6 , P( A | B ) = 1 Öª 0 .01 = 0 .99 , P( A| B) = 0 .05, ÓÉ ±´Ò¶Ë¹ ¹« ʽ P( B | A) = = P( B) P( A | B) P( B) P( A | B) + P( B) P( A | B) 0 .000 4 ¡Á 0 .99 0 .000 4 ¡Á 0 .99 + 0 .999 6 ¡Á 0 .05

= 0 .007 86 Õâ±í Ã÷, ÔÚ ²é ³ö ³Ê ÑôÐÔ ¼ì µÄÈËÖÐ Õæ , Õý»¼¸Î °©µÄÈ˲» µ½1 % ¡£ Õâ¸ö ½á¹û ¿ÉÄÜ »áÈÃÈË´ó ³ÔÒ»¾ª¡£ µ«×Ð ·ÖÎö һϠ¾Í¿ÉÒÔ ½âÁË¡£ ϸ Àí ÒòΪ ¸Î °©·¢ ²¡ ÂÊºÜµÍ , ÔÚ10 000 ÈËÖÐ Ö»ÓÐ4 ÈË×óÓÒ ¶øÔ¼ , , ÓÐ9 996 È˲» »¼´Ë ²¡ ¡£ Èç¶Ô10 000 È˽øÐÐ ¼ìÑé, °´ Æä ¼ìµÄ¸Å ÂÊÖª , 4 λ »¼ ´í Õ߶¼¼ì³ö ³Ê ÑôÐÔ ¶ø 9 996 λ ²» »¼´Ë ²¡ µÄÈËÖÐ ÓÐ9 996 ¡Á0 .05 ¡Ö , Ô¼ 500 ¸ö È˼ì³ö ³Ê ÑôÐÔ ÕâÑùÔÚ ¹² 504 ¸ö ³Ê ÑôÐÔ ¡£ ×Ü ÕßÖÐ Æä , Õý»¼¸Î °© µÄÖ»ÓÐ4 ÈËÕ¼ ÑôÐÔ ×Ü Õß²» µ½1 % ¡£ ¶ø´ó ²¿ ÈË( Ô¼ 500 ÈË) Êô Ð鱨¡± ¡° ¡£ ÔÚ Êµ¼Ê , Ò½ ÖÐ Éú³£ Óà һЩ ¼òµ¥Ò× µÄ¸¨ Öú·½·¨ ÏÈ ½øÐÐ ²é , È绳 ÒÉ ÐÐ ³õ »¼¸Î °©²Å ½¨ÒéÓà ̥ µ° °×·¨ È¥¼ì²é ¡£ Õâʱ ±»»³ ÒÉ ¼× ÔÚ µÄ¶ÔÏó ÖÐ °© ¸Î µÄ·¢ ²¡ ÂÊÒÑ ´ó Ìá ¸ß ÁË¡£ ±È ´ó Èç˵ P ( B) = 0 .4, ÕâʱÔÙ ÓÃBayes ¹« ʽ ½øÐÐ Ëã , ¿ÉµÃ ¼Æ P( B | A) = 0 .99¡Á0 .4 = 0 .929 6 0 .99¡Á0 .4 + 0 .05¡Á0 .6

ÕâÑù´ó ´ó Ìá ¸ß ÁË Ì¥ µ° °× ·¨ µÄ×¼ ÂÊ ¡£ ¿É¼û, ÔË ¸ÅÂÊ˼ ˼ ¼× È· ÁË Óà ά ¿¼ÎÊ Ìâ ÊÇ Ã´ÖØ ¶à Òª¡£ ¡ì

1. 5

¶ÀÁ¢ÐÔ µ½Ê¼þ A ·¢ Éú

µ± ÃǼ ijһ  B ·¢ ÉúµÄÐÅÏ¢ ¿ÉÄÜÓ°Ïì ÎÒ ¿ ÂÇ Ê ¼þ
¡¤ 3 6 ¡¤

, ÎÒÃÇÒýÈëÁ˸ŠÂÊÌõ ¼þ P ( A | B ) ¡£ Èç P ( A | B) ¡Ù P ( A) , Ôò±í Ã÷ ÕâÁ½ ʼþÖ® ¼ä´æ ÔÚ Ò»Ð© ϵ ¡£ Èô P ( A | B ) = P ( A) Áª ( Õâʱ Ò»¶¨ Ò²ÓÐ P( A| B) = P ( A) ) , Ôò±í Ã÷ B µÄ·¢ ÉúÓë·ñ ¶ÔA ·¢ ÉúµÄ¿ÉÄÜ ºÁ ÎÞ Ó°Ïì ¡£ Õâʱ ¸Å ÂÊÂÛ ¾Í³Æ A¡¢B Á½ ÐÔ ÔÚ ÉÏ Ê¼þ¶ÀÁ¢, Õâ ʱ Ìõ ¼þ¸Å ÂʵĶ¨ ÒåÁ¢¼´¿ÉµÃ ÓÉ P( AB) = P( A) P( B) ²» ÊÜ P( B) ÊÇ Îª 0 µÄÖÆ ¡£ Òò´Ë ÎÒÃÇ ÏÂÃæ Òå¡£ ·ñ Ô¼ ÓÐ ¶¨ ¶¨ Òå1.5.1 A, B Âú×ã P( AB) = P( A) P( B) Ôò³Æʼþ A Óë B Ïà »¥¶ÀÁ¢¡£ ÓÉ ¶¨ Òå¼´¿ÉÍƳö Ï ÁÐ ´Ë ½áÂÛ ¡£ ¶¨ Àí 1.5.1 ( B | A) = P( B) ¡£ ¶¨ Àí 1.5.2 ÏÂÁÐ ¶Ô ¼þA Óë B , A Óë B, A Óë B , A Óë B, Èô ËÄ Ê ÓÐ Ò»¶ÔʼþÏà »¥¶ÀÁ¢, ÔòÆä ÓàÈý¶ÔʼþÒàÏà »¥¶ÀÁ¢¡£ Ö¤Ã÷ Éè A Óë B Ïà »¥¶ÀÁ¢, Ï ֤ A Óë B Ïà »¥¶ÀÁ¢¡£ ÓÉ ÓÚ P( AB) = P( B) - P( AB) = P( B) - P( A) P( B) = P( B) ( 1 - P( A) ) = P( B) P( A) ´Ó¶ø¿ÉÖª A Óë B Ïà »¥¶ÀÁ¢¡£ Æä Óà½áÂÛ ¿ÉÀàËÆ µØÖ¤µÃ¡£ ÔÚ Êµ¼Ê Ó¦Óà , Ö»ÓÐ ¸ö ʼþµÄ¶ÀÁ¢ÐÔ ²» ¹» µÄ, »¹ ÐëÓà ÖÐ Á½ ÊÇ µ½¶à ¸ö ʼþµÄ¶ÀÁ¢ÐÔ ¡£ ¶¨ Òå1.5.2 ¶Ôn ¸ö ʼþA1 , A2 , ¡- , An , Èç¹û ¶ÔÓÚ Òâ k (1 < ÈÎ (1. 5. 3) ¡¤ 37 ¡¤ k¡Ü n) , ÈÎ Òâ1¡Ü i1 < i2 < ¡- < ik ¡Ü n , ¾ßÓÐ µÈʽ P( Ai1 Ai2 ¡- Aik ) = P( Ai1 ) P( Ai2 ) ¡- P( Ai k ) Éè P( B) > 0 , Ôò A Óë B ¶ÀÁ¢µÄ³ä ÒªÌõ ¼þÊÇP( A| B) = P( A) ¡£ ͬÀí , Èô P ( A) > 0 , Ôò A Óë B ¶ÀÁ¢µÄ³ä Òª Ìõ ¼þÊÇ P (1. 5. 2) Éè( ¦¸ , F , P) Ϊ Ò»¸Å ÂÊ¿Õ¼ä, A, B Ϊ Á½ ʼþ, Èô (1. 5. 1) ÄÃ´Ë Ê½ ¿Ì »®¶ÀÁ¢ÐÔ Óà P ( A) = P( A | B ) ¸ü ºÃ , ÒòΪ (1. 5. 1 ) ʽ À´ ±È

A1 , A2 , ¡- An
×¢ Òâ

ÊÇ Ïà

»¥ ¶À Á¢ µÄ ¡£

(1. 5. 3) ʽ °ü º¬µÄµÈʽ ÊýΪ : C2n + C3n + ¡- + Cn = 2 n ÖÐ ×Ü n

- n - 1 , ±È ÈçÈôÈýʼþ A, B, C Ïà »¥ ¶ÀÁ¢, Ôò A, B, C Âú×ãÏ ÃæËÄ ¸ö µÈʽ P( AB) = P( A) P( B) P( AC) = P( A) P( C) P( BC) = P( B) P( C) P( ABC) = P( A) P( B) P( C) (1. 5. 5) Èô A, B , C , Âú×ã(1. 5. 4) ʽ µÄÈý¸ö µÈʽ Ôò³Æ A, B, C Á½ ¶ÀÁ¢, ÖÐ , Á½ ÓÉ 1 ¿ÉÒÔ ³ö A , B , C Á½ ¶ÀÁ¢²» ÄÜÍƳö A , B , C Ïà »¥¶ÀÁ¢¡£ Àý ¿´ Á½ Ò»°ã µØÈô n ¸ö ʼþA1 , A2 , ¡- , An
¶À Á¢ Ïà »¥ ¶À Á¢

(1. 5. 4)

, Ôò A1 , A2 , ¡- , An

Á½ Á½

, ·´ Ö® È»¡£ ²» Àý 1.27 ¼Ù è É ÎÒÃÇ Á½ ÷»×Ó ²¢ ¶¨ Òåʼþ A = { µÚÒ»´Î ÖÀ ÖÀ ´Î , µÃ

ż Êýµã} , B = { µÚ¶þ´Î ÖÀ µÃÆæ Êýµã } , C = { Á½ ¶¼ ´Î ÖÀµÃÆæ Êýµã»ò ż Êýµã} , Ö¤Ã÷ A, B, C Á½ ¶ÀÁ¢, µ« A, B , C ²» Ïà »¥¶ÀÁ¢¡£ Á½ Ö¤Ã÷ ÈÝÒ× Ëã³ö P( A) = P( B) = P( C) = P( AC) = ´Ó¶ø ÓÐ µÈʽ P( AB) = P( A) P( B) , P( BC) = P( B) P( C) P( AC) = P( A) P( C) ËùÒÔA, B, C Á½ ¶ÀÁ¢¡£ µ«ÊÇ Á½ P( ABC) ¡Ù P( A) P( B) P( C) Òò´Ë A, B, C ²» ÊÇ »¥¶ÀÁ¢µÄ¡£ Ïà ÔÚ Êµ¼Ê Ìâ ÖÐ ³£ ³£ ²» ÊÇ ¾Ý ÒåÀ´ ÅРʼþ¼äµÄ¶ÀÁ¢ÐÔ ¶ø ÎÊ , ¸ù ¶¨ ¶Ï , ÊÇ ´Óʵ¼Ê ¾°ÖÐ ±³ ÅÐ¶Ï ¶ÀÁ¢ÐÔ Èçʼþ¼äûÓÐ ÒÀÐÔ Ïà ÒÀÐÔ ¡£ Ïà »ò ºÜ С, ÔÚ ²î ÈÝÐíµÄ·¶ Χ ÄÚ Îó ¿Éºö ÂÔ ¼ÆËüÃÇ ²» , ¿ÉÊÓ ¶ÀÁ¢µÄ¡£ ÕâÑùÊ Ϊ ¡¤ 3 8 ¡¤ 1 , P( ABC) = 0 4 1 1 1 , P( AB) = , P( BC) = 2 4 4

1.28

¼×¢ Á½ ÊÖ Á¢ Éä»÷ ͬһĿ ËûÃÇ»÷ÖÐ ¡ ÒÒ Éä ¶À µØ ±ê, Ä¿±ê

µÄ¸Å ÂÊ·Ö±ðΪ 0 .9 Óë0 .8 , ÇóÔÚ Ò»´Î Éä»÷ÖРÿÈ˸÷Éä»÷Ò»´Î ) Ä¿±ê ( ±»»÷ÖÐ µÄ¸Å ÂÊ¡£ ½â Éè A = { ¼× ÉäÖÐ Ä¿±ê} , B = { ÒÒ ÉäÖÐ Ä¿±ê} , C = { Ä¿±ê±»»÷ ÖÐ , Ôò C = A¡È B, ÓÉ } ¶ÀÁ¢ÐÔ ÓÐ P( C) = P(A ¡È B) = P( A) + P( B) - P(AB) = P(A) + P( B) - P( A) P( B) = 0 9 + 0 8 - 0 . ¡Á0 . = 0 98 . . 9 8 . »ò P( C) = 1 - P( C) = 1 - P( A B) = 1 - P( A) P( B) = 1 - ( 1 - 0 .9) ¡Á (1 - 0 .8) = 0 .98 Àý1.29 ÔÚ Ò»¸öϵͳ ÖÐ ²¿¼þ Õý ÄÜ È·¹¤×÷µÄ ¸ÅÂÊ Îª ²¿¼þ ³Æ µÄ ¿É ¶È ÓÉ ¿¿ , Ðí¶à²¿ ¼þ×é³É ϵ ͳ , ËüÄÜ Õý³£ ¹¤ ×÷ µÄ¸Å ÂʳÆΪ ϵ ͳ µÄ¿É ¿¿¶È, ÏÖÔÚ4 ¸ö ²¿ ¼þ×é³É Èçͼ 1. 3 Ëùʾ µÄϵ ͳ , Éè¸÷¸ö ²¿ ¼þµÄ¿É¿¿ ¶È¾ùΪ r( 0 < r < 1) , ÇÒ ËüÃÇ µÄ¹¤ ×÷ »¥²» Ó°Ïì , Çó¸Ã ϵ ͳ µÄ¿É¿¿¶È¡£ ¬ ´@ 8 @
1

¬ ´@ 8

¬ ´@ 8 @

2

¬ ´@ 8

3

4

ͼ

1. 3

½â

Éè Ai = {µÚ i ¸ö ²¿ ¼þÕý³£ ¹¤ ×÷} , i = 1 , 2 , 3 , 4 , B = {ϵ ͳ

Õý³£ ¹¤ ×÷ , Ôò } B = A1 A2 ¡È A3 A4
ÓÉ ÓÚ

A1 , A2 , A3 , A4
¡È

Ïà

»¥ ¶À Á¢

, ÇÒ P( Ai ) = r( i = 1 , 2 , 3 , 4) , ËùÒÔ

P( B) = P( A1 A2

A3 A4 ) = P( A1 A2 ) + P( A3 A4 ) - P( A1 A2 A3 A4 ) ¡¤ 39 ¡¤

= P( A1 ) P( A2 ) + P( A3 ) P( A4 ) - P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P( A4 ) = 2r - r
¼´ ϵ ͳ Àý 2 4 2 4 ¡£

µÄ ¿É ¿¿ ¶È Ϊ

2r - r

1.30

Éè Ò»µÐ ÓÐ »úÀ´·¸ ÎÒÁì¿Õ ¡£ÏÖÓÐ ÈýÊͬ ʱÏò µÐ ÅÚ »ú

Éä »÷Ò»µ¯, ¸÷ÃÅÅÚ ÉäÖÐ µÐ»úµÄ¸Å ÂÊ·Ö±ðΪ 0 .5 , 0 .6 , 0 .8 ¡£ ÈôµÐ»úÖÐ Ò» Ôò±»»÷ÂäµÄ¸ÅÂÊ 0 .5 , ÖÐ µ¯ Ôò±»»÷ÂäµÄ¸Å ÂÊΪ 0 .8 , ÖÐ µ¯ Ϊ ¶þ Èý µ¯ ÔòÒ»¶¨ ±»»÷Âä, ÇóµÐ»ú±»»÷ÂäµÄ¸Å ÂÊ¡£ ½â Éè Ai = {µÚ i ÃÅÅÚ »÷ÖÐ µÐ»ú} , i = 1 , 2 , 3¡£ B i = { µÐ»ú ÖÐi µ¯ } , i = 0 , 1 , 2 , 3¡£ C = {µÐ»ú±»»÷Âä}¡£ ÒÀ ÒâÒÑ Ìâ Öª P( A1 ) = 0 .5 , P( A2 ) = 0 .6 , P( A3 ) = 0 .8 P( C B0 ) = 0 , P( C B1 ) = 0 .5 , P( C/ B2 ) = 0 . , P( C B3 ) = 1 / / 8 / ÓÉ A1 , A2 , A3 µÄ Ïà »¥ ¶À Á¢ ÐÔ ¡È

, ¿ÉËãµÃ
¡È

P( B1 ) = P( A1 A2 A3

A1 A2 A3

A1 A2 A3 )

= P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) = P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) + P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) + P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) = 0 .5 ¡Á 0 .4 ¡Á 0 .2 + 0 .5 ¡Á 0 .6 ¡Á 0 .2 + 0 .5 ¡Á0 .4 ¡Á 0 .8 = 0 .26 P( B2 ) = P( A1 A2 A3
¡È

A1 A2 A3

¡È

A1 A2 A3 )

= P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) = P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) + P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) + P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) = 0 .5 ¡Á 0 .6 ¡Á 0 .2 + 0 .5 ¡Á 0 .4 ¡Á 0 .8 + 0 .5 ¡Á0 .6 ¡Á 0 .8 = 0 .46 P( B3 ) = P( A1 A2 A3 ) = P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) = 0 .5 ¡Á0 .6¡Á0 .8 = 0 .24 ÓÉ È«¸ÅÂÊ Ê½ ¹« ¿ÉµÃ P( C) = P( B0 ) P( C B0 ) + P( B1 ) P( C B1 ) + P( B2 ) P( C B2 ) + P( B3 ) P( C B3 ) / / / / = 0 + 0 .26 ¡Á 0 .5 + 0 .46 ¡Á 0 .8 + 0 .24 ¡Á1 = 0 .738 ¡¤ 4 0 ¡¤

1. 6

±´ Ŭ ÀïÊÔ ÑéÄ£ÐÍ
Ó¦ Óà ·½Ãæ ¶¼Æð ×Å

±´Å¬ ï(Bernoulli ) ÊÔÑéÄ£ÐÍÔÚ ÂÛ ºÍ À ¸ÅÂÊ ÀíÂÛ

Ê® ·ÖÖØ ÒªµÄ×÷Óà ÎÒÃÇ ¡ì 1. 1 µÄÒ»¿ª ʼ ¡£ ÔÚ ¾ÍÌá µ½¹ý , Ëæ»úÏÖÏó µÄ ͳ ¼Æ ÂÉ Ö»ÓÐ Ïà ͬ Ìõ ¼þϽøÐÐ Á¿µÄÖØ ÊÔ ¹æ ÐÔ ÔÚ ´ó ¸´ Ñé»ò¹Û²ì ²ÅÄÜ ³Ê ÏÖ³ö À´¡£ ¿¼ÂÇ Ò»¸ö ¼òµ¥µÄËæ ÊÔ ËüÖ»ÄÜ ÏÖ»òÖ»¿¼ÂÇ ÖÖ »ú Ñé, ³ö Á½ ½á¹û A ºÍ A , Èç²ú Æ·³é ²é µÄºÏ ¸ñ Æ·ºÍ ²» ºÏ ¸ñ Æ·, ´ò °ÐµÄÃüÖÐ ÓëÍÑ°Ð, ÊÔÑé µÄ³É ¹¦ Óëʧ°Ü, ÖÀ ÷»×Ó Ñé³ö ÏÖż ÊÔ ÊýµãºÍ Ææ ÊýµãµÈ, ÎÒÃÇ ³ÆÕâÑùµÄ ÊÔ ÑéΪ ±´Å¬ ÊÔ Àï Ñé»ò±´Å¬ ¸Å ÐÍ¡£ Àï Éè E Ϊ Ò»±´Å¬ ÊÔ ½« E ÔÚ Í¬Ìõ ¼þÏ ¶ÀÁ¢µØÖØ ½øÐÐn Àï Ñé, Ïà ¸´ ´Î , ÿ´Î ÊÔ ÑéÖÐ ½á¹û A ³ö ÏֵĸŠÂʱ£³Ö ²» ±ä, ¾ùΪ p( 0 < p < 1 ) ¡£ ÎÒÃÇ °ÑÕâ n ´Î ¶ÀÁ¢ÖØ ÊÔ ¸´ Ñé×Ü À´ ¿´ ³É Ò»¸ö ÊÔÑé, ³ÆÕâÖÖ ÑéΪ Æð ÊÔ n ÖØ ±´Å¬ ÊÔ Àï Ñé¡£ ×Ü , n ÖØ Ö® ±´Å¬ ÊÔ Àï ÑéÓÐ Ãæ Ï Ëĸö Ô¼ : ¶¨ (1) ÿ´Î ÊÔ ÑéµÄ½á¹û Ö»ÊÇ ¸ö ¿ÉÄÜ Á½ µÄ½á¹û A Óë A Ö® Ò»¡£ (2) ½á¹û A ÔÚ Ã¿´Î ÊÔ ÑéÖÐ ÏֵĸŠÂʾùΪ p¡£ ³ö (3) ¸÷´Î ÊÔ ÑéÏà »¥¶ÀÁ¢¡£ (4) ¹² ½øÐÐn ´Î ¡£ ¶¨ Àí 1.6.1 ÏÖ k ´Î µÄ¸Å ÂÊΪ Pn ( k) = Cn p q k k n- k

¶Ô ÓÚn ÖØ ±´Å¬Àï ÊÔÑé, ʼþ A ÔÚn ´Î ÊÔÑéÖÐ ³ö k = 0 , 1 , ¡- , n , q = 1 - p (1. 6. 1)

Ö¤Ã÷ ÓÉ n ÖØ ±´Å¬ ÊÔ Àï ÑéÖª , A ÔÚ Ö¸¶¨ µÄ k ´Î ÊÔ ÑéÖÐ ÏÖ , ¶ø ³ö ÔÚ Óà n - k ´Î ÊÔ Æä ÑéÖÐ ³ö ÏֵĸŠÂÊΪ ²» p (1 - p)
ÓÖ ÓÉ ÓÚ ½á ¹û k n- k

= pq

k

n- k

A µÄ·¢ Éú¿ÉÒÔ ¸÷ÖÖ ÓÐ ÅÅÁÐ˳ Ðò, ÓÉ ÅÅÁÐ×éºÏ Àí ÂÛ Ëü Öª ¡¤ 41 ¡¤

Cn

k

ÖÖ

, ¶øÕâ Cn

k

ÖÖ ÅÅ ÁÐ Ëù ¶Ô Ó¦ µÄ

Cn

k

¸ö

Ê ¼þ ÊÇ »¥

²»

Ïà

ÈÝ µÄ

, °´

¸Å ÂÊµÄ¼Ó ¹« ʽ ·¨ µÃµ½ Pn ( k ) = Cn p q
ÓÉ ÓÚ k Cn pk qn k Ç¡ ºÃ ÊÇ k k n- k

( p + q) n

µÄ Õ¹ ¿ª

ʽ ÖÐ µÄ µÚ

k + 1 Ïî , ËùÒÔ ³Æ

(1. 6. 1) ʽ ¶þÏî ¸Å Âʹ« ʽ Ϊ ¡£ Àý 1.31 Ò»³µ¼ä Ð Ó Îą̊ ͬ Àà Ð굀 ¶À ¹¤×÷µÄ ÇÒ Á¢ »úÆ÷¼Ù , ÉèÔÚ ÈΠһʱ t, ÿ̨ »úÆ÷ ¹Ê ÕϵĸŠÂÊΪ 0 .1 , ÎÊ ÔÚ ¿Ì ³ö ͬһʱ ¿Ì (1) Ç¡ÓР̨ »úÆ÷ ¹Ê ÕϵĸŠÂÊÊÇ Á½ ³ö ¶àÉÙ? (2) ÖÁ ÓÐ ÉÙ Èý̨ »úÆ÷ ¹Ê ÕϵĸŠÂÊÊÇ ³ö ¶àÉÙ? (3) ÖÁ ¶àÓÐ Èý̨ »úÆ÷ ¹Ê ÕϵĸŠÂÊÊÇ ³ö ¶àÉÙ? (4) ÖÁ ÓÐ É٠һ̨ »úÆ÷ ¹Ê ÕϵĸŠÂÊÊÇ ³ö ¶àÉÙ? ½â ÔÚ Í¬Ò»Ê± ¹Û²ì Îå ̨ »úÆ÷ ËüÃÇ ¿Ì , µÄ¹¤ ×÷ ÊÇ·ñ ³ö ¹Ê ÕÏÊÇÏà »¥¶ÀÁ¢µÄ, ¹Ê ¿ÉÊÓ 5 ÖØ Å¬ Ϊ ±´ ÀïÊÔ p = 0 , 1 , q = 1 - 0 .1 = 0. 9 , ÓÚ Ñé, ÊÇ ¿ÉµÃ (1) P1 = P5 (2) = C5 0 .1
5

2

2 ¡Á

0 .9 = 0 .072 9

3

(2) P2 = P5 ( 3) + P5 (4) + P5 (5) = ¡Æ C5 (0 .1 ) (0 .9 ) k=3 k

k

5- k

= 0 .008 56

(3) P3 = P5 (0 ) + P5 ( 1) + P5 (2) + P5 (3)
3

= ¡Æ C5 (0. 1 ) (0. 9) k= 0 Àý1.32

k

k

5- k

= 0 .999 54

(4) P4 = 1 - P5 (0) = 1 - (0. 9) = 0 .409 51 ÉèijÖÖ ×Ö Êä Êý ´« É豸 ÒÔ Ãë512¡Á103 ÿ
3 ¸ö ¸ö

5

0 »ò 1 µÄ

ÐòÁÐ ËÍ Ïû Ï¢ ( ¼´Ã¿Ãë´« ËÍ 512 ¡Á10 ´«

0 »ò 1 ) ¡£ ÓÉÓÚ ´æÔÚ ÈÅ, ¸É
- 7

´« ËÍ ¹ý ³Ì ÖÐ »á²ú Éú½«0 Îó Ϊ 1 »ò ½«1 Îó Ϊ 0 µÄ´í Îó , ÕâÁ½ ´í Îó ÖÖ ³ÆΪ¡° Îó Â롱 ¼Ù ¡£ ÉèÎó ÂëµÄ¸Å ÂÊ( Îó ÂëÂÊ) Ϊ 10 1 ¸ö Îó ÂëµÄ¸ÅÂÊ ¶à ÉÙ? ÊÇ ½â ÕâÎÊ Ìâ ¿ÉÊÓ n = 512 ¡Á10 Ϊ ¡¤ 4 2 ¡¤
3 ¡Á

, ÇóÔÚ10 ÃëÄÚ ÏÖ ³ö

10 µÄ n ÖØ Å¬ ÊÔÑé, Òò ±´ Àï

Pn (1) = C

1 4 5 12¡Á1 0

10

-7

(1 - 10

-7

)

51 2¡Á10 - 1

4

Òª Ö± ½Ó ¼Æ Ëã ÉÏ Êö ¸Å ÂÊ ÊÇ À§ ÄÑ µÄ k

, ÎÒÃÇ Ï Ãæ Óà ½üËÆ Ê½ ¹« ¦Ë = np (1. 6. 2)

Pn ( k ) ¡Ö À´ ¼Æ P n (1) ¡£ ´Ë ʱ Ëã

¦Ë - ¦Ë e , k!
3 ¡Á

¦Ë= 512¡Á10 ¹Ê ËùÇó¸ÅÂÊ Îª ¦Ë Pn (1) ¡Ö e 1!

10¡Á10

- 7

= 0 .512

¦Ë

= 0 .512¡Áe

- 0 .5 12 ¡Ö

0 .3

(1. 6. 2) ʽ µÄÖ¤Ã÷ ½«ÔÚ ÏÂÒ»Õ ³ö ¡£ ¸ø Ï° Ìâ

1. д³ö ÏÂÁÐ »úÊÔ Ëæ ÑéµÄÑù±¾ ¿Õ¼ä: (1) ͬ ʱÖÀ Èý¿Å÷»×Ó, ¼Ç Èý¿Å÷»×Ó Â¼ µÄµã ÊýÖ® ¡£ ºÍ (2) Ò»¸ö С×éÓÐA, B, C , D, E Îå ÈË, ´ÓÖРҪѡ³ö Õý¸± ×鳤 ¸÷ Ò» ÈË( Ò»È˲» ÄÜ ¶þ Ö°) , ¹Û²ì Ñ¡Ôñ½á¹û ¡£ ¼æ (3) 10 ¼þ²ú Æ·ÖÐ ÓÐ3 ¼þ´Î Æ·, ÿ´Î ´ÓÖÐ Ò»¼þ, È¡ ºó ²» ·Å»Ø, È¡ Ö± µ½3 Ö»´Î Æ·È«È¡ ³ö ¡£ ¼Ç ³é È¡ µÄ´Î Êý¡£ ¼ (4) 10 ¼þ²ú Æ·ÖÐ ÓÐ3 ¼þ´Î Æ·, ÿ´Î ´ÓÖÐ Ò»¼þ, È¡ ºó ·Å »Ø, Ö± È¡ ÖÁ µ½Ò»¼þ´Î ƷΪ Ö¹ , ¼Ç ³é È¡ ´Î Êý¡£ È¡ ¼ (5) ÔÚ µ¥Î» Ô² x + y
2 2 ¡Ü

1 ÄÚ È¡ Ò»µã , ¼Ç ËüµÄ×ø±ê¡£ ÈΠ¼

(6) Èý¸ö ²» ͬ µÄÇò·ÅÈë¶þ ¸ö ºÐ×ÓÖÐ ºÐ×ÓÈÝÁ¿²» ÏÞ ) , ¹Û ²ì ·Å ( ÇòÇé¿ö ¡£ Èç¹Û²ì µÚÒ»¸ö ºÐ×Ó µÄÇòÊýÄØ? Èç¹Û²ì µÚÒ»¸ö Çò·ÅÖà ÖÐ Çé ¿ö ÄØ? 2. ¿¼²ì a , b , c , d ËÄ ¼þÎï Æ·, ¼Ù ÉèËùµÇ¼Ç µÄÕâЩ Æ·µÄ´Î Ðò´ú Îï ±í Ò»¸ö ÊÔ Ñé½á¹û , Ê A, B ¶¨ ÒåΪ A = { a ÔÚ ¼þ µÚһλ ÖÃ} , B = { b ÔÚ µÚ¶þλ Öà }¡£ ¡¤ 43 ¡¤

(1) д³ö ´Ë ÊÔ ÑéµÄÑù±¾ ¿Õ¼ä¡£ (2) Óà Ñù±¾ µã×é³É µÄ¼¯ºÏ ±í ʾ AB ºÍ A¡È B¡£ 3. ÔÚ Ëã»úϵ µÄѧÉúÖÐ ÈÎ Ñ¡Ò»ÃûѧÉú, ʼþ A = {±»Ñ¡µÄѧ ¼Æ , ÉúÊÇ Éú} , B = { ±»Ñ¡µÄѧÉúÊÇ ÄÐ ÈýÄ꼶ѧÉú} , C = { ±»Ñ¡µÄѧÉúÊÇ ¿Æ ¶ÓµÄ}¡£ ÆÕ (1) ÐðÊöʼþ ABC µÄº¬Òå¡£ «… (2) ÔÚ Ã´ Ìõ ¼þÏ AB = C ³É Á¢¡£ ʲ (3) ÔÚ Ã´ ʱ ¹Øϵ ʽCÌ B ÊÇ Ê² ºò ÕýÈ· µÄ¡£ (4) ÔÚ Ã´ ʱ A = B ³É Á¢¡£ ʲ ºò 4. ÏÂÁÐ Öî¹Øϵ ÖРЩ Á¢, ÄÄЩ ³É Á¢ ? ÄÄ ³É ²» (1) ( A¡È B) ¡É ( A¡È C) = A¡È ( B¡É C) ; (2) A¡È B = ( AB ) ¡È B; «… (3) A¡É B = A¡È B; (4) A¡È B¡É C = A B C; (5) ( AB) ¡É ( BC) = ¦¼; (6) Èô AÌ B , Ôò A = AB , (7) Èô AÌ B , Ôò AÌ B, 5. һλ ¹¤ ÈËÉú²ú ËÄ Áã¼þ, ÒÔ ¸ö ʼþ Ai ¼þÊÇ ¸ñ µÄ, i = 1 , 2 , 3 , 4 , Óà Ai ºÏ Öî (1) È«ÊÇ ¸ñ Æ·; ºÏ (2) È«ÊÇ ºÏ ¸ñ Æ·; ²» (3) ÖÁ ÓÐ ÉÙ Ò»¸ö Áã¼þÊÇ ¸ñ µÄ; ºÏ (4) ÖÁ ÓÐ ÉÙ Ò»¸ö Áã¼þÊÇ ºÏ ¸ñ µÄ; ²» (5) ½öµÚÒ»¸ö Áã¼þÊÇ ºÏ ¸ñ µÄ; ²» (6) ½öÓÐ Ò»¸ö Áã¼þÊÇ ºÏ ¸ñ µÄ¡£ ²» 6. Ò»ÅúµÆ ¹² 40 Ö», Æä ÅÝ ÖÐ3 Ö»ÊÇ »µµÄ, ´ÓÖÐ È¡ 5 Ö», ÎÊ : ÈÎ (1) 5 ֻȫÊÇ ºÃµÄ¸ÅÂÊ ¶à ÉÙ? ÊÇ (2) 5 Ö»ÖÐ ÓÐ2 Ö»ÊÇ »µµÄ¸ÅÂÊ ¶à ÉÙ? ÊÇ ¡¤ 4 4 ¡¤
±í ʾ Ëû Éú ²ú µÄ µÚ

i ¸ö Áã

±í ʾ Èç Ï Ê ¼þ

:

7. ½«3 ¸ö ƹÅÒ ÇòËæ »úµØ·ÅÈë 4 ¸ö ±- ×ÓÖÐ Çó±-×Ó ÇòµÄ×î È¥, ÖÐ ´ó ¸ö Êý·Ö±ðÊÇ1 , 2 , 3 µÄ¸ÅÂÊ ÊÇ ÉÙ? ¸÷ ¶à 8. ´ÓÎå Ë«²» ͬ µÄЬ ÖÐ È¡ 4 Ö», Õâ4 ֻЬ×Ó ÖÁ ÓÐ2 Ö» ×Ó ÈÎ ÖÐ É٠Ь Åä³É һ˫µÄ¸ÅÂÊ ¶à ÉÙ? ×Ó ÊÇ 9. 7 ÕŠƬ ·Ö±ðдÓРĸ C , C, E , I, N, S, E¡£ ½«Õâ7 ÕŠƬ ¿¨ ÉÏ ×Ö ¿¨ Ëæ »úµØÅÅ Ò»ÐÐ ÎÊ Ç¡ºÃÅÅ Ó¢Îĵ¥´Ê SCIENCE µÄ¸ÅÂÊ ¶à ÉÙ? ³É , ³É ÊÇ 10. 5 ÈËÔÚ ´ÓµÚÒ»²ã ½øÐÐ µÚ°Ë²ã µÄµç ÌÝÖÐ ¼Ù , ÈçÿÈËÒÔ Í¬ µÄ Ïà ¸ÅÂÊ×ß³ö ÈÎ Ò»²ã ( ´ÓµÚ¶þ²ã ¿ª ʼ) , Çó 5 ÈËÔÚ Í¬ ²ã ×ß³ö µÄ¸ÅÂÊÊÇ ²» ¶à ÉÙ? 11. ´Ó 0 , 1 , ¡- , 9 ¹² Ê® Êý×Ö Ëæ ¸ö ÖÐ »úµØ²» ·Å»ØµØ½Ó È¡ ËÄ Êý Á¬ ¸ö ×Ö, ²¢ °´ Æä ÏÖµÄÏÈ ºó ÅÅ³É Ò»ÁÐ, ÇóÏ ÁÐ ³ö ʼþµÄ¸Å ÂÊ: (1) Ëĸö Êý×Ö ÅÅ³É Ò»Å¼ Êý; (2) Ëĸö Êý×Ö ÅÅ³É Ò»ËÄλ Êý; (3) Ëĸö Êý×Ö ÅÅ³É Ò»ËÄλ ż Êý; (4) Ëĸö Êý×Ö ÓÐ0 ³ö ÏÖ¡£ ÖÐ 12. Ò»¿Ú´ü ÖÐ ÓÐ5 ¸ö ºì Çò 2 ¸ö °× Çò, ´ÓÖÐ ·Å »ØµØÈ¡ 2 ´Î ¹² ÓÐ Çò, Ò»´Î È¡Ò»¸ö , Çó (1) µÚÒ»´Î È¡µ½ºì Çò, µÚ¶þ´Î È¡µÃ°×ÇòµÄ¸Å ÂÊ¡£ (2) ºì °×Çò¸÷Ò»¸ö µÄ¸Å ÂÊ¡£ (3) µÚ¶þ´Î È¡µÃºì ÇòµÄ¸Å ÂÊ¡£ ÔÚ ·Å »ØµÄÈ¡Çò·½Ê½ , ÉÏ Êö¸÷ʼþµÄ¸Å Âʸ÷ÊÇ ÎÞ Ï ¶àÉÙ ÄØ? 6 13. ÔÚ , 1 ]ÉÏ ÈÎ È¡Á½ Êý , ÇóÁ½ [0 ¸ö ÊýÖ® ´ó ÓÚ µÄ¸ÅÂÊ ºÍ ¡£ 5 14. ¼× ÒÒ ÈËÔ¼ ÔÚ ¡¢ Á½ ¶¨ ÏÂÎç 1 ʱµ½2 ʱµ½Ä³ Õ¾ ¹« ¹² Æû , Õâ ³Ë ³µ ¶Î ʱ ¼äÄÚÓÐ ËÄ°à ¹« ¹² Æû , ËüÃÇ ³µ µÄ¿ª ³µ ʱ¿Ì ·Ö±ðΪ 1¡Ã15 , 1¡Ã , 30 1 45 , 2 00 , Èç¹û ËûÃÇ ¡Ã ¡Ã ¼û³µ ¾Í³Ë , ÇóËûÃÇ Í¬Ò»³µ µÄ¸Å ÂÊ¡£ ³Ë 15. ÔÚ ¶Î AD ÉÏ ÈÎ È¡Á½ µã B , C , ÔÚ B , C ´¦ ÕÛ ¶ø µÃÈý¸ö Ïß ¸ö ¶Ï Ïß ¶Î , ÇóÕâÈý¸ö Ïß ¶Î ÄÜ ³É Èý½Ç ¹¹ ÐεĸŠÂÊ¡£ ¡¤ 45 ¡¤

16. Éè P( A) = P , P( B) = q , P( A¡È B) = r , Çó P( AB) , P( A B) , P( BA) , P( A¡È«… , P( A¡È«… ¡£ «… B) B) 17. ij³Ç ÊÐ ÈýÖÖ Ö½A, B , C¡£ ¸Ã ³Ç ÊÐ ÓÐ60 % ¼Ò ¶© ÓÐ ±¨ ÖРͥ ÔÄA ±¨ , 40 % µÄ¼Ò ¶© Í¥ ÔÄB ±¨ , 30 % µÄ¼Ò ¶©ÔÄC ±¨ , ÓÖ ÓÐ20 % µÄ¼Ò Í¥ Öª Í¥ ͬʱ ÔÄA ±¨ºÍ B ±¨ , ÓÐ10 % µÄ¼Ò ͬ ʱ ¶© Í¥ ¶©ÔÄA ±¨ºÍ C ±¨ , ÓÐ 20 %µÄ¼Ò ͬʱ ÔÄB ±¨ºÍ C ±¨ , ÓÐ5 % µÄ¼Ò Èý·Ý ±¨¶¼¶© ÊÔ Í¥ ¶© Í¥ ÔÄ, Çó¸Ã ³Ç ÊÐ ÓÐ ÖÐ ¶àÉ٠ͥ Ò»·Ý ±¨Ò²Ã»¶© ¼Ò ¡£ 18. Éè A, B, C Ϊ Èý¸ö ʼþ, ÒÑ P ( A) = P ( B) = P( C) = Öª 1 1 , P( AB) = 0 , P( AC) = 0 , P( BC) = , Çó A, B , C ÖÐ ÉÙ Ò»¸ö ÖÁ ÓÐ 4 8 ·¢ ÉúµÄ¸Å ÂÊ¡£ 19. Óà ÄÉ Ö¤Ã÷ P( A1 ¡È A2 ¡È ¹é ·¨ ¡- + P( An ) ¡£ 20. ÖÀ ÷»×Ó, Æä Á½ ½á¹û Óà x1 , x2 ) ±í ʾ Æä x1 ( , ÖÐ µÚ Ò» Óë µÚ ¶þ ¿Å ÷» ×Ó ³ö ÏÖ µÄ µã Êý ¡£ Éè Ê ¼þ Óë ¡¡È

An ) ¡Ü P( A1 ) + p ( A2 ) + x2

·Ö ±ð ±í

ʾ

A = { ( x1 , x2 )

x1 + x2 = 10} , B = { ( x1 , x2 )

x1 > x2 }

ÇóÌõ ¼þ¸Å ÂÊ P( B| A) , P( A| B) ¡£ 21. ÒÑ P( A) = Öª B) ¡£ 22. ÒÑ P( A) = 0 .3 , P( B) = 0 .4 , P( A B) = 0 .5 , Çó P ( B | A Öª ¡È B) ¡£ 23. ijÖÖ Îï ÓÉ Éú»î µ½20 ËêµÄ¸ÅÂÊ 0 .8 , »î µ½25 ËêµÄ¸Å ¶¯ ³ö Ϊ ÂÊ 0 .4¡£ ÏÖÄêÁäΪ 20 ËêµÄÕâÖÖ Îï ÄÜ µ½25 ËêµÄ¸ÅÂÊ ¶à ÉÙ? Ϊ ¶¯ »î ÊÇ 24. ÓÐ ÒÒ ±ûÈý¸ö ´ü ×Ó ¼× ÖÐ °×Çò 2 Ö»ºÚ ÇòÒ»Ö», ÒÒ ¼×, , , ´ü ÓÐ ´ü ÖÐ °×Çò1 Ö», ºÚÇò2 Ö», ±û´ü ÖÐ ÓÐ ÓÐ2 Ö»°× Çò 2 Ö»ºÚ Çò, ÏÖ´Ó¼× ´ü ÖÐ È¡Ò»Çò·Å ÈëÒÒ ÖÐ ÔÙ ´ü , ´ÓÒÒ ÖÐ ´ü È¡Ò»Çò·Å Èë±û´ü ÖÐ È»ºó ´Ó±û´ü , ÖÐ È¡Ò»Çò¡£ Çó (1) Èý´Î ¾ùÈ¡µ½°×ÇòµÄ¸Å ÂÊ; ¡¤ 4 6 ¡¤ 1 1 1 , P( B | A) = , P( A | B) = , Çó P( A¡È 4 3 2

(2) µÚÈý´Î ²Å È¡µ½°×ÇòµÄ¸Å ÂÊ; (3) µÚÈý´Î È¡µ½°×ÇòµÄ¸Å ÂÊ¡£ 25. ÔÚ ¡¢ ¡¢ ¼× ÒÒ ±ûÈý¸ö ´ü ÖÐ ¼× ÓÐ , ´ü °×Çò 2 Ö»ºÚ Çò 1 Ö», ÒÒ ÖÐ ´ü ÓÐ °×Çò1 Ö»ºÚÇò 2 Ö», ±û´ü ÖÐ °×Çò 2 Ö»ºÚÇò 2 Ö», ÏÖËæ ÓÐ »úµØÑ¡³ö Ò»¸ö ´ü ×Ó ´Ó´ü ÖÐ ÔÙ È¡Ò»Çò, ÎÊ È¡³ö µÄÇòÊÇ °×ÇòµÄ¸Å ÊÇ ¶àÉÙ? 26. Á½ ³µ ´² ¼Ó ͬ ÑùµÄÁã¼þ, µÚһ̨ ³ö ·Ï Æ·µÄ¸Å ÂÊΪ 0 .03 , ̨ ¹¤ µÚ¶þ̨ ³ö ·Ï Æ·µÄ¸Å ÂÊΪ 0 .02 , ¼Ó ³ö À´ µÄÁã¼þ·Å ÔÚ ¹¤ Ò»Æð ²¢ ÇÒ , ÒÑ ÖªµÚһ̨ ¼Ó µÄÁã¼þÊÇ ¹¤ µÚ¶þ̨ ¼Ó µÄÁã¼þµÄ 2 ±¶ , ÇóÈÎ ÒâÈ¡³ö µÄ ¹¤ Áã¼þÊÇ ¸ñ Æ·µÄ¸Å ÂÊ, ÈçÈ¡³ö µÄÁã¼þ¾-¼ìÑéÊÇ Æ·, ÇóËüÊÇ µÚ¶þ ºÏ ·Ï ÓÉ Ì¨ ³µ ´² ¼Ó µÄ¸Å ÂÊ¡£ ¹¤ 27. ºÐÖÐ ·ÅÓÐ12 ¸ö ƹÅÒ Æä ÓÐ9 ¸ö ÊÇ µÄ, µÚÒ»´Î ±È Çò, ÖРРÈüʱ ´ÓºÐÖÐ 3 ¸ö , Óà ÈÔ »ØºÐ ÖÐ µÚ¶þ ´Î ±È È¡ ºó ·Å , ÈüÔÙ ´ÓºÐÖÐ È¡ 3 ¸ö , ÈÎ ÇóµÚ¶þ´Î È¡³ö µÄÇòÈ«ÊÇ ÇòµÄ¸Å ÂÊ¡£ Р28. ÓÐ ÅóÓÑ Î» ´ÓÔ¶·½À´ , Ëû³Ë »ð³µ ¡¢ ´¬¡¢ ³µ ¡¢ »úÀ´ µÄ¸Å ÂÊ ÂÖ Æû ·É ·Ö±ðÊÇ0 .3 , 0 .2 , 0 .1 ºÍ 0 .4 , ÈçËû³Ë »ð³µ ¡¢ ÂÖ´¬¡¢ ³µ À´ µÄ»° , ³Ù µ½ Æû 1 1 1 µÄ¸Å ÂÊ·Ö±ðÊÇ , , , ¶ø³Ë ·É »úÔò²» »á³Ùµ½, Çó 4 3 2 (1) Ëû³Ùµ½µÄ¸Å ÂÊÊÇ ¶àÉÙ? (2) ÈçËû³Ùµ½ÁË, ÎÊ ËûÊÇ »ð³µ À´ µÄ¸Å ÂÊÊÇ ³Ë ¶àÉÙ? 29. ÉèÊ A Óë B Ïà »¥¶ÀÁ¢, P( A) = p, P( B) = q , Çó P( A¡È ¼þ B) , P( A¡È B) , P( AB) , P(«… B) ¡£ A¡È«… 30. ¼× ÒÒ ±ûÈýÈ˸÷ ×Ô ¡¢ ¡¢ ¶ÀÁ¢µØÆÆ ÒëÃÜ ÉèËûÃÇÄÜÆÆ Âë, ÒëÃÜÂë µÄ¸Å ÂÊ·Ö±ðΪ 1 1 1 , , , ÇóÃÜ ÂëÄÜ ÒëµÄ¸Å ÂÊ¡£ ÆÆ 5 3 4 31. ÔÚ Í¼ÖÐ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ±í ʾ Ìâ , ¼Ìµç Æ÷ µã ¡£ ¼Ù ½Ó Éèÿһ¼Ìµç Æ÷

½Ó ±Õ µÄ¸ÅÂÊ µã ºÏ ¾ùΪ p , ÇÒ Éè¸÷¼Ìµç Æ÷ µã±Õ Óë·ñ Ïà »¥ ¶ÀÁ¢, Çó ½Ó ºÏ L ÖÁR ÊÇ Â· µÄ¸Å ÂÊ¡£ ͨ 32. ij¹â ѧÒÇ ³§ ÖÆ Æ÷ ÔìµÄ͸ ¾µ, ÔÚ µÚÒ»´Î ÂäÏ ʱ´ò ÆÆ µÄ¸Å ÂÊ ¡¤ 47 ¡¤

1 7 , ÔÚ µÚ¶þ´Î ÂäÏ ʱ ÆÆ ÂÊΪ ´ò µÄ¸Å , µÚÈý´Î ÂäÏ ʱ ÆÆ ÂÊ ´ò µÄ¸Å 2 10 9 Ϊ , Çó͸ ¾µÈý´Î ÂäÏ ¶øδ ´ò ÆÆ ÂÊ¡£ µÄ¸Å 10 ¡ú ' ú W
1

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4

33. ij³¡ Õ½ ×¼ µ÷¼× ÒÒ ²¿ ¶Ó²Î ¼Ó ÿ֧²¿ ¶ÓÄÜ Ê± µ½ ¶· ±¸ ¡¢ Á½ , °´ ¸Ï µÄ¸Å Âʶ¼ µÈÓÚ ÈôÖ»ÓÐ ¦Á, Ò»Ö§²¿ ¶ÓͶ ÈëÕ½ , ÔòȡʤµÄ¸Å ÂÊΪ 0 .4 ; ¶· ÈôÁ½ Ö§²¿ ¶ÓÐ-ͬ×÷ , Ôò±Ø Õ½ ʤÎÞ ÒÉ, ÈôÁ½ Ö§²¿ ¶Ó¶¼ ÄÜ Î´ ¼°Ê± µ½Ôò ¸Ï ±Ø °ÜÎÞ ÒÉ, Óû´ï 0 .9 ÒÔ µÄÈ¡ ʤ¸ÅÂÊ, Çó¦Á µÄ×î µÍ Öµ¡£ ÉÏ 34. Ò»¼Ü »úÓëÁ½ ÁŠһͬ ·É Íù ij µØ½øÐÐ Õ¨ , ;ÖÐ Ðë ³¤ ¼Ü »ú ºä ±Ø ¾-¹ý ¸ß ÅÚ ÕóµØÉÏ ¿Õ, ´Ë ʱ ÿһ·É »ú ±»»÷ÂäµÄ¸Å ÂʾùΪ 0 .2 , Èç¹û ³¤ »ú±»»÷Âä, ÔòÁÅ»úÒ²ÎÞ ·¨ ·É Íù Ä¿µÄµØ¡£ ¶øÿ¼Ü »ú·É µ½Ä¿µÄµØ, Õ¨ ·É »ÙÄ¿±êµÄ¸Å ÂʾùΪ 0 .3 , ÇóÄ¿±ê±»Õ¨»ÙµÄ¸Å ÂÊ¡£ 35. ÓÐ ¸ö ²ÃÅÐ , µÚÒ»×éÓÉ3 ÈË×é³É , Æä Á½ Á½ ×é ÖÐ È˶ÀÁ¢µØÒÔ ¸Å ÂÊ p ×ö³ö ÕýÈ· µÄ²Ã ¶¨ , ¶ø µÚÈýÈËÒÔ ÖÀÓ² ±Ò ¾ö¶¨ , ×î ºó ½á¹û ¸ù ¾Ý¶à ÊýÈËÒâ¼û¾ö¶¨ , µÚ¶þ×éÓÉ1 ÈË×é ³É , ËûÒÔ ÂÊ p ×ö³ö ÕýÈ· µÄ²Ã ¶¨ , ¸Å ÎÊ ÄÄÒ»×é×ö³ö ÕýÈ· ²Ã ¶¨ µÄ¸Å ÂÊ´ó ? 36. ¹¤ ÈË¿´ ¹ÜÈý̨ »ú ´² , ÔÚ Ò»Ð¡Ê±ÄÚ Ã¿Ì¨ »ú ´² ²» ÐèÒªÕÕ µÄ ¿´ ¸Å ÂʾùΪ 0 .8 , ÇóÏ ÁРʼþµÄ¸Å ÂÊ: (1) Èý̨ »ú´² ¶¼ ÐèÒª¹¤ ÈËÕÕ ; ²» ¿´ (2) ÖÁ ÓÐ É٠һ̨ »ú´² ÐèÒª¹¤ ÈËÕÕ ; ¿´ (3) Èý̨ »ú´² ¶¼ ÐèÒª¹¤ ÈËÕÕ ¡£ ¿´ ¡¤ 4 8 ¡¤

37. ÉèÓÐ ¼Ü ÉäÅÚ Ã¿¼Ü ¶þ ¸ß , »÷ÖÐ µÐ»úµÄ¸Å ÂʾùΪ 0 .6¡£ ÊÔ Çó¶þ ¼Ü ÉäÅÚ Ê±´ò Ò»·É »ú , Æä ¸ß Í¬ ÃüÖÐ µÐ»úµÄ¸Å ÂÊÊÇ ÉÙ? ÓûÒÔ99 % µÄ ¶à ¸Å Âʰѵлú´ò Ï À´ , ÎÊ ÐèÒª¶àÉÙ ¸ß ÉäÅÚ ¼Ü ¡£ 38. ¼× ÒÒ È˽øÐÐ ¡¢ Á½ ÏÂÆå ±ÈÈü, ¼Ù Éèÿ¾Ö ʤµÄ¸Å ÂÊΪ ¦Á, ÒÒ ¼× ʤ µÄ¸Å ÂÊΪ ¦Â,¦Á + ¦Â= 1 , ÇÒ Ã¿´Î ±È ÔÚ ÈüÖÐ »ñʤË- µÃ 1 ·Ö¡£ Èç¹û Ë˵Ļý·Ö¶à ÓÚ ¶Ô·½ 2 ·Ö , Ë- ¾ÍÈ¡µÃÈ«³¡ µÄʤÀû, ·Ö ±ðÇó¼× ÒÒ ÈË»ñ ¡¢ Á½ µÃÈ«³¡ ʤÀûµÄ¸Å ÂÊ¡£

¡¤ 49 ¡¤

, ÎÒÃÇ Ö»ÊÇ Á¢µØ¿¼ÂǸö ±ðËæ Ê ¹Â »ú ¼þµÄ¸Å ÂÊ, ¶øÇÒ ¾¿·½·¨ ȱ Ò»°ã ÐÔ Îª ÁËÉî ÈëÑÐ ÑÐ ·¦ ¡£ ¾¿Ëæ »úÏÖÏó , È« Ãæ ʶËæ ÈÏ »úÏÖÏó µÄͳ ¼Æ ÂÉÐÔ ÎÒÃÇÐèÒª ÒýÈëËæ ¹æ , »ú±äÁ¿¼°Æä ²¼ ·Ö µÄ¸Å Äî ¡£ Ëæ »ú±äÁ¿µÄÒýÈëʹ ¸Å ÂÊÂÛ Ç°½øÁËÒ»´ó ²½¡£ Ëæ »ú±äÁ¿ÄÜ ½« Ëæ »úÊÔ Ñé²ú ÉúµÄÑù±¾ ¿Õ¼äºÍ Ëæ»úʼþÁ¿»¯ ±í ʾ ²¢ ʹ ÑÐ , ¾¿¸Å ÂÊÂÛ µÄÊýѧ¹¤ ¾ß¸ü ¼Ó ¸» ÓÐ ¡£ ÕâÑù¸Å ÂÊÂÛ ·á Á¦ µÄ·¢ Õ¹½øÈëÁËÒ»¸ö ոРµÄ Ìì µØ¡£ ±¾ ½«ÌÖÂÛ Õ һάËæ ±äÁ¿¼°Æä »ú ·Ö²¼ , ²¢ ÌÖÂÛ ¼¸¸ö ³£ Óà µÄ·Ö ²¼: ¶þÏî ·Ö²¼¡¢ ËÉ·Ö²¼¡¢ ²´ ¾ùÔÈ ·Ö²¼¡¢ Õý̬·Ö²¼µÈ¡£

¡ì

2. 1

Ëæ »ú±äÁ¿¼°Æä ·Ö²¼º¯ Êý

Ò» »ú±äÁ¿ Ò» ¡¢Ëæ µÄ °ã¸ÅÄî ÔÚ è ö »ú Ñé Ñù ¿Õ ʱ ÎÒÃDz¢ ûÓÐ ¶¨ ÊÔÑé½á¹û ±Ø Ã Ê Ëæ ÊÔ µÄ ±¾ ¼ä , ¹æ
ÐëÊÇ ÊýÖµµÄ, ÊÂʵÉÏ ÔÚ ÎÒÃÇ ¾Ù µÄÀý×Ó ÓÐ ÊÔ ÒÑ ¹ý ÖРЩ Ñé½á¹û ÊÇ ÊýÖµ µÄ, ÓÐ Ôò²» ÊÇ ÎÞ ÂÛ ÖÖ Ð© ¡£ ºÎ Çé¿ö , ÎÒÃÇ ¿ÉÒÔ ×Ü ½«ÊÔ Ñé½á¹û ÊýÁ¿»¯ , ¼´°ÑÊÔ Ñé½á¹û ÓëʵÊýʱ Æð , ½¨Á¢Ò»¸ö ´ÓÑù±¾ Ó¦ À´ ¿Õ¼äµ½ÊµÊýÓòµÄ ¶Ô ¹Ø ϵ X¡£ ±ÈÈçÔÚ 1. 1 µÄÊÔÑé E1 Ó¦ ¡ì
ÖÐ

, ÊÔÑéµÄ»ù ±¾ ½á¹û ÓÐ Á½

¸ö : ³ö ÏÖÕýÃæ ³ö ÏÖ·´ Ãæ ÎÒÃǿɽ«´Ë ½á¹û ÊýÁ¿»¯ , ±È ºÍ ¡£ ÈçÒÔ 0 Êý ´ú ±í ³ö ÏÖ·´ Ãæ ÕâÒ»½á¹û , 1 ±í ʾ ÏÖÕýÃæ ÕâÑù¾Í½¨Á¢ÈçÏ µÄÒ»¸ö ³ö , ¶ÔÓ¦¹Øϵ X = X( ¦Ø) = ¡¤ 5 0 ¡¤ 0 1 ¦Ø = T ¦Ø = H

, ÎÒÃÇ×Ü ¿ÉÒÔ ÒýÈëÒ»¸ö ±äÁ¿ X , Óà X µÄ²» ͬ È¡ ÖµÀ´ ÃèÊöÊÔ ÑéµÄÈ«²¿ ¿ÉÄÜ µÄ½á¹û ¡£ Ò»°ã µØ, ÎÒÃÇ ¿¼ÂÇ Ò»¸ö ÓëÊÔ Ñé½á¹û Ïà ¶ÔÓ¦ µÄÁ¿ X, Õâ¸ö Á¿ X ÊÇ ÊÔ Ëæ Ñé½á¹û µÄ²» ͬ¶ø±ä»¯ µÄ, ËüÊÇ Ñù±¾ µãµÄº¯ Êý X = X( ¦Ø) ¡£ Õâ ÖÖ Á¿ÒÔ ÎÒÃÇ ºó ³ÆÖ® Ëæ»ú±äÁ¿¡£ ÔÚ ÂÊÂÛ , ÎÒÃÇ ½öÒª¹Ø ÐÄ X Ϊ ¸Å ÖÐ ²» È¡ÄÄЩ »¹ Òª¹ØÐÄ Öµ, Ëüȡij Щ ÖµµÄ¿ÉÄÜ ´ó С, ±È ÐÔ ÈçÎÒÃÇ Íû ÖªµÀ Ï£ ʼþ{¦Ø X( ¦Ø) ¡Ü x}µÄ¸Å ÂÊ¡£ Ϊ ÁËÇó³ö {¦Ø X( ¦Ø) ¡Ü x} µÄ¸Å ÂÊ, ÏȾöÌõ ¼þÊÇ{ ¦Ø X( ¦Ø) ¡Ü x} ÊÇ Ò»Ê¼þ¡£ Òò´Ë ÔÚ ¶¨ µÄÑù±¾ ¸ø ¿Õ¼ä

( ¦¸ , F , P) Ï , Ϊ ÁËʹ ÎÒÃǸÐÐËȤµÄ¸Å ÂÊ¼Æ ËãµÃÒÔ ½øÐÐ ±Ø , Ðë¶ÔÕâ ¸ö Á¿ X( ¦Ø) ¼Ó ÏÞ ÖÆ Ï Ãæ ÒÔ ¡£ ÎÒÃÇ ³ö Ëæ ¸ø »ú±äÁ¿µÄÕýʽ Òå¡£ ¶¨ ¶¨ Òå2.1.1 Éè X( ¦Ø) ÊÇ ÒåÔÚ ÂÊ¿Õ¼ä( ¦¸ , F, P ) ÉÏ µÄµ¥ Öµ ¶¨ ¸Å {¦Ø Ôò X( ¦Ø) Ϊ Ëæ ³Æ »ú±äÁ¿¡£ ´Ó¶¨ Òå2. 1. 1 ¿´ µ½, Ëæ ±äÁ¿ X ( ¦Ø) ×Ü Ïµ ×ÅÒ»¸ö ¸Å ÂÊ¿Õ¼ä »ú Áª ( ¦¸ , F , P) , ½ñºó ÈçÎÞ ÌØÊâÒªÇó, ²» ±Ø ÿ´Î ¶¼Ð´³ö ¸Å ÂÊ¿Õ¼ä( ¦¸ , F, P) ; ²¢ ÇÒ ¿É°ÑËæ »ú±äÁ¿ X ( ¦Ø) ¼òдΪ X , ¶øʼþ{¦Ø Ëæ »ú±äÁ¿( random variable ) ¼òдΪ r. v¡£ Ëæ »ú±äÁ¿ X µÄÈ¡ÖµÊÇ ÊÔ ÓÉ Ñé½á¹û È· ¶¨ µÄ, ¶øÊÔ Ñé½á¹û µÄ³ö ÏÖ ÊÇ »úµÄ, Òò¶ø Ëæ Ëæ »ú±äÁ¿´ÓÖ± ÉÏ ¿ÉÀí ½âΪ¡° Æä ¹Û ÖµËæ»ú»á¶ø ¶¨ ¡± µÄ ±äÁ¿¡£ ÕâÒ²ÊÇ Ê² ô ÎÒÃÇ X Ϊ Ëæ Ϊ ³Æ »ú±äÁ¿¶ø²» ³ÆΪ º¯ ÊýµÄÔ-Òò¡£ ¶ÔÓÚ »ú±äÁ¿ X , ÎÒÃÇ Ëæ ¹ØÐÄ µÄÊÇ X µÄÈ¡Öµ·¶ Χ ¼°ËüÈ¡ ÖµµÄ¸Å Âʹæ ÂÉ, Ò²¾ÍÊÇ ÎÒÃÇ Ãæ ºó Ëù˵µÄËæ »ú±äÁ¿µÄ·Ö²¼ , ¶ø²» È¥¹ØÐÄ ËüµÄº¯ Êý ÐÔ ¡£ ÖÊ ÒýÈëÁËËæ »ú±äÁ¿ºó , ÎÒÃÇ µÄÑÐ ¾¿¶ÔÏó ÓÉ Ê¼þÀ© Ϊ Ëæ ´ó »ú±äÁ¿, ´ÓÏÖÔÚ ÎÒÃÇ Æð µÄÑÐ ¾¿¶ÔÏó Ö÷ Òª¼¯ÖÐ Ëæ ÔÚ »ú±äÁ¿ÒÔ ¼°ËüµÄ·Ö²¼ÉÏ ¡£ ¡¤ 51 ¡¤ X( ¦Ø) ¡Ü x} ¼ò дΪ { X¡Ü x} ¡£ Ëæ»ú ±äÁ¿³£ Óà д×Ö X , Y, Z µÈ±í ʾ ²¢ °Ñ ´ó ĸ ¡£ X( ¦Ø) ¡Ü x} ¡ÊF ʵº¯ Êý , Èç¹û ¶ÔÈΠһʵÊý x, ÓÐ

2.1.2

Éè X ÊÇ Ò»Ëæ »ú±äÁ¿, x Ϊ ÈÎ ÒâʵÊý , º¯ Êý F( x ) = P{ X¡Ü x}

³Æ×÷ Ëæ Ϊ »ú±äÁ¿ X µÄ·Ö²¼º¯ Êý , ·Ö²¼º¯ Êý¿É¼ò¼Ç d .f. ¡£ Ϊ ÓÐ ÁË·Ö²¼º¯ Êý , ¶ÔÓÚ ÒâʵÊý x1 , x2 ( x1 < x2 ) , Ëæ ±äÁ¿ X Âä ÈÎ »ú ÔÚ Çø¼ä( x1 , x2 ] Àï µÄ¸Å ÂÊ¿ÉÓà ·Ö²¼º¯ ÊýÀ´ ¼Æ Ëã P{ x1 < X ¡Ü x2 } = P{ X ¡Ü x2 } - P{ X ¡Ü x1 } = F( x2 ) - F( x1 ) (2. 1. 1)

´ÓÕâ¸ö ÒâÒåÉÏ ½² , ·Ö²¼º¯ ÊýÍê ÕûµØÃèÊöÁËËæ »ú±äÁ¿µÄͳ ¼Æ ÂÉÐÔ ¹æ ¡£ »òÕß˵Ëæ »ú±äÁ¿µÄ·Ö²¼º¯ ÊýÍê ÕûµØ±í ʾ ÁËËæ ±äÁ¿µÄ¸Å ÂÊ·Ö ²¼ »ú Çé¿ö¡£ Èô°Ñ X ¿´ ³É ÊýÖáÉÏ µÄËæ µãµÄ×ø±ê, Ôò·Ö ²¼º¯ Êý F ( x ) ÔÚ »ú µã x ´¦ µÄº¯ ÊýÖµ¾Í±í ʾX ÂäÔÚ Çø¼ä( - ¡Þ , x] Àï µÄ¸Å ÂÊ¡£ Àý 2.1 ¿Ú ´üÀï×° ÓÐ ¸ö °× Çò 2 ¸ö ºì Çò, ´ÓÆä ÈÎ È¡Èý¸ö Çò, 3 ÖÐ ÇóÈ¡³ö µÄÈýÇòÖÐ µÄ°×ÇòÊýµÄ·Ö²¼º¯ Êý¡£ ½â Éè X ±í ʾ È¡³ö µÄ 3 ¸ö ÇòÖÐ µÄ°× ÇòÊý¡£ X µÄ¿ÉÄÜ ÖµÎª È¡ 1 , 2 , 3¡£ ¶ø ÇÒ ¹Åµä ¸ÅÂÊ ÓÉ ¿ÉËãµÃ P{ X = 1} = C2 C3/ C5 = 0 .3 P{ X = 2} = C2 C3/ C5 = 0 .6 P{ X = 3} = C3/ C5 = 0 .1 µ± x < 1 ʱ{ X¡Ü x}ÊÇ ¿ÉÄÜ ²» ʼþ, Òò¶ø F( x ) = P{ X¡Ü x} = 0 µ± 1¡Ü x < 2 ʱ, { X¡Ü x} = { X = 1 } , Òò¶ø F( x ) = P{ X¡Ü x} = P{ X = 1} = 0 .3 µ± 2¡Ü x < 3 ʱ, { X¡Ü x} = { X = 1}¡È { X = 2 } , ÇÒ X = 1} ¡É{ X = { 2} = ¦¼, Òò¶ø ¡¤ 5 2 ¡¤
3 3 1 2 3 2 1 3

F( x) = P{ X¡Ü x} = P{ X = 1 } + P{ X = 2 } = 0 .9 µ± x¡Ý3 ʱ, { X¡Ü x} Ϊ Ò»±Ø Ȼʼþ, Òò¶ø F( x) = 1 ÓÚ X µÄ·Ö²¼º¯ ÊýΪ ÊÇ, 0 F( x ) = 0 .3 0 .9 1 Àý2.2 x < 1 1 ¡Ü x < 2 2 ¡Ü x < 3 x ¡Ý 3 X È¡ µ½

¿¼ Èç ÂÇ ÏÂÊÔ : ÔÚ Ñé Çø¼ä[ 0 , 1 ] ÉÏ ÈÎ È¡Ò»µã , ¼Ç ËüµÄ ¼

×ø±ê X¡£ ÄÇ X ÊÇÒ»Ëæ»ú±äÁ¿, ¸ù ¾ÝÊÔ Ã´ ÑéÌõ ¼þ¿ÉÒÔ Îª ÈÏ [0 , 1]ÉÏ ÈÎ Ò»µãµÄ¿ÉÄÜ Ïà ͬ¡£ Çó X µÄ·Ö²¼º¯ Êý¡£ ÐÔ ½â ÓÉ ¼¸ºÎ ¸Å ÂÊµÄ¼Æ Ëã²» ÄÑ Çó³ö X µÄ·Ö²¼º¯ Êý¡£ µ± x < 0 ʱ F( x) = 0 µ± 0¡Ü x < 1 ʱ F( x ) = P{ X¡Ü x} = P{0¡Ü X¡Ü x} = x µ± x¡Ý1 ʱ F( x) = P{ X¡Ü x} = P{ 0¡Ü X¡Ü1} = 1 ËùÒÔ 0 F( x ) = x 1 (1) F( x ) ÊÇ Ò»¸ö µ¥µ÷²» ¼õº¯ Êý; (2) 0 ¡Ü F( x) ¡Ü 1 , ÇÒlim F( x ) = 0 , x ¡ú + ¡Þ F( x ) = 1; lim x¡ú - ¡Þ (3) F( x ) ÊÇ Á¬ ÓÒ ÐøµÄ¡£ ¼´¶ÔÈÎ ÒâʵÊý x, ÓÐ F( x + 0) = F( x ) Ö¤Ã÷ x < 0 0 ¡Ü x < 1 x ¡Ý 1

·Ö²¼º¯ ÊýÊÇ Ò»¸ö ÆÕ º¯ Êý, Ëü¾ßÓРͨ ÈçÏ º¯ ÊýÐÔ : ÖÊ

¡¤ 53 ¡¤

(1) Èç x1 < x2 , Ôò{ X¡Ü x1 }Ì { X¡Ü x2 } , ÓÉ µÃ ´Ë F( x1 ) ¡Ü F( x2 ) (2) ÓÉ F( x ) µÄ¶¨ ÒåÒ× 0¡Ü F( x ) ¡Ü1¡£ ÀûÓà F ( x ) µÄµ¥µ÷ÐÔ µÃ Ϊ Ö¤x ¡úlin¡Þ F( x ) = 0 , Ö»ÒªÖ¤n lim F( - n) = 0¡£ ¿¼ÂÇ ¼þ An = { X¡Ü Ê - + ¡Þ ¡Þ - n} , n = 1 , 2 , ¡- , Ôò An É An + 1 , ¡É An = ¦¼, ÓÉ ÂʵÄÁ¬ ¸Å ÐøÐÔ µÃ n=1 x ¡ú - ¡Þ

lim F( x ) = n ¡ú + ¡Þ F( - n) = n ¡ú + ¡Þ P( An ) lim lim ¡Þ = P n¡É1 An = 0 =

¼«ÏÞ x¡ú + ¡Þ F( x ) = 1 µÄÖ¤Ã÷ lim ÀàËÆ ¡£ (3 ) ÓÉ F ( x ) µÄ µ¥ µ÷ÐÔ Îª Ö¤ÐÔ , ÖÊ( 3 ) Ö»ÐëÖ¤Ã÷: x+ n ¡ú + ¡Þ

lim F

1 1 = F ( x ) ¡£ Áî An = { X ¡Ü x + } , n = 1 , 2 , ¡- , Ôò An É n n ¡Þ An + 1 , n¡É1 An = { X¡Ü x} , ÓÉ ÂʵÄÁ¬ ¸Å ÐøÐÔ µÃ = ¡Þ 1 F( x + 0) = nlim F x + = nlim P( An ) = P n¡É1 A ¡ú ¡Þ ¡ú ¡Þ = n = P{ X ¡Ü x} = F( x ) ÀûÓà ·Ö²¼º¯ Êý , ÎÒÃÇ ½öÄÜ Ëãʼþ{ x1 < X¡Ü x2 } µÄ¸Å ÂÊ, »¹ ²» ¼Æ ÄÜ Ëã³ö Æä Ëü¸÷ʼþµÄ¸Å ÂÊ, ÀýÈç P{ X > x} = 1 - F( x ) , P{ X = x} = F( x ) - F( x - 0 ) , P{ x1 < X < x2 } = F( x2 - 0) - F ( x1 ) , P{ X < x} = F( x - 0) ¡£ ¶Ô ¾ßÌå µÄËæ ÓÚ »ú±äÁ¿, ͨ ³£ ·ÖÁ½ Àà½øÐÐ ¾ßÌå µÄÌÖÂÛ Ò»Àà½Ð ¡£ ÀëÉ¢ÐÍËæ »ú±äÁ¿, Æä ÌØÕ÷ Ö»ÄÜ ÓÐ ¸ö Öµ»ò È¡¿ÉÁÐ Öµ¡£ ²» ÊÇ ÊÇ È¡ ÏÞ ¸ö ÀëÉ¢Ð͵ÄËæ »ú±äÁ¿ÎÒÃÇ ³ÆÖ® ·Ç ÀëÉ¢ÐÍËæ Ϊ »ú±äÁ¿¡£ ·Ç ÀëÉ¢ÐÍËæ »ú ±äÁ¿µÄ·¶ Χ Ì« ´ó , ¶øÆä ×î ÖØ ÖÐ ÒªÇÒ Êµ¼Ê Ìâ ÖÐ ³£ ¼ûµÄÊÇËùνÁ¬ ÎÊ ×î ÐøÐÍËæ »ú±äÁ¿, Ï Ãæ ÎÒÃÇ ¾ÍÕâÁ½ ÀàËæ »ú±äÁ¿·Ö±ðÕ¹¿ª ÌÖÂÛ ¡£

¡¤ 5 4 ¡¤

2. 2

ÀëÉ¢ÐÍËæ »ú±äÁ¿¼°Æä ·Ö²¼

Ò» É¢ÐÍËæ ¡¢Àë »ú±äÁ¿ ÆäÖ²¼ÂÉ ¼° · ¶¨Òå 2.2.1
Éè X ÊÇ Ò»Ëæ ±äÁ¿, Èç¹û X µÄËùÓÐ »ú µÄ¿ÉÄÜ Öµ È¡ Ϊ ÓÐ ¸ö »ò¿ÉÁÐ , Ôò³Æ X Ϊ ÀëÉ¢ÐÍËæ ÏÞ ¸ö »ú±äÁ¿¡£ Õâʱ X µÄËùÓÐ È¡ Öµ¿Éд³É Ò»ÁÐ x1 , x2 , ¡- , xi , ¡- ¡£ : ¶¨ Òå2.2.2 Éè X Ϊ Ò»ÀëÉ¢ÐÍËæ »ú±äÁ¿, X µÄ¿ÉÄÜ È¡ÖµÎª x1 , P{ X = xi } = pi i = 1, 2 , ¡(2. 2. 1) x2 , ¡- , xi , ¡- ¡£ ÎÒÃÇ ³ÆÏ Ãæ Ò»×éµÈʽ

Ϊ X µÄ·Ö²¼ÂÉ, ·Ö²¼Âɳ£ Óà ¸ñ ÐÎʽ ʾ ±í ±í ÈçÏ X P x1 p1 x2 p2
¡-

xi pi

¡-

¡-

¡-

¸ù

¾Ý ¸Å ÂÊ µÄ ¶¨

Òå

, ·Ö²¼ÂÉÂú×ãÈçÏ Á½ »ù±¾ ÖÊ Ìõ ÐÔ :

(1) pi ¡Ý 0 i = 1 , 2 , ¡¡Þ (2) ¡Æ pi = 1 i=1 Éè I Ϊ ʵÖáÉÏ Ò»Çø¼ä, ÄÇ ÀëÉ¢ÐÍËæ»ú±äÁ¿ X ÂäÈëÇø¼ä I ÄÚ Ã´ µÄ¸Å ÂÊΪ P{ X ¡Ê I} = ¡Æ pi x ¡Ê I i

ÓÉ ´Ë ʽ

, ±ã¿ÉµÃÀëÉ¢ÐÍËæ »ú±äÁ¿ X µÄ·Ö²¼º¯ ÊýµÄ¼Æ Ë㹫 ʽ F( x ) = P{ X ¡Ü x} = ¡Æ pi x ¡Ü x i

(2. 2. 2)

ÓÉ ¿ÉÖª , ÀëÉ¢ÐÍËæ»ú±äÁ¿ X µÄ·Ö ²¼º¯ ÊýÊÇ ÌÝ º¯ Êý , X µÄ ´Ë ½× ¿ÉÄÜ x1 , x2 , ¡- ÊÇ F( x ) µÄµÚÒ»Àà¼ä¶Ï µã , ¶øÇÒF( x ) ÔÚxi Öµ
´¦ µÄ Ìø ¡¤

¡¤ 55

pi ¡£

ÓÉ ´Ë

ÌØ Õ÷

, ÈôÒÑ ÀëÉ¢ÐÍËæ»ú±äÁ¿ X µÄ·Ö ²¼º¯ Öª

Êý , ÎÒÃÇ ÄÜ ¶¨ X µÄ·Ö²¼ÂÉ¡£ Òò´Ë Óà Ҳ È· ·Ö²¼ÂÉºÍ ·Ö²¼º¯ Êý¶¼ÄÜ Ãè ÊöÀëÉ¢ÐÍËæ »ú±äÁ¿µÄ·Ö²¼Çé¿ö¡£ Àý 2.3 Éè É¢ Àë ÐÍËæ »ú±äÁ¿ X µÄ·Ö²¼ÂÉΪ X P 0 1 2 1 1 3 2 a

(1) È· ¶¨ ³£ Êý a µÄÖµ; (2) Çó X µÄ·Ö²¼º¯ Êý¡£ ½â (1) ÓÉ ·Ö²¼ÂɵÄÐÔ Öª ÖÊ 1= Òò´Ë a= 1 6 x N} < 0 .01 ÓÉ 2. 7) ʽ( ÕâÀï ¦Ë= np = 3) (2.
N

k

k

P{ X > N} = 1 - P{ X ¡Ü N} = 1 - ¡Æ Cn p (1 - p) k=0 N ¡Þ k - 3 k - ¦Ë ¦Ë e 3 e ¡Ö 1 - ¡Æ = ¡Æ < 0 .01 k! k! k=0 k = N+ 1 ²ÅÄÜ Âú×ãÒªÇó¡£ 3. ²´ ËÉ (Poisson) ·Ö²¼ ¶¨ 2.2.5 Òå Èô É¢ Àë ÐÍËæ »ú±äÁ¿ X µÄ·Ö²¼ÂÉΪ k = 0 , 1 , 2¡¦Ëk e - ¦Ë P{ X = k} = k! ¡¤ 6 0 ¡¤

k k

n- k

²é ¸½±í 3 , ¿ÉÖªÂú×ãÉÏ Ê½ СµÄ N ÊÇ8¡£ Òò´Ë ÖÁ ÐèÅ䱸 8 ¸ö ¹¤ ÈË ×î ÉÙ

(2. 2. 8)

> 0 Ϊ ³£ Êý, Ôò³Æ X ·þ ´Ó²Î ÊýΪ ¦Ë µÄ²´ ËÉ·Ö ²¼ , ¼Ç X¡«¦Ð Ϊ (¦Ë) ¡£ Ò× (2. 2. 8) ʽ ³ö µÄ¸Å ÂÊÂú×ã: pk = P{ X = k}¡Ý0 , ÇÒ Öª ¸ø ¡Þ ¡Þ k ¡Þ k ¦Ë ¦Ë - ¦Ë - ¦Ë - ¦Ë ¦Ë ¡Æ0 pk = ¡Æ0 k !e = e ¡Æ= 0 k ! = e ¡¤ e = 1 k= k= k Àý2.7 ·ÅÉäÐÔ ÖÊ ¹æ¶¨ Ò»¶Îʱ¼ä Ú Æä ÉäµÄÁ£×Ó Îï ÔÚ µÄ Ä , ·Å Êý X ·þ ´Ó²´ ËÉ·Ö²¼¡£ ÂÞɪ ¸£ ºÍ ¸Ç¿Ë¹Û²ì Óë·ÖÎö ÁË·Å ÉäÐÔ ÖÊ ³ö µÄ Îï ·Å ¦Á Á£×Ó ÊýµÄÇé¿ö¡£ ËûÃÇ ¸ö ×öÁË2 608 ´Î ¹Û²ì ( ÿ´Î ʱ ¼äΪ 7 .5 Ãë) , ÕûÀí Óë·ÖÎö Èç±í 2. 1 Ëùʾ ±í 2.1
Á£ Êýk ×Ó
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ¡Ý10 ×Ü¼Æ ¹Û ²ì µ½µÄ ´Î Êý Mk 57 203 383 525 532 408 273 139 45 27 16 2 608
Ƶ ÂÊ

°´ ²´ ËÉ·Ö ²¼ ¦Ë =

* P k = Mk/ N 0 .022 0 .078 0 .147 0 .201 0 .204 0 .156 0 .105 0 .053 0 .017 0 .010 0 .006 0 .999

10 094 2 608 = 3 .87 ¼Æ µÄ¸ÅÂÊ pk Ëã 0 .021 0 .081 0 .156 0 .201 0 .195 0 .151 0 .097 0 .054 0 .026 0 .011 0 .007 1 .000

ÎÒ ÃÇ ¿´ µ½
½ü ¡£ Õâ Àï ²Î Êý

, °´ ( 2. 2. 8 ) ʽ ËãµÃµÄ pk
·Å ¦Ë ÊÇ Óà ×Ü ¹Û ²ì ´Î Êý Éä ³ö

Óë Ïà

Ó¦

µÄ ʵ ¼Ê Ƶ ÂÊ Ïà

µ± ½Ó

µÄ ×Ü Á£ ×Ó Êý Õâ ¸ö Öµ À´ ¹À Ëã µÄ ¡£ Ëü µÄ

¡¤ 61

¡¤

: ƽ ¾ùÿ´Î ·Å Éä³ö µÄÁ£×Ó Êý¡£ ÎÒÃÇ ·ÖÎö ÍƵ¼·Å ÉäµÄÁ£×Ó À´ ÊýΪ ºÎ ·þ ´Ó²´ ËÉ·Ö²¼¡£ Ϊ ¼òµ¥Æð ¼û, ÎÒÃÇ ¿¼ÂÇ µ¥Î» ʱ ¼ä1 ÃëÄÚ ·ÅÉä³ö µÄÁ£×Ó X¡£ Êý Ê× ÉèÏë °ÑÌå »ý Ϊ V µÄ·Å ÉäÐÔ ÖÊ·Ö¸î Ϊ n ·Ý Ïà ͬÌå »ý ¦¤V ÏÈ Îï = V µÄС¿é , ²¢ ¼Ù ¶¨ n (1) ¶ÔÓÚ Ã¿¸ö С¿é , ÔÚ1 ÃëÄÚ ·Å³ö Ò»¸ö Á£×Ó µÄ¸ÅÂÊ p Ϊ p = ¦Ì¡¤¦¤ V Æä ÖÐ¦Ì > 0 ÊÇ Êý( ¦Ì Óë n ÎÞ ¹Ø ÇÒ ³£ ÓëÿС¿é µÄλ Öà ¹Ø ) ¡£ ÔÚ1 Ãë ÎÞ ÄÚ ·Å³ö Á½ »òÁ½ ÒÔ Á£×Ó ¸ö ¸ö ÉÏ µÄ¸ÅÂÊ 0 ( ʵ¼Ê , ֻҪÿС¿é Ìå »ý Ϊ ÉÏ V ºÜС, Õâ¸ö ¸Å ÂʺÜСºÜ С, ¿ÉÒÔ ÂÔ, »òÕß˵ËüÊÇ ¦¤V µÄ¸ß ºö n ½× Çî С) ¡£ ÎÞ ¦¤V = (2) ¸÷С¿é ÊÇ ·Å ³ö Á£×Ó ÊÇ »¥¶ÀÁ¢µÄ¡£ ·ñ , Ïà ÔÚ ÕâÁ½ ¼Ù Ï , 1 ÃëÄÚ Ìõ ¶¨ ÕâÒ»·ÅÉäÐÔ Öʷųö k ¸ö Á£×Ó Îï ÕâÒ» Ê ¾Í¿É½üËÆ ×÷ Îï ÖÊ n ¸ö ¶ÀÁ¢µÄС¿é ÖÐ Ç¡ÓÐ k С¿é ·Å ¼þ, ¿´ ¸Ã µÄ , ³ö Á£×Ó ÓÚ ·Å ³ö k ¸ö Á£×Ó ¡£ ÊÇ, µÄ¸Å ÂÊ, °´ ¶þÏî ·Ö²¼¼Æ ËãµÃ P{ X = k} = Cn p q k k n - k

( q = 1 - p)

È»¶ø , ÉÏ Ê½ ×ó±ßÖÐ P{ X = k}ÊÇ n ¶ø±äµÄ, ËüÖ»ÊÇ µÄ Ëæ Ò»¸ö ½üËÆ ¡£ ʽ ÈÝÒ× ½â, °ÑÎï ÖÊ ÏÞ Ï¸ ·Ö , ¾ÍÄÜ Àí ÎÞ µÃµ½ P{ X = k} µÄ¾«È· ʽ ¼´ , P{ X = k} = n¡ú ¡Þ Cn ( ¦Ì ¡¤ ¦¤V) (1 - ¦Ì¦¤V) lim = n¡ú ¡Þ C lim
ÓÉ ²´ ËÉ ¶¨ Àí Öª k n ¦Ì ¡¤ k k n- k

V n

k

V 1 - ¦Ì ¡¤ n

n- k

¦Ëk - ¦Ë P{ X = k} = e k!
Æä ÖÐ ¦Ë

V = ¦Ì¡¤V¡£ n Èç¹û ¿¼ÂÇ Ê± Ϊ t µÄÒ»¶Î ʱ ÔÚ ³¤ ¼äÄÚ ÉäµÄÁ£×Ó X( t ) , Õâʱ ·Å Êý = n ¡¤¦Ì¡¤

¡¤ 6 2 ¡¤

(1) ÖÐ p ¿É¼Ù Ϊ µÄ ¶¨ p = ¦Ì¡¤¦¤V t ¡¤ ÀàËÆ µÄ·ÖÎö ÍƵ¼¿ÉµÃ X( t ) µÄ·Ö²¼ÂÉΪ (¦Ët) - ¦Ët P{ X( t) = k} = e k! Æä ¦Ë = ¦Ì¡¤ V¡£ ÖÐ ºÜ¶àËæ »úÏÖÏó Ò²¾ßÓÐ ÀàËÆ ±¾ ÓÚ ÀýÖÐ , ( 2) µÄÌõ ¼þ, ÀýÈçij Ñ° (1) ºô ̨ ÔÚ Ò»¶Î ʱ ¼ä½Ó µ½µÄÑ°ºô ´Î Êý , Ò»¶Î ʱ¼äÄÚij һ· ¶Î ³ö ÏֵĽ» ͨ ÊÂ¹Ê , Ò»¶Î ʱ ¼äÄÚ µ½´ï ij ·þ Îñ ̨ ÒªÇó·þ Îñ µÄ¹Ë ¿Í ÊýµÈµÈ¡£ ÎÒÃÇ ¿É°ÑÉÏ ÊöÎÊ Ìâ Ò»°ã »¯ , ¾ÍµÃµ½Ï ÃæËù½éÉÜ µÄ²´ ËÉÁ÷ Ϊ ½¨Ä£µÄ·½ ¡£ ±ã, ÎÒÃÇ °ÑÁ£×Ó ¹Ë ¿Í µÈ¿´ ×÷ ¼äÖáÉÏ µÄÖÊ , Á£×Ó ¡¢ ʱ µã µÄ·Å Éä, ¹Ë ¿Í µÄ µ½´ï µÈʼþµÄ·¢ ÉúÏà µ±ÓÚ µãµÄ³ö ÏÖ¡£ ÓÚ ÎÒÃÇ ÖÊ ÊÇ °Ñʱ ¼äÖáÉÏ Â½ Ðø ³ö ÏÖµÄÖÊ µã³ÆΪ ÖÊ µãÁ÷ ¡£ ÎÒÃÇ ´Óʱ 0 ¿ª ʼ ¼ ÏÖµÄÖÊ Êý, ²¢ Óà N( t) ±í ʾ ʱ¼ä ¿Ì ¼Ç ³ö µã ÔÚ ¶Î (0 , t]ÄÚ ÏÖµÄÖÊ ³ö µãµÄ¸ö Êý¡£ ÄÇ N( t + s) - N( s) ±í ʾ ʱ¼ä ô ÔÚ ¶Î ( s , s + t]ÄÚ ÏÖµÄÖÊ ³ö µã¸ö Êý¡£ ¶¨ Òå2.2.6 Èç ¹ûÖÊ µãÁ÷ ×ãÏÂÁÐ Âú Ìõ¼þ¾Í³ÆËüΪ ²´ ËÉÁ÷ , (1) N(0 ) = 0¡£ (2) ÔÚ Ïà ½»µÄʱ ²» ¼äÇø¼äÖÐ ÏÖµÄÖÊ ³ö µãÊýÊÇ »¥¶ÀÁ¢µÄ¡£ Ïà (3) ¶ÔÓÚ ÒâµÄʱ Ϊ t µÄʱ ÈÎ ³¤ ¼äÇø¼ä( s, s + t]ÖÐ µã³ö ÏÖµÄ ÖÊ ¸ö Êý N( s + t ) - N ( s ) ·þ ´Ó²Î ÊýΪ ¦Ët µÄ²´ ËÉ·Ö ²¼¡£ ¼´¶ÔÒ»ÇÐ µÄ s¡Ý0 , t¡Ý0 , ÓÐ (¦Ët ) k - ¦Ët P{ N( s + t) - N ( s) = k} = e k! ÕâÒ»¶¨ ÒåºÍ ÈçÏ ¶¨ ÒåÊÇ µÈ¼Û µÄ¡£ ¶¨ Òå2.2.7 (1) N(0 ) = 0 (2) ÔÚ Ïà ½»µÄʱ ²» ¼äÇø¼äÖÐ ÏÖµÄÖʵãÊýÊÇ »¥¶ÀÁ¢µÄ, ÇÒ ³ö Ïà ¡¤ 63 ¡¤ Èç ¹ûÖÊ µãÁ÷ ×ãÏÂÁÐ Âú Ìõ¼þ³ÆËüΪ ²´ ËÉÁ÷ , k = 0 , 1 , 2 , ¡k

k = 0 , 1 , 2 , ¡-

( s , s + t] ÖÐ Öʵã³ö Ïֵĸö Êý N ( s + t ) - N ( s) µÄ ·Ö²¼Ö»ÒÀ ÀµÓÚ ¼ä²î t, ¶øÓë s ÎÞ ¹Ø¡£ ʱ (3) N( t ) Âú×ãÏ ÁРʽ Á½ P{ N( t + h) - N( t) = 1} = ¦Ëh + o( h) P{ N( t + h) - N( t) ¡Ý 2} = o( h) ¶¨ Àí 2.2.2 ¶¨ 2. 2. 6 Ó붨 Òå2 .2 .7 ÊÇ Òå µÈ¼Û µÄ¡£ Ö¤ Ã÷ ÎÒÃÇ Ö¤Ã÷¶¨ Òå 2. 2. 7 Ô̺¬ ¶¨ Òå 2. 2. 6¡£ Óɶ¨ Òå 2. 2. 7 µÄÌõ ¼þÒ× µÃ¶¨ Òå 2 .2 .6 ÖÐ µÄÌõ ¼þ( 1 ) , (2 ) ¡£ Ï ÃæÖ¤Ã÷¶¨ Òå 2. 2. 7 Ô̺¬ ¶¨ Òå2. 2. 6 ÖÐ µÄÌõ ¼þ(3 ) ¡£ Áî Pk ( t ) = P{ N( t ) = k} ¸ù ¾Ý Òå2. 2. 7 Ö® ) ºÍ (3 ) ÓÐ ¶¨ (2 P0 ( t + h) = P{ N( t + h) = 0} = P{ N( t + h) - N(0) = 0} = P{ N( t) - N(0) = 0 , N( t + h) - N( t ) = 0} = P{ N( t) - N(0) = 0} P{ N( t + h) - N ( t ) = 0} = P0 ( t ) [1 - ¦Ëh + o( h) ] ¹Ê ÓÐ P0 ( t + h) - P0 ( t) o( h) = - ¦ËP0 ( t ) + h h Áî h¡ú 0 , ±ãÓÐ ·Ö·½³Ì ΢ ¡ä P0 ( t) = - ¦ËP0 ( t) ÔÙ ³õ ʼ ¼þ ÓÉ Ìõ P0 (0 ) = P{ N(0) = 0} = 1 ±ã¿É½â³ö ʽ 2. 9) , µÃ (2. P0 ( t ) = e
Àà ËÆ µØ - ¦Ët

(2. 2. 9)

, ¶ÔÓÚ k¡Ý1 ÓÐ k Pk ( t + h) = P{ N( t + h) = k} = p{ N( t + h) - N(0) = k} = ¡Æ P{ N( t + h) - N( t ) = j, N( t ) - N(0 ) = k - j} j= 0

¡¤ 6 4 ¡¤

k

= ¡Æ P{ N( t + h ) - N( t) = j} P{ N( t ) - N(0 ) = k - j} j=0 ×¢Òâµ½ k ¡Æ P{ N( t + h) - N( t) = j} P{ N( t) - N(0) = k - j} j=2 k ¡Ü ¡Æ P{ N ( t + h) - N( t ) = j} j= 2 10

¡Ü ¡Æ P{ N ( t + h) - N( t ) = j} j=2 = o( h) Òò´Ë Pk ( t + h) = [1 - ¦Ë + o( h)] Pk ( t) + [¦Ëh + o( h)] Pk - 1 ( t) + o( h) h Õû ºó , Á½ Àí ±ßͬ³ý ÒÔh , ²¢ Áî h¡ú 0 , ¾Í¿ÉµÃ Pk ( t ) Âú×ãµÄ΢ ·Ö¡ª ²î ·Ö·½³Ì d Pk ( t) = - ¦ËPk ( t ) + ¦ËPk - 1 ( t) dt ÓÉ Ê¼ ¼þ ³õ Ìõ Pk (0 ) = P{ N(0) = k} = 0 k k ¡Ý 1 ( 2. 2. 10)

k ¡Ý 1

¼°ÒÑ ½â³ö µÄ P0 ( t ) , ÀûÓà ÄÉ·¨ ¿ÉµÃʽ(2. 2. 10) µÄ½â ¹é Pk ( t) = e ´Ó¶øµÃ N( t) µÄ·Ö²¼ÂÉΪ (¦Ët ) - ¦Ët P{ N ( t ) = k} = e k! (¦Ët ) k - ¦Ët P{ N ( s + t) - N( s) = k} = e k! k - ¦Ët

(¦Ët) k!

k = 1 , 2 , ¡-

k = 0 , 1 , ¡-

ÔÙ ¶¨ Òå2. 2. 7 ÖÐ ÓÉ µÄÌõ ¼þ(2 ) , ¿ÉµÃ N ( s + t ) - N( s) µÄ·Ö²¼ÂÉΪ k = 0 , 1 , ¡-

¹Ê ¶¨ Òå2. 2. 7 ÔÌºÏ ¶¨ Òå 2. 2. 6¡£ Äæ ÃüÌâ µÄÖ¤Ã÷ Áô¸ø ¶ÁÕßÈ¥Íê ³É ¡£

¡¤ 65 ¡¤

2. 3

Á¬ ÐøÐÍËæ »ú±äÁ¿¼°Æä ·Ö²¼

ÔÚ¾ ¡ì 2. 1 Àý2. 2 ÖÐ »ú±äÁ¿ X µÄÈ¡Öµ³ä ÂúÇø¼ä[ 0 , 1 ] , ± Õ µÄËæ
Òò´Ë X µÄËùÓÐ È¡Öµ²» ÄÜÒ»Ò»Áо٠À´ , X ²» ÊÇ ³ö ÀëÉ¢ÐÍËæ ±äÁ¿¡£ »ú ½øÒ»²½·ÖÎö X µÄ·Ö²¼º¯ Êý 0 F( x) = x 1 x x < 0 0 ¡Ü x < 1 x ¡Ý 1

¿ÉÒÔ µ½ F( x ) ¿ÉÒÔ Ê¾ ÈçÏ »ý ·ÖÐÎʽ ¿´ ±í Ϊ F( x ) = ¡Ò Æä ÖÐ f ( x) = 1 0 0 < x < 1 Æä Ëü
- ¡Þ

f( t )d t

Õâ¾ÍÊÇ Ëµ, X µÄ·Ö²¼º¯ ÊýÇ¡ÊÇ Ò»¸ö ·Ç ¸º º¯ Êý f ( x ) ÔÚ - ¡Þ , x]ÉÏ µÄ ( »ý ·Ö¡£ ÕâÑùµÄËæ »ú±äÁ¿ÎÒÃÇ ³ÆÖ® Á¬ Ϊ ÐøÐÍËæ »ú±äÁ¿¡£ ÓÚ ÓÐ Ãæ ÊÇ Ï ¶¨ Òå¡£ ¶¨ Òå2.3.1 Éè »ú±äÁ¿ X µÄ·Ö²¼º¯ ÊýΪ F( x) , Èô´æÔÚ ¸º Ëæ ·Ç x º¯ Êý f ( x) , ʹ µÃ¶ÔÓÚ ÒâʵÊý x, ÓÐ ÈÎ F( x ) = ¡Ò
- ¡Þ

f( t )d t

(2. 3. 1)

Ôò³Æ X Ϊ Á¬ ÐøÐÍËæ »ú±äÁ¿, ³Æ f( x ) Ϊ X µÄ¸Å ÂÊÃÜ ¶Èº¯ Êý , ¼ò³Æ¸Å ÂÊÃÜ ¶È»ò·Ö²¼ÃÜ ¶È¡£ ÒÔ ¿É°Ñ¸Å ÂÊÃÜ ºó ¶È¼òдΪ P. d¡£ ÓÉ ¶¨ ÒåÖª , ¸Å ÂÊÃÜ f( x ) ¾ßÓÐ Ï ÐÔ : ´Ë ¶È ÒÔ ÖÊ (1) f ( x ) ¡Ý0
+ ¡Þ

(2) ¡Ò ¡¤ 6 6 ¡¤

- ¡Þ

f( x ) d x = 1

x

(3) P{ x1 < X ¡Ü x2 } = ¡Ò

2

x

f ( x) dx

1

(4) Èô x Ϊ f ( x) µÄÁ¬ Ðøµã , ÔòÓÐ F¡ä x ) = f ( x) ( ÓÉ ÖÊ Öª½éÓÚ ÐÔ (2) ÇúÏß y = f ( x ) Óë Ox ÖáÖ® ¼äµÄÃæ µÈÓÚ1 »ý ( ¼ûͼ 2. 1 ) ¡£ ÓÉ Öª X ÂäÔÚ (3) Çø¼ä( x1 , x2 ] µÄ¸Å ÂÊ p { x1 < X¡Ü x2 } µÈÓÚ Çø¼ä( x1 , x2 ] ÉÏ ÇúÏß y = f ( x ) Ö® µÄÇú±ßÌÝ ÐεÄÃæ»ý ( ¼ûͼ Ï 2. 2) ¡£ ÓÉ ÖÊ 4) Öª , ÈôÒÑ ÐÔ ( ÖªÁ¬ ÐøÐÍËæ »ú±äÁ¿ X µÄ·Ö²¼º¯ Êý F( x ) , Ôò¿Éͨ ¹ý ¶Ô F( x ) Ç󵼵øŠÂÊÃÜ f( x ) ¡£ ÖÁ ÔÚ F ( x ) ²» ¿Éµ¼µÄ ¶È ÓÚ µã x ´¦ f} x) µÄÖµ¿ÉÈÎ S – í ³öANX Õâ²» »áÓ°Ïì ( 2. 3. 1 ) ʽ ( ûÔ / !$ bd@ Œ Og Òâ¸ø , ÒòΪ } µÄ³É Á¢¡£
¡ü ¡ú ¡ü ' äF äF f( x) f( x)
¥ •Œ ¾ Žb • ç

1 O x O x1 x2 x

ͼ

2 .1

ͼ

2 .2

¹Ø ÓÚ Á¬ Ðø ÐÍ Ëæ »ú ±ä Á¿ ¼° Æä ¸Å ÂÊ ÃÜ ¶È ÎÒ ÃÇ ÔÙ ×÷ Á½ µã ˵ Ã÷

(1) Èô X Ϊ ¾ßÓÐ ÂÊÃÜ f ( x ) µÄÁ¬ ¸Å ¶È ÐøÐÍËæ »ú±äÁ¿¡£ ÔòÓÐ P{ x0 < X ¡Ü x0 + ¦¤x} 1 x0 + ¦¤ x = ¡Ò f ( x) d x ¦¤x ¦¤ x x 0 Èç¹û x0
Ϊ

f( x ) µÄÁ¬ Ðøµã , ÓÐ lim ¦¤ 0 x¡ú P{ x0 < X ¡Ü x0 + ¦¤x} = f( x0 ) ¦¤x
´¦ µÄ º¯ Êý Öµ ´¦

Õâ ˵Ã÷ f( x ) ÔÚ x0
¼¯ ³Ì ¶È ¡±

f ( x0 ) ·´ Ó³ Á˸ŠÂÊÔÚ x0 µÄ ¸Å ÂÊ ¡£ Éè Ïë Ò» Ìõ ¼« ϸ

µã

´¦

µÄ ¡°

ÃÜ µÄ

, ¶ø ²» ±í ʾ X ÔÚx0

µÄ ÎÞ Çî ³¤

½ð Êô ¸Ë

, ×Ü Á¿Îª 1 , ¸Å ÂÊÃÜ ÖÊ ¶ÈÏà µ±ÓÚ ¸÷µãµÄÖÊ Á¿ÃÜ ¶È¡£ ¡¤ 67 ¡¤

(2) Èô X Ϊ Á¬ ÐøÐÍËæ »ú±äÁ¿, ÓÉ Òå2. 3. 1 Öª X µÄ·Ö ²¼º¯ Êý ¶¨

F( x ) Ϊ Á¬ Ðøº¯ Êý( ×¢Òâ: ·´ Ö® È») ¡£ Òò´Ë X È¡Ò»¸ö µã a µÄ¸Å ÂÊP ²» { X = a}Ϊ Áã, ÊÂʵÉÏ P{ X = ¦Á} = F( a) - F( a - 0) = 0 (2. 3. 2) ¾Ý ÔÚ ËãÁ¬ ´Ë ¼Æ ÐøÐÍËæ »ú±äÁ¿ X ÂäÔÚ Ò»Çø¼äµÄ¸Å ÂÊʱ, ¿ÉÒÔ Ä³ ²» ±Ø Çø·Ö¸Ã Çø¼äÊÇ Çø¼ä»ò±Õ ¿ª Çø¼ä»ò°ë ¿ª °ë ±Õ ÇøÓò, ¼´ÓÐ P{ a < X ¡Ü b} = P{ a < X < b} = P{ a ¡Ü X < b} b = P{ a ¡Ü X ¡Ü b} = f ( x )d x ¡Ò a

(2. 3. 3)

ÔÚ ÕâÀï ʼþ{ X = a}²¢ ·Ç ²» ¿ÉÄÜʼþ, Òò´Ë ÕâÒ»ÊÂʵ˵Ã÷: ¸Å ÂÊΪ ÁãµÄʼþ²» Ò»¶¨ ÊÇ ¿ÉÄÜ ²» ʼþ, ͬÑù, ¸Å ÂÊΪ 1 µÄÊ ¼þ²» Ò»¶¨ ÊÇ È»Ê ±Ø ¼þ¡£ Àý2.8 Éè »ú±äÁ¿ X ¾ßÓÐ ÂÊÃÜ Ëæ ¸Å ¶È f ( x) = acos x 0 Çó(1) ³£ Êý a ; (2 ) P{0 < X < | x|< Æä Ëü ¦Ð 2

¦Ð } ; (3) X µÄ·Ö²¼º¯ Êý F( x ) ¡£ 4 ½â (1) ÓÉ ÂÊÃÜ ¸Å ¶ÈµÄÐÔ (2) Öª ÖÊ ¦Ð + ¡Þ 2 1 = f( x ) d x = ¡Ò ¡Ò ¦Ð a cos xd x = 2 a
- ¡Þ 2

ËùÒÔ a =

¦Ð ¦Ð 4 4 1 ¦Ð 2 (2) P 0 < X < = f ( x )d x = ¡Ò 0 ¡Ò 0 2 cos xd x = 4 4 x 1 2

(3) F( x ) = ¡Ò µ± x < µ± ¡¤ 6 8 ¡¤

f ( t) d t
- ¡Þ

¦Ð ʱ 2

F( x) = 0

¦Ð ¦Ð ¡Ü x < ʱ 2 2

1 1 cos xd x = (1 + sin x ) 2 2 ¦Ð 2 ¦Ð 1 µ± x ¡Ý ʱ F( x ) = ¡Ò - ¦Ð 2 cos xd x = 1 2 2 F( x) = ¡Ò
¦Ð 2

x

ÓÚ X µÄ·Ö²¼º¯ ÊýΪ ÊÇ 0 F( x) = 1 (1 + sin x ) 2 1 Àý2.9 x < ¦Ð ¦Ð ¡Ü x < 2 2 x ¡Ý ¦Ð 2 ¦Ð 2

Éè Ðø Á¬ ÐÍËæ »ú±äÁ¿ X µÄ·Ö²¼º¯ Êý F( x ) Ϊ F( x ) = a + be 0 x 2
2

x ¡Ý 0 x < 0

Çó(1) ³£ Êý a, b; (2) P{ - 1¡Ü X¡Ü1} ; (3 ) X µÄ¸Å ÂÊÃÜ f ( x) ¡£ ¶È ½â (1) ÓÉ ·Ö²¼º¯ ÊýµÄÐÔ (2) Öª ÖÊ 1 = x ¡ú + ¡Þ F( x ) = a lim ÓÚ ÊÇ a = 1¡£ 0 = F( - 0 ) = F(0 ) = a + b = 1 + b ËùÒÔ b = - 1 , ÓÚ ÊÇ F( x ) = 1 - e 0 x 2
2

ÓÖ ÒòΪ X Ϊ Á¬ ÐøÐÍËæ »ú±äÁ¿, ËùÒÔ F( x) ÔÚx = 0 ´¦ Á¬ ¹Ê ÓÐ Ðø,

x ¡Ý 0 x < 0
1 2

(2) P{ - 1¡Ü X¡Ü1} = F( 1) - F( - 1) = 1 - e x2 2

- 0¡Ö0 .3935

(3) ÓÉ ÂÊÃÜ ¸Å ¶ÈµÄÐÔ (4) ¿ÉµÃ X µÄ¸Å ÂÊÃÜ ÖÊ ¶ÈΪ f( x ) = xe 0
-

x > 0 x ¡Ü 0 ¡¤ 69 ¡¤

1. ¾ù È Ô ·Ö²¼ ¶¨ 2.3.2 Òå Èô Ðø Á¬ ÐÍËæ »ú±äÁ¿ X µÄ¸Å ÂÊÃÜ ¶Èº¯ ÊýΪ f( x) = 1 b - a 0 º¯ ÊýΪ 0 F( x ) = x - a b - a 1 Ëùʾ ¡£ ¡ü ¡ú '
¡ü ¡ú ' f ( x) 1 F( x )

a < x < b Æä Ëü

(2. 3. 4)

Ôò³ÆX ÔÚ Çø¼ä( a , b) ÉÏ ·þ ´Ó¾ùÔÈ·Ö²¼ , ¼Ç X¡« U( a, b) , X µÄ·Ö ²¼ Ϊ x < a a ¡Ü x < b x ¡Ý b (2. 3. 5)

Æä ÂÊÃÜ ¸Å ¶Èº¯ Êý f ( x ) Óë·Ö²¼º¯ Êý F( x ) µÄͼÐÎÈçͼ 2. 3 ºÍ ͼ 2. 4

a

O

b

a

O

b

x

ͼ Èô

2 .3

ͼ 2 .4

X¡« U( a , b) , ÄÇ X ÔÚ a , b) ÄÚ Ò»×Ó Ã´ ( ÈÎ Çø¼ä( c, d ) ÄÚ Öµ È¡ 1 d - c P{ c < X < d} = ¡Ò c b - a d x = b - a d µÄ¸Å ÂÊΪ

Õâ±í Ã÷ X È¡ÖµÓÚ a , b) ÄÚ Ò»×Ó ( ÈÎ Çø¼äµÄ¸Å ÂÊÓë¸Ã Çø¼äµÄ³¤ ¶È³É Õý ±È, ¶øÓë¸Ã ×Ó Çø¼äµÄ¾ßÌå λ Öà ¹Ø¡£ Õâ¾ÍÊÇ ÎÞ ¾ùÔÈ ·Ö²¼µÄ¸Å ÂÊÒâÒå¡£ ÔÚ ÊýÖµ¼Æ ËãÖÐ ÓÉ ËÄÉáÎå Èë , СÊýµãºó µÚһλ СÊýËùÒýÆð , ÓÚ µÄ ¡¤ 7 0 ¡¤

X , Ò»°ã ¿ÉÒÔ ×÷ Ò»¸ö ·þ ´ÓÔÚ - 0 .5 , 0 .5 ) ÉÏ µÄ¾ùÔÈ ¿´ ÊÇ ( ·Ö²¼µÄ Ëæ »ú±äÁ¿¡£ ÓÖ ÈçÔÚ Çø¼ä[ a , b ]ÉÏ Ëæ Ͷ ÖÀ »ú Ò»µã , Óà X ±í ʾ µã µÄ ´Ë ×ø±ê, ÔòÒ»°ã µØ, Ò²¿É°Ñ X ¿´ ×÷ Ò»¸ö ·þ ´Ó( a , b) ÉÏ µÄ¾ùÔÈ ÊÇ ·Ö²¼µÄ Ëæ »ú±äÁ¿¡£ 2. Ö¸Êý ·Ö²¼ ¶¨ 2.3.3 Òå f ( x) = Èô Ðø Á¬ ÐÍËæ »ú±äÁ¿ X ¾ßÓÐ ÂÊÃÜ ¸Å ¶È ¦Ëe 0
- ¦Ëx

x > 0 x ¡Ü 0 1 - e 0
- ¦Ëx

( ¦Ë > 0 ÊÇ Êý) (2. 3. 6) ³£

Ôò³Æ X ·þ ´Ó²Î ÊýΪ ¦Ë µÄÖ¸Êý·Ö²¼¡£ X µÄ·Ö²¼º¯ ÊýΪ F( x) = x ¡Ý 0 x < 0 (2. 3. 7)

f ( x ) ºÍ F( x ) µÄͼÐÎÈçͼ 2. 5 ºÍ ͼ 2. 6 Ëùʾ ¡£ ¡ü ¡ú '
¡ü ¡ú ! ' ¦Ë 1 f ( x)

O

x

O

ͼ

2 .5
¿É ¿¿ ÐÔ Àí

ͼ 2 .6
ÂÛ ÖÐ ÓÐ ×Å ¹ã ·º µÄ Ó¦ ÓÃ

Ö¸ Êý ·Ö ²¼ ÔÚ ÅÅ ¶Ó ÂÛ ºÍ

, ³£ ÓÃËü

À´ ×÷ ¸÷ÖÖ ÊÙ ·Ö²¼µÄ½üËÆ ÀýÈçµç ×Ó Îª ¡° Ãü¡± ¡£ Ôª¼þµÄÊÙ Ëæ»ú·þ Îñ Ãü, ϵ ͳ ÖÐ µÄ·þ Îñ ʱ ¼äµÈ³£ ¼Ù Ϊ ·þ ´ÓÖ¸Êý·Ö²¼¡£ ¶¨ Ö¸Êý·Ö²¼ÓÐ Ò»¸ö ÓÐ ±ðÓÚ Ëü·Ö²¼µÄÌØÐÔ ÎÞ ¼Ç Æä ¡° ÒäÐÔ ¡£ ¶ÔÓÚ ¡± ÈÎ Òâ s > 0 , t > 0 , ÓÐ P X ¡Ý s + t
Òò ´Ë

P{ X ¡Ý s + t} e = X ¡Ý s = P{ X ¡Ý s} e - ¦Ës P X¡Ý s + t x¡Ý s = P{ X¡Ý t}

- ¦Ë( s+ t)

= e - ¦Ët

¡¤ 71 ¡¤

X ½âÊÍ Îª ij ÉúÎï µÄÊÙÃü, ÔòÉÏ Ê½ Ã÷´Ë ÉúÎï »î ÁË s ±í Äê , ÔÙ t ÄêµÄ¸Å ÂÊÓëÄêÁä s ÎÞ ¹Ø¡£ ËùÒÔ Ê±·ç ȤµØ³ÆÖ¸Êý·Ö ²¼ »î ÓÐ ¡° ÓÀ Ô¶ÄêÇᡱ µÄ¡£ Àý 2.10 Èô ʹÓÃt Сʱ ÒÑ µÄµç ×Ó , ÔÚ ºó µÄ ¦¤t Сʱ ʧЧ ¹Ü ÒÔ ÄÚ µÄ¸Å ÂÊΪ ¦Ë + o( ¦¤t ) , Æä ¦¤t ÖЦË(¦Ë > 0 ) ÊÇ ÒÀ ²» ÀµÓÚ t µÄ³£ Êý , Çóµç ×Ó ¹ÜÔÚT Сʱ ʧЧµÄ¸Å ÂÊ( ¼Ù µç ×Ó ÄÚ ¶¨ ¹ÜÊÙ ÃüΪ ÁãµÄ¸Å ÂÊÊÇ ¡£ Áã) ½â Éèµç ×Ó µÄÊÙÃüΪ ¹Ü ( t) ¡£ °´ Ìâ ÉèÓÐ P{ t < X¡Ü t + ¦¤t ÉÏ Ê½ ×ó¶ËµÈÓÚ P{ t < T¡Ü t + ¦¤t} F( t + ¦¤t ) - F( t ) = P{ X > t} 1 - F( t) Òò¶ø F( t + ¦¤ t) - F( t ) = ¦Ë + o( ¦¤t ) ¦¤t 1 - F( t ) ¼´ F( t + ¦¤t) - F( t ) = [¦Ë + o(1 ) ] (1 - F( t ) ) ¦¤t Áî ¦¤t¡ú 0 , µÃ ¡ä F ( t ) = ¦Ë(1 - F( t) ) Áª ϵ µ½³õ ʼ ¼þ Ìõ F(0) = 0 ½âµÃ F( t ) = 1 - e
¹Ê µç ×Ó ¹Ü ÔÚ - ¦Ët

X ( Сʱ) , ²¢ Éè X µÄ·Ö ²¼º¯ ÊýΪ F X > t} = ¦Ë t + o( ¦¤t ) ¦¤

T Сʱ ʧЧµÄ¸Å ÂÊΪ ÄÚ P{ X¡Ü T} = F( T ) = 1 - e
- ¦ËT

˳ ±ã ¿´

³ö

, X ÓÐ ÂÊÃÜ ¸Å ¶ÈΪ f( x) = ¦Ëe 0
- ¦Ëx

x>0 x¡Ü0

¡¤ 7 2 ¡¤

X ·þ ´Ó²Î ÊýΪ ¦Ë µÄÖ¸Êý·Ö²¼¡£ 3. Õý ̬·Ö²¼ ¶¨ 2.3.4 Òå f ( x) = Èô »ú±äÁ¿ X µÄ¸Å ÂÊÃÜ Ëæ ¶ÈΪ 1 e 2¦Ð ¦Ò
2 ( x - ¦Ì ) 2¦Ò
2 2

- ¡Þ < x < + ¡Þ

(2. 3. 8) µÄ Õý

2 Æä ÖÐ- ¡Þ < ¦Ì < + ¡Þ , ¦Ò> 0 Ϊ ³£ Êý, Ôò³Æ X ·þ ´Ó²Î ÊýΪ ¦Ì , ¦Ò ̬ ·Ö ²¼

, ¼Ç X¡« N( ¦Ì ,¦Ò ) ¡£ Ϊ 1 ¡Ò 2¦Ð ¦Ò x - ¡Þ ( t - ¦Ì ) 2¦Ò
2 2

X µÄ·Ö²¼º¯ ÊýΪ F( x ) =
+ ¡Þ

e

-

dt

ÀûÓÃ ¡Ò

e
- ¡Þ

x - 2

2

+ ¡Þ

dx =
+ ¡Þ

2¦Ð, ¿ÉÒÔ ¡Ò Ö¤Ã÷ f( x ) d x =

f( x ) d x = 1 , ÊÂʵÉÏ
- ¡Þ + ¡Þ - ¡Þ

¡Ò Áî

- ¡Þ

1 ¡Ò 2 ¦Ð¦Ò

e

-

( x - ¦Ì ) 2 ¦Ò
2

2

dx

x - ¦Ì = t, Ôò ¦Ò
+ ¡Þ

¡Ò

- ¡Þ

f( x ) d x =

1 + ¡Þ - t2 e dt = ¡Ò 2¦Ð - ¡Þ

2

1 2¦Ð

2¦Ð = 1

Õý̬ ·Ö²¼µÄÃÜ ¶Èº¯ Êý f ( x) ¾ßÓÐ Ï ¼¸ºÎ ÌØÕ÷ ÒÔ : 1 ; 2¦Ð ¦Ò (2) ÇúÏß y = f ( x ) ¹ØÓÚ Ïß x = ¦Ì ¶Ô³Æ, ÓÚ Ö± ÊǶÔÓÚ Òâ h > ÈÎ (1) ×î ´ó ÖµÔÚx = ¦Ì ´¦ , ×î ´ó ֵΪ 0 , ÓÐ P{¦Ì - h < X¡Ü¦Ì } = P{¦Ì < X¡Ü¦Ì + h} (3) ÇúÏß y = f ( x) ÔÚx = ¦Ì ¡À¦Ò´¦ ÓÐ ¹Õµã ; (4) µ± x¡ú ¡À¡Þʱ, ÇúÏß y = f( x ) ÒÔ x ÖáΪ ½¥½üÏß ¡£ Áí Íâ , µ± ¦Ò¹Ì ¶¨ , ¸Ä ±ä ¦Ì µÄÖµ, y = f ( x ) µÄͼÐÎÑØ Ox Öáƽ ÒÆ ¶ø²» ¸Ä ±äÐÎ×´ ( ¼ûͼ 2. 7) , ¹Ê ¦Ì ÓÖ ³ÆΪ λ Öà Êý¡£ Èô ¦Ì ¹Ì ¶¨ , ¸Ä ±ä ²Î ¦ÒµÄÖµ, y = f ( x ) µÄͼÐ뵀 ÐÎ×´ Ëæ ¦ÒµÄ Ôö´ó ¶ø ±äµÃ ƽ ( ¼ûͼ ̹ ¡¤ 73 ¡¤

2. 8) ¡£ Òò¶ø ¦ÒÔ½ X ÂäÔÚ ¸½½üµÄ¸Å ÂÊÔ½ ¡£ С, ¦Ì ´ó
¡ú ¡ü ! ' g¢† • f( x) ¹ É •-Ñ ¹í • f( x)

¦Ò= 0 .5 ¦Ò= 1 ¦Ò= 2

O ¦Ì - h ¦Ì

¦Ì - h

¦Ì1

x

O

¦Ì

x

ͼ 2 .7

ͼ

2 .8

X¡« N (0 , 1 ) ¡£ Æä ÂÊÃÜ ¸Å ¶Èº¯ ÊýºÍ ·Ö ²¼º¯ Êý·Ö ±ðÓæÕ( x ) ºÍ ¦µ ( x ) ±í ʾ , ¼´ ¦Õ( x ) =
¦µ

²Î Êý ¦Ì = 0 ,¦Ò= 1 µÄÕý̬ ·Ö ²¼³ÆΪ ±ê×¼Õý̬ ·Ö²¼ , ¼Ç Ϊ

1 e2 ¦Ð 1 ¡Ò 2¦Ð x x 2

2

( x) =

- ¡Þ

e

-

t 2

2

dt

¦Õ( x) , ¦µ ( x ) µÄͼÐÎÈçͼ 2. 9 ºÍ ͼ 2. 10 Ëùʾ ¡£
¡ú ¡ü ' f( x) 1

!

¦Õ ( x ) 1 2

O ͼ

¦Ì

x

- a

O

a

x

2 .9

ͼ 2 .10

ÓÉÕý̬ ÃÜ¶È º¯ Êý µÄ¼¸ ºÎ ÌØ ÐÔÒ×Öª

(2. 3. 9) º¯ Êý ¦µ ( x ) д²» ³ö ËüµÄ½âÎö ±í ´ï ʽ ÈËÃÇÒÑ , ±àÖÆ ÁËËüµÄº¯ Êý ¡¤ 7 4 ¡¤

¦µ ( - x ) = 1 - ¦µ ( x)

, ¿É¹©²é Óà ¼û¸½±í ¶þ) ¡£ ( ¶Ô Ò»°ã µÄÕý̬ ·Ö ²¼ , Æä ÓÚ ·Ö²¼º¯ Êý F ( x ) ¿ÉÓà ±ê×¼ Õý̬ ·Ö ²¼
2 µÄ·Ö²¼º¯ Êý ¦µ ( x ) ±í ´ï ¡£ Èô X¡« N( ¦Ì ,¦Ò ) , X µÄ·Ö²¼º¯ Êý F( x) Ϊ

F( x ) = Áî t - ¦Ì = s, Ôò ¦Ò F( x ) = 1 ¡Ò 2¦Ð

1 ¡Ò 2¦Ð ¦Ò

x - ¡Þ

e

-

( t - ¦Ì ) 2 ¦Ò
2

2

dt

x - ¦Ì ¦Ò - ¡Þ

e

-

s 2

2

d s = ¦µ

x - ¦Ì ¦Ò

( 2. 3. 10)

Òò´Ë , ¶ÔÓÚ ÒâµÄʵÊý a , b( a < b) , ÓÐ ÈÎ P{ a < X ¡Ü b} = F( b) - F( a) b - ¦Ì a - ¦Ì = ¦µ - ¦µ ¦Ò ¦Ò Àý 2.11 ½â

( 2. 3. 11)

Éè X¡« N(0 , 1) , Çó P{1 < X < 2} , P{ | X | ¡Ü1 .54}¡£

P{1 < X¡Ü2} = ¦µ (2) - ¦µ (1 ) = 0 .977 2 - 0 .841 3 = 0 .135 9 P{ | X | ¡Ü1 .54} = P{ - 1 .54¡Ü X¡Ü1 .54 } = ¦µ (1 .54) - ¦µ (1 .54) = 2¦µ (1 .54) - 1 = 2¡Á0 .938 2 - 1 = 0 .876 4

Àý2.12

ijÒÇ Ðè ×° Ò»¸öµç×Ó Æ÷ °² Ôª¼þÒª Çóµç ×Ó , Ôª¼þµÄʹ ÓÃ
2

ÊÙ Ãü²» µÍ ÓÚ1 000 Сʱ¼´¿É¡£ ÏÖÓÐ ¼×ÒÒ ³§ µÄµç ×ÓÔª ¼þ¿É¹©Ñ¡ Á½ Ôñ, ¼× Éú²ú µÄµç ×Ó ³§ Ôª¼þµÄÊÙ Ãü·þ ´ÓÕý̬·Ö²¼ N( 1 100, 50 ) , ÒÒ ³§ Éú²ú µÄµç ×Ó Ôª¼þµÄÊÙ Ãü·þ ´ÓÕý̬·Ö²¼ N(1 150 , 80 ) ¡£ ÎÊ Ó¦Ñ¡Äĸö ¹¤ ³§ µÄ²ú Æ·ÄØ? ÈôÒªÇóÔª¼þµÄÊÙ Ãü²» µÍ ÓÚ1 050 Сʱ, ÓÖ ÈçºÎ ÄØ? ½â Éè¼× ÒÒ ³§ µÄµç ×Ó ¡¢ Á½ Ôª¼þµÄÊÙ Ãü·Ö±ð¼Ç X ºÍ Y, Ôò X¡« Ϊ N( 1 100 , 502 ) , Y¡« N(1 150 , 802 ) , ÒÀ ÒâÒª±È Ì⠽ϸŠÂÊ P{ X¡Ý1 000} ºÍ P{ Y¡Ý1 000}µÄ´ó С¡£ Á½ ¸Å ÂÊÈçÏ : ¸ö P{ X ¡Ý 1 000} = 1 - P{ X < 1 000} = 1 - ¦µ 1 000 - 1 100 50 ¡¤ 75 ¡¤
2

= 1 - ¦µ ( - 2) = ¦µ (2) = 0 .977 2

1 000 - 1 150 80 = 1 - ¦µ ( - 1 .875 ) = ¦µ (1. 875) = 0 .970 0 ¿É¼û P{ X¡Ý1 000} > P{ Y¡Ý1 000} , ËùÒÔ Ó¦Ñ¡¼× µÄ²ú Æ·¡£ ³§ ÈçÒªÇóÊÙ Ãü²» µÍ ÓÚ1 050 Сʱ, Ôò¿¼ÂÇ µÄÁ½ ¸Å ÂÊÈçÏ : ¸ö 1 050 - 1 100 P{ X¡Ý1 050} = 1 - P{ X < 1 050} = 1 - ¦µ 50 = ¦µ ( 1) = 0 .841 3 1 050 - 1 150 P{ Y¡Ý1 050} = 1 - P{ Y < 1 050} = 1 - ¦µ 80 = ¦µ ( 1 .25) = 0 .894 4 ±È½ÏÁ½ ¸ÅÂÊ Ð¡¾ÍÖªÓ¦ Ñ¡ÒÒ µÄ²ú Æ·¡£ ¸ö ´ó ³§ P{ Y ¡Ý 1 000} = 1 - P{ Y < 1 000} = 1 - ¦µ Àý2.13
2 ¼Ù è É µçÔ´µçѹ X( ·ü ) ¡« N(220 ,¦Ò ) , Èôµç ѹ ³¬¹ý 240

·ü , Ôòij ÖÖ Æ÷ µç ¾Í»áË𻵠, ·ñ Ôò²» »áË𻵡£ ÈôÒªÇóÕâÖÖ Æ÷ µç Ëð»µµÄ ¸ÅÂʲ» ³¬¹ý 0 .025¡£ ÔòÓ¦ ¶Ôµç ѹ µÄ²¨ ¶¯ ×÷ºÎ ÏÞ ÖÆ ¼´Òª Çó ¦Ò²» µÃ , ³¬¹ý ¶àÉÙ? ½â ÒÀ Òâ, ÎÒÃÇ Ìâ ÒªÇó P{ X > 240} = 1 - ¦µ ¼´µÃ ¦µ 20 ¡Ý0 .975 ¦Ò 20 ¡Ü0 .025 ¦Ò

20 ¡Ý1 .96 ¦Ò ´Ó¶ø µÃ ¦Ò¡Ü10 .2 ÒªÇó¦Ò²» µÃ³¬ ¹ý 10 .2 ( ·ü ) ¡£ ÔÚ Êµ¼Ê , Ðí¶àËæ ÖÐ »ú±äÁ¿¶¼ ´Ó»ò½üËÆ ´ÓÕý̬·Ö²¼¡£ ÀýÈç: ·þ ·þ ij µØÇø³É ÄêÄÐ È˵ÄÉí ¸ß , ²â Á¿Ä³ ¸ö Á¿Ëù²ú ÉúµÄËæ»úÎó ²î ¡£ ºÜ ¶à ÐÔ ²ú Á¿µÄÖÊ Á¿Ö¸±ê( ÈçÔª¼þµÄÊÙ ²ú Æ·µÄ³¤ ¶È¡¢ Ãü, Ç¿¶ÈµÈ) ¶¼ ¿ÉÈÏ Îª ½ü ËÆ ´ÓÕý̬·Ö²¼¡£ ÔÚ ÂÊÂÛ ·þ ¸Å µÄÀí ÂÛ ¾¿ºÍ ʵ¼Ê ÑÐ Ó¦Óà Õý̬Ëæ ÖÐ »ú±ä Á¿( °ü À¨ Ï һÕ ½éÉÜ µÄ¶àάÕý̬·Ö²¼) Æð ÌرðÖØ ×Å ÒªµÄ×÷ ¡£ Óà ¡¤ 7 6 ¡¤

2 .4

Ëæ »ú±äÁ¿º¯ ÊýµÄ·Ö²¼
Êý¸ü ¸ÐÐË ÔÚ È¤, һЩ ÊÔ

ÔÚµ ÖÐ ³£ ¶Ôij Щ »ú±äÁ¿µÄº¯ Ê ¼Ê , ÎÒÃÇ Ëæ

ÑéÖÐ ÎÒÃÇ , Ëù¹ØÐÄ µÄËæ »ú±äÁ¿²» ÄÜ ½Ó Á¿µÃµ½, ¶øÊÇ ¸ö ÄÜ ½Ó Ö± ²â ij Ö± ²â Á¿µÄËæ »ú±äÁ¿µÄº¯ Êý¡£ ±È Èçij ÖÖ ¹Ü¿ÚµÄÖ± X ÊÇÒ»¸ö ¾ßÓÐ ¾¶ ij ¸ö ·Ö²¼µÄËæ»ú ±äÁ¿¡£ ¶øÎÒÃǹØÐĵÄÈ´ ÊÇ ½Ø »ý A = ºá Ãæ
Ϊ

¦Ð 2 X ¡£ Òò 4 X ÊÇ Ñé½á¹û µÄº¯ Êý , Òò¶ø A Ò² ÊÇ ÊÔ ÊÔÑé½á¹û µÄº¯ Êý , Ò² ¾ÍÊÇ˵

A ÊÇ Ò»¸ö Ëæ »ú±äÁ¿, ÎÒÃÇÏ£ Íû ͨ ¹ý X µÄ·Ö²¼ÇóµÃ A µÄ·Ö²¼¡£ ÔÚ Õâ Ò»½Ú ÎÒÃÇ Àï ÌÖÂÛ ÕâÖÖ ±éÐÔ Ìâ ¡£ ÆÕ ÎÊ Éè y = g( x ) Ϊ Ò»¸ö ͨ ³£ µÄÁ¬ Ðøº¯ Êý , X Ϊ ¶¨ Òå¸Å ÂÊ¿Õ¼ä( ¦¸ , F , P) ÉÏ µÄËæ »ú±äÁ¿, Áî Y = g( X) , ÄÇ Y Ò²ÊÇ Ã´ Ò»¸ö ¶¨ ÒåÔÚ ¦¸ , F, ( P) ÉÏ µÄËæ »ú±äÁ¿¡£ Èô X µÄ·Ö ²¼ÒÑ , ÈçºÎ È· ¶¨ Y µÄ·Ö ²¼¾ÍÊDZ¾ Öª ½Ú ¾¿µÄÄÚ ÑÐ ÈÝ¡£ Ò»¡¢ Àë É¢ ÐÍ Ëæ»ú ±ä Á¿ º¯ Êý µÄ ·Ö ²¼ Éè X ÊÇ ÀëÉ¢ÐÍËæ»ú ±äÁ¿, Y ÊÇ X µÄº¯ Êý Y = g ( X ) ¡£ ÄÇô Y Ò²ÊÇ ÀëÉ¢ÐÍËæ »ú±äÁ¿¡£ Ï Ãæ Ò»¸ö Àý×Ó ¾Ù ˵Ã÷ÈçºÎ ÓÉ X µÄ·Ö ²¼ÂÉ È¥È· ¶¨ Y µÄ·Ö²¼ÂÉ¡£ Àý 2 .14 Éè É¢ Àë ÐÍËæ »ú±äÁ¿ X µÄ·Ö²¼ÂÉΪ X P -1 2 10 0 1 10 1 1 10 2 3 10 3 3 10

Çó(1) Y = X - 1; (2) Y = - 2 X2
½â ÓÉ

µÄ ·Ö ²¼ ÂÉ ¡£

X µÄ·Ö²¼ÂɿɵÃÏ ±í ¡¤ 77 ¡¤

P X X-1 - 2X
2

2 10 -1

1 10 0

1 10 1 0

3 10 2 1

3 10 3 2

-2 -1 -2 0

- 2 - 8 - 18

ÓÉ ±í Ò× ÉÏ µÃ(1) , ( 2) ÖÐY µÄ·Ö²¼ÂÉ¡£ (1) Y = X - 1 µÄ·Ö²¼ÂÉ Îª Y P -2 -1 2 10 1 10 0 1 10 1 3 10 2 3 10

(2) Y = - 2 X

2 µÄ ·Ö ²¼ ÂÉ Îª

Y P

- 18 - 8 - 2 3 10 3 10 3 10

0 1 10

ÓÉ Àý2 .14 ¿ÉÒÔ ³ö ´Ë ÀàÎÊ Ì⠽ϼòµ¥ , Ò»°ã , ÎÒÃÇ ÓÉ X µÄÈ¡ ¿´ ÏÈ Öµxk , ( k = 1 , 2 , ¡- ) Çó³ö Y = g ( X ) µÄÈ¡Öµ yk = g ( xk ) , ( k = 1 , 2 , ¡- ) , Èç¹û Öî yk
¸÷ ²» Ïà ͬ

, ÔòÓÉ X µÄ·Ö²¼ÂÉ P{ X = xk } = pk , k = 1 ,
ÖÐ

2 , ¡- , ±ã¿ÉµÃ Y µÄ·Ö²¼ÂÉ: P{ Y = yk } = pk , k = 1 , 2¡- ¡£ ÈçÖî yk
ÓРЩ Öµ Ïà ͬ

, ÔòÓ¦°ÑÏà ͬµÄÖµºÏ ²¢ ²¢ ½«¶ÔÓ¦µÄ¸Å ÂÊ¼Ó Ò»Æð ÔÚ ÔÚ ¡£ 2 10

±¾ ÀýµÄ(2) ÖÐ X µÄÁ½ È¡Öµ - 1 ºÍ 1 ¶¼¶ÔÓ¦ Y µÄÒ»¸ö Öµ - 2 , ÕâÑù , ¸ö P{ Y = - 2 } = P{ X = - 1 »ò X = 1} = P{ X = - 1} + P{ X = 1} = ¡¤ 7 8 ¡¤

+

1 3 = ¡£ 10 10 ¶þ ¡¢ Á¬ÐøÐÍ Ëæ»ú ±ä Á¿º¯ Êý µÄ·Ö ²¼ Éè X Ϊ Á¬ÐøÐÍËæ»ú ±äÁ¿, ¾ßÓÐ ÂÊÃÜ¶È f X ( x ) ¡£ ÓÖ Y = g ¸Å

( X) , ÔÚ ²¿ ·ÖÇé¿öÏ Y Ò²ÊÇ ÐøÐÍËæ ´ó Á¬ »ú±äÁ¿¡£ Ϊ ÁËÇó³ö Y µÄ¸Å ÂÊÃÜ f Y ( y) , ÎÒÃÇ ¶È ¿ÉÏÈ Çó³ö Y µÄ·Ö²¼º¯ Êý F Y ( y ) Fy ( y) = P{ Y ¡Ü y} = P{ g( X) ¡Ü y} = ¡Ò g ( x) ¡Ü y

fX ( x ) d x (2. 4. 1)

ÔÙ F Y ( y ) ±ã¿É³ö Çó Y µÄ¸Å ÂÊÃÜ fY ( y ) = F ¡ä y ) ¡£ ¼Æ ÓÉ ¶È ËãµÄ¹Ø ¼ü Y ( ÊÇ ³ö (2 .4 .1 ) ʽ ¸ø µÄ»ý ·ÖÇø¼ä¡£ ¼´½«Ê¼þ{ Y¡Ü y}ת »¯ Ϊ Óà X ±í ʾ µÄʼþ{ X¡Ê Iy }¡£ Æä Iy = { x | g( x ) ¡Ü y}¡£ ÕâÖÖ ÖÐ ·½·¨ ÎÒÃdzÆÖ® Ϊ ·Ö²¼º¯ Êý·¨ ¡£ Ï Ãæ Àý˵Ã÷ ¾Ù ¡£ Àý 2 .15 Éè Ðø Á¬ ÐÍËæ »ú±äÁ¿ X ¾ßÓÐ ÂÊÃÜ ¸Å ¶È f( x ) = x 8 0 Çó Y = 2 X + 1 µÄ¸ÅÂÊ ¶È fY ( y ) ¡£ ÃÜ ½â ÏÈ Çó³ö Y µÄ·Ö²¼º¯ Êý FY ( y) FY ( y ) = P{ Y¡Ü y} = P{2 X + 1¡Ü y} = P{ X¡Ü = ¡Ò y-1 2 - ¡Þ

0 < x < 4 Æä Ëü

y-1 } 2

fX ( x) d x y0 Æä Ëü

fY ( y ) = 0 ½á¹û ¡£ ¶¨ Àí 2 .4 . 1

µ±º¯ Êý y = g( x ) ¿Éµ¼ÇÒ Ñϸñ µ¥µ÷º¯ Êýʱ, ÎÒÃÇ Ï Ãæ Ϊ ÓÐ Ò»°ã Éè »ú±äÁ¿ X ¾ßÓÐ ÂÊÃÜ fX ( x ) ¡£ º¯ Êý g( x) Ëæ ¸Å ¶È

Ϊ ( - ¡Þ , + ¡Þ ) ÄÚ µÄÑÏ ¸ñ µ¥ µ÷µÄ¿Éµ¼º¯ Êý , Ôò Y = g( X) Ò² ÊÇ Ò»¸ö Á¬ ÐøÐÍËæ »ú±äÁ¿, ÇÒ Y µÄ¸Å ÂÊÃÜ ¶Èº¯ ÊýΪ (2 .4 .2 ) 0 Æä Ëü Æä ÖÐx = h ( y ) ÊÇ y = g ( x ) µÄ·´ º¯ Êý , ¦Á = min ( g ( - ¡Þ ) , g ( + ¡Þ ) ) ,¦Â= max( g ( - ¡Þ ) , g( + ¡Þ ) ) ¡£ ¡¤ 8 0 ¡¤ fY ( y) = fX ( h( y ) ) | h¡ä y) | ( ¦Á< y < ¦Â

y = g( x) Ñϸñ µ¥µ÷Ôö¼Ó ÔòËüµÄ·´ º¯ Êý x = h ( y ) ´æ , ÔÚ Ò²Ñϸñ µ¥µ÷Ôö¼Ó ÒòΪ Y = g( X) ÔÚ ÇÒ ¡£ Çø¼ä( ¦Á, ¦Â) ÄÚ È¡Öµ, ËùÒÔ µ± y < ¦Áʱ FY ( y ) = 0 , µ± y¡Ý¦Â ʱ FY ( y ) = 1; µ± ¦Á¡Üy < ¦Âʱ FY ( y ) = P{ Y¡Ü y} = P{ g( X) ¡Ü y} h( y )

= P{ X¡Ü h( y ) } = ¡Ò ÓÚ Y µÄ¸Å ÂÊÃÜ ÊÇ, ¶ÈΪ fY ( y) = fx ( h( y ) ) h¡ä y ) ( 0

fX ( x) d x
- ¡Þ

¦Á< y < ¦Â Æä Ëü ¦Á < y < ¦Â Æä Ëü

Èô y = g( x ) Ñϸñ µ¥µ÷Ï ½µ, ͬÑùµØ¿ÉÖ¤Ã÷ fY ( y ) = ×Û ËùÊöµÃ ÉÏ fY ( y) = fX ( h( y ) ) | h¡ä y) | ( 0 ¦Á< y < ¦Â Æä Ëü fX ( h( y ) ) ( - h¡ä y ) ) ( 0

Èô X µÄ¸Å ÂÊÃÜ fX ( x) ÔÚ ¶È Çø¼ä[ a , b]Íâ Ϊ Áã, ÔòÖ»Ðè¼Ù É躯 Êý y = g( x ) ÔÚ a , b] ÉÏ Ñϸñ µ¥µ÷ÇÒ [ ¿Éµ¼¡£ ´Ë ʱ ¦Á= min( g( a) , g( b) ) Àý 2 .17 ½â ¸Å ÂÊÃÜ fY ( y ) ¡£ ¶È X µÄ¸Å ÂÊÃÜ ¶ÈΪ fX ( x ) = 1 e 2¦Ð ¦Ò
( x - ¦Ì ) 2 ¦Ò
2 2

¦Â= max( g( a) , g( b) )
2

Éè »ú±äÁ¿ X¡« N( ¦Ì , ¦Ò ) , Çó Y = aX + b( a¡Ù0 ) µÄ Ëæ

- ¡Þ < x < + ¡Þ

ÏÖÔÚ y = ax + b , ËüΪ Ñϸñ µ¥µ÷ÇÒ , ¿Éµ¼µÄº¯ Êý , Æä º¯ ÊýΪ ·´ y- b dx 1 , ÇÒ ÓÐ = a dy a ÓÉ .4 .2 ) ʽ Y = aX + b µÄ¸Å ÂÊÃÜ (2 µÃ ¶ÈΪ x= fY ( y) = 1 y- b fX ( ) | a| a ¡¤ 81 ¡¤

[ y1 = e 2¦Ð| a | ¦Ò - ¡Þ < y < + ¡Þ

( a¦Ì + b) ]
2 2 2 a ¦Ò

2

¼´ÓÐ Y = aX + b¡« N( a + b, a ¦Ò ) ¦Ì Ìرð, È¡ a = 1 ¦Ì , b= , µÃ ¦Ò ¦Ò X - ¦Ì ¡« N (0 , 1) ¦Ò ¦Ð ¦Ð , ) ÉÏ ·þ ´Ó¾ùÔÈ ²¼µÄËæ ±äÁ¿, ÊÔ ·Ö »ú Çóµç 2 2
2 2

Àý 2 .18

Éè µçѹ V = Asin¦¨ , Æä A ÊÇ ÖÐ Ò»¸ö ÒÑ ÖªµÄÕý³£ Êý , Ïà

½Ç¦¨ ÊÇ Ò»ÔÚ Çø¼ä( ѹ V µÄ¸Å ÂÊÃÜ ¶È¡£

½â Ïà ½Ç¦¨ µÄ¸Å ÂÊÃÜ ¶ÈΪ 1 f¦¨ (¦È) = ¦Ð 0 ÏÖÔÚv = g(¦È) = Asin¦È ÔÚ ( ¦Ð ¦Ð < ¦È < 2 2

Æä Ëü

¦Ð ¦Ð , ) ÉÏ Ñϸñ µ¥µ÷Ôö¼Ó ·´ º¯ ÊýΪ , 2 2 v d¦È 1 ¦È= arcsin , ²¢ ÇÒ ÓÐ = 2 2 A dv A - v ÓÚ ÊÇ ÓÉ (2 .4 . ) ʽ 2 µÃ V µÄ¸Å ÂÊÃÜ ¶ÈΪ 1 fV (¦Í ) = ¦Ð 0 A - v
2 2

- A< v< A Æä Ëü

ÈôÉÏ ÀýÖÐ Éè ¦¨ ÔÚ ,¦Ð) ÉÏ ·þ ´Ó¾ùÔÈ ¼Ù (0 ·Ö²¼ , ´Ë ʱ v = Asin¦È ÔÚ (0 ,¦Ð) ÉÏ ²» ÔÙ µ¥µ÷º¯ Êý , ÉÏ Êö¶¨ Àí ʧЧ¡£ Õâʱ ÊÇ ¿É°´ ·Ö²¼º¯ Êý·¨ Çó ½â¡£ ¶ÁÕß¿É×Ô È¥Çó³ö ½á¹û ¡£ ÐÐ

¡¤ 8 2 ¡¤

1 . Ò»´ü ÖÐ ×°ÓÐ5 Ö»Çò, ±àºÅ Ϊ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ÔÚ ÖÐ 3 Ö»Çò, ´ü È¡ ÒÔX ±í ʾ È¡³ö µÄ 3 Ö»ÇòÖÐ µÄ×î ´ó ºÅ Âë, Çó X µÄ·Ö²¼ÂÉºÍ ·Ö ²¼º¯ Êý¡£ 2 . һʵϰ ÉúÓà ͬһ̨ »úÆ÷ ½Ó ¹¤ ÁËÈý¸ö Áã¼þ, µÚ i ¸ö Áã¼þ Á¬ ¼Ó 1 , i = 1 , 2 , 3 , ¸÷¸ö Áã¼þÊÇ Îª ²» ºÏ ·ñ i+1 ¸ñ Æ·ÊÇ »¥ ¶ÀÁ¢µÄ, X ±í ʾ3 ¸ö Áã¼þÖÐ ºÏ ¸ñ Æ·¸ö Êý, Çó X µÄ·Ö Ïà ²» ¼Ó Ϊ ²» ºÏ ¸ñ µÄ¸Å ÂÊΪ Pi = ¹¤ ²¼ÂÉ¡¢ ·Ö²¼º¯ Êý¼° P{ X¡Ý2}¡£ 3 . ½«Á½ ÷»×Ó ¸÷ÖÀ Ò»´Î , ÒÔ X ±í ʾ ÷»×Ó Á½ µÄµãÊýÖ® , ÒÔY ±í ºÍ ʾ ÷»×Ó Á½ µÄµãÊýÖÐ ´ó Öµ, ·Ö±ðÇó X , Y µÄ·Ö²¼ÂÉ¡£ ×î 4 . N ¼þ²ú Æ·ÖÐ ÓÐM ¼þ´Î Æ·, ÏÖ´ÓÖÐ È¡ n ¼þ, X ±í ʾ ÈÎ ËùÈ¡ µÄ n ¼þ²ú Æ·ÖÐ µÄ´Î Æ·¼þÊý , Çó X µÄ·Ö²¼ÂÉ( ´Ë ʱ X µÄ·Ö²¼³ÆΪ ³¬ ¼¸ ºÎ ·Ö²¼) ¡£ 5 . ÓÐ Ò»²» ¾ùÔÈ µÄÓ²±Ò ÿ´Î Å× Ó²±Ò , ÖÀ ÊÔÑéÖÐ ÕýÃæ³ö ÏֵĸŠÂÊ ¾ùΪ p , ÏÖÁ¬ ÐøÅ× ÕâÒ»Ó²±Ò X ±í ʾ ´Î ³ö ÏÖÕýÃæ ÖÀ , Ê× Ê±ËùÐèµÄÊÔÑé ´Î Êý , Y ±í ʾ ÕýÃæ³ö ÏÖ r ´Î Ϊ ֹʱ Å×ÖÀ Êý , ·Ö±ðÇó X, Y µÄ·Ö ²¼ ´Î ÂÉ( ´Ë ʱ X ·þ ´Ó¼¸ºÎ ·Ö²¼ , Y ·þ ´ÓÅÁ˹ ¿¨ ·Ö²¼) ¡£ ³Æ 6 . Ò»ÅúÁã¼þÖÐ ÓÐ9 ¼þºÏ ¸ñ Æ·, 3 ¸ö ·Ï Æ·, °² ×°»ú Æ÷ ´ÓÖРʱ, ÈÎ È¡Ò»¸ö Áã¼þ, Èç¹û ÊÇ Æ·ÔòÈÓ ·Ï µôÔÙ È¡Ò»¸ö , ÇóÈ¡µÃºÏ ¸ñ Æ·Ö® Ç°ÒÑ È¡ ³ö µÄ·Ï Æ·ÊýµÄ·Ö²¼ÂÉ¡£ 7 . ÉèËæ »ú±äÁ¿ X µÄ·Ö²¼ÂÉΪ P{ X = k} = 1 k 2 k = 1 , 2 , ¡-

Çó(1) P( X Ϊ ż ; (2 ) P( X ÄÜ 3 Õû³ý ) ; (3) P{ X¡Ý5} ¡£ Êý) ±» 8 . ÉèËæ »ú±äÁ¿ X µÄ·Ö²¼ÂÉΪ P{ X = k} = ak 15 k = 1, 2,3,4, 5 ¡¤ 83 ¡¤

(1) È· ¶¨ ³£ Êý a; (2 ) Çó P{ 1 < X < 3} ¼° P{1 < X¡Ü3}¡£ 9 . ÉèËæ »ú±äÁ¿ X µÄ·Ö²¼ÂÉΪ ¦Ë P{ X = k} = a k! ÊÔ ¶¨ ³£ Êý a¡£ È· 10 . Éè X¡« b( 2 , P) , Y¡« b ( 3 , P ) ÇÒ Öª P { X¡Ý 1 } = ÒÑ P{ Y¡Ý1 }¡£ 11 . Ò»´ó Â¥×°ÓÐ5 ¸ö ͬ ÀàÐ͵Ĺ©Ë® É豸 ¡£ µ÷²é ±í Ã÷ ÈΠһʱ ÔÚ ¿Ì t ÿ¸ö É豸±»Ê¹ Óà µÄ¸Å ÂÊΪ 0 .2 , ÎÊ ÔÚ Í¬Ò»Ê± ¿Ì (1) Ç¡ÓÐ2 ¸ö É豸 ±»Ê¹ Óà µÄ¸ÅÂÊ ¶à ÉÙ? ÊÇ (2) ÖÁ ÓÐ3 ¸ö É豸 ±»Ê¹ Óà ÉÙ µÄ¸ÅÂÊ ¶à ÉÙ? ÊÇ (3) ÖÁ ¶àÓÐ3 ¸ö É豸 ±»Ê¹ Óà µÄ¸ÅÂÊ ¶à ÉÙ? ÊÇ (4) ÖÁ ÓÐ ÉÙ Ò»¸ö É豸±»Ê¹ Óà µÄ¸Å ÂÊÊÇ ¶àÉÙ? 12 . ¼× ÒÒ ÈËͶ Àº , Ͷ ÖÐ ¡¢ Á½ µÄ¸Å ÂÊ·Ö ±ðΪ 0 .6 , 0 .7 , ½ñ¸÷ Ͷ 3 ´Î , Çó( 1) Á½ ÈËͶ ÖÐ ÊýÏà µÈµÄ¸Å ÂÊ; (2 ) ¼× ÒÒ ÖÐ Êý¶à µÄ¸Å ´Î ±È Ͷ ´Î ÂÊ¡£ 13 . ij ³Ç ÊÐ ÓÐ2 % µÄɫ仼Õß, ÎÊ ´Ó¸Ã ³Ç ÊÐÀï Ñ¡³ö ¶à ÉÙÈË, ²Å ÄÜ µÃÀï Ãæ É٠һλ ɫ仼ÕߵĸŠÂʲ» СÓÚ0 .95¡£ ʹ ÖÁ ÓÐ 14 . ij ¹¤ ³§ Éú²ú µÄµ¼»ðÏß ÖÐ ÓÐ1 % ²» ÄÜ µ¼»ð , Çó 400 ¸ù µ¼»ð Ïß ÖÐ ÓÐ5 ¸ù »ò¸ü ¶à ¸ù ²» ÄÜ µ¼»ðµÄ¸ÅÂÊ ¡£ 15 . Éè X¡« ¦Ð(¦Ë) , ÇÒ P{ X = 1} = P{ X = 2} , Çó P{ X = 4 }¡£ 16 . ÒÑ ÖªÒ»µç »° ½»»»Ì¨ ÿ·ÖÖÓ µ½µÄºô »½´Î Êý·þ ´Ó²Î ÊýΪ 4 ½Ó µÄ²´ ËÉ·Ö²¼ , Çó (1) ÿ·ÖÖÓ ÓÐ8 ´Î ºô »½µÄ¸ÅÂÊ Ç¡ ¡£ (2) ÿ·ÖÖÓ »½´Î ÊýÖÁ Ϊ 8 µÄ¸ÅÂÊ ºô ÉÙ ¡£ 17 . Éè X¡« b( n , p) , 0 < p < 1 , ÎÊ k Ϊ ºÎ ֵʱP{ X = k}×î ´ó ¡£ 18 . Éè X¡«¦Ð( ¦Ë) , ( ¦Ë> 0) , ÎÊ k Ϊ ºÎ ֵʱP{ X = k}×î ´ó ¡£ 19 . ÒÑ X ·Ö²¼º¯ ÊýΪ Öª ¡¤ 8 4 ¡¤ 5 , Çó 9 k k = 1 , 2 , ¡- ;¦Ë > 0 Ϊ ³£ Êý

0 F( x ) = ln x 1 ÃÜ f ( x ) ¡£ ¶È

x 1 000 Æä Ëü

(2) Çó¸Ã µç ×Ó Ôª¼þµÄÊÙ Ãü²» ³¬¹ý 1 500 СʱµÄ¸ÅÂÊ ¡£ (3) ´ÓÒ»´ó ÅúÕâÖÖ Ôª¼þÈÎ È¡ 5 Ö», ÎÊ Æä ÖÁÉÙÓÐ2 Ö»ÊÙÃü´ó ÖÐ ÓÚ1500 СʱµÄ¸ÅÂÊ ¶à ÉÙ? ÊÇ 25 . Éè k ÔÚ 5) ÉÏ ·þ ´Ó¾ù ·Ö²¼, Çó·½³Ì 4 x + 4 kx + k + 2 = 0 (0, ÔÈ ÓРʵ¸ù µÄ¸ÅÂÊ ¡£ 26 . ÔÚ Îª 1 µÄÏß ¶Î ÉÏ Ëæ»ú µØÑ¡È¡ Ò»µã , ¶Ì µÄÒ»¶Î Ó볤 µÄÒ» ³¤ ¶Î Ö® СÓÚ1/ 4 µÄ¸ÅÂÊ ¶à ÉÙ? ±È ÊÇ 27 . Éè X¡« N(3 , 2 ) , (1) Çó P{ 2 < X¡Ü5 } , P{ - 4 < X¡Ü10} , P { | X | > 2} , P{ X > 3} ; ( 2) È· ¶¨ c ʹ µÃ P{ X > c} = 3 P{ X¡Üc}¡£ 28 . ij »úÆ÷ Éú²ú µÄÂÝ˨ µÄ³¤ ¶È( cm) ·þ ´ÓÕý̬ ·Ö ²¼ N ( 10 .05 , 0 .06 ) , ¹æ ¶¨ ³¤ ¶ÈÔÚ Î§ 10 .05 ¡À0 .12 ÄÚ ÕýÆ·, ÇóÒ»ÂÝ˨ ²» Ϊ Õý ·¶ Ϊ Æ·µÄ¸Å ÂÊ¡£ 29 . ij ³§ ¾ö¶¨ ÔÚ ÈËÖÐ ¹¤ Ôö·¢ ¸ß ²ú ½± ²¢ ¾ö¶¨ ¶ÔÿÔÂÉú²ú ¶î ×î , ¸ß µÄ 5 % µÄ¹¤ ÈË·¢ ·Å ¸ß ²ú ½± ÒÑ Ã¿ÈËÿÔÂÉú²ú ¶î X( ¹« ½ï ) ¡« N , Öª (4000 , 60 ) , ÊÔ ¸ß ²ú ½± ·Å ±ê×¼ ÎÊ ·¢ Ó¦°ÑÔ Éú²ú ¶î ¶¨ Ϊ ¶àÉÙ? 30 . Ò»¹¤ ³§ Éú²ú µÄµç ×Ó ¹ÜÊÙ X( Сʱ) ¡« N(160 ,¦Ò ) , ÈôÒª Çó Ãü P{120 < X < 200}¡Ý0 .8 , ÔÊ ¦Ò×î ´ó Ϊ ¶àÉÙ? Ðí 31 . Éè X µÄ·Ö²¼ÂÉΪ X P -2 -1 1 5 1 6 0 1 5 1 1 15 2 11 30
2 2 2 2 2

ÇóËæ »ú±äÁ¿ Y = X ¡¤ 8 6
¡¤

2 µÄ ·Ö ²¼ ÂÉ ¡£

32 . Éè X µÄ·Ö²¼ÂÉΪ P{ X = k} = ( Çó Y = sin X ¦ÐµÄ·Ö²¼ÂÉ¡£ 33 . Éè X¡« N( ¦Ì ,¦Ò ) , Çó Y = e 34 . Éè X¡« U( 2 X µÄ ·Ö ²¼ ÃÜ ¶È ¡£

1 k ) 2

k = 1 , 2 , ¡-

¦Ð ¦Ð , ) Çó Y = tan x µÄ¸Å ÂÊÃÜ ¶È¡£ 2 2 35 . Éè X µÄ¸Å ÂÊÃÜ ¶ÈΪ 2x 2 f ( x ) = ¦Ð 0 Çó Y = sin X µÄ¸Å ÂÊÃÜ ¶È¡£ 36 . Éè X µÄ¸Å ÂÊÃÜ ¶ÈΪ f( x ) =
2

0 < x < ¦Ð Æä Ëü

1 e 2

| x|

- ¡Þ < x < + ¡Þ

Çó(1) Y = X ; (2) Y = | X| ; ( 3) Y = ln | X | µÄ¸ÅÂÊ ¶È¡£ ÃÜ

¡¤ 87 ¡¤

, Ëæ»úÊÔ ÑéµÄ½á¹û ³£ ³£ Òª¼¸¸ö Ëæ ±äÁ¿À´ »ú ÃèÊö¡£ ÀýÈç , ´ò °Ðʱ, µ¯ ×Å ¾ÍÓÉ ¸ö Ëæ»ú±äÁ¿( µ¯ ×ŵãµÄºá ×ø±ê µã Á½ X ºÍ ×Ý×ø±ê Y ) ¹¹ ³É , ÓÖ ÈçÁ¶¸Ö³§ ÖÐ Á¶³ö µÄÿ¯ ¸ÖÖÐ µÄÓ² ¶È¡¢ Ì¿ º¬ Á¿¡¢ º¬ÁòÁ¿¶¼ Ð뿼²ì , ¾ÍÒªÓà ±Ø Èý¸ö Ëæ »ú±äÁ¿ X , Y, Z( ·Ö±ð´ú ±í Ó² ¶È¡¢ º¬Ì¿ Á¿¡¢ º¬ÁòÁ¿) À´ ÃèÊö¡£ ÕâÑùµÄÀý×Ó ºÜ¶à , ÖµµÃÇ¿µ÷µÄÊÇ, Õâ Щ »ú±äÁ¿Ö® Ëæ ¼äÒ»°ã ˵À´ ÓÖ Ä³ ÖÖ Ïµ , Òò¶ø ÐèÒª°ÑÕâЩ ÓÐ Áª ±äÁ¿×÷ Ϊ Ò»¸ö ÕûÌå ( ¼´Ïò Á¿) À´ ÑÐ ¾¿¡£ ±¾ ÕÂÖØ ÌÖÂÛ Î¬ Ëæ Ïò Á¿µÄ·Ö µã ¶þ »ú ²¼¡£ ÓÐ ¹Ø½áÂÛ ÄÑ ²» Íƹã ÖÁ n άËæ »úÏò Á¿µÄÇéÐΡ£

¡ì

3 .1

¶à ά Ëæ »ú±äÁ¿¼°Æä ·Ö²¼

Ò» ¡¢¶àάËæ »ú±äÁ¿ ÆäÖ²¼º¯ Êý ¼° · ¶¨Òå .1 .1 3
Éè X1 ( ¦Ø) , X2 ( ¦Ø) , X3 ( ¦Ø) , ¡- , X n ( ¦Ø) ÊÇ ÒåÔÚ ¶¨ ( X1 ( ¦Ø) , X2 ( ¦Ø) , ¡- , Xn ( ¦Ø) ) Ϊ n άËæ »úÏò Á¿»ò n άËæ ±äÁ¿¡£ Æä µÚ i ¸ö Ëæ ±äÁ¿ Xi »ú ÖÐ »ú µÚ ³Æ Ϊ

¸Å ÂÊ¿Õ¼ä( ¦¸ , F , P) ÉÏ µÄ n ¸ö Ëæ »ú±äÁ¿, ³ÆËüÃÇ ³É µÄ n άÏò Á¿ ¹¹

i ¸ö ·ÖÁ¿¡£ ( i = 1 , 2 , ¡- , n) ¡£ n άËæ »úÏò Á¿( X1 , X2 , ¡- , X n ) µÄÈ¡ Öµ·¶ Χ , Ò»°ã ˵À´ ÊÇ n ά

Å· ÊÏ ¿Õ¼ä»òËüµÄÒ»²¿ ·Ö¡£ ¶ÔÓÚ »úÏò Á¿, ²» ½öÒªÑÐ Ëæ ¾¿Ã¿¸ö ·ÖÁ¿µÄ¸Å ÂÊ·Ö²¼ , ¶øÇÒ Òª¿¼ »¹ ²ì ËüÃÇ ¼äµÄÁª ϵ , Òò¶øÐèÒª ¿¼ÂÇËüÃǵÄÁª ºÏ ¸Å ÂÊ·Ö²¼¡£ ºÍ һά Ö® µÄÇé¿öÀàËÆ ÎÒÃÇÒ² ½èÖúÓÚ ·Ö ²¼º¯ Êý¡± ÑÐ , ¡° À´ ¾¿Ëæ»ú Ïò Á¿ µÄ¸Å ÂÊ ¡¤ 8 8 ¡¤

3 .1 . 2 Êý

Éè( X1 , X2 , ¡- , X n ) Ϊ n άËæ Ïò Á¿, ³Æ n Ôª º¯ »ú (3 .1 .1 )

F( x1 , x2 , ¡- , xn ) = P{ X1 ¡Ü x1 , X2 ¡Ü x2 , ¡- , X n ¡Ü xn }

Ϊ Ëæ »úÏò Á¿( X1 , X2 , ¡- , Xn ) µÄÁª ºÏ ·Ö²¼º¯ Êý , ¼ò³Æ·Ö²¼º¯ Êý¡£ Öµ µÃ×¢ÒâµÄÊÇ Ê¼þ{ X1 ¡Ü x1 , X2 ¡Ü x2 , ¡- , Xn ¡Ü xn } ÊÇ n ¸ö Ê ¼þ{ Xi ¡Ü xi } , i = 1, 2 , ¡- , n µÄ»ý , ¼´ n { X1 ¡Ü x1 , X2 ¡Ü x2 , ¡- , Xn ¡Ü xn } = i¡É { X i ¡Ü xi } =1

(3 .1 .2 )

ÓÉ ¶Ô¶þάËæ ÓÚ »úÏò Á¿ºÍ ¶þάÒÔ µÄËæ ÉÏ »úÏò Á¿µÄÌÖÂÛ Ã»ÓÐ ÖÊ ±¾ ÉÏ ²î Òì , ËùÒÔ ÎÒÃÇ ºó Ö÷ ÒÔ ÒªÌÖÂÛ¶þά Ëæ»úÏò Á¿( X, Y ) , ¶ÔÓÚn ά Çé¿ö , ËùÓÐ ½áÂÛ ¿ÉÒÔ ÐÐ ¶¼ ƽ µØÍƹ㠡£ Õâʱ¶þάËæ»úÏò Á¿( X , Y ) µÄ ·Ö²¼º¯ ÊýΪ F( x, y ) = P{ X¡Üx , Y¡Ü y} (3 .1 .3 ) Éè¶ÔÓÚ Ã¿¸ö ÊÔ Ñé½á¹û ¦Ø¡Ê¦¸ , ( X, Y ) ¶ÔÓ¦µÄֵΪ ( x , y ) ( ¼´ X ( ¦Ø) = x, Y ( ¦Ø) = y ) , ( x, y) Ϊ ƽ ÉÏ µÄÒ»¸ö µã¡£ Òò´Ë ¶þά Ëæ Ïò Ãæ »ú Á¿¿ÉÒÔ ³É ÊÇ Ãæ µÄËæ ¿´ ƽ ÉÏ »úµãµÄ×ø±ê¡£ ÕâÑù( X , Y) µÄ·Ö²¼º¯ Êý F ( x, y ) ±í ʾ »úµã ( X , Y) È¡ÖµÓÚ ( x, y ) Ϊ ¶¥ µã¶øλ ÓÚ ¶¥µã ×ó Ëæ ÒÔ ¸Ã Ï ·½µÄÎÞ Çî ¾Ø ÐÎÇøÓò( °ü À¨ ±ß½ç) ÉÏ µÄ¸Å ÂÊ¡£ Èçͼ 3 .1 Ëùʾ ¡£ ÒÀ Êö¼¸ºÎ ½âÊÍ , ½èÖúÓÚ 3 .2 ÈÝÒ× ÉÏ Í¼ Ö¤Ã÷( X , Y ) È¡ÖµÓÚ ÐÎ ¾Ø ÇøÓò y y y2 y1 x1 x2 x

( x , y)

O

x

O

ͼ 3 .1

ͼ 3 .2 ¡¤ 89
¡¤

{ ( x, y ) | x1 < x¡Ü x2 , y1 < y¡Ü y2 } ÉÏ µÄ¸Å ÂÊΪ P{ x1 < X¡Ü x2 , y1 < Y¡Ü y2 } = F( x2 , y2 ) - F( x2 , y1 ) - F( x1 , y2 ) + F( x1 , y1 ) ÕâÀï x1 , x2 , y1 , y2
·Ö ²¼ º¯ Êý Ϊ ÈÎ Òâ ʵ Êý ÇÒ

(3 .1 .4 )

x1 ¡Ü x2 , y1 ¡Ü y2 ¡£

F( x , y ) ¾ßÓÐ Ï ÐÔ : ÒÔ ÖÊ

(1) F( x , y ) ¹ØÓÚ ±äÁ¿ x »ò±äÁ¿ y µ¥µ÷²» ¼õ¡£ (2) ¶ÔÓÚ Òâ x ¼° y ÓÐ0¡Ü F( x, y) ¡Ü1 , ÇÒ ÈÎ F( - ¡Þ , y) = x¡ú - ¡Þ F( x, y) = 0 lim F( x, - ¡Þ ) = y¡ú - ¡Þ F( x, y) = 0 lim F( - ¡Þ , - ¡Þ ) = x ¡ú - ¡Þ F( x, y ) = 0 lim y ¡ú - ¡Þ

F( + ¡Þ , + ¡Þ ) = lim F( x, y ) = 1 x ¡ú + ¡Þ y ¡ú + ¡Þ

(3) F( x , y ) ¹ØÓÚ ±äÁ¿ x »ò y ¶¼ ÓÒ ÐøµÄ, ¼´ ÊÇ Á¬ F( x + 0 , y) = F( x , y ) , F( x , y + 0 ) = F( x, y ) (4) ¶ÔÈÎ ÒâµÄʵÊý x1 ¡Ü x2 , y1 ¡Ü y2 , ÓÐ F( x2 , y2 ) - F( x2 , y1 ) - F( x1 , y2 ) + F( x1 , y1 ) ¡Ý0 ÐÔ (1) , ( 2) , (3) µÄÖ¤Ã÷ ÖÊ Óëһά·Ö²¼º¯ ÊýµÄÐÔ µÄÖ¤Ã÷ ÖÊ ÀàËÆ ¡£ ÖÁ ÐÔ (4) ¿ÉÓÉ .1 .4 ) ʽ ÓÚ ÖÊ (3 µÃ³ö ¡£ ÓëһάËæ »ú±äÁ¿Ò»Ñù, Ëæ Ïò Á¿ÒàÓÐ »ú ÀëÉ¢ÐÍºÍ Á¬ÐøÐÍÖ® ·Ö¡£ Ï Ãæ ÎÒÃÇ ·Ö±ð½éÉÜ ÕâÁ½ ÀàËæ »úÏò Á¿¡£ ¶þ ¡¢ ¶þ ά Àë É¢ ÐÍ Ëæ»ú Ïò Á¿ ¼°Æä·Ö ²¼ ¶¨ Òå3 .1 . 3 Èô άËæ ¶þ »úÏòÁ¿( X, Y) ֻȡ ÓÐ ¶Ô»ò¿ÉÁÐ ÏÞ ¶Ôʵ

ÊýÖµ( xi , yj ) , i, j = 1 , 2 , ¡- , Ôò³Æ( X , Y) Ϊ ¶þάÀëÉ¢ÐÍËæ »úÏò Á¿¡£ Éè( X , Y) µÄÒ»ÇÐ ¿ÉÄÜ ÖµÎª ( xi , yj ) , i, j = 1 , 2 , ¡- , ³ÆÏ Ãæ Ò»×é ¡¤ 9 0 ¡¤

P{ X = x i , Y = yj } = pij , i, j = 1 , 2 , ¡Îª ( X , Y) µÄÁª ºÏ ·Ö²¼ÂÉ, ¼ò³Æ·Ö²¼ÂÉ¡£

(3 .1 .5 )

ÓÉ ·Ö²¼ÂɵĶ¨ Òå¼°¸Å ÂʵĶ¨ Òå, ( X , Y ) µÄ·Ö²¼ÂÉÂú×ãÈçÏ »ù ±¾ ÖÊ ÐÔ : (1) pij ¡Ý 0 , i , j = 1 , 2 , ¡- ; ¡Þ ¡Þ (2) ¡Æ ¡Æ pij = 1¡£ j=1 i=1

(3 .1 .6 )

( X , Y) µÄ·Ö²¼ÂÉÒ²¿ÉÓà 3 .1 Ëùʾ ¸ñ ÐÎʽ ʾ ±í ±í ±í ¡£ ±í 3 .1
Y X x1 x2
¦ó

y1 p11 p21
¦ó

y2 p12 p22
¦ó

¡-

yj p1 j p2 j
¦ó

¡-

¡¡-

¡¡-

xi
¦ó

p i1
¦ó

p i2
¦ó

¡-

pij
¦ó

¡-

Àý

3 .1

´ÓÒ»¸ö×° ÓÐ ¸ö ºì Çò, 3 ¸ö °× ÇòºÍ 4 ¸ö ºÚ ÇòµÄ´ü ÖÐ 2 Ëæ

»úµØÈ¡ 3 ¸ö Çò, Éè X ºÍ Y ·Ö±ð±í ʾ È¡³ö µÄºì ÇòÊýºÍ °×ÇòÊý , Çó( X, Y ) µÄ·Ö²¼ÂÉ, ²¢ Çó P{ X¡Ü1 , Y < 2} , P{ X + Y = 2} , ¼° P{ X = 1 }¡£ ½â X µÄ¿ÉÄÜ ÖµÎª 0 , 1 , 2 , Y µÄ¿ÉÄÜֵΪ 0 , 1 , 2, 3¡£ ( X , Y ) µÄ ËùÓÐ ¿ÉÄÜ ÖµÎª (0 , 0) , (0 , 1) , (0 , 2 ) , (0 , 3 ) , (1 , 0) , ( 1 , 1) , ( 1 , 2) , (2 , 0) , (2 , 1) ¡£ ÓÉ µä¸Å ÂÊ¼Æ ¹Å Ëã¿ÉµÃ P{ X = 0 , Y = 0 } = C4/ C9 =
1 2 3 3 3

4 84 18 84 ¡¤ 91 ¡¤

P{ X = 0 , Y = 1 } = C3 C4/ C9 =

P{ X = 0 , Y = 2 } = C3 C4/ C9 = P{ X = 0 , Y = 3 } = C3/ C9 =
1 2 3 3 3

2

1

3

12 84

1 84 12 84
3

P{ X = 1 , Y = 0 } = C2 C4/ C9 =
1 1 1

P{ X = 1 , Y = 1 } = C2 C3 C4/ C9 = 6 84 2 1 3 4 P{ X = 2 , Y = 0 } = C2 C4/ C9 = 84 2 1 3 3 P{ X = 2 , Y = 1 } = C2 C3/ C9 = 84 ÓÚ X , Y) µÄ·Ö²¼ÂÉÈç±í 3 .2 Ëùʾ ÊÇ( ¡£ P{ X = 1 , Y = 2 } = C2 C3/ C9 =
1 2 3

24 84

±í 3 .2
Y X 0 1 4 84 12 84 4 84 18 84 24 84 3 84 12 84 6 84 0 1 84 0 0 0 1 2 3

2

ÓÉ (

X , Y) µÄ·Ö²¼ÂÉ, ËùÇó¸Å ÂÊΪ + P{ X = 1 , Y = 0} + P{ X = 1 , Y = 1}

P{ X¡Ü1 , Y < 2 } = P{ X = 0 , Y = 0} + P{ X = 0 , Y = 1} 4 18 12 24 58 + + + = ¡Ö0 .690 5 84 84 84 84 84 P{ X + Y = 2} = P{ X = 0, Y = 2} + P{ X = 1 , Y = 1} + P{ X = 2, Y = 0} = 12 24 4 40 + + = ¡Ö0 .476 2 84 84 84 84 P{ X = 1} = P{ X = 1 , Y = 0 } + P{ X = 1 , Y = 1} + P{ X = 1 , Y = 2} = ¡¤ 9 2 ¡¤

12 24 6 42 + + = ¡Ö0 .5 84 84 84 84 ÉèÀëÉ¢ÐÍËæ »ú±äÁ¿( X , Y) µÄ·Ö²¼ÂÉΪ = P{ X = x i , Y = yj } = pij , i, j = 1 , 2 , ¡Ôò( X , Y) µÄ·Ö²¼º¯ ÊýΪ F( x, y) = P{ X¡Ü x, Y¡Ü y} = ¡Æ pij x ¡Ü x i y ¡Ü y j

(3 .1 .7 )

ÕâÀï µÄºÍ Ê½ ¶ÔÒ»ÇÐ ÊÇ Âú×ã xi ¡Ü x, yj ¡Ü y µÄ i , j ÇóºÍ ¡£ Èý ¡¢ ¶þ ά Á¬ÐøÐÍ Ëæ»ú Ïò Á¿ ¼°Æä·Ö ²¼ ¶¨ Òå3 .1 . 4 ÓÐ x y - ¡Þ

Éè( X, Y ) Ϊ ¶þά Ëæ»úÏò Á¿, ( X, Y ) µÄ·Ö ²¼º¯ Êý

Ϊ F( x , y) ¡£ Èô´æÔÚ ¸º ¶þÔª º¯ Êý f ( x , y ) , ¶ÔÓÚ ÒâʵÊý x , y, ·Ç ÈÎ

F( x, y) = ¡Ò

¡Ò - ¡Þ

f( u , v) d vd u

(3 .1 .8 )

Ôò³Æ( X , Y) Ϊ ¶þά Á¬ ÐøÐÍËæ Ïò Á¿¡£ ·Ç ¸º ¶þ Ôªº¯ Êý f ( x, y ) ³ÆΪ »ú ( X , Y) µÄÁª ºÏ ¸Å ÂÊÃÜ ¶Èº¯ Êý , ¼ò³ÆΪ ¸Å ÂÊÃÜ ¶È¡£ ÀàËÆ Ò»Î¬ÇéÐÎ , ¶þάËæ ÓÚ »úÏò Á¿( X, Y ) µÄ¸Å ÂÊÃÜ f ( x , y ) ¾ß ¶È ÓÐ Ï ÐÔ : ÒÔ ÖÊ (1) f ( x, y) ¡Ý0;
+ ¡Þ + ¡Þ - ¡Þ

(2) ¡Ò

- ¡Ò ¡Þ

f( x , y ) d xd y = 1;
2

(3) Èô f ( x, y ) ÔÚ x , y ) Á¬ Ôò ( Ðø, ¶ F( x , y) = f( x , y ) ¶ x y ¶ (4) Éè D Ϊ xOy ƽ ÉÏ µÄÒ»ÇøÓò, Ôò Ãæ P{ ( X , Y) ¡Ê D} = ¡Ò f( x , y )d xd y ¡Ò
D

ÔÚ ¼¸ºÎ ÉÏ z = f( x , y ) ±í ʾ ¿Õ¼äµÄÒ»ÕÅ ÇúÃæ ÓÉ ÖÊ 2) Öª , ½é ¡£ ÐÔ ( ¡¤ 93 ¡¤

xOy ƽ ÃæÖ® ¼ä¿Õ¼äÇøÓòµÄÌå »ý Ϊ 1 , ÓÉ ÖÊ( 4 ) Öª , P ÐÔ { ( X , Y) ¡Ê D}µÄÖµµÈÓÚ ÒÔD Ϊ µ×, ÒÔ ÇúÃæ z = f ( x , y ) Ϊ ¶¥ Ãæ µÄÇú ¶¥ÖùÌå µÄÌå »ý ¡£ Àý 3 .2 Éè »úÏòÁ¿ X , Y) µÄ¸Å ÂÊÃÜ Ëæ ( ¶ÈΪ f ( x, y ) = Ax 0 0 < x < 1, 0 < y < x Æä Ëü 3 1 1 1 } ; (3) P{ Y < } ; (4) P{ X < , Y < } 4 2 4 2

Çó(1) ϵ Êý A; (2) P{ x > ( ¼ûͼ 3 .3 ¡« ͼ 3 .6) ¡£

½â (1) ÓÉ ÂÊÃÜ ¸Å ¶ÈµÄÐÔ Öª ÖÊ
+ ¡Þ + ¡Þ - ¡Þ

1= ¡Ò

¡Ò - ¡Þ

1 x A f ( x, y) d xd y = ¡Ò Axd y ) d x = ( ¡Ò 0 0 3

´Ó¶ø µÃ A = 3¡£ (2) Éè D = { ( x, y) | x > ÊÇ P{ X > 3 = P{ ( X, Y ) ¡Ê D} = ¡Ò f( x, y) d xd y ¡Ò 4 D
1 x

3 3 } , Ôò{ X > } = { ( X, Y ) ¡Ê D} , ÓÚ 4 4

= ¡Ò ¡Ò 3
4

3 xd yd x =
0

37 ¡£ 64
1

ÀàËÆ µØ¿É¼Æ Ëã
2 1 (3) P{ Y < } =¡Ò f ( x, y) d xd y = ¡Ò ¡Ò ¡Ò 0 2 1 y< 2

1

3 xd xd y = y 1 x 0

11 ¡£ 16 1 ¡£ 64

4 1 1 (4) P{ X < , Y < } =¡Ò ¡Ò f( x, y)d xd y = ¡Ò ¡Ò 0 4 2 1 x< y< 4 1 2

3 xd yd x =

¡¤ 9 4 ¡¤

y 1 y= x

y

O

1

x

O

3 1 4

x

ͼ 3 .3

3 .4 y y 1

O

1

x

O

1 4

x

ͼ 3 .5

ͼ 3 .6

Ï Ãæ½éÉÜÁ½ ³£ ÓÃµÄ·Ö ²¼ ¡£ ¸ö

1 . ¾ùÔÈ ·Ö²¼ ¶¨ Òå3 .1 . 5 Éè G ÊÇ Ãæ µÄÓРƽ ÉÏ ½çÇøÓò, Æä »ý Ϊ S, Èô¶þ ά Ãæ 1 S 0 Ëæ »ú±äÁ¿( X , Y) µÄ¸Å ÂÊÃÜ ¶ÈΪ f( x , y ) = ( x, y) ¡Ê G Æä Ëü

Ôò³Æ( X , Y) ÔÚ ÇøÓò G ÉÏ ·þ ´Ó¾ùÔÈ ·Ö²¼¡£ Éè( X , Y) ÔÚ ÇøÓò G ÉÏ ·þ ´Ó¾ùÔÈ ²¼ , D Ϊ G ÄÚµÄÒ»ÇøÓò, ¼´ ·Ö DÌ G, ÇÒ D µÄÃæ Ϊ S( D) , ÄÇ »ý ô

¡¤ 95 ¡¤

1 S( D) P{ ( X , Y) ¡Ê D} = ¡Ò f( x , y )d xd y = ¡Ò ¡Ò ¡Ò S d xd y = S D D Õâ˵Ã÷, ( X, Y ) È¡ÖµÓÚG ÄÚ Ò»ÇøÓòD µÄ¸Å ÂÊÓë¸Ã ÇøÓòµÄÃæ ³É ÈÎ »ý Õý±È ¶øÓëËüµÄλ ÖÃºÍ ÐÎ×´ ÎÞ ¹Ø¡£ ¼¸ºÎ ¸Å ÐÍÖÐ ÌÖÂ۵ĸŠÂÊ¼Æ ËãÎÊ Ìâ , Æä ÉèµÄʵÖÊ ÊÇ ¼Ù ¶¼ Ò»¸ö n άÇøÓòG ÉÏ µÄ¾ùÔÈ ·Ö²¼¡£ Àý 3 . Éè( X , Y) ÔÚ ÐÎÇøÓò G = { ( x, y ) | 0¡Ü x¡Ü1 , 0¡Ü y¡Ü2} 3 ¾Ø ÉÏ·þ ´Ó¾ùÔÈ ·Ö²¼ , ÊÔ X , Y) µÄ¸ÅÂÊÃÜ Çó( ¶ÈºÍ ·Ö²¼º¯ Êý( ¼ûͼ3 .7 ) ¡£ ½â G µÄÃæ S = 2,ÒÀ ÔÈ »ý ¾ù ·Ö²¼µÄ¶¨ Òå ¿ÉÖª( X, Y)µÄ¸ÅÂÊ ¶ÈΪ ÃÜ f ( x, y) = 1 2 0¡Ü x¡Ü1 , 0¡Ü y¡Ü2 Æä Ëü x y - ¡Þ

0 ( X , Y) µÄ·Ö²¼º¯ ÊýΪ F( x, y) = ¡Ò µ± x < 0 »ò y < 0 ʱ µ± 0¡Ü x < 1 , 0¡Ü y < 2 ʱ µ± x¡Ý1 , 0¡Ü y < 2 ʱ µ±0¡Ü x < 1 , y¡Ý2 ʱ µ± x¡Ý1 , y¡Ý2 ʱ ËùÒÔ 0 1 xy 2 F( x, y ) = y 2 x 1 ¡¤ 9 6 ¡¤
- ¡Ò ¡Þ

f( u , v) d vd u

F( x, y ) = 0 x y 0 y 0 2 0

F( x, y ) = ¡Ò ¡Ò 0
1

F( x, y ) = ¡Ò ¡Ò 0 x F( x, y ) = ¡Ò ¡Ò 0 F( x, y ) = 1

1 1 d vd u = xy 2 2 1 1 d vd u = y 2 2 1 d vd u = x 2

x < 0 »ò y < 0 0¡Ü x < 1 , 0¡Ü y < 2 x¡Ý1 , 0¡Ü y < 2 0¡Ü x < 1 , y¡Ý2 x¡Ý1 , y¡Ý2

y 2 ( x , y) y 2 ( x , y)

O

1

x

O

x

1

x

(a) y 2 ( x , y) y 2

( b)
( x , y)

O

1

x

O

x

1

x

(c) y 2 ( x, y )

(d)

O

1 x

x

(e)
ͼ 3 .7

2 . ¶þάÕý̬·Ö²¼ ¶¨ Òå3 .1 . Èô( X, Y ) µÄ¸Å ÂÊÃÜ 6 ¶ÈΪ f ( x, y) = 2¦Ð 1 ¦Ò 2 ¦Ò 1 ( x - ¦Ì 1 ) 1 exp{ 2 ¡² 2 2 2(1 - ¦Ñ ) ¦Ò 1 1 - ¦Ñ
2

¡¤ 97

¡¤

( x - ¦Ì 1 ) ( y - ¦Ì 2 ) ( y - ¦Ì 2 ) 2 - 2¦Ñ + ¡³ } 2 ¦Ò¦Ò 2 1 ¦Ò 2 Æä ÖÐ- ¡Þ < ¦Ì 1 < + ¡Þ , - ¡Þ < ¦Ì 2 < + ¡Þ ,¦Ò > 0,¦Ò > 0, - 1 < ¦Ñ< 1, Ôò³Æ 1 2
2 2 ( X , Y)·þ ´Ó¶þάÕý̬·Ö²¼, ¼Ç ( X, Y) ¡« N(¦Ì 1 ,¦Ì 2 ,¦Ò ,¦Ò ,¦Ñ)¡£ Ϊ 1 2

ÔÚ ½áÊø±¾ Ö® ÎÒÃÇ ½Ú Ç°, Ö¸³ö ¼¸µãÓÐ ¹ØÊÂÏî : (1) n άËæ »úÏò Á¿( X1 , X2 , ¡- , Xn ) Ò²ÓÐ ÀëÉ¢ÐÍºÍ Á¬ ÐøÐÍÖ® , ·Ö ËüÃÇ µÄ·Ö²¼ÂÉºÍ ¸Å ÂÊÃÜ ¶È¿É·Â ÕÕ ¶þάÇé¿öÀàËÆ µÄ¶¨ Òå¡£ (2) n άËæ Ïò Á¿( X1 , X2 , ¡- , Xn ) Ϊ ÀëÉ¢ÐÍËæ Ïò Á¿µÄ³ä Òª »ú »ú Ìõ ¼þÊÇ ËüµÄÿ¸ö ·ÖÁ¿¶¼ ÀëÉ¢ÐÍËæ Ϊ »ú±äÁ¿¡£ ¶øÁ¬ ÐøÐ͵ÄÇé¿öÔò²» ͬ¡£ Èô( X1 , X2 , ¡- , Xn ) Ϊ Á¬ ÐøÐÍËæ Ïò Á¿, ÔòËüµÄÿ¸ö ·Ö Á¿¾ùΪ »ú Á¬ ÐøÐÍËæ »ú±äÁ¿, µ« ·´ Ö® È»¡£ ÀýÈç , Éè X ¡« U ( 0 , 1 ) , Y = X, Ôò ²» X, Y ¶¼ Á¬ ÊÇ ÐøÐÍËæ »ú±äÁ¿, µ« ( X , Y ) ²» ÊÇ ÐøÐÍËæ Ïò Á¿¡£ ÒòΪ Á¬ »ú ( X , Y) Ö»ÄÜ Ö± ¶Î : y = x, 0 < x < 1 ÉÏ È¡ Öµ, Òò¶ø²» ¿ÉÄÜ ÔÚ Ïß ´æÔÚ Ò» ¸ö º¯ Êý f ( x, y ) Âú×ã(3 .1 .8) ʽ ¡£ (3) ¶ÔÓÚ ·Ö²¼º¯ Êý F ( x , y ) , ¸Å ÂÊÃÜ¶È f ( x, y ) , ·Ö²¼ÂÉ P { X = x i , Y = yj } = pij , i, j = 1 , 2 , ¡- ÕâÈý¸ö ¸Å Äî , ÎÒÃÇ ¿ÉÒÔ ÐÎÏó µØ×÷ Ò» ¸ö ±È , °ÑÒ»¿ËÖÊ Ó÷ Á¿µÄÃæ °´ ij ÖÖ ÔòÈöÔÚ Ãæ , ÕâÑù F( x, y) »ý ¹æ ƽ ÉÏ ¾ÍÊÇ ·Ö²¼ÔÚ ÒÔ( x, y ) Ϊ ÓÒ ¶¥µã µÄÎÞ Çî ¾Ø ÉÏ ÐÎÇøÓòÉÏ µÄÃæ·Û µÄÖÊ Á¿, ÔÚ ÀëÉ¢ÐÍÇé¿ö , Ãæ ·ÛÈöÔÚ Ãæ µÄÓÐ ¸ö »ò ¿ÉÁÐ µã ( xi , yj ) , ƽ ÉÏ ÏÞ ¸ö i , j = 1 , 2 , ¡- ÉÏ , ÔÚ ( xi , yj ) ÉÏ ¾ßÓÐ Á¿ pij ¡£ µã ÖÊ
ÔÚ Á¬ Ðø ÐÍ Çé ¿ö

, Ãæ·Û

ÈöÔÚ È«Æ½ ÉÏ »òij Ò»¸ö ÇøÓòÉÏ , f( x , y ) ¾ÍÊÇ Á¿·Ö²¼µÄÃæ ¶È¡£ Ãæ ÖÊ ÃÜ

¡ì

3 .2

±ßÔµ·Ö²¼
Ò»¸ö ÕûÌå , ¾ßÓÐ ºÏ ¸Å ÂÊ·Ö²¼ , ¶ø X Áª

¶þάËæ ÏòÁ¿ X , Y) ×÷ »ú ( Ϊ

ºÍ Y ¶¼ Ëæ ÊÇ »ú±äÁ¿, ËüÃÇ ÓÐ Éí µÄ¸Å ÂÊ·Ö²¼ , ÎÒÃÇ X µÄ¸Å ÂÊ Ó¦ ×Ô °Ñ ·Ö²¼ºÍ Y µÄ¸Å ÂÊ·Ö²¼·Ö ±ð³ÆΪ Ëæ»úÏò Á¿( X, Y ) ¹Ø ÓÚ X ºÍ ¹Ø ÓÚY µÄ±ßÔµ¸Å ÂÊ·Ö²¼¡£ ±¾ µÄÄÚÈÝÊÇ: ÔÚ ¶¨ ( X , Y ) µÄÁª ºÏ ·Ö ²¼Ê±, ½Ú ¸ø ¡¤ 9 8 ¡¤

X ºÍ Y ×Ô µÄ·Ö²¼º¯ Êý·Ö±ð³ÆΪ ¶þάËæ Éí »úÏò Á¿( X, Y ) ¹ØÓÚX ºÍ Y µÄ±ßÔµ·Ö²¼º¯ Êý , ·Ö±ð¼Ç FX ( x ) , FY ( y ) ¡£ µ±ÒÑ ( X, Y) µÄ Ϊ Öª Áª ºÏ ·Ö²¼º¯ Êý F( x , y ) ʱ, ¿Éͨ ¹ý FX ( x) = P{ X¡Ü x} = P{ X¡Ü x , Y < + ¡Þ } = y ¡ú + ¡Þ P{ X¡Ü x, Y¡Ü y} lim = y ¡ú + ¡Þ F( x , y ) = F( x, + ¡Þ ) lim FY ( y ) = P{ Y¡Ü y} = P{ X < + ¡Þ , Y¡Ü y} = x ¡ú + ¡Þ P{ X¡Üx , Y¡Ü y} lim = x ¡ú + ¡Þ F( x, y ) = F( + ¡Þ , y) lim ÇóµÃÁ½ ±ßÔµ·Ö²¼º¯ Êý¡£ ¸ö Àý 3 .4 Éè άËæ ¶þ »úÏòÁ¿ X , Y) µÄÁª ºÏ ·Ö²¼º¯ ÊýΪ ( F( x, y) = A( B + arctan (1) ÊÔ ¶¨ A, B, C µÄÖµ; È· (2) Çó X ºÍ Y µÄ±ßÔµ·Ö²¼º¯ Êý; (3) Çó P{0 < X¡Ü2 , 0 < Y¡Ü3}¼° P{ X > 2}¡£ ½â (1) ÓÉ ·Ö²¼º¯ ÊýµÄÐÔ Öª ÖÊ, F( + ¡Þ , + ¡Þ ) = A( B + F( - ¡Þ , y ) = A( B ¦Ð ¦Ð )( C+ ) = 1 2 2 x y ) ( C + arctan ) 2 3 (3 .2 .2 ) (3 .2 .1 )

¦Ð y ) ( C + arctan ) = 0 2 3 x ¦Ð )( C ) =0 2 2

F( x, - ¡Þ ) = A( B + arctan ÓÉ ¿É½âµÃ, A = ´Ë

1 ¦Ð ¦Ð , C = ¡£ 2 , B = 2 2 ¦Ð (2) ÓÉ (3 .2 .1 ) ºÍ ʽ .2 .2) ¿ÉµÃ ʽ (3 ¡¤ 99 ¡¤

1 ¦Ð ¦Ð + arctan )¡¤¦Ð 2 ( 2 ¦Ð 2 1 1 x = + arctan 2 ¦Ð 2 1 ¦Ð y FY ( y ) = F( + ¡Þ , y ) = 2¡¤ ¦Ð¡¤ ( + arctan ) 2 2 ¦Ð 1 1 y = + arctan 2 ¦Ð 3 (3) ÓÉ X µÄ±ßÔµ·Ö²¼º¯ Êý , µÃ FX ( x) = F( x , + ¡Þ ) = P{ X > 2 } = 1 - P{ X¡Ü2 } = 1 - FX (2) = ÓÉ .1 .4 ) ʽ µÃ (3 , P{0 < X¡Ü2 , 0 < Y¡Ü3 } = F(2 , 3) - F( 2 , 0) - F( 0 , 3) + F( 0, 0) = ¶þ ¡¢ ±ß Ôµ·Ö ²¼ ÂÉ Éè( X , Y) Ϊ ¶þάÀëÉ¢ÐÍËæ »úÏò Á¿, Æä ·Ö²¼ÂÉΪ P{ X = x i , Y = yj } = pij , i, j = 1 , 2 , ¡ÓÉ ÓÚ ¡Þ { X = xi } = { X = xi }¡É¦¸ = { X = xi } ¡É ( ¡È1 { Y = yj } ) j= ¡Þ ¡Þ = ¡È ( { X = xi }¡É{ Y = yj } ) = ¡È1 { X = xi , Y = yj } j=1 j= ¶øʼþÁÐ X = xi , Y = yj } , j = 1 , 2 , ¡- ÖÐ { ÖîʼþÁ½ »¥³â , ÓÉ Â浀 Á½ ¸Å ¿ÉÁÐ ¿É¼Ó , ÓÐ ÐÔ ¡Þ ¡Þ P{ X = xi } = ¡Æ P{ X = xi , Y = yj } = ¡Æ pij j=1 j=1

1 4

9 3 3 1 1 + = 16 8 8 4 16

(3 .2 .3 )

ªÃ

pi¡¤

(3 .2 .4 )

Ò× ¼û ¡Þ pi¡¤ ¡Ý 0 ¡¤ 1 00 ¡¤ i = 1 , 2 , ¡¡Þ
¡Þ ¡Æ j= 1

ÇÒ¡Æ pi¡¤ = ¡Æ i=1 i=1

pij = 1

(3 .2 .5 )

X ºÍ Y ×Ô µÄ·Ö²¼ÂÉÎÒÃÇ Éí ·Ö±ð³ÆÖ® ( X, Y ) ¹ØÓÚX ºÍ ¹ØÓÚY Ϊ µÄ±ßÔµ·Ö²¼ÂÉ, ÄÇ ÓÉ (3 .2 .4 ) ºÍ ʽ(3 .2 .5 ) ¿ÉµÃ( X , Y ) ¹Ø ÓÚ X ô ʽ µÄ±ßÔµ·Ö²¼ÂÉΪ P{ X = xi } = pi¡¤ , i = 1, 2 , ¡(3 .2 .6 ) ͬÀí , ( X, Y ) ¹ØÓÚY µÄ±ßÔµ·Ö²¼ÂÉΪ ¡Þ P{ Y = yj } = ¡Æ pij ªÃ p¡¤ , j = 1 , 2 , ¡j i= 1

(3 .2 .7 )

ͨ ³£ Óà 3 .3 Ëùʾ ±í µÄ±í ¸ñ À´±í ʾ X , Y) µÄÁª ºÏ ·Ö ²¼ÂÉºÍ ±ßÔµ ( ·Ö²¼ÂÉ¡£ ±í 3 .3
Y X x1 x2
¦ó

y1 p11 p21
¦ó

y2 p12 p22
¦ó

¡¡¡-

yj p1 j p2 j
¦ó

¡¡¡-

pi¡¤ p1 ¡¤ p2 ¡¤
¦ó

xi
¦ó

pi1
¦ó

pi2
¦ó

¡-

pij
¦ó

¡-

pi¡¤
¦ó

p¡¤ j

p¡¤ 1

p¡¤ 2

¡-

p¡¤ j

¡-

1

Õâ Á½¸ö ±ß Ôµ ·Ö ²¼ ÂÉ Õý ºÃ ÊÇ ±í µÄ ÖÐÑë ²¿ ·Ö µÄ ÐÐºÍ ÁÐ µÄ ºÍ

, ËüÃÇ

¶¼ ÔÚ µÄ ±ßÔµ λ ÖÃÉÏ ¡£ ÓÉ´Ë µÃ³ö ±ßÔµ·Ö²¼Õâ¸ö Ãû´Ê , Ò²ÓÐ ´¦ ±í ¡° ¡± ³Æ Ϊ ±ß¼Ê ·Ö²¼µÄ¡£ Àý 3 .5 ÊÔ E ÓÐ Ñé Èý¸ö ½á¹û A1 , A2 , A3 ¡£ A1 , A2 , A3 , Âú×ã Ai Aj = ¦¼( i¡Ù j) , A1 ¡È A2 ¡È A3 = ¦¸ , P( Ai ) = pi , 0 < pi < 1( i = 1 , 2 , 3 ) , p1 + p2 + p3 = 1¡£ ½«ÊÔ E ¶ÀÁ¢µØÖØ n ´Î ¡£ ÒÔ X, Y ·Ö±ð±í ʾn ´Î Ñé ¸´ ÊÔ ÑéÖÐA1 , A2 ½â
³ö ÏÖ µÄ ´Î Êý

, Çó( X , Y ) µÄ·Ö²¼Âɼ°¹Ø ÓÚ X ºÍ ¹Ø ÓÚY

µÄ±ßÔµ·Ö²¼ÂÉ¡£ X µÄËùÓÐ ¿ÉÄÜ ÖµÎª 0 , 1 , ¡- , n , Y µÄËùÓÐ ¿ÉÄÜֵΪ 0 , 1 , P{ X = k1 , Y = k2 } = 0 ¡¤ 1 01 ¡¤ ¡- , n¡£ µ± k1 + k2 > n ʱ

k1 + k2 ¡Ü n ʱ, ÓÉ ÊÔ ÓÚ ÑéµÄ¶ÀÁ¢ÐÔ A1 ,
³ö ´Î ÏÖ

ÔÚ Ö¸ ¶¨ ÏÖ

µÄ ij ÔÚ Æä Óà

k1

´Î

ÊÔ Ñé ÖÐ

, A2

ÔÚ Áí Íâ ÖÐ ³ö
2

ij Ö¸ ¶¨ µÄ ¸Å

µÄ ÂÊ

k2
Ϊ

´Î

ÊÔ Ñé ÖÐ ³ö k k n p11 p22 p3 1

, A3
2

n - k1 - k2 k1

ÊÔ Ñé
1

ÏÖ

k - k

k k = p11 p22 ( 1 - p1 Òâ ´Î ´Î ÊÔ Ñé ÖÐ ÏÖ

p2 )
³ö

n - k - k

, ¿¼ÂÇ µ½ÔÚn ´Î ÊÔ ÑéÖÐ A1 ,
¿É ÔÚ Ê£ Óà µÄ ÓÐ µÄ ¿É ÔÚ Æä ÖÐ ÈÎ

ÏÖ

, ¶ø A2
×Ü ¹²

n - k1
ͬ

´Î

ÊÔ Ñé ÖÐ ÈÎ Òâ µÄ
ÏÖ Ë³ Ðò ¡£ ¶ø

k2

ÊÔ Ñé ÖÐ ³ö

,

A1 , A2
ͬ ˳

Ckn1 Ckn2 C C k 1 n

k ÖÖ ²»
1

µÄ ³ö

ÇÒ Õâ

Ckn1 Ckn2 -

k ÖÖ ²»
1

Ðò ¶Ô Ó¦

k 2 n - k ¸ö
1

Ê ¼þ ÊÇ Á½ Á½ »¥

³â

µÄ ¡£

Òò ´Ë

P{ X = k1 , Y = k2 } = Cn1 C n2 Ëù ÒÔ

k

k

k

1

p11 p22 (1 - p1 - p2 )

k

k

n - k - k
1

2

( X , Y) µÄ·Ö²¼ÂÉΪ P{ X = k1 , Y = k2 } = Ckn1 Ckn2 k
1

k p11 p2k2 ( 1 - p1 - p2 ) n -

k - k
1

2

,

k1 , k2 = 0 , 1 , ¡- , n, k1 + k1 ¡Ü n ¹ØÓÚX µÄ±ßÔµ·Ö²¼ÂÉΪ n- k 1

P{ X = k1 } = ¡Æ P{ X = k1 , Y = k2 } k =0
2 n- k 1

= ¡Æ Ckn1 Ckn2 k =0
2

k

k p11 p2k2 (1 - p1 - p2 ) n 1 n- k
1

k - k
1

2

= C n1 p11 (1 - p1 ) ¿É¼û X¡« b( n , p1 ) ¡£

k

k

,

k1 = 0 , 1 , 2 , ¡- , n

ͬÑù¿ÉÇóµÃ¹ØÓÚY µÄ±ßÔµ·Ö²¼ÂÉΪ P{ Y = k2 } = C n2 p22 ( 1 - P2 ) ¼´ Y¡« b( n , p2 ) ¡£ Èý ¡¢ ±ßÔµ¸Å ÂÊÃÜ¶È Éè( X, Y) Ϊ ¶þάÁ¬ ÐøÐÍËæ Ïò Á¿, ¾ßÓÐ ÂÊÃÜ f ( x, y ) , Ôò »ú ¸Å ¶È ÓÐ x + ¡Þ k k n - k
2

,

k2 = 0 , 1 , 2 , ¡- , n

FX ( x ) = F( x, + ¡Þ ) = ¡Ò ¡¤ 1 02 ¡¤

- ¡Þ

( ¡Ò

- ¡Þ

f( u , v )d v) d u

, X Ϊ Á¬ ÐøÐÍËæ »ú±äÁ¿ÇÒ ÂÊÃÜ ¸Å ¶ÈΪ
+ ¡Þ + ¡Þ

fX ( x ) = ¡Ò

- ¡Þ

f( x , v) d v = ¡Ò

- ¡Þ

f ( x, y ) d y

(3 .2 .8 )

ÎÒÃÇ ·Ö±ð³Æ X ºÍ Y ×Ô µÄ¸Å ÂÊÃܶÈΪ ( X, Y ) ¹Ø ÓÚ X ºÍ ¹Ø ÓÚ Éí Y µÄ±ßÔµ¸Å ÂÊÃÜ ¶È¡£ ÄÇ ÓÉ( 3 .2 .8 ) ʽ ( X , Y ) ¹Ø ÓÚ X µÄ±ßÔµ¸Å ô Öª ÂÊÃÜ ¶ÈΪ
+ ¡Þ

¡ü ¡ú '

fX ( x ) = ¡Ò

- ¡Þ

f( x , y ) d y

ͬÀí , ( X, Y ) ¹ØÓÚY µÄ±ßÔµ¸Å ÂÊÃÜ ¶ÈΪ
+ ¡Þ

fY ( y ) = ¡Ò Àý 3 .6 ( ¼ûͼ 3 .8 ) ¡£ ½â ÇøÓò D µÄÃæ »ý
1

- ¡Þ

f( x , y )d x

(3 .2 .9 )
2 ¡Ü

Éè άËæ ¶þ »úÏòÁ¿ X , Y) ÔÚ ( ÇøÓò D = { ( x , y ) | y

x¡Ü

y}ÉÏ ·þ ´Ó¾ùÔÈ ·Ö²¼ , Çó¹ØÓÚ X ºÍ Y µÄ±ßÔµ¸Å ÂÊÃÜ¶È fX ( x ) , fY ( y ) y S= ¡Ò ( x - x) d x =
0

1 6

y= x y= x
2

ËùÒÔ X , Y) µÄ¸Å ÂÊÃÜ ( ¶ÈΪ f( x , y) = 6 0 y2 ¡Ü x¡Ü y Æä Ëü
ͼ

O

x

3 .8

ÓÉʽ (3

.2 .8 ) ºÍ ʽ .2 .9 ) ¿ÉµÃ¹ØÓÚX ºÍ ¹ØÓÚY µÄ±ßÔµ¸Å ÂÊÃÜ (3 ¶È·Ö x + ¡Þ

±ðΪ fX ( x ) = ¡Ò f ( x, y) d y = ¡Ò x 6d y = 6 ( x - x ) 0 y + ¡Þ

0 ¡Ü x ¡Ü 1 Æä Ëü 0 ¡Ü y ¡Ü 1 Æä Ëü ¡¤ 1 03 ¡¤

- ¡Þ

fY ( y) = ¡Ò

- ¡Þ

f ( x, y ) d x =

2 ¡Ò y 2 6d x = 6( y - y )

0

3 .7

Éè άËæ ¶þ »úÏòÁ¿( X , Y ) ¡« N ( ¦Ì 1 , ¦Ì 2 , ¦Ò , ¦Ò ,¦Ñ) , ÊÔÇó 1 2

2

2

Á½ ±ßÔµ¸Å ÂÊÃÜ ¸ö ¶È¡£ ½â ( X , Y) µÄ¸Å ÂÊÃÜ ¶ÈΪ f ( x, y) = 2¦Ð 1 ¦Ò 2 ¦Ò
2 ¦Ò 1 + ¡Þ

1 1 - ¦Ñ
2

exp{ -

1 2 2(1 - ¦Ñ )

( x - ¦Ì 1 ) 2

( x - ¦Ì 1 ) ( y - ¦Ì 2 ) ( y - ¦Ì 2 ) 2 - 2¦Ñ + } 2 ¦Ò¦Ò 2 1 ¦Ò 2

fX ( x ) = ¡Ò ÓÉ ÓÚ

f( x , y )d y
- ¡Þ

( x - ¦Ì 1 )
2 ¦Ò 1

2

( x - ¦Ì 1 ) ( y - ¦Ì 2 ) ( y - ¦Ì 2 ) - 2¦Ñ + 2 ¦Ò¦Ò 2 1 ¦Ò 2 - ¦Ñ x - ¦Ì 1
¦Ò 1 2

2

=
ÓÚ ÊÇ

y - ¦Ì 2
¦Ò 2

+ (1 - ¦Ñ )

2

( x - ¦Ì 1 )
2 ¦Ò 1

2

fX ( x) = 2¦Ð 1 ¦Ò 2 ¦Ò Áî t = ( 2 1 - ¦Ñ 1

1 1 - ¦Ñ
2

( x - ¦Ì )

2

e

-

1

+ ¡Þ

2 ¦Ò ¡Ò 1

e
- ¡Þ

-

1 2 ( 1 - ¦Ñ )
2

y - ¦Ì
¦Ò 2

2

x - ¦Ì - ¦Ñ ¦Ò 1
1

2

dy

y - ¦Ì 2
¦Ò 2

- ¦Ñ

x - ¦Ì 1
¦Ò 1
2

) , ÔòÓÐ t 2
2

1 fX ( x) = e 2¦Ð 1 ¦Ò
ͬ Àí

( x - ¦Ì )
1

+ ¡Þ - ¡Þ

2 ¦Ò ¡Ò 1

e

dt =

1 e 2¦Ð 1 ¦Ò
2

( x - ¦Ì )
1

2

2 ¦Ò

2 1

fY ( y ) =
¿É ¼û

1 e 2¦Ð 2 ¦Ò

( y - ¦Ì )
2

2 ¦Ò

2 2

2 2 X¡« N( ¦Ì 1 ,¦Ò ) , Y¡« N ( ¦Ì 2 , ¦Ò ) , ¼´¶þ άÕý̬ ·Ö²¼µÄÁ½ ¸ö 1 2

±ßÔµ·Ö²¼¶¼ һά Õý̬ ·Ö ²¼ , ²¢ ÇÒ ÒÀÀµÓÚ Êý ¦Ñ ¶ÔÓÚ ¶¨ µÄ ÊÇ ²» ²Î ¡£ ¸ø ¦Ì 1 , ¦Ì 2 , ¦Ò ,¦Ò , ²» ͬµÄ ¦Ñ¶ÔÓ¦²» ͬµÄ¶þάÕý̬·Ö ²¼ , ËüÃÇ µÄ±ßÔµ·Ö 1 2 ¡¤ 1 04 ¡¤
2 2

, ÕâÒ»ÊÂʵ±í Ã÷, µ¥ÓÉ ÓÚ X ºÍ ¹Ø ÓÚY µÄ±ßÔµ·Ö ¹Ø ²¼ , Ò»°ã ˵À´ ÊÇ ÄÜ ¶¨ Ëæ ²» È· »ú±äÁ¿ X ºÍ Y µÄÁª ºÏ ·Ö ²¼µÄ¡£ Áí Íâ ÎÒ ÃÇ Ö¸³ö Ò»µã : µ¥ÓÉ X ºÍ Y ¾ù·þ ´ÓÕý̬·Ö ²¼ÕâÒ»Ìõ ¼þ²» Äܱ£Ö¤ ÔÙ ( X , Y) ·þ ´Ó¶þάÕý̬·Ö²¼ ( ¼ûÏ° Ìâ 21) ¡£ ÔÚ ½áÊø±¾ Ö® ÎÒÃÇ ½Ú Ç°, Ö¸³ö Á½ µãÓÐ ¹ØÊÂÏî : (1) ÔÚ ¿¼ÂÇ n άËæ »úÏò Á¿( X1 , X2 , ¡- , Xn ) ( n¡Ý 3) ʱ, Ò²ÓÐ Àà ËÆ µÄ±ßÔµ·Ö²¼ , Ö»²» ¹ý ´Ë ʱ µÄ±ßÔµ·Ö ²¼¿ÉÒÔ Ö»ÊÇ ÓÚ ¸ö ·Ö Á¿ ²» ¹Ø µ¥ µÄ, ÕâÒ»Ïò Á¿µÄÈÎ ºÎ Ò»²¿ ·Ö·ÖÁ¿µÄ·Ö²¼¶¼ ³ÆΪ ±ßÔµ·Ö²¼¡£ ÀýÈç , ÓÐ Ò»¸ö ÈýάÏò Á¿( X1 , X2 , X3 ) , ËüµÄ·Ö²¼¾ö¶¨ ÁËÆä Ò»²¿ ·Ö·ÖÁ¿µÄ·Ö ÈÎ ²¼¡£ ±È , Ëü¿É¾ö¶¨ ( X1 , X2 ) µÄ¶þά·Ö²¼ , ÕâÒ»¶þά ·Ö²¼³ÆΪ ( X1 , Èç X2 , X3 ) ¹ØÓÚ X1 , X2 ) µÄ±ßÔµ·Ö²¼¡£ ÓÐ ( ¹Ø¹« ʽ µÄÍƵ¼Óë¶þάÇé¿ö Àà ËÆ ´Ë ´¦ ²» ϸ ½²ÁË , (2) ÎÒÃÇ Ó¦Ö¸³ö :¡° ±ßÔµ¡± ²¼¾ÍÊÇͨ ³£ µÄ·Ö ²¼ , ²¢ ÎÞ ÌØÊ⺬ ·Ö Òå¡£ Èç¹û ˵ÓРô Òâ˼ ʲ µÄ»° , Ëü²» ¹ý ÊÇ Ç¿µ÷ÁË: ±ßÔµ·Ö²¼Íê È«ÓÉ Áª ºÏ ·Ö²¼Ëù¾ö¶¨ , ´ÓÁª ºÏ ·Ö²¼ÖÐ ÅÉÉúµÄ·Ö²¼¶øÒÑ ±ðÎÞ Æä , Ëü¡£ ÖÁ ÓÚ ¡° ±ßÔµ Ò»´Ê µÄÓÉ , ÒÑ Ç°Ãæ ¡± À´ ÔÚ ½âÊÍ ¹ý ÁË¡£ ¡ì

3 .3

Ìõ ¼þ·Ö²¼ µ½Ê¼þ A ·¢ ÉúµÄ¿É

µ± ÃǼ ijһ  B ·¢ ÉúµÄÐÅÏ¢ Ó°Ïì ÎÒ ¿ ÂÇ Ê ¼þ

ÄÜ Ê±, ÎÒÃÇ ÐÔ ÒýÈëÁËÌõ ¼þ¸Å ÂʵĸŠÄî ¡£ ͬÑù, µ±ÎÒÃÇ ¿¼ÂÇ Ò»Ëæ ij »ú ±äÁ¿µÄÈ¡Öµ»áÓ°Ïì µ½Áí Ò»Ëæ ±äÁ¿µÄ·Ö²¼Ê±, ÎÒÃÇ »ú ÐèÒªÒýÈëÌõ ¼þ ·Ö²¼µÄ¸Å ÂÊ¡£ ËüÒ»°ã ²É È¡ÈçÏ µÄÐÎʽ ÉèÓÐ ¸ö Ëæ»ú±äÁ¿ X ¼° : Á½ Y, ÔÚ ¶¨ ÁË Y ȡij ¸ö ÖµµÄÌõ ¼þÏ , È¥Çó X µÄÌõ ¼þ·Ö²¼¡£ ÀýÈ翼ÂÇ ¸ø ij µØÇøµÄ³É ÄêÄÐÐÔ ´ÓÖÐ È¡ Ò»¸ö , ·Ö±ðÒÔ X ºÍ Y ±í ʾ Ìå ÖØ , ÈÎ Æä ºÍ Éí ¸ß , Ôò X ºÍ Y ¾ùΪ Ëæ ±äÁ¿Ò²¶¼ÓÐ »ú Ò»¶¨ µÄ¸Å ÂÊ·Ö²¼ , ÏÖÈçÏÞ ¶¨ Y = 1 .72( Ã×) , ÔÚ ÕâÒ»Ìõ ¼þÏ ȥÇó X µÄÌõ ¼þ·Ö ²¼ , ¼´¿¼ÂÇÉí ¸ß Îª 1 .72Ã× µÄ³É ÄêÄÐ µÄÌå ÖØ ÐÔ µÄ·Ö²¼¡£ ÈÝ Ò×Ïë Ïñ , Õâ¸ö Ìõ ¼þ·Ö²¼Óë X ¡¤ 1 05 ¡¤

X µÄÌõ ¼þ·Ö²¼ËæY µÄ±ä»¯ Çé ¿ö , ¾ÍÄÜ Á˽âÉí ¸ß ¶ÔÌå ÖØ µÄÓ°Ïì ÔÚ ÊýÁ¿ÉÏ µÄ¿Ì »®¡£ ÓÉÓÚ ¶àÎÊ Ìâ Ðí ÖÐ »ú±äÁ¿Ö® Ëæ ¼äÍù Íù ÊÇ ±Ë´Ë Ó°Ïì µÄ, Õâʹ Ìõ ¼þ·Ö²¼³É Ϊ ÑÐ ¾¿Ëæ»ú ±äÁ¿Ö® ¼äµÄÏà ÒÀ ¹Øϵ µÄÒ»¸ö ÓÐ µÄ¹¤ ¾ß¡£ Á¦ Ò»¡¢ Àë É¢ ÐÍ Ëæ»ú ±ä Á¿ µÄ Ìõ ¼þ·Ö ²¼ Éè( X , Y) ÊÇ ¶þάÀëÉ¢ÐÍËæ »úÏò Á¿, ( X , Y) µÄÁª ºÏ ·Ö²¼ÂÉΪ P{ X = xi , Y = yi } = pij i , j = 1 , 2 , ¡-

( X , Y) ¹ØÓÚ X ºÍ ¹ØÓÚY µÄ±ßÔµ·Ö²¼ÂÉ·Ö±ðΪ ¡Þ P{ X = xi } = ¡Æ pij = pi¡¤ i = 1 , 2 , ¡j=1

¡Þ P{ Y = yj } = ¡Æ pij = p¡¤ j i=1 j = 1 , 2 , ¡-

Èô¶Ôij Ò»¸ö j, p j > 0 , ¿¼ÂÇ Ê¼þ{ Y = yj } ÒÑ ÉúµÄÌõ ¼þÏ Ê ÔÚ ·¢ ¡¤ ¼þ{ X = xi }µÄÌõ ¼þ¸Å ÂÊ P{ X = xi | Y = yj }¡£ ÓÉ ¼þ¸Å ÂʵĶ¨ ÒåÖª Ìõ P{ X = xi | Y = yi } =
Ò× Öª ÉÏ Êö Ìõ

P{ X = xi , Y = yj } pij = P{ Y = yj } p¡¤ j :

¼þ ¸Å ÂÊ ¾ß ÓÐ ·Ö ²¼ ÂÉ µÄ ÌØ ÐÔ

(1) P{ X = xi | Y = yj }¡Ý0 i = 1 , 2 , ¡¡Þ ¡Þ pij (2) ¡Æ P{ X = x i | Y = yj } = ¡Æ = 1 ¡¤ i=1 i=1 p j ÓÚ ÎÒÃÇ ÊÇ ÒýÈëÒÔ Ï¶¨ Òå¡£ ¶¨ Òå3 .3 . 1 Éè( X, Y ) ÊǶþ άÀëÉ¢ÐÍËæ Ïò Á¿, ¶ÔÓÚ ¶¨ µÄ »ú ¹Ì P{ X = xi , Y = yj } = pij/ p¡¤ j P{ Y = yj } X µÄÌõ ¼þ·Ö²¼ÂÉ¡£ j, Èô P{ Y = yj } > 0 , Ôò³Æ P{ X = xi | Y = yj } = i = 1 , 2 , ¡(3 .3 .1 ) Ϊ ÔÚY = yj ¡¤ 1 06 ¡¤
Ìõ ¼þ Ï Ëæ »ú ±ä Á¿

, ¶ÔÓÚ ¶¨ µÄ i, Èô P{ X = x i } > 0 , Ôò³Æ ¹Ì P{ X = xi , Y = yj } pij P{ Y = yj | X = xi } = = P{ X = xi } pi¡¤ Ϊ ÔÚX = xj Àý 3 .8 Y µÄÌõ ¼þ·Ö²¼ÂÉ¡£

j = 1 , 2 , ¡(3 .3 .2 )

Ìõ

¼þ ÏÂ

Ò»Éä ½ø Ð »÷ , ÿ´Î Éä»÷»÷ÖÐ ÊÖ Ð Éä Ä¿±êµÄ¸Å ÂʾùΪ p(0

< p < 1) , ÇÒ Éè¸÷´Î Éä»÷ÃüÖÐ ¼Ù Ä¿±êÓë·ñ Ïà »¥¶ÀÁ¢, Éä»÷½øÐÐ µ½»÷ ÖÐ Ä¿±êÁ½ Ϊ Ö¹¡£ ÉèÒÔ X ±í ʾ ´Î µ½µÚÒ»´Î »÷ÖÐ Ä¿±êËùÐèµÄÉä»÷´Î Êý , ÒÔY ±í ʾ ¹² ½øÐÐ ×Ü µÄÉä»÷´Î Êý¡£ ÊÔ Çó( X , Y ) µÄÁª ºÏ ·Ö ²¼ÂÉºÍ Ìõ ¼þ·Ö²¼ÂÉ¡£ ½â ÓÉ Òâ, { X = i} ±í ʾ i ´Î Ê× »÷ÖÐ Ìâ µÚ ´Î Ä¿±ê, { Y = j} ±í ʾ µÚ j ´Î µÚ¶þ´Î »÷ÖÐ Ä¿±ê, Òò¶ø i < j, { X = i, Y = j} ±í ʾ i ´Î ºÍ µÚ µÚ j ´Î »÷ÖÐ Ä¿±ê¶øÆä Óàj - 2 ´Î ¾ùδ »÷ÖÐ Ä¿±ê¡£ ÓÚ X , Y ) µÄÁª ºÏ ·Ö ÊÇ( ²¼ÂÉΪ P{ X = i, Y = j} = p q , i = 1 , 2 , ¡- , j = i + 1 , i + 2 , ¡- , q = 1 - p ÓÉ ÕâÒ»Áª ºÏ ·Ö²¼ÂɿɵùØÓÚX ºÍ ¹ØÓÚY µÄ±ßÔµ·Ö²¼ÂÉ·Ö±ðΪ ¡Þ P{ X = i} = ¡Æ p2 qj - 2 = pqi - 1 i = 1 , 2 , ¡j = i+ 1 j- 1

2

j- 2

P{ Y = j} = ¡Æ p q i=1

2

j- 2

= ( j - 1) p q j- 2

2

j - 2

j = 2 , 3 , ¡-

¶ÔÓÚ ¶¨ µÄ j = 2 , 3 , ¡- , ÔÚ ¼þ Y = j Ï X µÄÌõ ¼þ·Ö²¼ÂÉΪ ¹Ì Ìõ p q 1 P{ X = i | Y = j} = i = 1 , 2 , ¡- , j - 1 2 j - 2 = j-1 ( j - 1) p q ¶ÔÓÚ ¶¨ µÄ i = 1 , 2 , ¡- , ÔÚ X = j Ìõ ¼þÏ Y µÄÌõ ¼þ·Ö²¼ÂÉΪ ¹Ì p2 qj - 2 j P{ Y = j | X = i} = i - 1 = pq pq i - 1 2

j = i + 1 , i + 2 , ¡-

¶þ ¡¢ Á¬ÐøÐÍ Ëæ»ú ±ä Á¿ µÄ Ìõ ¼þ·Ö ²¼ µ±( X , Y) Ϊ Á¬ ÐøÐÍËæ »ú±äÁ¿Ê±, ÓÉ ¶ÔÈÎ ÒâʵÊý x ºÍ y, ÓÐ P ÓÚ ¡¤ 1 07 ¡¤

{ X = x} = 0 , P{ Y = y} = 0 , ËùÒÔ ÄÜ ½Ó ²» Ö± ÓÃÌõ ¼þ¸Å ÂʵĶ¨ Òå¼òµ¥ ÒýÈë Ìõ ¼þ·Ö²¼º¯ Êý¡± Ï Ãæ ¡° ¡£ ÎÒÃÇ ¼«ÏÞ µÄ·½·¨ À´ ´¦ Àí ¡£ Óà ¸ø ¶¨ y , Éè¶ÔÓÚ Òâ¹Ì ¶¨ µÄÕýÊý ¦Å, P{ y - ¦Å< Y¡Ü y + ¦Å} > 0 , ÈÎ ÓÚ ¶ÔÈÎ Òâ x ÓÐ ÊÇ P{ X¡Üx , y - ¦Å< Y¡Üy + ¦Å} P{ y - ¦Å< Y¡Ü y + ¦Å} ÉÏ Ê½ ³ö ÁËÔÚ ¼þ y - ¦Å< Y¡Ü y + ¦ÅÏ X µÄÌõ ¼þ·Ö²¼º¯ Êý¡£ ÏÖÔÚ ¸ø Ìõ P{ X¡Ü x | y - ¦Å< y¡Üy + ¦Å} = ÎÒÃÇ ÒýÈëÒÔ ¶¨ Òå¡£ Ï ¶¨ Òå3 .3 .2 ¶Ô ¶¨µÄ Êý y, Éè¶ÔÓÚ Òâ¸ø ¶¨ µÄÕýÊý ¦Å, P ¹Ì ʵ ÈÎ lim ¦Å 0 + P{ X¡Ü x | y - ¦Å< Y¡Üy + ¦Å} ¡ú P{ X¡Üx , y - ¦Å< Y¡Ü y + ¦Å} = ¦Å 0 + lim ¡ú P{ y - ¦Å< Y¡Ü y + ¦Å} ´æÔÚ Ôò³Æ´Ë ¼«ÏÞ Îª ÔÚ ¼þ Y = y Ï X µÄÌõ ¼þ·Ö ²¼º¯ Êý , ¼Ç P , Ìõ ×÷ { X¡Ü x | Y = y}»ò¼Ç FX | Y ( x | y ) ¡£ Ϊ ͬÑùµØ, ¶¨ ÒåÔÚ X = x Ìõ ¼þÏ Ëæ»ú ±äÁ¿ Y µÄÌõ ¼þ·Ö ²¼º¯ Êý FY | X ( y | x) Ϊ FY | X ( y | x ) = ¦Å 0 + P{ Y¡Ü y | x - ¦Å< X¡Ü x + ¦Å} lim (3 .3 .4 ) ¡ú Éè( X, Y) µÄ·Ö ²¼º¯ ÊýΪ F ( x , y ) , ¸Å ÂÊÃÜ ¶ÈΪ f ( x, y ) ¡£ ÈôÔÚ µã ( x, y ) ´¦ f( x , y ) Á¬ ±ßÔµ¸Å ÂÊÃÜ fY ( y ) Á¬ ÇÒ fY ( y ) > 0 , Ôò Ðø, ¶È Ðø, ÓÐ FX | Y ( x | y ) = ¦Å 0 + lim ¡ú = ¦Å 0 + lim ¡ú = ¦Å 0 + lim ¡ú P{ X¡Ü x, y - ¦Å< Y¡Üy + ¦Å} P{ y - ¦Å< Y¡Ü y + ¦Å} F( x, y + ¦Å) - F( x, y - ¦Å) F Y ( y + ¦Å) - FY ( y - ¦Å) F( x, y + ¦Å) - F( x, y - ¦Å) / 2¦Å FY ( y + ¦Å) - FY ( y - ¦Å) / 2¦Å { y - ¦Å< Y¡Ü y + ¦Å} > 0 , ÇÒ Èô¶ÔÓÚ ÒâʵÊý x , ¼«ÏÞ ÈÎ (3 .3 .3 )

¡¤ 1 08 ¡¤

¶ F( x, y ) ¶ y = d FY ( y ) dy Ò༴ x f( u, y) du (3 .3 .5 ) fY ( y ) - ¡Þ fY ( y) Èô¼ÇfX | Y ( x | y ) Ϊ Ìõ ¼þ Y = y Ï X µÄÌõ ¼þ¸Å ÂÊÃܶÈ, ÔòÓÉ
- ¡Þ

¡Ò FX | Y ( x | y ) =

f( u, y) d u

x

= ¡Ò

(3 .3 .5 ) ʽ ֪ fX | Y ( x | y) = f( x , y ) fY ( y) (3 .3 .6 )

ÀàËÆ µØÔÚ Ó¦Ìõ ¼þÏ ¿ÉµÃÔÚX = x Ìõ ¼þÏ Y µÄÌõ ¼þ¸Å ÂÊÃÜ¶È Ïà Ϊ fY | X ( y | x) = f( x , y ) fX ( x )
2

(3 .3 .7 )
2 ¡Ü

Àý 3 . Éè »ú±äÁ¿( X, Y ) ÔÚ 9 Ëæ ÇøÓò D = { ( x , y ) | x + y ÉÏ ·þ ´Ó¾ùÔÈ ·Ö²¼ , ÇóÌõ ¼þ¸Å ÂÊÃÜ fX | Y ( x | y ) ¡£ ¶È ½â ( X , Y) µÄ¸Å ÂÊÃÜ ¶ÈΪ 1 f ( x, y) = ¦Ð 0 ÇÒ ±ßÔµ¸ÅÂÊ ¶È ÓÐ ÃÜ
+ ¡Þ

1}

x2 + y2 ¡Ü 1 Æä Ëü

fY ( y) = ¡Ò

f ( x, y ) d x
- ¡Þ 1- y
2

=

¡Ò

-

1- y

2

1 2 dx = 2 ¦Ð ¦Ð

1 - y

2

- 1 ¡Ü y ¡Ü 1 Æä Ëü

0 ÓÚ µ± - 1 < y < 1 ʱÓÐ ÊÇ f X | Y ( x | y) = f( x , y ) fY ( y )

¡¤ 1 09 ¡¤

1/ ¦Ð 2 = ¦Ð 0 Ìرð y = 0 ºÍ y = 1- y
2

= 2

1 1- y
2

-

1- y

2 ¡Ü

x¡Ü 1 - y

2

Æä Ëü

1 ʱÌõ ¼þ¸ÅÂÊ ¶È·Ö±ðΪ ÃÜ 2 1 - 1¡Ü x¡Ü1 fX | Y ( x | Y = 0) = 2 0 Æä Ëü 1 3 0 3 3 ¡Ü x¡Ü 2 2

1 fX | Y ( x | Y = ) = 2

Æä Ëü (3 .3 .8 )
2

ÀàËÆ Ìõ ¼þ¸ÅÂÊ ÓÚ µÄ³Ë ·¨ ¹« ʽ Ò²ÓÐ , f( x , y) = fY | X ( y | x) f X ( x ) = fX | Y ( x | y) fY ( y) Àý 3 .10 Éè X ÔÚ Çø¼ä(0 , 1) ÉÏ Ëæ »úµØÈ¡Öµ, µ±¹Û²ì X = x (0 <

x < 1) ʱ, Y ÔÚ Çø¼ä(0 , x ) ÉÏ Ëæ »úµØÈ¡Öµ¡£ Çó(1 ) P{ Y¡Ý X } ; ( 2) Y µÄ±ßÔµ¸Å ÂÊÃÜ fY ( y ) ¡£ ¶È ½â °´ Ìâ Òâ X ¾ßÓÐ ÂÊÃÜ ¸Å ¶È fX ( x ) = 1 0 1 x 0 1 x 0 (1) P{ Y¡Ý X } = ¡Ò ¡Ò 0 ¡¤ 1 10 ¡¤
2 1 x x
2

0< x0 y¡Ü0

e 0

- ( x + y)

x > 0, y > 0 Æä Ëü

f( x , y) d xd y
1- x

1

= d¡Ò ¡Ò 0 x 0

e

- ( x + y)

d y = 1 - 2e

-1 ¡Ö

0 .264 2

¶þ ¡¢ ¶à ά Ëæ»ú ±ä Á¿ µÄ¶ÀÁ¢ÐÔ ¶¨ Òå3 .4 . 2 »¥¶ÀÁ¢, ¼´ÓÐ P{ X1 ¡Ü x1 , X2 ¡Ü x2 , ¡- , { Xn ¡Ü xn } = P{ X1 ¡Ü x1 } P{ X2 ¡Ü x2 }¡- P{ Xn ¡Ü xn } (3 .4 .6 ) ¡¤ 1 15 ¡¤ Éè( X1 , X2 , ¡- Xn ) Ϊ n ά Ëæ Ïò Á¿, Èô¶ÔÓÚ Òâ »ú ÈÎ

ʵÊý x1 , x2 , ¡- xn , n ¸ö ʼþ{ X1 ¡Ü x1 } , { X2 ¡Ü x2 } , ¡- , { X n ¡Ü xn } Ïà

X1 , X2 , ¡- , Xn
Èô

Ïà

»¥ ¶À Á¢ ¡£ µÄ ±ß Ôµ ·Ö ²¼ º¯

( X1 , X2 , ¡- , Xn ) µÄÁª ºÏ ·Ö ²¼º¯ Êý¼°¹Ø ÓÚ Xi F( x1 , x2 , ¡- , xn ) , FX i ( xi )

Êý ·Ö ±ð ¼Ç Ϊ

i = 1 , 2 , ¡- , n

Ôò X1 , X2 , ¡- , Xn

Ïà

»¥ ¶À Á¢ ¿É µÈ ¼Û µØ ±í ʾ Ϊ

F( x1 , x2 , ¡- , xn ) = FX 1 ( x1 ) FX 2 ( x2 ) ¡- FX n ( xn ) ¼Û ÐÎʽ ¶ÔÈÎ ÒâÒ»×é¿ÉÄÜ Îª µÄÊý x1 , x2 , ¡- , xn , ÓРʽ Á¢ Ï ³É P{ X1 = x1 , X2 = x2 , ¡- , Xn = xn } = P{ X1 = x1 } P{ X2 = x2 }¡- P{ Xn = xn }

(3 .4 .7 )

µ±( X1 , X2 , ¡- , Xn ) Ϊ n ά ÀëÉ¢ÐÍËæ ±äÁ¿Ê±, ÉÏ Êö¶¨ ÒåµÄµÈ »ú

(3 .4 .8 )

ÔÚn άÁ¬ ÐøÐÍËæ »ú±äÁ¿µÄ³¡ ºÏ , ÉÏ Êö¶¨ ÒåµÄµÈ¼Û ÐÎʽ ÔÚ f Ϊ ( x1 , x2 , ¡- , xn ) ¼° f X i ( x i ) ( i = 1 , 2 , ¡- , n) µÄÒ»ÇÐ Ðøµã ( x1 , x2 , ¡- , Á¬ x n ) ´¦ ¾ùÓРʽ Á¢ Ï ³É f ( x1 , x2 , ¡- , xn ) = fX1 ( x1 ) fX2 ( x2 ) , ¡- f X n ( xn ) ¶¨ Òå3 .4 . 3 (3 .4 .9 )

Éè( X1 , X2 , ¡- , Xn ) , ( Y1 , Y2 , ¡- , Ym ) Ϊ ¶þ ¸ö Ëæ»ú

Ïò Á¿, Èç¹û ¶ÔÓÚ ÒâʵÊý x1 , x2 , ¡- , xn , y1 , y2 , ¡- , ym , ʼþ{ X1 ¡Ü ÈÎ x1 , X2 ¡Ü x2 , ¡- , Xn ¡Ü xn } Óë{ Y1 ¡Ü y1 , Y2 ¡Ü y2 , ¡- , Ym ¡Ü ym } Ïà »¥¶ÀÁ¢ ¼´ÓÐ P{ X1 ¡Ü x1 , X2 ¡Ü x2 , ¡- , Xn ¡Ü xn , Y1 ¡Ü y1 , ¡- , Ym ¡Ü ym } = P{ X1 ¡Ü x1 , X2 ¡Ü x2 , ¡- , Xn ¡Ü xn } P{ Y1 ¡Ü y1 , Y2 ¡Ü y2 ,¡- , Ym ¡Ü ym } (3 .4 .10) Ôò ³ÆËæ »úÏò Á¿( X1 , X2 , ¡- , Xn )ÓëËæ »úÏò Á¿( Y1 , Y2 , ¡- , Ym )Ïà »¥¶ÀÁ¢¡£ ÉÏ Êö¶¨ Òå¿ÉµÈ¼Û µØ±í ʾ ¶ÔÓÚ ÒâʵÊý x1 , x2 , ¡- , xn , y1 , y2 , Ϊ ÈÎ ¡- , ym
¾ù ÓÐ

F( x1 , x2 , ¡- , xn , y1 , ¡- , ym ) = F1 ( x1 , x2 , ¡- , xn ) F2 ( y1 , y2 , ¡- , ym ) Æä ÖÐF , F1 , F2 ¡¤ 1 16 ¡¤
·Ö ±ð Ϊ

(3 .4 .11)

( X1 , X2 , ¡- , Xn , Y1 , Y2 , ¡- , Ym ) , ( X1 , X2 ,

, Xn ) , ( Y1 , Y2 , ¡- , Ym ) µÄ·Ö²¼º¯ Êý¡£ Ëæ »ú±äÁ¿µÄ¶ÀÁ¢ÐÔ Ï Ãæ Òª½áÂÛ ÓÐ ÖØ : (1) Èô X1 , X2 , ¡- , Xn , Ïà »¥¶ÀÁ¢, Ôò ¢Ù x1 , x2 , ¡- , xn
Ò² Ïà »¥ ¶À Á¢

ÖÐ ÈÎ Òâ

k( 2¡Ü k¡Ü n) Ëæ ±äÁ¿ Xi1 , Xi2 , ¡- , X ik »ú

(1¡Ü i1 < i2 < ¡- < ik ¡Ü n) ;

¢Ú g1 ( X1 ) , g2 ( X2 ) , ¡- , g n ( Xn ) Ò²Ïà »¥ ¶ÀÁ¢, Æä g1 ( x ) , g2 ÖÐ ( x ) , ¡- , g n ( x ) Ϊ n ¸ö Á¬ Ðøº¯ Êý¡£ (2) Èô( X1 , X2 , ¡- , Xn ) Óë( Y1 , Y2 , ¡- , Ym ) Ïà »¥¶ÀÁ¢, Ôò ¢Ù ( X1 , X2 , ¡- , Xn ) ÖÐ Òâ k ¸ö Ëæ»ú ±äÁ¿¹¹ ³É µÄÏò Á¿ ( Xi1 , ÈÎ Xi2 , ¡- , Xik ) (1 ¡Ü i1 < i2 < ¡- < ik ¡Ü n ) Óë( Y1 , Y2 , ¡- , Ym ) ÖÐ Òâ l ÈÎ ¸ö Ëæ »ú±äÁ¿¹¹ ³É µÄÏò Á¿( Yj1 , Yj2 , ¡- , Yj l ) ( 1¡Ü j1 < j2 < ¡- < jl ¡Ü m) Ò²Ïà »¥¶ÀÁ¢; ¢Ú g1 ( X1 , X2 , ¡- , Xn ) Óë g2 ( Y1 , Y2 , ¡- , Ym ) Ïà »¥¶ÀÁ¢Æä ÖÐg1 , g2
Ϊ Á½ ¸ö Á¬ Ðø º¯ Êý ¡£ ³ö ±¾ Êé ·¶ Χ

ÉÏ Êö ¸÷ ½á ÂÛ µÄ Ö¤ Ã÷ ³¬

, ÎÒÃÇ Ö»ÊÇ ÒýÓà ¶ø²» ¼Ó Ö¤Ã÷ ¡£

ÓëËæ »úʼþµÄ¶ÀÁ¢ÐÔ Ò»Ñù, ÔÚ Êµ¼Ê Ìâ ÖÐ ±äÁ¿µÄ¶ÀÁ¢ÐÔ Íù ÎÊ , Íù ²» ÊÇ ´ÓÆä Êýѧ¶¨ ÒåÑéÖ¤³ö À´ µÄ¡£ Ïà ·´ , ³£ ÊÇ´Ó±äÁ¿²ú ÉúµÄʵ¼Ê ±³ ¾°ÅÐ ËüÃǶÀÁ¢ ( »ò ÕßÆä ÒÀÐÔ ÈõÒò¶ø ¿É½üËÆ ¶Ï Ïà ºÜ µØÈÏ Îª ÊǶÀÁ¢ µÄ) , È»ºó ÔÙ ÓöÀÁ¢ÐÔ ÒåÖРʹ ¶¨ Ëù¸³ ÓèµÄÐÔ ºÍ ¶ÀÁ¢ÐÔ ÖÊ µÄÓÐ ½á ¹Ø ÂÛ, È¥½â¾öʵ¼Ê Ìâ ¡£ ÎÊ

¡ì

3 .5

Á½ Ëæ ¸ö »ú±äÁ¿µÄº¯ ÊýµÄ·Ö²¼
ÊýµÄ·Ö²¼ , ÔÚ Õâ

ÔÚÚ ÖÐ ÔøÌÖÂÛÁËÒ»¸ö Ëæ»ú±äÁ¿µÄº¯ µ ¶þÕ , ÎÒÃÇ

Ò»½Ú , ÎÒÃÇ ÖÐ ½«ÌÖÂÛ ¸ö Ëæ Á½ »ú±äÁ¿º¯ ÊýµÄ·Ö²¼ , Ö® ½«¼òµ¥µØ½éÉÜ ºó ¶þάËæ »úÏò Á¿µÄ±ä»» ÎÊ Ìâ ¡£ ¶ÔÓÚ n ¸ö Ëæ»ú ±äÁ¿º¯ ÊýµÄ·Ö ²¼¼° n άËæ »úÏò Á¿µÄ±ä»»ÎÊ Ìâ µÄÌÖÂÛ ·½·¨ ÀàËÆ ¡£ ¡¤ 1 17 ¡¤

, ¶ÁÕß¿Éͨ ¹ý ÕâÁ½ Àý×Ó ½á³ö Ò»°ã ·½·¨ ¡£ ¸ö ×Ü Àý 3 .14 Éè( X , Y) µÄ·Ö²¼ÂÉÈç±í 3 .5 Ëùʾ ±í 3 .5
Y X -1 2 5 20 3 20 2 20 3 20 6 20 1 20 -1 1 2

Çó

Z1 = X - Y, Z2 = max( X , Y) µÄ·Ö²¼ÂÉ¡£ ½â ÓÉ X , Y) µÄ·Ö²¼ÂÉ¿ÉÁÐ 3 .6¡£ ( ±í ±í 3 .6
P ( X, Y) X - Y max( X, Y) 5 20 2 20 6 20 3 20 3 20 (2 , 1) 1 2 1 20 ( 2,2 ) 0 2

( - 1, - 1) ( - 1 , 1) ( - 1 , 2 ) ( 2 , - 1) 0 -1 -2 1 -3 2 3 2

ÓÉ ´Ë ¿É µÃ

Z1 = X - Y µÄ·Ö²¼ÂÉΪ -3 6 20 -2 2 20 0 6 20 1 3 20 3 3 20

Z1 P

Z2 = max( X , Y) µÄ·Ö²¼ÂÉΪ

¡¤ 1 18 ¡¤

Z2 P

-1 5 20

1 2 20

2 13 20

Àý3 . 5 1 ½â

Éè X ºÍ Y ¶ÀÁ¢, ·Ö ±ð·þ ´Ó¶þ Ïî ·Ö ²¼ b ( n1 , p) ºÍ b

( n2 , p) , Çó Z = X + Y µÄ·Ö²¼ÂÉ¡£ Z µÄ¿ÉÄÜ ÖµÎª 0 , 1 , 2 , ¡- , n1 + n2 , ¶ÔÓÚ ¶¨ µÄÕûÊý k(0 ¡Ü ¹Ì k¡Ü n1 + n2 ) , ÓÉ ¶ÀÁ¢ÐÔ ÉèÓÐ ¼Ù P{ Y = k} = ¡Æ P{ X = k1 , Y2 = k2 } = ¡Æ P{ X = k1 } P{ Y = k2 } k , k k , k
1 2 1 2

= ¡Æ Ckn11 pk 1 qn1 k , k
1 2

k

1 ¡¤

Ckn22 pk 2 qn2 2 1 2

k

2

= ¡Æ Ckn11 Ckn22 pk1 + k 2 qn1 + k , k
1 2

n - ( k + k )

´Ë Íâ ¡Æ

Çó ºÍ k

µÄ ·¶ k

Χ

Ϊ

: k1 , k2 k + k 2 n
2

Ϊ

·Ç ¸º

Õû Êý ÇÒ

k1 + k2 = k, ÀûÓà ×é

ºÏ ¹« ʽ C n11 C n22 = C n11 + ¡Æ k ,k 1 2

, ÓÚ ÊÇ k n

P{ Y = k} = Cn1 +
Ëù ÒÔ

2

p q1

k

n + n - k
2

Y µÄ·Ö²¼ÂÉΪ k n
2

P{ Y = k} = Cn1 +

pq1

k

n + n - k
2

k = 0 , 1 , ¡- , n1 + n2 , q = 1 - p

¼´ Y ·þ ´Ó¶þÏî ·Ö²¼ b( n1 + n2 , p) ¡£ Õâ¸ö ½á¹û ºÜÈÝÒ× Íƹ㠵½¶à¸ö µÄ ÇéÐÎ: Èô X i ¡« b( ni , p) , i = 1, 2 , ¡- , m, ÇÒ X1 , X2 , ¡- , Xm m Ïà

ȴ

¶À

Á¢

, Ôò X1 + X2 , ¡- , Xm ¡« b( ¡Æ ni , p) ¡£ Ìرð Xi i=1 n

¡«

b( 1 , p) i = 1 , 2 ,

¡- , n , X1 , X2 , ¡- , Xm

Ïà

»¥ ¶À Á¢

, Ôò¡Æ Xi ¡« b( n , p) ¡£ ²´ ËÉ·Ö²¼Óë ÓÉ i=1 ¶þÏî ·Ö²¼µÄ¹Ø ϵ ( ²´ Ëɶ¨ Àí ) , ÈÝÒ× µ½²´ ËÉ·Ö²¼Ò²ÓÐ Ïë ÀàËÆ µÄ¿É¼Ó ÐÔ Èô Xi :
¡« ¦Ð

( ¦Ëi ) , i = 1 , 2 , ¡- , n , ÇÒ X1 , X2 , ¡- , X n

Ïà

»¥ ¶À Á¢

, Ôò

¡¤ 1 19 ¡¤

n

n

Xi i=1 ¡«

¦Ð

( ¡Æ ¦Ë i ) ¡£ ÕâÒ»½áÂÛ Îª Ï° Ìâ Áô¸ø ¶ÁÕßÈ¥Ö¤Ã÷ ×÷ ¡£ i= 1

¶þ ¡¢ ¶þ ά Á¬ÐøÐÍ Ëæ»ú ±äÁ¿ µÄ º¯ Êý µÄ ·Ö ²¼ Éè( X , Y) Ϊ Á¬ ÐøÐÍËæ »úÏò Á¿, ¾ßÓÐ ÂÊÃÜ f( x , y ) , ÓÖZ = g ¸Å ¶È ( X , Y) ( g( x , y ) Ϊ Ò»ÒÑ ÖªµÄÁ¬ Ðøº¯ Êý) ¡£ ´ó ²¿ ·ÖÇé¿öÏ , Z ÊÇ Ò»Á¬ ÐøÐÍËæ »ú±äÁ¿, Ï Ãæ ÎÒÃÇ ½«ÌÖÂÛ ÈçºÎ Çó³ö Z µÄ¸Å ÂÊÃÜ ¶È¡£ Ò»°ã µØ, Ϊ Çó Z µÄ¸Å ÂÊÃÜ ÎÒÃÇ ¶È, ¿ÉÏÈ Çó³ö Z µÄ·Ö²¼º¯ Êý FZ ( z) = P{ Z¡Ü z} = P{ g( X , Y) ¡Ü z} = ¡Ò ¡Ò g ( x, y ) ¡Ü z

f( x , y )d xd y

(3 .5 .1 )

ÔÚ Çó½â¹ý ³Ì ÖÐ ´Ë ¹Ø¼üÔÚ ½«Ê¼þ{ Z ¡Ü z} µÈ¼Û ÓÚ µØת »¯ Ϊ Óà X, Y ) ( ±í ʾ µÄʼþ{ g( X, Y ) ¡Ü z} = { ( X, Y ) ¡Ê Dz } , Æä ÖÐDz = { ( x , y) | g( x , y) ¡Ü z}¡£ Ò²¾ÍÊÇ ËµÊ× ÒªÕÒ (3 .5 .1 ) ʽ ¶ËµÄ»ý ·ÖÇøÓò ÏÈ ³ö ÓÒ Dz ¡£ Èç
¹û ÎÒ ÃÇ Çó µÃ ÁË

FZ ( z) , ÄÇ ¿Éͨ ¹ý f Z ( z) = ô

d FZ ( z) Çó³ö Z µÄ dz

¸Å ÂÊÃÜ fZ ( z) ¡£ ¶È Àý3 .16 Çó Z =
½â 2

Éè X ¡« N(0 ,¦Ò ) , Y ¡« N (0 ,¦Ò ) ÇÒX Óë Y Ïà »¥¶ÀÁ¢,
2 µÄ ¸Å ÂÊ ÃÜ ¶È ¡£

2

2

X + Y

X ºÍ Y µÄ¸Å ÂÊÃÜ ¶È·Ö±ðΪ
2 2

ÓÉ ÓÚ

x y 1 1 fX ( x ) = e 2 ¦Ò2 , f Y ( y) = e 2¦Ò2 2¦Ð ¦Ò 2¦Ð ¦Ò X Óë Y Ïà »¥¶ÀÁ¢, ÓÚ X , Y) µÄ¸Å ÂÊÃÜ ÊÇ( ¶ÈΪ

1 f ( x, y) = fX ( x ) f Y ( y) = 2 e 2¦Ð ¦Ò
ÏÈ Çó

x + y 2 ¦Ò
2

2

2

Z µÄ·Ö²¼º¯ Êý FZ ( z) FZ ( z) = P{ Z¡Ü z} = P{ X + Y
2 2 ¡Ü

z}

µ± z < 0 ʱ ¡¤ 1 20 ¡¤

FZ ( z) = 0

z¡Ý0 ʱ FZ ( z) = P{ = ¡Ò ¡Ò
2 2 2 x + y ¡Ü z

X2 + Y2 ¡Ü z} = P{ X2 + Y2 ¡Ü z2 } 1 2 e 2¦Ð ¦Ò z x + y 2¦Ò
2 2 2

d xd y
2 2

1 = 2 2¦Ð¡Ò ¦Ò = 1 - e
Ëù ÒÔ

2 ¦Ð 0
2

d¦È re ¡Ò 0
2

-

r

2¦Ò

dr

z / 2¦Ò

FZ ( z) = ¿ÉÊÇ ¿ÉµÃ Z = X + Y
2 2

1-e 0

-

z

2 2

2¦Ò

z¡Ý0 z 0 x ¡Ü 0 y > 0 y ¡Ü 0
ͼ

fX ( x ) =

¦Áe 0

- ¦Áx

X L1 X L1 Y L2

Y L2

fY ( y ) =

¦Âe - ¦Ây 0

3 .12

ÆäÖЦÁ > 0 ,¦Â> 0 , ÊÔ ·Ö±ð¾ÍÒÔ Á½ Áª ½Ó ÉÏ ÖÖ ·½Ê½ Çó³ö ϵ ͳ

Z µÄÊÙÃü , ϵ ͳ L

¸Å ÂÊÃÜ ¶È¡£ ½â (1 ) ´®Áª Çé¿ö¡£ ÒòΪ µ± L1
ºÍ

L2

ÖÐ ÓÐ Ò» ¸ö

Ëð »µ ʱ

¡¤ 1 27 ¡¤

, ËùÒÔ Õâʱ L µÄÊÙ ÃüΪ Z = min ( X, Y ) Òò X ºÍ Y µÄ·Ö²¼º¯ Êý·Ö±ðΪ FX ( x ) = 1 - e - ¦Áx 0 1 - e 0
- ¦Ây

x ¡Ý 0 x < 0 y ¡Ý 0 y < 0 1 - FY ( z)

FY ( y ) =

ÓÉ .5 .12) ʽ Z µÄ·Ö²¼º¯ ÊýΪ (3 µÃ FZ ( z) = 1 = 1 - FX ( z)
- ( ¦Á+ ¦Â) z

1 - e 0

z ¡Ý 0 z < 0

ÓÚ µÃ Z µÄ¸Å ÂÊÃÜ ÊÇ, ¶ÈΪ f Z ( z) = (¦Á + ¦Â) e - ( ¦Á+ ¦Â) z 0 Z = max ( X , Y) ÓÉ .5 .11) ʽ Z = max ( X, Y ) µÄ·Ö²¼º¯ ÊýΪ (3 µÃ fZ ( z) = (1 - e 0 + ¦Âe
- ¦Âz -¦Áz

z > 0 z ¡Ü 0

(2) ²¢ Áª Çé¿ö , ´Ë ʱ ͳ L µÄÊ٠ϵ ÃüΪ

) (1 - e

- ¦Âz

)

z ¡Ý 0 z < 0

ÓÚ µÃ Z = max ( X, Y ) µÄ¸Å ÂÊÃÜ ÊÇ ¶ÈΪ F Z ( z) = ¦Áe 0
- ¦Áz

- (¦Á + ¦Â) e

- ( ¦Á+ ¦Â) z

z > 0 z ¡Ü 0

Èý ¡¢ Ëæ»ú Ïò Á¿µÄ±ä »» Ëæ »úÏò Á¿¾-ijÖÖ ±ä»»ºó ±äΪ Ò»Ð µÄÏò Á¿, ÈçºÎ Çóºó Õߵķֲ¼ ? ÕâÎÊ Ìâ ÎÞ ÂÛ Àí ÂÛ »¹ ÊÇ ÔÚ ÉÏ Êµ¼Ê ¶¼ ÖØ ÒâÒå¡£ ÔÚ ÖÐ ÓÐ ´ó ÕâÀï ÎÒÃÇ ÌÖÂÛ ÓÉ n άÏò Á¿( X1 , X2 , ¡- , Xn ) µ½ n ά Ïò Á¿( Y1 , Y2 ¡- , Yn ) µÄ±ä»» ÎÊ ¡¤ 1 28 ¡¤

( X1 , X2 , ¡- , Xn ) ÓÐ ºÏ ÃÜ¶È f ( x1 , x2 , ¡- , xn ) , ÇÒ Áª ±ä»»Âú×ã Ò»¶¨ Ìõ ¼þʱ ¿ÉÓÉ Ãæ Àí Çó³ö ( Y1 , Y2 , ¡- , Yn ) µÄÁª ºÏ ÃÜ Ï ¶¨ ¶È¡£ Ϊ ¼ò ±ãÆð ÕâÀï ֻд³ö n = 2 µÄÇé¿ö ¡£ ¼û, ¶¨ Àí 3.5.1 Éè( X, Y ) ¾ßÓÐ ÂÊÃÜ f( x , y ) , ÇÒ ¸Å ¶È ÇøÓò D( ¿ÉÒÔ u = g1 ( x, y) v = g2 ( x , y ) µ±( x, y) ¡Ê D ʱ, ( u , v ) µÄÖµÓòΪ G, ¶øÇÒ ±ä»» ¦¤ Âú×ã: ¦¤ (1) D ¡ú G ÊÇ Ò»Ò»¶ÔÓ¦µÄ; (2) g1 , g2
ÔÚ

ÊÇ È«Æ½ Âú×ã P{ X , Y¡Ê D} = 1 , ¶Ô±ä»» ¦¤ Ãæ)

D ÖÐ Ò»½× ÐøÆ« ÓÐ Á¬ µ¼Êý; ¶ u ¶ u ¶ x ¶ y

¶ ( u , v) (3) ÑÅ ¿É±È ÁÐ ÐРʽ = ÔÚD ÖÐ ´¦ ²» Ϊ Áã¡£ ´¦ ¶ ( x, y) ¶ v ¶ v ¶ x ¶ y Éè U = g1 ( X , Y) , V = g2 ( X , Y) , Ôò( U, V) µÄÁª ºÏ ¸Å ÂÊÃÜ ¶ÈΪ ¦Õ( u , v ) = f[ h1 ( u , v) , h2 ( u , v ) ] J 0 ( u , v) ¡Ê G Æä Ëü ( 3. 5. 17) Æä ÖÐx = h1 ( u , v) , y = h2 ( u , v) Ϊ ÓÉ ±ä»» ¦¤ ¾ö¶¨ µÄ·´ º¯ Êý , ¶ø J ÊÇ ¶ ( x, y) ÑÅ ¿É±È ÁÐ ÐРʽ = ¶ ( u , v) ¶ y ¶ y ¶ u ¶v Àý 3 .21 ÉèËæ »ú±äÁ¿ R ºÍ ¦¨ Ïà »¥¶ÀÁ¢, ÇÒ¦¨ ¡« U ( 0 , 2¦Ð) , R ·þ ´Ó²Î ÊýΪ ¦Ò (¦Ò> 0 ) µÄÈðÀû·Ö²¼¼´ R ¾ßÓÐ ÂÊÃÜ ¸Å ¶È f R ( r) = r - r2 2 e 2¦Ò ¦Ò 0
2

¶ x ¶ x ¶ u ¶v

r> 0 r ¡Ü 0 ¡¤ 1 29 ¡¤

Áî X = Rcos¦¨ , Y = Rsin¦¨ , Çó( X, Y ) µÄ¸Å ÂÊÃÜ ¶È²¢ ÌÖÂÛ X Óë Y µÄ

D = { ( r,¦È) ÇÒ ±ä»» ¦¤

r > 0 , 0¡Ü¦È < 2 , ÓÐ ¦Ð}

P{ ( R, ¦¨ ) ¡Ê D} = 1 x = rcos¦È y = r sin¦È µ±( r ,¦È) ¡Ê D ʱ, ( x , y ) µÄÖµÓò G = { ( x, y ) | ( x , y ) ¡Ù( 0 , 0 ) } , ÇÒ Âú ×ã ¦¤ (1) D ¡ú G ÊÇ Ò»Ò»¶ÔÓ¦µÄ; ¶ x ¶ y¶ x¶ y , , , ÔÚD ÖÐ ´æÔÚ Á¬ ÇÒ Ðø; ¶ r ¶ r ¶ ¦È ¶ ¦È cos¦È - rsin¦È ¶ ( x, y) (3) = = r¡Ù0 ¶ ( r ,¦È) sin¦È rcos¦È (2) ÓÖ R , ¦¨ ) µÄÁª ºÏ ¸Å ÂÊÃÜ ( ¶ÈΪ f( r,¦È) = r - r2 2 e 2¦Ò 2¦Ð ¦Ò 0 ÓÉ Àí 3 .5 .1 ¿ÉµÃ( X, Y ) µÄÁª ºÏ ÃÜ ¶¨ ¶ÈΪ r 2e ¦Ò f( x , y ) = 2¦Ð 0 1 2e ¦Ò = 2¦Ð 0 x + y 2 ¦Ò
2 2 2 2 2 ¡¤ 2

( r ,¦È) ¡Ê D Æä Ëü

x + y 2 ¦Ò
2

1 r

( x, y) ¡Ê G Æä Ëü

( x, y) ¡Ù (0 , 0) ( x, y) ¡Ù (0 , 0)

¶ ( r ,¦È) ¶ ( x, y) 2 2 2 ÕâÀï Óà µ½ÁË = 1/ ¼° x + y = r ¡£ ¶ ( x, y) ¶ ( r ,¦È) ÓÖ ÓÉ ÓÚ ¸Å ÂÊ ÃÜ ¶È ¿É ¸Ä ±ä ¸ö ±ð µã µÄ º¯ Êý Öµ , ¹Ê ¿ÉµÃ( X , Y) µÄÁª ºÏ ÃÜ ¶ÈΪ ¡¤ 1 30 ¡¤

1 f ( x, y ) = 2e 2¦Ð ¦Ò

x +y 2¦Ò 2
2

2

2

- ¡Þ < x 0 Æä Ëü

(1) È· ¶¨ ³£ Êý C; (2) Çó( X, Y) µÄ·Ö²¼º¯ Êý¡£ 7 . Éè¶þάËæ »ú±äÁ¿( X, Y ) µÄ¸Å ÂÊÃÜ ¶ÈΪ f( x , y) = Axy 0 0 < x < 1,0 < y < x Æä Ëü

Çó(1) ³£ Êý A; (2) P{ X + Y < 1} , P{ Y < X2 } ; (3 ) ±ßÔµ¸Å ÂÊÃÜ ¶È¡£ 8 . Éè( X, Y ) ¾ßÓÐ ÂÊÃÜ ¸Å ¶È

¡¤ 1 33 ¡¤

0 Æä Ëü (1) È· ¶¨ ³£ Êý C; (2) Çó±ßÔµÃÜ fX ( x) , fY ( y ) ¡£ ¶È 9 . ( 1) ÇóµÚ1 Ìâ ÖÐ X, Y) µÄ±ßÔµ·Ö ²¼ÂÉ; ( 2) µÚ3 Ìâ ÖÐ X, Y) ( ( µÄ±ßÔµ·Ö²¼ÂÉ¡£ 10 . ÒÔ X ¼Ç Ò½ ij ÔºÒ»Ìì ³ö ÉúµÄÓ¤¶ù µÄ¸ö Êý , Y ¼Ç Æä ÄÐÓ¤ Ϊ ÖÐ µÄ¸ö Êý , Éè( X, Y ) µÄ·Ö²¼ÂÉΪ P{ X = n , Y = m} = e
- 14

f ( x, y) =

Cx2 y

x2 ¡Ü y¡Ü1

(7 .14 ) (6 .86) m ! ( n - m) !

m

n - m

m = 0 , 1 , ¡- , n , n = 0 , 1 , 2 , ¡Çó(1) ±ßÔµ·Ö²¼ÂÉ; ( 2) Ìõ ¼þ·Ö²¼ÂÉ, (3) µ± X = 20 ʱ, Y µÄÌõ ¼þ·Ö²¼ ÂÉ¡£ 11 . (1 ) ÇóµÚ5 Ìâ ÖÐ µÄÌõ ¼þ¸ÅÂÊ ¶È fX | Y ( x | y ) ; (2 ) µÚ8 Ìâ ÖÐ ÃÜ 1 Ìõ ¼þ¸ÅÂÊ ¶È fY | X ( y | x ) , Ìرðд³ö X = ʱ Y µÄÌõ ¼þ¸Å ÂÊÃÜ ÃÜ ¶È, 2 1 1 ²¢ Çó P{ Y¡Ý | X = } ¡£ 4 2 12 . ÉèËæ »ú±äÁ¿( X, Y ) ÔÚ ÇøÓò D = { ( x, y ) | 0 < x < 1 , | y | < x}ÉÏ ·þ ´Ó¾ùÔÈ ·Ö²¼ , ÇóÌõ ¼þ¸Å ÂÊÃÜ f X | Y ( x | y) , fY | X ( y | x ) ¡£ ¶È 13 . Éè( X, Y ) ¾ßÓÐ ÂÊÃÜ ¸Å ¶È C 2 2 f ( x, y ) = 1 + x + y 0 (1) Çó³£ Êý C; (2) X Óë Y ÊÇ ¶ÀÁ¢ ? ·ñ x2 + y2 ¡Ü 1 Æä Ëü

14 . ÔÚ µÚ1 Ìâ ÖÐ ·Ö±ðÌÖÂÛ ÖÖ ÊÔ Á½ ·½Ê½ X Óë Y µÄ¶ÀÁ¢ÐÔ Ï ¡£ 15 . ( 1) µÚ7 Ìâ ÖÐX Óë Y ÊÇ ¶ÀÁ¢ ? (2) µÚ6 Ìâ ÖÐX Óë Y ÊÇ ·ñ ·ñ ¶ÀÁ¢ ? (3) µÚ5 Ìâ ÖÐ X Óë Y ÊÇ ¶ÀÁ¢ ? ·ñ 16 . д³ö Ï Ãæ ¶þάÕý̬·Ö²¼ÖÐ 5 ¸ö ²Î Êý µÄ 1 - 2 x 2 - x ( y - 5) + ( y - 5 ) 2 (1) f ( x, y) = e 3 ; 3¦Ð ¡¤ 1 34 ¡¤

1 (2) f ( x, y) = e 2¦Ð

1 2 2 ( x + y ) 2 ¡£

17 . Éè X ºÍ Y Ïà »¥ ¶ÀÁ¢, ÇÒ X¡« U (0 , 1 ) , Y ·þ ´Ó²Î ÊýΪ Ö¸Êý·Ö²¼ (1) д³ö ( X , Y) µÄ¸Å ÂÊÃÜ ¶È;

1 µÄ 2

(2) ÉèÓÐ ÖªÊý a µÄ¶þ´Î ·½³Ì a + 2 Xa + Y = 0 , ÊÔ Î´ Çó·½³Ì ÓРʵ¸ù µÄ¸Å ÂÊ¡£ 18 . Éè X ºÍ Y Ïà »¥¶ÀÁ¢, Æä ÂÊÃÜ ¸Å ¶È·Ö±ðΪ fX ( x) = ¦Ëe - ¦Ëx 0 x > 0 x ¡Ü 0 1 0 fY ( y ) = ¦Ì e - ¦Ì y 0 y > 0 y ¡Ü 0

2

Æä ¦Ë > 0 , ¦Ì > 0 ÊÇ Êý, ÒýÈëËæ ÖÐ ³£ »ú±äÁ¿ Z = Çó Z µÄ·Ö²¼Âɼ°·Ö²¼º¯ Êý¡£ 19 . Éèij ÖÖ »õÎï µÄÐèÇóÁ¿ X Ó빩ӦÁ¿ Y ¶¼ [0 , a ]ÉÏ ·þ ´Ó¾ù ÔÚ ÔÈ ·Ö²¼ , ²¢ ÇÒ ÕßÏà »¥¶ÀÁ¢, Çóȱ Á½ »õµÄ¸Å ÂÊ¡£ 20 . Éè X ºÍ Y ÊÇ ¸ö Ïà »¥¶ÀÁ¢µÄÀëÉ¢ÐÍËæ»ú±äÁ¿, Æä X µÄ Á½ ÖÐ ¿ÉÄÜ ÖµÎª 0 , 1 , 3 , Ïà Ó¦µÄ¸Å ÂÊ·Ö±ðΪ Ïà Ó¦µÄ¸Å ÂÊ·Ö±ðΪ X + Y µÄ·Ö²¼ÂÉ¡£ 21 . Éè X, Y Ïà »¥¶ÀÁ¢, ¶¼ ´Ó±ê×¼ ·þ Õý̬·Ö²¼ N (0 , 1) , ÒÔf ( x, y ) ±í ʾ( X, Y) µÄ¸Å ÂÊÃÜ Ö¤Ã÷ Êý ¶È, º¯ g( x, y) = f ( x, y) + f ( x, y) xy 100 x + y
2 2 2 ¡Ü

µ± X ¡Ü Y X > Y

1 3 1 , , , Y µÄ¿ÉÄÜ ÖµÎª 0 , 1 , 2 8 8

1 2 , ¡£ ( 1) д³ö ( X , Y) µÄ·Ö ²¼ÂÉ; (2 ) Çó Z = 3 3

1

x + y > 1

2

ÊÇ Î¬ ¸ÅÂÊ ¶È¡£ ÈôËæ Ïò Á¿( U, V) ÓÐ ÂÊÃÜ¶È g( x, y ) , Ö¤Ã÷ ¶þ ÃÜ »ú ¸Å U, V ¶¼ ´Ó±ê×¼ ·þ Õý̬ ·Ö ²¼ , µ« ( U, V) ²» ·þ ´Ó¶þά Õý̬ ·Ö ²¼ ( ±¾ Àý ¡¤ 1 35 ¡¤

) ¡£ 22 . Éè X, Y Ïà »¥¶ÀÁ¢, ÇÒ ·Ö±ð·þ ´Ó²Î ÊýΪ ¦Ë1
²¼ ºÍ ¦Ë 2 µÄ ²´ Óà ¹é ËÉ ·Ö Ö¤ n , Ö¤Ã÷ Z = X + Y ·þ ´Ó²Î ÊýΪ ¦Ë + ¦Ë2 1 , Èô X1 , X2 , ¡- , X n n µÄ ²´

ËÉ ·Ö ²¼ ¡£

ÄÉ ·¨

Ã÷

Ïà

»¥ ¶À Á¢ ÇÒ

Xi ¡«

¦Ð

(¦Ëi ) , i = 1 , 2 , ¡- , n , Ôò ¡Æ i=1 Xi

¡«

¦Ð

( ¡Æ )¦Ëi ) ¡£ i= 1

23 . Éèij ÖÖ Æ·Ò»ÖÜ ÉÌ µÄÐèÇóÁ¿ÊÇÒ»¸ö Ëæ ±äÁ¿, Æä ÂÊÃÜ¶È »ú ¸Å Ϊ f( x) = xe 0
- x

x ¡Ý 0 x < 0

Éè¸÷ ÖÜ µÄÐèÇóÁ¿ÊÇ »¥¶ÀÁ¢µÄ, ÊÔ Ïà ÇóÁ½ ºÍ ÈýÖÜ ÖÜ ÐèÇóÁ¿µÄÃÜ ¶Èº¯ Êý¡£ 24 . Éè X ºÍ Y Ïà »¥¶ÀÁ¢, ÇÒX¡« U(0 , 1) , Y ·þ ´Ó²Î ÊýΪ 1 µÄÖ¸ Êý·Ö²¼ , Çó Z = X + Y µÄ¸Å ÂÊÃÜ ¶È¡£ 25 . Éè ( X , Y ) µÄ¸Å ÂÊÃܶÈΪ Z= X + Y
2 2 µÄ ¸Å ÂÊ ÃÜ ¶È ¡£

f( x , y ) =

1 ¦Ð(1 + x2 + y2 ) 2

Çó

26 . Éè X ºÍ Y ·Ö±ð±í ʾ ¸ö ²» ͬ µç ×Ó µÄÊÙÃü( ÒÔ Á½ ¹Ü Сʱ ) , ¼Æ ²¢ Éè X ºÍ Y Ïà »¥¶ÀÁ¢, ÇÒ ´Óͬһ·Ö²¼ , Æä ÂÊÃÜ ·þ ¸Å ¶ÈΪ f( x) = X µÄ¸Å ÂÊÃÜ ¶È¡£ Y 27 . Éè X1 , X2 , ¡- , Xn Ïà 28 . Éè X1 , X2 , ¡- Xn 100 2 x 0 Çó Z = x > 100 x ¡Ü 100

»¥ ¶À Á¢

, ÇÒ ¾ù·þ ´Ó²Î Êý ¦Ò= 2 µÄÈðÀû·Ö , ÇÒ ¾ù·þ ´Ó ( 0 , a) ÉÏ µÄ¾ùÔÈ·Ö

²¼ , ( 1) Çó Z = max ( X1 , X2 , ¡- , Xn ) µÄ·Ö²¼º¯ Êý; (2) P Z¡Ý4 ¡£
Ïà »¥ ¶À Á¢

²¼ , (1) Çó Z = max ( X1 , X2 , ¡- , Xn ) µÄ¸Å ÂÊÃܶÈ; ( 2 ) Çó Z = min ¡¤ 1 36 ¡¤

( X1 , X2 , ¡- , Xn ) µÄ¸Å ÂÊÃÜ ¶È¡£ 29 . Èô X Óë Y Ïà »¥¶ÀÁ¢ÇÒ ¾ù·þ ´Ó±ê×¼ Õý̬ ·Ö²¼ , ÊÔ U = X Çó + Y, V = X - Y µÄÁª ºÏ ÃÜ ¶È¡£ 30 . Èç¹û X Óë Y ¶ÀÁ¢, ÇÒ ¾ù·þ ´Ó²Î ÊýΪ 1 µÄÖ¸Êý·Ö²¼ , Ö¤Ã÷ U = X + Y ÓëV = X Ïà »¥¶ÀÁ¢¡£ Y 2 31 . Éè X, Y Ïà »¥¶ÀÁ¢ÇÒ ´Óͬһ·Ö²¼ N (0 , ¦Ò ) , ¶ø ( R, ¦¨ ) ÊÇ ·þ X = R cos ¦¨ Y = Rsin ¦¨

ƽ ÉÏ Ëæ Ãæ »úµã ( X , Y) Ïà Ó¦µÄ¼«¾¶ Ó뼫½Ç ¼´ÓÐ , ¹Øϵ ʽ R ¡Ý 0 , 0 ¡Ü ¦¨ < 2 ¦Ð

Çó( R , ¦¨ ) µÄ¸Å ÂÊÃÜ ¶È¼° R µÄ¸Å ÂÊÃÜ ¶È¡£ 32 . Éè( X, Y ) µÄ¸Å ÂÊÃÜ ¶ÈΪ f ( x, y ) , ÊÔ ÀûÓà Àí 3 .5 .1 , µ¼³ö ¶¨ X + Y, X - Y, XY, X µÄ¸Å ÂÊÃÜ ¶ÈµÄÒ»°ã ¹« ʽ ¡£ Y

¡¤ 1 37 ¡¤

, ÎÒÃÇ ½Ï×Ð µØÌÖÂÛ Ï¸ ÁËËæ »ú±äÁ¿µÄ¸Å ÂÊ·Ö²¼ , Õâ ÖÖ ·Ö²¼ÊÇ »ú±äÁ¿µÄ¸Å ÂÊÐÔ ×î Íê ÕûµÄ¿Ì »®¡£ µ«ÔÚ Ëæ ÖÊ Êµ¼Ê Ìâ ÖÐ ÎÊ ¸Å ÂÊ·Ö²¼½ÏÄÑ ¶¨ , ¶øËüµÄij Щ È· ÌØÕ÷ ±È È´ ½ÏÈÝÒ× Ëã³ö À´ , ¶øÇÒ Ðí ¹À ÔÚ ¶àʵ¼Ê Ìâ ÖÐ ÎÊ Ö»ÐèÖªµÀËüµÄij Щ Êý×Ö ÌØÕ÷ ¾Í¹» ÁË¡£ ÀýÈ翼²ì ij µØ ÇøË® µ¾µÄ²ú Á¿Ê±, Ö»ÐèÒªÖªµÀË® µ¾µÄƽ ¾ùµ¥Î» ²ú Á¿, ÔÚ ¿¼²ì ij ÖÖ ´ó ÅúÉú²ú µÄÔª¼þµÄʹ ÓÃÊÙ Ãüʱ, Ò»·½ÃæÒªÖª µÀÕâÖÖ Ôª¼þµÄƽ ¾ùʹ Óà ÊÙ Áí Ò»·½ÃæÒª ÖªµÀÕâÖÖ ¼þµÄÊÙÃüÓëƽ Ãü, Ôª ¾ùÊÙÃüµÄÆ« Àë³Ì ¶È¡£ Òò ƽ Ϊ ¾ùÊÙ Ãü´ï µ½Ò»¶¨ Òª ÇóÇÒ ÕâÖÖ Àë³Ì ¶È½ÏСʱ, Ôª¼þµÄÖÊÁ¿ Æ« ¾Í¸ß ¡£ ÖÁ ÕâÖÖ ÓÚ Ôª¼þµÄÊÙ Ãü·Ö²¼ , Òª Ïë ¾«È· µØÁ˽âËüÍù Íù ÊÇ À§ÄÑ µÄ¶øÇÒ ·Ç ÌØÊâµÄÄ¿µÄÊÙ ³ý ÃüµÄ·Ö²¼·´ µ¹ ²» Ò»¶¨ ÊÇ ÖØ ×î ÒªµÄ¡£ ÉÏ Ãæ µ½µÄƽ Ìá ¾ùÖµºÍ Æ« Àë³Ì ¶È, ÊÇ¿Ì »®Ëæ »ú±äÁ¿ÐÔ ÖʵÄÁ½ Àà ×î ÖØ ÒªµÄÊý×Ö ÌØÕ÷ ¶Ô¶àά Ëæ ±äÁ¿¶øÑÔ Ôò»¹ ÓÐ ¡£ »ú , Ò»Àà¿Ì »®¸÷ ·Ö Á¿Ö® ¼äµÄ¹Øϵ µÄÊý×Ö ÌØÕ÷ ¿Ì »®Ëæ ¡£ »ú±äÁ¿ÐÔ µÄÊý×Ö ÖÊ ÌØÕ÷ ÂÛ ÎÞ ÊÇ Àí ÂÛ »¹ ÊÇ ÉÏ Êµ¼ùÉÏ ¶¼ ¾ßÓÐ ·ÖÖØ Ê® ÒªµÄÒâÒå¡£ ÔÚ Õ , ÎÒÃÇ ±¾ ÖÐ ¾Í´Ó ÒÔ ¸÷ÀàÊý×Ö ÉÏ ÌØÕ÷ , ¾Ù ×î ÖØ Õß½øÐÐ ÖÐ Æä Òª ÌÖÂÛ ²¢ ÔÚ ÕµÄ×î ºó ¡£ ±¾ ½éÉÜ Ò»Ï ĸ º¯ ÊýºÍ ÌØÕ÷ Êý¡£ º¯ ¡ì

4 .1

Ëæ »ú±äÁ¿µÄÊýѧÆÚ Íû

Ò» ѧ ÍûµÄ ¡¢Êý ÆÚ ¸ÅÄî ÎÒ ÏȽé Ü É¢ Ëæ Á¿ Ä Íû, È»ºó ½éÉÜÁ¬ÐøÐÍËæ»ú ±ä ÃÇ É Àë ÐÍ »ú±ä µ ÆÚ
Á¿µÄÆÚ ¡£ Íû ¡¤ 1 38 ¡¤

¶Ô ÓÚ Ò» ¸ö

Ëæ »ú ±ä

1 a1 , a2 , ¡- , a n , ËüÃÇ µÄƽ ¾ùÊýΪ ai ¡£ ¿É ÊÇ n ¡Æ i=1 Á¿ X , ¼Ù Éè X µÄ¿ÉÄÜ ÖµÎª x1 , x2 , ¡- , xn , ÒÔ X µÄ¿É

n

ÄÜ ÖµÏà ¼Ó ÔÙ³ý ÒÔ ÄÜÖµµÄ ×ܸö Êý , ÕâÖÖ Ê½µÃ ³ö µÄ ƽ ¿É ·½ ¾ùÊý 1 xi n ¡Æ i= 1
Àý Èç n ²¢

²»

ÄÜ Õæ Õý Æð µ½ ƽ ¾ù µÄ ×÷ Óà ¡£

, ij È˽øÐÐ Éä»÷ÓÎÏ· , ÈçËûÉäÖÐ °ÐÐÄ Ô²ÐÄ ÒÔ Îª µÄÒ»¸ö СԲ

ÄÚ ÔòµÃ 100 ·Ö , ÈçÉäÔÚ Ð¡Ô²Ö® ÔòµÃ 50 ·Ö ( ¼Ù Íâ ÉèÉä»÷²» »á ÍÑ°Ð) ¡£ ÒÑ Öª´Ë ÈËÉäÖРСԲÄÚ Ð¡Ô²Í⠵ĸŠÂÊ·Ö±ðΪ p1 = 0 .9 ºÍ p2 = 0 .1 ¡£ ºÍ ÈçËû¹² ÉäÁË n ´Î , ÇÒ ÉäÖРСԲÄÚ Ð¡Ô²Í⠵ĴΠÊý·Ö±ðΪ n1 ºÍ ÄÇ ´Ë ÈËƽ ô ¾ùÿ´Î µÃ·ÖΪ 100¡Á n1 n2 + 50¡Á n n n1 n2 ¡Ö p1 , ¡Ö p2 , ÕâÑùËûµÄƽ ¾ùµÃ n n
ºÍ

n2 ,

µ± n ºÜ´ó ʱ, ÓÉ ÂʵÄÎÈ ¶¨ ÐÔ Æµ Öª ·Ö´ó Ö Ϊ

100¡Á p1 + 50¡Á p2 = 100¡Á0 .9 + 50¡Á0 .1 = 95 Èç¹û ÒÔ X ±í ʾ ÉäÊÖÒ»´Î Éä»÷µÄµÃ·Ö , ÓÉ X ÊÇ ¸Ã һֻȡ 100 ºÍ 50 Á½ ÖµµÄËæ ¸ö »ú±äÁ¿, ƾ ¹Û , 100 ºÍ 50 µÄƽ Ö± ¾ùÊý 75 ²» ÄÜ ÕýÌå ÏÖ Õæ X µÄÈ¡ÖµµÄƽ ¾ù¡£ ÒòΪ X È¡ 100 µÄ»ú»á Òª±ÈÈ¡ 50 µÄ»ú»á ´ó µÃ¶à ¡£ ¶ø ÒÔ95 ×÷Ϊ X È¡ÖµµÄƽ ¾ùÊÇ Àí µÄ¡£ Òò´Ë Òª Õæ ºÏ ÕýÌå ÏÖËæ»ú±äÁ¿ X È¡ÖµµÄƽ ²» ÄÜ ¾ù, Ö»ÓÉ ËüµÄÈ¡ÖµÀ´ ¾ö¶¨ , ±Ø Ð뿼ÂÇ µ½ËüÈ¡¸÷¸ö ¿É ÄÜ ÖµµÄ¸Å ÂÊ¡£ Òò´Ë ÓÐ Ãæ Òå¡£ Ï ¶¨ ¶¨ Òå4 .1 . 1 ¡Þ Èô¼¶ ¡Æ xk pk Êý k=1 Éè É¢ Àë ÐÍËæ »ú±äÁ¿ X µÄ·Ö²¼ÂÉΪ P X = xk
¾ø ¶Ô ÊÕ Á²

= pk , ÓÉ ³ÆºÍ Êý ¡Þ ¡Æ xk pk k= 1

k = 1 , 2 , ¡-

(4 .1 .1 ) ¡¤ 1 39 ¡¤

X µÄÊýѧÆÚ , ¼ò³ÆΪ ÆÚ , ¼Ç E( X) , ¼´ Íû Íû Ϊ ¡Þ E( X) = ¡Æ xk pk k= 1

(4 .1 .2 )

ÏÔÈ», E( X) ÊÇÒ»¸ö ʵÊý , ËüÐÎʽ ÊÇ X µÄ¿ÉÄÜ ÉÏ ÖµµÄ¼Ó ƽ Ȩ ¾ù, ʵÖÊ ËüÌå ÏÖÁË X È¡ÖµµÄÕæ ÉÏ Õýƽ ¾ù¡£ Ϊ ´Ë ÎÒÃÇ ³Æ E( X) Ϊ ÓÖ X µÄƽ ¾ùÖµ, ¼ò³Æ¾ùÖµ¡£ ÓÖ ÒòΪ ËüÍê È«ÓÉ X µÄ·Ö ²¼Ëù¾ö¶¨ , ËùÒÔ ÓÖ ³ÆΪ ·Ö²¼µÄ¾ùÖµ¡£ Àý 4 .1 ijÖÖ ²úÆ· ´ Ͷ·ÅÊÐ , ¸ù ¾Ý ¼ ½« ³¡ Êг¡ µ÷²é ¹À ¼Æ ÿ¼þ²ú Æ·ÓÐ60 % µÄ°ÑÎÕ°´ ¶¨ ¼Û ³ö , 30 % µÄ°ÑÎÕ´ò ÕÛ ³ö ¼° 20 % µÄ¿ÉÄÜ ÊÛ ÊÛ ÐÔ ¼Û ³ö ¡£ ÉÏ ÊöÈýÖÖ µÍ ˦ Çé¿ö ÏÂÿ¼þ²ú Æ·µÄÀûÈó·Ö ±ðΪ 5 Ôª , 2 Ôª ºÍ - 4 Ôª¡£ ÎÊ ³§ ¼Ò ¶Ôÿ¼þ²ú Æ·¿ÉÆÚ »ñÀû¶à ÉÙ? Íû ½â Éè X ±í ʾ Ò»¼þ²ú Æ·µÄÀûÈó( µ¥Î» : Ôª ) ÒÀÌâ Òâ¿ÉÖª X µÄ ·Ö²¼ÂÉΪ X P 5 0 .6 2 0 .3 -4 0 .2

±¾ ËùÇóµÄÊÇX µÄÊýѧÆÚ Ìâ Íû E( X) = 5¡Á0 .6 + 2¡Á0 .3 + ( - 4) ¡Á0 .2 = 2 .8 ( Ôª ) ÓÉ ÉÏ ¼Æ ÒÔ Ëã¿É¿´ ³ö ËäÈ»ÈÎ Ò»¼þ²ú ƷͶ ·Å Êг¡ ¶¼ ¿÷ËðµÄ·ç ÓÐ ÏÕ , µ«Ã¿¼þ²ú Æ·µÄƽ ¾ùÀûÈóΪ 2 .8 Ôª , »¹ ÊÇ Àû¿ÉͼµÄ¡£ ÓÐ ÏÂÃæ ÎÒÃÇ À´¼Æ Ë㼸¸ö ÖØ ÒªµÄÀëÉ¢ÐÍ·Ö²¼µÄÆÚ ¡£ Íû Àý4 .2 ½â Éè X ·þ ´Ó²Î ÊýΪ p µÄ(0 - 1 ) ·Ö²¼ , Çó E( X) ¡£ X µÄ·Ö²¼ÂÉΪ X P Ôò E( X) = 0¡Á q + 1¡Á p = p ¡¤ 1 40 ¡¤ 0 q 1 0 < p < 1, q = 1 - p p

4 .3 ½â

Éè X¡« b( n , p) , Çó E( X) ¡£ k k n - k

X µÄ·Ö²¼ÂÉΪ P{ X = k} = Cn p q k = 0 , 1 , ¡- , n , q = 1 - p n! k n= ¡Æ k pq k !( n - k ) ! k= 1 k n

Ôò n E( X) = ¡Æ kCn p q k= 0 n

k k

n- k

k

( n - 1) ! k- 1 n = np¡Æ p q k = 1 ( k - 1 ) !( n - k ) ! n = np¡Æ Cn - 1 p k=1 k-1

k- 1

q

n- k

= np( p + q) Àý4 . 4 ½â X µÄ·Ö²¼ÂÉΪ

n -1

= np

Éè X ·þ ´Ó²Î ÊýΪ ¦Ë µÄ²´ ËÉ·Ö²¼ , Çó E( X) ¡£ ¦Ë e P{ X = k} = k! k - ¦Ë

k = 0 , 1 , ¡-

Ôò

¡Þ k - ¦Ë k - ¦Ë ¦Ë e ¦Ë e E( X) = ¡Æ k = ¡Æ k! k= 0 k = 1 ( k - 1) ! = ¦Ëe
¡Þ - ¦Ë ¡Æ k=1 ¡Þ

k- 1
¦Ë

( k - 1) !

= ¦Ëe

- ¦Ë ¡¤

¦Ë e = ¦Ë

ÔÚ ÐøÐÍËæ Á¬ »ú±äÁ¿µÄ³¡ ºÏ , ÒÔ »ý·Ö´ú ÌæÇóºÍ , ´Ó¶ø µÃÁ¬ ÐøÐÍËæ »ú±äÁ¿µÄÊýѧÆÚ µÄ¶¨ Òå¡£ Íû ¶¨ Òå4 .1 .2
+ ¡Þ

ÉèÁ¬Ðø ÐÍËæ »ú±äÁ¿ X ¾ßÓÐ ÂÊÃÜ¶È f ( x ) , Èô ¸Å
+ ¡Þ

¡Ò

- ¡Þ

x f( x ) d x < + ¡Þ , Ôò³Æ»ý ·ÖÖµ ¡Ò

xf ( x ) d x Ϊ X µÄÊýѧÆÚ
- ¡Þ

Íû , ¼ò³ÆÆÚ »ò¾ùÖµ, ¼Ç E( X) , ¼´ Íû Ϊ
+ ¡Þ

E( X) = ¡Ò Àý 4 .5

xf( x ) d x
- ¡Þ

(4 .1 .3 )

¼Ù è É Ä³ÖÖ µç×Ó Ôª¼þ Ä Ãü X( µ¥ λ : Сʱ) ¾ßÓÐ µ ÊÙ ÈçÏ ¡¤ 1 41 ¡¤

x 2 (1 500) f( x) = 1 (3 000 - x) (1 500) 2

0¡Ü x¡Ü1 500 1 500 < x < 3 000

0 Æä Ëü ÇóÕâÖÖ ×Ó µç Ôª¼þµÄƽ ¾ùÊÙ E( X) ¡£ Ãü
+ ¡Þ

½â

E( X) = ¡Ò
1 5 00

- ¡Þ

xf ( x) d x

= ¡Ò 0

3 00 0 x 3 000 - x x¡¤ 2dx + ¡Ò 1 50 0 x¡¤ ( 1 500) 2 d x (1 500)

= 1 500 ( Сʱ) Ï Ãæ Ë㼸¸ö ÖØ ¼Æ ÒªµÄÁ¬ ÐøÐÍ·Ö²¼µÄÆÚ ¡£ Íû Àý 4 .6 ½â Éè X¡« U ( a , b) , Çó E( X) ¡£ 1 b- a 0 b X µÄ¸Å ÂÊÃÜ ¶ÈΪ f ( x) = a< x< b Æä Ëü

1 a+ b E( X) = ¡Ò a x¡¤ b - a d x = 2 ¿É¼û¾ùÔÈ ·Ö²¼µÄÆÚ ¾ÍÊÇ Íû Çø¼ä( a , b) µÄÖÐ µã¡£ Àý 4 .7 ½â Éè X ·þ ´Ó²Î ÊýΪ ¦Ë µÄÖ¸Êý·Ö²¼ , Çó E( X) ¦Ëe 0
+ ¡Þ - ¡Þ - ¦Ëx

X µÄ¸Å ÂÊÃÜ ¶ÈΪ x¡Ý0 x 0 ʱ, Áî x = h( y ) ( ¦Â + ¡Þ E( Y) = ( ¡Ò a yfX ( h( y ) ) h¡ä y ) d y = - ¡Þ g( x) f ( x )d x ¡Ò ͬÑùµ± h¡ä y) < 0 ʱ, ÒàÓÐ (
+ ¡Þ

E( Y) = ¡Ò

- ¡Þ

g( x) f ( x) d x

×Û ÒÔ Á½ , ¼´µÃ( 4 .1 .5) ʽ ºÏ ÉÏ Ê½ ¡£ ÉÏ Êö¶¨ Àí¿ÉÒÔ Íƹ㠵½Ëæ »úÏò Á¿º¯ ÊýµÄÇé¿ö ¡£ ¶¨ Àí 4 .1 . 2 Éè Z ÊÇ »úÏò Á¿( X , Y) µÄº¯ Êý , ¼´ Z = g( X, Y) Ëæ ( g( x , y ) ÊÇ Ðøº¯ Êý) ¡£ Á¬ (1) Èô( X , Y) ÊÇ ÀëÉ¢ÐÍËæ »úÏò Á¿, ÇÒ ·Ö²¼ÂÉΪ P X = xi , Y = yj = pij , ¡Þ Ôòµ± ¡Æ j=1 ¡Þ ¡Æ i=1

i, j = 1 , 2 , ¡-

g( xi , yj ) pij < + ¡Þ ʱ, ÓÐ ¡Þ
¡Þ ¡Æ i=1

E( Z ) = E[ g( X , Y) ] = ¡Æ j=1

g( xi , yj ) pij

(4 .1 .6 )

(2) Èô( X , Y) Ϊ Á¬ ÐøÐÍËæ»úÏò Á¿ÇÒ ¾ßÓÐ ÂÊÃÜ f ( x, y ) , Ôò ¸Å ¶È

¡¤ 1 44 ¡¤

+ ¡Þ - ¡Ò ¡Þ

+ ¡Þ - ¡Þ

g( x , y ) f( x , y) d xd y < + ¡Þ ʱ, ÓÐ
+ ¡Þ + ¡Þ - ¡Þ - ¡Ò ¡Þ

E( Z) = E[ g( X, Y)] = ¡Ò

g( x , y) f ( x, y)d xd y (4 .1 .7 )

Àý 4 .9

Éè Ô²µÄ ¾¶ Ö± X¡« U ( a , b) , ÇóÔ²µÄÃæ »ýµÄÆÚ ¡£ Íû ¦Ð 2 X , X µÄ¸Å ÂÊÃÜ ¶ÈΪ 4 a < x < b Æä Ëü

½â ÉèÔ²µÄÃæ »ýΪ A, Ôò A = fX ( x ) = ÔòÓÉ .1 .5 ) ʽ (4 ÓÐ 1 b - a 0

b ¦Ð 2 ¦Ð 2 1 ¦Ð 2 2 E( A) = E( X ) = ¡Ò a 4 x ¡¤ b - a d x = 12 ( b + ab + a ) 4

Àý 4 .10

¼Ù è¹ú¼Ê ³¡ ÿ ¶Ô É ÊÐ Äê ÎÒ¹úijÖÖ ÉÌÆ· Ä Çó ÊÇ µ Ðè Á¿ Ëæ

»ú±äÁ¿ X( ¶Ö) , X ·þ ´Ó[ 2 000 , 4 000] ÉÏ µÄ¾ùÔÈ·Ö²¼¡£ ÉèÿÊÛ Õâ ³ö ÖÖ Æ·Ò»¶Ö¿ÉΪ ¹ú ¼Ò ÉÌ ÕõµÃÍâ »ã 3 Íò Ôª¡£ ÈçÏú ÊÛ ³ö È¥¶ø ÍÍ »ýÓÚ ²» ²Ö ¿â , Ôòÿ¶ÖÐèÒªÀË·Ñ ±£Ñø·Ñ 1 Íò Ôª , Ó¦×éÖ¯¶àÉÙ»õÔ´ , ²Å ÄÜʹ ¹ú ¼Ò ÊÕ µÄÆÚ Öµ×î ´ó ? Òæ Íû ½â Éè¹ú ¼Ò ×éÖ¯ S ¶Ö»õ Ô´ ( ÏÔȻֻ¿¼ÂÇ 2 000 ¡Ü S¡Ü4 000 ) ¡£ ¹ú ¼Ò Òæ Y( Íò Ôª ) ¡£ Y ÊÇ ÊÕ Îª Ò»Ëæ »ú±äÁ¿, ÇÒ 3S Y = g( X) = Ôò g ( x) E( Y) = E[ g ( X) ] = ¡Ò 2 0 00 2 000 d x
S 1 1 4 00 0 = (4 x - S) d x + 3 Sd x ¡Ò ¡Ò 2 000 2 000 2 000 S 4 0 00

X ¡Ý S X < S

3 X - ( S - X)

=

1 2 6 ( - S + 7 000 S - 4 ¡Á 10 ) 1 000 ¡¤ 1 45 ¡¤

S = 3 500( ¶Ö) ʱ´ï µ½×î ´ó , Òò´Ë ×é Ö¯ 3 500 ¶Ö»õԴʱ, ¹ú ¼Ò ÊÕ µÄÆÚ Öµ×î ´ó ¡£ Òæ Íû Àý4 .11 Éè άËæ ¶þ »ú±äÁ¿ X , Y) µÄ¸Å ÂÊÃÜ ( ¶ÈΪ f( x , y) = Çó XY µÄÆÚ ¡£ Íû
+ ¡Þ + ¡Þ

x+ y 0

0 < x < 1,0 < y < 1 Æä Ëü

½â

E( XY) = ¡Ò

¡Ò - ¡Þ 1

xyf( x , y ) d xd y
- ¡Þ 1

= d¡Ò xy ( x + y ) d x ¡Ò 0 y 0 = 1 3

Èý ¡¢ Êý ѧÆÚ µÄÐÔÖÊ Íû Êì Á·ÕÆ ÎÕÆÚ µÄÐÔ ¶Ô¼Æ Íû ÖÊ, ËãÆÚ »á ´ó ÓÐ Öú¡£ ÔÚ Ð© ºÏ Íû °ï ij ³¡ Ï , ¿É´ó ´ó ½µµÍ ¼Æ ËãµÄÄÑ ¶ÈºÍ ¸´ ÔÓ ¡£ ÐÔ ¶¨ Àí 4 .1 . 3 Ëæ »ú±äÁ¿ Êý µÄ ѧÆÚ ( ÉèÒÔ Íû ÏÂËùÓöµ½µÄËæ»ú ±ä Á¿µÄÆÚ ´æÔÚ ¾ßÓÐ Íû ) ÈçÏÂÐÔ ÖÊ: (1) Éè C Ϊ ³£ Êý , Ôò E( C) = C; (2) Éè C Ϊ Ò»³£ Êý , Ôò E( CX) = CE( X) ; (3) Éè X ºÍ Y Ϊ ¶þ¸ö Ëæ »ú±äÁ¿, Ôò E( X + Y ) = E( X) + E( Y) ÕâÒ»ÐÔ ¿ÉÍƹ㠵½ÈÎ ÒâÓÐ ¸ö Ëæ»ú±äÁ¿Ö® µÄÇé¿ö , ¶ÔÓÚ Òâ n ÖÊ ÏÞ ºÍ ÈÎ ¸ö Ëæ »ú±äÁ¿ X1 , X2 , ¡- Xn , ÓÐ n n

E( ¡Æ Xi ) = ¡Æ E( Xi ) i=1 i=1 (4) Éè X Óë Y ÊÇ »¥¶ÀÁ¢µÄËæ Ïà »ú±äÁ¿, ÔòÓÐ E( XY) = E( X) E( Y) ÕâÒ»ÐÔ ¿ÉÒÔ ÖÊ Íƹ㠵½ÈÎ ÒâÓÐ ¸ö Ïà »¥¶ÀÁ¢µÄËæ»ú ±äÁ¿Ö® µÄÇé ÏÞ »ý ¡¤ 1 46 ¡¤

, ¶ÔÓÚ Òâ n ¸ö Ïà »¥¶ÀÁ¢µÄËæ ÈÎ »ú±äÁ¿ X1 , X2 , ¡- , X n , ÓÐ n n

E( i¦°1 Xi ) = i¦°1 E( Xi ) = = (5) Èô X¡Ý0 , Ôò E( X) ¡Ý0 ÓÉ ÕâÒ»ÐÔ Ò× ÖÊ µÃÏÂÃæ ÍÆÂÛ ¡£ ÍÆ ÂÛ ( 1 ) Èô X ¡Ý Y, Ôò E ( X ) ¡Ü E ( Y ) ; ( 2 ) E( X ) ¡£ ¶ÔÓÚ ÖÊ , ( 3) , (4 ) ¡£ Ö»Ðè·Ö ÀëÉ¢ÐÍºÍ Á¬ ÐÔ (2) ÐøÐÍËæ ±äÁ¿Á½ »ú ÖÖ Çé¿ö , ÔÙ ÀûÓà »ú±äÁ¿º¯ ÊýµÄÆÚ µÄ¼Æ Ëæ Íû Ë㹫 ʽ ±ã¿ÉµÃÖ¤( Ö¤Ã÷ ¹ý ³Ì Çë¶ÁÕßÍê ³É ) ¡£ ÐÔ ( 1) ºÍ ( 5) ÊÇ ÏԵġ£ ÖÊ Ã÷ Àý4 .12 ½« n ·â ²» ͬ µÄÐÅ n ÕÅÐÅ µÄ ¼ãÓë n ¸ö ÐÅ·â ½øÐÐ Ëæ»ú Æ¥ ¼Ç X ±í ʾ Åä³É ¶ÔÊý , Çó E( X) ¡£ Åä, Æ¥ ½â ÒýÈëËæ »ú±äÁ¿ Xi = 1 0 µÚ i ÕÅ ¼ãÓëµÚ i ¸ö Њƥ ÐÅ ·â Åä³É ¶Ô ·ñ Ôò n E( X) ¡Ü

i = 1 , 2 , ¡- , n , ÔòÓÐX = ¡Æ Xi , ¶ø i=1 P Xi = 1 = ËùÒÔ

1 , n n i = 1 , 2 , ¡- , n

E( X) = ¡Æ E( Xi ) = 1 i= 1 Àý . 3 41 ¶Ô ijһĿ ±êÁ¬ Éä , Ö± ÃüÖÐn ´Î Ϊ Ö¹¡£ Éèÿ´Î Ðø »÷ ÖÁ i - 1 ´Î ÃüÖÐ ÖÁ i ´Î ÃüÖÐ ËùÏû ºÄ µÄ ºó µÚ ʱ n Éä»÷µÄÃüÖÐ ÂÊΪ p , ÇóÏû ºÄ µÄ×Ó Êý X µÄÊýѧÆÚ ¡£ µ¯ Íû ½â Éè X i ×Ó Êý , Ôò µ¯ X = ¡Æ Xi i=1 ±í ʾ ´Ó µÚ

ÇÒ

Xi

µÄ ·Ö ²¼ ÂÉ Îª

¡¤ 1 47

¡¤

k - 1 k - 1 P Xi = k = ( 1 - p) p= q p

k = 1 , 2, ¡- , q = 1 - p p 2 (1 - q)

ÓÚ ÊÇ

¡Þ E( X i ) = ¡Æ kq k=1 k-1

p =

= ¹Ê

1 p

i = 1 , 2 , ¡- , n

n E( X) = ¡Æ E( Xi ) = p i= 1 Àý 4 .14 ½â Éè X Óë Y Ïà »¥¶ÀÁ¢, ÇÒ X¡« b( 10 , 0 .2) , Y¡« N( - 2 , E( X) = 10¡Á0 .2 = 2 , E( Y) = - 2 E( XY ) = E( X) E( Y) = 2¡Á( - 2) = - 4 ÔÚ ½áÊø±¾ Ö® ½Ú Ç°ÎÒÃÇ Ö¸³ö ¼¸µã ÓÐ ¹ØÊ : Ïî (1) Ëæ ±äÁ¿µÄÆÚ ÖµÓëÁ¦ ѧÖÐ ÖÊÁ¿ÖØ ¡± »ú Íû ¡° ÐÄ µÄ¸Å Äî ÓÐ ÀàËÆ ÐÔ Èç¹û Ò»¸ö µ¥ λ ÖÊÁ¿ÑØ ¡£ Ò»Ö± ·Ö ²¼ÓÚ Ïß ÀëÉ¢µÄµã x1 , x2 , ¡- , xn ¡Þ ÉÏ , ²¢ ÇÒ µã xi ÉÏ ÓÐ ÖÊ Á¿ pi , ÄÇô ¡Æ xi pi ±í ʾ ÖÊ Á¿ ÖØ ÐÄ ¡£ ͬ Ñù Èç ÔÚ i=1 n

1) , Çó E( XY) ¡£ ÓÉ ÓÚX Óë Y Ïà »¥¶ÀÁ¢, ËùÒÔ

¹û

Ò» ¸ö

µ¥ λ + ¡Þ

ÖÊ Á¿ Á¬ Ðø µØ ·Ö

²¼ ÓÚ Ò» Ìõ

Ö± Ïß

ÉÏ

, ²¢ ÇÒ Ïß ÃÜ¶È f( x ) , ÓÐ

ÄÇ ¡Ò ô

xf ( x )d x ±í ʾ Á¿ÖØ ¡£ ÔÚ Ãæ ÖÊ ÐÄ ÉÏ ÒâÒåÏ , E( X) ±í ʾ ÂÊ ¸Å
- ¡Þ

·Ö²¼µÄ Ò»¸ö ÖÐ ¡± ¡° ÐÄ ¡£ (2) ´ÓÊýѧÆÚ µÄ¶¨ ÒåºÍ ¼Æ Íû ËãÖÐ ³ö , Òª È· ¶¨ X µÄÆÚ E ¿´ Íû ( X) ±Ø ÐëÒªÖªµÀ X µÄ·Ö²¼¡£ µ«ÔÚ Êµ¼Ê Ó¦Óà , ÎÊ Ìâ Ç¡Ç¡Ïà ·´ , ÈËÃÇ ÖÐ ÊÇ ÒÔ ¶¨ Ëæ ÄÑ È· »ú±äÁ¿µÄ·Ö²¼¡£ µ«¶Ô X µÄÆÚ Íù Íù ÓÐ Íû ºÜ¶àµÄÁ˽â, ÀýÈçÎÒÃÇ ¿ÉÄÜ ½Ï×¼ µØÖªµÀij ÐÐ ±È È· ÒµÖ°¹¤ µÄƽ ¾ù¹¤ ×Ê, ¶ø ¶Ô¹¤ ×Ê µÄ·Ö²¼Çé¿ö²¢ ²» ºÜÇå³þ ¡£ Áí Íâ , µ±Í¨ ¹ý ¹Û²ì »òÊÔÑéÈ¡ µÃÊý¾Ý ¿É ºó ÒÔ ¶ÔÆÚ Öµ»ñµÃ½Ï×¼ µÄ¹À ¼Æ¶øÏë »ñµÃ·Ö²¼µÄ¹À ¼Æ Íù ±È Íû È· , Íù ½ÏÀ§ ¡¤ 1 48 ¡¤

(3) ÔÚ É¢ ÐÍ Ëæ»ú ±äÁ¿ µÄ ÆÚ µÄ ¶¨ ÒåÖÐ ÎÒ ÃÇÒª Çó¼¶Êý Àë Íû , ¡Þ ¡Æ xk pk k= 1
¾ø ¶Ô ÊÕ Á²

, ÕâÊÇ Ê² ô ÄØ? ÕâÉæ Ϊ ¼°µ½¼¶ÊýÀí ÂÛ µÄÒ»¸ö ÏÖ ÖÐ
Ö» ÊÇ Ìõ ¼þ ÊÕ Á²

¡Þ Ïó : Èç¹û ¼¶ ¡Æ ak Êý k= 1

, Ôò½«Õ⼶ Êý¸÷Ïî ´Î Ðò¸Ä ±äºó ,

¿ÉÒÔ Ëü±äµÃ²» ÊÕ , Ò²¿ÉÒÔ ËüÊÕ µ½ÈÎ ÒâÖ¸¶¨ µÄÊý¡£ Õâ¾ÍÒâ ʹ Á² ʹ Á² ¡Þ ¡Þ ζ ×Å ¡Æ xk pk Ö» ÊÇ Ìõ ¼þ ÊÕ Á² , ÄÇ ¡Æ xk pk ´æ ÔÚ Óë ·ñ , µÈÓÚ Èô ô ¶àÉÙ, k=1 k=1

ÓëËæ »ú±äÁ¿ËùÈ¡µÄÖµµÄÅÅÁÐ ÐòÓÐ , ¶ø E( X) ×÷ ¿Ì »® X µÄij ´Î ¹Ø Ϊ ÖÖ ÌØÐÔ µÄÊýÖµ, ÓÐ ¿Í ¹ÛÒâÒå, ²» Ó¦ÓëÈËΪ ÅÅÁÐ ÐòÓÐ Æä ´Î ¹Ø¡£ ÖÁ Á¬ ÓÚ
+ ¡Þ

ÐøÐÍËæ »ú±äÁ¿µÄÆÚ ¶¨ ÒåÖÐ ÒªÇó»ý ·Ö Íû , ¡Ò

- ¡Þ

xf ( x ) d x ¾ø¶ÔÊÕ µÄ Á²

Ô-ÒòÓëÀëÉ¢ÐÍÇé¿öÓÐ ²» ͬ , ÔÚ ²» Ô٠Щ ´Ë ÌÖÂÛ ÁË¡£ ¡ì

4 .2

·½²î ¡¢ ¾Ø

Êý ÆÍûÊÇ »ú Á¿ Ä ¸öÖØ Êý ÌØ , Ëü±í ʾ ѧ Ú Ëæ ±ä µ Ò» Òª ×Ö Õ÷ Ëæ»ú±äÁ¿
È¡ÖµµÄƽ ¾ùË® »òÕß˵Ëæ»ú±äÁ¿µÄÖРλ ÖÃ, ´ÓÒ»¸ö ½Ç ƽ ÐÄ ¶ÈÃèÊöÁË Ëæ »ú±äÁ¿¡£ µ«ÔÚ Ðí¶àÎÊ Ìâ ÖÐ µ¥ÓÃÊýѧÆÚ Í¨ ³£ ÊDz» ¹» µÄ, Íù Íù »¹ Íû ÒªÉæ ¼°µ½Áí Ò»ÀàÊý×Ö ÌØÕ÷ Ëü¿Ì »®Ëæ»ú±äÁ¿µÄÈ¡ÖµÓëÆä ÐÄ Öà , ÖРλ µÄÆ« Àë³Ì ¶ÈÕâÒ»ÌØÕ÷ Æä ×î ÖØ , ÖÐ ÒªµÄÊÇ ·½²î ¡£ Ò»¡¢ ·½ ²î µÄ ¸Å Äî ÉèËæ »ú±äÁ¿ X ÓÐ ¾ùÖµ E ( X ) = ¦Ì , X µÄÈ¡Öµ²» »á Ç¡ºÃ ÊÇ¦Ì , ¶ø »áÓÐ Àë¡£ Æ« Æ« ÀëÁ¿ X - ¦Ì ±¾Éí Ò²ÊÇËæ ±äÁ¿, ÎÒÃÇÒª È¡Õâ¸ö Æ« »ú Àë X - ¦Ì µÄijÖÖ ´ú ±í ÐÔ ÓÐ µÄÊý×Ö, À´ ¿Ì »®Æ« Àë³Ì ¶È»ò·Ö É¢³Ì ¶È¡£ ÎÒ ¡¤ 1 49 ¡¤

E( X - ¦Ì ) , µ«Âí ÉÏ ·¢ ÏÖÕâûÓÐ ÒâÒå, ÒòΪ E( X - ¦Ì ) = 0 , ÕâÊÇ ÒòΪ Õý¸º Æ« ÀëÏà »¥µÖÏû ¡£ Ò»ÖÖ ½â¾ö ·½·¨ ÊÇÈ¡ X - ¦Ì µÄ¾ø¶ÔÖµ | X - ¦Ì | ÒÔ ³ý ·û ºÅ , ÔÙ Æä¾ùÖµ Ïû È¡ E X - ¦Ì ×÷Ϊ X È¡ÖµµÄ·ÖÉ¢³Ì ¶ÈµÄÊý×Ö ÌØÕ÷ Õâ¸ö Á¿ E | X - ¦Ì | ¡£ ½Ð X µÄ ƽ ×ö ¡° ¾ù¾ø¶Ô²î ¡± ËüÊÇ Óà ¿Ì »®·Ö É¢³Ì ¶ÈµÄÊý×Ö , ³£ ÓÚ ÌØÕ÷ Ö® Ò»¡£ µ«ÓÉ ¾ø¶ÔÖµÔÚ ÓÚ ÊýѧÉÏ ´¦ Àí ºÜ²» ·½±ã, ÈËÃǾͿ¼ÂÇ ÁËÁí Ò»ÖÖ ×÷ : ÏÈ °Ñ X - ¦Ì ƽ ·¨ ·½ÒÔ ³ý ·û ºÅ , È»ºó È¡Æä Ïû ¾ùÖµ E( X - ¦Ì )
Ëü ×÷ Ϊ 2 ¡£ °Ñ

X È¡ ÖµµÄ·Ö É¢³Ì ¶ÈµÄºâ Á¿¡£ Õâ¸ö Á¿¾Í½Ð X µÄ·½ ²î ( ·½ ×ö Éè X Ϊ Ëæ »ú±äÁ¿, Èô E[ X - E( X) ]
Ϊ 2 ´æ ÔÚ

²î :¡° ²î ¡±¡° ·½¡± ¡£ µÄ ) ¶¨ Òå4 .2 . 1 E[ X - E( X) ]
2

, Ôò³Æ

X µÄ·½²î , ¼Ç D( X) »ò Var( X) , ¼´ Ϊ D( X) = Var( X) = E[ X - E( X) ]
2

(4 .2 .1 )

ÔÚ Ó¦Óà »¹ ÒýÈëÓëËæ»ú±äÁ¿ X ¾ßÓРͬ Á¿¸ÙµÄÁ¿ D( X) , ÖÐ Ïà ¼Ç ¦Ò( X) , ³ÆΪ ±ê×¼ ¡£ Ϊ ²î ÓÉ Òå, ·½²î ÊÇ »ú ±äÁ¿ X ÓëÆä ÖÐ ¡± E( X) ) µÄÆ« ƽ ¶¨ Ëæ ¡° ÐÄ ( ²î ·½ µÄƽ ¾ù¡£ Ëü±í ´ï ÁË X µÄÈ¡ÖµÓëÆä Íû Öµ E( X) µÄÆ« ÆÚ Àë³Ì ¶È¡£ Èô X È¡Öµ±È ½Ï¼¯ÖÐ Ôò D ( X ) ½ÏС, ·´ Ö® ÈôÈ¡ Öµ½Ï·Ö É¢, Ôò D ( X) ½Ï , , ´ó ¡£ ÓÉ ·½²î µÄ¶¨ ÒåÎÒÃÇ ¿ÉÒÔ ³ö , ·½ ²î D ( X) ÊÇ »ú ±äÁ¿ X µÄº¯ ¿´ Ëæ Êý g( X) = E[ X - E( X) ] ¼Æ Ë㹫 ʽ ÎÒÃÇ : , ÓÐ Èô X Ϊ ÀëÉ¢ÐÍËæ »ú±äÁ¿, Ôò ¡Þ 2 D( X) = ¡Æ [ xk - E( X) ] pk k=1 2 µÄ Êý ѧ ÆÚ Íû

, ÓÉ Ëæ»ú±äÁ¿º¯ ÊýµÄÆÚ µÄ Íû

(4 .2 .2 )

Æä ÖÐP{ X = xk } = pk , k = 1 , 2 , ¡- Ϊ X µÄ·Ö²¼ÂÉ¡£ Èô X Ϊ Á¬ ÐøÐÍËæ »ú±äÁ¿ÇÒ ¾ßÓÐ ÂÊÃÜ f( x ) , Ôò ¸Å ¶È
+ ¡Þ

D( X) = ¡Ò

- ¡Þ

[ x - E( X) ] f( x ) d x

2

(4 .2 .3 )

¼Æ Ëã·½²î ʱ, ¸ü ¶à µÄÊÇ ÏÂÃæ ʽ Óà ¹« ¡¤ 1 50 ¡¤

D( X) = E( X ) - [ E( X) ] D( X) = E[ X - E( X) ]
2 2 2 2

2

2

(4 .2 .4 )

Õâ¸ö ¹« ʽ µÄÖ¤Ã÷ ²» ÄÑ Ê ²¢ , ʵÉÏ ÓÉ Íû µÄÐÔ Ò× ÆÚ ÖÊ µÃ = E X - 2 XE( X) + [ E( X) ]
2 2 2

= E( X ) - 2 E( X) ¡¤ E( X) + [ E( X) ] = E( X ) - [ E( X) ]
Àý

4.5 1

Éè »ú±äÁ¿ X ·þ ´Ó( 0 - 1) ·Ö²¼ , Çó D( X) ¡£ Ëæ

½â

X µÄ·Ö²¼ÂÉΪ X P 0 q
2

1 0 < p < 1, q = 1 - p p
2 ¡Á

ÒòΪ E( X) = p , E( X ) = 1 ËùÒÔ

p+ 0

2 ¡Á

q= p

D( X) = E( X2 ) - [ E( X) ] 2 = p - p2 = p( 1 - p) = pq Àý 4 .16 Éè »ú±äÁ¿ X µÄÃÜ Ëæ ¶Èº¯ ÊýΪ 1+ x - 1 ¡Ü x < 0 f( x ) = Çó X µÄ·½²î D( X) ¡£
+ ¡Þ

1 - x 0

0 ¡Ü x ¡Ü 1 Æä Ëü

½â

E( X) = ¡Ò = ¡Ò E( X ) = ¡Ò = ¡Ò
2

- ¡Þ 0 -1 +¡Þ - ¡Þ 0 -1

xf( x )d x
1

x (1 + x )d x + ¡Ò x f( x)d x
2

0

x (1 - x )d x = 0

1 2 x (1 + x)dx + ¡Ò 0 x (1 - x)d x = 6
2 2 2

1

ËùÒÔ D( X) = E( X ) - [ E( X) ] = 1 6 ¡¤ 1 51 ¡¤

4 .17 Çó D( X) ¡£ ½â ¶ø

Éè X ·þ ´Ó²Î ÊýΪ n , p µÄ¶þÏî ·Ö²¼ , ¼´ X¡« b( n , p) ,

E( X) = np E( X ) = E[ X( X - 1 ) + X] = E[ X( X - 1 ) ] + E( X) n 2

E[ X( X - 1) ] = ¡Æ k( k - 1 ) Cn p q k= 0 n k

k n- k

= ¡Æ k( k - 1 ) k= 2 n

n! k npq k !( n - k ) ! Cn- 2 p k- 2 k- 2

k

= n( n - 1) p ¡Æ k=2 2

q

n - 2 - ( k- 2)

= n( n - 1) p ( p + q) = n( n - 1) p
Ëù ÒÔ 2 2

2

n- 2

D ( X) = E( X ) - [ E( X) ]
2 2

2 2

= n( n - 1) p + np - ( np) = np - np = npq Àý 4 .18 ½â ¶ø E( X) = ¦Ë

( q = 1 - p)

Éè X ·þ ´Ó²Î ÊýΪ ¦Ë µÄ²´ ËÉ·Ö²¼ , Çó D( X) ¡£ E( X ) = E[ X( X - 1 ) ] + E( X)
2

¡Þ k - ¦Ë ¦Ëk e - ¦Ë ¦Ë e E[ X( X - 1) ] = ¡Æ k ( k - 1) = ¡Æ k! k= 0 k = 2 ( k - 2) ! = ¦Ë e
2 ¡Þ - ¦Ë ¡Æ k= 2

¡Þ

k-2
¦Ë

( k - 2) !

= ¦Ë2 e - ¦Ë¡¤ e¦Ë = ¦Ë2

Ëù ÒÔ

D( X) = E( X2 ) - [ E( X) ] 2 = ¦Ë2 + ¦Ë - ¦Ë2 = ¦Ë ¡¤ 1 52 ¡¤

4 .19 ½â

Éè X¡« U ( a , b) , Çó D( X) ¡£ a+ b 2
+ ¡Þ b - ¡Þ 2

E( X) = E( X ) = ¡Ò
2

x f( x ) d x = ¡Ò a
2

2

x b - a dx = b - a 3 ( b - a)

2

3

3

b + ab + a = 3 ËùÒÔ
2

b + ab + a D( X) = 3 Àý4 . 0 2 ½â 1 ¦Ë
+ ¡Þ

2

a+ b 2

2

( b - a) = 12

2

Éè »ú±äÁ¿ X ·þ ´Ó²Î ÊýΪ ¦Ë µÄÖ¸Êý·Ö²¼ , Çó D( X) ¡£ Ëæ E( X) =
2

+ ¡Þ

E( X ) = ¡Ò 0
2

x

2 ¡¤ ¦Ë

e

- ¦Ëx

d x = ¡Ò 0
+ ¡Þ

x de
- ¦Ëx

2

- ¦Ëx

= - xe =
Ëù ÒÔ

- ¦Ëx

+ ¡Þ 0

+¡Ò 2 0

xe

dx

2 2 ¦Ë 2 D( X) = 2 ¦Ë 1 ¦Ë
2

=

1 2 ¦Ë

Àý

4 .21

Éè X¡« N (¦Ì ,¦Ò ) , Çó D( X) ¡£
+ ¡Þ - ¡Þ

2

½â

E( X) = ¦Ì
2

D( X) = E( X - ¦Ì ) = ¡Ò Áî x - ¦Ì = t , ÔòÓÐ ¦Ò
2
2

( x - ¦Ì )

2

1 e 2¦Ð ¦Ò

( x - ¦Ì ) 2 ¦Ò
2

2

dx

t ¦Ò + ¡Þ 2 - 2 D( X) = t e dt = ¡Ò 2¦Ð - ¡Þ

¦Ò 2¦Ð

2

- te

-

t 2

2

+ ¡Þ - ¡Þ

+ ¡Þ

+ ¡Ò

- ¡Þ

e

-

t 2

2

dt

¡¤ 1 53 ¡¤

Õâ ˵ Ã÷ Õý ̬ ·Ö ²¼ ²¼ µÄ ¾ù Öµ ºÍ ·½ ²î ¡£ 2

¦Ò + ¡Þ - t2 2 = ¡Ò - ¡Þ e d t = ¦Ò 2¦Ð 2 2 N( ¦Ì ,¦Ò ) ÖÐ µÄÁ½ ²Î Êý ¦Ì ºÍ ¦Ò ¸ö
2 ¦Ì ·û ºÍ ¦Ò ¼¸ ºÎ Òâ Òå ÊÇ Ïà µÄ ¡£

2

2

·Ö ±ð ÊÇ ¸Ã ·Ö Òâ Òå

»Ø ¹Ë Ò» Ï µÚ ¶þ Õ ÖÐ ÌÖ ÂÛ µÄ µÄ ¸Å ÂÊ Òâ Òå ºÍ

µÄ ¼¸ ºÎ

,

¿ÉÒÔ ³ö ¦Ì ºÍ ¦Ò ¿´
¶þ ¡¢ ·½ ²î

µÄ ÐÔ ÖÊ

¶¨

Àí

4 .2 . 1

Ëæ »ú±äÁ¿ ·½ ¾ß ÈçÏÂÐÔ ( ¼Ù µÄ ²î ÓÐ ÖÊ ÉèÒÔ ÏÂÓöµ½

µÄËæ »ú±äÁ¿µÄ·½²î ´æÔÚ : ) (1) Èô C Ϊ ³£ Êý , Ôò D( C) = 0; (2) Éè C Ϊ ³£ Êý , X Ϊ Ëæ »ú±äÁ¿, Ôò D( CX) = C D( X) ; (3) Èô X Óë Y ÊÇ »¥¶ÀÁ¢µÄËæ Ïà »ú±äÁ¿, Ôò D ( X + Y) = D( X) + D( Y) Õâ Ò»ÐÔ ¿ÉÍƹ㠵½ÈÎ ÒâÓÐ ¸ö Ïà »¥¶ÀÁ¢Ëæ»ú±äÁ¿Ö® µÄÇé¿ö , Èô ÖÊ ÏÞ ºÍ X1 , X2 , ¡- , Xn Ïà »¥ ¶À Á¢ , ÔòÓÐ n n

2

D ¡Æ Xi = ¡Æ D( Xi ) i= 1 i= 1 (4 ) D( X) = 0 µÄ³ä ÒªÌõ ¼þÊÇ X ÒÀ ÂÊ1 È¡ ³£ Êý C, ¼´ P{ X = ¸Å C} = 1 , ÏÔÈ»ÕâÀï C = E( X) ¡£ ÐÔ (1) ÊÇ ÏÔµÄ, ÐÔ ( 2) , (3 ) ¿ÉÀûÓà Íû µÄÐÔ ±È½ÏÈÝÒ× ÖÊ Ã÷ ÖÊ ÆÚ ÖÊ µØÖ¤µÃ, Ö¤Ã÷ ³Ì Çë¶ÁÕßÍê ³É ¡£ ÖÁ ÐÔ ( 4) ÎÒÃÇ ¹ý ÓÚ ÖÊ ½«ÔÚ ½éÉÜ ÇÐ ÁË ±È Ñ© ²» µÈʽ ¼Ó ˵Ã÷ ·ò ºó ÒÔ ¡£ ÎÒÃÇ ¿ÉÒÔ ÀûÓà ÖÊ ±È½Ï¼ò±ãµØ¼Æ ÐÔ (3) Ëã¶þ Ïî ·Ö²¼µÄ·½²î ¡£ Àý4 .22 ½â Áî Xi X1 , X2 , ¡- , Xn Éè X¡« b( n , p) , Çó D ( X) ¡£
Ϊ ·þ ´Ó ²Î Êý Ϊ n p µÄ( 0 - 1 ) ·Ö ²¼ , i = 1 , 2 , ¡- , n , ÇÒ

Ïà

»¥ ¶À Á¢

, Ôò ¡Æ X i ¡« b( n , p) , ÓÚ ÊÇ i=1 n n

D( X) = D ¡Æ Xi = ¡Æ D( Xi ) = npq i= 1 i= 1

¡¤ 1 54 ¡¤

4 .23 ½â Áî Xi =

½« n ·â ²» ͬµÄÐÅ n ÕÅ µÄ ÐżãÓë n ¸ö ÐÅ Ëæ»úÅä¶Ô, ·â

ÇóÆ¥ Åä³É ¶ÔÊý X µÄ·½²î ¡£ 1 0 µÚ i ·â ÐÅ µÄÐÅ ¼ãÓëµÚ i ·â ÐÅ Åä³É ¶Ô Æ¥ ·ñ Ôò

i = 1 , 2 , ¡- , n¡£ Ôò n X = ¡Æ Xi i= 1
ÓÉ ÉÏ Ò» ½Ú Àý 2

4 .12 Öª E( X) = 1 , ¶ø n n

2

E( X ) = E ¡Æ Xi i= 1 E( X i ) = P{ Xi = 1} =
2

= ¡Æ E( X i ) + 2 ¡Æ E( X i Xj ) i=1 1 ¡Ü i < j¡Ü n 1 n 1 n( n - 1) 1 =2 n( n - 1)
2 2

2

E( Xi Xj ) = P{ Xi Xj = 1} = ËùÒÔ

E( X ) = 1 + n ( n - 1) ÓÚ ÊÇ

2

D( X) = E( X ) - [ E( X) ] = 2 - 1 = 1 Èý ¡¢ ÇÐ±È Ñ© ²» µÈ ʽ ·ò ¶¨ Àí 4 .2 . 2
2

2

ÉèËæ »ú±äÁ¿ X µÄÆÚ Óë·½ ²î ¶¼ Íû ´æÔÚ ÇÒE( X) = ¦Ò P{ x - ¦Ì ¡Ý¦Å}¡Ü 2
¦Å 2

¦Ì , D( X) = ¦Ò , Ôò¶ÔÓÚ ÒâµÄÕýÊý ¦Å, ÓÐ ÈÎ (4 .2 .5 )

Ö¤Ã÷ ½ö¾ÍÁ¬ ÐøÐÍÇéÐθø ³ö Ö¤Ã÷, Éè X µÄÃÜ ¶Èº¯ ÊýΪ f ( x ) , ÔòÓÐ ¡¤ 1 55 ¡¤

P{ x - ¦Ì ¡Ý ¦Å} = ¡Ò ¡Ü ¡Ò

x - ¦Ì + ¡Þ - ¡Þ

¡Ý¦Å

f( x ) d x ¡Ü ¡Ò
2

( x - ¦Ì ) x - ¦Ì ¡Ý¦Å + ¡Þ - ¡Þ 2 ¦Å

2

f( x ) d x
2

( x - ¦Ì )
2 ¦Å 2

1 f( x ) d x = ¡Ò 2 ¦Å

( x - ¦Ì ) f ( x) d x

D( x ) ¦Ò = = 2 2 ¦Å ¦Å
ͨ ³£ ³Æ ²» µÈ ʽ

(4 .2 .5 ) Ϊ ÇÐ ±ÈÑ© ²» µÈʽ ´Ë ²» µÈʽ ÏÂÃæ ·ò , ÓÐ µÈ ¦Ò
¦Å 2 2

¼Û ÐÎʽ P{ x - ¦Ì < ¦Å}¡Ý1 (4 .2 .6 )

´Ó²» µÈʽ .2 .6 ) ¿ÉÒÔ ³ö , Ëæ (4 ¿´ »ú±äÁ¿ X µÄ·½²î Ô½ Ôò X µÄ С, È¡ÖµÔ½ ¼¯ÖÐ Æä ÖÐ ¡± E ( X) ) µÄ¸½½ü¡£ ÕâÒ² ±í Ã÷ÁË D ( X) µÄ´ó ÔÚ ¡° ÐÄ ( СÌå ÏÖÁË X È¡ÖµµÄ·ÖÉ¢³Ì ¶È¡£ ÒÔ ½«»á¿´ µ½, Õâ¸ö ²» µÈʽ ÊÇ ºó »¹ Öø ÃûµÄÈõ´ó Êý¶¨ ÂɵĻù´¡ ¡£ Õâ¸ö ²» µÈʽ ³ö ÁËÔÚ ¸ø Ëæ»ú ±äÁ¿ X µÄ·Ö ²¼Î´ Öª Çé¿ö Ϡʼþ { x - ¦Ì < ¦Å} µÄ¸Å ÂʵÄÒ»ÖÖ ¼Æ ¹À ·½·¨ , ÀýÈç P{ x - ¦Ì P{ x - ¦Ì < 3¦Ò}¡Ý1 < 4¦Ò}¡Ý1 1 8 = = 0 .8889 9 9 1 = 0 .9375 16

×÷Ϊ ÇÐ ±ÈÑ© ²» µÈʽ ·ò µÄÒ»¸ö Ó¦ Óà ÎÒÃÇ , À´Ö¤Ã÷ ·½²î µÄÐÔ ( 4) ÖÊ µÄ±Ø ÒªÐÔ ¡£ Ö¤Ã÷ Éè E( X) = ¦Ì , ÓÉ ÂʵÄÁ¬ ¸Å ÐøÐÔ ÓÐ , ¡Þ 1 P{ X = ¦Ì } = P{ x - ¦Ì = 0} = P ¡É { x - ¦Ì < } n=1 n = n¡ú ¡Þ P{ x - ¦Ì < lim ÓÉ ±È ·ò ²» µÈʽ ÓÐ ÇÐ Ñ© , P{ x - ¦Ì ¡¤ 1 56
¡¤

1 } n

<

1 D( X) }¡Ý1 n 1/ n2

D( X) = 0 , ÔòµÃ P{ x - ¦Ì ´Ó¶ø P{ x - ¦Ì ËùÒÔ P{ X = ¦Ì } = nlim P{ x - ¦Ì < ¡ú ¡Þ 1 } = 1 n < 1 }=1 n < 1 }¡Ý1 n

Õâ¾ÍÖ¤Ã÷ ÐÔ (4 ) µÄ±Ø ÁË ÖÊ ÒªÐÔ ¼´Èô D( X) = 0 , Ôò P{ X = E( X) } = , 1 , ÖÁ ÐÔ ( 4) µÄ³ä ·ÖÐÔ ¼´Èô P{ X = E( X) } = 1 , Ôò D( X) = 0 , Ö± ÓÚ ÖÊ , ¹ÛÉÏ ÈÝÒ× ½â, µ«Æä Àí Ñϸñ µÄÖ¤Ã÷ ÎÒÃÇ ·¨ д³ö ( ³¬³ö ±¾ ÎÞ ÊéµÄ·¶ Χ ) ¡£ ËÄ¡¢ ¾Ø ¶¨ Òå4 .2 . 2 E( X ) , ³Æ ak k Ϊ

Éè X, Y Ϊ Ëæ ±äÁ¿, Èô E( X »ú X µÄ k ½× Ô-µã¾Ø ¼ò³Æ k ½× ¡£ , ¾Ø k k

) < ¡Þ , ¼Ç ak = k Èô E[ X - E( X) µÄ k ½× ÐÄ ¡£ ÖÐ ¾Ø k l

] < ¡Þ , ¼Ç bk = E[ X - E( X) ] , ³Æ bk k l

Ϊ

X

Èô E[ X Y ] < ¡Þ , ³Æ E( X Y ) Ϊ X ºÍ Y µÄ k + l ½× ºÏ Ô-µã »ì ¾Ø Èô E [ X - E( X) ] [ X - E( Y) ] ¡£ - E( Y ) ] l Ϊ k l

< ¡Þ , ³Æ E[ X - E( X) ] [ Y

k

X ºÍ Y µÄ k + l ½× ºÏ ÖÐ ¾Ø »ì ÐÄ ¡£

ÈÝÒ× ³ö , X µÄÒ»½× ¿´ Ô-µã ¾Ø ¾ÍÊÇX µÄÆÚ , X µÄ¶þ ½× ÐÄ¾Ø Íû ÖÐ ¼´ÊÇX µÄ·½²î ¡£ ¶ø X Óë Y µÄ 1 + 1 ½× ºÏ ÖÐ ¾Ø »ì ÐÄ ¾ÍÊÇÏÂÒ»½Ú ½é Òª ÉÜ µÄÐ-·½²î ¡£ ¾Ø ×î ¹ã ·º ʹ Óà ÊÇ µÄÒ»ÖÖ Êý×Ö ÌØÕ÷, ÔÚ ÂÊÂÛ ÊýÀí ͳ ¸Å ¡¢ ¼Æ ¼°Ëæ »ú¹ý ³Ì ÖÐ ÓÐ ÒªµØλ ¡£ Õ¼ ÖØ Àý 4 .24 1) ! ! Ò ¡£ ¦
Ö¤ Ã÷ µ± 2 2 Éè X¡« N(0 ,¦Ò ) , Ö¤Ã÷ n Ϊ ż µ± Êýʱ, E( Xn ) = ( n -

n = 2 ʱ ¡¤ 1 57 ¡¤

E( X ) = ¦Ò = (2 - 1) ! ! Ò ¦
Éè

2

2

2

n = k Ϊ ż Êýʱ, ÓÐ E( X ) = ( k - 1) ! ! Ò ¦ k k

Ôò

E( X

k+ 2

) =

1 ¡Ò 2 ¦Ð¦Ò

+ ¡Þ

x
- ¡Þ

k+ 2

e

-

x

2 2

2¦Ò
2 2

dx
+ ¡Þ - ¡Þ + ¡Þ

¦Ò = 2 ¦Ð

- x
2

k+ 1

e

-

x

2¦Ò

+ ( k + 1) ¡Ò

- ¡Þ

x e

k

-

x

2 2

2 ¦Ò

dx

= ( k + 1)¦Ò E( X )
2 = ( k + 1)¦Ò ¡¤ ( k - 1) ! ! Ò ¦k k+ 2 n n

k

= ( k + 1) ! ! Ò ¦
ÓÚ ÊÇ ÓÉ ¹é ÄÉ ·¨ Öª

, µ± n Ϊ ż Êýʱ, ÓÐ E ( X ) = ( n - 1 ) ! ! ¦Ò , ÔÚ ±¾ n Ìâ ÖÐ ÈÝÒ× ³ö µ± n Ϊ Ææ ¿´ ÊýʱE( X ) = 0¡£ Àý4 .25 Éè X ºÍ Y µÄ¶þ½× ´æÔÚ ²» Ϊ Áã, ÔòÓÐ ¾Ø ÇÒ [ E( XY ) ]
2 ¡Ü

E( X ) E( Y )

2

2

(4 .2 .7 )

ÇÒ µÈºÅ ³É Á¢µÄ³ä ÒªÌõ ¼þΪ ´æÔÚ Êý a ʹ µÃ ³£ P{ Y = aX} = 1 Ö¤Ã÷ ¿¼ÂÇ ¹ØÓÚ Êµ±äÁ¿ t µÄ¶þ´Î º¯ Êý g( t ) = E( Y + tX) = E( X ) t + 2 E( XY) t + E( Y ) ¶ÔÓÚ Ò»ÇÐ t ¶¼ÓÐg ( t ) ¡Ý 0, ÓÖ µÄ ÒòΪ ÖÊ Öª [2 E( XY ) ] - 4 E( X ) E( Y ) ¡Ü0 ¼´µÃ [ E( XY ) ]
2 ¡Ü 2 2 2 2 2 2 2

E ( X2 ) > 0 , Óɶþ ´Î º¯ ÊýÐÔ

E( X ) E( Y )
ʹ µÃ

2

2

ÇÒ Êö²» µÈʽ µÈºÅ ³É Á¢µÄ³ä ÒªÌõ ¼þÊÇ ÉÏ ÖÐ ´æÔÚt0 g( t0 ) = E( Y + t0 X) = 0 ÓÖ ÓÉ ¡¤ 1 58 ¡¤
2

g( t0 ) = 0 , ¼´

E( Y + t0 X) = D ( Y + t0 X) + [ E( Y + t0 X) ] = 0 ´Ó¶ø ÓÐ E( Y + t0 X) = 0 , ÓÉ ·½²î µÄÐÔ Öª ÖÊ P{ Y + t0 X = 0} = 1 Ö»ÐèÁî a = - t0 , ±ãµÃʽ .2 .7 ) ÖÐ (4 µÈºÅ ³É Á¢µÄ³ä ÒªÌõ ¼þΪ P{ Y = aX} = 1 ³Æ²» µÈʽ .2 .7 ) Ϊ ¿ÂÎ÷- ÐíÍß ×È µÈʽ ÔÚE( X ) »ò E( Y ) (4 ²» ¡£ µÈÓÚ Áãʱ, ¿ÂÎ÷ - ÐíÍß ×È µÈʽ ²» Òà³É Á¢, Ö»²» ¹ý ´Ë ʱ µÈʽ 4 .2 .7) ²» ( Á½ ¶Ë¶¼ Áã¡£ Ϊ ¡ì
2 2

2

2

D( Y + t0 X) = 0

4 .3

Ð-·½²î ÓëÏà ¹Øϵ Êý
D

ÖÁ ñÒ ÌÖÂÛ Óë άËæ ½ Î ÃÇ ÁË Ò» »ú±äÁ¿ ¹ØµÄ Êý E ( X ) ºÍ ÓÐ ²Î

( X) , ÔÚ Ç°Ãæ ËùÊöÒâÒåÏ , ÕâЩ Êý¶ÈÁ¿ÁËһάËæ ²Î »ú±äÁ¿µÄij Щ ÌØ Õ÷ ÈçÎÒÃÇ Ò»¸ö ¶àάËæ ¡£ ÓÐ »úÏò Á¿, ÀýÈç¶þάËæ »úÏò Á¿( X, Y ) , ÓÉÓÚ ·ÖÁ¿ X ºÍ Y ±¾ ¶¼ һάËæ Éí ÊÇ »ú±äÁ¿, µ±È»¿ÉÄÜ ÒªÌÖÂÛËüÃÇ ¸÷×Ô µÄ ¾ùÖµºÍ ·½²î , Õâ¶ÔÓÚ Á˽âÿ¸ö ·ÖÁ¿ÓÐ Ò»¶¨ µÄ°ï Öú¡£ µ« ¶ÔÓÚ »ú Ïò Ëæ Á¿, ÎÒÃÇ Ï£ Íû ÖªµÀ¸÷¸ö ·ÖÁ¿Ö® »¹ ¼äµÄÁª ϵ , ÎÒÃÇ Íû ÕÒ Ï£ µ½Ò»¸ö ÓÐ Òâ ÒåµÄ²Î Êý , ËüÔÚ ÖÖ Ä³ ÒâÒåÏ ¶ÈÁ¿ X ºÍ Y Ö® ¼äµÄÁª ϵ ³Ì ¶È¡£ Ï ÃæÒý ÈëµÄÁ¿ÄÜ µ½Õâ¸ö ×÷ ¡£ Æð Óà ¶¨ Òå4 .3 . 1 Èô »ú±äÁ¿ X ºÍ Y µÄ¶þ½× ¶¼ Ëæ ¾Ø ´æÔÚ Ôò³Æ E [ X , (4 .3 .1 ) - E( X) ] [ Y - E( Y) ]Ϊ X Óë Y µÄÐ-·½²î , ¼Ç Cov( X, Y ) , ¼´ Ϊ Cov( X , Y) = E[ X - E( X) ] [ Y - E( Y ) ] ¶øµ± D( X) > 0 , D( Y) > 0 ʱ, ³Æ ¦Ñ Y = X Ϊ X Óë Y µÄÏà ¹Øϵ Êý¡£ ¡¤ 1 59 ¡¤ Cov( X , Y) D( X) D( Y) (4 .3 .2 )

X - E( X) Y - E( Y ) Óë µÄÐ-·½²î , ËüÊÇ Á¿¸ÙµÄÁ¿, ÐÎ ÎÞ D( X) D ( Y) ʽ ¿É°ÑÏà ¹Øϵ ÊýÊÓ ±ê×¼ ¶ÈÏ µÄÐ-·½²î ¡± ÕýÊÇ ÓÚ¦Ñ ²» ÉÏ Îª¡° ³ß ¡£ ÓÉ XY
XY Õý ÊÇ ÊÜ Ê¹ Óà µ¥ λ µÄ Ó° Ïì

, Òò´Ë ËüÄÜ ºÃ µØ·´ Ó³ X Óë Y Ö® ¸ü ¼äµÄ¹Øϵ ¡£ (4 .3 .3 )

ÓÉ ·½²î ¼°Ð-·½²î ¶¨ Òå, ÈÝÒ× Ö¤Ã÷ D( X + Y) = D( X) + D( Y) + 2Cov( X, Y) ÓÉ Ð-·½²î µÄ¶¨ Òå¼°ÆÚ µÄÐÔ ÎÒÃÇ : Íû ÖÊ, ÓÐ µ± X Óë Y Ïà »¥¶ÀÁ¢ÇÒ ¶þ½× ´æÔÚ ÓÐ ¾Ø ʱ, Cov( X , Y) = 0 ¾-¼òµ¥ÍƵ¼, ÓÐ Cov( X, Y ) = E( XY ) - E( X) E( Y ) Ð-·½²î ¾ßÓÐ ÏÂÁÐ ÖÊ: ÐÔ ¶¨ Àí 4 .3 . 1 Éè ÏÂËù ¼° Ä ÒÔ Éæ µ Ð-·½ ´æ , Ôò ²î ÔÚ (1) Cov( X , Y) = Cov( Y, X) ; (2) Cov( aX , bY) = abCov( X , Y) ; (2) Cov( X + Y , Z ) = Cov( X, Z) + Cov( Y, Z) ¡£ Ö¤Ã÷ ¼òµ¥µÄ, Çë¶ÁÕßÍê ³É ¡£ ÊÇ ÓÉ ¹Øϵ ÊýµÄ¶¨ Òå¿ÉÍÆÖªÏà ¹Øϵ Êý¾ßÓÐ ÁÐ ÖÊ Ïà Ï ÐÔ : ¶¨ Àí 4 .3 . 2 (1) (2) ¦ÑXY
¡Ü

(4 .3 .4 ) (4 .3 .5 )

(4 .3 .5 ) ʽ ½Ï(4 .3 .1) ʽ ¼òµ¥ , ÎÒÃÇ Ò»°ã Óà .3 .5 ) ʽ ËãÐ-·½²î ¡£ (4 ¼Æ

Éè¦Ñ Ϊ XY 1;

X Óë Y µÄÏà ¹Øϵ Êý , Ôò

¦Ñ Y = 1 µÄ³ä ·Ö±ØÒªÌõ ¼þΪ ´æÔÚ Êý a , b ʹ µÃ P { Y = X ³£

aX + b} = 1¡£ Ö¤Ã÷ (1) Áî X1 = X - E( X) , Y1 = Y - E( Y) , ¶Ô X1 , Y1
¿Â Î÷ - Ðí Íß ×È ²» µÈ ʽ Ó¦ ÓÃ

, ÓÐ Cov( X , Y)
2 ¡Ü

D ( X) D( Y ) 1

(4 .3 .6 )

ËùÒÔ ¦ÑXY ¡¤ 1 60 ¡¤
¡Ü

(2) ÔÙ ÓÉ¡ì 4 .2 µÄÀý 4 .25 Öª ( 4 .3 .6 ) ʽÖÐ ºÅ ³É Á¢ ( ¼´ µÈ ¦ÑXY = 1) µÄ³ä ÒªÌõ ¼þÊÇ ´æÔÚ Êý a , ʹ µÃ ³£ P{ Y - E( Y) = a( X - E( X) ) } = 1 ´Ó¶ø P{ Y = aX - aE( X) + E( Y) } = 1 È¡ b = E( Y ) - aE( X) , ÓÚ Öª ¦Ñ Y = 1 µÄ³ä ÒªÌõ ¼þΪ ÊÇ X P{ Y = aX + b} = 1 ( a , b Ϊ ³£ Êý ) ÓÉ ÉÏ µÄÌÖÂÛÎÒÃÇ ÒÔ ¿ÉÒÔ ³ö : Èô X Óë Y ¶ÀÁ¢ÇÒD ( X ) > 0 , ¿´ D( Y) > 0 , Ôò¦ÑXY = 0; ¶ø ¦ÑXY = 1 , µ±ÇÒ ½öµ± Y Óë X ¼¸ºõ ÓÐ ÐÔ Ïß ¹Ø ϵ ¡£ ÕâÔÚ Ò»¶¨ ³Ì ¶ÈÉÏ ËµÃ÷ ÁËÏà ¹Ø Ïµ ÊýµÄ¸Å ÂÊÒâÒå, Ϊ Á˽øÒ»²½¿´ Çå³þ Ïà ¹Øϵ ÊýµÄÒâÒå, ÎÒÃÇ ÌÖÂÛ Ò»Ï Ïß ÐÔ Ô¤²â µÄÎÊ Ìâ ¡£ ¶ÔÓÚ ¸ö Ëæ Á½ »ú±äÁ¿ X , Y( Éè D( X) > 0 , D ( Y ) > 0) , ÎÒÃÇ Íû Ï£ Óà X µÄÏß ÐÔ Êý aX + b À´ ½üËÆ Ìæ»ò Ô¤²â Y¡£ ÎÊ ÈçºÎ Ñ¡Ôñ a, b º¯ ´ú ʹ aX + b ×î ½Ó Y, ½Ó ½ü ½ü³Ì ¶ÈÈçºÎ ? Ê× ¶Ô ½Ó ¡± ¶È¸ø ³ö ºÏ Àí µÄ¹æ ¶¨ , ÕâÀï ÎÒÃÇ ÊýÖµ ÏÈ ¡° ½ü ³Ì Óà Q( a , b) = E[ Y - ( aX + b) ]
×÷ Ϊ Á½ ¸ö Ëæ »ú ±ä Á¿ 2

Y Óë aX + b ½Ó ½ü³Ì ¶ÈµÄÁ¿µÄÃèÊö¡£ ÓÚ ÎÊ Ìâ ÊÇ
2 2

¹é ÄÉΪ ÕÒa, b ʹ Q( a , b) ´ï µ½×î С¡£ Q( a , b) = E[ Y - ( aX + b)] = E [ Y - E( Y)] - a[ X - E( X)] + [ E( Y) - aE( X) - b] = D( Y) + a2 D( X) + [ E( Y) - aE( X) - b]2 - 2 aCov( X, Y) Cov( X, Y) Cov( X, Y) = D( X){ a - 2 a + D( X) D( X)
2 2

[Cov( X, Y)] } D( X)
2

2

+ D( Y) + [ E( Y) - aE( X) - b] Cov( X, Y) = D( X) a D( X)
2

2

[Cov( X, Y)] + D( Y) D( X)

È¡

+ [ E( Y) - aE( X) - b] Cov( X, Y) a = a0 = , b = b0 = E( Y) - a0 E( X) ʱ, Q ( a, b) ´ï ×î D( X) ¡¤ 1 61 ¡¤

2

, ÇÒ Ð¡ÖµÎª ×î min Q( a, b) = D( Y) - [Cov( X, Y ) ] a, b D( X) = D( Y) (1 - ¦ÑX Y ) ¶ÔÓÚ ¶¨ µÄ Y, ʲ ô ÑùµÄ X ʹ a0 X + b0 ¸ø (4 .3 .7 ) ʽ ³ö : ¦ÑXY ¿´
Ô½ ½Ó ½ü ÓÚ Óë 2 2

(4 .3 .7 ) Y ½Ó ½üÄØ? ´Ó
Óë

1 µÄ X, Æäa0 X + b0
¾Í ÊÇ

Y Ô½ ½ü, ½Ó µÄ ´ó С ¿Ì

Ìر𵱠¦Ñ Y = 1 ʱ, a0 X + b0 X
»® ÁË

¼¸ ºõ

Y¡£ ¿É¼û ¦Ñ XY µÄ ´ó С ¿Ì

X Óë Y Ïß ÐÔ ½üµÄ³Ì ¶È, »òÕß˵ ¦ÑXY ½Ó

»® ÁË

X Óë Y

Ïß ÐÔ ¹ØµÄ³Ì ¶È, Õâ¾ÍÊÇÏà ¹Ø Ïµ ÊýµÄ¸Å ÂÊÒâÒå¡£ µ± ¦Ñ = 0 ʱ, X Ïà XY Óë Y µÄÏß ÐÔ ¹Ø³Ì ¶È×î ²î , ÓÚ ÓÐ Ãæ Òå¡£ Ïà ÊÇ Ï ¶¨ ¶¨ Òå4 .3 . 2 Àý 4 .26 Èô X Óë Y µÄÏà ¹Øϵ Êý¦ÑXY = 0 , ³Æ X Óë Y ²» Ïà ¹Ø¡£ y | < x} ÉÏ Éè( X , Y) ÔÚ ÇøÓò D = { ( x , y ) 0 < x < 1 ,

·þ ´Ó¾ùÔÈ ·Ö²¼ , ÎÊ X Óë Y ÊÇ ²» Ïà ¹Ø ? ÊÇ Ïà »¥¶ÀÁ¢ ? ·ñ ·ñ ½â ÇøÓò D µÄÃæ Ϊ 1 , Òò´Ë ( X , Y) µÄ¸Å ÂÊÃÜ »ý ¶ÈΪ f ( x, y) =
1 x x -

1 0

0< x 0 x ¡Ü 0 ¡¤ 1 83 ¡¤

2 Ôª , ÖÆ ÕßÒÔ5 Ôª ÊÛ³ö ´Ë ²ú Æ·, µ« Ôì ÊÇ, Èç¹û X¡Ü0 .9 , ÔòÖÆ ÔìÕßÐè³Ðµ£ È«²¿ ÍË ¿î , ÊÔÎÊ ¶Ôÿ¼þ²ú Æ·, ÖÆ ÔìÕßµÄÆÚ ÀûÈóÊÇ Íû ¶àÉÙ? 8 . ¼Ù ÉèÁ¬ ÐøÐÍËæ »ú±äÁ¿ X ¾ßÓÐ ÂÊÃÜ ¸Å ¶È f( x ) =
2 - x
2

2 xe 0

x > 0 x ¡Ü 0

Áî Y = X , ¾ÍÏ ÃæÁ½ ·½ ʽ Ëã E( Y ) : (1 ) ÏÈ Çó³ö Y µÄ¸Å ÂÊÃÜ ÖÖ ¼Æ ¶È, È»ºó ¼Æ E( Y) ; (2) ²» Çó³ö Y µÄ¸Å ÂÊÃÜ Ë㠶ȶøÖ± ¼Æ E( Y) ¡£ ½Ó Ëã 9 . Éè X ·þ ´Ó²Î ÊýΪ 1 µÄÖ¸Êý·Ö²¼ , Çó: ( 1) Y = 2 X; (2 ) Y = e
- 2 x µÄ Êý ѧ ÆÚ Íû ¡£

10 . ÉèËæ »ú±äÁ¿ X ·þ ´ÓÈðÀû·Ö²¼ , Æä ÂÊÃÜ ¸Å ¶ÈΪ f( x) = Çó E( X) , D ( X) ¡£ 11 . ÉèËæ »ú±äÁ¿ X ·þ ´Ó²Î ÊýΪ ¦Á,¦Â µÄ¦£ ·Ö²¼Æä ÂÊÃÜ ¸Å ¶ÈΪ f( x) = ¦Â ¦Á 1 - ¦Âx (¦Âx) e ¦£ (¦Á) 0 Æä ¦Á> 0 ,¦Â> 0 ÊÇ Êý, Çó E( X) , D( X) ¡£ ÖÐ ³£ 12 . Éè X È¡ÖµÓÚ a , b) ÄÚ ( µÄËæ »ú±äÁ¿, Ö¤Ã÷ µÈʽ a¡Ü E( X) ²» b- a ¡Üb , D( X) ¡Ü ¡£ 2 13 . Éè( X, Y ) µÄ·Ö²¼ÂÉΪ Y X 1 -1 0 .2 0 0 .1 1 0 .1
2

x - x2 2 e 2¦Ò ¦Ò 0

2

x > 0 x ¡Ü 0

x > 0 x ¡Ü 0

¡¤ 1 84 ¡¤

2 3

0 .1 0

0 0 .3

0 .1 0 .1

Çó(1) E( X) , E( Y) , D( X) , D ( Y) ; (2) E
-2x

Y 2 ; (3) E( X - Y ) ¡£ X 14 . ÉèËæ »ú±äÁ¿ X, Y µÄ¸Å ÂÊÃÜ ¶È·Ö±ðΪ 2e 0 x > 0 x ¡Ü 0
2

f1 ( x ) =

f2 ( x ) =

4e 0

-4 x

x > 0 x ¡Ü 0

(1) Çó E( X + Y ) , E ( 2 X - 3 Y ) ; (2 ) ÓÖ X Óë Y Ïà »¥¶ÀÁ¢Çó E Éè ( XY ) ¼° D( XY ) ¡£ 15 . Éè( X, Y ) µÄ¸Å ÂÊÃÜ ¶ÈΪ f( x , y ) = 12 y 0
2

0 ¡Ü y ¡Ü x ¡Ü 1 Æä Ëü
2 2

Çó E( X) , D ( X) , E( Y) , E( XY) , E( X + Y ) ¡£ 16 . ½«Ò»÷»×Ó Ò»´Î , ÇóËùµÃµãÊýµÄÆÚ Óë·½ ²î , ÈçÖÀ10 ´Î , ÖÀ Íû ÇóËùµÃµãÊýÖ® µÄÆÚ Óë·½²î ¡£ ºÍ Íû 17 . Éèʼþ A ÔÚ i ´Î ÊÔÑéÖÐ ÏֵĸŠÂÊΪ pi ( i = 1 , 2 , ¡- , µÚ ³ö n) , X ±í ʾn ´Î ¶ÀÁ¢ÊÔ ÑéÖÐA ³ö ÏֵĴΠÊý , Çó E( X) , D( X) ¡£ 18 . Ò»Ãñº½ËÍ ¿Í ³µ ÔØ ÓÐ20 ÃûÂà ¡£ ×Ô ¿Í »ú³¡ ¿ª ³ö , ÑØ Í¾ÓÐ10 ¸ö ³µ Õ¾ ¿ÉÒÔ Ï³µ , Èçµ½Ò»¸ö ³µ Õ¾ ÈËÏ ³µ ¾Í²» Í£ ³µ , X ±í ʾ ³µ ´Î ÎÞ Í£ Êý , Çó E( X) ( Éèÿλ ÂÃ¿Í ÔÚ ¸÷¸ö ³µ Õ¾ ³µ µÄ¸Å ÂÊÏà ͬ ) ¡£ Ï 19 . Ò»ºÐ×Ó ×°±êÓÐ1 ÖÁN µÄ N ÕŠȯ , ÒÔ ·Å »Ø·½ ʽ ÖРƱ ÓÐ Ò»ÕÅ Ò»ÕÅ µØ³é È¡ , Èç¹û ÒªÏë ÊÕ r ÕŠͬµÄƱ , ÎÊ ÆÚ ³é È¡¶àÉÙ ²Å ¼¯ ²» ȯ Íû ´Î ÄÜ µÃµ½? 20 . Éè( X , Y) ÔÚ µ¥Î» Ô² x + y Y ²» Ïà ¹Ø , µ«ËüÃÇ ¶ÀÁ¢¡£ ²»
2 21 . Éè X¡« N(0,¦Ò ) , Y = 2 2 ¡Ü

1 ÄÚ ´Ó¾ùÔÈ·Ö²¼ , ÊÔ X, ·þ Ö¤

X , ÊÔ Ã÷ X Óë Y ²» Ïà ¹Øµ«²» ¶ÀÁ¢¡£ Ö¤

22 . Éè( X, Y ) µÄ·Ö²¼ÂÉΪ ¡¤ 1 85 ¡¤

Y X -1 0 1

-1 1 8 1 8 1 8

0 1 8 0 1 8

1 1 8 1 8 1 8

ÌÖÂÛX Óë Y µÄ¶ÀÁ¢ÐÔ ¼°Ïà ¹ØÐÔ ¡£ 23 . Èô X, Y ¶¼ Ö»ÄÜ È¡Á½ Öµ, ÊÔ ¸ö Ö¤ÈçËüÃÇ Ïà ¹ØÔòËüÃÇ »¥ ²» Ïà ¶ÀÁ¢¡£ 24 . Éè( X, Y ) ÔÚ ÇøÓò D = ( x, y) 0 < x < 1, 0 < y < x ÉÏ ·þ ´Ó ¾ùÔÈ ·Ö²¼ , Çó X Óë Y µÄÏà ¹Øϵ Êý¦Ñ ¡£ XY 25 . Éè X, Y ¶ÀÁ¢ÇÒ ·þ ´ÓÕý̬·Ö²¼ N( ¦Ì , ¦Ò ) , ÒÑ ¦Î = aX + ¶¼ Öª bY ,¦Ç= aX - bY, Çó ¦Î Óë¦ÇµÄÏà ¹Øϵ Êý¡£ 26 . Éè¶þάËæ »ú±äÁ¿( X, Y ) ¾ßÓÐ ÂÊÃÜ ¸Å ¶È f( x , y ) = 1 ( x + y) 8 0 Çó X Óë Y µÄÏà ¹Øϵ Êý¦ÑXY ¡£ 27 . ½«Ò»÷»Á¬ ÐøÅ× n ´Î , X ±í ʾ ÖÀ µãÊý 1 ³ö ÏֵĴΠÊý, Y ±í ʾ µãÊý Y ³ö ÏֵĴΠÊý , Çó X Óë Y µÄÏà ¹Øϵ Êý¡£ 28 . ÒÑ D( X) = 25 , D( Y ) = 36 ,¦Ñ Y = 0 .4 , Çó D( X + Y ) ¼° D Öª X ( X - Y ) ¡£ 29 . Éè X, Y, Z Ϊ Èý¸ö Ëæ»ú ±äÁ¿, ÇÒ Öª E( X ) = 1 , E ( Y ) = ÒÑ 1 , E( Z ) = - 1 , D( X) = D( Y ) = D( Z ) = 1 , ¦Ñ = 0 ,¦ÑXZ = XY 1 , Éè W = X + Y + Z , Çó E( W) , D( W) ¡£ 2 30 . Éè( X, Y ) µÄ¸Å ÂÊÃÜ ¶ÈΪ ¡¤ 1 86 ¡¤ 1 , ¦Ñ = YZ 2 0 < x < 2, Æä Ëü 0 < y < 2
2

f ( x, y) =

Asin( x + y ) 0

0 < x < Æä Ëü

¦Ð , 2

0 < y <

¦Ð 2

Çó(1) ϵ Êý A; (2) ( X , Y) µÄÆÚ ¼°Ð-·½²î ¾Ø Íû Õó¡£ 31 . ÒÑ ÖªÈýάËæ »ú±äÁ¿( X, Y, Z ) µÄÐ-·½²î ÕóΪ 9 1 - 2 ·½²î Õó¡£ 32 . ÀûÓà ÂÊĸ º¯ ÊýÖ¤Ã÷ ËÉ·Ö²¼µÄÔÙ ¸Å ²´ ÉúÐÔ X Óë Y Ïà »¥ ¶À : Á¢ÇÒX¡«¦Ð( ¦Ë ) , Y¡«¦Ð(¦Ë2 ) , Ôò X + Y¡«¦Ð(¦Ë + ¦Ë2 ) ¡£ 1 1 33 . Éè·Ç ¸º ÕûÖµËæ »ú±äÁ¿ X µÄĸ º¯ ÊýΪ g( z) , Çó X + 1 ¼° 2 X µÄĸ º¯ Êý¡£ 34 . Éè{ X n } ÊÇ Ò»ÁÐ ¶ÀÁ¢µÄÕûÖµËæ»ú±äÁ¿ÐòÁÐ, ¾ßÓРͬµÄ¸Å Ïà ÂÊ·Ö²¼ , Áî Y = X1 + X2 + ¡- + XN , Æä ÖÐN ÊÇÈ¡ÕýÕûÊýÖµµÄËæ ±ä »ú Á¿, ËüÓë{ Xn }Ïà »¥¶ÀÁ¢, Óà º¯ ÊýµÄ·½·¨ Ö¤Ã÷ ĸ D( Y) = E( N) D( Xn ) + D( N ) [ E( Xn ) ] 35 . Éè ¦· ( t) Ϊ ʵֵÌØÕ÷ Êý , Ö¤Ã÷ º¯ (1) 1 - ¦· (2 t) ¡Ü4 (1 - ¦· ( t) ) ; (2) 1 + ¦· (2 t) ¡Ý2 [ ¦· ( t) ]
2 ¡£ 2 2 2

1 20 3

- 2 3 12

Áî ¦Î = 2 X + 3 Y + Z ,¦Ç= X - 2 Y + 5 Z , ¦Æ= Y - Z , Çó( ¦Æ ¦Ç, ¦Æ µÄÐ, )

36 . Éè X, Y Ïà »¥¶ÀÁ¢ÇÒX ¡« N ( ¦Ì 1 , ¦Ò ) , Y¡« N( ¦Ì 2 , ¦Ò ) , ÀûÓà 1 2 ÌØÕ÷ ÊýÖ¤Ã÷ X + Y¡« N( ¦Ì 1 + ¦Ì 2 ,¦Ò + ¦Ò ) ¡£ º¯ 1 2
2 2 37 . Éè( X, Y ) ¡« N( ¦Ì 1 , ¦Ì 2 , ¦Ò ,¦Ò ,¦Ñ) , Çó b ʹ µÃ X - bY Óë X + 1 2 2 2

bY Ïà »¥¶ÀÁ¢¡£ 38 . Ò» µÄ¿ÂÎ÷·Ö²¼µÄ¸Å ÂÊ ¶ÈΪ f ( x ) = °ã ÃÜ ÊÔ ËüµÄÌØÕ÷ ÊýΪ e Ö¤ º¯ iut - ¦Ë| t |

1 x ,¦Ë> 0, 2 ¦Ð¦Ë + ( x - ¦Ì )2 ,ÀûÓà һ ¹û Ö¤ ¿ÂÎ÷·Ö²¼µÄÔÙ ¡£ Õâ ½á Ã÷ ÉúÐÔ ¡¤ 1 87 ¡¤

, ÔÚ Ëæ»úÏÖÏó µÄͳ ¼Æ ÂÉ ÖРƵ µÄÎÈ ¶¨ ÐÔ ÒýÈËעĿ¡£ ÓÉ´Ë ¿É½Ò Ëæ ÏÖÏó ±¾ ¹æ ÐÔ , ÂÊ ×î ʾ »ú Éí Ëù¹Ì ÓÐ µÄÄÚ ¹æ ÂÉ ¡£ ¼«ÏÞ ¶¨ ÀíÖÐ ÔÚ ÐÔ µÄ´ó Êý¶¨ ÂÉ ¶ÔƵ µÄÎÈ ¶¨ ÐÔ ÂÊ Õâһͳ ¼Æ ÂÉ ÔÚ ¹æ ÐÔ ¸ÅÂÊ µÄÀíÂÛ ¼Ü ¸ø ÓèÁË ÂÛ ¿ò ÖÐ Ñϸñ µÄÂÛ Êö¡£ ÔÚ ¸Å ÂÊ µÄÀíÂÛ ¾¿ºÍ Ó¦ Óà , ¼«ÏÞ ¶¨ ÀíÕ¼ ·Ç ³£ ÖØ µÄµØλ ¡£ ¶ø ÔÚ ÂÛ ÑÐ ÖÐ ÓÐ Òª ÕâЩ ÀíÖÐ ÖØ ¶¨ ×î ÒªµÄÊÇ ±»³ÆΪ¡° ´ó Êý¶¨ ÂÉ ºÍ¡° ÖÐ ¼«ÏÞ ¶¨ Àí¡± ¡± ÐÄ µÄÄÇ Ð© ½á¹û , ´ó Êý¶¨ ÂÉ ÐðÊöÔÚ Ã´Ìõ ¼þÏ , Ëæ ÊÇ Ê² »ú±äÁ¿ÐòÁÐ µÄǰһЩ Ïî µÄ ËãÊõƽ ÔÚ ÖÖ ¾ù( ij ÊÕÁ²ÒâÒåÏÂ) ÊÕÁ² ÓÚ ÕâЩ µÄ¾ùÖµµÄËãÊõƽ Ïî ¾ù¡£ ÖÐ ¼«ÏÞ ¶¨ ÀíÔòÊÇ ¶¨ ÔÚ Ã´Ìõ ¼þÏ , ´ó Á¿Ëæ ±äÁ¿Ö® µÄ ÐÄ È· ʲ »ú ºÍ ·Ö²¼º¯ ÊýÊÕ Á²ÓÚ Õý̬ ·Ö²¼º¯ Êý¡£

¡ì

5 .1

´ó Êý¶¨ ÂÉ

Ò» ¡¢ÎÊÌâ µÄ ³öÓë Á²¸ÅÄî Ìá ÊÕ Ëæ ÏÖ Í³ ¼Æ ÐÔ » Ð Ú »ú ÏóµÄ ¹æÂÉ Ö Ó Ô ÏàͬÌõ¼þ ÐÐ ÖØ ÊÔ Ï ½ø ´óÁ¿ ¸´ Ñé »ò ²ì ²Å ÏÔ ³öÀ´, ÀýÈçÈËÃÇ ³¤ ÆÚ ¹Û ÄÜ ÏÖ ÔÚ Êµ¼ùÖÐ ÏÖ , ËäÈ»¸ö ±ðÊ ·¢ ¼þ
ÔÚ Ä³´Î ÊÔ ÑéÖÐ ¿ÉÄÜ ÏÖÒà¿ÉÄÜ ³ö ÏÖ , µ« ÔÚ Á¿ÖØ ÊÔ ³ö ²» ´ó ¸´ ÑéÖÐ ³Ê È´ ÏÖ³ö Ã÷ ÏԵĹæ ÂÉ , ¼´Ò»¸ö Ëæ ʼþ·¢ ÉúµÄƵ ÐÔ »ú ÂʾßÓÐ ÎÈ ¶¨ ÐÔ ¡£ ¡° ¡± ¶ÔÓÚ ÕâÒ»µã ÖÁ ½ñΪ Ö¹ ÎÒÃÇ Ã»ÓÐ ÓèÀí ÂÛ µÄ˵Ã÷, Õâ¾Í¸ø ÎÒÃÇ ¸ø ÉÏ Ìá ³ö ÁË ÈçÏÂÒ»¸ö ÎÊ Ìâ : ÔÚ ÖØ Å¬ ¶à ±´ ÀïÊÔ ÑéÖÐ ÈôijÊ A ÔÚ , ¼þ ÿ´Î ÊÔ ÑéÖÐ ÉúµÄ¸Å ÂÊ ·¢ ¾ùΪ p (0 < p < 1) , ÒÔ Xi ¡¤ 1 88
¡¤ ±í ʾ µÚ

i ´Î ÊÔ ÑéÖÐA ³ö ÏֵĴΠÊý , ÒÔ nA

n ´Î ÊÔ ÑéÖÐA ³ö ÏֵĴΠÊý , Ôò nA = X1 + X2 + ¡- + Xn , p{ Xi = 1} = p, P{ Xi = 0} = 1 - p, i = 1 , 2 , ¡- , n¡£ ÏÖÔÚ µ± n¡ú ¡ÞʱÄÜ ÎÊ nA ·ñ ´ÓÊýѧÉÏ Ñϸñ Ö¤Ã÷ A ·¢ ÉúµÄƵ ÂÊ ÊÕ ÓÚp ? ¼´µ± n ¡ú ¡Þʱ, Á² n nA ¡ú p ? n nA 1 1 ÒòΪ E( Xi ) = p, ¡Æ E( Xi ) = p, = X , ÉÏ ÊöÎÊ Ìâ n i= 1 n n ¡Æ i i=1 ¿É¸ÄÊöΪ : µ± n¡ú ¡Þʱ 1 Xi n ¡Æ i=1 n ¡ú n n

1 E( Xi ) n ¡Æ i= 1

n

¶ÔÓÚ ÊöÎÊ Ìâ ÎÒÃÇ ÉÏ Ê×ÏÈ µÃÃ÷ ÊÇ ÖÖ È· ºÎ ÒâÒåϵÄÊÕÁ² , Ϊ ´Ë ÎÒ ÃÇ ½éÉÜ ÏÈ ¼¸ÖÖ Á²ÐÔ ÊÕ µÄ¸ÅÄî¡£ ¶¨ Òå5 . . 11 Ëæ »ú±äÁ¿, ( a ) Èç¹û ¶ÔÓÚ ÒâÕýÊý ¦Å, ÓÐ ÈÎ n¡ú ¡Þ

Éè X ¼° X1 , X2 , ¡- ¾ùΪ ¸ÅÂÊ ¿Õ¼ä( ¦¸ , F , P) ÉÏ µÄ

lim P{ | Xn - X | ¡Ý¦Å = 0 }
P

(5 .1 .1 )

Ôò³Æ{ Xn }ÒÀ ¸ÅÂÊ Á²ÓÚX, ¼Ç Xn ¡ú X »ò Xn ¡ú X( P) , ÒÀ ÊÕ Îª ¸ÅÂÊ Á² ÊÕ ÒâÒåÊÇ: µ± n ¡ú ¡Þ ʱ, Xn (5 .1 .1 ) ʽ ÓëÏÂʽ µÈ¼Û n¡ú ¡Þ Óë

X ÓÐ ½Ï´ó Æ« µÄ¸Å ÂÊÇ÷ÓÚ ²î Áã¡£ ÏÔÈ» (5 .1 .2 )

lim P{ | Xn - X | < ¦Å = 1 }

( b) Èç¹û P{ nlim Xn = X} = 1 ¡ú ¡Þ a .e a .s

(5 .1 .3 )

Ôò ³Æ{ Xn }ÒÔ ¸ÅÂÊ1 ÊÕ ÓÚ X , »ò˵{ Xn } ¼¸ºõ ´¦ ´¦ ÊÕ ÓÚ X , ¼Ç Á² Á² Ϊ Xn ¡ú X »ò Xn ¡ú X¡£ Æä ÒâÒåÊÇ: ¦¸ ÖРȥһ¸ö ¸ÅÂÊ ÁãµÄ×Ó¼¯Íâ , ¶Ô ³ý Ϊ Æä Ëûÿ¸ö Ñù±¾ ¦Ø¡Ê ¦¸ , ¶¼ÓÐ µã n ¡ú ¡Þ

lim Xn ( ¦Ø) = X( ¦Ø) ¡¤ 1 89 ¡¤

( c ) Éè F( x) , F1 ( x ) , F2 ( x ) , ¡- ·Ö ±ðΪ X, X1 , X2 , ¡- µÄ·Ö²¼º¯ Êý, Èç¹û ¶Ô F( x) µÄÈÎ Ò»Á¬ Ðøµã x , ÓÐ n ¡ú ¡Þ

lim Fn ( x ) = F( x )
W

(5 .1 .4 )
W

Ôò³Æ{ Xn }ÒÀ ·Ö²¼ÊÕ Á²ÓÚ X, ¼Ç Xn ¡ú X »ò Xn ¡ú X( W) »ò Fn ( x ) ¡ú Ϊ F( x ) ¡£ ( d) Éè r > 0 ÊÇ ÊýÇÒ E | Xn | < ¡Þ , n = 1 , 2 , ¡- , E | X | < ¡Þ , ³£ Èç¹û lim E | Xn - X | ¡² n ¡ú ¡Þ
Lr r ¡³ r r

=0

(5 .1 .5 )

Ôò³Æ{ Xn } r ½× ÊÕÁ² ÓÚX , ¼Ç Ϊ Á² , 2 ½× Á²Îª ¾ù·½ÊÕ ÊÕ Á²¡£

Xn

¡ú

X¡£ Ò»°ã ³Æ 1 ½× ÊÕÁ² Ϊ ƽ ¾ùÊÕ

²» ͬ µÄÊÕ Á²ÒâÒåÓРͬ ÀàÐ͵ļ«ÏÞ ¶¨ Àí , ³£ Óà ²» µÄÓÐ ÈçÏÂÈýÖÖ ÀàÐ͵ļ«ÏÞ ¶¨ Àí¡£ ¶¨ Òå5 . . 12 Ëæ »ú±äÁ¿ÐòÁÐ , 1 ( a ) Éè E( Xi ) , i = 1 , 2 , ¡- ´æ ÔÚ ¼Ç Yn = , ¡² Xi E( Xi )¡³ , n ¡Æ i= 1 n = 1 , 2 , ¡- , Èô Yn n ¡ú ¡Þ ÒÀ ¸Å ÂÊ ÊÕ Á² ÓÚ Áã n

Éè X1 , X2 , ¡- , Xn , ¡- Ϊ ¸ÅÂÊ¿Õ¼ä( ¦¸ , F, P ) ÉÏ µÄ

, ¼´¶ÔÓÚ ÒâµÄ¦Å> 0 , ÓÐ ÈÎ (5 . .6) 1

lim P{ Yn

¡Ý

1 n ¦Å } = lim P { | ¡Æ Xi - E( Xi )¡³ | ¡Ý¦Å = 0 ¡² } n ¡ú ¡Þ n i=1

Ôò³Æ{ Xn } ·þ ´ÓÈõ´ó Êý¶¨ ÂÉ, »òÕß˵{ Xn }·þ ´Ó´ó Êý¶¨ ÂÉ Èõ´ó Êý¶¨ ¡£ ÂÉ Ò²½Ð Êý¶¨ ÂÉ ´ó ¡£ 1 ( b) Éè E( Xi ) , i = 1 , 2 , ¡- ´æÔÚ ¼Ç Yn = , n ¡Æ i=1 n = 1 , 2 , ¡- , Èô Yn
¼¸ ºõ ´¦ ´¦ ÊÕ Á² ÓÚ Áã n n ¡²

Xi - E( Xi )¡³ ,

, ¼´
¡²

1 P{ nlim Yn = 0} = P{ n¡ú ¡Þ lim ¡ú ¡Þ n ¡Æ i=1 Ôò³Æ{ Xn }·þ ´ÓÇ¿´ó Êý¶¨ ÂÉ ¡£

Xi - E( Xi )¡³ = 0} (5 .1 .7 )

¡¤ 1 90 ¡¤

( c ) Éè E ( Xi ) , D ( Xi ) , i = 1 , 2 , ¡- ¶¼´æ ÔÚ ¼Ç Yn = , n ¡Æ1 ¡² Xi - E( Xi )¡³ i= n , n = 1 , 2 , ¡- , Èô Yn

ÒÀ ·Ö

²¼

ÊÕ Á²

ÓÚ ±ê

×¼ Õý

̬

·Ö

¡Æ D( Xi ) i=1
²¼ µÄ Ëæ »ú ±ä Á¿

, ¼´¶ÔÈÎ ÒâʵÊý x, ÓÐ n n ¡ú ¡Þ

lim P{ Yn ¡Ü x} = nlim P{ ¡ú ¡Þ

¡Æ1 ¡² Xi - E( Xi )¡³ i= n ¡Ü x}

¡Æ D( Xi ) i=1 = 1 ¡Ò 2¦Ð x e
- ¡Þ

-

2 t 2

dt

(5 .1 .8 )

Ôò³Æ{ Xn }·þ ´ÓÖÐ ¼«ÏÞ ¶¨ Àí¡£ ÐÄ ¶þ ¡¢ ´ó Êý ¶¨ ÂÉ Ëæ »ú±äÁ¿ÐòÁÐ X1 , X2 , ¡- , Xn , ¡- ¾ßÓÐ µÄÐÔ ²» ͬ , ´ó Êý¶¨ ÂÉ ÖÊ ÓÐ ÖÖ Í¬ µÄÐÎʽ ÏÂÃæ ¸÷ ²» , ½éÉÜ ¼¸¸ö »ù±¾ µÄ´ó Êý¶¨ ÂÉ ¡£ ¶¨ Àí 5 . . 1 1 ( Âí¶û ¿É·ò ´ó Êý¶¨ ÂÉ Éè X1 , X2 , ¡- , Xn , ¡- Ϊ Ò» ) 1 i = 1 , 2 , ¡- ´æ ÔÚ ÇÒ 2 D ( ¡Æ Xi ) ¡ú 0 n i=1 n n n

Ëæ »ú±äÁ¿ÐòÁÐ D ( Xi ) ,

( n ¡ú ¡Þ ) , Ôò{ Xn } ·þ ´Ó´ó Êý¶¨ ÂÉ ¡£ 1 1 Ö¤ Ã÷ ¼Ç Xn = ÈÎ ¡Æ Xi , Ôò E ( Xn ) = n ¡Æ E ( Xi ) , ¶ÔÓÚ n i=1 i=1 ÒâµÄ¦Å> 0 , ÓÉ ±ÈÑ© ²» µÈʽ ÓÐ ÇÐ ·ò , 1 P{ n ¡Æ i=1 n ¡²

Xi - E( Xi )¡³ ¡Ý¦Å} = P{ Xn - E( Xn ) ¡Ý¦Å } n D( Xn ) ¡Ü = 2 ¦Å

D( ¡Æ Xi ) n i=1 2 2 ¦Å ¡ú

0

( n ¡ú ¡Þ ) ¡¤ 1 91 ¡¤

5 .1 .1 µÃÖ¤¡£ 1 ³Æ 2 D ( ¡Æ Xi ) ¡ú 0 ( n¡ú ¡Þ ) Ϊ Âí¶û ¿É·ò Ìõ ¼þ, ¶¨ Àí 5 .1 .1 Ö¸ n i=1 ³ö , µ±Ëæ »ú±äÁ¿ÐòÁÐ Xn } Âú×ã Âí ¶û ¿É·ò Ìõ ¼þʱ, n ¸ö Ëæ»ú±äÁ¿µÄ { 1 ËãÊõƽ ¾ù ¡Æ Xi , µ± n ³ä ·Ö ´ó ʱ, ÒÔ ½üÓÚ1 µÄ¸ÅÂÊÓëÆäÆÚ ½Ó Íû n i=1 1 µÄËãÊõƽ ¾ùÖµ ¡Æ E( Xi ) ³ä ·Ö½Ó ½ü¡£ n i= 1 ÓÉ ÕâÒ»¶¨ Àí¿ÉµÃµ½Ò»Ð© ÌØÊâµÄÓРȤ½á¹û ¡£ ¶¨ Àí 5 . . 1 2 ( ÇÐ ±ÈÑ© ´ó Êý¶¨ ÂÉ Éè X1 , X2 , ¡- , Xn , ¡- Ϊ Á½ ·ò ) Á½ Ïà ¹ØµÄËæ ²» »ú±äÁ¿ÐòÁÐ D ( Xi ) ´æÔÚ D ( Xi ) ¡Ü C, i = 1 , 2 , ¡, ÇÒ Ôò{ Xn }·þ ´Ó´ó Êý¶¨ ÂÉ ¡£ Ö¤Ã÷ ÓÉ ÓÚX1 , X2 , ¡- , Xn , ¡- Á½ ²» Ïà ¹Ø , ´Ó¶ø Á½ 1 1 2 D( ¡Æ Xi ) = 2 n n i=1 n n ¡Æ i=1 n n n

D( Xi ) ¡Ü

C ¡ú 0 n

( n¡ú ¡Þ )

¼´{ Xn }Âú×ãÂí¶û ¿É·ò Ìõ ¼þ, ´Ó¶ø { Xn }·þ ´Ó´ó Êý¶¨ ÂÉ ¡£ ÌرðµØ, µ±Ëæ »ú±äÁ¿ÐòÁÐ Xn } Ïà »¥ ¶ÀÁ¢ÇÒ { ¾ßÓРͬ µÄÓÐ ÆÚ Ïà ÏÞ Íû ºÍ ·½²î ʱ, ¼Ç E( Xi ) = ¦Ì , D( Xi ) = ¦Ò , i = 1 , 2 , ¡- , Ôò¶ÔÓÚ ÒâµÄ ÈÎ ¦Å> 0 , ÓÐ n 2

lim P{ 1 ¡Æ Xi - ¦Ì ¡Ý¦Å} = 0 n ¡ú ¡Þ n i=1 »ò n lim P{ 1 ¡Æ - ¦Ì n¡ú ¡Þ n i= 1 n < ¦Å = 1 }

ÉÏ Ê½Ëµ Ã÷, ÔÚÉÏ Êö Ìõ ¼þÏ , n ¸ö Ëæ»ú ±ä Á¿ µÄ Ëã Êõ ƽ ¾ù 1 Xi , µ± n ÎÞ ÏÞ Ôö´ó ʱ, ÒÀ ¸ÅÂÊÊÕ ÓÚ Á² ËüÃÇ µÄÆÚ ¦Ì ( ³£ Êý) , Íû n ¡Æ i= 1 ͨ Ë׵ؽ² , ÔÚ ÊöÌõ ¼þÏ , n ¸ö Ëæ ±äÁ¿µÄËãÊõƽ µ± n ÎÞ ÏÞ Ôö ÉÏ »ú ¾ù, ¡¤ 1 92 ¡¤

, ½«¼¸ºõ ±ä ³É Ò»³£ Êý, Õâ¶ÔËãÊõƽ ¾ùµÄÎÈ ¶¨ ÐÔ ÓèÁËÈ· ÇÐ ¸ø µÄ ½âÊÍ ¡£ ¶¨ Àí 5 . . 13 ( ±´ ŬÀï´ó Êý¶¨ ÂÉ) ÒÔ nA
±í ʾ

n ÖØ Å¬ ÊÔÑé ±´ Àï

ÖРʼþA ³ö ÏֵĴΠÊý , Éèÿ´Î ÊÔ ÑéÖÐ ¼þ A ³ö ÏֵĸŠÂÊΪ p(0 < p Ê < 1) , Ôò¶ÔÈÎ ÒâµÄ¦Å> 0 ÓÐ lim P{ n ¡ú ¡Þ »ò lim P{ n ¡ú ¡Þ Ö¤Ã÷ Éè Xi
±í ʾ µÚ

nA - p ¡Ý¦Å} = 0 n nA } - p < ¦Å = 1 n

i ´Î ÊÔ ÑéÖРʼþ A ³ö ÏֵĴΠÊý , i = 1 , 2 ,
»¥ ¶À Á¢ ÇÒ ¾ù ·þ ´Ó ²Î Êý Ϊ

¡- , n , Ôò X1 , X2 , ¡- , Xn ²¼ , ¹Ê ÓÐ E( Xi ) = p, n Ïà

p µÄ( 0 - 1 ) ·Ö

D( Xi ) = p(1 - p)

i = 1 , 2 , ¡- , n

ÇÒ nA = ¡Æ Xi , ÓÉ ±ÈÑ© ´ó Êý¶¨ ÂÉ , ¶ÔÓÚ ÒâµÄ¦Å> 0 , ÓÐ ÇÐ ·ò Öª ÈÎ i=1 nA 1 lim P{ - p ¡Ý¦Å} = nlim P{ n ¡Æ Xi - p ¡Ý¦Å} = 0 n ¡ú ¡Þ ¡ú ¡Þ n i=1 ±´ Ŭ Àï´ó Êý¶¨ Âɱí Ã÷ʼþ·¢ ÉúµÄƵ ÂÊ nA ÒÀ¸Å ÂÊÊÕÁ² ÓÚ Ê¼þ n n µÄ¸Å ÂÊp, Õâ¸ö ¶¨ Àí ÒÔ Ñϸñ µÄÊýѧÐÎʽ ´ï ÁËƵ ±í ÂʵÄÎÈ ¶¨ ÐÔ Õâ ¡£ Ò²»Ø´ð ÁË ½Ú ʼ ±¾ ¿ª ʱÌá ³ö µÄÎÊ Ìâ ¡£ ´ÓÉÏ Êö¸÷ ´ó Êý¶¨ ÂÉ µÄÄÚ ÖÐ ÈÝ ¶ÁÕß¿ÉÒÔ µ½, ¶ÔËæ»ú±ä Á¿ÐòÁÐ ¿´ { Xn }µÄ·Ö²¼¡¢ ¶ÀÁ¢ÐÔ ÆÚ ¡¢ ²î µÄ×´ ¿ö ÔÚ ÖÖ ¼þ×é ºÏ Ï , ¿Éµ¼ ¡¢ Íû ·½ ¸÷ Ìõ ³ö ¸÷ ʽ ÑùµÄ´ó Êý¶¨ ÂÉ, ÏÂÃæ Ò»¸ö ¶ÀÁ¢Í¬ ·Ö ²¼Ìõ ¼þϵĴó Êý¶¨ ¸÷ ÊÇ ÂÉ, Æä Ö¤Ã÷ ·½·¨ ³¬ ³ö ±¾ Êé·¶ Χ , ¹Ê ½öÐðÊöÈçÏ ¶¨ Àí 5 . . 1 4 ( ÐÁ ´ó Êý¶¨ ÂÉ) Éè X1 , X2 , ¡- , Xn , ¡- ÊǶÀÁ¢Í¬ ÇÕ ·Ö²¼µÄËæ»ú ±ä Á¿ÐòÁÐ ÈôÆÚ E ( Xi ) = ¦Ì ( i = 1 , 2 , ¡- ) ´æ ÔÚ Ôò , Íû , ¡¤ 1 93 ¡¤

{ Xn }·þ ´Ó´ó Êý¶¨ ÂÉ ¡£ ÈËÃÇ »ýÀÛ µÄ´ó Á¿¾-Ñé¸æËßÎÒÃÇ ¾ßÓÐ ½Ó , ºÜ ½üÓÚ1 µÄ¸ÅÂÊ µÄÊ ¼þ Ò»´Î ÊÔ ÔÚ ÑéÖÐ ¼¸ºõ Ò»¶¨ Òª·¢ Éú; ͬ Ñù¸ÅÂÊ Ð¡µÄʼþÔÚ ºÜ Ò»´Î ÊÔ ÑéÖÐ ¿ÉÒÔ ×÷ÊÇ ¿´ ʵ¼Ê ¿ÉÄÜ ¼þ¡£ Òò´Ë ÔÚ ²» Ê ʵ¼Ê ×÷¼°Ò»°ã ÀíÂÛ ¹¤ ÎÊ Ìâ ÖÐ ¸ÅÂÊ ½üÓÚ1 »ò 0 µÄÊ , ½Ó ¼þ¾ßÓÐ ´ó ÒâÒå, ¸ÅÂÊ µÄ»ù±¾ Ìâ ÖØ ÂÛ ÎÊ Ö® Ò»¾ÍÊÇ Òª½¨Á¢¸ÅÂÊ½Ó ½üÓÚ1 »ò 0 µÄ¹æ ÂÉ; ´ó Êý¶¨ ÂɾÍÊÇÕâÖÖ ¸Å ÂÊ ÃüÌâ ÖÐ ÖØ ÂÛ ×î ÒªµÄÒ»¸ö ¡£ ÒÔ ¸÷ ´ó Êý¶¨ ÂÉ ÉÏ ¶¼ÓÐ ÇÐ È· µÄÊýѧ±í Êö, ²¢ ÄÜ ¸ÅÂÊ µÄÀí ÂÛ ÔÚ ÂÛ ¿ò¼Ü ¸ø ÓèÑϸñ µÄÖ¤Ã÷, Òò¶ø ³ÆÖ® ¶¨ Àí¡± ÒÉ ÄÚ ¡° ÎÞ ÊÇÇ¡µ±µÄ¡£ ¶ø ¹Å ÈË Óà ¶¨ ÂÉ À´³Æºô ÕâÀàÃüÌâ , ¿É¼ûÆäÖØ ¡° ¡± ÊÓ³Ì ¶È, Ò²ÓÐ ÕÜ Ð© ÀíµÄζ µÀ, µ±ÎÒÃÇ ·º µØ̸ ÂÛ Æ½ ·º ¡° ¾ùÖµµÄÎÈ ¶¨ ÐÔ Æµ µÄÎÈ ¶¨ ÐÔ Ê±, Õâ±í Êö ¡± ÂÊ ¡° ¡± ÁË Ò»ÖÖ È«ÈËÀà¶à ÄêµÄ¼¯Ìå ¾-Ñé, ÇÒ ÕâÖÖ ¾-ÑéÒ² Ô¶ÔçÓÚ ÏÖ´ú ¸ÅÂÊÂÛ ¸ø Ö® Ñϸñ ±í ÊöÖ® ÒÔ Ç°¡£ Àý5 . 1 ²¼Îª P{ Xi = ( - 1 ) k - 1

Éè{ Xn } Ϊ ¶ÀÁ¢Í¬ ·Ö ²¼Ëæ»ú ±ä Á¿ÐòÁÐ Æ乫 ¹² µÄ·Ö , 6 2 ¦Ð k
2

k} =

k = 1 , 2 , ¡-

ÊÔ { Xn }ÊÇ ·þ ´Ó´ó Êý¶¨ ÂÉ ÎÊ ·ñ ¡£ ½â ÓÉ ÓÚ ¡Þ k - 1 k ¡Æ ( - 1 ) k= 1

¡Þ 6 6 2 2 = ¡Æ1 ¦Ð2 k ¦Ð k k=

²» ÊÕ Á²

¹Ê Xi

µÄ

ÆÚ Íû

²»

´æ

ÔÚ

, ´Ó¶ø{ Xn }²» ·þ ´Ó´ó Êý¶¨ ÂÉ, ÒòΪ ÆÚ ´æÔÚ Íû ÊÇ

·þ ´Ó´ó Êý¶¨ ÂÉ µÄ±Ø ÒªÌõ ¼þ¡£ Àý5 . 2 »ú±äÁ¿ Xk Éè Xn } Ϊ Ëæ»ú±ä Á¿ÐòÁÐ Æä·½²î Ò»Ö ½ç¼´´æÔÚ { , ÓÐ Õý Xk + 1 , ¶ø µ± | i - j | ¡Ý2 ʱ, Xi Xj , ÊÔÎÊ Êý C ʹ µÃ D( Xi ) ¡Ü C , i = 1 , 2 , ¡- , ÇÒ ¶Ôÿ¸ö ×ÔÈ»Êý k, Ïà ÁÚ ¸ö Ëæ Á½
Óë Ïà ¹Ø Óë ²» Ïà ¹Ø

´Ë Ëæ »ú±äÁ¿ÐòÁÐ Xn }ÊÇ ·þ ´Ó´ó Êý¶¨ ÂÉ { ·ñ ¡£ ½â ÓÉ ÓÚD( Xi ) ¡Ü C , i = 1 , 2, ¡- , ¹Ê ¡¤ 1 94 ¡¤

Cov( Xk , Xk + 1 ) ¡Ü ÓÉ Éè¿ÉµÃ Ìâ n n

D( Xk ) D( Xk + 1

¡Ü

C

k = 1 , 2 , ¡-

D( ¡Æ Xi ) = ¡Æ D( Xi ) + 2 ¡Æ Cov( Xi , Xj ) i= 1 i=1 1 ¡Ü i < j¡Ü n n n-1

= ¡Æ D( Xi ) + 2 ¡Æ Cov( Xi , Xi + 1 ) i= 1 i=1 ¡Ü nC + 2( n - 1) C = (3 n - 2) C ¹Ê 1 3n - 2 Xi ) ¡Ü 2 C¡ú 0 2 D( ¡Æ1 n n i= n ( n¡ú ¡Þ )

¼´{ Xn }Âú×ãÂí¶û ¿É·ò Ìõ ¼þ, ËùÒÔ Xn }·þ ´Ó´ó Êý¶¨ ÂÉ {

¡ì

5 .2

ÖÐ ¼«ÏÞ ¶¨ Àí ÐÄ n ÔÚÏÒ» Ú Ð ÃÇ É ½ Ö ÎÒ ¸ø³öÁË º¯ Êý { F ·Ö²¼ ÁÐ

( x )} ÊÕ Á²ÓÚ ·Ö²¼º¯ Êý

F( x ) µÄÒÀ ·Ö²¼ÊÕ Á²µÄ¸ÅÄî , ÔÚ »ù´¡ ÉÏ ÎÒÃÇ ³ö ÁË ÐÄ ´Ë ¸ø ÖÐ ¼«ÏÞ ¶¨ Àí µÄ¸ÅÄî , ÖÐ ¼«ÏÞ ¶¨ ÀíÊÇ ÐÄ ¸ÅÂÊ ÖÐ ÖøÃûµÄ½á¹û Ö® ÖÐ ¼«ÏÞ ¶¨ ÂÛ ×î Ò», ÐÄ ÀíÖ¸³ö , ´ó Á¿Ïà »¥¶ÀÁ¢Ëæ »ú±äÁ¿Ö® ( ÔÚ ºÍ ÿ¸ö Ëæ »ú±äÁ¿¶Ô×Ü µÄÓ° ºÍ Ïì ¶¼ºÜСµÄÌõ ¼þÏÂ) ½üËÆ ´ÓÕý̬ ·Ö²¼ , Òò´Ë Ëü²» ½öΪ ¼Æ ·þ ËãÏà »¥¶À Á¢ »ú±äÁ¿Ö® µÄ½üËÆ Ëæ ºÍ ¸ÅÂÊ ¹©ÁË Ìá ¼òµ¥·½ ·¨ , Ò²½âÊÍ ÁË Ê² ôÔÚ Îª Ðí¶à Ëæ »úÏÖÏó ÖÐ µÄËæ»ú±ä Á¿¶¼½üËÆ ´ÓÕý̬ ·Ö²¼ , ͬ ʱ»¹ Ϊ ¸ÅÂÊ ·þ ÂÛ µÄÐí¶à Ó¦ Óà ¶¨ ÁË µì ÀíÂÛ »ù´¡ ¡£ ¶¨ Àí 5 . . 21
2

( ¶ÀÁ¢Í¬ ·Ö²¼µÄÖÐ ¼«ÏÞ ¶¨ Àí ) ÉèËæ ÐÄ »ú±ä Á¿ÐòÁÐ

{ Xn } , n = 1 , 2 , ¡- ¶ÀÁ¢Í¬ ·Ö²¼ , ÇÒ ¾ßÓÐ ÏÞ µÄÆÚ ºÍ ·½²î , E( Xi ) = ÓÐ Íû ¦Ì , D( Xi ) = ¦Ò ¡Ù 0 , i = 1 , 2 , ¡- , ÔòËæ »ú±äÁ¿ n Yn =

¦Ì ¡Æ Xi - n i=1 n¦Ò ¡¤ 1 95 ¡¤

Fn ( x) , ¶ÔÓÚ ÒâµÄʵÊý x, ÓÐ ÈÎ n n¡ú ¡Þ

lim Fn ( x) = nlim P{ ¡ú ¡Þ

¡Æ Xi - n¦Ì i=1 n ¦Ò x 2 t 2

¡Üx} (5 . .1) 2

1 = ¡Ò 2¦Ð Ò²¼´{ Xn }·þ ´ÓÖÐ ¼«ÏÞ ¶¨ Àí¡£ ÐÄ
2

e
- ¡Þ

-

dt

Ö¤ Ã÷ Éè ¦· ( t) Ϊ Xi - ¦Ì µÄÌØÕ÷ Êý, i = 1 , 2 , ¡- , ¿¼ÂÇ E º¯ µ½ ( Xi - ¦Ì ) = 0 , E( Xi - ¦Ì ) = D ( Xi ) = ¦Ò , ¿ÉµÃ ¦· ( t ) ÔÚ t = 0 ´¦ Õ¹ ¿ª Ϊ
2 1 2 2 ¦Ò t + 0( t ) 2 Xi - ¦Ì t ÓÉ ÌØÕ÷ ÊýµÄÐÔ Öª , º¯ ÖÊ µÄÌØÕ÷ ÊýΪ ¦· ( º¯ ) , ¼´ÓÐ n¦Ò n¦Ò 2 2 t t t ¦· ( ) =1 + o( ) 2n n n ¦Ò 2

¦· ( t ) = 1 -

n

Èô

¡Æ Xi - n¦Ì i=1 n¦Ò

n

= ¡Æ i=1

Xi - ¦Ì n¦Ò

µÄÌØÕ÷ ÊýΪ ¦· n ( t ) , ÔòÓÉ º¯ ¶ÀÁ¢ÐÔ Öª
2 2 2 t 2

t n t t n ¦· n ( t) = [ ¦· ( )] = [1 + o( ) ] ¡ú e 2n n n ¦Ò ¶ø e n 2 t 2 Õý ÊÇ ±ê ×¼ Õý ̬ ·Ö ²¼ µÄ ÌØ Õ÷ º¯ Êý

( n¡ú¡Þ)

, ÓÉ ÌØÕ÷ ÊýµÄÐÔ Öª Yn = º¯ ÖÊ

¡Æ1 Xi - n¦Ì i=

µÄ·Ö²¼º¯ Êý Fn ( x ) ÊÕÁ² ÓÚ ±ê×¼Õý̬ ·Ö ²¼µÄ·Ö ²¼º¯ Êý n ¦Ò ¦µ ( x) , ¼´¶ÔÓÚ ÒâʵÊý x, ÓÐ ÈÎ n n ¡ú ¡Þ

lim Fn ( x ) = P{

¡Æ1 Xi - n¦Ì i= n ¦Ò

¡Ü x} =

1 ¡Ò 2¦Ð

x

e
- ¡Þ

-

2 t 2

dt

¡¤ 1 96 ¡¤

( 0 - 1) ·Ö ²¼ , ¾Í¿ÉµÃµ½ÖÐ ¼«ÏÞ ÐÄ ¶¨ ÀíÖÐ ¼òµ¥Ò² ÊÇ×î ³£ Óà ×î µÄÒ»ÖÖ ÐÎʽ Õâ¾ÍÊÇÁ¥Äª ·ð - À-ÆÕ , À-˹ ( De Moivre- Laplace ) ÖÐ ¼«ÏÞ ¶¨ Àí¡£ ÐÄ ¶¨ Àí 5 . . 2 2 ( Á¥Äª ·ð - À-ÆÕ À-˹ ÖÐ ¼«ÏÞ ¶¨ Àí ) ÉèËæ ±ä Á¿ ÐÄ »ú ¦Ç ( n = 1 , 2 , ¡- ) ·þ ´Ó²Î ÊýΪ n , p µÄ¶þÏî ·Ö²¼ , Ôò¶ÔÓÚ Òâ x, ÓÐ ÈÎ n n ¡ú ¡Þ

lim P{

¦Ç - np n npq

¡Ü x} =
¿É ¿´ ³É

1 2 ¡Ò ¦Ð

x

e
- ¡Þ

-

2 t 2

dt

( q = 1 - p)

(5 .2 .2 )

Ö¤ Ã÷ ¦Çn

n ¸ö Ïà »¥ ¶ÀÁ¢ÇÒ ´Óͬ Ò»(0 - 1 ) ·Ö²¼µÄÖî ·þ
Ö® ºÍ

Ëæ »ú±äÁ¿ X1 , X2 , ¡- , Xn

, ¼´ÓÐ n ¦Ç = ¡Æ Xi n i=1
¶ø

E( Xi ) = p , D ( Xi ) = pq, i = 1 , 2 , ¡- , ÓÉ Àí 5 .2 .1 µÃ ¶¨ lim P{ ¦Ç - np n npq ¡Ü x} = 1 ¡Ò 2¦Ð x n ¡ú ¡Þ

e
- ¡Þ

-

2 t 2

dt

Õâ Ò»¶¨ Àí ±í Ã÷, Õý̬ ·Ö ²¼ÊǶþ Ïî ·Ö ²¼µÄ¼«ÏÞ ·Ö ²¼ , µ± n ³ä ·Ö ´ó ʱ ÎÒÃÇ ¿ÉÒÔ ÀûÓà .2 .2 ) ʽ (5 À´¼Æ Ëã¶þ Ïî ·Ö²¼µÄ¸ÅÂÊ, ÏÂÃæ ¼¸¸ö ¾Ù ¹ØÓÚ ÐÄ ÖÐ ¼«ÏÞ ¶¨ ÀíÓ¦ Óà µÄÀý×Ó ¡£ Àý5 . 3 Ò»¼Ó Æ÷¬Ê±ÊÕ 20 ¸ö ÔëÉùµç ѹ Vk ( k = 1 , 2 , ¡- , ·¨ Í µ½
20

20) , ÉèËüÃÇ Ïà »¥¶ÀÁ¢µÄËæ ±äÁ¿, ÇÒ ÊÇ »ú ¶¼ÔÚ Çø¼ä(0 , 10 ) ÉÏ ·þ ´Ó¾ù ÔÈ ·Ö²¼ , ¼Ç V = ¡Æ Vk , Çó P{ V > 105}µÄ½üËÆ Öµ¡£ k=1 ½â Ò× E( Vk ) = 5 , D( Vk ) = 100 Öª ¡/12 ( k = 1 , 2 , ¡- , 20 ) ¡£ Óɶ¨ Àí 5 .2 .1 , Ëæ »ú±äÁ¿
20

Z=

¡Æ1 Vk - 20 ¡Á 5 k= 20 100 ¡/12

=

V - 100 20 100 ¡/12 ¡¤ 1 97 ¡¤

½üËÆ µØ·þ ´Ó±ê×¼ Õý̬ ·Ö²¼ N(0 , 1) , ÓÚ ÊÇ

P{ V > 105} = P{ = P{

V - 100 > 20 100 ¡/12

105 - 100 } 20 100 ¡/12

V - 100 > 0 .387} 20 100 ¡/12 V - 100 ¡Ü0 .387} 20 100 ¡/12

= 1 - P{

¡Ö1 - ¦µ (0 .387) = 0 .348 Àý5 . 4 ij±£ÏÕ¹« ˾ 10 000 ¸ö ͬ ÁäÓÖ ½× µÄÈ˲Π¼Ó ÓРͬ ²ã ÈËÊÙ ±£ÏÕ¡£ ÒÑ Öª¸ÃÀàÈËÔÚ Ò»ÄêÄÚ ËÀÍö µÄ¸ÅÂÊΪ 0 .006, ÿ¸ö ²Î ¼Ó ±£ÏÕ µÄÈËÔÚ Äê³õ ¸¶ 12 Ôª ±£ÏÕ·Ñ , ¶ø ÔÚ Íö ʱ¼Ò ËÀ Êô¿ÉÏò ¹« ˾ µÃ1 000 Áì Ôª¡£ ÎÊ ÔÚ Ïî ÒµÎñ »î ¶¯ ÖÐ ´Ë (1) ±£ÏÕ¹« ˾ ¿÷±¾ µÄ¸ÅÂÊ ¶à ÉÙ? ÊÇ (2) ±£ÏÕ¹« ˾ »ñµÃÀûÈó²» ÉÙ ÓÚ40 000 ÔªµÄ¸ÅÂÊ ¶à ÉÙ? ÊÇ ½â Éè Õâ 10 000 ÈËÖÐ Ò»ÄêÄÚ ËÀÍö µÄÈËÊý Ϊ X , Ôò X ¡« b (10 000 , 0 .006) , ±£ÏÕ¹« ˾ Ò»ÄêÊÕÈ¡ 10 000 ¡Á 12 = 120 000 Ôª ±£ÏÕ ·Ñ , ¹Ê ½öµ±Ã¿ÄêËÀ ÈËÊý³¬ ¹ý 120 ÈËʱ¹« ˾ Íö ²Å»á ¿÷±¾, µ±Ã¿ÄêËÀÍö ÈËÊý²» ³¬ ¹ý 80 ÈËʱ¹« ˾ »ñÀû²» ÉÙ ÓÚ40000 Ôª¡£ ÓÉ ¿ÉÖª , ËùÇóµÄ ´Ë ¸ÅÂÊ ·Ö±ðΪ P{ X > 120}¼° P{ X¡Ü80}¡£ ÓÉ Àí 5 .2 .2 ¿ÉÖª ¶¨ P{ X > 120} = 1 - P{ X¡Ü120} = 1 - P{ X - 60 120 - 60 ¡Ü } 59 .64 59 .64

¡Ö1 - ¦µ (7 .769 3) = 0 P{ X¡Ü80} = P{ Àý5 . 5 X - 60 80 - 60 ¡Ü }¡Ö¦µ (2 .589 8) = 0 .995 2 59 .64 59 .64

Éè ijλ µ¥ 200 ̨ µç »° »ú , ÿ̨ µç »° »ú´ó Ô¼ ÓÐ ÓÐ5 % µÄ

ʱ¼äҪʹ Óà Ïß Í¨ »° , Èôÿ̨ µç »° »úÊÇ Ê¹ Óà Ïß ÊÇ »¥¶ÀÁ¢µÄ, Íâ ·ñ Íâ Ïà ÎÊ ¸Ãµ¥Î» ×Ü »úÖÁ ÐèÒª°² ×° ¶à ÉÙ Íâ Ïß , ²ÅÄÜ ÉÙ Ìõ ÒÔ90 % ÒÔ µÄ¸ÅÂÊ ÉÏ ¡¤ 1 98 ¡¤

X ±í ʾ200 ̨ µç »° »úÖРʱÐèÒª ʹ Óà Ïß Í¨ »° µÄµç ͬ Íâ »°»úÊý, Ôò X¡« b(200 , 0 .05) , ²¢ Éè°² ×° ÁË k Ìõ Íâ Ïß , ÒÀ Òâ, ÎÒÃÇ Ìâ µÄÎÊ Ìâ ÊÇ Ê¹ µÃ Çó: P{ X¡Ü k} ¡Ý0 .9 ³É Á¢µÄ×î СµÄÕýÕûÊý k¡£ ÓÉ Àí 5 .2 .2 Öª ¶¨ P{ X¡Ük} = P{ X - 10 k - 10 k - 10 ¡Ü }¡Ö¦µ ( ) 9 .5 9 .5 9 .5 k - 10 ) ¡Ý0 .9 9 .5

¼´ÇóÒ»¸ö ×î СµÄÕûÊý k , ʹ Âú×ã ¦µ ( ²é Õý̬ ·Ö²¼µÃ ¦µ (1 .30) = 0 .9032 ÓÉ ¿ÉµÃ ´Ë k - 10 ¡Ý1 .30 9 .5 ¼´ k¡Ý14 ¸Ãµ¥Î» ÖÁ Ðè°² ×° 14 Ìõ Íâ Ïß ²Å ÄÜ ÉÙ ÒÔ90 % ÒÔ µÄ¸ÅÂÊ ÉÏ ±£Ö¤Ã¿Ò»Ì¨ µç »° »úÐèʹ Óà Ïß Ê±²» ±»Õ¼ ¡£ Íâ Óà ¶¨ Àí 5 .1 .1 ÖÐ ÇóËæ Òª »ú±ä Á¿ÐòÁÐ Xn } Ïà »¥¶ÀÁ¢ÇÒ ·Ö ²¼ , Èô { ͬ È¥µôͬ ·Ö²¼ÕâÒ»Ìõ ¼þ, ÄÇ Ã´ÐèÒª¸½¼Ó ôÌõ ¼þ²ÅÄÜ µÃ{ Xn }·þ ´Ó ʲ ʹ ÖÐ ¼«ÏÞ ¶¨ ÀíÄØ? ÐÄ Éè{ Xn }ÊÇ ¶ÀÁ¢Ëæ »ú±äÁ¿ÐòÁÐ ÓÖ , Éè E( Xi ) = ¦Ì i , D( Xi ) = ¦Òi n 2

i = 1 , 2 , ¡Ëæ »ú ±ä Á¿ ºÍ

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¡¤ 1 99

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¾ù Ϊ ³£ Êý

, Æä Xi Óà

, Õâʱ Xi - ¦Ì i = 0 ,¦Òi = 0
2

i = 1 , 2 , 3¡-

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Ïî ¡£ ÓÉ ÓÚ ÎÒ ÃÇ ÊÇ ÔÚ Ïî Êý

Àí³É Á¢, ÔÚ Yn ºÍ ¡ú ¡Þʱ ¿¼²ì Yn
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| Xi - ¦Ì i | > ¦Ó ¡ú 0 } Bn
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( 5 .2 .3 ) ³É Á¢µÄÌõ ¼þ¡£ Ìá ³ö ÁË ÈçÏÂÁÖ µÂ µÄ ¸Å ÂÊ ÃÜ ¶È Ϊ

±´ ¸ñ Ìõ ¼þ: Èô{ Xn }Ϊ ¶ÀÁ¢Á¬ ÐøÐÍËæ»ú±ä Á¿ÐòÁÐ Xi , fi ( x ) , Èç¹û ¶ÔÈÎ ÒâµÄ¦Ó> 0 , ÓÐ 1 lim 2 n ¡ú ¡Þ Bn n ¡Æ ¡Ò i=1

( x - ¦Ì i ) fi ( x) d x = 0
| x - ¦Ì | > ¦ÓB i n

2

(5 .2 .4 )

ÀàËÆ µØ¿Éд³ö ÀëÉ¢Ðͳ¡ ºÏ ϵÄÁÖ µÂ±´ ¸ñ Ìõ ¼þ¡£ Ϊ ʲ ôÁÖ µÂ±´ ¸ñ Ìõ ¼þʽ( 5 .2 .4) ÄÜ ±£Ö¤ Yn
ÄØ ÖÐ ¸÷ Ïî ¾ù ÔÈ µØ С

? Ϊ ˵Ã÷ µã , ÎÒÃÇ Ai ´Ë Óà ¡¤ 2 00 ¡¤

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{ | Xi - ¦Ì i | > ¦Ó n } , Ôò B

P( Ai ) = ¡Ò ÓÚ ÊÇ

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| x - ¦Ì | > ¦ÓB i n

i = 1 , 2 , ¡- , n

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| Xi - ¦Ì i | > ¦Ó } Bn

= P{1 ¡Ü i¡Ü n | Xi - ¦Ì i | > ¦Ó n } max B n = P( i¡È Ai ) ¡Ü P( A1 ) + P( A2 ) + ¡- + P( An ) =1 n = ¡Æ¡Ò i= 1 n fi ( x ) d x
| x - ¦Ì | > ¦ÓB i n

¡Ü ¡Æ ¡Ò i= 1

| x - ¦Ì | > ¦ÓB i n n

( x - ¦Ì i ) fi ( x ) d x 2 2 ¦Ó Bn ( x - ¦Ì i ) fi ( x ) d x
2

2

1 = 2 2 ¦Ó B n

¡Æ ¡Ò i=1

| x - ¦Ì | > ¦ÓB i n

ÓÉ ¿É¼û, µ±Ê½ .2 .4 ) ³É Á¢Ê±, ʽ( 5 .2 .3 ) Ò»¶¨ ³É Á¢, ´Ó¶ø ±£Ö¤ÁË ´Ë (5 Yn
ÖÐ ¸÷ Ïî ¾ù ÔÈ µØ С ¡£ ÉÏ Êö ½á ÂÛ ÔÚ Àë É¢ ÐÍ ³¡ ºÏ Òà ¿É Àà ËÆ µØ Ö¤ µÃ ¡£

ÁÖ µÂ

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ÖÐ ÐÄ ¼« ÏÞ

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5. . 23

( ÁÖ µÂ±´ ¸ñ ÖÐ ¼«ÏÞ ¶¨ Àí ) Éè¶ÀÁ¢Ëæ ÐÄ »ú±ä Á¿ÐòÁÐ n ¡Æ i=1

{ Xn }Âú×ãÁÖ µÂ±´ ¸ñ Ìõ ¼þʽ .2 .4 ) , Ôò¶ÔÓÚ ÒâʵÊý x, ÓÐ (5 ÈÎ 1 lim P{ n ¡ú ¡Þ Bn ( Xi - ¦Ì i ) ¡Ü x} = 1 2 ¡Ò ¦Ð x e
- ¡Þ

-

2 t 2

d t (5 .2 .5 )

ÕâÒ»¶¨ Àí±í Ã÷, ÓÉ Á¿Î¢ СµÄ¶ø ÇÒ »¥ ¶ÀÁ¢µÄËæ»úÒòËØ ´ó Ïà ÒýÆð ²¢ ÀÛ »ý¶ø ³É µÄÁ¿, ±Ø ½«ÊÇ Ò»¸ö Õý̬ Ëæ »ú±äÁ¿¡£ ÓÉ ¿ÉÒÔ ´Ë ½âÊÍ : Ϊ ʲ ôÐí¶à Ëæ »ú±äÁ¿¶¼·þ ´ÓÕý̬ ·Ö ²¼Õâһʠʵ¡£ ±ÈÈç , ²â Á¿Îó ²î ÊÇËæ »ú±äÁ¿, ËüÊÜ µ½²â Á¿ÒÇ ¡¢ ¾³Î¶ÈÓëʪ ¶È¡¢ µÄÁÁ Æ÷ »· ¹â ¶ÈÓëÕÕ Éä½Ç ¶È¡¢ ÈË µÄÊÓ ¾õÓëÐÄ ÀíµÈÒòËØ Ó°Ïì , ¶ø ÿ¸ö ÒòËضԲâ Á¿½á¹û µÄÓ°Ïì ¶¼ÊÇ Î¢ СµÄ, ¹Ê ²â Á¿Îó ²î ÊÇÕý̬ ±ä Á¿¡£ ÓÖ Èçµç ×ÓÔªÆ÷ ¼þÖÐ µÄÈÈÔëÉùµç ѹÊÇ ´ó Á¿×Ô µç ×ÓËæ ÔË ÒýÆð ¶ø ÿ¸ö µç ×Ó ÓÉ ÓÉ »ú ¶¯ µÄ, ¶ÔÈÈÔëÉùµç ѹ ¡¤ 2 01 ¡¤

, ¹Ê ÈÈÔëÉùµç ѹ·þ ´ÓÕý̬ ·Ö²¼¡£ ÁÖ µÂ±´ ¸ñ Ìõ ¼þʽ(5 .2 .4 ) ÔÚ Êµ¼Ê Óà ²» Ò× Ê¹ ÖÐ ÑéÖ¤¡£ ÏÂÃæ ³ö ¸ø ±ãÓÚ Êµ¼Ê Óà ʹ µÄÖÐ ¼«ÏÞ ¶¨ Àí¡£ ÐÄ ¶¨ Àí 5 . . 24 ( ÀîÑÅ Âå·ò ÖÐ ¼«ÏÞ ¶¨ Àí ) Éè{ Xn } Ϊ ¶ÀÁ¢Ëæ»ú ÆÕ ÐÄ
2 + ¦Ä

±äÁ¿ÐòÁÐ Èç¹û ´æ ÔÚ Êý ¦Ä > 0 , ʹ µÃ E ( | Xi - ¦Ì i | ¡£ ³£ i = 1 , 2 , ¡- , ÇÒ n ¡ú ¡Þ

) < ¡Þ ,

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n

2 + ¦Ä ¡Æ n i=1

E{ | Xi - ¦Ì i |

2 + ¦Ä

}=0

(5 .2 .6 )

Ôò¶ÔÈÎ ÒâʵÊý x , ÓÐ 1 lim P{ n ¡ú ¡Þ Bn n ¡Æ i=1

( Xi - ¦Ì i ) ¡Ü x} =

1 2 ¡Ò ¦Ð

x

e
- ¡Þ

-

2 t 2

d t (5 .2 .7 )

Ö¤Ã÷ Ö»Òª´ÓÀîÑÅ Âå·ò Ìõ ¼þʽ( 5 .2 .6 ) ÄÜ ÆÕ ÍƳö ÁÖ µÂ±´ ¸ñ Ìõ ¼þʽ .2 .4 ) ¼´¿É¡£ Ê (5 ʵÉÏ 1 2 Bn n ¡Æ ¡Ò i=1

( x - ¦Ì i ) fi ( x) d x
| x - ¦Ì | > ¦ÓB i n n

2

1 ¡Ü 2 Bn

¡Æ ¡Ò i=1

| x - ¦Ì | > ¦ÓB i n n ¡Æ ¡Ò i=1 n ¡Æ i=1 + ¡Þ

| x - ¦Ì i | ¦Ä (¦Ó n ) B
2 + ¦Ä

2 +¦Ä

fi ( x )d x

1 ¡Ü ¦Ä 2 + ¦Ä ¦Ó Bn 1 = ¦Ä 2 + ¦Ä ¦Ó Bn

| x - ¦Ì i |
- ¡Þ

fi ( x) d x ( n¡ú ¡Þ )
Á¬ Ðø ÐÍ Ëæ »ú ±ä Á¿ ÇÒ ¾ß

E( | x - ¦Ì i |

2 + ¦Ä

) ¡ú 0
Ϊ

¹Ê ÁÖ µÂ±´ ¸ñ Ìõ ¼þ³É Á¢¡£ ÕâÀï ÎÒÃÇ ¶¨ Xi ¼Ù
ÓÐ ¸Å ÂÊ ÃÜ ¶È

fi ( x ) , i = 1 , 2 , ¡- , ¶ÔÓÚ Xi

Ϊ

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Ö¤ Ã÷ ¡£ Àý

5. 6

Ò»·Ý¿¼ ÓÉ µÀÌâ Ä¿×é³É , ²¢ °´ ÓÉ µ½ÄÑ ÐòÅÅ , ¾í 99 Ò× Ë³ ÁÐ i , i = 1 , 2 , ¡- , 99 , ¼Ù Éè¸ÃѧÉú 100

ijѧÉú´ð ¶ÔµÚ i µÀÌ⠵ĸŠÂÊΪ 1 -

»Ø´ð ¸÷ Ìâ ÊÇ »¥¶ÀÁ¢µÄ, ²¢ ÇÒ Ïà ÒªÕýÈ· »Ø´ð Æä ÖÐ60 ¸ö ÎÊ Ìâ ÒÔ ²Å Ëã ÉÏ ¡¤ 2 02 ¡¤

Xi = ÓÚ Xi ÊÇ
·þ ´Ó

1 0

ÈôѧÉú´ð ¶ÔµÚ i µÀÌâ ÈôѧÉú´ð ´í µÚ i µÀÌâ

i = 1 , 2 , ¡- , 99

(0 - 1) ·Ö²¼ P{ Xi = 1} = pi P{ Xi = 0} = 1 - pi i ¡£ Òò E( Xi ) = pi , D( Xi ) = pi (1 - pi ) ¡£ 100
3 3 3

Æä ÖÐ

pi = 1 -

E( | Xi - pi | ) = pi ( 1 - pi ) + p i ( 1 - pi ) = pi (1 - pi )¡² p i + (1 - pi ) ¡³
¡Ü 2 2

pi (1 - pi )
·Ö ²¼ ÇÒ Ïà »¥ ¶À Á¢

ÎÒÃÇ ¶¨ X100 , X101 , ¡- ¶¼Óë X99 ͬ ¼Ù 1 3 Bn n ¡Æ i=1

, ÓÚ ÊÇ ( n¡ú ¡Þ )

E( | Xi - pi | ) ¡Ü

3

1 n ¡Æ1 pi (1 - pi ) i=

1 2

¡ú

0

¹Ê { Xn }Âú×ãÀî ÑÅ Âå·ò Ìõ ¼þʽ( 5 .2 .6 ) , ËùÒÔ ÆÕ ¶ÔÐòÁÐ Xn } ¿ÉÒÔ { ʹ Óà ÐÄ ÖÐ ¼«ÏÞ ¶¨ Àí i ¡Æ1 E( Xi ) = ¡Æ1 ( 1 - 100 ) = 49 .5 i= i= i i B = ¡Æ D( Xi ) = ¡Æ (1 ) = 16 .665 100 100 i= 1 i=1
2 n n 99 99 99

¸ÃѧÉúͨ ¹ý ¿¼ÊÔ µÄ¸ÅÂÊ Îª
99 99 ¡Ü

P{ ¡Æ Xi > 60} = 1 - P{ ¡Æ i= 1 i=1
99

60}

= 1 - P{

¡Æ1 Xi - 49 .5 i= 16 .665

¡Ü

60 - 49 .5 } 16 .665

¡Ö1 - ¦µ ( 2 .573 5) = 0 .005 ¹Ê ´Ë ѧÉúͨ ¹ý ¿¼ÊÔ µÄ¿ÉÄÜ ·Ç ³£ С , ´ó Ô¼ ÐÔ Ö»ÓРǧ·ÖÖ® ¡£ Îå ¡¤ 2 03 ¡¤

p

p

1 . Éè Xn p ¡ú

a , Yn

¡ú

b , ÓÖ º¯ Êý g ( x , y ) ÔÚ( a , b ) Á¬Ðø, Ôò Éè

g( Xn , Yn ) ¡ú g( a, b) ¡£ 2 . Éè X, Xn , n = 1 , 2 , ¡- ¾ùΪ Á¬ÐøÐÍËæ »ú±äÁ¿, ÇÒ Öª Xn r ½× ÒÑ ÊÕ ÓÚX, Ö¤Ã÷ Xn Á²
ÒÀ ¸Å ÂÊ ÊÕ Á² ÓÚ

X¡£

3 . Éè{ Xn }Ϊ Ïà »¥ ¶ÀÁ¢Ëæ»ú ±ä Á¿ÐòÁÐ ¼Ù , ÈçËüÃÇ µÄ·Ö ²¼ÂÉÈç Ï , ·Ö±ð¼ìÑéÊÇ ·þ ´Ó´ó Êý¶¨ ÂÉ ·ñ ¡£ (1) Xn (2) Xn
·þ ´Ó ²Î Êý Ϊ

n µÄ²´ ËÉ·Ö²¼;

¸÷

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1 ¸ÅÂÊ ¡À ln n¡£ È¡ 2 µÄ ·Ö ²¼

4 . Éè{ Xn }Ϊ Ïà »¥¶ÀÁ¢Í¬ ·Ö²¼µÄËæ ±äÁ¿ÐòÁÐ ÇÒ Xn »ú ,
ÂÉ Îª

P{ Xn = k} = ¡Þ Æä ÖÐC
- 1

C k ln k
2

k = 2 , 3 , ¡-

1 = ¡Æ 2 , ÊÔ Ö¤{ Xn } ·þ ´Ó´ó Êý¶¨ ÂÉ ¡£ k ln k k= 2 E( Xi ) = ¦Ì D( Xi ) ¡Ü C E( Xi Xj ) ¡Ü0

5 . Éè{ Xn }Ϊ Ëæ »ú±äÁ¿ÐòÁÐ Èô¶ÔÈÎ Òâ×Ô , È»Êý i ºÍ j ¶¼ ÓÐ

Ö¤Ã÷ Xn }·þ ´Ó´ó Êý¶¨ ÂÉ { ¡£ 6 . ¾Ý Íù ¾-Ñé, ijÖÖ Æ÷ ÒÔ µç Ôª¼þµÄÊÙÃü·þ ´Ó¾ùֵΪ 100 СʱµÄ Ö¸Êý·Ö²¼¡£ ÏÖËæ »úµØÈ¡ 16 Ö», ÉèËüÃÇ µÄÊÙÃüÊÇÏà »¥ ¶ÀÁ¢µÄ, ÇóÕâ 16 Ö»Ôª¼þµÄÊÙ ÃüµÄºÍ ´ó ÓÚ1 920 СʱµÄ¸ÅÂÊ ¡£ 7 . ¼Æ ËãÆ÷ ½øÐÐ ·¨ ÔË ÔÚ ¼Ó Ëãʱ, ½«Ã¿¸ö ¼Ó ÊýÉáÈë×î ¿¿ ½üËüµÄÕû Êý¡£ ¼Ù ÉèËùÓÐ ÉáÈëÎó ²î ÊÇ ¶ÀÁ¢µÄ, ÇÒ ¶¼ÔÚ - 0 .5 , 0 .5) ÉÏ ·þ ´Ó¾ùÔÈ ( ·Ö²¼ , Èô½«1 500 ¸ö ÊýÏà ¼Ó Îó ²î ×Ü µÄ¾ø¶ÔÖµ³¬ ¹ý 15 µÄ¸ÅÂÊÊÇ ÎÊ ºÍ ¶à ÉÙ? (2) ×î ¶à ¿ÉÓÐ ÉÙ ÊýÏà ¼Ó µÃÎó ²î ×Ü µÄ¾ø¶ÔֵСÓÚ10 ¶à ¸ö ʹ ºÍ ¡¤ 2 04 ¡¤

0 .90 ? 8 . ÉèijÉäÊÖ °ÐµÃ10 ·ÖµÄ¸ÅÂÊ 0 .5 , µÃ9 ·ÖµÄ¸ÅÂÊ 0 .3 , ´ò Ϊ Ϊ µÃ8 ·Ö¡¢ ·ÖºÍ 6 ·ÖµÄ¸ÅÂÊ·Ö±ðΪ 0 .1 , 0 .5 , ºÍ 0 .05¡£ Èô´Ë ÉäÊÖ½ø 7 ÐÐ ÁË100 ´Î Éä»÷, ËûÖÁ ¿ÉµÃ950 ·ÖµÄ¸ÅÂÊ ¶à ÉÙ? ÉÙ ÊÇ 9 . ij³§ Éú²ú µÄµÆ µÄƽ ÅÝ ¾ùÊÙ ÃüΪ 2 000 Сʱ, ¸Ä½ø¹¤ ÒÕ , ƽ ºó ¾ùÊÙ ÃüÌá ¸ß µ½2 250 Сʱ, ±ê×¼ ÈÔ 250 Сʱ¡£ Ϊ ¼ø¶¨ ´Ë Ïî Р²î Ϊ ¹¤ ÒÕ ÌØ¹æ ¶¨ ÈÎ Òâ³é È¡ Èô¸É Ö»µÆ , ÈôÆäƽ ÅÝ ¾ùÊÙ Ãü³¬ ¹ý 2200 Сʱ, ¾Í ¿É³ÐÈÏ ´Ë Ïî РÒÕ ¹¤ ³§ Ϊ ʹ ´Ë Ïî РÒÕ Í¨ ¹ý ¼ø¶¨ µÄ¸ÅÂÊ Ð¡ ¹¤ ¡£ ¹¤ , ²» ÓÚ0 .997 , ÎÊ ÖÁ Ó¦ ³é ¼ì¶à ÉÙ ÉÙ Ö»µÆ ÅÝ? 10 . ij³§ Éú²ú µÄÂÝ Ë¿¶¤ µÄ²» ºÏ ¸ñ ƷΪ 0 .01 , ÎÊ Ò»ºÐÖÐ ×° ¶à Ó¦ ÉÙ Ö»ÂÝ Ë¿¶¤ ²Å ÄÜ ºÐ ÖÐ ÓÐ100 Ö»ÒÔ ºÏ ¸ñ Æ·µÄ¸ÅÂʲ» ÉÙÓÚ Ê¹ º¬ ÉÏ 0 .95¡£ 11 . ÓÐ Ò»Åú½¨Öþľ , Æä ²Ä ÖÐ80 % µÄ³¤ ¶È²» СÓÚ3 Ã×, ÏÖ´ÓÖÐ Ëæ »úµØÈ¡ ³ö 100 ¸ù , ÎÊ Æä ÖÁ ÓÐ30 ¸ù ¶Ì ÓÚ3 Ã× ÖÐ ÉÙ µÄ¸ÅÂÊ ¶à ÉÙ? ÊÇ 12 (1) Ò»¸ö ¸´ ÔÓ µÄϵ ͳ ÓÉ100 ¸ö Ïà »¥¶ÀÁ¢Æð ×÷Óà µÄ²¿ ¼þËù×é ³É , ÔÚ Õû¸ö ÔË ÆÚ ÐÐ ¼äÿ¸ö ²¿ ¼þË𻵠µÄ¸ÅÂÊ 0 .1 , Ϊ ÁË Õû¸ö ϵ ͳ Ϊ ʹ Æð ×÷Óà ÖÁ ±Ø , ÉÙ ÐëÓÐ85 ¸ö ²¿ ¼þÕý³£ ¹¤ ×÷, ÇóÕû¸ö ϵ ͳ Æð ×÷Óà µÄ¸Å ÂÊ (2) Ò»¸ö ¸´ ÔÓ Í³ ÓÉ n ¸ö Ïà »¥¶ÀÁ¢Æð Óà ¡£ ϵ ×÷ µÄ²¿ ¼þËù×é³É ¡£ ÿ ¸ö ²¿ ¼þµÄ¿É¿¿ÐÔ 0 .9 , ÇÒ Îª ±ØÐëÖÁ ÓÐ80 % µÄ²¿ ¼þ¹¤ ×÷²Å ÄÜ Õû É٠ʹ ¸ö ϵ ͳ ¹¤ ×÷, ÎÊ n ÖÁ Ϊ ¶à´ó ²Å ÄÜ Ïµ ͳ µÄ¿É¿¿ÐÔ µÍ ÓÚ0 .95¡£ É٠ʹ ²» 13 . ÏÖÓÐ10 000 È˲Π¼Ó ÁËij±£ÏÕ¹« ˾ µÄÈËÊÙ ±£ÏÕ , ÈôÒ»ÄêÄÚ ±£ÏÕÕßËÀ µÄ¸ÅÂÊΪ 0 .005 , ÊÔÇóÔÚ À´Ò»ÄêÀï , Õâ 10 000 ¸ö ÈË Íö δ ÖÐ ( 1) ÓÐ40 ÈËÖÁ50 ÈËËÀÍö µÄ¸ÅÂÊ ( 2) ËÀÍö ÈËÊý³¬ ¹ý 70 È赀 , ¡£ ¸ÅÂÊ ¡£ n 14 . Óà ÐÄ ÖÐ ¼«ÏÞ ¶¨ ÀíÖ¤Ã÷, µ± n¡ú ¡Þʱ ÓÐe

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n 1 ¡ú ¡£ k! 2

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6. 1

Ëæ »ú¹ý ³Ì µÄ¸ÅÄͳ ¼Æ ÌØÐÔ

Ò» »ú¹ý³Ì µÄ ¡¢Ëæ ¸ÅÄî ÔÚ ÂÊ Û Ð ÑÐ ¸Å Â Ö , ÎÒÃÇ ¾¿µÄ¶ÔÏó ÊÇËæ»ú±ä Á¿¡£ Ëæ»ú ±äÁ¿µÄÌصã
ÊÇ: ÔÚ Ã¿´Î ÊÔ ÑéµÄ½á¹û ÖÐ ÒÔ , Ò»¶¨ µÄ¸ÅÂÊ Ä³ ¸ö ÊÂÏÈ Î´ Öª¡¢ È¡ µ«Îª È· ¶¨ µÄÊýÖµ¡£ ÔÚ ×Ó ÊõÖÐ ÎÒÃÇ ³£ Éæ µç ¼¼ , ³£ ¼°µ½ÔÚ ÊÔÑé¹ý ³Ì ÖРʱ¼ä Ëæ ¶ø ¸Ä±äµÄËæ »ú±äÁ¿¡£ ÀýÈç , ½Ó ÊÕ»úµÄÔëÉùµç ѹ¾ÍÊÇ Ëæʱ¼ä¶ø Ëæ»ú ±ä»¯ µÄ¡£ ÎÒÃÇ °ÑÕâÖÖ Ëæʱ¼ä¶ø ±ä»¯ µÄËæ»ú ±ä Á¿, ³ÆΪ Ëæ»ú¹ý ³Ì ¡£ Ò»°ã À´Ëµ, ÊÔ Ñé¹ý ³Ì ÖÐ Ëæ»ú±ä Á¿Ò²ÓÐ ¿ÉÄÜ ÆäËüij ¸ö ²Î Êý±ä »¯ ¡£ Ëæ ±ÈÈç , ÑÐ ¾¿´ó Æø ÖÐ ²ã µÄ¿ÕÆø ζÈʱ, ¿É°ÑËü¿´ ×÷Ëæ ¶È¶ø ±ä»¯ µÄËæ ¸ß »ú±äÁ¿, ÕâÀïµÄ²Î Êý¾ÍÊÇ ¶È¡£ ÎÒÃÇ ¸ß °ÑÕâÖÖ Ä³ ¸ö ²Î Êý¶ø ±ä»¯ µÄ Ëæ Ëæ »ú±äÁ¿³ÆΪ Ëæ »úº¯ Êý, ¶ø °ÑÒÔ Ê±¼ä t ×÷ ²Î ±äÁ¿µÄËæ º¯ Êý³Æ Ϊ »ú ×÷ »ú¹ý ³Ì ¡£ Ëæ ÎÒÃÇ ¿ÉÒÔ »¹ »»Ò»¸ö ½Ç ¶ÈÀ´ ½éÉÜ »ú¹ý ³Ì µÄ¸Å Äî ¡£ ¼Ù Ëæ ÈçÎÒÃÇ ¶Ô ½Ó »úµÄÊä³ö ÔëÉùµç ѹ ×÷ µ¥´Î ¡± ²ì ʱ, ¿ÉÄܵõ½Èçͼ 6 .1 ÖÐ ÊÕ ¡° ¹Û Ëù ʾ µÄijһÌõ Æ𠲨 ÐÎ x1 ( t ) ¡£ ʵ¼Ê , ÔÚ ·ü ÉÏ ÊÔÑé½á¹û ÖÐ ÏÖµÄÔëÉù ³ö µçѹ ¾ßÌå ²¨ ÐÎÒ²¿ÉÄÜ x2 ( t ) , »ò x3 ( t ) ¡- ¡- µÈµÈ, ¾ßÌå µÄÐÎ×´ Ê ÊÇ ÏÈ ²» ÄÜ Öª , µ«±Ø ËùÓÐ È· Ϊ ¿ÉÄÜ ÐÎÖÐ ²¨ µÄij Ò»¸ö , ¶øËùÓÐ ÕâЩ ¿ÉÄÜ µÄ ²¨ ÐÎ x1 ( t ) , x2 ( t ) , ¡- xn ( t) ¡- µÄ¼¯ºÏ ( »ò ×Ü ) ¹¹ ³É ÁËËæ Ìå »ú¹ý ³Ì X ( t) ¡£ x1 ( t) , x2 ( t ) , ¡- ¶¼ È· ÖªµÄʱ ÊÇ ¼äº¯ Êý , ÎÒÃÇ °ÑËüÃÇ ³£ ³Æ×÷ Ëæ »ú¹ý ³Ì µÄÑù±¾ Êý»òÏÖʵ¡£ ÔÚ º¯ Ò»´Î ÊÔÑé½á¹û ÖÐ Ëæ ¹ý ³Ì È¡Ò»¸ö , »ú ¡¤ 2 06 ¡¤

, µ«¾¿¾¹È¡ÄÄÒ»¸ö Ôò´ø ÓÐ »úÐÔ Õâ¾ÍÊÇ ÔÚ ÑéÇ°²» Ëæ ¡£ ˵, ÊÔ ÄÜ ÖªÈ¡ÄÄÒ»¸ö Ñù±¾ Êý , µ«ÔÚ Á¿µÄ¹Û²ì ÖÐ ÓÐ ¼Æ ÂÉÐÔ È· º¯ ´ó ÊÇ Í³ ¹æ µÄ¡£ ÀàËÆ »ú±äÁ¿µÄ¶¨ Òå, ¿ÉÒÔ ³ö Ëæ Ëæ ¸ø »ú¹ý ³Ì µÄ¶¨ Òå¡£ x x1 ( t ) x2 ( t) x3 ( t )

t ͼ 6 .1

¶¨ Òå 6 .1 . 1

Éè E ÊÇ Ò»Ëæ »úÊÔ Ñù±¾ Ñé, ¿Õ¼äΪ ¦¸ = ¦Ø , ²Î Êý

¼¯ TÌ ( - ¡Þ , + ¡Þ ) , Èç¹û ¶ÔÓÚ Ã¿¸ö ¦Ø ¦¸ ×Ü Ò»¸ö È· ÖªµÄʱ ¡Ê ÓÐ ¼äº¯ Êý X( ¦Ø, t) ÓëÖ® ¶ÔÓ¦ , ÕâÑù¶ÔÓÚ ËùÓÐ ¦Ø¡Ê ¦¸ , ¾Í¿ÉµÃµ½Ò»×åʱ¼ä µÄ t µÄº¯ Êý , ³Æ X( ¦Ø, t ) , t¡Ê T Ϊ Ëæ»ú¹ý ³Ì ¡£ ×åÖРÿһº¯ Êý³ÆΪ Ëæ »ú¹ý ³Ì µÄÑù±¾ Êý¡£ º¯ ¶ÔÓÚ Ò»¸ö Ìض¨ µÄÊÔ Ñé½á¹û ¦Ø, X( ¦Ø, t) ¾ÍÊÇ Ò»¸ö È· ÖªµÄʱ ¼äº¯ Êý¡£ ¶ÔÓÚ Ò»¸ö Ìض¨ µÄʱ t, X( ¦Ø, t ) ¾ÍÊÇ ¼ä Ò»¸ö È¡¾öÓڦصÄËæ ±ä »ú Á¿, ¸ù ¾Ý ÕâÒ»µã , ÎÒÃÇ Ò²¿É½«Ëæ »ú¹ý ³Ì °´ ÈçÏ ¶¨ Òå¡£ ¶¨ Òå6 .1 . 2 Éè E ÊÇ Ò»Ëæ »úÊÔ Ñù±¾ Ñé, ¿Õ¼äΪ ¦¸ = ¦Ø , ²Î Êý ¼¯ TÌ ( - ¡Þ , + ¡Þ ) Èç¹û ¶ÔÓÚ ÒâµÄ t¡Ê T, ÓÐ ÈÎ Ò»¶¨ ÒåÔÚ¦¸ ÉÏ µÄËæ »ú±äÁ¿ X( ¦Ø, t ) ÓëÖ® ¶ÔÓ¦ , Ôò³Æ X( ¦Ø, t) , t¡Ê T Ϊ Ëæ »ú¹ý ³Ì , ¼ò¼Ç ×÷ X( t) , t¡Ê T »ò X( t ) ¡£ ÔÚ ·¢ Éú»ì Ïý µÄÇé¿ö Ï , Ò² ¿É¼Ç ²» ×÷ X( t ) ¡£ ¡¤ 2 07 ¡¤

X ( ¦Ø, t ) ¿´ ³É ¶þ Ôª º¯ Êý , Ôò X( ¦Ø, t) , t¡Ê T ÓÐ ¸ö º¬ Á½ Òå: ( 1 ) µ± t ¡Ê T È¡ ¶¨ , X ( ¦Ø, t ) ÊÇÒ» Ëæ»ú ±ä Á¿, ÄÇ Ã´ X( ¦Ø, t ) , t¡Ê T ÊÇ Ò»×åËæ »ú±äÁ¿; (2) µ± ¦Ø¡Ê¦¸ È¡¶¨ , X( ¦Ø, t ) ÊÇ Ò»×Ô ±äÁ¿Îª t ¶¨ ÒåÓòΪ T µÄÆÕ Í¨ º¯ Êý , ÄÇ , ô X( ¦Ø, t ) , t¡Ê T ÊÇ Ò»×åËæ »úº¯ Êý , ËüµÄÑù±¾ ÊýÒ² º¯ ¼Ç x ( t) ( t¡Ê T) ¡£ Ϊ Áí Íâ , Èô t¡Ê T, ¦Ø¡Ê ¦¸ È¡ ¶¨ , Ôò X ( ¦Ø, t ) ÊÇһȷ ¶¨ ÊýÖµ, °Ñ X ( ¦Ø, t ) ( ¦Ø ¦¸ , t¡Ê T) ËùÓÐ ¡Ê ¿ÉÄÜ µÄÈ¡ ÖµµÄÈ«Ìå ¼Ç ¦Ö, ³ÆΪ Ëæ ¹ý Ϊ »ú ³Ì X( t ) µÄ״̬¿Õ¼ä»òÏà ¿Õ¼ä¡£ µ± t = t0 ¡Ê T, Èô X( t0 ) = x¡Ê ¦Ö, ³ÆËæ »ú¹ý ³Ì µÄʵÀý¡£ Àý 6 .1 ÔÚ ²âÁ¿ ¶¯Ä¿ ÔË ±êµÄ Àë ¾à ʱ´æÔÚ »úÎó ²î , ÈôÒÔ¦Å( t) Ëæ ±í ʾ ʱ t µÄ²â Á¿Îó ²î , ÔòËüÊÇ ÔÚ ¿Ì Ò»¸ö Ëæ ±äÁ¿¡£ µ±Ä¿±êËæ »ú ʱ¼ä °´ Ò»¶¨ ¹æ ÂÉÔË Ê±, ²â Á¿Îó ²î ¦Å( t) Ò²Ëæʱ t ¶ø±ä»¯ , »»¾ä»° ˵, ¶¯ ¼ä ¦Å( t ) ÊÇ ÀµÓÚ ¼ä t µÄÒ»×åËæ»ú ±äÁ¿, ¼´ ¦Å( t) , t¡Ý0 ÊÇÒ»Ëæ»ú ÒÀ ʱ ¹ý ³Ì ¡£ Àý6 .2 Éè Ò»¸öµç»° ½» » ̨ ³ÙÔç » »á½Ó Óà µ½ »§µÄ ½ÐÒÔ X( t) ºô , ±í ʾ ¼ä¼ä¸ô 0 , t ÄÚ Ê± ½»»»Ì¨ ½Ó µ½µÄºô ½Ð Êý , ËüÊÇÒ»Ëæ ±äÁ¿, ´Î »ú ÓÚ ÊÇ X( t ) ÊÇ Ò»Ëæ »ú¹ý ³Ì ¡£ Àý 6 .3 ¿¼ Å× Ò»Ã¶ ÂÇ ÖÀ ÷»×Ó ÊÔ Éè Xn µÄ Ñé,
ÊÇ ²» ͬ ÊÇ µÚ µÄ

X( t ) ÔÚ ¿Ì t0 ʱ

´¦

ÓÚ ×´ ̬

x¡£ Ï Ãæ ¼¸¸ö Ëæ»ú¹ý ³Ì ¾Ù

n ´Î Å× µÄµã ÖÀ
±ä Á¿

Êý , ¶ÔÓÚ n = 1 , 2 , ¡- µÄ ²» ͬ Öµ, Xn Àý 6 .4 ¿¼ ÂÇ

Ëæ »ú

, Òò¶ø

Xn , n¡Ý1 ¹¹ ³É Ò»Ëæ »ú¹ý ³Ì , ³ÆΪ ±´Å¬ ¹ý ³Ì »ò±´Å¬ Ëæ Àï Àï »úÐòÁÐ ¡£ X( t) = acos ( ¦Ø + ¦¨ ) , t ¡Ê ( - ¡Þ , + ¡Þ ) t Æä ÖÐa, ¦ØÊÇ Êý , ¦¨ ÊÇÔÚ 0 , 2 ÉÏ ¾ùÔÈ·Ö²¼µÄËæ»ú±äÁ¿¡£ ÏÔÈ», ³£ ¦Ð ¶Ô ÿ¸ö ¹Ì ¶¨ µÄ t = t1 , X ( t1 ) = acos ( ¦Ø1 + ¦¨ ) ÊÇ ÓÚ t Ò»Ëæ ±äÁ¿, Òò »ú ¶ø X( t ) ÊÇ Ò»Ëæ »ú¹ý ³Ì , ͨ ³£ ³ÆËüΪ Ëæ »úÏà λ ÕýÏÒ²¨ ¡£ ÔÚ , 2¦Ð) (0 ¡¤ 2 08 ¡¤

i

, Ïà Ó¦µØµÃµ½Õâ¸ö Ëæ »ú¹ý ³Ì µÄÒ»¸ö Ñù±¾ Êý º¯

xi ( t) = acos ( ¦Ø + ¦Èi ) , t ¡Ê ( - ¡Þ , ¡Þ ) t ¶þ ¡¢ Ëæ»ú ¹ý ³Ì µÄ ·Ö Àà Ëæ »ú¹ý ³Ì µÄÖÖ ÀàºÜ ¶à , ²» ͬ µÄ±ê×¼ ±ãµÃµ½²» ͬ µÄ·Ö Àà·½ ·¨ ¡£ °´ ÕÕ »ú¹ý ³Ì X( t ) µÄʱ Ëæ ¼äºÍ ״̬Á¬ Ðø»¹ ÊÇ ÀëÉ¢¿É·Ö³É ËÄÀà: (1) Á¬ ÐøÐÍËæ»ú ¹ý ³Ì : T ÊÇÁ¬ Ðø¼¯, ÇÒ ¶ÔÓÚ ÒâµÄ t1 ¡Ê T , X ÈÎ ( t1 ) ÊÇ ÐøÐÍËæ ±äÁ¿, Ò²¾ÍÊÇ Á¬ »ú ʱ¼äºÍ ״̬ ½Ô Á¬ÐøµÄÇé¿ö¡£ Èç Ϊ Àý 4¡£ (2) ÀëÉ¢ÐÍËæ»ú ¹ý ³Ì : T ÊÇÁ¬ Ðø¼¯, ÇÒ ¶ÔÓÚ ÒâµÄ t1 ¡Ê T , X ÈÎ ( t1 ) ÊÇ ÀëÉ¢ÐÍËæ »ú±äÁ¿¡£ ÈçÀý 2¡£ (3) Á¬ ÐøÐÍËæ»ú ÐòÁÐ T ÊÇÀëÉ¢¼¯, ÇÒ : ¶ÔÓÚ ÒâµÄ t1 ¡Ê T , X ÈÎ ( t) ÊÇ ÐøÐÍËæ Á¬ »ú±äÁ¿¡£ Ëü¶ÔÓ¦ÓÚ ¼äÀëÉ¢, ״̬Á¬ ʱ ÐøµÄÇé¿ö¡£ ʵ ¼Ê , Ëü¿ÉÒÔ ¹ý ¶ÔÁ¬ÐøÐÍËæ»ú ¹ý ³Ì ½øÐÐ ÐòµÈʱ¼ä¼ä¸ô ²É Ñù ÉÏ Í¨ ˳ µÃµ½¡£ (4) ÀëÉ¢ÐÍËæ ÐòÁÐ »ú ¡ª¡ª¡ª Ëæ»ú Êý×Ö ÐòÁÐ( Êý×Ö ÐźŠ) : Ëæ»ú ¹ý ³Ì µÄʱ ¼äºÍ ״̬¶¼ ÀëÉ¢µÄ¡£ Ϊ ÁËÊÊÓ¦Êý×Ö µÄÐèÒª , ¶ÔÁ¬ ÊÇ »¯ ÐøÐÍ Ëæ »ú¹ý ³Ì ½øÐÐ µÈʱ ¼ä¼ä¸ô ²É Ñù, ²¢ ½«²É ÑùÖµÁ¿»¯ ¡¢ ·Ö²ã , ¼´µÃµ½Õâ ÖÖ ÀëÉ¢Ëæ »ú¹ý ³Ì ¡£ ÓÉ ÉÏ ¿ÉÖª , ×î »ù±¾ ÒÔ µÄÊÇ ÐøÐÍËæ Á¬ »ú¹ý ³Ì , Æä ËûÈýÀàÖ»ÊÇ ¶ÔËü ×÷ ÀëÉ¢´¦ Àí ¶øµÃ, ¹Ê ¶øÎÒÃÇ Òª½éÉÜ ÐøÐÍËæ Ö÷ Á¬ »ú¹ý ³Ì ¡£ µ±È»»¹ ÓÐ ËüµÄ·ÖÀà·½·¨ , ÔÚ ²» Ò»Ò»½éÉÜ Æä ´Ë ¡£ Èý ¡¢ Ëæ»ú ¹ý ³Ì µÄ ¸Å ÂÊ·Ö ²¼ Ëæ »ú¹ý ³Ì ÔÚ Ò»Ê± µÄ״̬ÊÇËæ ±äÁ¿, ÓÉ ¿ÉÒÔ ÈÎ ¿Ì »ú ´Ë ÀûÓà Ëæ»ú ±äÁ¿µÄͳ ¼Æ ÃèÊö·½·¨ À´ ÃèÊöËæ »ú¹ý ³Ì µÄͳ ¼Æ ÌØÐÔ ¡£ ¸ø ¶¨ Ëæ »ú¹ý ³Ì X( t ) , ¶ÔÓÚ Ã¿¸ö ¹Ì ¶¨ µÄ t¡Ê T, Ëæ»ú ±äÁ¿ X ¡¤ 2 09 ¡¤ ( t) µÄ·Ö²¼º¯ ÊýÒ»°ã Óë t ÓÐ , ¼Ç ¹Ø Ϊ

F( x, t ) = P X( t) ¡Ü x , x ¡Ê R ³ÆËüΪ Ëæ ¹ý ³Ì »ú X( t) µÄһά ·Ö ²¼º¯ Êý , ¶ø F( x, t ) , t¡Ê T ³Æ Ϊ һά·Ö²¼º¯ Êý×å¡£ һά·Ö²¼º¯ Êý¿Ì »®ÁËËæ »ú¹ý ³Ì ¸÷¸ö ¸ö ±ðʱ µÄͳ ¼Æ ¿Ì ÌØÐÔ Îª ¡£ ÁË »®Ëæ ¿Ì »ú¹ý ³Ì ÔÚ Í¬Ê±¿Ì ×´ ̬֮ ²» ¼äµÄͳ ¼Æ ϵ , Ò»°ã ¿É¶ÔÈÎ Òâ Áª n( n = 2 , 3 , ¡- ) ¸ö ²» ͬ ʱ¿Ì t1 , t2 , ¡- , tn , ÒýÈë n ά Ëæ»ú ±äÁ¿( X ( t1 ) , X( t2 ) , ¡- X( tn ) ) , ËüµÄ·Ö²¼º¯ Êý¼Ç Ϊ F( x1 , x2 , ¡- , xn ; t1 , t2 , ¡- , tn ) = P X( t1 ) ¡Ü x1 , X( t2 ) ¡Ü x2 , ¡- , X( tn ) ¡Ü xn
¶Ô ÓÚ ¹Ì ¶¨ µÄ

n, ÎÒÃÇ ³Æ
¡Ê

F( x1 , x2 , ¡- , x n ; t1 , t2 , ¡- tn ) , ti Ϊ X( t ) µÄ n ά·Ö²¼º¯ Êý×å¡£

T, i = 1 , 2 , ¡- , n

µ± n ³ä ·Ö´ó ʱ, n ά·Ö²¼º¯ Êý×åÄܹ» ½üËÆ µØ¿Ì »®Ëæ ¹ý ³Ì µÄ »ú ͳ ¼Æ ÌØÐÔ ÏÔÈ» n È¡µÃÓú´ó , Ôò n ά·Ö²¼º¯ Êý×åÃèÊöËæ ¡£ »ú¹ý ³Ì µÄ ÌØÐÔ Ò²ÓúÇ÷ ÉÆ Ò»°ã , ¿ÉÒÔ Íê ¡£ Ö¸³ö : ÓРά·Ö²¼º¯ Êý×å, ¼´ ÏÞ F( x1 , x2 , ¡- , xn ; t1 , t2 , ¡- , tn ) , ti Íê È«µØÈ· ¶¨ Á˹ý ³Ì µÄͳ ¼Æ ÌØÐÔ ¡£ ÔÚ ¶Î ÖÐ ÎÒÃÇ ÉÏ , ½éÉÜ Á˹ý ³Ì µÄÒ»ÖÖ ·ÖÀà·½·¨ , ʵ¼Ê , Ëæ ¹ý ÉÏ »ú ³Ì µÄ±¾ µÄ·ÖÀà·½·¨ ÄËÊÇ Æä ÖÊ °´ ·Ö²¼ÌØÐÔ ½øÐÐ Àà¡£ ¾ßÌå µØ˵, ¾Í ·Ö ÊÇ ÕÕ ³Ì ÔÚ Í¬Ê± µÄ״̬֮ ÒÀ ¹ý ²» ¿Ì ¼äµÄÌØÊâͳ ¼Æ Àµ·½Ê½ Ïó ³ö Ò» ÒÀ ³é Щ ͬµÄÀàÐÍ , ÈçÂí ¶û¿É·ò ¹ý ³Ì ¡¢ ÎÈ ¹ý ³Ì ¡¢ ²» ƽ ¶ÀÁ¢ÔöÁ¿¹ý ³Ì µÈµÈ¡£ ËÄ¡¢ Ëæ»ú ¹ý ³Ì µÄ Êý ×ÖÌØ Õ÷ Ëæ »ú¹ý ³Ì µÄ·Ö²¼º¯ Êý×åÄÜ ÉÆ Íê µØ¿Ì »®Ëæ ¹ý ³Ì µÄͳ ¼Æ »ú ÌØÐÔ , µ«ÊÇ ÈËÃÇ Êµ¼Ê , ¸ù ¾Ý ÔÚ ÖÐ ¹Û²ì Íù Íù Ö»ÄÜ µÃµ½Ëæ »ú¹ý ³Ì µÄ²¿ ·Ö×Ê , ÁÏ Óà ËüÀ´ È· ¶¨ ÓРά·Ö ²¼º¯ ÊýÊÇÀ§ÄÑ ÏÞ µÄÉõÖÁÊÇ ¿ÉÄÜ Òò¶øÏñ Òý ²» µÄ, ÈëËæ »ú±äÁ¿µÄÊý×Ö ÌØÕ÷ ÄÇÑù, ÓÐ ±ØÒª ÒýÈëËæ»ú ¹ý ³Ì µÄ»ù ±¾ Êý×Ö ¡¤ 2 10 ¡¤
¡Ê

T, i = 1,2,¡- , n, n = 1,2,¡-

1 . ¾ùÖµº¯ Êý ¹Ì ¶¨ t ¡Ê T, X ( t ) ÊÇÒ»Ëæ»ú ±äÁ¿, ËüµÄ¾ùÖµÒ»°ã Óë t ÓÐ , ¹Ø ¼Ç Ϊ ¦Ì X ( t) = E X( t ) ³Æ¦Ì X ( t ) , t¡Ê T Ϊ Ëæ ¹ý ³Ì »ú Ëæ »ú¹ý ³Ì X( t) µÄ¾ùÖµº¯ Êý¡£ ×¢Òâ, ¦Ì X ( t ) ÊÇ X( t ) µÄËùÓÐ Ñù±¾ ÊýÔÚ ¿Ì t µÄº¯ ÊýÖµµÄƽ º¯ ʱ ¾ùÖµ, ͨ

³£ ³ÆÕâÖÖ ¾ùΪ ͳ ¼Æ ¾ù¡£ ¾ùÖµº¯ Êý ¦Ì X ( t ) ±í ʾÁËËæ»ú ¹ý ³Ì ƽ ƽ X( t ) ÔÚ ¸÷¸ö ʱ µÄ°Ú¶¯ ÖÐ ¡£ ¿Ì ÐÄ 2 . Ïà ¹Øº¯ Êý ÎÒÃÇ °ÑËæ »ú±äÁ¿ X( t ) µÄ¶þ½× Ô-µã¾Ø ¶þ½× ÐÄ ·Ö±ð¼Ç ºÍ ÖÐ ¾Ø Ϊ ¦·
²¢ 2 X

( t)

¡÷ =E

X ( t) , ¦ÒX ( t )

2

2

¡÷ ¡÷ = DX ( t ) = E

X( t ) - ¦Ì X ( t)

2

·Ö ±ð ³Æ Ëü ÃÇ Îª

X( t ) µÄ¾ù·½Öµº¯ ÊýºÍ ·½²î º¯ Êý , ²¢ ³Æ·½²î º¯ Êý X( t ) ÔÚ ¿Ì t ʱ

µÄËãÊõ¸ù ¦Ò ( t) Ϊ ¾ù·½²î º¯ Êý , Ëü±í ʾ Ëæ»ú¹ý ³Ì X ¶ÔÓÚ ¾ùÖµ¦Ì X ( t) µÄƽ ¾ùÆ« Àë³Ì ¶È¡£

ÓÖ t1 , t2 ¡Ê T , °Ñ X( t1 ) , X( t2 ) µÄ¶þ½× ºÏ Ô-µã¾Ø Ϊ Éè »ì ¼Ç RXX ( t1 , t2 ) ²¢ ³ÆËüΪ

¡÷ =E

X( t1 ) X( t2 )

X( t ) µÄ×Ô ¹Øº¯ Êý , ¼ò³ÆÏà ¹Øº¯ Êý , ¼Ç RXX ( t1 , t2 ) , Ïà Ϊ

ÔÚ »ì Ïý µÄÇé¿öÏ ¼ò¼Ç RX ( t1 , t2 ) ¡£ ÀàËÆ ¼Ç ²» Ϊ µØ, CX ( t1 , t2 )

¡÷ =Cov

X( t1 ), X( t2 ) = E

X( t1 ) - ¦ÌX ( t1 )

X( t2 ) - ¦ÌX ( t2 )

²¢ ³ÆËüΪ Ëæ»ú ¹ý ³Ì º¯ Êý¡£

X( t) , t¡Ê T µÄ×ÔÐ-·½ ²î º¯ Êý , ¼ò³ÆÐ-·½ ²î

ÏÖÔÚ °ÑÉÏ Ãæ ÒåµÄÖîÊý×Ö ¶¨ ÌØÕ÷ ¼äµÄ¹Øϵ ¼òÊöÈçÏ : Ö® (1) ¦·
2 2 X

( t) = RX ( t , t) ;
2

(2) CX ( t1 , t2 ) = RX ( t1 , t2 ) - ¦Ì X ( t1 )¦Ì X ( t2 ) ; (3) ¦ÒX ( t) = CX ( t , t) = RX ( t, t ) - ¦Ì X ( t) ¡£ ´ÓÀí ÂÛ µÄ½Ç ¶ÈÀ´ ¿´ , ½ö½öÑÐ ¾¿¾ùÖµº¯ ÊýºÍ ×Ô ¹Ø º¯ Êýµ±È»ÊÇ Ïà ¡¤ 2 11 ¡¤

, µ« ÊÇ ÓÉÓÚ ËüÃÇ Êµ¿Ì »®ÁËËæ»ú È· ¹ý ³Ì µÄÖ÷ Ҫͳ ¼Æ ÌØÐÔ ¶ø ÇÒ , Ô¶½ÏÓРά·Ö ²¼º¯ Êý×åÒ× ¹Û ²ì ºÍ ʵ ÏÞ ÓÚ ¼Ê Ëã, Òò¶ø¶ÔÓÚ ¼Æ Ó¦Óà Ìâ ¶øÑÔ ËüÃÇ ³£ ÄÜ Æð Òª×÷ ¡£ ¿Î , ³£ ¹» ÖØ Óà Àý 6 .5 Éè A, B ÊÇ ¸ö Ëæ Á½ »ú±äÁ¿, ÊÔ ÇóËæ »ú¹ý ³Ì X( t ) = At + B, t¡Ê T µÄ¾ùÖµº¯ ÊýºÍ ×Ô ¹Ø º¯ Êý¡£ Èç¹û A, B Ïà »¥¶ÀÁ¢, ÇÒ A¡« Ïà N(0 , 1 ) , B ¡« U ( 0 , 2) , ÎÊ X ( t ) µÄ¾ùÖµº¯ ÊýºÍ ×ÔÏà ¹Ø º¯ ÊýÓÖ »á ÔõÑù ? ½â X( t ) µÄ¾ùÖµº¯ ÊýºÍ ×Ô ¹Øº¯ Êý·Ö±ðΪ Ïà ¦Ì X ( t ) = E( At + B) = tE( A) + E( B) , t ¡Ê T RX ( t1 , t2 ) = E ( At1 + B) ( At2 + B) = t1 t2 E( A ) + ( t1 + t2 ) E( AB) + E( B ) , t1 , t2 ¡Ê T µ± A¡« N (0 , 1) ʱ, E( A) = 0 , E ( A ) = 1 , µ± B¡« U ( 0 , 2) ʱ, E ( B) = 1 , E( B ) = 0 , Ôò ¦Ì X ( t) = 1 , RX ( t1 , t2 ) = t1 t2 + Àý 6 .6 4 , t1 , t2 3
¡Ê 2 2 2 2

4 ; ÓÖ A, B ¶ÀÁ¢, ¹Ê E( AB) = E( A) E( B) = Òò 3

T

Éè X( t ) = Acos¦Øt + Bsin ¦Øt , Æä A, B ÊÇ »¥ ¶ÀÁ¢, ÖÐ Ïà
2

ÇÒ ·þ ´ÓÕý̬·Ö²¼ N (0 , ¦Ò ) µÄËæ ±äÁ¿, ¦Ø Ϊ ³£ Êý , Çó X( t) µÄ ¶¼ »ú ¾ùÖµº¯ ÊýºÍ Ïà ¹Øº¯ Êý¡£ ½â ¦Ì X ( t) = E( Acos ¦Øt + Bsin ¦Øt) = 0 RX ( t1 , t2 ) = E ( Acos ¦Øt1 + Bsin ¦Øt1 ) ( Acos ¦Øt2 + Bsin ¦Øt2 )
2 =¦Ò ( cos ¦Øt1 cos ¦Øt2 + sin ¦Øt1 sin¦Øt2 ) 2 =¦Ò cos ¦Ø( t2 - t1 )

Àý 6 .7 Êý ¡£

Çó »úÏà λ Õý Ëæ ÏÒ²¨ µÄ Öµ Êý ·½²î º¯ ÊýºÍ Ïà ¹Øº¯ ¾ù º¯ ¡¢

½â ÓÉ É覨µÄ ¼Ù ¸ÅÂÊ ¶È ÃÜ Îª ¡¤ 2 12 ¡¤

f(¦È) = ÓÚ ÊÇ

1 2 ¦Ð 0

0 < ¦È < 2 ¦Ð Æä Ëü

a 2¦Ð ¦Ì X ( t ) = E acos ( ¦Øt + ¦¨ ) = ¡Ò cos ( ¦Ø + ¦È) d¦È = 0 t 2¦Ð 0 RX ( t1 , t2 ) = E a cos ( ¦Øt1 + ¦¨ ) cos ( ¦Øt2 + ¦¨ ) a 2¦Ð = ¡Ò cos ( ¦Ø 1 + ¦È) cos ( ¦Øt2 + ¦È) d¦È t 2¦Ð 0 a = cos ¦Ø( t2 - t1 ) 2 ÌرðµØ, Áî t1 = t2 = t, ¼´µÃ·½²î º¯ ÊýΪ a ¦Ò ( t ) = RX ( t, t) - ¦Ì ( t ) = 2
2 X 2 X 2 2 2 2

Îå ¡¢ ¶þ ά Ëæ»ú ¹ý ³Ì µÄ·Ö ²¼ º¯ Êý ºÍ Êý ×ÖÌØ Õ÷ ʵ¼Ê Ìâ ÖÐ ÓÐ ÎÒÃÇ±Ø ÎÊ , ʱ Ðëͬ ʱ ¾¿Á½ »òÁ½ ÒÔ Ëæ ¹ý ÑÐ ¸ö ¸ö ÉÏ »ú ³Ì ¼°ËüÃÇ ¼äµÄͳ ¼Æ Ö® ¹Øϵ , ÀýÈç , ÊäÈëµ½Ò»¸ö ϵ ͳ µÄÐÅ ºÍ ÔëÉù¿É ºÅ ÒÔ ÊÇ »ú¹ý ³Ì , Õâʱ ¶¼ Ëæ Êä³ö Ò²ÊÇ »ú¹ý ³Ì , ÎÒÃÇ Ëæ ÐèÒªÑÐ ¾¿ÊäÈëºÍ Êä ³ö Ö® ¼äµÄͳ ¼Æ ¹Øϵ ¡£ ¶ÔÓÚ ÕâÀàÎÊ Ìâ , ÎÒÃÇ Á˶Ը÷¸ö Ëæ ¹ý ³Ì µÄ ³ý »ú ͳ ¼Æ ÌØÐÔ ÒÔ ¾¿Íâ , »¹ ±Ø ¼Ó ÑÐ Ð뽫¼¸¸ö Ëæ »ú¹ý ³Ì ×÷ ÕûÌå , ÑРΪ ¾¿Æä ͳ ¼Æ ÌØÐÔ ¡£ Éè X( t ) , Y( t ) ÊÇ ÒåÔÚ Ò»Ñù±¾ ¶¨ ͬ ¿Õ¼ä S ºÍ ͬһ²Î Êý¼¯ T ÉÏ µÄËæ »ú¹ý ³Ì , ¶ÔÓÚ ÒâµÄ t¡Ê T, ÈÎ ³Ì ¶¨ ÒåËüµÄÓРά·Ö²¼º¯ ÊýÈçÏ : ÏÞ ¶ÔÓÚ ÒâµÄÕýÕûÊý n ºÍ m, ÒÔ ÈÎ ¼°ÈÎ ÒâµÄ t1 , t2 , ¡- tn ; t¡ä , t¡ä , 1 2 ¡- , t¡ä ¡Ê T, ³Æ n + m Ôªº¯ Êý m ¡¤ 2 13 ¡¤ X( t) , Y ( t) ÊÇ Ò»¸ö ¶þά Ëæ ±ä »ú Á¿, ³Æ ( X( t ) , Y( t ) ) , t¡Ê T Ϊ ¶þ ά Ëæ»ú¹ý ³Ì ¡£ ¶ÔÓÚ Î¬ Ëæ»ú ¹ý ¶þ

F( x1 ,¡- , xn ; y1 ,¡- , ym ; t1 ,¡- , tn ; t¡ä,¡- , t¡ä ) 1 m = P X( t1 )¡Üx1 ,¡- , X( tn )¡Üxn ; Y( t¡ä 1 )¡Üy1 , ¡- , Y( t¡ä)¡Üym m
Ϊ

( X( t) , Y ( t) ) , t¡Ê T µÄ n + m ά ·Ö²¼º¯ Êý¡£ ÀàËÆ µØ¿É¶¨ ÒåÓÐ Èô¶ÔÓÚ ÒâµÄÕýÕûÊý n ºÍ m , ÒÔ ÈÎ ¼°ÈÎ ÒâµÄ t1 , ¡- , tn ; t¡ä , ¡- , 1

ÏÞ Î¬·Ö²¼º¯ Êý×å¡£ t¡ä ¡Ê T , ÈÎ ÒâµÄ x1 ¡- , xn ; y1 , ¡- , ym ¡Ê R ÓÐ m F( x1 , ¡- , xn ; y1 , ¡- , ym ; t1 , ¡- , tn ; t¡ä , ¡- , t¡ä ) 1 m = F1 ( x1 , ¡- , xn ; t1 , ¡- , tn ) F2 ( y1 , ¡- , ym ; t¡ä , ¡- , t¡ä ) 1 m ³Æ X( t) Óë Y ( t) Ïà »¥ ¶À Á¢, ÆäÖÐ F1 , F2 Y ( t ) µÄÓРά·Ö²¼º¯ Êý¡£ ÏÞ ¶þάËæ »ú¹ý ³Ì µÄÊý×Ö ÌØÕ÷ ³ý Á˸÷×Ô , µÄÊý×Ö ÌØÕ÷ , »¹ ÓÐ Íâ : 1 . »¥Ïà ¹Øº¯ Êý RXY ( s, t ) = E X( s) Y ( t) Èô¶ÔÓÚ Òâ s, t¡Ê T, RX Y ( s , t ) = 0 , ³Æ X( t) Óë Y( t ) Õý½»¡£ ÈÎ 2 . »¥Ð-·½²î º¯ Êý CXY ( s, t) = E ÏÔÈ» CX Y ( s , t) = RX Y ( s , t) - ¦Ì X ( s) ¦Ì Y ( t) Èô¶ÔÓÚ Òâ s , t¡Ê T, ÓÐCXY ( s, t ) = 0 , »ò RX Y ( s , t ) = ¦Ì X ( s) ¦Ì Y ÈÎ ( t) , ³Æ X( t) , X( t) , µ«·´ Ö® ³É Á¢¡£ ²» Àý 6 .8 Éè X( t ) , Y( t ) ·Ö±ðΪ X( t ) = U cos t + V sin t Y ( t) = Usin t + V cos t, t¡Ê ( - ¡Þ , + ¡Þ ) Æä ÖÐU, V ÊÇÁ½ Ïà »¥ ¶ÀÁ¢µÄËæ»ú ±äÁ¿, ÇÒ E ( U) = E ( V) = 0 , ¸ö ¡¤ 2 14 ¡¤ Y ( t) ²» Ïà ¹Ø¡£ Y ( t ) Ïà »¥¶ÀÁ¢Þ { X( t ) } , Y( t) ²» Ïà ¹Ø µ±¶þ½× ´æÔÚ ÔòÓÐ ¾Ø ʱ, X( s) - ¦Ì X ( s) Y( t ) - ¦Ì Y ( t )
·Ö ±ð Ϊ

X( t) ,

E( U ) = E( V ) = ¦Ò , Çó RXY ( s , t ) ¡£ ½â RX Y ( s , t) = E ( U cos s + Vsin s) ( Usin t + V cos t) = E( U2 ) cos s sin t + E( UV) ( cos scos t + sin s sin t ) + E( V ) sin s cos t = ¦Ò sin ( s + t) ¼´ RXY ( s , t) = ¦Ò sin ( s + t) ¡£ Àý 6 .9 Éè X( t ) , Y ( t) , Z ( t) Ϊ Èý¸ö Á½ ²» Ïà ¹Ø µÄËæ Á½ »ú¹ý ³Ì , ²Î Êý¼¯¾ùΪ T, ÇÒ ¦Ì X ( t ) = ¦Ì Y ( t ) = ¦Ì z ( t) = 0 Çó W( t) = X( t ) + Y ( t) + Z ( t ) µÄ×Ô ¹Øº¯ Êý RW ( s, t ) ¡£ Ïà ½â ÓÉ Ïà ¹ØÐÔ ÇÒ¦Ì X ( t ) = ¦Ì Y ( t ) = ¦Ì z ( t) = 0 , µÃ ²» , RX Y ( s , t) = RYZ ( s , t) = RZ X ( s, t ) = R YX ( s, t ) = RZ Y ( s , t) = RX Z ( s, t ) = 0 ÓÚ ÊÇ RW ( s, t ) = E X( s) + Y ( s) + Z ( s) X( t) + Y( t ) + Z ( t) = RX ( s , t ) + RY ( s, t ) + R Z ( s, t ) Áù ¡¢ Ëæ»ú ÐòÁÐµÄ Êý ×ÖÌØ Õ÷ ʵ¼Ê , ¶ÔÒ»°ã Ëæ ÉÏ »ú¹ý ³Ì µÄÊý×Ö ÌØÕ÷ µÄ¶¨ ÒåÖÐ º¬ÁËËæ Ðò °ü »ú ÁÐ µÄÇé ¿ö , ÓÉÓÚ ·¨ ÂÔÓРͬ , ÔÚ ¼òµ¥ ÖØ Èç Ï : Éè д ²» ´Ë Êö Yn
Ϊ Ëæ »ú Ðò ÁÐ 2 2 2

2

2

2

Xn ,

, Ôò

(1) ¾ùÖµº¯ Êý: ¦Ì X ( n) = E( Xn ) ; (2) Ïà ¹Øº¯ Êý: RX ( n1 , n2 ) = E( X n1 Xn2 ) ; (3) ¾ù·½Öµº¯ Êý: ¦·
2 X 2

( n) = E( X n ) ; X n - ¦Ì X ( n)
2

2 (4) ·½²î º¯ Êý:¦ÒX ( n) = E

;

(5) Ð-·½²î º¯ Êý: CX ( n1 , n2 ) ¡¤ 2 15 ¡¤

Xn2 - ¦Ì X ( n2 ) = E Xn1 - ¦Ì X ( n1 ) (6) »¥Ïà ¹Øº¯ Êý: RXY ( n1 , n2 ) = E( Xn1 Yn2 ) ¡£ ÖîÊý×Ö ÌØÕ÷ ¼äµÄ¹Øϵ ÀàËÆ Ö® ËÄÖÐ µÄ¹Øϵ ʽ ¡£ Æß¡¢ ¸´ Ëæ»ú ¹ý ³Ì

;

µ½Ä¿Ç°Îª Ö¹ , ÎÒÃÇ ËùÌÖÂÛ µÄ¹ý ³Ì ¶¼ ʵËæ ÊÇ »ú¹ý ³Ì , ¼´°Ñ¹ý ³Ì ¶¼ ±í ʾ ʱ Ϊ ¼äµÄʵֵº¯ Êý¡£ µ« ÊÇ Ä³ Щ ÔÚ Çé¿öÏ , Òª °Ñ¹ý ³Ì ±í ʾ ¸´ ³É ÊýÐÎʽ ÕâÑù¾ÍÓÐ , Á˸´ Ëæ »ú¹ý ³Ì µÄ¸Å Äî ¡£ Éè X( t ) , Y( t ) Ϊ ʵËæ »ú¹ý ³Ì , ³Æ Z ( t) = X( t ) + iY ( t) Ϊ ¸´ Ëæ »ú¹ý ³Ì ¡£ ÀàËÆ µØ¿É¶¨ Òå Z( t ) µÄÖîÊý×Ö ÌØÕ÷ ¡£ (1) ¾ùÖµº¯ Êý: ¦Ì Z ( t ) = E X( t ) + iY ( t) = ¦Ì X ( t ) + i Ì Y ( t) ¡£ ¦ (2) ·½²î º¯ Êý: DZ ( t ) = E ÊýµÄÄ£¡£ Ò× Ö¤ DZ ( t) = DX ( t ) + DY ( t ) (3) ×Ô ¹Øº¯ Êý: R Z ( s , t ) = E Z ( s) Z ( t) , Æä Ïà ÖÐZ ( s) ±í ʾ Z ( s) µÄ¹² éî ¡£ (4) »¥Ïà ¹Øº¯ Êý: Éè Z1 ( t ) , Z2 ( t ) Ϊ Á½ ¸´ Ëæ ¹ý ³Ì , ¶¨ ÒåËü ¸ö »ú ÃÇ µÄ»¥Ïà ¹Øº¯ ÊýΪ RZ 1 Z2 ( s , t) = E Z1 ( s) Z2 ( t) ¡ì Z ( t) - ¦Ì Z ( t )
2

, Æä ¡¤ Ϊ ¸´ ÖÐ

6. 2

ƽ Ëæ ÎÈ »ú¹ý ³Ì ¼°Æä ¹Øº¯ Êý Ïà µÄ ÉÏÒ» Ú ÂÛ Ë »ãËæ ½ ÌÖ Á Ò ° »ú¹ý³Ì , ±¾½Ú ½éÉÜÒ»ÀàÓ¦ Óà µ±¹ã ·º Ïà
Ëæ »ú¹ý ³Ì ¡ª¡ª¡ª ƽ ¹ý ³Ì ¡£ ÎÈ Ò»¡¢ ƽ ¹ý ³Ì µÄ¸Å Äî ÎÈ

ÔÚ Êµ¼Ê , ÓÐ µ±¶à µÄËæ ¹ý ³Ì , ²» ½öËüÏÖÔÚ ÖÐ Ïà »ú µÄ×´ ̬ , ¶ø ÇÒ Ëü ¡¤ 2 16 ¡¤

, ¶¼¶Ôδ À´×´ ̬ µÄ·¢ ÉúÓÐ ×ÅÇ¿ÁÒ µÄÓ°Ïì ¡£ ÓÐ ÕâÑùÒ»Àà ¹ý ³Ì , Æä Ìصã ÊÇ: ¹ý ³Ì µÄͳ ¼Æ ÌØÐÔ Ëæ ²» ʱ¼äµÄÍÆÒÆ ¸Ä±ä¡£ Ñϸñ µØ ¶ø ˵, Èç¹û ¶ÔÈÎ ÒâµÄ n , t1 , t2 , ¡- , tn ¡Ê T ºÍ ÈÎ ÒâµÄ h , µ± t1 + h , t2 + h , ¡- , tn + h¡Ê T ʱ, n άËæ »ú±äÁ¿ ( X( t1 ) , X( t2 ) , ¡- , X( tn )) ºÍ ( X( t1 + h) , X( t2 + h) , ¡- , X( tn + h) ) ÓРͬµÄ·Ö ²¼º¯ Êý , Ôò³ÆËæ»ú ¹ý ³Ì Ïà ͬʱ ³Æ´Ë ¹ý ³Ì Ϊ ÑÏƽ ¹ý ³Ì ¡£ ÎÈ Æ½ ¹ý ³Ì µÄ ²Î Êý ¼¯, Ò» °ã Ϊ ÎÈ 0 , ¡À1 , ¡À2 , ¡Æ½ ¹ý ³Ì ÎÈ Xn - ¡Þ , + ¡Þ , 0 , + ¡Þ , , »ò 0 , 1 , 2 , ¡- ¡£ ÖµµÃ×¢ÒâµÄÊÇ ¶ÔÓÚ ÀëÉ¢²Î Êý¼¯ X( t ) , t¡Ê T ¾ßÓÐ ÎÈ ÐÔ ²¢ ƽ ,

Çé¿ö , ¶¨ ÒåÖÐ h Ö»ÄÜ µÄ È¡ÕûÊý¡£ ÌرðµØ, ¶ÔÓÚT Ϊ ÀëÉ¢Çé¿ö , ³ÆÑÏ
Ϊ ÑÏ Æ½ ÎÈ Ëæ »ú Ðò ÁÐ »ò ÑÏ Æ½ ÎÈ Ê± ¼ä Ðò ÁÐ ¡£ ÖÐ

ÔÚ Êµ ¼Ê ÎÊ Ìâ

, È· ¶¨ ¹ý ³Ì µÄ·Ö ²¼º¯ Êý , ²¢ ÓÃËüÀ´ Åж¨ Æä ÎÈ Æ½

ÐÔ Ò»°ã ÊÇ , ºÜÄÑ µ½µÄ¡£ µ«ÊÇ °ì ¶ÔÓÚ Ò»Ð© ±»ÑÐ ¾¿µÄ¹ý ³Ì , µ±Ç°ºó µÄ»· ¾³ºÍ Ö÷ ÒªÌõ ¼þ¶¼ Ëæʱ ²» ¼äµÄÍÆÒÆ ¶ø±ä»¯ ʱ, ÔòÒ»°ã ¿ÉÒÔ Îª ÊÇƽ ÈÏ ÎÈ µÄ¡£ ÔÚ Ïß µç µç ×Ó ÎÞ Ñ§µÄʵ¼Ê Óà ËùÓöµ½µÄ¹ý ³Ì , ÓÐ ¶à¶¼¿É Ó¦ ÖÐ ºÜ ÒÔ Îª ÊÇ ÎÈ Ëæ ÈÏ Æ½ »ú¹ý ³Ì ¡£ ÀýÈç , Ò»¸ö ¹¤ ×÷ ÎÈ ¶¨ ״̬ Ï µÄ½Ó ÔÚ ÊÕ»ú Æä Êä³ö ÔëÉù¾Í¿ÉÒÔ Îª ÊÇ ÎÈ ¹ý ³Ì ¡£ ÈÏ Æ½ ½«Ëæ »ú¹ý ³Ì »®·ÖΪ ƽ ºÍ ·Ç ƽ ÓÐ ÖØ µÄʵ¼Ê ÎÈ ÎÈ ×Å Òª ÒâÒå, ÒòΪ ¹ý ³Ì ÈôÊÇ ÎÈ µÄ, ¿Éʹ ÎÊ Ì⠵ķÖÎö ÓÈ ¼ò»¯ ¡£ ÀýÈç²â Á¿µç ×èÈÈÔë ƽ Ϊ ÉùµÄͳ ¼Æ ÌØÐÔ ÓÉ ËüÊÇ ÎÈ ¹ý ³Ì , Òò¶øÔÚ ºÎ ʱ ½øÐÐ Á¿¶¼ , ÓÚ Æ½ ÈÎ ¿Ì ²â ¿É µÃµ½Ïà ͬµÄ½á¹û ¡£ Áí Íâ , ƽ ¹ý ³Ì µÄÊý×Ö ÎÈ ÌØÕ÷ ºÜºÃ µÄÐÔ ¡£ ÓÐ ÖÊ ¶¨ Àí 6 .2 . 1
2

Èç ¹û X( t) , t¡Ê T ÊÇÑÏƽ ¹ý ³Ì , ÇÒ" t¡Ê T, E ÎÈ

X ( t ) < + ¡Þ , ÔòÓÐ (1) ¦Ì X ( t) = E X( t) = ³£ Êý, t¡Ê T; (2) RX ( s , t ) = E X( s) X( t ) Ö»ÒÀ ÀµÓÚ Öµ t - s, ¶ø Óë s , t ²î ¡Ê T µÄ¾ßÌå È¡ÖµÎÞ ¹Ø¡£ Ö¤Ã÷ (1) Ê× ÓÉ ÏÈ ¿ÂÎ÷- ÐíÍß ×È µÈʽ ²» ÓÐ ¡¤ 2 17 ¡¤

E X( t )

2 ¡Ü

E X ( t) < + ¡Þ

2

¿É¼û¾ùÖµ E X( t) ´æÔÚ ¶ÔÓÚ Òâ s, t¡Ê T, ÓÉ Æ½ ¹ý ³Ì µÄ¶¨ ¡£ ÈÎ ÑÏ ÎÈ ÒåÖÐ ÕýÕûÊý n ¼° h µÄÈÎ ÒâÐÔ Öª X( s) , X( t ) ͬ·Ö²¼( È¡ n = 1 , h = t - s) Òò¶ø E X( s) = E X( t ) , " s , t¡Ê T, ¼´ ¦Ì X ( t ) Ϊ ³£ Êý¡£ (2) ͬÑùÓÉ ¿ÂÎ÷- ÐíÍß ×È µÈʽ ²» ÓÐ E X( s) X( t)
2 ¡Ü

E X ( s) E X ( t ) < + ¡Þ

2

2

¹Ê E X( s) X( t) ´æÔÚ " s1 , t1 , s2 , t2 ¡Ê T, Âú×ã t1 - s1 = t2 - s2 , ¡£ È¡ h = s2 - s1 , ÓÐs2 = s1 + h , t2 = t1 + h , Ôò( X( s1 ) , X ( t1 ) ) , Óë( X ( s2 ) , X ( t2 ) ) ÓÐÏà ͬ µÄ ¶þ ά ·Ö ²¼ , Òò¶ø E X( s1 ) X( t1 ) = E X( s2 ) X( t2 ) , ¼´ RX ( s, t ) Ö»ÒÀ ÀµÓÚ t - s, ¶ø ²» ÒÀÀµÓÚs , t µÄ¾ß Ìå È¡Öµ¡£ ÔÚ ÒåÑÏƽ ¹ý ³Ì ʱ, Óà ¶¨ ÎÈ µ½Ëæ »ú¹ý ³Ì X( t) µÄÈÎ ÒâÓÐ ¶à¸ö Ëæ ÏÞ »ú±äÁ¿µÄÁª ºÏ ·Ö²¼ , Õâ¸ø ÎÊ Ìâ µÄÌÖÂÛ À´ ºÜ´ó À§ÄÑ, ¿¼ÂÇ ´ø µ½¹ý ³Ì ÖÐ µÄËæ »ú±äÁ¿µÄÒ»½× ¶þ½× ÄÜ Ó³¹ý ³Ì µÄÐí¶àÌØÐÔ ËüÃÇ ¡¢ ¾Ø ·´ , µÄ¼Æ ËãÒ² ±È ½ÏÈÝÒ× ¶øÇÒ Ðí¶àÎÊ Ìâ ÖÐ ËüÃǽøÐÐ , ÔÚ Óà ·ÖÎö ¿ÉÒÔ µÃµ½ÂúÒâµÄ½á ¹û , ÈËÃÇ ¶øÈ¥ÑРת ¾¿¹ý ³Ì µÄÒ»¶þ½× ¡£ Ò»¸ö Ëæ ¾Ø »ú¹ý ³Ì X( t) Âú×ã¶Ô ÈÎ Òâ t¡Ê T, E X ( t) < + ¡Þ , Ôò³ÆÖ® ¶þ½× ¹ý ³Ì ¡£ Ϊ ¾Ø ÓÉ Àí 6 .2 .1 ÖÐ ¶¨ ËùÖ¤Ã÷ µÄÑÏƽ ¹ý ³Ì µÄÒ»¶þ ½×¾Ø ÎÈ µÄÌصã , Òý Èë¿í ƽ ¹ý ³Ì µÄ¸Å Äî ¡£ ÎÈ ¶¨ Òå6 .2 . 1 Èç ¹û¶þ ¾Ø ½× ¹ý³Ì X( t) , t¡Ê T Âú×ã: (1) E X( t) = ¦Ì X ( ³£ Êý) , t¡Ê T ; (2) " t , t + ¦Ó T, RX (¦Ó) ¡Ê
2

¡÷ =E

X( t ) X( t + ¦Ó) Ö»ÒÀ ÀµÓÚ¦Ó ¡£
Ϊ Ëü µÄ ¾ù Öµ

Ôò³Æ X( t ) , t¡Ê T Ϊ ¿í ƽ ¹ý ³Ì , ²¢ ³Æ ¦Ì X ÎÈ Xn E( X n ) < + ¡Þ , ÒÔ ¼°
2

, RX ( ¦Ó) Ϊ

ËüµÄ×Ô ¹Ø º¯ Êý¡£ ÌرðµØ, µ± T Ϊ ÀëÉ¢ ²Î Êý ¼¯Ê±, Èô Ëæ»ú ÐòÁÐ Ïà
Âú ×ã

¢Ù E( Xn ) = ¦Ì X ( ³£ Êý) , " n¡Ê T; ¡¤ 2 18 ¡¤

Rx ( m ) ³Æ Xn
¿í ¼û Ϊ ¿í

¡÷ = E( Xn Xn +

m

) Ö»Óë m ÓÐ ¹Ø¡£
ƽ ÎÈ Ê± ¼ä Ðò ÁÐ ¡£ ³Ì »ò ¹ã Òå ƽ ÎÈ ¹ý ³Ì ¡£ Ϊ ÁË Çø ±ð Æð

ƽ ÎÈ Ëæ »ú Ðò ÁÐ »ò ¿í ³Ì Ò² ³Æ Èõ ƽ ÎÈ ¹ý

ƽ ÎÈ ¹ý

, Ò²³ÆÑÏƽ ¹ý ³Ì Ϊ ǿƽ ¹ý ³Ì »òÏÁ Òåƽ ¹ý ³Ì ¡£ Ò»°ã À´ ˵, Èõ ÎÈ ÎÈ ÎÈ

ƽ ¹ý ³Ì ²» Ò»¶¨ ÊÇ ÎÈ Ç¿Æ½ ¹ý ³Ì ¡£ ·´ ¹ý À´ , ǿƽ ¹ý ³Ì Ò»°ã Ҳδ ±Ø ÎÈ ÎÈ ÊÇ Èõƽ ¹ý ³Ì , ÒòΪ ËüµÄ¶þ½× ²» Ò»¶¨ ´æÔÚ ÒÔ Ö»ÌÖÂÛÈõƽ ÎÈ ¾Ø ¡£ ºó ÎÈ ¹ý ³Ì , ²¢ ÇÒ ¼ò³ÆΪ ƽ ¹ý ³Ì ( »òƽ ÐòÁÐ ¡£ ÎÈ ÎÈ ) Àý 6 .10 Èç ¹û X n , n = 0 , ¡À1 , ¡À2 , ¡- Ϊ »¥ ²» Ïà ¹Ø µÄËæ»ú ±ä
2 2 Á¿ÁÐ, ÇÒ E( Xn ) = 0 , E( X n ) = ¦Ò > 0 , Ôò Xn Ö¤ Ã÷ ÓÉ Ìâ Éè Ò× Öª Ϊ ƽ ÎÈ Ê± ¼ä Ðò ÁÐ ¡£

n , m = 0 , ¡À 1 , ¡À 2 , ¡0 n ¡Ù m , ÔÙ ¿¼ÂÇ E( Xn ) = 0( n = 0 , ¡À1 , ¡À2 , ¡- ) , ¿É¼û X n Ϊ ƽ ÎÈ Ðò ÁÐ ¡£
Àý

E( Xn Xm ) =

¦Ò

2

n = m,

6 .11

Éè s( t ) ÊÇ Ò»ÖÜ Îª T µÄÈ· Öµº¯ Êý , ¦¨ ¡« U( 0 , T ) , ³Æ ÆÚ

X( t ) = s( t + ¦¨ ) Ϊ Ëæ »úÏà λ ÖÜ ÐÅ , ÌÖÂÛ Æ½ ÐÔ ÆÚ ºÅ Æä ÎÈ ¡£ ½â ÓÉ Éè , ¦¨ µÄ¸Å ÂÊÃÜ ¼Ù ¶ÈΪ f (¦È) = ÓÚ ÊÇ 1 T 1 t+ T E X( t) = ¡Ò s( t + ¦È)d¦È = ¡Ò s(¦¼) d¦¼ T 0 T t 1 T = ¡Ò s(¦¼)d¦¼ = ³£ Êý T 0 ¶ø×Ô ¹Øº¯ Êý Ïà RX ( t, t + ¦Ó = E s( t + ¦¨ ) s( t + ¦Ó+ ¦¨ ) ) 1 T = ¡Ò s( t + ¦È) s( t + ¦Ó+ ¦È) d¦È T 0 ¡¤ 2 19 ¡¤ 1 T 0 0 < ¦È < T Æä Ëü

1 t+ T = ¡Ò s(¦¼) s(¦¼+ ¦Ó) d¦¼ T t ͬ Ñù, ÀûÓà s(¦¼) s(¦¼+ ¦Ó) ¹ØÓÚ¦¼µÄÖÜ ÐÔ ¿ÉÖª ÆÚ , 1 T RX ( t, t + ¦Ó) = ¡Ò s(¦¼) s(¦¼+ ¦Ó)d¦¼ T 0 ÕýÏÒ²¨ ÊÇ ÎÈ ¹ý ³Ì ¡£ ƽ Àý 6 .12 ¿¼ Ëæ ÂÇ »úµç±¨ÐÅ ÐźŠX( t ) Ö»ÓÉ + I ºÍ - I µÄ ºÅ, È¡ 1 2 µç Á÷ ³ö , ÕâÀï ¸ø P X( t) = + I = P X( t ) = - I =

¡÷ = RX (¦Ó)

Ö» ¦ÓÓÐ , ËùÒÔ »ú Ïà λ ÖÜ ¹ý ³Ì ÊÇƽ µÄ¡£ ÏÔÈ», Ëæ Ïà λ Óë ¹Ø Ëæ ÆÚ ÎÈ »ú

¶ø Õý¸º ºÅÔÚ Çø¼ä( t, t + l ) ÄÚ ±ä»¯ µÄ´Î Êý N ( t, t + l ) ÊÇËæ µÄ, ÇÒ »ú ¼Ù Éè N( t, t + l ) ·þ ´Ó ²´ ËÉ ·Ö ²¼ , Òà ¼´ Ê ¼þ Ak

¡÷ =

N( t, t + l ) = k µÄ¸Å ÂÊΪ k (¦Ël ) P( Ak ) = e k!

¦Ël

k = 0 , 1, 2 , ¡-

Æä ÖÐ¦Ë > 0 ÊÇ µ¥Î» ʱ¼äÄÚ ±äºÅ ´Î ÊýµÄÊýѧÆÚ , ÊÔÌÖÂÛ X( t) µÄ Íû ƽ ÐÔ ÎÈ ¡£ ½â ÏÔÈ», E X( t ) = 0¡£ ÏÖÔÚ À´¼Æ RX ( t, t + ¦Ó) .ÏÈ Éè ¦Ó> Ëã 0 , ×¢Òâµ½, Èç¹û µç Á÷ ( t, t + ¦Ó) ÄÚ ÔÚ ±äºÅ Ææ Êý´Î , Ôò X( t ) Óë X ( t + ¦Ó) ±Ø ÒìºÅ ÇÒ X( t) X( t + ¦Ó) = - I2 ; Èç¹û µç Á÷ÔÚ t , t + ¦Ó) ÄÚ ( ±äºÅ ż Êý´Î , Ôò X( t) Óë X( t + ¦Ó) ±Ø ͬºÅ , X( t) X( t + ¦Ó) = I , ÒòΪ 2 P X( t ) X( t + ¦Ó) = I = P( A0 ) + P( A2 ) + P( A4 ) + ¡P X( t ) X( t + ¦Ó) = - I2 ÓÚ ÊÇ
¡Þ ¡Þ 2

= P( A1 ) + P( A3 ) + P( A5 ) + ¡-

E X( t) X( t + ¦Ó) = I ¡Æ k=0 2

P( A2 k ) - I ¡Æ k=0 2

P( A2 k+ 1 )

= Ie ¡¤ 2 20 ¡¤

2

¡Þ - ¦Ë ¦Ó ¡Æ k=0 ( - ¦Ë ¦Ó) k!

k

= Ie
×¢ Òâ

2

- 2 ¦Ë ¦Ó

, ÉÏ Êö½á¹û Óë t ÎÞ ¹Ø , ¹Ê µ± ¦Ó< 0 ʱ, Áî t¡ä= t + ¦Ó, ÔòÓÐ E X( t ) X( t + ¦Ó = E X( t¡ä X( t¡ä- ¦Ó ) ) ) = E X( t¡ä X( t¡ä+ | ¦Ó| ) = I e )
2 - 2 |¦Ó| ¦Ë

µ±

¦Ó

= 0 ʱ E X( t ) X( t + ¦Ó) = E X ( t) = I
2 - 2¦Ë|¦Ó| 2 2

¹Ê

RX ( t, t + ¦Ó) = I e
Ö» Óë ¦Ó ÓÐ ¹Ø ¡£ Òò ´Ë

, Ëæ »úµç ±¨ ÐÅ ºÅÊÇ ºâ µÄ¡£ ƽ X( t) = tY, t¡Ê ( - ¡Þ , + ¡Þ )

Àý6 .13

Éè »ú¹ý³Ì Ëæ
2

ʽ ÖÐY Ϊ ·Ç ÁãËæ »ú±äÁ¿, E( Y ) < + ¡Þ , ÌÖÂÛ X( t) µÄƽ ÐÔ ÎÈ ¡£ ½â E X( t ) = E( tY) = tE( Y) RX ( t , t + ¦Ó) = E ( tY) ( t + ¦Ó) Y = t( t + ¦Ó) E( Y2 ) µ± E( Y) ¡Ù0 ʱ, ¦Ì X ( t ) Óë t ÓÐ µ± E ( Y ) = 0 ʱ, ¦Ì X ( t ) Ϊ ³£ Êý¡£ ¹Ø; ¶ø R( t, t + ¦Ó) ×Ü t ÓÐ , ¹Ê X( t) ²» ÊÇ ÎÈ ¹ý ³Ì ¡£ Óë ¹Ø Æ½ Àý 6 .14 Éè ״̬Á¬ ¡¢ ¼ä ë µÄ »ú¹ý³Ì Ðø ʱ À É¢ Ëæ Xn = sin2¦Ðan , Xn n = 1 , 2 , ¡Îª ƽ ÎÈ Ðò ÁÐ ¡£

ʽ , a Ϊ Ëæ ÖÐ »ú±äÁ¿, a¡« U(0 , 1) , ÊÔ Ö¤Ã÷ X n
½â ÏÔ È» ÊÇ ¶þ ½× ¾Ø ¹ý 1 ³Ì ¡£ ÓÖ

E( X n ) = ¦Ðand a = 0 ( ³£ Êý ) ¡Ò 0 sin 2
1

RX ( n , n + m ) = E( Xn Xn + 1 1 = ¡Ò 2 0

¡¤sin 2 ( n + m) d a ¦Ða m) = ¡Ò 0 sin 2¦Ðan

cos 2 ¦Á - cos 2¦Ð(2 n + m ) a d a ¦Ðm

¡¤ 2 21 ¡¤

=

1 2

m = 0,

0 m¡Ù0 Ö»ÒÀ ÀµÓÚm, ËùÒÔ Xn Ϊ ƽ ÎÈ
¶þ ¡¢ ƽ ÎÈ ¹ý ³Ì Ïà ¹Ø º¯ Êý

Ðò ÁÐ ¡£

µÄ

ÐÔ ÖÊ

Éè

X( t ) Ϊ ƽ ¹ý ³Ì , ÔòÓÐ ÁÐ ÖÊ ÎÈ Ï ÐÔ :
2

(1) RX (0) = E X ( t )

¡÷ = ¦· 2X ¡Ý

0

ÏÂÒ»Õ ½«½øÒ»²½Ö¸³ö , RX (0 ) ´ú ±í ÁËƽ ¹ý ³Ì µÄ ƽ ÎÈ ¡° ¾ù¹¦ ÂÊ¡± ¡£ (2) RX (¦Ó Ϊ ż Êý , ¼´ RX (¦Ó = RX ( - ¦Ó) ) º¯ ) ÕâÊÇ ÒòΪ ×Ô ¹Øº¯ Êý¾ßÓÐ Ïà ¶Ô³ÆÐÔ RX (¦Ó = E X( t) X( t + ¦Ó) ) = E X( t + ¦Ó) X( t + ¦Ó - ¦Ó) = RX ( - ¦Ó) (3) | RX (¦Ó) | ¡Ü RX (0) ÓÉ ¿ÂÎ÷- ÐíÍß ×È µÈʽ ²» | RX (¦Ó | 2 = ) E X( t) X( t + ¦Ó)
2 ¡Ü

E X2 ( t) E X2 ( t +¦Ó) = R2X (0)

(4) Èôƽ ¹ý ³Ì X( t ) Âú×ãÌõ ¼þ X ( t ) = X( t + T ) , Ôò³ÆËüΪ ÎÈ ÖÜ ¹ý ³Ì , Æä T Ϊ ¹ý ³Ì µÄÖÜ ¡£ ÖÜ Æ½ ¹ý ³Ì µÄ×Ô ¹Ø º¯ Êý±Ø ÆÚ ÖÐ ÆÚ ÆÚ ÎÈ Ïà ÊÇ ÒÔT Ϊ ÖÜ µÄÖÜ º¯ Êý¡£ ÒòΪ ÆÚ ÆÚ RX (¦Ó+ T) = E X( t ) X( t + ¦Ó+ T) = E X( t) X( t +¦Ó) = RX (¦Ó ) (5) RX (¦Ó ÊÇ ¸º ¶¨ µÄ, ¼´ " t1 , t2 , ¡- , tn ¡Ê T ¼° " a1 , a2 , ¡- , ) ·Ç an , ÓÐ n n

¡Æ ¡Æ j= 1 k=1

RX ( tj - tk ) aj ak

¡Ý

0

ÕâÊÇ ÒòΪ n n ¡Æ k= 1 n n

¡Æ j=1 ¡¤ 2 22

RX ( tj - tk ) aj ak = ¡Æ ¡Æ j= 1

E X( tj ) X( tk ) aj ak

k=1

¡¤

n

n

= E ¡Æ ¡Æ X( tj ) X( tk ) aj a k j=1 k=1 n 2

= E

¡Æ aj X( tj ) j= 1

¡Ý

0

Èý ¡¢ ƽ Ïà ¹Ø ºÍ »¥ Ïà ¹Ø º¯ Êý ÎÈ ¶¨ Òå6 .2 . Éè X( t ) , Y ( t) Ϊ ¶þƽ ¹ý ³Ì , Èç¹û " t, t + ¦Ó¡Ê 2 ÎÈ T, RX Y ( t, t + ¦Ó) = E X( t ) Y( t + ¦Ó) Ö»ÒÀÀµ ÓÚ¦Ó, ³Æ X( t) , Y ( t ) ÊÇ ÎÈ Ïà ¹ØµÄ, »òÁª ºÏ ƽ µÄ, ²¢ ³Æ ƽ ÎÈ RX Y (¦Ó ) Ϊ (1) RX Y (0) = RYX (0) ; (2) RX Y (¦Ó = RYX ( - ¦Ó) ; ) »¥Ïà ¹Øº¯ Êý¼´²» ÊÇ º¯ ÊýÒ²²» ÊÇ º¯ Êý¡£ Ææ ż (3) | RXY (¦Ó) | RX (0) R Y (0) ; 1 RX (0) + R Y (0) ( ÓÉ ) ¡£ (4) | RXY (¦Ó) | ¡Ü (3) 2
¡Ü 2

¡÷ = RX Y ( t, t + ¦Ó)

X( t ) Óë Y ( t) µÄ»¥Ïà ¹Øº¯ Êý¡£ »¥Ïà ¹Øº¯ ÊýÓÐ ÈçÏ ÐÔ : ÖÊ

ËÄ¡¢ ¸´ ƽ ¹ý ³Ì ÎÈ Èô¸´ Ëæ »ú¹ý ³Ì Z ( t ) = X( t) + jY( t ) Âú×ã: (1) ¦Ì Z ( t) = ¦Ì X + ¦Ì Y j (2) RZ (¦Ó ) Éè X( t ) ,
Ϊ ¸´ ³£ Êý

¡÷ = RZ ( t , t + ¦Ó) Ö»Óë¦ÓÓÐ ¹Ø¡£
Y( t ) Ϊ ƽ µÄÇÒ ºÏ ƽ µÄʵËæ ¹ý ³Ì , Ôò Z ÎÈ Áª ÎÈ »ú

;

Ôò³Æ Z ( t ) Ϊ ¸´ ƽ ¹ý ³Ì ¡£ ÎÈ ( t) = X( t ) + jY( t) Ϊ ¸´ ƽ ¹ý ³Ì ¡£ Ö¤Ã÷ ÎÈ Áô¸ø ¶ÁÕß¡£ Áí Íâ , R Z (¦Ó) = R Z ( - ¦Ó) ¡£ ÒòΪ RZ (¦Ó = E Z ( t) Z ( t + ¦Ó) ) = E Z ( t) Z ( t + ¦Ó) = RZ ( - ¦Ó) ¡¤ 2 23 ¡¤

¡Þ X( t) = ¡Æ a n g( t - nT) , t ¡Ê ( - ¡Þ , + ¡Þ ) n = - ¡Þ Æä , a n ÖÐ
Ϊ ƽ ÎÈ Ðò ÁÐ

, ¾ùֵΪ ¦Ì a , ×Ô ¹Øº¯ ÊýΪ Ra ( n) , g( t ) Ϊ Ïà

È· ¶¨ ÐÔ ºÅ , T Ϊ ³£ Êý , ³Æ´Ë Àà¹ý ³Ì Ϊ Ñ-»· ƽ ¹ý ³Ì »òÖÜ Æ½ ¹ý ÐÅ ÎÈ ÆÚ ÎÈ ³Ì ¡£ ÕâÀà¹ý ³Ì ´ú ±í Á˼¸ÖÖ ÐÔ Ïß µ÷ÖÆ ÊõÖÐ ¼¼ µÄËæ »úÐÅ ¡£ Ëæ ºÅ »úÐòÁÐ an
±í ʾ ÐÅ µÀ ÖÐ ´« Êä Ö® ÐÅ ºÅ µÄ Êý ×Ö ÐŠϢ Ðò ÁÐ

,

1 ±í ʾ ºÅ ´« ÊäµÄ ÐÅ T

ËÙ ÂÊ¡£ ¶ÔÓÚ ÕâÀà¹ý ³Ì , ÎÒÃÇ ÌÖÂÛ Æ½ ÐÔ Æä ÎÈ ¡£ ¡Þ ¦Ì X ( t) = E X( t ) = ¡Æ E( an ) g ( t - nT ) n = - ¡Þ

¡Þ

= ¦Ì a

¡Æ n = - ¡Þ

g( t - nT)

RX ( t, t + ¦Ó) = E X( t ) X( t + ¦Ó ) ¡Þ ¡Þ = ¡Æ ¡Æ E( a n am ) g ( t - nT ) g( t + ¦Ó - mT) n = - ¡Þ m = - ¡Þ

¡Þ

¡Þ

= ¡Æ ¡Æ n = - ¡Þ m =

Ra ( n - m) g( t - nT) g( t + ¦Ó - mT)
- ¡Þ

ÏÔÈ», ¦Ì X ( t ) , RX ( t , t + ¦Ó) ¾ùÓë t ÓÐ , Õâ˵Ã÷ ¹Ø ËùνµÄ° Ñ-»· ƽ ¡± ¡ ÎÈ , ²» ÊÇÇ°Ãæ µÄƽ ÐÔ ¼´´Ë Àà¹ý ³Ì ²¢ ²» ÊÇ ÕýµÄƽ ¹ý ³Ì ¡£ µ« ¦Ì X ÎÈ , Õæ ÎÈ ( t ) , RX ( t , t + ¦Ó) ¹ØÓÚt ¾ùÊÇ ÒÔT Ϊ ÖÜ µÄÖÜ º¯ Êý¡£ Ö»Ö¤ RX ( t, ÆÚ ÆÚ t + ¦Ó) µÄÖÜ ÐÔ ÆÚ RX ( t + T, t + T + ¦Ó) ¡Þ ¡Þ = ¡Æ ¡Æ Ra ( n - m ) g( t + T - nT) g( t + ¦Ó+ T - mT) n = - ¡Þ m = - ¡Þ

¡¤ 2 24 ¡¤

¡Þ

¡Þ

= ¡Æ ¡Æ Ra ( n - m) g t - ( n - 1 ) T g t + ¦Ó - ( m - 1 ) T n = - ¡Þ m = - ¡Þ = RX ( t, t + ¦Ó ) ¼´ ¦Ì X ( t) , RX ( t, t + ¦Ó) Ò²ÓÐ Ò»¶¨ µÄ ÖÜ Æ½ ÐÔ ¡£ ¡° ÆÚ ÎÈ ¡± ÔÚ ÌÖÂÛ X( t ) µÄƵ ÌØÐÔ ÓÐ ÖÖ ·¨ : Æä ÓÉ RX ( t, Æ× Ê±, Á½ ·½ Ò», ÓÚ t + ¦Ó) ÒÀ ÀµÓÚ ¸ö ±äÁ¿ t ,¦Ó, ËùÒÔ Á½ ¿ÉÀûÓà ¶þά¸µ Àï Ò¶±ä»» ; Æä , Àû ¶þ Óà ÆÚ , ¶¨ Òåʱ ÖÜ ÐÔ ¼äƽ ¾ù×Ô ¹Øº¯ Êý Ïà 1 «… (¦Ó = ¡Ò RX ) T
T 2 T 2

RX ( t, t + ¦Ó d t )

ÕâÑù¾ÍÏû ³ý ÁË RX ( t , t + ¦Ó) ¶Ô t µÄÒÀ ÀµÐÔ Í¬Ê±³Æ«… (¦Ó) µÄ¸µ ÊÏ ¡£ RX ±ä»» «…( ¦Ø) Ϊ ƽ SX ¾ù¹¦ ÂÊÆ× ¶È, ´Ó¶ø¿Éͨ ¹ý ÌÖÂÛ ¾ù¹¦ ÂÊÆ× »® ÃÜ Æ½ ¿Ì Ñ-»· ƽ ¹ý ³Ì µÄƵ ÌØÐÔ ÎÈ Æ× ¡£

¡ì

6. 3

Ëæ »ú¹ý ³Ì µÄ΢ ·ÖÓë»ý·Ö µÄ΢ ·Ö ºÍ »ý ·Ö¡£

ÔÚ Ô ÑÐ ¿ ÐÎÒÃǾ-³£ Éæ¼°µ½Ëæ»ú¹ý ³Ì Ò ºóµÄ ¾ Ö ,

Èçͬ ÆÕ º¯ ÊýµÄÇé¿ö Ò»Ñù, ÕâЩ ͨ ÔËË㶼ÊÇ ¼«ÏÞ ÔË Ëã¡£ µ«ÊǶÔËæ»ú ¹ý ³Ì ¶ø ÑÔ ËüÃÇ ¼°µÄËæ , Éæ »ú±äÁ¿ÐòÁÐ µÄ¼«ÏÞ ºÍ ÊÕ Á²ÎÊ Ìâ , ÕâЩ ¸ÅÄî ÔÚ ¸ÅÂÊ ÒÑ ÖÐ ×÷½éÉÜ, ¸ø ³ö ÁË ¼¸ÖÖ Í¬ µÄ¶¨ Òå·½ ·¨ ¡£ ÕâÀォÔÚ ²» ¾ù·½ ÊÕ Á²µÄÒâÒåϸø ³ö Á¬ ΢ ·Ö ºÍ »ý ·ÖµÄ¶¨ Òå¡£ ±¾½Ú Ðø¡¢ ½«¼Ù ÉèËùÓöµ½ µÄËæ »ú±äÁ¿µÄ¶þ ½× ¾ù´æÔÚ ¾Ø ¡£ Ò»¡¢ Ëæ»ú Á¬Ðø ¶¨ Òå6 .3 . 1 E Ôò³ÆËæ»ú ¹ý ³Ì Èç ¹ûËæ »ú¹ý³Ì X( t) Âú×ã
2 ¡ú

X( t +¦¤ t) - X( t )

0 , (¦¤ t¡ú 0 )

(6 .3 .1 )

X( t ) ÔÚ t ʱ¿Ì ÔÚ¾ù·½ ÒâÒå Ï Á¬Ðø, ¼ò³Æ ¡¤ 2 25 ¡¤

X( t ) ÔÚt ʱ ¾ù·½Á¬ ¿Ì Ðø¡£ (6 .3 .1) ʽ ¿ÉÓþù·½¼«ÏÞ µÄ¼Ç ¼ò¼Ç ºÅ

l ¦¤t¡ú .0 X( t + ¦¤ t ) = X( t ) .i m ʽ ÖÐl .i .m ´ú ±í ¾ù·½ÒâÒåϵļ«ÏÞ , ÊÇÓ¢ÎÄ limit in mean µÄËõд¡£ ÓРʱÔÚ »ì Ïý µÄÇé¿ö Ï , Ò²¿ÉÓà t¡ú 0 X( t + ¦¤ t) = X( t ) , µ«Õâʱ ²» lim µÄ¼« ¦¤ ÏÞ ²¢ ·Ç ÆÕ ÒâÒåÏ µÄ¼«ÏÞ ¡£ ͨ Èç¹û X( t ) ÔÚ ºÎ ʱ t¡Ê T ¾ù·½Á¬ Ôò³ÆËüÔÚ T ÉÏ ¾ù·½ ÈÎ ¿Ì Ðø, Á¬ ¼ò³Æ X( t) ¾ù·½Á¬ Ðø, Ðø¡£ ´ÓËæ »ú¹ý ³Ì µÄ¾ù·½Á¬ ÐøÐÔ ²» ÄÑ , ÍƳö ËüµÄ¾ùÖµº¯ ÊýÒ² ÊÇ Á¬Ðø µÄ, ¼´ lim ¦¤t¡ú 0 ¦Ì X ( t + ¦¤ t) = ¦Ì X ( t) Ö¤Ã÷ ÓÉ ¿ÂÎ÷- ÐíÍß ×È µÈʽ ²» E X( t + ¦¤ t ) - X( t)
ÓÉ ¹ý ³Ì ¾ù ·½ ²î Á¬ Ðø 2 ¡Ü

(6 .3 .2 )
2

E

X( t +¦¤ t) - X( t )

, ¹Ê ÉÏ Ê½ ¶ËË榤 t¡ú 0 ¶ø Ç÷ÓÚ ÔòÆä ÓÒ Áã, ×ó¶ËÒ²

Ç÷ ÓÚ0 , ÓÚ ÊÇ ¦Ì X ( t + ¦¤ t ) - ¦Ì X ( t ) = E X( t + ¦¤ t) - X( t ) ¡ú 0 ,¦¤ t¡ú 0 ¿É½«(6 .3 .2 ) ʽ ʾ Ï ÁÐ ±í ³É ÐÎʽ lim .i m ¦¤t¡ú 0 E X( t + ¦¤ t ) = E l ¦¤t¡ú .0 X( t + ¦¤ t ) ÓÉ ¿É¼û, ÎÒÃÇ ´Ë ¿ÉÒÔ ½»»»Çó¼«ÏÞ ÓëÊýѧÆÚ µÄ´Î Ðò, ÒÔ ÎÒÃÇ Óà Íû ºó ³£ Õâ¸ö ½áÂÛ, ²¢ ¼òдΪ lim lim ¦¤t¡ú 0 E X( t + ¦¤ t) = E ¦¤t¡ú 0 X( t +¦¤ t) ¶Ô ƽ ¹ý ³Ì , ¾ù·½Á¬ ÓÚ ÎÈ ÐøÓë×Ô ¹Øº¯ ÊýµÄÁ¬ Ïà ÐøÐÔ ¼äÓÐ Ö® ×ÅÃÜ µÄ ÇÐ ¹Øϵ ¡£ ¶¨ Àí 6 .3 . Éèƽ ³Ì 1 Îȹý (¦Ó) , ÔòÏ ÁÐ ÖîÌõ ¼þµÈ¼Û : (1) (2) X( t ) ÔÚT ÉÏ ¾ù·½Á¬ Ðø; X( t ) ÔÚt = 0 ´¦ ¾ù·½Á¬ Ðø; X( t ) , t¡Ê T µÄ×Ô ¹Ø º¯ ÊýΪ RX Ïà

(3) RX (¦Ó ÔÚ¦Ó= 0 ´¦ Á¬ ) Ðø; ¡¤ 2 26 ¡¤

(4) RX (¦Ó ÔÚ T ÉÏ Á¬ ) Ðø¡£ Ö¤Ã÷ (1) Þ (2) ÏÔÈ»¡£ (2) Þ (3) ÊÇ ÓÚ h¡ú 0 ʱ ÓÉ µ± 2 2 RX ( h) - RX ( 0) = E X(0) X( h) - E X (0 ) =
¡Ü 2

E X(0) X( h) - X(0) E X (0)
2 ¡Ü 2

2 2 ¡ú

E

X( h) - X(0 )

0
2

(3) Þ (4) µ± h¡ú 0 ʱ RX ( t + h) - RX ( t ) (4) Þ (1) µ± h¡ú 0 ʱ E X( t + h) - X( t )
2

RX (0) E

X( t + h) - X( t)

= 2 RX (0) RX ( 0) - RX ( h ) ¡ú 0 = 2 RX (0) - RX ( h) ¡ú 0

¶þ ¡¢ Ëæ»ú ¹ý ³Ì µÄµ¼Êý ¶¨ Òå6 .3 . 2 ¢z ( t ) Âú×ã X lim ¦¤t¡ú 0 E ¼´ l ¦¤t¡ú .m .i 0 X( t +¦¤ t) - X( t ) = ¢z ( t ) X ¦¤ t X( t + ¦¤ t) - X( t) - ¢z t) X( ¦¤ t
2

Éè X( t) Ϊ Ëæ ¹ý ³Ì , Èô´æ ÔÚ Ò»¸ö Ëæ»ú±äÁ¿ »ú Áí

= 0

Ôò³Æ X( t ) ÔÚt ʱ ÓÐ ¿Ì ¾ù·½µ¼Êý , ÇÒ ¾ù·½µ¼ÊýΪ ¢z t ) ,¢z t) Ò²¼Ç X( X( Ϊ d X( t) ¡£ Èô¶ÔÈÎ ÒâµÄ t¡Ê T, dt X( t ) ¾ù·½¿Éµ¼¡£ X( t ) ÔÚ t ʱ¿Ì ¾ù·½ ¿É µ¼, Ôò³Æ

Ò» ¹ý ³Ì ºÎ ʱ ¾ù·½µ¼ÊýÄØ? ÓÐ ÃæµÄ¼òµ¥×¼ ÈôËæ ¹ý ¸ö ÓÐ Ï Ôò: »ú ³Ì X( t ) µÄ×Ô ¹Øº¯ Êý RX ( t1 , t2 ) ÔÚ t0 , t0 ) µÄ¸½½ü´æÔÚ Ïà ( ¶þ½× µ¼ Æ«
2 2

¶ RX ( t1 , t2 ) ¶ RX ( t1 , t2 ) Êý , ¶øÇÒ ¶þ½× µ¼ÊýÔÚ t0 , t0 ) Á¬Ðø, ¼´ Æ« ( ¼° ¶ t1¶ t2 ¶ t2¶ t1 ÔÚ ( t0 , t0 ) ¸½½ü´æÔÚ ÇÒ , ÔÚ t0 , t0 ) Á¬ Ôò X( t) ÔÚt0 ʱ ¿Ì ÓÐ ¾ù ·½ ( Ðø, µ¼ Êý ¡£ Èô ÔÚ ÈÎ ºÎ

( t0 , t0 ) µãÂú×ãÉÏ ÊöÌõ ¼þ, Ôò X( t ) ¾ù·½¿Éµ¼¡£ ¡¤ 2 27 ¡¤

, Ëæ »ú¹ý ³Ì ÓÐ µ¼Êý , Ê×ÏÈ ¹ý ³Ì ±Ø ÐëÊÇ ¾ù·½ Á¬ ÐøµÄ, µ« Ëæ »ú¹ý ³Ì µÄ¾ù·½Á¬ ÐøÐÔ ÄÜ ²» ±£Ö¤¹ý ³Ì ÓÐ µ¼Êý¡£ ÎÒÃÇ ÌÖÂÛ¢z ( t) À´ X µÄÊýѧÆÚ ºÍ Ïà ¹Øº¯ Êý¡£ Íû ¶¨ Àí 6 .3 . 2 (1) ¦Ì Y ( t ) = Éè Y( t) = ¢z t ) Ôò X( d¦Ì X ( t ) ; dt 2 ¶ RX ( t1 , t2 ) (2) RY ( t1 , t2 ) = ¡£ ¶ t1¶ t2 Ö¤ Ã÷ (1) ¦Ì Y ( t) = E Y ( t) = E l ¦¤ .0 .i m t¡ú = ¦¤t¡ú 0 E lim = ¼´ E d X( t) dt = d E X( t) dt d¦Ì X ( t ) dt X( t + ¦¤ t) - X( t ) ¦¤ t
X

¦Ì X( t + ¦¤ t) - X( t) = ¦¤t¡ú 0 lim ¦¤ t

( t + ¦¤ t ) - ¦Ì X ( t) ¦¤ t

ÓÉ ¿É¼û, Ëæ ´Ë »ú¹ý ³Ì µÄµ¼ÊýÔË ËãÓëÊýѧÆÚ ÔË Íû ËãµÄ´Î Ðò¿ÉÒÔ ½»»»¡£ (2) X X( RY ( t1 , t2 ) = E ¢z ( t1 )¢z t2 ) = E l¦¤t.i ¡ú.m 0 1 = ¦¤t ¡ú 0 lim
1

X( t1 + ¦¤ t1 ) - X( t1 ) ¡¤ Y ( t2 ) ¦¤ t1

RX Y ( t1 + ¦¤ t1 , t2 ) - RX Y ( t1 , t2 ) ¦¤ t1

=
¶ø

¶ RXY ( t1 , t2 ) ¶ t1 X( t2 +¦¤ t2 - X( t2 ) ¦¤ t2

RXY ( t1 , t2 ) = E X( t1 ) Y( t2 ) = E X( t1 ) ¤l¦¤ ¡ú.0 ¡ t.i m
2

¡¤ 2 28

¡¤

= ¦¤t ¡ú 0 lim
2

RX ( t1 , t2 +¦¤ t2 ) - RX ( t1 , t2 ) ¶ RX ( t1 , t2 ) = ¦¤ t2 ¶ t2 ¶ RX ( t1 , t2 ) RY ( t1 , t2 ) = ¶ t1¶ t2
2

´Ó ¶ø

Èý

¡¢ Ëæ »ú

¹ý

³Ì

µÄ »ý b

·Ö

Ï Ãæ ¶¨

Òå ÐÎ Èç ¡Ò

f ( t) X( t )d t µÄ¾ù·½»ý ·Ö , Æä ÖÐf ( t) Ϊ ʵֵ»ò a ¸´ ÖµµÄÆÕ º¯ Êý , X( t) Ϊ Ëæ ͨ »ú¹ý ³Ì , ¶ø a , b¡Ê ( - ¡Þ , + ¡Þ ) ¡£ ¶¨ Òå6 .3 . 3 ÉèËæ »ú¹ý ³Ì X( t ) , t¡Ê T , a , b Ì T, f ( t ) ÊÇ a , b ÉÏ µÄÆÕ ÊµÖµº¯ Êý¡£ ¶Ô a , b µÄÈÎ Ò»×é·Öµã ͨ ¦¤ : a = t0 < t1 < t2 < ¡- < tn = b , ¼Ç ¦¤ tj = tj - tj - 1 , tj - 1 ¡Ü uj ¡Ü tj , j = 1 , 2 , ¡- , n ¦¤ = max ¦¤ tj , 1¡Ü j¡Ü n Èô´æÔÚ Ó릤 ¼° uj lim E | ¦¤ | ¡ú 0 µÄ È¡ ·¨ n ÎÞ ¹Ø µÄ Ëæ »ú ±ä Á¿

Y, ʹ µÃ
2

¡Æ f( uj ) X( uj )¦¤ tj - Y j= 1

= 0

(6 .3 .3 )

Ôò³Æ f ( t ) X ( t ) ÔÚ a, b ÉÏ ¾ù·½ ¿É»ý , ²¢ ³Æ Y Ϊ f ( t ) X ( t ) ÔÚ a , b ÉÏ µÄ¾ù·½»ý ·Ö , ¼Ç ×÷ b Y = ¡Ò a f ( t) X( t )d t ¹ØÓÚ ¾ù·½»ý ·ÖµÄ¶¨ Òå¿ÉÒÔ Íƹ㠵½ÈçÏ µÄÇé¿ö : (1) f ( t) ÊÇ a, b ÉÏ ÆÕ µÄ¸´ Öµº¯ Êý , (6 .3 .3) ʽ Ϊ ͨ ¸Ä n 2

lim E | ¦¤ | ¡ú 0

¡Æ f ( uj ) X( uj )¦¤ tj - Y j= 1

= 0

ʽ ÖС¤ Ϊ ¸´ ÊýµÄÄ£¡£ b (2) f( t ) ¸Ä Ϊ h ( s, t ) , ¿É¶¨ Òå Y ( t ) = ¡Òa X ( s) h ( s, t ) d s,

¡¤ 2 29 ¡¤

Y ( t ) , t¡Ê T Ϊ Ò»Ð µÄËæ »ú¹ý ³Ì ¡£ (3) »ý ·Ö Çø¼ä a , b ¿É¸Ä Ϊ ¶¨ Òå
+ ¡Þ b

a, + ¡Þ »ò

- ¡Þ , + ¡Þ µÈ, ¿É

¡Ò

a

f ( t) X( t )d t = lb¡ú + .m .i ¡Ò ¡Þ

a

f ( t) X( t ) d t

¼«ÏÞ ÊÇ ¾ù·½ÒâÒåÏ ¡£ ÔÚ ¹ØÓÚ ¾ù·½»ý ·ÖÓÐ ÁÐ Ï ½áÂÛ ¡£ ¶¨ Àí 6 .3 . 3 b Éè X( t) Ϊ Ò»Ëæ»ú ¹ý ³Ì , f ( t ) , g ( t ) ÊÇ b a , b ÉÏ µÄʵֵÁ¬ Ðøº¯ Êý , Ôò (1) E¡Ò f( t ) X( t) d t = ¡Ò a f ( t) ¦Ì X ( t ) d t ; a b b

s (2) E¡Ò a f( s) X( s) d¡Ò a g( t ) X( t) d t b b a

= ¡Ò ¡Ò a b f ( s) g( t ) RX ( s , t ) d sd t n Ö¤Ã÷ (1) ÓÉ Òå ¶¨ E¡Ò f( t ) X( t ) d t = E l| ¦¤.i| ¡ú.m¡Æ 0 a n f( uj ) X( uj )¦¤ tj b j=1

= | ¦¤ | ¡ú 0 ¡Æ lim

j= 1

f ( uj ) E X( uj ) ¦¤ tj = ¡Ò a f( t ) ¦Ì X ( t )d t

ÉÏ Ê½ Ã÷, Ëæ ±í »ú¹ý ³Ì »ý ·ÖÔË ËãÓëÊýѧÆÚ ÔË Íû ËãµÄ´Î Ðò¿É»»¡£ (2) ÀàËÆ ¿ÉÖ¤¡£ ×¢Òâ, Õâ¸ö ¶¨ Àí ¿ÉÍƹ㠵½¸ü Ò»°ã µÄ»ý ·Ö Çé¿ö , ÀýÈç , µ± f ( t ) , g( t) ÊÇ Öµº¯ Êýʱ, ¶¨ Àí 6 .3 .3 ÖÐ ¸´ µÄ(2) ¸Ä Ϊ b b b b a

E ¡Ò f( s) X( s)d s ¡Ò g( t) X( t)d t a a ʽ ÖÐg( t) Ϊ g( t) µÄ¹² éî ¡£

= ¡Ò ¡Ò a

f( s) g( t) RX ( s, t )d sd t

¡¤ 2 30 ¡¤

6. 4

ƽ ¹ý ³Ì µÄ±éÀúÐÔ ÎÈ

ÑÐ ¿ æ ¹ý³Ì µÄ ¼ÆÐÔ »ã˵ Òª ª À µÄ ÏÞά·Ö²¼ ¾ Ë »ú ͳ ÌØ Ò ° Ðè Ö µ ¹ý³Ì ÓÐ º¯ Êý , »òÕß˵Ҫ֪µÀÒ»×åÑù±¾º¯ Êý¡£ ÕâÒ»µã ÔÚ ÎÊ Ìâ ÖÐ Íù ×å ʵ¼Ê Íù
²» Ò× µ½, ÒòΪ ÕâʱҪÇó¶ÔÒ»¸ö ¹ý ³Ì ½øÐÐ Á¿ÖØ µÄʵÑé¹Û²â ÒÔ °ì ´ó ¸´ ±ãµÃµ½Ðí¶à Ñù±¾ Êý¡£ º¯ ÏÖÔÚ ³ö ÕâÑùÒ»¸ö ÎÊ Ìâ , ÄÜ ´ÓÒ»¸ö ʱ¼ä·¶ Χ ÄÚ Ìá ·ñ ¹Û²ì µ½µÄÒ» ¸ö Ñù±¾ Êý×÷Ϊ Ìá È¡ Õâ¸ö ¹ý ³Ì Êý×Ö º¯ ÌØÕ÷ µÄ³ä ·ÖÒÀ ¾Ý? Ëùν±éÀúÐÔ ¾ÍÊÇ Ö¸´ÓÈÎ ÒâÒ»¸ö Ëæ ¹ý ³Ì µÄÑù±¾º¯ ÊýÖÐ »ú »ñµÃËüµÄ¸÷ ÖÖ ¼Æ ͳ ÌØ ÐÔ ¾ßÓÐ , ÕâÒ»ÌØÐÔ µÄËæ »ú¹ý ³Ì ³ÆΪ ¾ßÓÐ ±éÀúÐÔ µÄËæ »ú¹ý ³Ì ¡£ Òò´Ë , ¶ÔÓÚ ¾ßÓÐ ±éÀúÐÔ µÄËæ »ú¹ý ³Ì Ö»ÒªÓÐ Ò»¸ö Ñù±¾ Êý¾Í¿ÉÒÔ Ê¾ Ëü º¯ ±í ³ö µÄËùÓÐ µÄÊý×Ö ÌØÕ÷ ¡£ Ò»¡¢ ±é ÀúÐÔ ³Ì µÄ¶¨ Òå ¹ý ¶¨ Òå6 .4 . 1 Éè X( t) , - ¡Þ < t < + ¡Þ Ϊ ¾ù·½Á¬ ÐøµÄƽ ¹ý ÎÈ
T - T

³Ì , Èç¹û ËüÑØ Õû¸ö ʱ ¼äÉÏ µÄƽ ¾ùÖµ¼´Ê± ¼äƽ ¾ùÖµ 1 ¡´ X( t )¡µ = t¡ú + ¡Þ ¡Ò lim 2T ´æÔÚ ¶øÇÒ X( t )¡µ = ¦Ì X , ¡´ ¾ù·½±éÀúÐÔ ¡£ ¶¨ Òå6 .4 . 2 ³Ì , Èô ¡´ X( t) X( t + ¦Ó)¡µ 1 T = T¡ú + ¡Þ ¡Ò lim X( t ) X( t + ¦Ó) d t ( ¾ù·½ÒâÒåÏ ) 2T - T ´æÔÚ ¶øÇÒ X( t ) X( t + ¦Ó)¡µ = RX (¦Ó) ÒÀ ÂÊ1 Ïà µÈ, Ôò³Æ¸Ã ¹ý ³Ì ¹Ø , ¡´ ¸Å ¡¤ 2 31 ¡¤ Éè X( t) , - ¡Þ < t < + ¡Þ Ϊ ¾ù·½Á¬ ÐøµÄƽ ¹ý ÎÈ ³Ì , ÇÒ ¶ÔÓÚ ¶¨ µÄ ¦Ó, X( t ) X( t + ¦Ó) Ò² ÊǾù·½ Á¬ ¹Ì ÐøµÄƽ Ëæ»ú ¹ý ÎÈ
ÒÀ ¸Å ÂÊ

X( t )d t( ¾ù·½ÒâÒåÏ )

1 Ïà µÈ, Ôò³Æ¸Ã ¹ý ³Ì ¹ØÓÚ ¾ùÖµ¾ßÓÐ

6 .4 . 3

Èç ¹û X( t) , - ¡Þ < t < + ¡Þ Ϊ ¾ù·½Á¬ ÐøµÄƽ ÎÈ

¹ý ³Ì , ÇÒ ¹ØÓÚ ¾ùÖµºÍ ×Ô ¹Øº¯ Êý¶¼ Ïà ¾ßÓÐ ¾ù·½±éÀúÐÔ Ôò³Æ¸Ã ¹ý ³Ì ¾ß , ÓÐ ±éÀúÐÔ »òÊÇ , ±éÀú¹ý ³Ì ¡£ Ëæ »ú¹ý ³Ì µÄ±éÀúÐÔ ¾ßÓÐ ÒªµÄʵ¼Ê ÖØ ÒâÒå¡£ ÓÉ »ú¹ý ³Ì µÄ»ý ·Ö Ëæ µÄ¸Å Äî Öª , ¶ÔÒ»°ã Ëæ »ú¹ý ³Ì ¶ø ÑÔ »ú ¹ý ³Ì µÄʱ¼äƽ Ëæ ¾ùÊÇ Ò»¸ö Ëæ»ú ±äÁ¿¡£ ¿ÉÊÇ, ¶Ô±éÀú¹ý ³Ì À´ ˵, ÓÉ Êö¶¨ ÒåÇóʱ¼äƽ µÃµ½µÄ½á ÉÏ ¾ù, ¹û Ç÷ Ò»¸ö ·Ç Ëæ ÓÚ »úµÄÈ· ¶¨ Á¿, Õâ¾Í±í Ã÷: ±éÀú¹ý ³Ì ÖîÑù±¾ ÊýµÄʱ º¯ ¼äƽ ʵ¼Ê ¿ÉÒÔ Îª ÊÇ Í¬µÄ, Òò´Ë , ±éÀú¹ý ³Ì µÄʱ ¾ù, ÉÏ ÈÏ Ïà ¼äƽ ¾ù¾Í ¿ÉÒÔ ËüµÄÈÎ Ò»Ñù±¾ ÊýµÄʱ¼äƽ ÓÉ º¯ ¾ùÀ´ ±í ʾ ÕâÑù¶ÔÓÚ ¡£ ±éÀú¹ý ³Ì , ¿ÉÒÔ ½Ó ËüµÄÈÎ Ò»Ñù±¾ ÊýµÄʱ Ö± Óà º¯ ¼äƽ ¾ùÀ´ ´ú Ìæ ¶ÔÕû¸ö ¹ý ³Ì ͳ ¼Æ ¾ùµÄÑÐ ¹Ê ÓРƽ ¾¿, 1 ¦Ì X = T¡ú + ¡Þ ¡Ò lim 2T
T - T

x ( t) d t

1 T RX (¦Ó = T¡ú + ¡Þ ¡Ò ) lim x ( t ) x ( t + ¦Ó) d t 2T - T Æä ÖÐx ( t) , - ¡Þ < t < + ¡Þ Ϊ X( t) µÄÒ»¸ö Ñù±¾ Êý¡£ ʵ¼Ê , º¯ ÉÏ Õâ Ò²ÕýÊÇ Òý³ö ±éÀúÐÔ Äî µÄÖØ ¸Å ҪĿµÄ, ´Ó¶ø¸ø ½â¾öÐí ¶à¹¤ ³Ì ÎÊ Ìâ ´ø À´ ¼«´ó ·½±ã¡£ ÀýÈç , ²â Á¿½Ó ÊÕ»úµÄÔëÉù, Óà һ°ã ·½ ·¨ , ¾ÍÐèÓÃÊý Á¿Ïà µ±¶àµÄ¡¢ ͬµÄ½Ó »ú , ÔÚ Ò»Ìõ ¼þÏ ͬ ʱ Ïà ÊÕ Í¬ ½øÐÐ Á¿ºÍ ¼Ç , ²â ¼ Ô٠ͳ ¼Æ Óà ·½·¨ Ëã³ö ËùÐèµÄÊý×Ö ÌØÕ÷ ¶øÀûÓà , ÔëÉù¹ý ³Ì µÄ±éÀúÐÔ Ôò , ¿ÉÒÔ Ö»Óà һ²¿ ½Ó »ú , ÔÚ ±äµÄÌõ ¼þÏ , ¶ÔÆä ÊÕ ²» Êä³ö ÔëÉù×÷ ʱ ³¤ ¼äµÄ ¼Ç , È»ºó Óà ¼ Çóʱ ¼äƽ ¾ùµÄ·½·¨ ¼´¿ÉÇóһЩ ÒªµÄÊý×Ö ÖØ ÌØÕ÷ ¡£ Àý 6 .15 ÌÖÂÛ »úÏà λ Õý Ëæ ÏÒ²¨ X ( t ) = cos ( ¦Ø0 t + ¦¨ ) µÄ¾ù·½ ±éÀúÐÔ ¡£ ½â 1 ¡´ X( t)¡µ = T¡ú + ¡Þ ¡Ò lim 2T ¡¤ 2 32 ¡¤
T - T

cos ( ¦Ø t + ¦¨ ) d t 0

sin ¦Ø T cos ¦¨ 0 = 0 = E X( t ) ¦Ø T 0 ¿É¼û, X( t) ¹ØÓÚ ¾ùÖµ¾ßÓÐ ¾ù·½±éÀúÐÔ ¡£ = T¡ú + ¡Þ lim 1 ¡´ X( t ) X( t + ¦Ó)¡µ = T¡ú + ¡Þ ¡Ò lim 2T =
T - T

) cos ( ¦Ø0 t + ¦¨ ) cos ¦Ø0 ( t + ¦Ó + ¦¨ d t

1 cos ¦Ø ¦Ó = RX (¦Ó ) 0 2

¼´ X( t ) ¹ØÓÚ Ïà ¹Ø º¯ Êý¾ßÓÐ ×Ô ¾ù·½±éÀúÐÔ ´Ó¶ø X( t ) Ϊ ±éÀú , ¹ý ³Ì ¡£ ¶þ ¡¢ Ëæ»ú ¹ý ³Ì ¾ßÓбéÀú ÐÔ Ìõ ¼þ µÄ (1) Ëæ »ú¹ý ³Ì ±Ø ÐëÊÇ ÎÈ µÄ¡£ ʵ¼Ê , ´Ë Ìõ ¼þÊÇ Òª µÄ, ¶ø ·Ç ƽ ÉÏ ±Ø ³ä ·ÖµÄÌõ ¼þ, ¼´±éÀú¹ý ³Ì Ò»¶¨ ÊÇ ÎÈ ¹ý ³Ì , µ«Æ½ ¹ý ³Ì ²¢ ²» ¶¼ ±é ƽ ÎÈ ÊÇ ÀúµÄ¡£ ÕâÓÉ ±éÀúÐÔ µÄ¶¨ Òå¿ÉÖª¡£ (2) ¾ù·½Á¬ ÐøµÄƽ ¹ý ³Ì ¹ØÓÚ ÎÈ ¾ùÖµ¾ßÓÐ ±éÀúÐÔ µÄ³ä ÒªÌõ ¼þΪ 1 2T ¦Ó lim¡Þ ¡Ò (1 T¡ú + T 0 2T ¼Û ÓÚ
T¡ú + ¡Þ

RX (¦Ó) - ¦Ì X d¦Ó = 0

2

(6 .4 .1 )

Ö¤Ã÷ ÓÉ ±éÀúÐÔ ¼°¾ù·½ ¼«ÏÞ µÄ¶¨ Òå, Ö»ÐèÖ¤Ã÷( 6 .4 .1 ) ʽ µÈ 1 2¡Ò T
T - T 2

lim E

X( t) d t - ¦Ì X

= 0

(6 .4 .2 )

ÊÂʵÉÏ E 1 2 ¡Ò T
T - T 2

X( t ) d t - ¦Ì X
T - T T - T T

1 = E 2 ¡Ò 4T 1 = ¡Ò 2 4T 1 = ¡Ò 4 T2
T ¡Ò - T 2T

X( s)d¡Ò s

- T

¦Ì X X( t) d t - ¡Ò T
T - T

T - T

X( t) d t + ¦Ì X
2

2

¦Ì X RX ( t - s) d td s - ¡Ò T

¦Ì X

d t + ¦Ì X

(2 T - | ¦Ó| ) RX (¦Ó d¦Ó - ¦Ì 2X ( ±äÁ¿´ú »» ) )
-2T

¡¤ 2 33 ¡¤

1 2T ¦Ó 2 = ¡Ò (1 ) RX (¦Ó)d¦Ó - ¦Ì X ( ż Êý) º¯ T 0 2T 1 2T ¦Ó R (¦Ó) - ¦Ì 2 = ¡Ò (1 X X d¦Ó T 0 2T ÍÆÂÛ 1 ¾ù ·½Á¬Ðø ƽ µÄ Îȹý³Ì X( t) ¹Ø ÓÚ ¾ùÖµ¾ßÓÐ ¾ù·½ ±é ÀúÐÔ µÄ³ä ÒªÌõ ¼þÊÇ 1 2T ¦Ó lim ¡Ò ( 1 ) RX (¦Ó d¦Ó = ¦Ì 2X ) T¡ú + ¡Þ T 0 2T
+ ¡Þ ÍÆ ÂÛ

2

¾ù Á¬Ðø ƽ ·½ µÄ Îȹý³Ì

X( t) , ÈôÂú×ã ¡Ò

- ¡Þ

| RX ( ¦Ó | )

d¦Ó< + ¡Þ , ÔòËü¹ØÓÚ ¾ùÖµ¾ßÓÐ ¾ù·½±éÀúÐÔ µÄ³ä ÒªÌõ ¼þÊÇ ¦Ì X = 0 ÍÆÂÛ2 µÄÍƵ¼Òª×¢Òâµ½ 1 2 T ¦Ó 1 2 T ¦Ó RX (¦Ó d¦Ó ¡Ü ¡Ò ) RX (¦Ó) d¦Ó T¡Ò 0 2 T T 0 2T 1 2T RX (¦Ó) d ¦Ó¡ú 0( T ¡ú + ¡Þ ) ¡Ü ¡Ò T 0 (3) ¾ù·½Á¬ÐøµÄƽ ¹ý ³Ì X( t) ¹ØÓÚ Ïà ¹Øº¯ Êý¾ßÓÐ ÎÈ ×Ô ±éÀú ÐÔ µÄÌõ ¼þ¡£ Éè X( t ) , - ¡Þ < t < + ¡Þ Ϊ ¾ù·½Á¬ ÐøµÄƽ ¹ý ³Ì , ÇÒ ÎÈ ¶Ô¸ø ¶¨ µÄ ¦Ó, X( t ) X( t + ¦Ó) Ò² ÊǾù·½ Á¬ÐøµÄ ƽ ¹ý ³Ì , Ôò ÎÈ X( t ) ¹ØÓÚ Ïà ¹Øº¯ Êý¾ßÓÐ ×Ô ±éÀúÐÔ µÄ³ä ÒªÌõ ¼þÊÇ ¦Ó 1 1 2T lim ¡Ò ( 1 ) T¡ú + ¡Þ T 0 2T B(¦Ó ) - R X (¦Ó d¦Ó = 0 (6 .4 .3 ) 1 ) 1
2

Æä ÖÐB(¦Ó ) = E X( t ) X( t + ¦Ó) X( t + ¦Ó ) X( t + ¦Ó+ ¦Ó ) ¡£ 1 1 1 Õâ Ìõ ¼þµÄÖ¤Ã÷Óë ( 2 ) µÄ Ö¤Ã÷Àà ËÆ Ö»ÐèÔÚ¦Ó È¡ ¶¨ ʱ, Óà ¸ö , X( t ) X( t + ¦Ó) ´ú ÌæÄÇ µÄ X( t) ¼´¿É, ²» ¹ý ¡Òa X( t ) X ( t + ¦Ó) Àï d t µÄ´æÔÚ ½«Éæ ÐÔ ¼°µ½ X( t ) µÄËÄ½× ¡£ ¾Ø ×¢: ÔÚ 6 .4 .3) ʽ Áî ¦Ó= 0 , ¾ÍµÃµ½¹ØÓÚ ( ÖÐ ¾ù·½Öµ¾ßÓÐ ±éÀúÐÔ µÄ ³ä ÒªÌõ ¼þ¡£ ¡¤ 2 34 ¡¤ b 6 .16 ±ðΪ

ÒÑ ÖªËæ »úµç±¨ÐÅ ºÅ X( t) µÄ¾ùÖµºÍ ×Ô ¹Ø º¯ Êý·Ö Ïà ¦Ì X = 0 , RX (¦Ó) = I e
2 - 2 ¦Ë| ¦Ó|

ÊÔ ÌÖ ÂÛ

X( t ) ÊÇ ¹ØÓÚ ·ñ ¾ùÖµ¾ßÓÐ ±éÀúÐÔ ¡£

½â Ö»ÒªÑéÖ¤(6 .4 .1 ) ʽ ÓÉ ÖªÌõ ¼þ , ÒÑ 1 2T ¦Ó lim¡Þ ¡Ò (1 ) I2 e - 2¦Ë| ¦Ó| - 02 d¦Ó T¡ú + T 0 2T 2 2T I ¦Ó - 2 ¦Ë ¦Ó = T¡ú + ¡Þ ¡Ò e lim (1 ) d¦Ó T 0 2T I2 I2 (1 - e - 4 ¦ËT ) = T¡ú + ¡Þ 2¦ËT lim = 0 2 2 8¦Ë T Òò´Ë , X( t) ¹ØÓÚ ¾ùÖµ¾ßÓÐ ±éÀúÐÔ ¡£ ÔÚ Êµ¼Ê Ìâ ÖРͨ ³£ ƽ ¹ý ³Ì ÎÊ , ÎÈ Ïà Ó¦µÄ±éÀúÐÔ ¼þΪ Ìõ (4) X( t ) ¹ØÓÚ ¾ùÖµ¾ßÓÐ ±éÀúÐÔ µÄ³ä ÒªÌõ ¼þΪ 1 l ¦Ó 2 lim ¡Ò (1 ) RX (¦Ó) - ¦Ì X d¦Ó = 0 l¡ú + ¡Þ l 0 l (5) X( t ) ¹ØÓÚ Ïà ¹Øº¯ Êý¾ßÓÐ ×Ô ±éÀúÐÔ µÄ³ä ÒªÌõ ¼þΪ ¦Ó 1 1 l 2 1 lim ¡Ò (1 ) B(¦Ó ) - R X (¦Ó) d¦Ó = 0 1 l¡ú + ¡Þ l 0 l X( t) µÄ T È¡ 0 , + ¡Þ , ´Ë ʱ

¡ì

6 .5

¸ß ˹ Ëæ »ú¹ý ³Ì

±¾ ÒÔϸ÷½Ú ÂÛ Ëæ ÕÂ É ÌÖ ÁË »ú¹ý³Ì µÄ °ãͳ ¼Æ ÐÔ Õâ ¿ª Ò» ÌØ ¡£´Ó ½Ú ʼ ½«½éÉܼ¸ÀàÔÚ ÖÐ Óöµ½µÄËæ»ú ¹ý ³Ì , ÎÒÃÇ Êµ¼Ê ¾-³£
»ú¹ý ³Ì , Òò´Ë ÏÈ À´½éÉÜ ËüµÄ¸ÅÄîºÍ ÐÔ ¡£ ÖÊ : ¸ß ˹ ¹ý ³Ì ¡¢ ¶À Á¢ÔöÁ¿¹ý ³Ì ¡¢ ÂíÊÏ Á´µÈ¡£ ÔÚ ×Óϵ ͳ ÖÐ µç Óöµ½×î ¶à µÄ¹ý ³Ì ÊÇ¸ß Ë¹ Ëæ

¡¤ 2 35 ¡¤

6 .5 . 1

Éè X( t) Ϊ Ò»Ëæ »ú¹ý ³Ì , Èç¹û ¶ÔÈÎ ÒâÕýÕûÊý n ,

ÈÎ Òâ t1 , t2 , ¡- , tn ¡Ê T( µ± i¡Ù j ʱti ¡Ù tj ) , X( t1 ) , X( t2 ) , ¡- , X( tn ) µÄÁª ºÏ ·Ö ²¼ÊÇ n ά Õý̬ ·Ö ²¼ , Ôò³Æ X( t ) Ϊ ¸ß ˹ ¹ý ³Ì »ò Õý̬ ¹ý ³Ì ¡£ ¼Ç Õý̬¹ý ³Ì - ¡Þ , + ¡Þ ¡£ ÌرðµØ, ÈôÕý̬¹ý ³Ì X ( t ) »¹ Âú×ã ¦Ì X ( t ) ÊÇ t ÎÞ ¹ØµÄ³£ Êý , Óë Ïà ¹Øº¯ Êý RX ( t, t + ¦Ó) ֻȡ ¾öÓÚ¦ÓµÄÖµ, Ôò³ÆÖ® ¿í ƽ ¸ß ˹ ¹ý Ϊ ÎÈ ³Ì , ¼ò³Æƽ ¸ß ˹ ¹ý ³Ì ; ÀàËÆ Èç¹û ¸ß ˹ ¹ý ³Ì Ò²ÊÇ ÎÈ µØ, ÑÏƽ µÄ, Ôò³Æ ÎÈ Ö® ÑÏƽ ¸ß ˹ ¹ý ³Ì ¡£ ʵ¼Ê , Ï Ãæ Ϊ ÎÈ ÉÏ ÎÒÃÇ ½«Ö¤Ã÷ ¶ÔÓÚ Ë¹ ¹ý ³Ì , Ëü ¸ß µÄ¿í ƽ ÐÔ ÑÏƽ ÐÔ µÈ¼Û ÎÈ ºÍ ÎÈ ÊÇ µÄ¡£ ¶þ ¡¢ ¸ß ˹ ¹ý ³Ì µÄ Èô ¸É ÐÔ ÖÊ (1) ¸ß ˹ ¹ý ³Ì X( t ) µÄÈ«²¿ ͳ ¼Æ ÌØÐÔ ÓÉËüµÄ¾ùÖµº¯ ÊýºÍ ÐX( t) µÄ¾ùÖµº¯ ÊýΪ ¦Ì X ( t ) , ×Ô ¹Ø º¯ ÊýΪ Ïà RX ( s , t ) , ×Ô Ð-·½ ²î º¯ ÊýΪ CX ( s, t ) ¡£ Ò»°ã µØ, È¡ T = 0 , + ¡Þ »ò

·½²î º¯ Êý( »ò×Ô ¹Øº¯ Êý) Íê È«È· ¶¨ ¡£ Ïà ÕâÊÇ ÓÚ ÓÉ ¶ÔÈÎ ÒâµÄÕýÕûÊý n ÒÔ ¼°ÈÎ ÒâµÄ t1 , t2 , ¡- , tn , n ά Õý ̬Ëæ »úÏò Á¿( X( t1 ) , X( t2 ) , ¡- , X( tn ) ) µÄ·Ö²¼ÓÉ Ïà Ó¦µÄ¾ùÖµ Æä (¦Ì X ( t1 ) , ¦Ì X ( t2 ) ¡- , ¦Ì X ( tn ) ) ºÍ Ð-·½²î ¾Ø Õó CX ( t1 , t1 ) CX ( t2 , t1 ) ¦ó CX ( tn , t1 ) CX ( t1 , t2 ) CX ( t2 , t2 ) ¦ó CX ( tn , t2 ) ¡¡¡CX ( t1 , tn ) CX ( t2 , tn ) ¦ó CX ( tn , tn )

Íê È«È· ¶¨ , Òò¶ø¾ùÖµº¯ ÊýºÍ ×Ô Ð-·½²î º¯ ÊýÈ· ¶¨ ÁË X( t) µÄÓРά ÏÞ ¡¤ 2 36 ¡¤

, Ò²¾ÍÈ· ¶¨ ÁËËüµÄÈ«²¿ ͳ ¼Æ ÌØÐÔ ¡£ (2) Éè X( t ) Ϊ ¸ß ˹ ¹ý ³Ì , Ôò X( t) ÊÇÑÏ Æ½ ¹ý ³Ì µÄ³ä Òª ÎÈ Ìõ ¼þÊÇ ËüÊÇ Æ½ ¹ý ³Ì ¡£ ¿í ÎÈ Ö¤ Ã÷ ÒòΪ ¸ß ˹ ¹ý ³Ì ÊǶþ ½× ¹ý ³Ì , ¹Ê Óɶ¨ Àí 6 .2 .1 Öª , Èô ¾Ø X( t ) ÊÇ ÑÏƽ µÄ, ÔòËü±Ø ¿í ƽ ¡£ ÎÈ Îª ÎÈ ·´ Ö® Èô X( t) ÊÇ Æ½ ¹ý ³Ì , ¼´ ¦Ì X ( t) = ¦Ì X ( ³£ Êý) , RX ( t, t , ¿í ÎÈ + ¦Ó) Ö»Óë ¦ÓÓÐ , Ôò¶ÔÈÎ ÒâµÄÕýÕûÊý n , ÈÎ ÒâµÄ t1 , t2 , ¡- , tn ¡Ê T, ¹Ø ÈÎ Òâ h, Ö»Òª t1 + h , t2 + h , ¡- , tn + h¡Ê T ÓÐ RX ( ti , tj ) = RX ( ti + h , tj + h) Òò¶ø CX ( ti , tj ) = CX ( ti + h , tj + h) ÓÚ Á½ n άÕý̬Ëæ ÊÇ ¸ö »úÏò Á¿ ( X( t1 ) , X( t2 ) , ¡- , X( tn ) ) ( X( t1 + h) , X( t2 + h) , ¡- , X( tn + h ) ) ÓРͬµÄ n άÕý̬·Ö²¼ , ÕâÊÇ Ïà ÒòΪ ¶àά Õý̬·Ö ²¼ÓÉÆä Ó¦ µÄËæ»ú Ïà ±äÁ¿µÄ¾ùÖµºÍ Ð-·½²î ¾Ø ÕóÍê È«È· ¶¨ , ¶øÉÏ Ãæ ¸ö Õý̬ Ïò Á¿µÄ¾ùÖµ Á½ ºÍ Ð-·½²î ¾Ø ÕóÏà µÈ¡£ Òò´Ë , X( t) Ò²ÊÇ ÑÏƽ ¹ý ³Ì ¡£ ÎÈ (3) X( t) Ϊ ¸ß ˹ ¹ý ³Ì µÄ³ä Òª Ìõ ¼þÊÇËüµÄÈÎ ÒâÓÐ ¶à ¸ö Ëæ ÏÞ »ú±äÁ¿µÄÈÎ ÒâÏß ÐÔ ×éºÏ ÊÇ( һά ) Õý̬Ëæ »ú±äÁ¿¡£ Ö¤Ã÷ ÓÉ µÚËÄÕ µÄ¶¨ Àí 4 .4 .4 , " ÕýÕûÊý n , " t1 , t2 , ¡- , tn ¡Ê T, X( t1 ) , X( t2 ) , ¡- , X( tn ) ÊÇ n άÕý̬Ëæ ±äÁ¿µÄ³ä Òª Ìõ ¼þÊÇ »ú i, j = 1 , 2 , ¡- , n i, j = 1 , 2 , ¡- , n

X( t1 ) , X( t2 ) , ¡- , X( tn ) µÄÈÎ ÒâÏß ÐÔ ×éºÏ ÊÇһά Õý̬·Ö ²¼ , ¹Ê ¶ø ÓÐ ´Ë Ëæ »ú¹ý ³Ì Ϊ ¸ß ˹ ¹ý ³Ì µÄ³ä ÒªÌõ ¼þ¡£ (4) Õý̬Ëæ »ú¹ý ³Ì ÈÔ Õý̬·Ö²¼¡£ Ϊ ÕâÒ»ÐÔ ÊÇ ÖÊ ÏÔÈ»µÄ¡£ µ«ÕâÀàÎÊ Ìâ ÔÚ ÐÅ À× µÈϵ ͳ ÖÐ ³£ ͨ ¡¢ ´ï È´ Óöµ½, ÈçÔëÉùÓëÐÅ µþ ¼Ó Ò»Æð ºÅ ÔÚ µÄºÏ ³É Ëæ »úÐźŠÎÊ Ìâ ¡£ µ« ÐèÖ¸³ö ¡¤ 2 37 ¡¤ X( t ) ÓëÈ· ¶¨ ÐÅ S( t ) Ö® µÄ¸Å ÂÊ·Ö ²¼ ºÅ ºÍ

, ¶ÔÓÚ Õý̬¹ý ³Ì ÓëÈ· ¶¨ ÐźŠ֮ µÄ¸Å ÂÊ·Ö ²¼À´ ˵ÈÔ ºÍ ÊÇÕý̬ ·Ö ²¼ , µ«ÊÇ, Èç¹û Õý̬¹ý ³Ì ÓëÒ»Ëæ ¹ý ³Ì Ïà ¼Ó ÔòºÏ ³É ÐźŠ²» Ò»¶¨ ÔÙ »ú , ÊÇ Õý̬¹ý ³Ì ÁË¡£ (5 ) Èô ¸ß ˹ ¹ý ³Ì (6) Èô¸ß ˹ ¹ý ³Ì X( t) , t¡Ê T ÊǾù·½ ¿É ΢ µÄ, ÔòÆäµ¼Êý X( t ) , t¡Ê T ÊÇ ¾ù·½¿É»ý µÄ, Ôò t ¢z t ) , t¡Ê T Ò²ÊÇ Ë¹ ¹ý ³Ì ¡£ X( ¸ß

Y ( t) = ¡Ò a X( s) d s ÒÔ ¼° b ( a , t ¡Ê T)

Y( t ) = ¡Ò a X( s) h( s, t ) d s Ò²ÊÇ Ë¹ ¹ý ³Ì ¡£ ¸ß

( a , b ¡Ê T )

(5) ºÍ (6) Á½ ÖÊ ÐÔ µÄÖ¤Ã÷ ¼°µ½Õý̬Ëæ Éæ »úÏò Á¿µÄ¾ù·½¼«ÏÞ ÈÔÊÇ Õý̬Ëæ »úÏò Á¿µÄ½áÂÛ, ÔÚ ÂÔ ´Ë È¥Æä Ö¤Ã÷, ÓРȤµÄ¶ÁÕ߿ɲΠ¼û²Î ¿¼ ÐË ÎÄ Ï×[8] ¡£ Àý 6 .17 Éè ƽ ÓÐ Îȸß˹¹ý ³Ì 1 - 2 | ¦Ó| e ¡£ 4 Óë1 Ö® ¼äµÄ¸ÅÂÊ ¡£ RX (¦Ó) =
ÏÖ ÔÚ À´ Çó ¶Ô Ò» ¸ø

X( t) , Æä ¾ùֵΪ Áã, Ïà ¹Øº¯ Êý
¶¨ ʱ ¿Ì

t1 , X ( t1 ) µÄÖµÔÚ0 .5

½â ÒòΪ ¸ß ˹ ¹ý ³Ì µÄ¾ùÖµ¦Ì X = 0 , ¾ù·½Öµ RX (0) = = RX (0) - ¦Ì
2 X

1 2 , ·½²î ¦ÒX 4

1 1 , ¹ý ³Ì µÄ±ê×¼ ¦Ò = , ¼´Õý̬ Ëæ ²î X »ú±äÁ¿ X( t1 ) 4 2 1 µÄ·Ö²¼Îª N(0 , ) , ¹Ê ÓÐ 4 P 0 .5¡Ü X( t1 ) ¡Ü1 = P ¦Ò ¡Ü X( t1 ) ¡Ü2¦Ò X X = = ¦µ 2¦Ò - ¦Ì X X
¦Ò X

- ¦µ

¦ÒX - ¦Ì X
¦Ò X

= ¦µ (2) - ¦µ (1 ) = 0 .977 2 - 0 .841 3 = 0 .135 9 Àý6 .18 ¡¤ 2 38 ¡¤ Éè »ú¹ý³Ì Ëæ

X( t ) = U cos ¦Ø t + Vsin ¦Ø t 0 0 Æä ÖÐ¦Ø 0
Ϊ ³£ Êý 2 2 2

t¡Ý0

, U ºÍ V ÊÇÁ½ Ïà »¥ ¶ÀÁ¢µÄÕý̬ Ëæ»ú ±äÁ¿, ÇÒ E ¸ö

( U ) = E( V) = 0 , E ( U ) = E( V ) = ¦Ò , ÊÔÖ¤ X( t) Ϊ Õý̬ ¹ý ³Ì , ²¢ ÇóÆä һά¡¢ ¶þά¸Å ÂÊÃÜ ¶È¡£ ½â ÓÉ ÖÊ ) , Ö»ÐèÖ¤Ã÷ X( t ) µÄÈÎ ÒâÓÐ ¶à¸ö Ëæ ±äÁ¿ ÐÔ (3 ÏÞ »ú µÄÈÎ ÒâÏß ÐÔ ×éºÏ ÊÇ Ò»Î¬ Õý̬Ëæ»ú±äÁ¿¡£ ʵ¼Ê , ¶ÔÈÎ ÒâµÄÕýÕûÊý ÉÏ n , ÈÎ ÒâµÄ 0¡Ü t1 < t2 < ¡- < tn ÒÔ ¼° a1 , a2 , ¡- , an , ¼Ç n n n

W = ¡Æ ai X( ti ) = U( ¡Æ ai cos ¦Ø ti ) + V( ¡Æ ai sin ¦Ø0 ti ) 0 i=1 i=1 i=1 W ÊÇ ¶þάÏà »¥¶ÀÁ¢µÄÕý̬Ëæ »ú±äÁ¿µÄÏß ÐÔ ×éºÏ , ÓɵÚËÄÕÂÖÐ Àí ¶¨ 4 .4 .4 Öª , W ÊÇ Õý̬Ëæ »ú±äÁ¿¡£ ÓÉ ¿É¼û, ´Ë X( t) ÊÇ Õý̬¹ý ³Ì ¡£ ¶ÔÓÚ ¶¨ µÄ t1 ¡Ý 0 , X( t1 ) ÊÇ ¸ø Õý̬Ëæ »ú±äÁ¿, ÇÒ E X( t1 ) = E( U) cos ¦Ø t + E( V) sin ¦Ø0 t = 0 0 D X( t1 ) = D( U) cos2 X( t1 ) µÄһά¸Å ÂÊÃÜ ¶ÈΪ f ( x; t1 ) =
¶Ô ÓÚ ¸ø ¶¨ µÄ

¦Ø 0

t + D( V) sin2 x 2 2

¦Ø 0

2 t = ¦Ò

Òò ¶ø

1 e 2 ¦Ð¦Ò

2¦Ò

0¡Ü t1 < t2

2 E X( t1 ) = E X( t2 ) = 0 , D X( t1 ) = D X( t2 ) = ¦Ò 2 E X( t1 ) X( t2 ) = E X( t2 ) X( t1 ) = ¦Ò cos ¦Ø0 ( t1 - t2 )

Òò¶ø¶þάÕý̬Ëæ »ú±äÁ¿( X( t1 ) , X( t2 ) ) µÄ¾ùÖµºÍ Ð-·½²î ¾Ø Õó·Ö ±ð Ϊ ¦Ì = ( 0,0 )¡ä C=
¦Ò ÓÚ ÊÇ Ëü µÄ ¸Å ÂÊ ÃÜ ¶È Ϊ

¦Ò
2

2 ¦Ò

2

cos ¦Ø ¦Ó 0
2 ¦Ò ¦Ó

= t2 - t1

cos ¦Ø0¦Ó

f ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) =

1
1

e

-

1 -1 X¡ä C X 2

2¦Ð| C | 2 ¡¤ 2 39
¡¤

X = ( x1 , x2 )¡ä ¡£

¡ì

6 .6

¶ÀÁ¢ÔöÁ¿¹ý ³Ì

±¾ ½é Ü Á¢ ö ¿ý³Ì µÄ Äî, ²¢ ×ÅÖØ Á½ ÓÉʵ¼Ê Ìâ ½Ú É ¶À Ô Á ¹ ¸Å ½éÉÜ ¸ö ÎÊ
²ú ÉúµÄ¶ÀÁ¢ÔöÁ¿¹ý ³Ì ¡ª¡ª¡ª ²´ Ëɹý ³Ì ºÍ ά ÄÉ ³Ì ¡£ ¹ý Ò»¡¢ ¶ÀÁ¢ÔöÁ¿¹ý ³Ì Ϊ ÁË ¶¨ Æð ±¾½Ú È· ¼û, Ö»ÌÖÂÛ Êý¼¯Îª T = 0 , + ¡Þ µÄËæ ¹ý ²Î »ú ³Ì ¡£ ¶¨ Òå6 .6 . 1 Éè X( t) , t¡Ý0 Ϊ Ëæ »ú¹ý ³Ì , Èç¹û ¶ÔÈÎ ÒâµÄÕýÕû Êý n¡Ý2 , ÈÎ ÒâµÄ 0¡Ü t1 < t2 < ¡- < tn , ËüµÄ n ¸ö ÔöÁ¿ X( t2 ) - X( t1 ) , X( t3 ) - X( t2 ) , ¡- , X( tn ) - X( tn - 1 ) Ïà »¥ ¶ÀÁ¢, ³Æ X( t ) Ϊ ¶À Á¢ ÔöÁ¿ ¹ý ³Ì ¡£ Èç ¹û ¶À Á¢ ÔöÁ¿ ¹ý ³Ì X( t ) , ¶ÔÈÎ ÒâµÄ 0¡Ü s < t , ÔöÁ¿ X( t ) - X ( s) µÄ·Ö ²¼Ö»Óë t - s ÓÐ , ¶øÓë s , t µÄ¸ö ±ðÈ¡ÖµÎÞ ¹Ø , ³Æ X( t) Ϊ Æë ¶ÀÁ¢ÔöÁ¿¹ý ³Ì ¡£ ¹Ø ´Î ¶ÔÓÚ ¶ÀÁ¢ÔöÁ¿¹ý ³Ì X( t ) , t¡Ý0 , Ò»°ã ¼Ù X(0) = 0 , ͨ ³£ ÓÉ ¶¨ ʵ¼Ê Ìâ Ëù²ú ÉúµÄ¶ÀÁ¢ÔöÁ¿¹ý ³Ì ¶¼ ÎÊ Âú×ãÕâÒ»Ìõ ¼þ¡£ Ï Ãæ ÎÒÃÇ ¼Æ À´ Ëã¶ÀÁ¢ÔöÁ¿¹ý ³Ì µÄ×Ô Ð-·½²î º¯ Êý¡£ ¶¨ Àí 6 .6 . 1 Ôò CX ( s, t) = DX min( s , t ) Ö¤Ã÷ Áî Y( t ) = X( t) - ¦Ì X ( t ) t¡Ý0 Éè X( t ) , t¡Ý0 ÊǶÀÁ¢ÔöÁ¿¹ý ³Ì , ÇÒ X ( 0 ) = 0

Ò× ¼û Y ( t ) Ò²ÊÇ ¶ÀÁ¢ÔöÁ¿¹ý ³Ì , ÇÒY (0) = 0 , E Y( t ) = 0 , DX ( t) = E Y2 ( t ) ¡£ Éè 0¡Ü s < t, Ôò CX ( s , t) = E Y( s) Y( t ) ¡¤ 2 40 ¡¤

= E

Y ( s) - Y(0 )

Y ( t ) - Y( s)

+ E Y ( s)

2

= E Y( s) - Y( 0) E Y( t ) - Y( s) + DX ( s) = DX ( s) ͬÀí , µ± 0¡Ü t < s ʱ, CX ( s , t) = DX ( t ) , ¼´µ± s , t¡Ý0 ʱ CX ( s, t) = DX min( s , t ) Ï Ãæ, ÎÒÃÇ ½éÉÜ Àà×î ÖØ Á½ ÒªµÄ¶ÀÁ¢ÔöÁ¿¹ý ³Ì ¡ª¡ª¡ª ²´ Ëɹý ³Ì ºÍ άÄɹý ³Ì ¡£ ¶þ ¡¢ ²´ Ëɹý ³Ì ÔÚ ³£ Éú»î ÖÐ ÈÕ ¼°¹¤ ³Ì ¼¼ ÊõÁì ÓòÖÐ ³£ ³£ ÐèÒª¿¼ÂÇÕâÑùÒ»ÀàÎÊ , Ìâ : ̽ÌÖÔÚ Ò»¶¨ ʱ¼ä¼ä¸ô 0 , t ÄÚ Ëæ ʼþ³ö ÏÖ´Î ÊýµÄͳ ¼Æ ij »ú ¹æ ÂÉ¡£ ÀýÈç , ÔÚ Óà ¹« ÊÂÒµÖÐ ÔÚ ¸ö ¹Ì ¶¨ µÄʱ¼ä¼ä¸ô 0 , t ÄÚ, µ½Ä³ , ij ÉÌ µê È¥µÄ¹Ë ¿Í Êý , ͨ ¹ý ij ½»²æ · · ¿ÚµÄµç ³µ ¡¢ ³µ Êý , ij ´¬ ²° ¼× Æû °å ¡° ÉÏ ÀË µÄ´Î Êý , ij µç »° ×Ü ¡± »ú½Ó µ½µÄºô »½´Î Êý; ÔÚ ×Ó ÊõÖÐ µç ¼¼ µÄÉ¢Á£ ÔëÉùºÍ Âö³å ÔëÉù, Êý×Ö Ñ¶ÖÐ ±àÂëÐÅ µÄÎó Âë¸ö Êý , µÈµÈ¡£ ËùÓРͨ ÒÑ ºÅ ÕâЩ Ìâ , ÎÒÃÇ ³£ ¶¼ ÎÊ Í¨ ¿ÉÓà Ëɹý ³Ì À´ Ä£Äâ, ½ø¶ø½â¾öÖ® ²´ ¡£ ¶¨ Òå6 .6 . 2 Éè »ú¹ý ³Ì Ëæ X( t) , t¡Ý0 ÊÇֻȡ ·Ç ¸º ÕûÊýÖµµÄ ¶ÀÁ¢ÔöÁ¿¹ý ³Ì , ÇÒ Âú×ã (1) X( 0) = 0; (2) ¶ÔÈÎ ÒâµÄ 0¡Ü s < t, X( t ) - X( s) ¡«¦Ð(¦Ë( t - s) ) , ¼´ ¦Ë( t - s) P X( t) - X( s) = k = k! ³Æ X( t ) Ϊ Ç¿¶ÈΪ ¦Ë µÄ²´ Ëɹý ³Ì ¡£ ÓÉ ²Î ÊýΪ ¦Ë µÄ²´ ËÉ·Ö²¼µÄÊýѧÆÚ ºÍ ·½²î ¾ùΪ ¦Ë ÒÔ ÓÚ Íû ¼°²´ ËÉ ¹ý ³Ì µÄ¶¨ Òå ¦Ì X ( t) = ¦Ët CX ( s , t) = DX min( s, t ) = ¦Ëmin( s , t) RX ( s , t) = ¦Ëmin( s, t ) + ¦Ë st
2 k

e

- ¦Ë( t - s)

k = 0 , 1 , 2 , ¡-

s, t¡Ý0

s , t¡Ý0 ¡¤ 2 41 ¡¤

, ÀûÓà µÈʽ min( s, t ) = ÓРʱ¸ü ·½±ã¡£ Èý ¡¢ ά Äɹý ³Ì ά ÄÉ ³Ì ÊÇ ¹ý ²¼ÀÊ ¶¯ µÄÊýѧģÐÍ¡£ Ó¢¹ú Ö²Îï ѧ¼Ò ÔË ²¼ÀÊ ÏÔ΢ ÔÚ ¾µÏ , ¹Û²ì Ư¸¡ ÔÚ ¾²µÄÒºÃæ µÄ΢ СÁ£×Ó ·¢ ÏÖËüÃÇ ¶Ï µØ½øÐРƽ ÉÏ , ²» ×Å ÂÒ Õ ÔÓ ÎÞ µÄÔ˶¯ , ÕâÖÖ ÏÖÏó ºó À´ ±»³ÆΪ ²¼ÀÊÔ˶¯ ¡£ ÒÔW ( t ) ±í ʾ ¶¯ ÖÐ ÔË Ò»Î¢ Á£´Óʱ t = 0 µ½Ê±¿Ì t > 0 µÄλ ÒÆ ¿Ì µÄºá ×ø±ê , ÇÒ Éè W(0) = 0¡£ ¸ù ¾Ý °®Òò˹ ̹ 1905 ÄêÌá ³ö µÄÀíÂÛ Î¢ Á£µÄÕâÖÖ ¶¯ ÊÇ , ÔË ÓÉ ÊÜ ÓÚ µ½´ó Á¿Ëæ »úµÄ¡¢ »¥¶ÀÁ¢µÄ·Ö×Ó Ïà ÅöײµÄ½á¹û ¡£ ÓÚ Á£×Ó ÊÇ, ÔÚ Ê± ¶Î s, t ÉÏ µÄλ ÒÆ ¿É¿´ ×÷ ÊÇÐí¶à ΢ Сλ ÒÆ µÄ´ú ÊýºÍ ¡£ ÏÔÈ», ÒÀ ÖÐ ¼«ÏÞ ¶¨ Àí , ¼Ù ÐÄ Éèλ ÒÆW( t ) - W ( s) Ϊ Õý̬·Ö ²¼ÊÇºÏ Àí µÄ¡£ Æä ´Î , ÓÉ Á£×Ó ÓÚ µÄÔË Íê È«ÊÇ ÒºÌå ·Ö×Ó ¶¯ ÓÉ µÄ²» ¹æ ÔòÅöײ¶øÒýÆð Õâ µÄ, Ñù, ÔÚ Ïà ÖØ ²» µþµÄʱ ¼ä¼ä¸ô ÄÚ, ÅöײµÄ´Î Êý¡¢ СºÍ ·½ Ïò ¿É¼Ù ÊÇ ´ó ¶¨ Ïà »¥¶ÀÁ¢µÄ, Õâ¾ÍÊÇ W( t ) ¾ßÓР˵ ¶ÀÁ¢ÔöÁ¿ÐÔ ¡£ ×Û ËùÊö, ¿ÉÓÐ ÉÏ ÈçÏ ¶¨ Òå¡£ ¶¨ Òå6 .6 . 3 Éè »ú¹ý³Ì Ëæ W( t) , t¡Ý0 ÊÇÈ¡ ʵÊýÖµµÄ¶ÀÁ¢Ôö
2 2 µÄ ά ÄÉ ¹ý ³Ì

s+ t - | s - t| 2

Á¿¹ý ³Ì , ÇÒ ¶ÔÈÎ ÒâµÄ 0¡Ü s < t, W ( t) - W ( s) ¡« N (0 , ¦Ò ( t - s) ) , W (0) = 0 , Ôò³Æ W( t ) Ϊ ²Î ÊýΪ ¦Ò Àý6 .19 Ïà ¹Øº¯ Êý: (1) Y ( t) = W( t + l ) - W( t ) , (2) Z( t ) = e
- ¦Ât

, Æä ¦Ò> 0 Ϊ ³£ Êý¡£ ÖÐ

Éè W( t ) , t¡Ý0 Ϊ ά ÄÉ ³Ì , ÇóÏ ÁÐËæ»ú¹ý ³Ì µÄ×Ô ¹ý t¡Ý0 ( l > 0 Ϊ ³£ Êý) ;

W( e

2 ¦Ât

),

- ¡Þ < t < + ¡Þ ( ¦Ì > 0 Ϊ ³£ Êý) ¡£

½â (1) Y ( t) µÄ×Ô ¹Øº¯ ÊýΪ Ïà RY ( s, t ) = E Y( s) Y ( t) = E ¡¤ 2 42 ¡¤ W( s + l ) - W( s) W( t + l ) - W( t)

= RW ( s + l, t + l ) - RW ( s, t + l) - RW ( s + l, t) + RW ( s , t ) s + t + 2 l - | s - t| s + t + l - | s - t - l| 2 2 s + t + l - | s - t + l| s+ t - | s - t| + 2 2 2 ¦Ò = | l + ( s - t ) | + | l - ( s - t) | - 2 | s - t | 2 2 ¦Ò = l + | s - t| + | l - | s - t| | - 2| s - t| 2 = ¦Ò
2

0 (2) Z( t ) µÄ×Ô ¹Øº¯ Êý Ïà RZ ( s , t) = E Z ( s) Z ( t) = ¦Ò e = ¦Ò e
2 2 - ¦Â( s + t ) 2 ¦Âmi n( s , t)

=

¦Ò ( l - | s - t | )

2

| s - t | ¡Ü l | s - t| > l

s , t¡Ý0

= E e

- ¦Âs 2

W( e
- ¦Â

2¦Âs

)e

- ¦Ât

W( e

2¦Ât

)

e

= ¦Ò e

s + t - 2 mi n( s , t )

- ¦Â| s - t |

s, t¡Ý0 ¦Ì W ( t ) = 0

ÓÉ ÒåÖª , άÄɹý ³Ì µÄ¾ùÖµº¯ Êý¡¢ Ïà ¹Øº¯ Êý·Ö±ðΪ ¶¨ ×Ô
2

CW ( s, t ) = RW ( s, t) = ¦Ò min( s , t) ά ÄÉ ³Ì ÓÐ ¹ý Èçϵļòµ¥ÐÔ : ÖÊ (1) άÄɹý ³Ì a1 , a2 , ¡- , a n n n

s, t¡Ý0

W( t) Ò²ÊÇ Ë¹ ¹ý ³Ì ¡£ ¸ß

Ö¤Ã÷ ¶ÔÈÎ ÒâµÄÕýÕûÊý n , ÈÎ ÒâµÄ 0¡Ü t1 < t2 < ¡- tn , ÈÎ ÒâʵÊý

¡Æ k= 1

ak W( tk ) = ¡Æ bk W( tk ) - W( tk - 1 ) , ( t0 = 0) k= 1 n ʽ ÖÐbk = ¡Æ ai ( k = 1 , 2 , ¡- , n) ¡£ ÓÚ W( t ) µÄÔöÁ¿ÊÇ »¥¶ÀÁ¢ ÓÉ Ïà i= k n

µÄÕý̬Ëæ »ú±äÁ¿, ÔòÓÉ µÚËÄÕ µÄ¶¨ Àí 4 .4 .4 Öª ¡Æ a k W( tk ) ÊÇ Õý̬ k= 1

Ëæ »ú±äÁ¿¡£ ÓÉ Ë¹ ¹ý ³Ì µÄÐÔ ( 3) Öª W( t) Ϊ ¸ß ˹ ¹ý ³Ì ¡£ ÓÖ ¸ß ÖÊ ¡¤ 2 43 ¡¤

(2)

W( t) ÓÉ Ãæ Ï µÄ¼¸ÖÖ ±ä»» ËùµÃµÄР³Ì Wi ( t ) , ( i = 1 , ¹ý t 2 ) , t¡Ý0 c t>0

2 , 3 , 4) ¾ùΪ άÄɹý ³Ì : ¢Ù ¶Ô c > 0 , W1 ( t ) = cW ( tW( 1 ) t

¢Ú W2 ( t) =

0 t=0 ¢Û ¶Ô h > 0 , W3 ( t ) = W( t + h) - W( h) , ¢Ü W4 ( t) = - W( t) ,

t¡Ý0

t¡Ý0¡£ Ö¤Ã÷ ¼û²Î ¿¼ÎÄÏ× [1] p371¡£ ²Î

¡ì

6 .7

Âí¶û¿É·ò Á´

±¾ ½é Ü Àà Ø ª Ä É¢ Ëæ ¹ý³Ì ¡ª ª¡ª Âí û¿É ¡£ ½Ú É Ò» Ö Ò µ Àë ÐÍ »ú ¡ ¶ ·òÁ´ Ò» ¡¢Âí¶û¿É·ò Á´µÄ ¸ÅÄî Âí û¿É ʵ ÉÏÊÇ ¶ ·òÁ´ ¼Ê ״̬ºÍ ʱ ¶¼ Àë ¢ Âí¶û¿É ¼ä ÊÇ É µÄ ·ò¹ý³Ì ,
¶ø Âí¶û ¿É·ò ¹ý ³Ì ÊÇ ¾ßÓÐ ÏÂÌØÐÔ ÒÔ µÄËæ »ú¹ý ³Ì : µ±¹ý ³Ì ÔÚ Ê±¿Ì t0
´¦ µÄ ×´ ̬ Ϊ ʱ ¿Ì ÒÑ Öª µÄ Ìõ µÄ ×´ ̬ ¼þ Ï Ëù

, ¹ý ³Ì ÔÚ ¿Ì t ( t > t0 ) ´¦ µÄ״̬ , Ö»Óë¹ý ʱ
ʱ ¿Ì ÒÔ Ç° Ëù ´¦ µÄ ×´ ̬ ÎÞ

³Ì ÔÚt0
¹Ø ¡£

ÓÐ ¹Ø ÎÞ ºó

, ¶øÓë¹ý ³Ì ÔÚ t0
Ч ÐÔ »ò Âí ¶û ¿É ·ò

Õâ ÖÖ ÌØ ÐÔ ³Æ Ϊ ÎÞ ºó

ÐÔ ¡£ µÄ ×´ ̬

Ч ÐÔ Ò² ¿É Àí

½â Ϊ

: ¹ý ³Ì

X( t ) ÔÚ ÏÖÔÚ Ê±¿Ì t0

X

( t0 ) = a ÒÑ ÖªµÄÌõ ¼þÏ , ¹ý ³Ì¡° ½«À´ ¡± µÄÇé¿ö Óë ¹ý È¥¡± ¡° µÄÇé¿öÊÇÎÞ ¹ØµÄ¡£ »òÕß˵, ÕâÖÖ »ú¹ý ³Ì µÄ° ½«À´ ¡± Ëæ ¡ Ö»ÊÇ ¹ý ÏÖÔÚ Óë ¹ý È¥¡± ͨ ¡° ¡± ¡° ·¢ ÉúÁª ϵ , Èç¹û Ò»µ©ÒÑ ¡° ÏÖÔÚ , ÄÇ ¡° ½«À´ ¡± Öª ¡± ô ¾ÍºÍ¡° ¹ý È¥¡± ¹ØÁË¡£ ÎÞ ÕâÒ»ÌØÐÔ ¿ÉÓà , ·Ö²¼º¯ ÊýÀ´ È· ÇÐ µØ±í ³ö ¡£ Éè X( t) µÄ״̬¿Õ¼äΪ ¦Ö,Èç¹û ¶Ôʱ t µÄÈÎ Òâ n ¸ö ÊýÖµ t1 < t2 ¡- < tn , n¡Ý 3 , ÔÚ ¼þ X ¼ä Ìõ ( ti ) = xi , xi ¡Ê
¦Ö

, i = 1 , 2 , ¡- , n - 1 Ï , X( tn ) µÄÌõ ¼þ·Ö ²¼º¯ ÊýÇ¡µÈ
1 ÏÂ

ÓÚ Ìõ ¼þ X( tn - 1 ) = xn ÔÚ ¡¤ 2 44 ¡¤

X( tn ) µÄÌõ ¼þ·Ö²¼º¯ Êý , ¼´

P X( tn ) ¡Ü xn X( t1 ) = x1 , X( t2 ) = x2 , ¡- , X( tn ) = xn - 1 = P X( tn ) ¡Ü xn X( tn - 1 ) = xn - 1
Ôò ³Æ ¹ý ³Ì

X( t ) , t¡Ê T ¾ßÓÐ ¶û¿É·ò ÐÔ ²¢ ³Æ´Ë ¹ý ³Ì Ϊ Âí ¶û¿É·ò Âí ,

¹ý ³Ì ¡£ Ï Ãæ, ¿¼ ÂÇ Ê± ¼ä ºÍ ×´ ̬ ¶¼ ÊÇ Àë É¢ µÄ Ëæ »ú Ðò ÁÐ Xn , n = 0 , 1 , 2 , ¡- , ÉèËüµÄ״̬¿Õ¼äΪ ¦Ö= a1 , a2 , ¡- ¡£ ¶¨ Òå6 .7 . 1 Èç ¹û¶Ô ÈÎÒâ Õý Êý n , r ºÍ 0¡Ü t1 < t2 < ¡- < tr µÄ Õû , ÓÐ < m , ti , m, m + n¡Ê T = 0 , 1 , 2 , ¡-

P Xm + n = aj Xt1 = ai1 , Xt2 = ai2 , ¡- , Xt r = ai r , Xm = ai = P Xm + n = aj Xm = ai Æä ÖÐaik ¡Ê
¦Ö Ôò ³Æ

(6 .7 .1 )

Xn , n¡Ý0 Ϊ Âí¶û ¿É·ò Á´ , »òÂí ÊÏ Á´ ¡£ ²¢ ³Æ

pij ( m , m + n)
Ϊ Âí ÊÏ Á´ ÔÚ Ê± ¿Ì

¡÷ =P

Xm + n = aj Xm = ai µÄ Ìõ ¼þ ÏÂ

m ´¦ ÓÚ ×´Ì¬ ai

, ÔÚ ¿Ì m + n ת ÒÆ Ê± µ½×´ , µ½Áí һʱ m + n ¿Ì

̬ aj

µÄ ת ÒÆ ¸Å ÂÊ ¡£

ÓÉ ÓÚ Á´ ÔÚ Ê± ¿Ì

m ´ÓÈÎ ºÎ Ò»¸ö ״̬ ai

³ö

·¢

±Ø Ȼת ÒÆ 1 , a2 , ¡- Öî״̬ÖÐ µ½a µÄij Ò»¸ö , ËùÒÔ ¡Þ i = 1 , 2 , ¡¡Æ pij ( m, m + n) = 1 , j=1 (6 .7 .2 )

ÓÉ ÒÆ ÂÊ×é³É µÄ¾Ø P ( m, m + n) ת ¸Å Õó ÊÏ Á´ µÄת ÒÆ ÂÊ¾Ø ¸Å Õó¡£

¡÷ = ( pij ( m,

m + n ) ) ³ÆΪ Âí

µ±×ª ÒÆ ÂÊ pij ( m , m + n) Ö»Óë i, j ¼°Ê± ¸Å ¼ä¼ä¸ô n ÓÐ ¹Øʱ, ¼´ pij ( m1 , m1 + n ) = P Xm1 + n = aj Xm1 = ai = P Xm2 + n = aj Xm2 = ai = pij ( m2 , m2 + n) m1 , m2 ¡Ý 0 ³Æת ÒÆ ¸ÅÂÊ ¾ßÓÐ ÎÈ ÐÔ Í¬Ê±Ò²³Æ´Ë Á´ ÊÇ ´Î µÄ»ò ʱ ƽ , Æë ÆëµÄ¡£ ÒÔ Ï ÎÒÃÇ ÓÚ ÏÞ ÌÖÂÛ ´Î Âí ÊÏ Á´ , ¼ò³ÆÂí ÊÏ Á´ ¡£ Æë ÔÚ Æë ʱ µÄÇé¿öÏ , ת ÒÆ Âʿɼò¼Ç ¸Å Ϊ ¡¤ 2 45 ¡¤

pij ( n) = P Xm + n = aj Xm = ai
³Æ Ϊ Âí ÊÏ Á´ µÄ

n ²½×ª ÒÆ ÂÊ, P( n ) ¸Å

¡÷ = ( pij ( n) ) Ϊ

n ²½×ª ÒÆ ÂÊ ¸Å

¾Ø Õó¡£ ÔÚ Ï ÌÖÂÛ ÌرðÖØ ÒÔ ÖÐ ÒªµÄÊÇ Ò»²½×ª ÒÆ ÂÊ ¸Å pij

¡÷ = pij (1)

= P Xm + 1 = aj Xm = ai
Xm + 1

»ò ÓÉ Ëü ÃÇ ×é ³É µÄ Ò» ²½ ת ÒÆ ¸Å ÂÊ ¾Ø Õó µÄ ×´ ̬

a1 a1 p1 1
Xm

a2 p12 p22
¦ó

¡¡¡¡¡¡-

aj p1 j p2 j
¦ó

¡¡¡¡¡¡ÓÉ

a2 p2 1
¦ó ¦ó

P = P(1) = ( pij ) =

µÄ ×´ ̬

ai pi1
¦ó ¦ó ×´ ̬

pi2
¦ó

pij
¦ó

ÔÚ ÉÏ Êö ¾Ø Õó µÄ ×ó ²à ×´ ̬

ºÍ

ÉÏ ±ß ±ê ÉÏ

a1 , a2 , ¡- ÊÇ ÁËÏÔʾ pij ÊÇ Îª

ai
Àý

¾- Ò» ²½ ת ÒÆ µ½ ×´ ̬

aj

µÄ ¸Å ÂÊ ¡£

6 .20

(0 -1 ´« Êäϵ ͳ ) ͼ 6 .2 Ϊ Ö»´« ÊäÊý×Ö0 ºÍ 1 µÄ´®Áª

ϵ ͳ , Éèÿһ¼¶ µÄ´« Õæ ÊäÈëºÍ Êä³ö Êý×Ö Í¬µÄ¸Å ÂʳÆΪ ϵ ͳ µÄ ÂÊ( Ïà ´« Õæ Ïà ·´ Çé¿ö³ÆΪ Îó ÂëÂÊ) Ϊ p , Îó ÂëÂÊΪ q = 1 - p, ²¢ ÉèÒ»¸ö ÂÊ, µ¥Î» ʱ ¼ä´« ÊäÒ»¼¶, X0
ÊÇ µÚ Ò» ¼¶ µÄ Êä Èë

, Xn

ÊÇ µÚ

n ¼¶ µÄÊä³ö ( n¡Ý

1) , ÄÇ Ã´ Xn , n = 0 , 1 , 2 , ¡- ÊÇÒ»Ëæ»ú ¹ý ³Ì , ×´ ̬¿Õ¼ä ¦Ö = 0 , 1 , ¶øÇÒ Xn = i, i¡Ê ¦Ö Ϊ ÒÑ Ê± Xn + 1 Ëù µ± Öª
´¦ µÄ ×´ ̬ µÄ ¸Å ÂÊ ·Ö ²¼ Ö» Óë

Xn = i ÓÐ , ¶øÓëʱ¿Ì n ÒÔ ¹Ø Ç°Ëù´¦ µÄ×´ ̬ ÎÞ ¹Ø , ËùÒÔ ËüÊÇÒ»Âí ÊÏ Á´ , ¶øÇÒ Æë µÄ, ËüµÄÒ»²½×ª ÒÆ ÂÊºÍ Ò»²½×ª ÒÆ ÂÊ¾Ø ÊÇ ´Î ¸Å ¸Å Õó·Ö±ðΪ pij = P Xn + 1 = j Xn = i = ºÍ p q j= i j¡Ù i i , j = 0,1

¡¤ 2 46 ¡¤

0 P= 0 1 p q

1 q p

X0 1

X1 2

X2 3

X3

n . .. X

-1

n

Xn

.. . .

ͼ

6 .2

¶þ ¡¢

Chapman-Kolmogorov ·½ ³Ì
Ϊ Âí ÊÏ Á´

¶¨ 6 .7 . Éè Xn Àí 1

, Ôò¶ÔÈÎ ÒâÕýÕûÊý m, k ÓÐ (6 .7 .3 )

pij ( m + k) = ¡Æ pir ( m ) prj ( k) r ³Æ´Ë ·½³Ì Ϊ Chapman- Kolmogorov ·½³Ì , ¼ò³Æ C-K ·½³Ì ¡£ Ö¤Ã÷ pij ( m + k) = P Xn + m+ k

= aj Xn = ai m = ¡Æ P Xn + r

= ar , Xn +

m+ k

= aj Xn = aj m+ k

1 = ¡Æ P Xn = ai , Xn + m = ar , Xn + P Xn = ai r 1 = ¡Æ P Xn = ai pir ( m ) prj ( k) P Xn = ai r = ¡Æ pir ( m) prj ( k ) r

= aj

ÓÉC- K ·½³Ì , ÈÝ ¿´ µ½×ª ÒÆ Ò× ¸ÅÂÊ ÕóÖ® ¾Ø ¼äÓÐ ÏÂÁÐ ¹Øϵ ʽ P( m + k ) = P( m ) P ( k) ÌرðµØ, P( n) = P ·½·¨ ¡£ Àý 6 .21 ( Ìì Æø Ô¤±¨ ÎÊ Ìâ ) Èç¹û Ã÷Ìì ÊÇ ÓÐ ·ñ Óê½öÓë½ñÌì µÄÌì ¡¤ 2 47 ¡¤ Æø ÊÇ ÓÐ ÓÐ , ¶øÓë¹ý È¥µÄÌì Æø ¹Ø , ²¢ Éè½ñÌì Ï ÓêµÄÇé¿ö ( ·ñ Óê) ¹Ø ÎÞ n ¡£ Õâ ¸ö ¹« ʽ ¸ø ÎÒ ÃÇ Ìá ¹© ÁË Çó

n ²½×ª ÒÆ Â浀 ¸Å

, Ã÷ ÓÐ Ìì ÓêµÄ¸Å ÂÊΪ a , ½ñÌì ÎÞ ÓêµÄÇé¿ö Ï , ¶øÃ÷Ìì ÓÐ ÓêµÄ¸Å ÂÊ Îª ¦Â; ÓÖ ¶¨ °ÑÓÐ ¼Ù Óê³ÆΪ 0 ×´ ̬ Ìì Æø °ÑÎÞ Óê³ÆΪ 1 ×´ ̬ Ìì Æø Ôò , , ±¾ ÀýÊÇ Ò»Á½ ״̬µÄÂí ÊÏ Á´ , Æä Ò»²½×ª ÒÆ ÂÊ¾Ø ¸Å ÕóΪ P= p00 p10 p0 1 p1 1 0 .7 0 .4 0 .3 0 .6 = ¦Á 1 - ¦Á ¦Â 1 - ¦Â 0 .3 0 .6 0 .7 0 .4 0 .3 0 .6 0 .61 0 .52 0 .39 0 .48

Éè ¦Á= 0 .7 , ¦Â= 0 .4 , ÔòÒ»²½×ª ÒÆ ÂÊ¾Ø ¸Å ÕóΪ P= ÓÚ Á½ ÊÇ ²½×ª ÒÆ ¸ÅÂÊ ÕóΪ ¾Ø P ( 2 ) = P = PP = ËÄ ²½×ª ÒÆ ¸ÅÂÊ ÕóΪ ¾Ø P(4) = ( P(2) ) =
2 2

0 .7 0 .4

=

0 .574 9 0 .566 8

0 .425 1 0 .433 2

ÓÉ ¿ÉÖª , ½ñÌì ÓÐ ´Ë ÓêµÄÇé¿ö Ï µÚÎå Ìì ÈÔÓÐ ÓêµÄ¸Å ÂÊΪ p0 0 ( 4 ) = 0 .5749¡£ Èý ¡¢ ÓРά ·Ö ²¼ ÏÞ Éè Xn
Ϊ Âí ÊÏ Á´

, P( n ) Ϊ ËüµÄ n ²½×ª ÒÆ ÂÊ¾Ø ¸Å Õó¡£ ÎÒÃÇÀ´

ÑÐ ¾¿ËüµÄÓРά·Ö²¼¡£ ÏÈ ¿´ Âí ÊÏ Á´ ÔÚ Ò»Ê± n µÄһά·Ö²¼ ÏÞ ÈÎ ¿Ì pj ( n) ¡Þ ÏÔȻӦÓÐ¡Æ pj ( n) = 1 ¡£ ÓÉ È«¸ÅÂÊ Ê½ ÓÖ ¹« , ÓÐ j=1 ¡Þ P Xn = aj = ¡Æ P Xn = aj X0 = ai P X0 = ai i=1 ¡÷ =P

X n = aj , aj ¡Ê

¦Ö

, j = 1 , 2 , ¡-

(6 .7 .4 )

»ò ¼´

¡Þ pj ( n ) = ¡Æ pi ( 0) pij ( n) , j = 1 , 2 , ¡i=1

(6 .7 .5 )

¡¤ 2 48 ¡¤

p( n) = ( p1 ( n) , p2 ( n) , ¡- , pj ( n) , ¡- ) ÕâÑù, ÀûÓà Õó³Ë ·¨ , (6 .7 .5 ) ʽ ¾Ø ¿Éд³É p( n) = p(0) P( n) Õâ±í Ã÷, Âí ÊÏ Á´ ÔÚ Ò»Ê± n µÄһά·Ö²¼ÓÉ Ê¼ ÈÎ ¿Ì ³õ ·Ö²¼ p( 0 ) ºÍ n ²½ ת ÒÆ ÂÊ¾Ø ¸Å ÕóËùÈ· ¶¨ ¡£ ÓÖ " 0¡Ü t1 < t2 < ¡- < tn , ÒÔ ai1 , ai2 , ¡- , ain ¡Ê , ¼° n ά·Ö²¼ P Xt1 = ai1 , X t2 = ai2 , ¡- , Xt n = ai n = P Xt1 = ai1 P Xt2 = ai2 Xt1 = ai1 = P Xt1 = ai1 P Xt2 = ai2 Xt1 = ai1
¡¦Ö

, Âí ÊÏ Á´ µÄ

P Xt n = ain Xt1 = ai1 , Xt2 = ai2 , ¡- , Xtn - 1 = ain - 1
¡-

P Xtn = ain Xtn - 1 = ain - 1

= pi1 ( t1 ) pi1 i2 ( t2 - t1 ) ¡- pin - 1 i n ( tn - tn - 1 ) ÓÉ , Âí ÊÏ Á´ µÄÓРά·Ö²¼Íê È«ÓÉ Ê¼ ´Ë ÏÞ ³õ ·Ö²¼ºÍ ת ÒÆ ÂÊËùÈ· ¶¨ ¡£ ¸Å Àý 6 .22 Éè Xn , n¡Ý0 ÊÇ ¾ßÓÐ Èý¸ö ×´ ̬ µÄÆë ÂíÊÏ Á´ , Ò»²½ ´Î ת ÒÆ ÂÊ¾Ø ¸Å ÕóΪ 3 4 P= 1 4 0 ³õ ʼ ·Ö²¼ pi (0 ) = P X0 = i = (1) P X0 = 0 , X2 = 1 ; (2) P X2 = 1 ¡£ ½â ÏÈ Çó³ö ¶þ ²½×ª ÒÆ ¸ÅÂÊ Õó ¾Ø 1 4 1 2 3 4 0 1 4 1 4

1 , i = 0 , 1 , 2 , Çó: 3

¡¤ 2 49 ¡¤

5 8 P(2 ) = P =
2

5 16 1 2 9 16

1 16 3 16 1 4

5 16 3 16

ÓÚ ÊÇ P X0 = 0 , X2 = 1 = P X0 = 0 P X2 = 1 X0 = 0 = p0 (0) p01 ( 2) = p1 (2 ) = P X2 = 1 = p0 (0 ) p0 1 (2) + p1 (0) p11 ( 2) + p2 (0) p21 (2 ) = 1 5 1 9 11 ( + + )= 3 16 2 16 24 1 5 5 ¡¤ = 3 16 48

ËÄ¡¢ Âí ÊÏ Á´ µÄ±é ÀúÐÔ ¶¨ Òå6 .7 . 2 ai , aj ¡Ê
¦Ö

Éè Xn , n¡Ý0 Ϊ Æë´Î Âí ÊÏ Á´ , Èç¹û ¶ÔÓÚ ËùÓÐ µÄ

, ת ÒÆ ÂÊ pij ( n) ´æÔÚ ¸Å ¼«ÏÞ n¡ú ¡Þ

lim pij ( n) =¦Ðj ( ²» ÒÀ ÀµÓÚi )
¦Ð j

Ôò³Æ´Ë Á´ ¾ßÓÐ ±éÀúÐÔ ÓÖ ¡Æ , Èô j = 1 , Ôòͬ ʱ ¦Ð= (¦Ð,¦Ð , ¡- ) ³Æ 1 2

Ϊ Á´µÄ¼«ÏÞ ·Ö²¼¡£ Æë ÂíÊÏ Á´ÔÚ Ã´Ìõ ¼þϲÅÓÐ ´Î ʲ ±éÀúÐÔ? ÈçºÎ Çó³ö ËüµÄ¼«ÏÞ ·Ö ²¼ ? ÕâЩ Ìâ ÔÚ ÂÛ ÒÑ ÎÊ Àí ÉÏ ¾-Íê Âú½â¾ö, µ« ÐðÊöËüÐèÒª ½Ï¶à ƪ·ù ¡£ ÏÂÃæ ½ö¾ÍÖ»ÓÐ ÏÞ ¸ö ×´ ̬ µÄÁ´ , ¼´ÓÐ Á´µÄ±é ÀúÐÔ ³ö Ò»¸ö ³ä ·Ö ÓÐ ÏÞ ¸ø Ìõ ¼þ¡£ ¶¨ Àí 6 .7 . 2 ÉèÆë Âí ÊÏ Á´ ´Î Xn µÄ ×´ ̬ ¿Õ ¼ä Ϊ ¦Ö

=

a1 , a2 , ¡- , aN , P ÊÇ µÄ Ëü Ò»²½ ÒÆ ×ª ¸ÅÂÊ Õó Èç¹û´æÔÚ Õû ¾Ø , Õý Êý m , ʹ ¶ÔÈÎ ÒâµÄ ai , aj ¡Ê ¡¤ 2 50 ¡¤
¦Ö

, ¶¼ ÓÐ

pij ( m ) > 0 , i, j = 1 , 2 , ¡- , N ×é
N

(6 .7 .6 )

Ôò´Ë Á´ ¾ßÓÐ ±éÀúÐÔ ÇÒ ¼«ÏÞ ·Ö ²¼ ¦Ð= (¦Ð,¦Ð , ¡- ,¦ÐN ) , ËüÊÇ·½ ³Ì , ÓÐ 1 2

¦Ð= ¦ÐP, ¼´ Ð= ¡Æ ¦j i= 1 µÄÂú×ãÌõ ¼þ

¦Ð i

pij , j = 1 , 2 , ¡- , N

(6 .7 .7 )

N

¦Ðj > 0 , ¡Æ j=1 ¦Ð j

= 1

(6 .7 .8 )

µÄΨ Ò»½â¡£ Ö¤Ã÷ ¡£ ÔÚ Àí µÄÌõ ¼þÏ , Âí ÊÏ Á´ µÄ¼«ÏÞ ·Ö²¼ÓÖ Æ½ ·Ö²¼¡£ ÂÔ ¶¨ ÊÇ ÎÈ Òâ¼´, ÈôÓæÐ×÷ Á´ µÄ³õ ʼ Ϊ ·Ö²¼, ¼´p( 0 ) = ¦Ð, Ôòp( n) = ¦Ð¡£ ÕâÊÇ ÒòΪ p( n ) = p( 0 ) P( n) = ¦Ð P = ¦Ð P Àý6 . 23 q P= q 0 p 0 q 0 p , Æä ÖÐ0 < p < 1 , q = 1 - p p n n - 1

= ¡- = ¦Ð

Éè ÂíÊÏÁ´Ö»ÓÐ ¸ö״̬ , Ëü Ò»²½ Èý µÄ תÒÆ ¾Ø ó ¸ÅÂÊ Õ Îª

ÇóÖ¤¸Ã Á´ ¾ßÓÐ ±éÀúÐÔ ²¢ Çó³ö ¼«ÏÞ ·Ö²¼ ¦Ð , ¡£ ½â ÏÔÈ» m = 1 ʱ, ʽ .7 .6) ²» ÄÜ (6 Âú×ã, µ«µ± m = 2 ʱ q + pq P( 2 ) = P =
2 2

pq 2 pq pq

p p

2 2 2

q q

2 2

pq + q

Æä Ôª ËØ ¶¼ ´ó

ÓÚ

0 , ¼´µ± m = 2 ʱ, Âú×ãʽ 6 .7 .6 ) , Ôò¸Ã Á´ ¾ßÓÐ ( ±éÀú

ÐÔ ÉèÆä ¡£ ¼«ÏÞ ·Ö²¼Îª ¦Ð= ( ¦Ð , ¦Ð , ¦Ð ) , ÔòÓÉ ( 6 .7 .7) ºÍ (6 .7 .8 ) , ʽ 1 2 3 ÁÐ ÈçÏ ·½³Ì ×é ³ö

¡¤ 2 51 ¡¤

1 ¦Ð 2 ¦Ð 3 ¦Ð 1

= q 1+ q 2 ¦Ð ¦Ð = p 1+ q 3 ¦Ð ¦Ð = p 2+ p 3 ¦Ð ¦Ð +¦Ð +¦Ð = 1 2 3

Èô p = q =

1 , ÔòµÃ 2 ¦Ð =¦Ð =¦Ð = 1 2 3 1 3

Èô p¡Ùq , ÔòµÃ 1pj = 1p q p q Ï° 1 . ÒÑ ÖªËæ »ú¹ý ³Ì X( t) Ϊ X( t ) = X cos ¦Ø t 0 ʽ , ¦Ø ÖÐ 0 ¹ý ³Ì Y ( t) = 1 0 X( t) ¡Üx X( t) > x
Ϊ ³£ Êý

3

p q

j - 1

j = 1, 2,3

Ìâ

, X¡« N(0 , 1 ) , Çó X( t) µÄһά¸Å ÂÊÃÜ ¶È¡£

2 . ¸ø ¶¨ Ò»¸ö Ëæ »ú¹ý ³Ì X ( t ) ºÍ ÈΠһʵÊý x, ¶¨ ÒåÁí Ò»¸ö Ëæ»ú

Ö¤Ã÷ Y( t ) µÄ¾ùÖµº¯ ÊýºÍ ×Ô ¹Øº¯ Êý·Ö±ðΪ X( t) µÄһάºÍ ¶þά ·Ö Ïà ²¼º¯ Êý¡£ 3 . ÉèËæ »úÕñ·ù ÐŠΪ ºÅ X( t ) = Vsin ¦Ø t 0 Æä ÖÐ¦Ø 0
Ϊ ³£ Êý

, V¡« N(0 , 1 ) , Çó¸Ã Ëæ ¹ý ³Ì µÄ¾ùÖµ¡¢ ²î ¡¢ ¹Ø º¯ »ú ·½ Ïà , A ºÍ ¦¨

ÊýºÍ Ð-·½²î º¯ Êý¡£ 4 . Ëæ »ú¹ý ³Ì X( t ) = A cos ( ¦Ø t + ¦¨ ) , ʽ ÖÐ¦Ø 0 0 ¡¤ 2 52 ¡¤
Ϊ ³£ Êý

, ÇÒ A¡« U(0 , 1) , ¦¨ ¡« U (0 , 2¦Ð) , Çó X( t ) µÄ ¾ùÖµºÍ Ïà ¹Øº¯ Êý¡£ 5 . Èç¹û Ëæ »ú¹ý ³Ì X( t) Ϊ X( t ) = Ut - ¡Þ < t < - ¡Þ ʽ ÖÐU¡« U(0 , 1) , Çó¹ý ³Ì µÄ¾ùÖµ¡¢ ¹Øº¯ Êý¡¢ Ïà Ð-·½²î º¯ ÊýºÍ ·½²î ¡£ 6 . ÊÔ Ö¤Ã÷: (1) ÈôËæ »ú¹ý ³Ì X( t) ¼Ó È· ¶¨ µÄʱ ÉÏ ¼äº¯ Êý ¦¼( t ) , ÔòÐ-·½²î ²» ±ä¡£ (2 ) ÈôËæ »ú¹ý ³Ì X( t ) ³Ë ÒÔ Ëæ ·Ç »úÒò×Ó¦¼( t ) , Ôòз½²î º¯ Êý³Ë ÒÔ t1 )¦¼( t2 ) ¡£ ¦¼( 7 . ÒÑ ÖªËæ »ú¹ý ³Ì X( t) = Usin t + V cos t, Y( t) = W sin t + Vcos t, ʽ ÖÐU, V, W ÊÇ ¾ùֵΪ Áã¡¢ ·½²î Ϊ 6 µÄÁ½ ²» Ïà ¹ØµÄËæ Á½ »ú±äÁ¿, Çó¹ý ³Ì X( t) ºÍ Y( t )µÄ»¥Ïà ¹Øº¯ Êý¡£ 8 . ÉèËæ »ú¹ý ³Ì X( t) = Acos t + B sin t, Y( t ) = Acos 2 t + B sin2 t, ʽ ÖÐA, B ÊÇ Öµ Áã, ·½²î Ϊ 3 µÄ²» Ïà ¹ØµÄËæ ¾ù Ϊ »ú±äÁ¿, Çó¹ý ³Ì X( t ) Óë Y( t )µÄ»¥Ïà ¹Øº¯ Êý¡£ 9 . É踴 Ëæ »ú¹ý ³Ì Z ( t) Ϊ Z ( t) = e
ʽ ÖÐ ¦¨ ¡« i ( ¦Ø t + ¦¨ )
0

U(0 , 2¦Ð) , Çó E Z ( t ) Z ( t + ¦Ó) ºÍ E Z ( t ) Z ( t + ¦Ó) ¡£
N

10 . Èô¸´ Ëæ »ú¹ý ³Ì V( t) ÓÉ N ¸ö ¸´ ÐÅ Ö® ×é³É , ¼´ ºÅ ºÍ V( t) = ¡Æ An e n=1 i( ¦Ø t + ¦µ )
0 n

ʽ ÖÐ ¦Ø 0 Ϊ

ÿ ¸ö

¸´

ÐÅ ºÅ µÄ ½Ç Ƶ ÂÊ Îª µÚ

( ʵ³£ Êý) ¡£ An

Ϊ

µÚ

n ¸ö ¸´ ÐÅ µÄ ºÅ , Çó

·ù ¶È, ÊÇ Ëæ ¸ö »ú±äÁ¿; ¦µ n

n ¸ö ¸´ ÐÅ µÄÏà λ , ¦µ n ¡« U (0 , 2 , ºÅ ¦Ð)
½Ô Ϊ Ïà »¥ ¶À Á¢

ÏÖ¼Ù Éè¶ÔÓÚn = 1 , 2 , ¡- , N ËùÓÐ »ú±äÁ¿ An , ¦µ n Ëæ ¸´ ¹ý ³Ì V( t ) µÄ×Ô ¹Øº¯ Êý¡£ Ïà 11 . ÉèÓÐ ¸ö Ëæ Á½ »ú¹ý ³Ì X1 ( t ) = Y ºÍ X2 ( t ) = tY

Æä ÖÐY ÊÇ ÍË »¯ Ëæ ·Ç »ú±äÁ¿¡£ ÊÔ ·Ö±ðÌÖÂÛ ³Ì X1 ( t ) , X2 ( t) µÄƽ ¹ý ÎÈ ÐÔ ¡£ ¡¤ 2 53 ¡¤

12 . ÒÑ ÖªËæ »ú¹ý ³Ì X( t ) = t + Asin t + B cos t , ʽ ÖÐA, B ½Ô Ϊ Ëæ »ú±äÁ¿, ²¢ ÓÐ E( A) = E ( B) = 0 , D ( A) = D ( B) = 10 , E( AB) = 0 , ÊÔ ·Ö±ðÌÖÂÛ ³Ì X( t) ¡¢Y ( t) ¹ý

2

¡÷ = X( t )

- ¦Ì X ( t ) µÄƽ ÐÔ ÎÈ ¡£

13 . ÉèËæ »ú¹ý ³Ì Z ( t) = X( t ) + Y, Æä X( t) ÊÇһƽ ¹ý ³Ì , ÖÐ ÎÈ Y ÊÇ X( t ) ¶ÀÁ¢µÄ¶þ½× ´æÔÚ Óë ¾Ø µÄËæ »ú±äÁ¿¡£ ÊÔ ÌÖÂÛ ³Ì Z ( t ) µÄ ¹ý ƽ ÐÔ ÎÈ ¡£ 14 . ÈôÁ½ Ëæ ¸ö »ú¹ý ³Ì X( t) ºÍ Y( t) ¶¼ ÊÇ ÎÈ ¹ý ³Ì , ÇÒ ²» ƽ X( t) = A( t ) cos t , Y( t ) = B( t ) sin t ¶þʽ , A( t) ºÍ B( t) Ϊ Ïà »¥¶ÀÁ¢¡¢ ÎÈ¡¢ ÖРƽ Áã¾ùÖµËæ »ú¹ý ³Ì , ²¢ ÓРͬ Ïà µÄ×Ô ¹Øº¯ Êý¡£ ÇóÖ¤ X( t) ºÍ Y ( t ) Ö® , ¼´ Z ( t ) = X( t ) + Y( t ) ÊÇ Ïà ºÍ Æ½ ¹ý ³Ì ¡£ ÎÈ 15 . ÈôËæ »ú¹ý ³Ì X( t) Ϊ ƽ ¹ý ³Ì ÎÈ Y ( t) = X( t ) cos ( ¦Ø t + ¦¨ ) 0 ʽ ÖÐX( t ) ºÍ ¦¨ Ïà »¥¶ÀÁ¢, ¦¨ ¡« U(0 , 2 , ¦Ø ¦Ð) 0 (1) ÇóÖ¤ Y( t ) Ϊ ƽ ¹ý ³Ì ; ÎÈ (2) ÈôÓà W ( t ) = X ( t ) cos ( ¦Ø + ¦Ä) t + ¦¨ ±í ʾ »ú ¹ý ³Ì X 0 Ëæ ( t) µÄƵ ÂÊ°´ ¦Ä ²î ÅÄ, ÇóÖ¤ W( t) Ò²ÊÇ ÎÈ ¹ý ³Ì ¡£ ƽ (3) ÇóÖ¤ÉÏ ÊöÁ½ ³Ì Ö® Y( t ) + W( t ) ²» ÊÇ ÎÈ ¹ý ³Ì ¡£ ¹ý ºÍ ƽ 16 . Éè X, Y ÊÇËæ »ú±äÁ¿, ¦Ø > 0 Ϊ ³£ Êý, Ö¤Ã÷Ëæ 0 »ú¹ý ³Ì Z ( t) = X cos ¦Ø t + Y sin ¦Ø t Ϊ ƽ ¹ý ³Ì µÄ³ä Òª Ìõ ¼þÊÇ X Óë Y ²» Ïà ¹Ø ÇÒ ÎÈ 0 0 ¾ùֵΪ Áã¡¢ ·½²î Ïà µÈ¡£ 17 . Éè X( t ) = cos ( ¦Ø t + ¦¨ ) , Æä 0 ÖÐ¦Ø 0 ¦¼( 2) = 0¡£ 18 . ÉèÁ½ ƽ Ëæ ¸ö ÎÈ »ú¹ý ³Ì X( t) = cos ( t + ¦µ ) , Y ( t) = sin ( t + ¦µ ) , Æä ÖЦµ ÊÇ ( 0 , 2¦Ð) ÉÏ ¾ùÔÈ·Ö²¼µÄËæ ±ä Á¿¡£ ÊÔÎÊ ÕâÁ½ ¹ý ÔÚ »ú ¸ö ³Ì ÊÇ Æ½ Ïà ¹Ø ? ·ñ ÎÈ ¡¤ 2 54 ¡¤
Ϊ ³£ Êý Ϊ ³£ Êý

,

, ¦¨ Ϊ Ëæ »ú±äÁ¿,

Æä ÌØÕ÷ ÊýΪ ¦¼ t ) ¡£ Ö¤Ã÷ X( t) Ϊ ƽ ¹ý ³Ì µÄ³ä ÒªÌõ ¼þÊǦ¼(1) = º¯ ( ÎÈ

19 . ÉèËæ »ú¹ý ³Ì X( t) ºÍ Y( t) ÊÇ ºÏ ƽ µÄƽ ¹ý ³Ì , Çó Áª ÎÈ ÎÈ (1) Z( t ) = X( t) + Y ( t ) µÄ×Ô ¹Øº¯ Êý; Ïà (2) Ìâ (1) ÔÚX( t ) Óë Y ( t ) Ïà »¥¶ÀÁ¢Ê± µÄ½á¹û ; (3) Ìâ (1) ÔÚX( t ) Óë Y ( t ) Ïà »¥¶ÀÁ¢ÇÒ ¾ùֵΪ Áãʱ µÄ½á¹û ¡£ 20 . Éè X( t ) ÊÇÀ× µÄ·¢ ÉäÐźŠ, Óöµ½Ä¿±êºó µÄ»Ø²¨ ÐźŠΪ ´ï aX( t - ¦Ó ) , a 0 ºÍ a ½Ô ³£ Êý¡£ Ö¤Ã÷ Ϊ

Z ( t )d t

¡¤ 2 55 ¡¤

E

V

2

T

= ¡Ò

(T - T

¦Ó ) R Z (¦Ó) d¦Ó

25 . Éè CX (¦Ó) ÊǾù·½ Á¬ÐøµÄƽ ¹ý ³Ì { X ( t ) , t¡Ê ( - ¡Þ , + ÎÈ ¡Þ )} µÄ×Ô Ð-·½²î º¯ Êý, Ö¤Ã÷: Èç¹û CX (¦Ó ¾ø¶Ô¿É»ý , ¼´ )
+ ¡Þ

¡Ò

CX (¦Ó) d¦Ó < + ¡Þ
- ¡Þ

Ôò X( t ) ¹ØÓÚ ¾ùÖµ¾ßÓÐ ¾ù·½±éÀúÐÔ ¡£ 26 . ¾ùֵΪ 0 µÄƽ ¹ý ³Ì X ( t ) µÄ×ÔÏà ¹Ø º¯ ÊýΪ ÎÈ Ae
- a | ¦Ó |

Rx ( ¦Ó) =

(1 + a | ¦Ó| ) , A, a Ϊ Õý³£ Êý , ÊÔ X ( t ) ÊÇ·ñ ¹Ø ÓÚ ÎÊ ¾ùÖµ±é

Àú¡£ 27 . ÉèËæ »ú¹ý ³Ì Z ( t) = X( t ) + Y, Æä ÖÐX( t) ÊÇ Ò»¹ØÓÚ ¾ùÖµ±é ÀúµÄ¹ý ³Ì , Y ÊÇ X( t ) ¶ÀÁ¢µÄ·Ç ÍË »¯ Ëæ ±äÁ¿, ÊÔ Óë »ú ˵Ã÷ Z ( t ) ²» ÊÇ ±éÀúµÄ¡£ 28 . ÉèËæ »ú¹ý ³Ì X( t) = A cos ( ¦Ø t + ¦µ ) , ʽ ÖÐA, ¦µ ÊÇ ¼Æ ͳ ¶À 0 Á¢µÄËæ »ú±äÁ¿, ÇÒ¦µ¡« U(0 , 2¦Ð) , ÊÔ ¸Ã¹ý ³Ì ¹ØÓÚ ÎÊ ¾ùÖµÊÇ ¾ßÓÐ ·ñ ±é ÀúÐÔ? Ö¤Ã÷ ¡£ Ö® 29 . ÉèËæ »ú¹ý ³Ì X( t) = A sin t + B cos t , Æä A, B ½Ô Áã¾ù ÖРΪ Öµ·½²î Ϊ ¦Ò µÄ¡£ 30 . Éè X ( t ) Ϊ ƽ ¸ß ˹ ¹ý ³Ì , ¾ùֵΪ Áã, ×Ô ¹Ø º¯ ÊýΪ ÎÈ Ïà
2 2 ÇÒ »¥ ²» Ïà ¹Ø µÄ Ëæ »ú ±ä Á¿

, ÊÔÖ¤ X( t ) ÊǹØÓÚ ¾ùÖµ±éÀú RX

(¦Ó) , Ö¤Ã÷ Y( t) = X ( t ) Ò²ÊÇ ÎÈ ¹ý ³Ì , ²¢ ÇóÆä ƽ ¾ùÖµºÍ ×Ô ¹Øº¯ Êý Ïà ( Ìá ʾ RY (¦Ó) = R2X (0) + 2 R2X (¦Ó) ) ¡£ : 31 . Éè Z( t ) = X + tY, Èô X , Y Ïà »¥ ¶ÀÁ¢, ÇÒ ·þ ´Ó N ( 0 , ¦Ò ) ¶¼ ·Ö²¼ , Ö¤Ã÷ Z ( t) Ϊ ¸ß ˹ ¹ý ³Ì , ²¢ ÇóÆä Ïà ¹Øº¯ Êý¡£ ×Ô 32 . Éè X( t) Ϊ Áã¾ùÖµµÄƽ ¸ß ˹ ¹ý ³Ì , Æä Ïà ¹Øº¯ ÊýΪ ÎÈ ×Ô sin¦Ð ¦Ó , ÊÔ ¶¨ Ëæ È· »ú±äÁ¿ X ¦Ð ¦Ó ( t) , X( t + 1) , X( t + 2) , X( t + 3) µÄÐ-·½²î ¾Ø Õó¡£ (1) RX (¦Ó = 6e )
| ¦Ó | 2 2

; (2) RX (¦Ó = 6 )

¡¤ 2 56 ¡¤

33 . ÒÑ ÖªÆ½ ¸ß ˹ ¹ý ³Ì X ( t ) µÄ¾ùÖµ ¦Ì X = 8 , ×Ô ¹Øº¯ Êý RX ÎÈ Ïà (¦Ó = 5e )
- | ¦Ó|

( cos 2¦Ó+ 0 .5sin 2 | ¦Ó| ) , Çóµ¼Êý Y ( t ) = ¢z ( t ) ÂäÔÚ 0 , X (

10) ÄÚ µÄ¸Å ÂÊ¡£ 34 . Éèij µç »° ×Ü »ú¹² ÓÐN ²¿ ·Ö»ú , µÚ i ²¿ ·Ö»úÔÚ 0 , t ÄÚ µÄºô ½Ð ÊýÊÇ ´Î Ç¿¶ÈΪ ¦Ëi µÄ ²´ ËÉ ¹ý ³Ì

, ÇÒ ·Ö»ú µÄºô »½ÊÇÏà »¥¶ÀÁ¢µÄ¡£ ¸÷
N

Áî X( t ) ÊÇ 0 , t ÄÚ »ú½Ó ×Ü µ½µÄºô »½´Î Êý , Ö¤Ã÷ X( t ) ÊÇÇ¿¶ÈΪ ¡Æ i=1 ¦Ë i µÄ ²´

ËÉ

¹ý

³Ì

¡£

35 . Éè X( t ) , t¡Ý0 Ϊ ²´ Ëɹý ³Ì , ÈÎ ÒâÈ¡ ¶¨ ¶þ ʱ 0 < s < t, ¿Ì Ö¤Ã÷ P X( s) = k X( t ) = n s k s n- k = C 1, k = 0 , 1 , 2 , ¡- , n t t 36 . Éè X( t) ÊÇ Ç¿¶ÈΪ ¦Ë µÄ²´ Ëɹý ³Ì ¡£ ¶¨ ÒåËæ ¹ý ³Ì Y( t) »ú k n

= X( t + L) - X( t) , Æä ÖÐL > 0 Ϊ ³£ Êý, Çó ¦Ì Y ( t ) ºÍ RY ( s, t ) ¡£ 37 . Éè X( t) , t¡Ý0 ÊÇ ÊýΪ ¦Ò ²Î (2) Z( t ) = - X( t) , t¡Ý0 ¶¼ÊÇ ÄÉ ³Ì ¡£ ά ¹ý 38 . Éè X( t) , t¡Ý0 ÊÇ ÊýΪ ¦Ò ²Î ×Ô ¹Øº¯ Êý: Ïà t , t¡Ý0 ( a > 0 Ϊ ³£ Êý) ; 2 a t (2) X2 ( t ) = ( 1 - t ) X , 0¡Ü t < 1; 1- t (3) X3 ( t ) = e - a t X( e2 a t - 1 ) , t¡Ý0 ( a > 0 Ϊ ³£ Êý) ¡£ (1) X1 ( t ) , = aX 39 . Éè X( t) , t¡Ý0 ÊÇ ÊýΪ ¦Ò ²Î Ð-·½²î º¯ Êý: (1) X( t ) + At , ( A Ϊ ³£ Êý) ; ¡¤ 2 57 ¡¤
2 µÄ ά ÄÉ ¹ý ³Ì 2 µÄ ά ÄÉ ¹ý ³Ì 2 µÄ ά ÄÉ ¹ý ³Ì

, Ö¤Ã÷:

(1) Y ( t) = X( t + h ) - X( h) , t¡Ý0( h > 0 Ϊ ³£ Êý) ;

, ÇóÏ Áйý ³Ì µÄ

, ÇóÏ Áйý ³Ì µÄ

(2) X( t ) + Xt , X Óë X( t ) Ïà »¥¶ÀÁ¢, X¡« N( 0 , 1) ; t , a Ϊ ³£ Êý¡£ 2 a 40 . д³ö Ï ÁÐ ¼¯ºÏ µÄÂí ÊÏ Á´ µÄת ÒÆ ÂÊ¾Ø ¸Å Õó: (3) aX (1) I1 = 0 , 1 , 2 , ¡- , n , n¡Ý2 , ÊÇ ÏÞ ¸ö ÕýÕûÊýµÄ¼¯ºÏ , Èô p0 0 ÓÐ = 1 , pn n = 1 p pij = q 0 µ± j = i + 1 ʱ µ± j = i - 1 ʱ, Æä ÖÐp = 1 - q Æä Ëü

(2) I2 = ¡- , - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , ¡- ÊÇ È«Ìå ÕûÊýµÄ¼¯ºÏ , ¼´ p pij = q 0 µ± j = i + 1 ʱ µ± j = i - 1 ʱ, Æä ÖÐp = 1 - q Æä Ëü
ÖÐ

41 . ´ÓÊý 1 , 2 , ¡- , N ÖÐ È¡Ò»Êý , ¼Ç X1 ; ÔÙ 1 , 2 , ¡- , X1 ÈΠΪ ´Ó
ÈÎ È¡ Ò» Êý

, ¼Ç X2 ; Èç´Ë ¼ÌÐø, ´Ó 1 , 2 , ¡- , Xn - 1 ÖРΪ

ÈÎ È¡

Ò» Êý

, ¼Ç Ϊ

Xn , ˵Ã÷ Xn , n¡Ý1 ¹¹ ³É Ò»Æë´Î Âí ÊÏ Á´ , ²¢ д³ö ËüµÄ×´ ̬ ¿Õ¼äºÍ Ò»²½×ª ÒÆ ÂÊ¾Ø ¸Å Õó¡£ 42 . ÒÑ ÖªÒ»¶ÀÁ¢È¡ÕûÊýÖµËæ »ú±äÁ¿ÐòÁÐ Xn , ÎÒÃÇ ¶¨ Òå ÓÉ Y1 = X1 , ¡- , Yn + CYn - 1 = Xn , ¡- ( n¡Ý2 , C Ϊ ³£ Êý ) ¹¹ ³É Ò»¸ö РÐòÁÐ Yn , ÊÔ Ö¤ÐòÁÐ Yn 0 P= q 0 ( 2 ) Çó P( n) , n¡Ý1¡£ 44 . ÉèÆë Âí ÊÏ Á´ µÄת ÒÆ ÕóΪ ´Î ¾Ø ¡¤ 2 58 ¡¤
Ϊ Âí ¶û ¿É ·ò Á´ ¡£

43 . ÉèÓÐ Èý¸ö ״̬ 0 , 1 , 2 µÄÂíÊÏ Á´ , Æä Ò»²½×ª ÒÆ ÂÊ¾Ø ¸Å ÕóΪ 1 0 1 0 p 0

(1) ÊÔ P ( 2 ) , ²¢Ö¤ P ( 2 ) = P( 4 ) ; Çó Ã÷

1 2 P= 1 3 1 3 ±éÀúÇó¼«ÏÞ ·Ö²¼¡£

1 3 1 3 1 2

1 6 1 3 1 6

ÊÔ ´Ë Á´¹² ÓÐ ÎÊ ¼¸¸ö ×´ ̬ ? Çó¶þ²½×ª ÒÆ Õó¡£ ´Ë Á´ ÊÇ ±éÀú ? Èç¹û ¾Ø ·ñ 45 . ÉèÆë Âí ÊÏ Á´ µÄת ÒÆ ÕóΪ ´Î ¾Ø 0 P= 1 2 1 2 1 2 0 1 2 1 2 1 2 0

ÊÔ ´Ë Á´ÊÇ ±éÀú? Èç¹û ±éÀúÇó¼«ÏÞ ·Ö²¼¡£ ÎÊ ·ñ 46 . ÉèÆë Âí ÊÏ Á´ µÄת ÒÆ ÕóΪ ´Î ¾Ø 2 3 1 3 1 2 1 3 2 3

P=

ÇóÖ¤: µ± n¡ú ¡Þʱ, P( n) ¡ú

( Ìá ʾ ÀûÓà : ±éÀúÐÔ ¡£ ) 1 1 2 2 47 . Éè Xn , n¡Ý0 ÊÇ Ò»ÂíÊÏ Á´ , Æä ״̬ ¿Õ¼äΪ a , b , c , ת ÒÆ

1 2

¾Ø ÕóΪ

¡¤ 2 59 ¡¤

1 2 2 3 3 5 Çó: ( 1)

1 4 0 2 5

1 4 1 3 0

P X1 = b , X2 = c, X3 = a , X4 = c, X5 = a , X6 = c, X7 = b X0 = c ; (2) P Xn + 2 = c Xn = b ¡£ 48 . Ö¤Ã÷ ÁÐ ÒÆ ÂÊ¾Ø Ï ת ¸Å Õó¶ÔÓ¦µÄÂí ÊÏ Á´ ¾ßÓÐ ±éÀúÐÔ ÇóÆä ²¢ ƽ ·Ö²¼: ÎÈ 1 2 0 1 4 1 2 ×´ ̬ ¿Õ¼äΪ (1) X4 1 2 1 4 0 0 0 3 4 1 2 0 0 0 1 4 1 2 , 0 1 0 0 0 0 1 0 , Çó: 1 4 0 1 4 0 1 4 1 1 4 0

1 , 2 , 3 , 4 , Èç¹û ³õ ʼ ·Ö²¼Îª µÄ ·Ö ²¼ ÂÉ

1 1 1 1 , , , 4 4 4 4

;

(2) P X2 = 2 , X3 = 1 , X5 = 4 ; (3) P X3 = 1 , X5 = 2 X0 = 3 ¡£

¡¤ 2 60 ¡¤

, ¹ã ·º Ó¦ Óà Àï Ò¶±ä »»ÕâÒ»ÓÐ ¸µ Ч¹¤ ¾ßÀ´È· ¶¨ ʱÓòºÍ Ƶ ÓòÖ® ¼äµÄ¹Ø ϵ ¡£ ÔÚ ¶à Çé¿ö Ï , Ó¦ Óà Óò·½·¨ ¿ÉÒÔ Ðí Ƶ ʹ ·ÖÎö ¹¤ ×÷´ó Ϊ ¼ò»¯ ¡£ ÕâÊÇ ÒòΪ ÔÚ Óò·½·¨ ÖÐ ¿ÉÒÔ Ö± Ïà ³Ë À´ Ƶ , Óà ½Ó ´ú ÌæʱÓò·½·¨ ÖÐ µÄ¾í»ý»ý·Ö¡£ ¹ý È¥, ÔÚ Óà ÀïÒ¶±ä»»¶Ôʱ, Æä Ó¦ ¸µ ¶Ô Ïó ÊÇ ¶¨ ÐÔ Êý¡£ ÏÖÔÚ ºÜ×Ô È· º¯ , È»µØ»á Ìá ³ö ÕâÑùµÄÎÊ Ìâ : ¶ÔÓÚ »úÐÅ Ëæ ºÅÀ´Ëµ, ÊÇ ¿ÉÒÔ ·ñ ÀûÓà Óò·Ö Îö µÄ·½·¨ ? ¸µ ÀïÒ¶±ä»» ÄÜ Óà ÑРƵ ·ñ ÓÚ ¾¿Ëæ »úÐÅ ? ÒÔ ºÅ ¼°Ëæ »úÐÅ ºÅµÄƵ ÓòÌØÕ÷ ʲ ô ? µÈµÈ¡£ ¼òµ¥µÄ»Ø ÊÇ ´ð ÊÇ: ÔÚ ¾¿Ëæ ÑÐ »úЊʱ, ÈÔÈ»¿ÉÒÔ Óà ÊÏ ±ä»» , µ« ±Ø ºÅ Ó¦ ¸µ Ðë¸ù ¾Ý Ëæ »úÐÅ ºÅµÄÌص㠶ÔËü×öijЩ ÖÆ ÏÞ ¡£

¡ì

7. 1

Ëæ »ú¹ý ³Ì µÄ¹¦ ÂÊ ÃÜ Æ× ¶È

Ò» µ¥»Ø ¡¢¼ò ¹Ë ÔÚ ÂÛæ ¹ý³Ì µÄ ·ÖÎöÖ®° ÎÒÃÇÏÈ ¶ÔÈ· ¶¨ ÐÔ ºÅ µÄ¸µ Àï ÌÖ Ë »ú Æ× Ç, ÐÅ
Ò¶ ±ä»» ×÷ Ò»¼òµ¥ »Ø¹Ë ¡£ Éè x( t ) , - ¡Þ < t < + ¡Þ Ϊ ·Ç ÖÜ Êµº¯ ÆÚ Êý, x ( t) µÄ¸µ Àï Ò¶±ä»»´æÔÚ µÄ³ä ÒªÌõ ¼þÊÇ: (1) x ( t ) Âú×ãµÒÊÏ Ìõ ¼þ;
+ ¡Þ

(2) x ( t ) ¾ø¶Ô¿É»ý , ¼´ ¡Ò
+ ¡Þ

- ¡Þ

x ( t) d t < + ¡Þ ;

(3) Èô x ( t) ´ú ±í ÐÅ , Ôò x( t ) µÄ×Ü Á¿ ºÅ ÄÜ ¡Ò
- ¡Þ

x( t )

2

d t < + ¡Þ ¡¤ 2 61 ¡¤

x ( t) µÄ¸µ Àï Ò¶±ä»»Îª
+ ¡Þ

F( ¦Ø) = ¡Ò

- ¡Þ

x( t ) e

- i¦Øt

dt

(7 .1 .1 )

Ò²³Æ F( ¦Ø) Ϊ x( t ) µÄƵ ¡£ µ± x ( t ) ´ú ±í µç ѹ ʱ, Ôò F( ¦Ø) ±í ʾ Æ× ÁË µç ѹ °´ Ƶ Âʵķֲ¼¡£ x ( t ) ÊÇ F( ¦Ø) µÄ¸µ Àï Ò¶·´ ±ä»» , ¼´ 1 x ( t) = ¡Ò 2¦Ð x ( t ) ªÜ F( ¦Ø) ¡£ ÓÉ .1 .1 ) ºÍ (7 .1 .2) Á½ , ¿ÉÒÔ (7 ʽ µÃµ½
+ ¡Þ + ¡Þ + ¡Þ - ¡Þ

F( ¦Ø) e d¦Ø

i¦Øt

(7 .1 .2 )

x ( t) ºÍ F ( ¦Ø) ÊÇ»¥ Ϊ Ψ һȷ ¶¨ µÄ, ³ÆÆä ¸µ Àï Ò¶±ä»» ¶Ô, ¼ò¼Ç Ϊ Ϊ

¡Ò

- ¡Þ

x( t )

2

dt = ¡Ò

- ¡Þ

1 + ¡Þ i¦Øt x ( t) ¡Ò F( ¦Ø) e d¦Ød t 2 - ¡Þ ¦Ð
+ ¡Þ

1 + ¡Þ = ¡Ò F( ¦Ø) ¡Ò 2 - ¡Þ ¦Ð

x( t ) e
- ¡Þ

i¦Øt

d td¦Ø

1 + ¡Þ = ¡Ò F( ¦Ø) F( ¦Ø) d¦Ø 2 - ¡Þ ¦Ð 1 + ¡Þ = ¡Ò F( ¦Ø) 2 - ¡Þ ¦Ð ¼´
+ ¡Þ 2

d¦Ø

¡Ò

- ¡Þ

x( t)

2

1 + ¡Þ d t = ¡Ò 2¦Ð - ¡Þ

F( ¦Ø)

2

d¦Ø

(7 .1 .3 )

ÉÏʽ ¾ÍÊÇ ÖÜ ÐÔ ·Ç ÆÚ Ê±¼äº¯ ÊýµÄÅÁÈûÍß µÈʽ Èô x ( t ) ±í ʾ ¡£ µÄÊǵç ѹ , ÔòÉÏ Ê½ ×ó±ß´ú ±í x( t ) ÔÚ Ê±¼ä( - ¡Þ , + ¡Þ ) ÉÏ µÄ×Ü ÄÜÁ¿¡£ Òò´Ë µÈʽ ±ßµÄ±»»ý º¯ Êý F( ¦Ø) ÓÒ ²¼µÄÇé¿ö , ¹Ê ³Æ F( ¦Ø)
¶þ ¡¢ Ëæ »ú ¹ý ³Ì µÄ ¹¦ 2 Ϊ 2 ±í ʾ ÁË ÐÅ ºÅ

x ( t) µÄÄÜ Á¿°´ Ƶ ÂÊ·Ö

ÄÜ Æ× ÃÜ ¶È ¡£

ÂÊ Æ× ÃÜ ¶È

¶Ô ÓÚ Ëæ »ú ¹ý

³Ì

À´ ˵

, Æä Ñù±¾ ÊýÊÇ ¼äµÄº¯ Êý , µ«ÓÉ Ëæ º¯ ʱ ÓÚ »ú¹ý

¡¤ 2 62 ¡¤

, ËùÒÔ ¶ÔËüµÄÈÎ ºÎ Ò»¸ö ·Ç ÁãÑù±¾ Êý , ¶¼ º¯ ²» Âú×ã¾ø¶Ô¿É»ý ÓëÄÜ Á¿¿É»ý µÄÌõ ¼þ¡£ Òò´Ë , ËüÃÇ µÄ¸µ ÊÏ ±ä»»²» ´æÔÚ ¡£ ÄÇ ¶ÔËæ ¹ý ³Ì ÈçºÎ ÔË Ã´ »ú Óøµ ÊÏ ±ä»» ÄØ? Ï ÃæÎÒÃǾÍÀ´ ½â¾öÕâ¸ö ÎÊ Ìâ ¡£ Ò»¸ö Ëæ »ú¹ý ³Ì µÄÑù±¾ Êý , ¾¡¹ÜËüµÄ×Ü Á¿ÊÇ ÏÞ µÄ, µ«ËüµÄ º¯ ÄÜ ÎÞ Æ½ ¾ù¹¦ ÂÊÈ´ ÊÇ ÏÞ µÄ, ¼´ ÓÐ Q = T¡ú + ¡Þ lim 1 2 ¡Ò T
T - T

x ( t)

2

d t < + ¡Þ

ÕâÑù, ¶ÔËæ »ú¹ý ³Ì µÄÑù±¾ Êý¶øÑÔ ÑÐ º¯ , ¾¿ËüµÄƵ ûÓÐ Æ× ÒâÒå, ÑÐ ¾¿ Æä ¾ù¹¦ ÂÊÆ× ÒâÒå¡£ ƽ ÓÐ Éè X( t ) Ϊ Ò»Ëæ »ú¹ý ³Ì , Ñù±¾ ¿Õ¼äΪ ¦¸ = ¦Æ , ¹Ì ¶¨ ¦Æ ¦¸ , ¡Ê X( t ,¦Æ , - ¡Þ < t < + ¡Þ ¼´Îª X( t) µÄÒ»¸ö Ñù±¾ Êý , Áî ) º¯ XT ( t, ¦Æ = ) X( t, ¦Æ ) 0 | t | ¡Ü T | t|> T

³Æ X T ( t,¦Æ Ϊ X( t, ¦Æ µÄ½Ø ) ) È¡º¯ Êý¡£ ÏÔÈ», XT ( t, ¦Æ µÄ¸µ ÊÏ ±ä»» ÊÇ ) ´æÔÚ ¼Ç µÄ, Ϊ
+ ¡Þ T

FT ( ¦Ø,¦Æ = ) ¡Ò

XT ( t ,¦Æ e )
- ¡Þ

- i¦Øt

dt = ¡Ò

X( t ,¦Æ e )
- T

i¦Øt

dt

1 + ¡Þ i¦Øt X T ( t,¦Æ = ¡Ò ) F T ( ¦Ø, ¦Æ e d¦Ø ) 2¦Ð - ¡Þ ÇÒ ÅÁ ÓÐ ÈûÍß µÈʽ ¼´ ,
T

¡Ò Ôò

- T

X( t, ¦Æ )

2

1 + ¡Þ F ( ¦Ø, ¦Æ ) d t = ¡Ò T 2¦Ð - ¡Þ
+¡Þ - ¡Þ

2

d¦Ø

1 Q = T¡ú + ¡Þ ¡Ò ¦Æ lim 2 T

T - T

2 1 X( t,¦Æ d t = ¡Ò ) 2 ¦Ð

lim T¡ú +¡Þ

1 F (¦Ø,¦Æ 2 ) d¦Ø T 2T

Q Ϊ Ñù±¾ ÊýµÄƽ º¯ ¾ù¹¦ ÂÊ¡£ ¦Æ ¼Ç ¡¤ 2 63 ¡¤

GX ( ¦Ø,¦Æ = T¡ú + ¡Þ ) lim

1 F ( ¦Ø,¦Æ ) T 2T

2

(7 .1 .4 )

ËüÃèÊöÁËÔÚ ¸÷¸ö ²» ͬ Ƶ ÂÊÉÏ ¹¦ ÂÊ·Ö²¼µÄÇé¿ö , Òò¶ø³ÆÖ® Ñù±¾ Ϊ º¯ ÊýµÄ¹¦ ÂÊÆ× ¶È¡£ ¶Ô(7 .1 .4 ) ʽ ¶ËÈ¡ÊýѧÆÚ , µÃ ÃÜ Á½ Íû 1 F ( ¦Ø,¦Æ ) ) SX ( ¦Ø) = E GX ( ¦Ø,¦Æ = E T¡ú + ¡Þ lim T 2T = T¡ú + ¡Þ lim 1 E 2T F T ( ¦Ø, ¦Æ )
2 2

(7 .1 .5 )

ÕâÀï SX ( ¦Ø) ÊÇ¦Ø µÄÈ· ¶¨ º¯ Êý , ²» ÔÙ ¾ßÓÐ »úÐÔ ³Æ SX ( ¦Ø) Ϊ Ëæ»ú Ëæ ¡£ ¹ý ³Ì X( t ) µÄ¹¦ ÂÊÆ× ¶È, ¼ò³Æ¹¦ ÂÊÆ× ¶È»òÆ× ¶È¡£ ÃÜ ÃÜ ÃÜ ÎÒÃÇ ¿ÉÒÔ ÒåËæ »¹ ¶¨ »ú¹ý ³Ì µÄƽ ¾ù¹¦ ÂÊ 1 + ¡Þ Q = E( Q¦Æ = T¡ú + ¡Þ ¡Ò ) lim E 2 T - ¡Þ 1 = T¡ú + ¡Þ ¡Ò lim 2T 1 = T¡ú + ¡Þ ¡Ò lim 2T 1 = T¡ú + ¡Þ ¡Ò lim 2T Áí Ò»·½Ãæ
2 1 + ¡Þ 1 ) Q = ¡Ò lim E F T ( ¦Ø, ¦Æ | d¦Ø 2¦Ð - ¡Þ T¡ú + ¡Þ 2 T T - T T - T T ¦· - T 2 X

XT ( t ,¦Æ )
2

2

dt

E

X( t,¦Æ )
2

dt

E X ( t) d t ( t) d t

¿É¼û, Ëæ »ú¹ý ³Ì µÄƽ ¾ù¹¦ ÂÊ¿ÉÒÔ ËüµÄ¾ù·½ÖµµÄʱ ÓÉ ¼äƽ ¾ùµÃµ½, Ò² ¿ÉÒÔ ËüµÄ¹¦ ÂÊÆ× ¶ÈÔÚ ÓÉ ÃÜ Õû¸ö Ƶ ÓòÉÏ »ý ·ÖµÃµ½¡£ Èô X( t ) Ϊ ƽ ¹ý ³Ì ʱ, ´Ë ʱ ÎÈ ¾ù·½ÖµÎª ³£ Êý , Ôò Q = ¦·
2 X

1 = RX (0) = ¡Ò 2¦Ð

+ ¡Þ - ¡Þ

SX ( ¦Ø) d¦Ø

¹¦ ÂÊ ÃÜ SX ( ¦Ø) ÊÇ Æ× ¶È ´ÓƵ ÂÊ½Ç ¶ÈÃèÊö X ( t ) ͳ ¼Æ ÂɵÄ×î Ö÷ µÄ ¹æ Òª Êý×Ö ÌØÕ÷ ¡£ ¡¤ 2 64 ¡¤

(1) ¹¦ ÂÊÆ× ¶ÈÊÇ ¸º µÄ, ¼´ SX ( ¦Ø) ¡Ý0¡£ ÃÜ ·Ç ÓÉ ÒåÒ× ¶¨ µÃ¡£ (2) ¹¦ ÂÊÆ× ¶ÈÊǦصÄʵż Êý , ¼´ ÃÜ º¯ «…( ¦Ø) = SX ( ¦Ø) , SX ( ¦Ø) = SX ( - ¦Ø) SX ǰһʽ ÓÉ Òå¿ÉÖª¡£ ¶Ôºó һʽ ÓÉ ÊÏ ±ä»»µÄÐÔ FT ( ¦Ø,¦Æ = ÈÔ ¶¨ , ¸µ ÖÊ, ) FT ( - ¦Ø,¦Æ , ÓÚ ) ÊÇ FT ( ¦Ø,¦Æ )
2

= FT ( ¦Ø,¦Æ FT ( ¦Ø,¦Æ ) ) = FT ( - ¦Ø,¦Æ FT ( - ¦Ø,¦Æ ) ) = FT ( - ¦Ø,¦Æ )
2

ÔÙ ÓÉ ¶¨

Òå ¿É Öª ¡£ + ¡Þ

(3) ƽ ¹ý ³Ì µÄ¹¦ ÂÊÆ× ¶È¿É»ý , ¼´ ÎÈ ÃÜ ¡Ò

- ¡Þ

SX ( ¦Ø) d¦Ø < + ¡Þ ¡£

1 + ¡Þ 2 Òò Ϊ ¡Ò SX ( ¦Ø) d¦Ø = E X ( t ) , ¶ø ƽ ¹ý ³Ì Ϊ ¶þ ½× ÎÈ ¾Ø 2¦Ð - ¡Þ ¹ý ³Ì ¡£ Àý 7 .1
Êý

Ëæ »ú¹ý³Ì X ( t ) = a cos ( ¦Ø t + ¦¨ ) , ʽ a , ¦Ø ÖÐ 0 0 ¦Ð ) , Çó X( t ) µÄƽ ¾ù¹¦ ÂÊ Q¡£ 2
2 2 2

Ϊ

³£

, ¦¨ ¡« U(0 , ½â

2 E X ( t) = E a cos ( ¦Ø t + ¦¨ ) 0

a a = E + cos ( 2¦Ø0 t + 2 ¦¨ ) 2 2 2 2 ¦Ð a a 2 2 = + ¡Ò cos (2¦Ø t + 2¦È)d¦È 0 2 2 0 ¦Ð a a = sin2¦Ø0 t 2 ¦Ð ÏÔÈ»Õâ¸ö ¹ý ³Ì ²» ÊÇ ÎÈ ¹ý ³Ì , ËùÒÔ Æ½ ¡¤ 2 65 ¡¤
2 2

2

1 Q = T¡ú + ¡Þ ¡Ò lim 2T 1 = T¡ú + ¡Þ ¡Ò lim 2T a = 2 ¡ì
2

T - T T - T

E X ( t) d t a a sin2¦Ø t d t 0 2 ¦Ð
2 2

2

7. 2

¹¦ ÂÊ ÃÜ Æ× ¶ÈÓë×Ô ¹Øº¯ ÊýÖ® Ïà ¼äµÄ¹Øϵ

Ò» ÂÊ ÃÜ ×Ô ¹Øº¯ ÊýÖ® µÄ ¡¢¹¦ Æ× ¶ÈÓë Ïà ¼ä ¹Øϵ ÎÒ ÒÑ - ìϤ, ¶ÔÓÚ ¶¨ ÐźŠÃÇ ¾ Ê È· x ( t ) À´ ˵, ËüÓëËüµÄƵ º¯ Êý Æ× F( ¦Ø) Ö® ¼ä¹¹ ³É ¸µ Àï Ò¶±ä»»¶Ô¡£ ¶ÔÓÚ »úÐÅ À´ ˵, ×Ô ¹Øº¯ ÊýºÍ Ëæ ºÅ Ïà ¹¦ ÂÊÆ× ¶È·Ö±ðÊÇ ÃÜ ËüÔÚ ÓòºÍ Ƶ ʱ ÓòµÄ×î ÖØ ÒªµÄͳ ¼Æ Êý×Ö ÌØÕ÷ ¿É ¡£ ÒÔ Ö¤Ã÷, ƽ ¹ý ³Ì µÄ×Ô ¹Øº¯ ÊýÓ빦 ÂÊÆ× ¶ÈÖ® ÎÈ Ïà ÃÜ ¼äÒ² ¹¹ ³É ¸µ Àï Ò¶ ±ä»»¶Ô¡£ Ï Ãæ ÍƵ¼ÕâÒ»¹Øϵ ʽ À´ ¡£ ¶¨ Àí 7 .2 . 1 ( ¦Ø) Ϊ Éè RX (¦Ó) ÊÇ ÎÈ ¹ý ³Ì ƽ
+ ¡Þ

X( t ) µÄ×Ô ¹Øº¯ Êý , SX Ïà

X( t) µÄ¹¦ ÂÊÆ× ¶È, Èô ÃÜ ¡Ò RX (¦Ó) d¦Ó < + ¡Þ
- ¡Þ

Ôò
+ ¡Þ

SX ( ¦Ø) = ¡Ò Ö¤Ã÷ ÓÉ .1 .5 ) ʽ (7 SX ( ¦Ø) = T¡ú + ¡Þ lim
ʽ ÖÐ

- ¡Þ

RX (¦Ó) e

- i¦Ø ¦Ó

d¦Ó

(7 .2 .1 )

1 E 2T
- j ¦Øt

F T ( ¦Ø, ¦Æ )

2

F T ( ¦Ø, ¦Æ = ¡Ò ) FT ( ¦Ø,¦Æ , Ôò )

T

T

X( t, ¦Æ e )
T - T

) d t , ¶ø F T ( ¦Ø, ¦Æ
T
1

2

= F T ( ¦Ø, ¦Æ )

1 SX ( ¦Ø) = T¡ú + ¡Þ E ¡Ò lim 2T ¡¤ 2 66
¡¤

X( t1 ) e

i¦Øt

d¡Ò1 t

- T

X( t2 ) e

- i¦Øt

2

d t2

1 = T¡ú + ¡Þ ¡Ò lim 2T 1 = T¡ú + ¡Þ ¡Ò lim 2T
ÔÚ ÉÏ Ê½ ÄÚ ²ã

T -¡Ò T T - T

T - T

E X( t1 ) X( t2 ) e T

i¦Ø( t - t )
2 1

d t1 d t2

d¡Ò t1

- T

RX ( t2 - t1 ) e
¦Ó

- i¦Ø( t - t )
2 1

d t2

»ý ·Ö ÖÐ ×÷ ±ä Á¿ Ìæ »»

= t2 - t1 , ÔÙ ½»»»»ý ·Ö˳ Ðò, ¿ÉµÃ i¦Ø ¦Ó

1 2T SX ( ¦Ø) = T¡ú + ¡Þ ¡Ò lim (2 T - | ¦Ó| ) RX (¦Ó e ) 2T -2T
+ ¡Þ

d¦Ó RX (¦Ó e )
- i¦Ø ¦Ó

= ¡Ò

- ¡Þ

RX (¦Ó) e

- i¦Ø ¦Ó

1 2T d¦Ó - T¡ú + ¡Þ ¡Ò lim 2T -2T

¦Ó

d¦Ó

¶øÉÏ Ê½ Ò»²¿ ·Ö Ϊ 0 , Ö¤Ã÷Óà ºó µ½Ìõ ¼þ¡Ò + ¡Þ - ¡Þ ¼û²Î ¿¼ÎÄ Ï×[1] ¡£

RX (¦Ó d¦Ó< + ¡Þ , Ïê )

ÓÉ Àï Ò¶±ä»» Àí ÂÛÖª , RX ( ¦Ó) ÊÇ SX ( ¦Ø) µÄ¸µ Àï Ò¶±ä»» , ´Ó¶ø ¸µ RX (¦Ó) Óë SX ( ¦Ó) ÔÚ ¡Ò »»¶Ô, ¿ÉÖª 1 + ¡Þ ¦Ó RX (¦Ó = ¡Ò ) SX ( ¦Ø) e i¦Ø d¦Ø 2 - ¡Þ ¦Ð (7 .2 .2 )
+ ¡Þ ¡Þ

RX (¦Ó) d¦Ó< + ¡Þ µÄÌõ ¼þÏÂΪ ¸µ Àï Ò¶±ä

Õâ Ò»¹Ø ϵ ¾Í ÊÇÖøÃû µÄ ά ÄÉ- ÐÁÇÕ( Wiener- Khinchine ) ¶¨ Àí , ³Æʽ (7 .2 .1 ) ºÍ ʽ(7 .2 .2 ) Ϊ ά ÄÉ- ÐÁ ¹« ʽ Ëü¸ø ³ö ÁË ÎÈ ¹ý ³Ì µÄʱ ÇÕ ¡£ ƽ ÓòÌØÐÔ Æµ ºÍ ÓòÌØÐÔ ¼äµÄÁªÏµ ¡£ ¶¨ Àí 7 .2 .1 ÓРϼòµ¥ÍÆÂÛ Ö® ÒÔ : ÍÆÂÛ1 1 + ¡Þ ¦·2X = RX (0 ) = ¡Ò SX ( ¦Ø)d¦Ø 2¦Ð - ¡Þ ÍÆÂÛ 2
+ ¡Þ

SX ( ¦Ø) = ¡Ò 2 0

RX (¦Ó) cos¦Ø ¦Ód¦Ó

(7 .2 .3 ) (7 .2 .4 )

1 + ¡Þ RX (¦Ó = ¡Ò ) SX ( ¦Ø) cos¦Ø ¦Ód¦Ø ¦Ð 0 Ö¤Ã÷ Ö»ÐèÓà SX ( ¦Ø) ¼° RX (¦Ó µÄż ÊýÌØÐÔ µ½ ) º¯ ¡£ Àý 7 .2

¿¼ Ëæ ÂÇ »úµç±¨ÐÅ ËüÊÇƽ ¹ý ³Ì ÇÒ Ïà ¹Ø º¯ ÊýΪ ºÅ, ÎÈ ×Ô ¡¤ 2 67 ¡¤

RX (¦Ó = Ae )

- ¦Â| ¦Ó|

, A > 0 ,¦Â > 0 , Çó¹ý ³Ì µÄ¹¦ ÂÊÆ× ¶È SX ( ¦Ø) ¡£ ÃÜ
+ ¡Þ

½â Ó¦Óà ÍÆÂÛ2
+ ¡Þ

SX ( ¦Ø) =¡Ò 2 0

Ae

- ¦Â| ¦Ó|

cos ¦Ø ¦Ód¦Ó = 2 ¡Ò A 0

e

- ¦Â ¦Ó

cos¦Ø ¦Ód¦Ó

2 A + ¡Þ - ¦Â ¦Ó = ¡Ò cos ¦Ø ¦Ód( - e ) ¦Â 0 2A - ¦Â ¦Ó = - cos¦Ø e ¦Ó ¦Â
+ ¡Þ 0

+ ¡Þ

- ¡Ò ¦Ø 0
+ ¡Þ 0

e ¦Ø
¡Ò ¦Â 2

- ¦Â ¦Ó

sin ¦Ø ¦Ód¦Ó e - ¦Â¦Ócos¦Ø ¦Ód¦Ó

2 A 1 + ¦Øe - ¦Â sin ¦Ø ¦Ó ¦Ó = ¦Â ¦Â 2 A ¦Ø = - 2 SX ( ¦Ø) ¦Â ¦Â ÒÆ µÃ Ïî SX ( ¦Ø) =
ÓÉ ´Ë Àý ¿É Öª 2

+ ¡Þ 0

-

2A ¦Â 2 ¦Â + ¦Ø
2

Àý

7 .3

2A ¦Â 2 ¡£ ¦Â + ¦Ø ÒÑ ÖªÆ½ Îȹý³Ì X( t ) ¾ßÓÐ ÂÊÆ× ¶ÈΪ ¹¦ ÃÜ Ae - ¦Â| ¦Ó| ªÜ
2

SX ( ¦Ø) =

5 2 ¦Ø + 13¦Ø + 36
4

Çó¸Ã¹ý ³Ì µÄ×Ô ¹Øº¯ ÊýºÍ ¾ù·½Öµ¡£ Ïà ½â ÒòΪ SX ( ¦Ø) = 1 1 - 2 ¦Ø + 4 ¦Ø + 9
2

Àû Àý 1 µÄ½áÂÛ Óà ¼°¸µ ÊÏ ±ä »» µÄÏß ÐÔ ÖÊ, ÓÚ RX ( ¦Ó) Ó¦ ÓÐ ÐÔ ÊÇ ÈçÏ ÐÎʽ RX (¦Ó = A1 e )
ÓÖ ¦Â | ¦Ó|
1

- A2 e - ¦Â2 | ¦Ó |

¡¤ 2 68

¡¤

1 = ¦Ø + 4
2

2¡Á

1 ¡Á2 4 , 2 ¦Ø + 4

1 = ¦Ø + 9
2

2¡Á

1 ¡Á3 6 2 ¦Ø + 9

¹Ê A1 =

1 1 ,¦Â1 = 2 , A2 = ,¦Â = 3 , ÓÚ 2 ÊÇ 4 6 1 - 2 | ¦Ó| 1 - 3 |¦Ó| RX (¦Ó) = e e 4 6 1 1 1 = 4 6 12 Éè »ú¹ý³Ì X( t ) µÄ×Ô ¹Øº¯ ÊýΪ Ëæ Ïà
¦· 2 X

¾ù ·½ Öµ

= RX (0) =

Àý7 .4

RX (¦Ó) = ÇóÆä ÂÊ ÃÜ SX ( ¦Ø) ¡£ ¹¦ Æ× ¶È ½â
1

1 - | ¦Ó| 0

| ¦Ó| ¡Ü1 Æä Ëü

sin

2

¦Ø

SX ( ¦Ø) = ¡Ò (1 - ¦Ó) cos ¦Ø 2 ¦Ód¦Ó = 0
ÎÒ ÃÇ Õâ Àï ʹ Óà µÄ ά ÄÉ - ÐÁ ÇÕ ¹« + ¡Þ ʽ

2 ¦Ø 2
2

, ÒªÇó¹ý ³Ì Âú×ãÌõ ¼þ
+ ¡Þ - ¡Þ

¡Ò

- ¡Þ

RX (¦Ó) d¦Ó < + ¡Þ ºÍ ¡Ò

SX ( ¦Ø) d¦Ø < + ¡Þ

ÔÚ Êµ¼Ê , ¾ÍÊÇ ÖÐ ÒªÇóËæ »úÐÅ ²» º¬Ö± ³É ·Ö»òÖÜ ÐÔ ·Ö , ÕâÒ»Òª ºÅ Á÷ ÆÚ ³É ÇóÓÐ ¿Á¿Ì ¡£ ÓÚ ÎÒÃÇ Ð© ÊÇ, ÒýÈë ¦Ä º¯ Êý , ά ÄÉ- ÐÁÇÕ Ê½ ¹« ¿É½èÖúÓÚ ¦Ä º¯ ÊýÍƹ㠵½ÕâÖÖ º¬Ö± »òÖÜ ÐÔ ·ÖµÄƽ ¹ý ³Ì ÖÐ ¡£ ¦Ä º¯ ÊýµÄ Á÷ ÆÚ ³É ÎÈ À´ ¶¨ ÒåºÍ ÐÔ ¿É¼û¸½Â¼ ÖÊ ¡£ Àý 7 .5 Çó »úÏàλ Õý Ëæ ÏÒ²¨ ¹ý³Ì µÄ ÃÜ ¡£ Æ× ¶È a RX (¦Ó = cos¦Ø0¦Ó ) 2
Ôò Ëü µÄ Æ× ÃÜ ¶È 2

½â ÒÑ ÖªËæ »úÏàλ Õý ÏÒ²¨ µÄ Ïà¹Øº¯ Êý ×Ô

¡¤ 2 69

¡¤

+ ¡Þ

SX ( ¦Ø) = ¡Ò

- ¡Þ 2

a RX (¦Ó cos ¦Ø ) ¦Ód¦Ó = ¡Ò 2
+ ¡Þ - ¡Þ

2

+ ¡Þ - ¡Þ

cos¦Ø0 ¦Ó cos¦Ø ¦Ód¦Ó

a = ¡Ò 4
2

cos ( ¦Ø - ¦Ø )¦Ó+ cos (¦Ø + ¦Ø0 )¦Ó d¦Ó 0

¦Ða ¦Ä( ¦Ø - ¦Ø ) + ¦Ä( ¦Ø+ ¦Ø ) = 0 0 2 ¶þ ¡¢ °× Ôë Éù ÕâÊÇ Ò»ÀàÓà ÂÊÆ× ¶ÈµÄÌØÐÔ ³ö µÄƽ ¹ý ³Ì ¡£ ¹¦ ÃÜ ¸ø ÎÈ 1 . Àí Ïë °×ÔëÉù Ò»¾ùֵΪ Áã¡¢ ÂÊÆ× ¶ÈÔÚ ¹¦ ÃÜ Õû¸ö Ƶ ÂÊÖáÉÏ Îª Õý³£ Êý , ¼´ SN ( ¦Ø) = µÄƽ ¹ý ³Ì ÎÈ N0 , 2 - ¡Þ < ¦Ø < + ¡Þ

N( t) , ÎÒÃÇ ³ÆÖ® °×ÔëÉù¹ý ³Ì , »ò¼ò³Æ°×ÔëÉù¡£ Àû Ϊ N0 1 + ¡Þ i¦Ø ¦Ó RN (¦Ó = ¡Ò ) SN ( ¦Ø) e d¦Ø = ¦Ä(¦Ó) 2 - ¡Þ ¦Ð 2

Óà Àï Ò¶·´ ±ä»»ÇóµÃ°×ÔëÉùµÄ×Ô ¹Øº¯ ÊýΪ ¸µ Ïà

°×ÔëÉùÖ»ÊÇ Ò»ÖÖ Ïë »¯ µÄÄ£ÐÍ , ʵ¼Ê ²» ÄÜ Àí ÉÏ ´æÔÚ ÒòΪ ËüµÄƽ , ¾ù¹¦ ÂÊÊÇ ÏÞ µÄ¡£ ¶øʵ¼Ê ÎÞ µÄËæ »ú¹ý ³Ì ×Ü ÓÐ µÄƽ ÓÐ ÏÞ ¾ù¹¦ ÂÊ¡£ ¾¡¹Ü Èç´Ë , ÒòΪ ËüÔÚ Êýѧ´¦ Àí ÉÏ ¾ßÓÐ ¼òµ¥¡¢ ·½±ãµÄÓÅ , ËüÔÚ µã ʵ¼Ê Óà Ӧ ÖÐ Õ¼ ÒªµØλ ¡£ ʵ¼Ê , µ±ÎÒÃÇ ÈÔ ÖØ ÉÏ ËùÑÐ ¾¿µÄËæ »ú¹ý ³Ì , ÔÚ Ëù¿¼ÂÇ ±È µÄÓРƵ ¿í µÃ¶àµÄ·¶ Χ ÄÚ, ¾ßÓÐ Óà ´ø ¾ùÔÈ µÄÆ× ¶Èʱ, ¾Í¿É°ÑËüµ±×÷ ÃÜ °×ÔëÉùÀ´ ´¦ Àí ¡£ ´Ë Íâ , °×ÔëÉùÖ»ÊÇ ´Ó¹ý ³Ì µÄÆ× ¶ÈµÄ½Ç ÃÜ ¶ÈÀ´ ¶¨ ÒåµÄ, ²¢ δ Éæ ¼° ¹ý ³Ì µÄ¸Å ÂÊ·Ö²¼ , Òò´Ë , ¿ÉÒÔ ¸÷ ÖÖ Í¬¸Å ÂÊ·Ö²¼µÄ°×ÔëÉù, ÀýÈç ÓÐ ²» ¸ß ˹ °×ÔëÉù¾ÍÊÇ ÂÊ·Ö²¼Îª Õý̬·Ö²¼µÄ°×ÔëÉù¡£ ¸Å 2 . ÏÞ ´ø °×ÔëÉù ÈôÔëÉùÔÚ Ò»¸ö ÓРƵ ÉÏ ÓÐ ÏÞ ´ø Õý³£ ÊýµÄ¹¦ ÂÊÆ× ÃܶÈ, ¶ø ÔÚ Æµ ´Ë ´ø Ö® Ϊ Áã, Ôò³ÆΪ ÏÞ ´ø °×ÔëÉù¡£ ÏÞ ´ø °×ÔëÉù·Ö Ϊ µÍ ͨ ÐÍºÍ ´ø ͨ Íâ ¡¤ 2 70 ¡¤

SX ( ¦Ø) =

S0 0

| ¦Ø| ¡Ü W | ¦Ø| > W

Ôò³Æ´Ë ¹ý ³Ì Ϊ µÍ ͨ ÐÍÏÞ ´ø °×ÔëÉù, Æä Ïà ¹Øº¯ ÊýΪ ×Ô RX (¦Ó) = WS0 sin W ¦Ó , ¦Ð W ¦Ó (¦Ó= 0 ʱ, sin W ¦Ó Àí ½âΪ 1 ) W ¦Ó

Èô¹ý ³Ì µÄ¹¦ ÂÊÆ× ¶ÈΪ ÃÜ SX ( ¦Ø) = S0 0
¦Ø 0

-

W W < | ¦Ø| < ¦Ø + 0 2 2

Æä Ëü W ¦Ó 2 cos¦Ø0 ¦Ó W ¦Ó 2

Ôò³Æ´Ë ¹ý ³Ì Ϊ ´ø ͨ ÐÍÏÞ ´ø °× ÔëÉù, Æä Ïà ¹Øº¯ ÊýΪ ×Ô WS0 sin
¡¤ ¦Ð

RX (¦Ó = )

Èý

¡¢ ¸´

Ëæ »ú

¹ý

³Ì

µÄ

¹¦

ÂÊ Æ× ÃÜ ¶È

Éè

Z ( t ) Ϊ ¸´ ƽ ¹ý ³Ì , Æä Ïà ¹Øº¯ ÊýΪ R Z (¦Ó) , ¶¨ Òå Z ( t) µÄ ÎÈ ×Ô
+ ¡Þ

¹¦ ÂÊÆ× ¶ÈΪ ÃÜ SZ ( ¦Ø) = ¡Ò ´Ó¶ø 1 + ¡Þ i¦Ø ¦Ó RZ (¦Ó = ¡Ò ) SZ ( ¦Ø) e d¦Ø 2 - ¡Þ ¦Ð SZ ( ¦Ø) ÓÐ Ò»ÖØ ÒªÐÔ : SZ ( ¦Ø) = SZ ( ¦Ø) , ¼´ SZ ( ¦Ø) ÊÇ ÖÊ ÊµÖµµÄ¡£ Ö¤Ã÷
+ ¡Þ + ¡Þ

R Z (¦Ó) e - ¡Þ

i¦Ø ¦Ó

d¦Ó

SZ ( ¦Ø) = ¡Ò

- ¡Þ

R Z (¦Ó) e

- i¦Ø ¦Ó

d¦Ó = ¡Ò

- ¡Þ

R Z (¦Ó) e

- i¦Ø ¦Ó

d¦Ó

¡¤ 2 71 ¡¤

+ ¡Þ

= ¡Ò = ¡Ò

RZ ( - ¦Ó e )
- ¡Þ + ¡Þ

i¦Ø ¦Ó

d¦Ó

RZ (¦Ó e )
- ¡Þ

i¦Ø ¦Ó

d¦Ó = SZ ( ¦Ø)

ËÄ¡¢ ƽ ʱ¼äÐòÁÐµÄ ¹¦ ÂÊÆ× ÎÈ ÃÜ¶È Éè Xn
ÊÇ Æ½ ÎÈ Ê± ¼ä Ðò ÁÐ

, ¾ßÓÐ Áã¾ùÖµ, Æä Ïà ¹Øº¯ ÊýΪ ×Ô

RX ( m ) = E( Xn Xn + m ) ¡Þ RX ( m ) < + ¡Þ ʱ, ¶¨ Òå Xn µ± RX ( m ) Âú×ãÌõ ¼þ: ¡Æ m = - ¡Þ

µÄ ¹¦

ÂÊ

Æ× ÃÜ ¶È Ϊ

RX ( m) µÄÀëÉ¢¸µ Àï Ò¶±ä»» , ²¢ ¼Ç SX ( ¦Ø) , ¼´ Ϊ ¡Þ SX ( ¦Ø) = ¡Æ RX ( m ) e - i m¦Ø ( - ¦Ð¡Ü ¦Ø¡Ü¦Ð) m = - ¡Þ

ÕâÀï Òª ×¢ ÒâµÄÊÇ, ¶ÔÓÚ ÎÈ Ê±¼äÐòÁÐ, SX ( ¦Ø) µÄ±äÁ¿ ¦Ø ÏÞ ¶¨ ÔÚ Æ½ - ¦Ð,¦Ð ÉÏ ¡£ ¿ÉÒÔ Ö¤Ã÷ 1 ¦Ð i m¦Ø RX ( m ) = ¡Ò SX ( ¦Ø) e d¦Ø, 2¦Ð - ¦Ð ( ²Î ¼û²Î ¿¼ÎÄÏ× [ 1] p302¡« p304) ¡£ ¡ì

m = 0 , ¡À 1 , ¡À 2 , ¡-

7. 3

»¥Æ× ¶È¼°Æä ÖÊ ÃÜ ÐÔ

ÔÚµ Ó¦Óà Р¾-³£ ÐèÒª ͬʱÑÐ ¸ö »ò Á½¸ö ÒÔ µÄËæ Ê ¼Ê Ö , ÎÒÃÇ ¾¿Á½ ÉÏ
»ú¹ý ³Ì , Ç°Ãæ ¾-½¨Á¢Æð ÒÑ ÁËÁ½ ¹ý ³Ì Áª ºÏ ƽ µÄ¸Å Äî ¡£ ÔÚ ¸ö ÎÈ ÕâÀï , ÎÒ ÃÇ ½«°Ñµ¥¸ö ¹ý ³Ì µÄ¹¦ ÂÊÆ× µÄ¸Å Äî , ÒÔ ¼°Ïà Ó¦µÄ·ÖÎö ·½ ·¨ Íƹ㠵½Á½ ¸ö Ëæ »ú¹ý ³Ì µÄÇé¿ö¡£ Ò»¡¢ »¥ Æ× ÃÜ¶È ÉèÓÐ ¸ö Ëæ Á½ »ú¹ý ³Ì X( t ) ºÍ Y( t ) , Èô X( t, ¦Æ , Y ( t, ¦Æ ·Ö ) ) ±ðΪ X( t) , Y( t ) µÄij Ò»Ñù±¾ Êý , Ïà Ó¦µÄ½Ø º¯ Êý·Ö ±ðΪ XT ( t, º¯ È¡ ¡¤ 2 72 ¡¤

) , YT ( t , ¦Æ , ¶ø X T ( t, ¦Æ ºÍ YT ( t, ¦Æ µÄ¸µ ÊÏ ±ä»» ·Ö±ðΪ ) ) ) X( t ) Óë Y ( t) µÄ»¥Æ× ¶Èº¯ ÊýΪ ÃÜ SXY ( ¦Ø) = T¡ú + ¡Þ lim SYX ( ¦Ø) = T¡ú + ¡Þ lim 1 ) ) E FT ( - ¦Ø,¦Æ GT ( ¦Ø, ¦Æ 2T 1 ) ) E GT ( - ¦Ø,¦Æ F T ( ¦Ø, ¦Æ 2T

FT ( ¦Ø,

¦Æ , GT ( ¦Ø, ¦Æ , °´ ÓëÇ° Ãæ¶Ô¹¦ ÂÊÆ× ) ) ÃÜ¶ÈµÄ Ïà ͬ ·Ö Îö ·½ ·¨ , ¶¨ Òå

(7 .3 .1 ) (7 .3 .2 )

¶ÔÓÚ Êµº¯ Êý X( t, ¦Æ , Y( t ,¦Æ , Æä Æ× ) ) Ƶ Ò»°ã ¶¼ ¸´ º¯ Êý , ÓÐ ÊÇ FT ( ¦Ø, ¦Æ = FT ( - ¦Ø,¦Æ , GT ( ¦Ø, ¦Æ = GT ( - ¦Ø,¦Æ ) ) ) ) ËùÒÔ (7 .3 .1 ) ºÍ ʽ .3 .2) ¿É¸Ä Ϊ ʽ (7 SXY ( ¦Ø) = lim 1 E F T ( ¦Ø, ¦Æ GT ( ¦Ø,¦Æ ) ) T¡ú + ¡Þ 2 T 1 ) ) E GT ( ¦Ø, ¦Æ FT ( ¦Ø,¦Æ 2T (7 .3 .3 ) (7 .3 .4 )

SY X ( ¦Ø) = T¡ú + ¡Þ lim

ÓÉ ¿É¼û, »¥Æ× ¶ÈÓëƽ ¹ý ³Ì µÄÆ× ¶È²» ͬ , Ëü²» ÔÙ ´Ë ÃÜ ÎÈ ÃÜ ÊÇ¦Ø µÄʵ µÄÇÒ ¸º µÄż Êý¡£ ·Ç º¯ ¶þ ¡¢ »¥ Æ× ÃÜ¶ÈµÄ ÐÔÖÊ (1) SXY ( ¦Ø) = SY X ( - ¦Ø) = SYX ( ¦Ø) ; ÓÉ Òå¿ÉÖ¤¡£ ¶¨ (2) Re[ SXY ( ¦Ø) ] ºÍ Re[ SYX ( ¦Ø) ] ÊÇ¦Ø µÄż Êý , Im[ SX Y ( ¦Ø) ] º¯ ºÍ Im[ SYX ( ¦Ø) ]ÊǦصÄÆæ Êý; º¯ ÕâÀï , Re ¡¤ , Im ¡¤ ·Ö±ð±í ʾ ÊýµÄʵ²¿ ºÍ Ð鲿 ¡£ ¸´ Ö¤Ã÷ ÓÉ ÓÚ SXY ( ¦Ø) = Re SXY ( ¦Ø) + iIm SX Y ( ¦Ø) SY X ( ¦Ø) = Re SYX ( ¦Ø) + iIm SYX ( ¦Ø) ¶ø SX Y ( ¦Ø) = SYX ( ¦Ø) , ´Ó¶ø Re SXY ( ¦Ø) = Re SYX ( ¦Ø) , ÓÖSX Y ( ¦Ø) = SY X ( - ¦Ø ) , ´Ó ¶ø Re SXY ( ¦Ø) = Re SYX ( - ¦Ø) , Ôò Re ¡¤ 2 73 ¡¤

SY X ( ¦Ø) = Re SYX ( - ¦Ø) , ¼´ Re SYX ( ¦Ø) Ϊ ż Êý¡£ Æä º¯ ËüÀàËÆ ¿ÉÖ¤¡£ (3) Èô RXY (¦Ó ¾ø¶Ô¿É»ý , Ôò»¥Æ× ) ÃÜ¶ÈºÍ »¥ Ïà ¹Ø º¯ Êý¹¹ ³É ¸µ Àï Ò¶±ä»»¶Ô, ¼´
+ ¡Þ

SX Y ( ¦Ø) = ¡Ò SY X ( ¦Ø) = ¡Ò

- ¡Þ + ¡Þ

RXY (¦Ó e ) RY X (¦Ó) e

- i¦Ø ¦Ó

d¦Ó

- i¦Ø ¦Ó

d¦Ó

- ¡Þ + ¡Þ ¦Ó SXY ( ¦Ø) e i¦Ø d¦Ø - ¡Þ + ¡Þ - ¡Þ i¦Ø ¦Ó

1 RXY (¦Ó = ¡Ò ) 2¦Ð 1 R YX (¦Ó = ¡Ò ) 2¦Ð (4) Èô¹ý ³Ì Ö¤Ã÷ SX Y ( ¦Ø) = T¡ú + ¡Þ lim X( t ) ,

SYX ( ¦Ø) e

d¦Ø

ÒÔ ¹Øϵ ʽ ÉÏ ¿ÉÓà ÍƵ¼Î¬ ÄÉ ÐÁ ¶¨ ÀíµÄͬ Ñù·½·¨ Ö¤Ã÷ ¡£ - ÇÕ Ö® Y( t ) Ïà »¥Õý½», ¼´ RXY ( s, t ) = 0 ÔòÓÐ SX Y ( ¦Ø) = 0 , SY X ( ¦Ø) = 0 1 ) ) E F T ( ¦Ø, ¦Æ GT ( ¦Ø,¦Æ 2T
T - T T

1 = T¡ú + ¡Þ lim E 2 T ¡Ò 1 = T¡ú + ¡Þ ¡Ò lim 2T = 0 (5) ÈôÁª ºÏ ƽ ÎÈ ¦Ì x , ¦Ì y , Ôò
T

X( t1 ,¦Æ e )
T - T

i¦Øt

1

d ¡Ò t1

- T

Y( t2 ,¦Æ e )
1

- i¦Øt

2

d t2

-¡Ò T

RXY ( t1 , t2 ) e

- i¦Ø( t - t )
2

d t1 d t2

X( t ) Óë Y( t ) ²» Ïà ¹Ø , ·Ö ±ðÓÐ Áã¾ùÖµ ·Ç ( ¦Ø)

SXY ( ¦Ø) = SY X ( ¦Ø) = 2¦Ð¦Ì X¦Ì Ö¤Ã÷ ÁôΪ Ï° Ìâ ¡£ Àý 7 .6 ÊýΪ ¡¤ 2 74 ¡¤

¦Ä Y

Éè ¸öËæ Á½ »ú¹ý³Ì X( t) ºÍ Y ( t ) Áª ºÏ ƽ , Æä ÎÈ »¥Ïà ¹Øº¯

RX Y (¦Ó = )

9e - 3¦Ó 0

¦Ó ¡Ý

0

Æä Ëü

Çó»¥Æ× ¶È SXY ( ¦Ø) ºÍ SYX ( ¦Ø) ¡£ ÃÜ ½â
+ ¡Þ

SXY ( ¦Ø) = ¡Ò = ¡Ò

- ¡Þ + ¡Þ - ¡Þ

RX Y (¦Ó e ) 9e e
- 3¦Ó ¡¤

- i¦Ø ¦Ó

d¦Ó d¦Ó

e

- i¦Ø ¦Ó

+ ¡Þ

= ¡Ò 9 =

- ( 3 + i¦Ø)¦Ó

0

d¦Ó

9 3 + i¦Ø 9 3 - iØ ¦

SY X ( ¦Ø) = SX Y ( - ¦Ø) = Àý 7 .7

ÒÑ ÖªÆ½ Îȹý³Ì X( t ) , Y ( t ) µÄ»¥Æ× ¶ÈΪ ÃÜ SXY ( ¦Ø) = a+ i 0 b ¦Ø ¦¸ - ¦¸ < ¦Ø < ¦¸ Æä Ëü

ʽ , ¦¸ > 0 , a, b Ϊ ʵ³£ Êý , Çó RXY (¦Ó) ¡£ ÖÐ ½â 1 ¦¸ b ¦Ø i¦Ø ¦Ó RX Y (¦Ó = ¡Ò ) ( a + i ) e d¦Ø 2¦Ð - ¦¸ ¦¸ a ¦¸ i¦Ø ¦Ó b ¦¸ i¦Ø ¦Ó = ¡Ò e d¦Ø + i ¡Ò - ¦¸ ¦Ø e d¦Ø 2¦Ð - ¦¸ 2 ¦Ð¦¸ = RX Y (0) = 1 cos ¦¸ ¦Ó ,¦Ó¡Ù 0 2 ( a¦¸¦Ó - b) sin ¦¸ ¦Ó+ b¦¸¦Ó ¦Ð¦¸¦Ó a¦¸ ¦Ð

¡¤ 2 75 ¡¤

7. 4

Ïß ÐÔ Í³ ¶Ôƽ ¹ý ³Ì µÄÏì Ó¦ ϵ ÎÈ

±¾ Ê× ÉÜ Ð© ϵͳ µÄ ±¾ Äî, ¶øºó Ö÷ÒªÌÖÂÛʱ²» ½Ú ÏȽé Ò» ÏßÐÔ »ù ¸Å
±äÏß ÐÔ Í³ ¶Ôƽ ¹ý ³Ì µÄÏì Ó¦¡£ ϵ ÎÈ Ò»¡¢ Ïß ÐÔϵ ͳ ÈÎ Òâϵ ͳ ÊäÈëºÍ Êä³ö µÄ¹Øϵ ¿ÉÒÔ Ê¾ ±í Ϊ y ( t) = L x ( t) (7 .4 .1 ) x ( t) ´ú ±í ÊäÈë , y( t ) ´ú ±í Êä³ö , L ±í ʾ ¶ÔÐźŠx ( t ) ½øÐÐ ÔËËãµÄ·û ºÅ , ³ÆΪ Ëã×Ó Ëü´ú ±í ¸÷ÖÖ , ¿ÉÄÜ µÄÊýѧÔË Ëã·½ ·¨ , Èç¼Ó ¡¢ ·¨ ¡¢ ·¨ ³Ë ΢ ·Ö¡¢ ·Ö¡¢ ·Ö·½³Ì µÄÇó½âÔË »ý ΢ ËãµÈµÈ¡£ Èç¹û ÔË L Âú×ã: Ëã L a1 x1 ( t) + a2 x2 ( t) = a1 L x1 ( t) + a2 L x2 ( t ) Æä ÖÐa1 , a2
Ϊ ³£ Êý

, Ôò³Æ¸Ã ϵ ͳ Ϊ Ïß ÐÔ Í³ ¡£ ϵ
+ ¡Þ

¸ù ¾Ý¦Ä º¯ ÊýµÄÐÔ ÓÐ ÖÊ, x( t ) = ¡Ò ´ú Èëʽ .4 .1 ) , ÓÐ (7
+ ¡Þ ¦Ä - ¡Þ

( t - ¦Ó) x(¦Ó) d¦Ó

y( t ) = L x( t ) = L ¡Ò
+ ¡Þ

- ¡Þ

x(¦Ó)¦Ä( t - ¦Ó) d¦Ó

= ¡Ò

- ¡Þ

x (¦Ó L ¦Ä( t - ¦Ó d¦Ó ) )

¶¨ ÒåÒ»¸ö РÊý h( t, ¦Ó) = L ¦Ä( t - ¦Ó) , ³ÆΪ Ïß ÐÔ Í³ µÄ³å »÷Ïì º¯ ϵ Ó¦ , ´Ó¶ø
+ ¡Þ

y( t) = ¡Ò

- ¡Þ

x (¦Ó h ( t ,¦Ó)d¦Ó )

(7 .4 .2 )

¸Ãʽ Ã÷Ò»°ã Ïß ÐÔ Í³ µÄÏì Ó¦ , Íê È« ±»ËüµÄ ³å »÷Ïì Ó¦ ͨ ¹ý ʽ ±í ϵ (7 .4 .2 ) ËùÈ· ¶¨ ¡£ ¡¤ 2 76 ¡¤

h( t,¦Ó)
+ ¡Þ

¡÷ = h( t

- ¦Ó) , ¼´Ö»Óë t - ¦ÓÓÐ , ¹Ø

¶øÓë t, ¦ÓµÄ¸ö ±ðÈ¡ÖµÎÞ ¹Ø , Ôò³Æ¸Ã ϵ ͳ Ϊ ʱ ±äµÄ¡£ ´Ë ʱ ²» y ( t) = ¡Ò ͨ ¹ý ±äÁ¿Ìæ»» , Ôò
+ ¡Þ - ¡Þ

x (¦Ó h( t - ¦Ó) d¦Ó = x( t ) * h( t ) )

(7 .4 .3 )

y ( t) = ¡Ò

- ¡Þ

h (¦Ó x ( t - ¦Ó) d¦Ó = h( t ) * x( t ) )

(7 .4 .4 )

¿É¼û, Ò»¸ö Ïß ÐÔ ²» ±äϵ ͳ , ¿ÉÒÔ ÕûµØÓÉ Ê± Íê ËüµÄ³å »÷Ïì Ó¦À´ ±í Õ÷ ¡£ ³å »÷Ïì Ó¦ÊÇ Ò»ÖÖ Ê± ˲ ÌØÐÔ Í¨ ¹ý ϵ ͳ Êä³ö y ( t ) µÄ¸µ Àï Ò¶±ä»» , ÎÒ , ÃÇ ¿ÉÒÔ µ¼³ö Ƶ ÓòµÄÏà Ó¦ÌØÐÔ ¡£ Éè X( ¦Ø) , Y ( ¦Ø) , H ( ¦Ø) ·Ö±ð±í ʾ x ( t ) , y ( t ) , h ( t ) Ïà Ó¦µÄ¸µ ÊÏ ±ä»» , ÔòÓÉ ÊÏ ±ä»»µÄ¾í»ý ¶¨ Àí Öª ¸µ Y ( ¦Ø) = X( ¦Ø) H( ¦Ø) Ïì Ó¦¹¹ ³É ¸µ Àï Ò¶±ä»»¶Ô¡£ ÈçºÎ ¼Æ Ëãϵ ͳ µÄ´« º¯ , ÔÚ ²» ½øÐÐ ´Ë ÌÖÂÛ, ³£ ¼ûµÄµç · ϵ ͳ µÄ´« º¯ ¼°Âö³å Ïì Ó¦Èç±í 7 .1 Ëùʾ ¡£ ¶þ ¡¢ Ëæ»ú ¹ý ³Ì ͨ ¹ý Ïß ÐÔ Í³ ϵ Ïß ÐÔ Í³ ·ÖÎö µÄÖÐ ÎÊ Ìâ ÊÇ: ¸ø ¶¨ Ò»¸ö ÊäÈëÐÅ ÇóÊä³ö Ïì Ó¦¡£ ϵ ÐÄ ºÅ ÔÚ ¶¨ ÐÅ ÊäÈëµÄÇé¿ö Ï , ÎÒÃÇ ³£ ÑÐ È· ºÅ ͨ ¾¿Ïì Ó¦ µÄÃ÷È· ±í ´ï ʽ ¶Ô ¡£ ÓÚ »úÐÅ ÊäÈëµÄÎÊ Ìâ , ÒªÏë µÃµ½Êä³ö µÄÃ÷ ±í ´ï ʽ ²» ¿ÉÄÜ Ëæ ºÅ È· ÊÇ µÄ, ¹Ê ת ¶øÌÖÂÛ ÈçºÎ ¸ù ¾Ý ÐÔ Í³ ÊäÈëËæ Ïß Ïµ »úÐÅ µÄͳ ¼Æ ºÅ ÌØÐÔ ¼°¸Ã ϵ ͳ µÄÌØÐÔ È· ¶¨ ¸Ã ϵ ͳ Êä³ö µÄͳ ¼Æ , ÌØÐÔ ÒÔ ÎÒÃÇ¿¼ÂǵÄϵ ͳ ¶¼ÊÇ ¡£ Ï Ïß ÐÔ Í³ , ÇÒ Ê± ±äµÄ, ËüµÄ³å »÷Ïì Ó¦º¯ Êý h( t) Âú×ã ϵ Ϊ ²»
+ ¡Þ

(7 .4 .5 )

³Æʽ µÄ H( ¦Ø) Ϊ ϵ ͳ µÄ´« Ê亯 Êý ( ¼ò³Æ´« º¯ ) , ËüÓëϵ ͳ µÄ³å »÷ ÖÐ

¡Ò

h( t ) d t < + ¡Þ
- ¡Þ

´Ë ʱ Ò²³Æϵ ͳ ÊÇ ¶¨ µÄ¡£ ÎÈ ¡¤ 2 77 ¡¤

X( t ) Ϊ ϵ ͳ µÄÊäÈë , Ôòϵ ͳ µÄÊä³ö Ϊ Ëæ »ú¹ý ³Ì , ÇÒ ÐÎʽ ÓÐ ÉÏ
+ ¡Þ

Y ( t ) Ò²

Y( t ) = ¡Ò = ¡Ò

h(¦Ó) X( t - ¦Ó d¦Ó )
- ¡Þ + ¡Þ

X(¦Ó h( t - ¦Ó d¦Ó ) )
- ¡Þ

(7 .4 .6 )

µ±È», ÕâÀï µÄ»ý ·ÖÒ²ÊÇ »ú»ý ·Ö¡£ Ëæ ¶¨ Àí 7 .4 . 1 Éè ÊäÈë X( t) Ϊ ƽ ¹ý ³Ì , Æä¾ùÖµ¡¢ ÎÈ ×ÔÏà ¹Ø º¯ Y( t ) Ò² ÊÇƽ ¹ý ³Ì , ÇÒÓë ÎÈ Êý·Ö ±ð Ϊ ¦Ì X , RX ( ¦Ó) , ÔòÊä ³ö º¯ Êý·Ö±ðΪ
+ ¡Þ

X( t ) ƽ Ïà ¹Ø , ËüµÄ¾ùÖµ¡¢ Ïà ¹Øº¯ Êý¼°ËüÓë X( t) µÄ»¥Ïà ¹Ø ÎÈ ×Ô

¦Ì Y = ¦Ì X ¡Ò

- ¡Þ

h( t ) d t

(7 .4 .7 )

+ ¡Þ

+ ¡Þ - ¡Þ

R Y (¦Ó = ) ¡Ò

- ¡Ò ¡Þ

h(¦Ó ) h(¦Ó ) RX (¦Ó+ ¦Ó - ¦Ó ) d¦Ó d¦Ó 1 2 1 2 1 2 (7 .4 .8 )

RXY (¦Ó) = ¡Ò -

+ ¡Þ ¡Þ

RX (¦Ë) h(¦Ó- ¦Ë) d¦Ë
+ ¡Þ

(7 .4 .9 )

Ö¤Ã÷ Ê× Ö¤Ã÷ Y ( t ) ÊÇ ÎÈ µÄ¡£ ÏÈ Æ½ ¦Ì Y ( t ) = E Y( t ) = E¡Ò
+ ¡Þ - ¡Þ

X( t - ¦Ó h(¦Ó d¦Ó ) )

= ¡Ò

- ¡Þ

E X( t - ¦Ó) h(¦Ó d¦Ó )
+ ¡Þ

= ¦Ì X ¡Ò

- ¡Þ

h(¦Ó) d¦Ó = ¦Ì Y

RY ( t, t + ¦Ó) = E Y( t) Y( t + ¦Ó )
+ ¡Þ +¡Þ

= E ¡Ò

- ¡Þ

h(¦Ó ) X( t - ¦Ó ) d¦Ó 1 1 1 ¡Ò

- ¡Þ

h(¦Ó ) X( t + ¦Ó - ¦Ó )d¦Ó 2 2 2 ¡¤ 2 79
¡¤

+ ¡Þ

+ ¡Þ

= ¡Ò = ¡Ò
Ö» Óë

¡Ò - ¡Þ + ¡Þ ¡Ò - ¡Þ

E X( t - ¦Ó ) X( t + ¦Ó - ¦Ó ) h(¦Ó ) h(¦Ó )d¦Ó d¦Ó 1 2 1 2 1 2
- ¡Þ + ¡Þ

RX (¦Ó+ ¦Ó - ¦Ó ) h(¦Ó ) h(¦Ó ) d¦Ó d¦Ó 1 2 1 2 1 2
- ¡Þ

¦Ó ÓÐ ¹Ø

, ¼Ç Ϊ

RY (¦Ó) ¡£ ×Û , ÉÏ

Y ( t ) Ϊ ƽ ¹ý ³Ì , ÇÒ( 7 .4 .7) ÎÈ

ʽ (7 .4 .8 ) ʽ ºÍ µÃÖ¤¡£ ÔÙ ¼Æ X( t ) , À´ Ëã Y( t ) µÄ»¥Ïà ¹Øº¯ Êý , ¼´
+ ¡Þ

RXY ( t , t + ¦Ó = E X( t ) Y( t + ¦Ó ) ) = E X( t ) ¡Ò
+ ¡Þ - ¡Þ

h(¦Ë) X( t + ¦Ó - ¦Ë) d¦Ë

= ¡Ò = ¡Ò

- ¡Þ + ¡Þ - ¡Þ

RX (¦Ó - ¦Ë) h(¦Ë) d¦Ë RX ( u) h(¦Ó - u) d u Y( t ) ÊÇ ÎÈ Ïà ¹ØµÄ, ÇÒ 7 .4 .9 ) ʽ ƽ ( µÃ

Ö»Óë¦ÓÓÐ , ´Ó¶ø X( t ) , ¹Ø Ö¤¡£ Àý 7 .8 =

ÉèÓÐ ÔëÉùµçѹ X ( t ) , Æä×ÔÏà ¹Ø º¯ Êý RX ( ¦Ó) °×

N0 ¦Ä(¦Ó , ½«Ëü¼Ó ) µ½Èç±í 7 .1 µÄͼ( a ) Ëùʾ µÄµç · , Çó: 2 (1) Êä³ö µÄ×Ô ¹Øº¯ Êý; Ïà (2) Êä³ö µÄƽ ¾ù¹¦ ÂÊ; (3) ÊäÈëÓëÊä³ö µÄ»¥Ïà ¹Øº¯ Êý¡£ ½â ( 1) ÓÉ ÒâÖª RX (¦Ó) = Ìâ N0 ¦Ä(¦Ó) , ½«Æä Èë ( 7 .4 .8) ʽ ´ú µÃ 2 N0 ¦Ä(¦Ó+ ¦Ó - ¦Ó ) h(¦Ó ) d¦Ó 1 2 2 2 2

Êä³ö µÄ×Ô ¹Øº¯ Êý Ïà
+ ¡Þ + ¡Þ

R Y (¦Ó = ) ¡Ò 0

h(¦Ó ) d¦Ó 1 1 ¡Ò

0

N0 + ¡Þ = ¡Ò h (¦Ó ) h (¦Ó+ ¦Ó ) d¦Ó 1 1 1 2 0 ¡¤ 2 80
¡¤

¦Áe 1 = , h( t ) = RC ¦Ó ¡Ý0 ʱ

- ¦Át

t¡Ý0 0
2 ¦Á

ÉÏ Ê½ ¦Ó¡Ý0 ºÍ ¦Ó< 0 À´¼Æ , µ± ·Ö Ëã

N0 + ¡Þ RY (¦Ó) = ¡Ò 2 0
ÓÉ ÓÚ

e

- 2¦Á ¦Ó

1

e

- ¦Á ¦Ó

d¦Ó = 1

¦ÁN0 - 2¦Á ¦Ó e 4

R Y (¦Ó ÊÇ º¯ Êý , µ± ¦Ó< 0 ʱ ) ż RY (¦Ó = R Y ( - ¦Ó) = ) ¦ÁN0 - ¦Á( e 4
- ¦Ó)

¹Ê

RY (¦Ó) =

¦Á 0 N e 4

¦Á| ¦Ó|

, - ¡Þ < ¦Ó< ¡Þ

(2) ÔÚ Ê½ Áî ¦Ó= 0 , ¼´¿ÉµÃÊä³ö µÄƽ ÉÏ ÖÐ ¾ù¹¦ ÂÊΪ ¦·
2 Y

= E Y2 ( t ) = RY ( 0) =

¦ÁN0 4 N0 h(¦Ó) 2 0

(3) ¾Ý(7 .4 .9 ) ʽ ÓÐ ,
+ ¡Þ

RXY (¦Ó) = ¡Ò 0

N0 ¦Ä(¦Ó - u) h( u) d u = 2 0

¦Ó¡Ý 0 ¦Ó < 0

¦ÁN0 - ¦Á e ¦Ó = 2 0

¦Ó ¡Ý

¦Ó < 0 0 ¦Ó¡Ý 0

R YX (¦Ó) = RX Y ( - ¦Ó = ) ¶¨ Àí 7 .4 . 2 Ϊ SX ( ¦Ø) , ÔòÊä³ö

¦ÁN0 ¦Á ¦Ó e ¦Ó < 0 2

ÔÚ Àí7 .4 .1 µÄÌõ ¼þÏ , ¼Ç X( t ) µÄ¹¦ ÂÊÆ× ¶¨ ÃÜ¶È Y( t ) µÄ¹¦ ÂÊÆ× ¶ÈΪ ÃÜ SY ( ¦Ø) = H ( ¦Ø)
2

SX ( ¦Ø)

(7 .4 .10)

¶ø X( t ) ,

Y( t ) µÄ»¥Æ× ¶È SXY ( ¦Ø) Ϊ ÃÜ ¡¤ 2 81 ¡¤

SXY ( ¦Ø) = H( ¦Ø) SX ( ¦Ø) Ö¤Ã÷ ÓÉ Î¬ÄÉ- ÐÁ ¹« ʽ ÇÕ
+ ¡Þ

(7 .4 .11)

SY ( ¦Ø) = ¡Ò = ¡Ò
Áî ¦Ë

- ¡Þ + ¡Þ ¡Ò - ¡Þ

RY (¦Ó) e
+ ¡Þ ¡Ò - ¡Þ

- i¦Ø ¦Ó

d¦Ó
- i¦Ø ¦Ó

+ ¡Þ

RX (¦Ó+ ¦Ó - ¦Ó ) e 1 2
- ¡Þ

d¦Ó h(¦Ó ) h(¦Ó ) d¦Ó d¦Ó 1 2 1 2

= ¦Ó+ ¦Ó - ¦Ó , Ôòd¦Ë = d¦ÓµÃ 1 2
+ ¡Þ + ¡Þ + ¡Þ - ¡Þ

SY ( ¦Ø) = ¡Ò

h(¦Ó ) e 1

i¦Ø 1 ¦Ó

d¦Ó 1 ¡Ò

- ¡Þ

h(¦Ó ) e 2 H( ¦Ø)

- i¦Ø 2 ¦Ó

d¦Ó 2 ¡Ò

- ¡Þ

RX (¦Ë) e

- i¦Ø ¦Ë

d¦Ë

= H( ¦Ø) H( ¦Ø) SX ( ¦Ø) =

2

SX ( ¦Ø)

(7 .4 .10) ʽ µÃÖ¤, ¶ø(7 .4 .11 ) ʽ (7 .4 .9 ) ʽ ÓÉ ¼°¾í»ý ¶¨ Àí ¿ÉµÃ¡£ ×¢: SYX ( ¦Ø) = H( - ¦Ø) SX ( ¦Ø) ¡£ Àý 7 .9 ²ÉÓà Óò ·¨ ÖØ Àý1¡£ Ƶ ·½ ½â N0 ¦Ä(¦Ó) , ÔòÓÐ 2 N0 SX ( ¦Ø) = 2 ¦Á , ¹Ê ¦Á+ i Ø ¦
2

½â ÓÉ ÓÚRX (¦Ó = )

RC µç · µÄ´« Ê亯 ÊýΪ H( ¦Ø) = H ( ¦Ø)
Ëù ÒÔ

¦Á = 2 2 ¦Á + ¦Ø N0 ¦Á = 2 2 2(¦Á + ¦Ø ) N0 ¦Á 2(¦Á + i Ø) ¦ N0 ¦Á 2(¦Á + i Ø) ¦
2

2

SY ( ¦Ø) = SX ( ¦Ø) H( ¦Ø) SXY ( ¦Ø) = H ( ¦Ø) SX ( ¦Ø) =

2

SY X ( ¦Ø) = H ( - ¦Ø) SX ( ¦Ø) = (1) ϵ ͳ Êä³ö µÄ×Ô ¹Øº¯ ÊýΪ Ïà ¡¤ 2 82 ¡¤

1 RY (¦Ó) = ¡Ò 2¦Ð 1 = ¡Ò 2¦Ð

+ ¡Þ - ¡Þ + ¡Þ

SY ( ¦Ø) e
2

i¦Ø ¦Ó

d¦Ø

N0 ¦Á ¦ÁN0 - ¦Á | ¦Ó| i¦Ø ¦Ó d¦Ø = e 2 2 e - ¡Þ 2(¦Á + ¦Ø ) 4 N0 ¦Á 4

(2) Êä³ö ƽ ¾ù¹¦ ÂÊΪ E Y ( t ) = RY (0 ) = (3) »¥Ïà ¹Øº¯ ÊýΪ 1 RXY (¦Ó) = ¡Ò 2¦Ð = ͬÀí R YX (¦Ó = ) Àý7 .10
+ ¡Þ - ¡Þ 2

SXY ( ¦Ø) e

i¦Ø ¦Ó

¦Á N0 1 + ¡Þ i¦Ø ¦Ó d¦Ø ¡Ò e d¦Ø 2¦Ð - ¡Þ 2( ¦Á + j Ø) ¦

¦ÁN0 - ¦Á e ¦Ó ,¦Ó¡Ý 0 , 2

¦ÁN0 ¦Á ¦Ó e ,¦Ó ¡Ü0¡£ 2 Éè X( t ) Ϊ °×ÔëÉù, ÓÐSX ( ¦Ø) =

N0 , ͨ ¹ý ±í 7 .1 ÖРͼ 2 ( b) Ëùʾ µÄ΢ ·Öµç · , Çóµç · Êä³ö µÄ×Ô ¹Øº¯ Êý¡£ Ïà ½â ÓÉ Éè , H ( ¦Ø) = Ìâ i¦Ø 1 , Æä ÖЦÁ = , ´Ó¶ø H( ¦Ø) ¦Á + i¦Ø RC
2

=

2 N0 ¦Ø2 ¦Ø ÊÇ 2 2 , S Y ( ¦Ø) = 2 , ÓÚ 2 ¦Á 2 + ¦Ø ¦Á + ¦Ø

N0 + ¡Þ ¦Ø 2 i¦Ø ¦Ó RY (¦Ó) = ¡Ò d¦Ø 2 2 e 4¦Ð - ¡Þ ¦Á + ¦Ø N0 + ¡Þ i¦Ø N0 + ¡Þ ¦Á 2 ¦Ó i¦Ø ¦Ó = ¡Ò e d¦Ø - ¡Ò d¦Ø 2 2 e 4¦Ð - ¡Þ 4 - ¡Þ ¦Á + ¦Ø ¦Ð = N0 ¦ÁN0 - ¦Á | ¦Ó| ¦Ä(¦Ó ) e 2¦Ð 4
Ï° Ìâ

1 . ÒÑ ÖªËæ »ú¹ý ³Ì X( t ) = acos ( ¦Ø t + ¦¨ ) , Æä ÖÐa ºÍ ¦Ø 0 0

¾ù Ϊ ¡¤

³£

¡¤ 2 83

, ¦¨ ÊÇ 0 ,¦Ð ÉÏ ¾ùÔÈ ÔÚ ·Ö²¼µÄËæ »ú±äÁ¿¡£ (1) ¹ý ³Ì X( t ) ÊÇ ÎÈ ¹ý ³Ì Âð ? Ö¤Ã÷ ¡£ ƽ Ö® (2) ÀûÓà Q = T¡ú + ¡Þ ʽ lim 1 T ¡Ò 2T E
T

E X ( t) d t , Çó X( t) µÄ¹¦ ÂÊ¡£ FT ( ¦Ø,¦Æ ) 2T
2

2

(3) ÀûÓà SX ( ¦Ø) = T¡ú + ¡Þ ʽ lim Æ× ¶È, ²¢ ÓÉ Q = ÃÜ Ê½

, Çó X( t ) µÄ¹¦ ÂÊ

1 + ¡Þ ¡Ò - ¡Þ SX ( ¦Ø) d¦Ø ¼Æ X( t) µÄ¹¦ ÂÊ¡£ Ëã 2¦Ð 32 2 . Éèƽ ¹ý ³Ì X( t ) µÄ¹¦ ÂÊÆ× ¶ÈΪ SX ( ¦Ø) = 2 ÎÈ ÃÜ , Çó¸Ã ¦Ø + 16 ¹ý ³Ì µÄƽ ¾ù¹¦ ÂÊ¡£ 3 . Éèƽ ¹ý ³Ì X( t) µÄ¹¦ ÂÊÆ× ¶ÈΪ ÎÈ ÃÜ SX ( ¦Ø) = Çó¸Ã¹ý ³Ì µÄ¾ù·½Öµ¡£ 4 . ÒÑ ÖªÆ½ ¹ý ³Ì X( t) µÄ¹¦ ÂÊÆ× ¶ÈΪ ÎÈ ÃÜ SX ( ¦Ø) =
¦Ø 4

10

| ¦Ø| 8¦Ð

| ¦Ø| ¡Ü8¦Ð Æä Ëü

¦Ø + 3¦Ø2 + 2

2

Çó¹ý ³Ì X( t ) µÄ¾ù·½Öµ¡£ 5 . Ï ÁÐ Àí º¯ ÊýÊÇ·ñ Êǹ¦ ÂÊÆ× ÓÐ ÃܶȺ¯ ÊýµÄÕýÈ· ±í ´ï ʽ? Ϊ ʲ ô ? ¦Ø + 9 S1 ( ¦Ø) = 2 2 ( ¦Ø + 4) ( ¦Ø+ 1) ¦Ø + 4 S3 ( ¦Ø) = 4 2 ¦Ø - 4¦Ø + 3 ¦Ø S5 ( ¦Ø) = ¦Ä( ¦Ø) + 4 ¦Ø +1 6 . ÒÑ ÖªÆ½ ¹ý ³Ì X( t) µÄ×Ô ¹Øº¯ ÊýÈçÏ ÎÈ Ïà (1) RX (¦Ó = e ) ¡¤ 2 84 ¡¤
- ¦Á| ¦Ó| 2 2 2

¦Ø + 1 S2 ( ¦Ø) = 4 2 ¦Ø + 5¦Ø + 6 S4 ( ¦Ø) = e
¦Ø

2

- i¦Ø 2

2

+2

;

(2) RX (¦Ó = e )

- ¦Á| ¦Ó|
2 2

cos ¦Ø0¦Ó ; ; - T < ¦Ó< T ʽ ÖЦÁ, ¦Ø , a , b, T ¾ù 0

(3) RX (¦Ó = be ) (4) RX (¦Ó) =

-

¦Ó

2a

1-

| ¦Ó| T

0 Æä Ëü Ϊ Õý³£ Êý , ÇóËüÃÇ µÄ¹¦ ÂÊÆ× ¶È¡£ ÃÜ 7 . Éèƽ ¹ý ³Ì X( t) µÄ¹¦ ÂÊÆ× ¶ÈΪ ÎÈ ÃÜ SX ( ¦Ø) = C 0 | ¦Ø| ¡Ü¦Øc Æä Ëü

Æä ÖЦØc > 0 , C > 0 , ÊÔ X( t) µÄ×Ô ¹Øº¯ ÊýÂú×ã Ö¤ Ïà 0 RX (¦Ó ) lim¡Þ = ¦Ø + RX (0) ¡ú 1 c 1 0 | ¦Ø| ¡Ü¦Ø0 Æä Ëü | ¦Ø| ) 10 | ¦Ø| ¡Ü10 Æä Ëü ÆäÖÐ¦Ø 0
Ϊ

¦Ó ¡Ù0 ¦Ó= 0

8 . ÒÑ ÖªÆ½ ¹ý ³Ì X( t) µÄ¹¦ ÂÊÆ× ¶ÈÈçÏ : ÎÈ ÃÜ (1) SX ( ¦Ø) =

(2) SX ( ¦Ø) =
Õý ³£ Êý

8¦Ä( ¦Ø) + 20 (1 0

, ·Ö±ðÇó¹ý ³Ì X( t) µÄ×Ô ¹Øº¯ Êý¡£ Ïà
N

9 . ÉèËæ »ú¹ý ³Ì X( t) = ¡Æ i=1
¦Á i

Xi ( t)

ʽ ¦Ái ( i = 1 , 2 , ¡- , N) ÊÇÒ»×éʵÊý , ¶øËæ»ú¹ý ³Ì X i ( t ) ( i = 1 , 2 , ÖÐ ¡- , N) ¾ùΪ ƽ µÄÇÒ Á½ ÎÈ Á½ Õý½», Ö¤Ã÷
N

SX ( ¦Ø) = ¡Æ i=1

2
¦Á i

SX i ( ¦Ø)

10 . Èôϵ ͳ µÄÊäÈë X( t) Ϊ ƽ Ëæ ÎÈ »ú¹ý ³Ì , ϵ ͳ Êä³ö Ϊ Y( t) = X( t ) + X( t - ¦Ó ) , ÊÔÖ¤¹ý ³Ì Y ( t ) µÄ¹¦ ÂÊÆ× ÃܶÈΪ SY ( ¦Ø) = 2 SX 0 ¡¤ 2 85
¡¤

( ¦Ø) (1 + cos ¦Ø 0 ) ¡£ ¦Ó 11 . ÈôÁ½ Ëæ ¸ö »ú¹ý ³Ì X( t) ºÍ Y ( t ) ÊÇ ºÏ ƽ µÄËæ Áª ÎÈ »ú¹ý ³Ì , Áî W( t) = X( t ) cos¦Ø0 t + Y ( t) sin ¦Ø0 t (1 ) ÌÖÂÛ X( t) ºÍ Y ( t) ¼°Æä ¾ùÖµºÍ Ïà ¹Øº¯ ÊýÔÚ Ã´ Ìõ ¼þÏ , W ʲ ( t) ÊÇ ÎÈ µÄ¡£ ƽ (2) ÀûÓà ) ËùµÃµÄÌõ ¼þ, ¸ù ¾Ý X( t) ºÍ Y ( t ) µÄ¹¦ ÂÊÆ× ¶È, Çó (1 ÃÜ W( t) µÄ¹¦ ÂÊÆ× ¶È¡£ ÃÜ 12 . Éè X( t) ºÍ Y ( t ) ÊÇ ¸ö »¥²» Ïà ¹ØµÄƽ ¹ý ³Ì , ËüÃÇ Á½ ÎÈ µÄ¾ùÖµ ¦Ì X , ¦Ì Y
¾ù ²» Ϊ Áã ¡£ ÏÖ ¶¨ Òå Ëæ »ú ¹ý ³Ì

Z ( t) = X( t ) + Y ( t) Çó»¥Æ× ¶È SXY ( ¦Ø) ºÍ SX Z ( ¦Ø) ÃÜ 13 . Ö¤Ã÷ »¥Æ× ¶ÈµÄÐÔ ÃÜ ÖÊ5¡£ 14 . ÉèËæ »ú¹ý ³Ì X( t) ºÍ Y( t) , ÇóÖ¤ Re SX Y ( ¦Ø) = Re SYX ( ¦Ø) Im SX Y ( ¦Ø) = - Im SY X ( ¦Ø) 15 . Éè X( t) ºÍ Y ( t ) ÊÇ ¸ö Ïà »¥¶ÀÁ¢µÄƽ ¹ý ³Ì , ËüÃÇ Á½ ÎÈ µÄ¾ùÖµ ÖÁ ÓÐ ÉÙ Ò»¸ö Ϊ Áã, ¹¦ ÂÊÆ× ¶È·Ö±ðΪ ÃÜ 16 SX ( ¦Ø) = 2 , ¦Ø + 16 (1) Z( t ) µÄ¹¦ ÂÊÆ× ¶È; ÃÜ (2) X( t ) ºÍ Y ( t) µÄ»¥Æ× ¶È SX Y ( ¦Ø) ; ÃÜ (3) X( t ) ºÍ Z ( t) µÄ»¥Æ× ¶È SX Z ( ¦Ø) ¡£ ÃÜ 16 . Éè¿É΢ ƽ ¹ý ³Ì X ( t ) µÄ¹¦ ÂÊÆ× ÎÈ ÃܶÈΪ SX ( ¦Ø) , Ö¤Ã÷: ¹ý ³Ì X( t ) ÓëÆä µ¼Êý ¢z t ) µÄ»¥Æ× ¶ÈΪ X( ÃÜ S¡¤ ( ¦Ø) = i Ø X ( ¦Ø) ¦ S X 17 . ÉèÊäÈë Ëæ»ú ÐźŠX ( t ) µÄ×Ô ¹Ø º¯ ÊýΪ Ïà be | ¦Ó |

¦Ø SY ( ¦Ø) = 2 ¦Ø + 16

2

ÏÖÉèР³Ì Z ( t ) = X( t) + Y( t ) , Çó: ¹ý

RX ( ¦Ó) = a +

2

, ʽ , a , b Ϊ Õý³£ Êý , Èç¹û ϵ ͳ µÄ³å »÷Ïì Ó¦ h ( t ) = e - ¦Át u ÖÐ

¡¤ 2 86 ¡¤

( t) , ÇóÊä³ö ÐÅ µÄ¾ù·½Öµ( ¦Á> 0) ¡£ ºÅ 18 . ÉèÏß ÐÔ Í³ µÄ³å »÷Ïì Ó¦ h( t ) = 3e u( t ) , Æä ϵ ÊäÈëÊÇ Ïà ×Ô - 4 | ¦Ó| ¹Øº¯ Êý RX ( ¦Ó) = 2e µÄ Ëæ »ú ¹ý ³Ì , ÊÔ ÇóÊä³ö µÄ×Ô ¹Ø º¯ Êý RY Ïà (¦Ó , »¥Ïà ¹Øº¯ Êý RX Y (¦Ó ºÍ R YX (¦Ó ·Ö±ðÔÚ¦Ó= 0 , ¦Ó= 0 .5 , ¦Ó= 1 ʱ ) ) ) µÄÖµ¡£ 19 . ¼Ù ÉèÓÐ 7 .1 ÖÐ ( a ) Ëùʾ ±í ͼ µÄµÍ ͨ Â˲¨ Æ÷ ÊäÈëΪ °× Ôë , Éù, Æä ÂÊ ÃÜ ¹¦ Æ× ¶ÈΪ SX ( ¦Ø) = N0 , Çó: 2 (1) Â˲¨ Æ÷ Êä³ö µÄ¹¦ ÂÊÆ× ¶È; ÃÜ (2) Â˲¨ Æ÷ Êä³ö µÄ×Ô ¹Øº¯ Êý¡£ Ïà 20 . ¼Ù ÉèÓÐ 7 .1 ÖÐ ( b) Ëùʾ ±í ͼ µÄÏß ÐÔ Â· , ÊäÈëΪ °×ÔëÉù, µç ÇóÊä³ö Y( t ) µÄ×Ô ¹Øº¯ ÊýºÍ ¹¦ ÂÊÆ× ¶È¡£ Ïà ÃÜ 21 . ÉèÀí Ïë µÍ Í¨ Ïß ÐÔ Í³ ¾ßÓРϵ ÈçÏ ·ù Ƶ ÌØÐÔ A H( ¦Ø) = 0 | ¦Ø| ¡Ü¦Øc | ¦Ø| > ¦Øc ( ¦Ø c
Ϊ ³£ Êý - 3t

)

Æä ÊäÈëΪ °×ÔëÉù, Çóϵ ͳ Êä³ö µÄ¹¦ ÂÊÆ× ¶È¡¢ Ïà ¹Øº¯ ÊýºÍ ƽ ÃÜ ×Ô ¾ù¹¦ ÂÊ¡£ 22 . ÉèÀí Ïë ´ø ͨ Ïß ÐÔ Í³ µÄ·ù Ƶ ϵ ÌØÐÔ Îª ¦¤¦Ø A | ¦Ø¡À¦Ø0 | ¡Ü 2 H( ¦Ø) = ( ¦¤¦ØΪ ³£ Êý) 0 Æä Ëü Æä ÊäÈëΪ °×ÔëÉù, ÇóÆä Êä³ö µÄÆ× ¶ÈºÍ ×Ô ¹Øº¯ Êý¡£ ÃÜ Ïà 23 . Èô¶ÔÌâ 20 ÖÐ µÄÏß ÐÔ Â· , ÊäÈëµç ѹ Ϊ µç X( t) = X0 + cos (2¦Ðt + ¦¨ ) ʽ X0 ¡« U(0 , 1) , ¦¨ ¡« U ( 0 , 2 , X0 ÖÐ ¦Ð) Y ( t) µÄ×Ô ¹Øº¯ Êý¡£ Ïà 24 . ¼Ù ÉèÒ»¸ö Áã¾ùֵƽ ¹ý ³Ì X( t) , ¼Ó ÎÈ µ½³å »÷Ïì ӦΪ h( t) = ¦Áe 0
- ¦Át Óë ¦¨ Ïà »¥ ¶À Á¢

, ÇóÊä³ö µç ѹ

0¡Ü t¡Ü T Æä Ëü ¡¤ 2 87 ¡¤

, Ö¤Ã÷ Êä³ö ¹¦ ÂÊÆ× ¶ÈΪ Æä ÃÜ ¦Á - ¦ÁT - 2¦ÁT SY ( ¦Ø) = 2 cos¦ØT + e ) SX ( ¦Ø) 2 (1 - 2e ¦Á + ¦Ø 25 . ¼Ù ÉèÒ»¸ö ƽ ¹ý ³Ì X( t ) , ¼Ó ÎÈ µ½³å »÷Ïì Ó¦ Ϊ h ( t ) = ¦Áe ( t¡Ý0) µÄÏß ÐÔ Â˲¨ Æ÷ Ö¤Ã÷ Êä³ö ¹¦ ÂÊÆ× ¶ÈΪ ʱ, Æä ÃÜ
¡ú '
- ¦Át 2

¦Á SY ( ¦Ø) = 2 2 SX ( ¦Ø) ¦Á + ¦Ø d X( t ) dt

2

26 . ¼Ù Éèƽ ¹ý ³Ì X( t ) ͨ ¹ý Ò»¸ö ΢ ·ÖÆ÷ Æä ÎÈ , Êä³ö ¹ý ³Ì ´æÔÚ Î¢ ·ÖÆ÷ , µÄ´« º¯ H( ¦Ø) = i Ø, Çó: ¦ d X( t) (1) X( t ) Óë µÄ»¥Æ× ¶È; ÃÜ dt d X( t ) (2) µÄ¹¦ ÂÊÆ× ¶È¡£ ÃÜ dt 27 . Ìâ ͼΪ µ¥¸ö ÊäÈëÁ½ Êä ¸ö ³ö µÄÏß ÐÔ Í³ , ÊäÈë X( t) Ϊ ƽ ϵ ÎÈ ¹ý ³Ì , ÇóÖ¤Êä³ö Y1 ( t ) , Y2 ( t ) µÄ »¥Æ× ¶ÈΪ ÃÜ SY1 Y2 ( ¦Ø) = H1 ( ¦Ø) H2 ( ¦Ø) SX ( ¦Ø)
H2 (¦Ø) Ìâ ͼ X ( t)

H1 (¦Ø)

Y1 ( t)

Y2 ( t)

¡¤ 2 88

¡¤

, ÈçËüµÄ¹¦ ÂÊ ÃÜ Æ× ¶ÈÔÚ ÂÊ Æµ ÖáµÄij ¸ö ÇøÓòÖ® Íâ Ϊ Áã, »òÕß˵, ËüµÄ¹¦ ÂÊ ´ø ¿í Ϊ ÓÐ Öµ, ÄÇ , ³ÆÖ® ÏÞ ´ø ¹ý ³Ì ¡£ Æ× ÏÞ Ã´ Ϊ ÔÚ ´ø ¹ý ³Ì ÖÐ ¸ù ¾Ý ¹¦ ÂÊ ·Ö²¼ÇøÓòµÄ²» ͬ , ÓÖ ÏÞ , Æä Æ× ¿É·ÖΪ µÍ ͨ ¹ý ³Ì ºÍ ´ø ͨ ¹ý ³Ì Á½ Àà¡£ Èçƽ ¹ý ³Ì X( t ) µÄ¹¦ ÂÊÆ× ´ó ÎÈ ÃÜ¶È SX ( ¦Ø) ¾ßÓÐ ÒÔ Ìصã : Ï SX ( ¦Ø) SX ( ¦Ø) =
Ôò ³Æ

| ¦Ø| ¡Ü¦Øc | ¦Ø| > ¦Øc

0

X( t ) Ϊ µÍ ͨ ¹ý ³Ì ¡£ Èô X( t ) µÄ¹¦ ÂÊÆ× ¶ÈÂú×ãÏ ʽ ÃÜ SX ( ¦Ø) = SX ( ¦Ø) 0 ¦Ø - ¦Øc 0 Æä Ëü
¡Ü

| ¦Ø | ¡Ü ¦Ø + ¦Ø 0 c

Ôò³ÆÖ® ´ø ͨ ¹ý ³Ì ¡£ Èô½øÒ»²½¼Ù ¦Øc 0 ¦Ø < 0

1 Õâ¾ÍÊÇ Ëµ¶ÔÓ¦ ÓÚ Âö³å Ïì Ó¦ º¯ Êý µÄƵ ÂÊÏì Ó¦º¯ ÊýΪ ¦Ðt ¡¤ 2 90 ¡¤

H ( ¦Ø) = - isgn( ¦Ø) =

- i ¦Ø > 0 i ¦Ø < 0 ¦Ø> 0

ÓÚ x ( t) ºÍ ^ ( t) µÄ¸µ Àï Ò¶±ä»» F( ¦Ø) ºÍ F ( ¦Ø) Ö® ÊÇ x ^ ¼äÓÐ ¹Øϵ ʽ F ( ¦Ø) = - isgn( ¦Ø) F( ¦Ø) = ^ ͬÀí , ÓÉ 8 .1 .2) ʽ ( ¿ÉµÃ H
- 1

- iF( ¦Ø)

iF( ¦Ø) ¦Ø< 0 ^ ( t ) µÄ¸µ Àï Ò¶±ä»» x i^ ( ¦Ø) F - i^ ( ¦Ø) F ¦Ø > 0 ¦Ø < 0

(8 .1 .3 )

G( ¦Ø) =

(8 .1 .4 )

Ï£ ¶û²®Ìر任ÓÐ ÁÐ ÖÊ Ï ÐÔ : (1) H
- 1

H x( t )

= x( t ) ; = - x( t ) ;
2

(2) H H x( t ) (3 ) x ( t ) ºÍ F( ¦Ø)
2

^ ( t ) , ÓÐ µÈ µÄÄÜÁ¿ Æ× x Ïà ÃܶÈ, ¼´ F ( ¦Ø) ^
+ ¡Þ ¡Þ

=

; x( t ) x ( t ) d t = 0¡£ ^

(4) x ( t ) Óë ^ ( t) , Õý½», ¼´¡Ò x ÓÉ Àï Ò¶»ý ·Ö¶¨ Àí , µÃ ¸µ x( t ) = H (2) ÓÉ Ò× (1) µÃ¡£
-1

Ö¤Ã÷ (1) ½«(8 .1 .3) ʽ Èë (8 .1 .4) ʽ G( ¦Ø) = F( ¦Ø) , ÔÙ ´ú ÓÐ x ( t) = H ^
-1

H x ( t)

(3) ÓÉ F ( ¦Ø) = H ( ¦Ø) F( ¦Ø) = - isgn( ¦Ø) F( ¦Ø) , ¹Ê ^ F ( ¦Ø) ^ (4) ÓÉ »ý ¶¨ Àí ³Ë
+ ¡Þ 2

= F ( ¦Ø) F ( ¦Ø) = ^ ^

F( ¦Ø)

2

¡Ò

- ¡Þ

1 + ¡Þ x( t ) x ( t ) d t = ¡Ò ^ F( ¦Ø) F ( ¦Ø) d¦Ø ^ 2¦Ð - ¡Þ i + ¡Þ = ¡Ò sgn( ¦Ø) F( ¦Ø) 2¦Ð - ¡Þ
2

d¦Ø = 0

ÉÏ Ê½ ±»»ýº¯ ÊýΪ Ææ Êý¡£ º¯

¡¤ 2 91 ¡¤

x ( t) µÄÏ£ ¶û²®Ìر任Ϊ ^ ( t) , ³Æ¸´ º¯ ÊýÐÅ x ºÅ z( t) = x( t ) + i^ ( t) x Ϊ ½âÎö ÐÅ »òÔ¤°ü Âç¡£ ½âÎö ÐÅ ÓÐ ºÅ ºÅ ÈçÏ ÐÔ : ÖÊ (1) Èô z( t ) µÄ¸µ Àï Ò¶±ä»»Îª G( ¦Ø) , Ôò 0 ¦Ø < 0 * ( ¦Ø) ±í ʾz( t) µÄ¸µ Àï Ò¶±ä»» , Ôò (2) ÈôÓÃG * G ( ¦Ø) = 0 2 F( ¦Ø) ¦Ø > 0 ¦Ø < 0 G( ¦Ø) = 2 F( ¦Ø) u( ¦Ø) = 2 F( ¦Ø) ¦Ø > 0

(3) Èô z1 ( t ) ºÍ z2 ( t) ÊÇ ¸ö ½âÎö ÐÅ , Ôò Á½ ºÅ z1 ( t) * z2 ( t ) = 0 Ö¤Ã÷ (1) ÓÉ ÓÚz( t ) = x( t ) + i^ ( t ) , ÓÐ x G( ¦Ø) = F( ¦Ø) + i^ ( ¦Ø) = F (2) ͬ (1) ¡£ (3) ÓÉ ¾í»ý ¶¨ Àí Óë(1) , ( 2) ¿ÉµÃ¡£ Èý ¡¢ ¸ß ƵÕ- ´ø ÐźŠµÄ ¸´ Êý ±í ʾ·¨ Ëùν¸ß Ƶ Õ-´ø ÐÅ ÊÇ ºÅ Ö¸ÐźŠµÄƵ ÏÞ ÖÆ ÔØ Æµ Æ× ÔÚ ²¨ ÂÊ¡À¦Ø 0
½ü µÄ Ò» ¸ö Ƶ ´ø ·¶ Χ Ö® ÄÚ ¸½

2 F( ¦Ø) 0

¦Ø > 0 ¦Ø < 0

, ¶øÇÒ Æµ ·¶ Χ ԶСÓÚ ²¨ Ƶ ´Ë ´ø ÔØ ÂÊ¡£ ÔÚ Öî

ÈçÀ× ¡¢ ÐÅ ´ï ͨ µÈÐí¶àµç ×Ó Í³ ÖÐ ËùÓöµ½µÄ¸ß Ƶ ºÅ ´ó ¶àÊÇ Ïµ , ÐÅ »òÕß¿É ½üËÆ Îª ÊÇ Æµ ÈÏ ¸ß Õ-´ø ÐÅ ¡£ ³£ ½«¸ß Ƶ ºÅ Õ-´ø ÐÅ ±í ʾ ºÅ Ϊ
0 x ( t ) = A( t) cos ¦Ø t + ¦È( t)

(8 .1 .5 )

ʽ , A( t) ºÍ ¦È( t ) ÊÇ ÖÐ ÐźŠx ( t ) µÄÕñ·ù µ÷ÖÆ ºÍ Ïà λ µ÷ÖÆ ¡£ Ëü ²¨ ²¨ ÃÇ ÊÇ Æµ ´ø ÐÅ , ºÍ cos ¦Ø t Ïà ±È, ËüÃÇ ¶¼ µÍ ÏÞ ºÅ Ëæʱ ¼äµÄ±ä»¯ Òª»º Âý 0 µÃ¶à , Ò× ¼û ¡¤ 2 92 ¡¤

x ( t) = xc ( t) cos ¦Ø t - xs ( t) sin ¦Ø t 0 0 ʽ ÖÐ xc ( t ) = A( t ) cos ¦È( t ) , xs ( t ) = A( t ) sin ¦È( t )

(8 .1 .6 )

xc ( t ) Óë xs ( t ) Ò²¶¼ µÍ Ƶ ´ø ÐÅ , ÇÒ xc ( t) Óë xs ( t ) ±Ë Õý½»¡£ ÊÇ ÏÞ ºÅ ´Ë ¿ÉÓà ͬµÄ·½·¨ ½«Õ-´ø ÐÅ ±í ʾ ¸´ ÐÅ ¡£ ×î ³£ Óà ²» ºÅ ³É ºÅ µÄÁ½ ·½ ÖÖ ·¨ ÊÇ ½âÎö ±í ʾ ºÍ ¸´ Ö¸Êý±í ʾ ¡£ ¸´ ·¨ ·¨ 1 . ¸´ ½âÎö ±í ʾ ·¨ Èô x ( t) Ϊ Õ-´ø ÐÅ , ¶¨ Òå x ( t ) µÄ½âÎö ÐźŠΪ z( t ) = x ( t ) + ºÅ i^ ( t) , Ôò x x ( t ) = Re z( t) Ϊ x ( t) µÄƵ ¡£ Æ× 2 . ¸´ Ö¸Êý±í ʾ ·¨ ¶¨ Òå x ( t) µÄ¸´ Ö¸Êýº¯ Êý ¡« i z ( t ) = A( t ) e = A( t ) e
¦Ø t + ¦È( t)
0

(8 .1 .7 )

ÓÉ ½âÎö ÐÅ ÐÔ Öª , z( t ) µÄƵ ºÅ ÖÊ Æ×G( ¦Ø) = 2 F( ¦Ø) u( ¦Ø) , Æä F( ¦Ø) ÖÐ

iÈ( t ) ¦ ¡¤

e

i¦Ø t
0

¡÷¡« i¦Ø t = A ( t) e
0

(8 .1 .8 )
Ϊ

¡« i¦È( t) i¦Ø t Æä ÖÐA ( t ) = A( t) e , ³ÆÖ® x ( t) µÄ¸´ °ü Âç , ¶ø½«e 0 ³Æ Ϊ µÄ¸´ ÔØ ¡£ ÏÔÈ», Ƶ

x ( t)

¡« x ( t) = Re z ( t ) (8 .1 .9 ) ¡« ¡« ¡« ¡« Ï Ãæ Çó z ( t) µÄƵ À´ Æ×G ( ¦Ø) , Óà A ( ¦Ø) ±í ʾ °ü Âç A( t ) µÄƵ ¸´ ¡« ¡« i¦Ø t Æ× ¶Ôʽ z ( t ) = A( t ) e 0 Á½ ±ß ×÷ ¸µ ÊÏ ±ä »» , ²¢ ÀûÓþí»ý ¶¨ Àí , ÒÔ ¡£ ¼° e i¦Ø t
0 ªÜ

2¦Ð ¦Ø - ¦Ø0 ) , ¿ÉµÃ ¦Ä( ¡« ¡« G ( ¦Ø) = A ( ¦Ø) * ¦Ä( ¦Ø - ¦Ø ) 0
+ ¡Þ

= ¡Ò

- ¡Þ

¡« A ( ¦Ø - ¦Ø )¦Ä( ¦Ø ¡ä ¡ä- ¦Ø )d¦Ø ¡ä 0 (8 .1 .10) ¡¤ 2 93 ¡¤

¡« = A ( ¦Ø - ¦Ø ) 0

¡« , G ( ¦Ø) ¾ßÓÐ µ¥±ß´ø Ƶ ¡£ Æ× ¡« ¡« ½øÒ»²½ , ÎÒÃÇ Çó¸´ Ö¸Êý z ( t) µÄƵ À´ Æ×G ( ¦Ø) ÓëÔ-À´ ʵÐÅ x ºÅ ( t) µÄƵ Æ×F( ¦Ø) Ö® ¼äµÄ¹Øϵ ʽ ¡£ ¡« ¡« 1 ¡« x ( t) = Re z ( t) = z ( t) + z ( t ) 2 ¶ÔÉÏ Ê½ µÈºÅ Á½ ¶Ë×÷ ÊÏ ±ä»» , ²¢ ÀûÓà éî ÐÔ ¸µ ¹² ÖÊ ÒòΪ ¡« ¡« z ( t ) ªÜ G ( - ¦Ø) ¿ÉµÃ F(¦Ø) = = 1 2 1 2 ¡« ¡« G (¦Ø) + G ( - ¦Ø) ¡« ¡« A (¦Ø - ¦Ø ) + A ( - ¦Ø - ¦Ø ) 0 0 (8 .1 .11)

×Û ËùÊö, ¸ß Ƶ ÉÏ Õ-´ø ÐÅ ¿ÉÓÐ ºÅ ÈçÏ ±í ʾ ·½·¨ x( t ) = A( t) cos ¦Ø t + ¦È( t) 0 = Xc ( t) cos ¦Ø0 t - xs ( t ) sin ¦Ø t 0 = Re x( t ) + i^ ( t ) x ¡« i¦Ø t = Re A ( t ) e 0
ËÄ ¡¢ ½â Îö ¹ý ³Ì ¼° Æä ÐÔ ÖÊ

ÔÚ ±¾ ½Ú ¿ª

ʼ ÒÑ ¾- Ö¸ ³ö

, ÔÚ Ð© ij Çé¿ö Ï ³£ ³£ ½«ÊµËæ»ú¹ý ³Ì ±í ʾ

Ϊ ¸´ Ëæ »ú¹ý ³Ì ÐÎʽ ÏÖ½«½âÎö ÐÅ µÄ¸Å Äî Íƹã Ó¦Óà Ëæ , ºÅ ÓÚ »ú¹ý ³Ì , ±ã ¿ÉµÃµ½Ò»³£ Óà µÄ¸´ Ëæ »ú¹ý ³Ì , ³ÆΪ ½âÎö ¹ý ³Ì ¡£ ¶¨ Òå8 .1 . 2 ¸ø¶¨ ÈÎһʵ »ú¹ý³Ì X( t) , ¶¨ Ò帴 Ëæ Ëæ »ú¹ý ³Ì ¡« X ( t) = X( t) + i^ ( t ) X

ʽ , X ( t) ÊÇ X( t ) µÄÏ£ ¶û²®Ìر任 , Ò²ÊÇ ÖÐ ^ һʵËæ »ú¹ý ³Ì , ¼´ 1 + ¡Þ X(¦Ó) X ( t) = H X( t) = ¡Ò ^ d¦Ó ¦Ð - ¡Þ t - ¦Ó ¡¤ 2 94 ¡¤

¡« ¡« X ( t ) Ϊ X( t ) µÄ¸´ ½âÎö ±í ʾ , »ò³Æ X ( t ) Ϊ ½âÎö ¹ý ³Ì ¡£ Ó¦ ʽ Óà ½âÎö ¹ý ³Ì À´ ·ÖÎö Õ-´ø ¹ý ³Ì ÊÇ ·Ö·½±ãµÄ¡£ Ê® Ï Ãæ ³ö ½âÎö ¹ý ³Ì µÄÈô¸É ÐÔ : ÁÐ ÖÊ (1 ) Èô X( t) Ϊ ƽ ¹ý ³Ì , Ôò X ( t) Ò²ÊÇ ÎÈ ¹ý ³Ì , ÇÒX( t ) Óë X ÎÈ ^ ƽ ^ ( t) Áª ºÏ ƽ ¡£ ÎÈ (2) R^ (¦Ó = RX ( ¦Ó , SX ( ¦Ø) = SX ( ¦Ø) , Æä RX ( ¦Ó) , RX (¦Ó) ·Ö ) ) ^ ÖÐ ^ X ±ðΪ X ( t) , X ( t ) µÄ×Ô ¹Ø º¯ Êý , ¶ø S^ ( ¦Ø) , SX ( ¦Ø) ·Ö ±ð±í ʾ ¸ö ^ Ïà Á½ X ¹ý ³Ì µÄÆ× ¶È¡£ ÃÜ (3) RX X (¦Ó = - RX (¦Ó , RX ^ (¦Ó = RX (¦Ó) , Æä ^ ) ^ ) X ) ^ ÖÐR^ X (¦Ó) ±í ʾ X X ^ ( t) Óë X( t ) µÄ»¥Ïà ¹Øº¯ Êý , RX (¦Ó) ±í ʾ RX (¦Ó) µÄÏ£ ¶û²®Ìر任¡£ ^ (4) RX ^ (¦Ó) = - RX X (¦Ó , RX X ( - ¦Ó) = - R^ X (¦Ó) ¡£ X ^ ) ^ X (5) R^ X ( 0) = 0¡£ X ) (6) RX (¦Ó = 2 RX (¦Ó) + iRX^ (¦Ó ¡£ X «‰ ) - iSX ( ¦Ø) ¦Ø ¡Ý0 (7) SXX ( ¦Ø) = ^ iSX ( ¦Ø) ¦Ø< 0 4 SX ( ¦Ø) ¦Ø¡Ý0 ¡« (8) S«‰ ÆäÖÐ S¡« ( ¦Ø) Ϊ X ( t ) µÄÆ× X ( ¦Ø) = X 0 ¦Ø < 0 ÃÜ ¶È¡£ Ö¤Ã÷ ( 1) ÓÉ Ï£ ¶û ²®Ìر任ÊÇÒ»ÖÖ ÐÔ ÓÚ Ïß ±ä»» , ½áÂÛ¿ÉÓÉËæ »ú¹ý ³Ì µÄÏß ÐÔ ±ä»»ÐÔ ¶øµÃ¡£ ÖÊ (2) ÓÉ ÓÚ SX ( ¦Ø) = SX ( ¦Ø) H( ¦Ø) ^
2 2

= SX ( ¦Ø) - isgn( ¦Ø) (3) ÓÉ R^ X ( ¦Ø) = E X ( t ) X( t + ¦Ó) ^ X

= SX ( ¦Ø)

¶ÔÉÏ Ê½ ¸µ ÊÏ ·´ ±ä»» , ¿ÉÖª RX (¦Ó) = RX (¦Ó ¡£ ×÷ ) ^

1 + ¡Þ X(¦Ç) = E ¡Ò d¦Ç¡¤ X( t + ¦Ó) ¦Ð - ¡Þ t - ¦Ç ¡¤ 2 95 ¡¤

t - ¦Ç = ¦Ë, ´ú ÈëÉÏ Ê½ ½øÐÐ ±äÁ¿Ìæ»» , ¼´ 1 + ¡Þ X( t - ¦Ë) X( t + ¦Ó) R^ X (¦Ó) = E ¡Ò d¦Ë X ¦Ð - ¡Þ ¦Ë 1 = ¡Ò ¦Ð 1 = ¡Ò ¦Ð
+ ¡Þ - ¡Þ + ¡Þ - ¡Þ

E X( t - ¦Ë) X( t + ¦Ó)

1 d¦Ë ¦Ë

RX (¦Ó+ ¦Ë) 1 + ¡Þ RX ( t ) d¦Ë = ¡Ò dt ¦Ë ¦Ð - ¡Þ t - ¦Ó

= - RX (¦Ó ^ ) ÀàËÆ ¿ÉÖ¤, RXX (¦Ó = RX (¦Ó ¡£ ^ ) ^ ) (4) ǰһʽ (3) ¿ÉµÃ¡£ ÓÖ ÓÉ ÓÉ RX X ( - ¦Ó = E X ( t ) X( t - ¦Ó ) ^ ) ^ 1 = E ¡Ò ¦Ð Áî t - ¦Ç = ¦Ë, ´ú ÈëÉÏ Ê½ ÓÐ , 1 + ¡Þ E X( t - ¦Ë) X( t - ¦Ó ) RX X ( - ¦Ó = ¡Ò ^ ) d¦Ë ¦Ð - ¡Þ ¦Ë 1 + ¡Þ RX ( - ¦Ó+ ¦Ë) = ¡Ò d¦Ë ¦Ð - ¡Þ ¦Ë ÔÙ ¦Ë - ¦Ó= - ¦Ó ´ú ÈëµÃ Áî ¡ä, ¡ä 1 + ¡Þ RX ( - ¦Ó ) RX X ( - ¦Ó = ¡Ò ) d¦Ó ¡ä ^ ¦Ð - ¡Þ - ¦Ó ¦Ó ¡ä+ ¡ä 1 + ¡Þ RX (¦Ó ) = ¡Ò d¦Ó = RX (¦Ó ¡ä ^ ) ¦Ð - ¡Þ ¦Ó - ¦Ó ¡ä ×î ºó ÀûÓà , ±ã¿ÉÖª RX X ( - ¦Ó) = - R^ X (¦Ó) ¡£ (3) ^ X (5) ÓÉ Áî ¦Ó= 0 ¼´µÃ¡£ ´Ë ʽ (4) ˵Ã÷ X ( t) Óë X( t ) ÔÚ ^ ͬһʱ¿Ì Õý½»¡£ (6) Áô×÷ Ìâ ¡£ Ï° (7) ÓÉ (3) RXX (¦Ó) = RX (¦Ó) = RX (¦Ó) * h ( ¦Ó , ʽ h (¦Ó) ±í ʾ ^ ^ ) ÖРϣ ¶û²®Ìر任µÄµÈЧ³å »÷Ïì Ó¦¡£ ¶ÔÉÏ Ê½ ±ß×÷ Àï Ò¶±ä»» , µÃ Á½ ¸µ ¡¤ 2 96 ¡¤
+ ¡Þ - ¡Þ

X( ¦Ç) d¦Ç¡¤ X( t - ¦Ó ) t - ¦Ç

SXX ( ¦Ø) = - isgn( ¦Ø) SX ( ¦Ø) ^
^ ) (8) ÓÉ , R ¡« (¦Ó = 2 RX (¦Ó) + iRXX (¦Ó Ôò (6) X )

S ¡« ( ¦Ø) = 2 SX ( ¦Ø) + iSXX ( ¦Ø) ^ X = 2 SX ( ¦Ø) + i - isgn( ¦Ø) SX ( ¦Ø) = 2 SX ( ¦Ø) + sgn ( ¦Ø) SX ( ¦Ø) = 4 SX ( ¦Ø) 0 ¦Ø > 0 ¦Ø < 0

ÉÏ Ê½ ˵Ã÷, ½âÎö ¹ý ³Ì µÄÆ× ¶ÈÖ»´æÔÚ ÕýƵ ÃÜ ÓÚ ÂÊÖá, ¼´ËüÊÇ Í¨ ¹¦ ÂÊ ´ø Æ× ¶È, Æä ÃÜ Ç¿¶ÈµÈÓÚ Ô-ʵ¹ý ³Ì ¹¦ ÂÊÆ× ¶ÈÇ¿¶ÈµÄ 4 ±¶¡£ ÃÜ ¡ì

8. 2

Õ-´ø ¹ý ³Ì µÄ±í ʾ ·¨
X( t) , ÈôÆä ÂÊÆ× ¶È SX ( ¦Ø) ¾ßÓÐ ÁÐ ¹¦ ÃÜ Ï ¦Ø - ¦Øc 0 Æä Ëü

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...often as 4. This view, where randomness simply refers to situations where the certainty of the outcome is at issue, applies to concepts of chance, probability, and information entropy. In these situations, randomness implies a measure of uncertainty, and notions of haphazardness are irrelevant. The fields of mathematics, probability, and statistics use formal definitions of randomness. In statistics, a random variable is an assignment of a numerical value to each possible outcome of an event space. This association facilitates the identification and the calculation of probabilities of the events. A random process is a sequence of random variables describing a process whose outcomes do not follow a deterministic pattern, but follow an evolution described by probability distributions. These and other constructs are extremely useful in probability theory. Randomness is often used in statistics to signify well-defined statistical properties. Monte Carlo methods, which rely on random input, are important techniques in science, as, for instance, in computational science.[2] Random selection is a method of selecting items (often called units) from a population where the probability of choosing a specific item is the proportion of those items in the population. For example, if we have a bowl of 100 marbles with 10 red (and any red marble is...

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Literature Review Acupuncture and Hemiplegia

...Acupuncture research in Cerebrovascular Accident induced hemiplegia. By Introduction to Cerebrovascular Accident and Hemiplegia Cerebrovascular Accident also known as stroke can broadly be described as an interruption of the blood supply to the brain. Without blood the brain cells are staved of oxygen, and can begin to die within minutes if the blood supply is completely cut off. It is this cellular death which has the greatest influence on the sequelae or after math of the stroke. Hemiplegia is the most common sequelae of stroke, this medical condition characterised by paralyses of one side of the body. It is similar to, but should not be confused with hemiparesis which is when one side of the body is weak but still mobile. While the leading cause of hemiplegia is a Cerebrovascular Accident, it is not the only cause, other neural conditions such as a unilateral pyramidal (UMN) lesion may also cause hemiplegia. It is difficult to discuss Hemiplegia without also discussing Stroke, similar to cause and effect, if stroke is the cause then hemiplegia is effect. A sudden stroke can be deadly, and how well someone recovers or if they recover depends largely on how fast they receive treatment. In Australia the most popular method for identifying stroke is the FAST test: * Face – Check their face. Has their mouth dropped? * Arms – Can they lift both arms? * Speech – Is their speech slurred? Do they understand you? * Time – Time is critical. If you see any of these...

Words: 7532 - Pages: 31

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No Minds for Computers

...machines to fulfill millions of different tasks. The key here is that humans program these computers to complete tasks, giving the hardware only one duty which is given only by the human. So am I saying that programming is what makes a computer? Well lets take a deeper look at programming. Programming is simply providing a computer with coded instructions for the automatic performance of a particular task. Lets take an example of how a program works in a computer. In a paper written by John R. Searle, Minds, Brains, And Programming, John talks about how he pretends to be a program in a computer. In this program he is locked in a room and is given the task of answering questions in Chinese symbols. John has never spoken, written or understood any Chinese before. Outside the room will be Chinese natives asking and receiving Johns answers. John is given a manual full of symbols and english instructions that tell him to write a certain symbol if given a specific symbol. The purpose here is to demonstrate how a computer functions. For example, if I tell you, write this symbol “^!^” every time you see this symbol “*!*”. You will probably be a little confused on what the symbols mean, but then again you are just doing what you told to do. Well that is what...

Words: 1517 - Pages: 7

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Climate Change on Ports

...Assignment 2: Managing Planned Organisational Change Executive Summary Change management is essential if the introduction and implementation of a new process into the workforce is to succeed. Through an increase in injuries, plant downtime, equipment damage and multiple “notices of improvement” from the Department of Mines, a performance gap at Utah Point export facility was recognized. This performance gap was analysed and with the assistance of a gap analysis model a desired future comprising a safer, more efficient and profitable facility was identified. To ensure that this future can be achieved, focus was placed on both the factors pressuring for change and the major restraining forces against change. As already stated the high level of injuries to persons working at the facility along with the high costs associated with equipment damage and plant downtime were the foremost factors pressuring management for change. In contrast, the potential for resistance from some of the stakeholders to any change due to potential job losses or lost income defined the major restraining forces. Numerous options were considered to resolve this issue however the implementation of a drug and alcohol policy was determined to be the most effective solution. In order to ensure the smooth enactment of this procedure it was determined that all stakeholder parties should be involved in the design and implementation of the policy. In order to counteract any possible resistance to this change...

Words: 4124 - Pages: 17

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Pdp Plan

...1.0 Introduction In accordance with the Personal Development Planning (PDP) Plan I have made in the first assignment, there are three goals I have established in this PDP Plan, which are Goal 1- Academic development, Goal 2 – Personal development and Goal 3 – Career development. In order to set these goals achievable, I have pre-determined some measurement methods named “how will I measure goal success?” in the form of PDP Plan. Indispensible, I have also planned some activities to assist and ensure the achievement of these goals. After two months development in practice, I would like to express my goals achievement in this reflection essay. By doing so, I will add-on unplanned activities which I have performed into my PDP, and then make comments to all activities either planned or unplanned. In further, I will also state reflections on goal attainment. By the end of this reflection essay, I will expand these three goals into a further step, which for me to achieve in future. 2.0 Personal Development Planning 3.1 Explanation of PDP I am all the way talking about PDP, I feel it’s necessary to explain what is PDP based on my own understanding. PDP (Personal development Planning) is a supported and structured progress which undertaken by individual (me) to reflect upon my own performance or achievement in the elements of academic, personal, and career development. The progress of PDP embraces many approaches to learning that connect planning (establish the goal or...

Words: 1510 - Pages: 7

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Evidence

...QUESTION- 1) Bincangkan bagaimanakah pengecaman (identification) seseorang suspek boleh dibuat menurut Seksyen 9 (Akta Keterangan 1950). 2) Nyatakan juga permasalahan dan cabaran-cabaran (jika ada) yang terdapat dalam teknik pengecaman tersebut dengan merujuk kepada autoriti yang relevan. Identification of Person a)Identification by fingerprint Fingerprint Identification is the method of identification using the impressions made by the minute ridge formations or patterns found on the fingertips. No two persons have exactly the same arrangement of ridge patterns, and the patterns of any one individual remain unchanged throughout life. Fingerprints offer an infallible means of personal identification. Other personal characteristics may change, but fingerprints do not. By comparing fingerprints at the scene of a crime with the fingerprint record of suspected persons, officials can establish absolute proof of the presence or identity of a person. Fingerprint is a biometric modality that is often used in a security setting. Fingerprint databases are in use worldwide for the purposes of personal identification, border control as well as to facilitate criminal forensic investigation. Many countries have multiple fingerprint databases, with each database serving a specific purpose. In Malaysia, there are at least 4 different fingerprint databases; namely PDRM-MAFIS (Polis Di Raja Malaysia- Malaysian Automated Fingerprint Identification System), PDRM-BIOFIS (Polis...

Words: 9471 - Pages: 38

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Marketing

...University of Halmstad School of Business and Engineering “Master of Science in International Marketing” Master’s degree level Dissertation Assessing Youth’s Buying Behaviour towards Sports Shoes (A Case Study of Nike) Dissertation in “International Marketing”, 20 Swedish credits (30 ECTS) Author: Srungaram Narsimha Vamshi Krishna Supervisor: Venilton Reinert Professor: Svante Andersson S.S.No. 810609-3035 Contents Pg No. 0 Acknowledgement Abstract 1. Introduction and background 2. Purpose of the study 3. Literature review a. Types of consumer’s buying decision behavior b. Complex buying behavior c. Dissonance d. Variety 4. The buying decision process a. Introduction of buying decision process b. The buying decision process c. Evaluation of alternative d. Purchase decision e. Post purchase behavior 5. Theoretical frame work a. Consumer involvement theory 6. Consumer behavior models a. Introduction and Intergradations of three models b. Hierarchy needs of consumer behavior model c. Consumer behavior model d. Lens model 8. Nike’s Introduction (Nike’s Case Studies) a. Financial performance b. Employees c. Contract factories d. Nike branding 9. Methodology of the Study a. Introduction b. Method c. Types of research d. Research approach e. Population and sample f. Instrument to collect the data g. Research validity and reliability 10. Analysis of the study a. Graphical analysis 3 4 4 8 8 10 10 10 11 10 10 11 11 12 12 12 12 14 14 15 16 18 19 19 20 20...

Words: 12307 - Pages: 50

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Random Papers

...Abstract According to the Webster dictionary, migration is the movement of people from one country or locality to another. They are different types of migrations; some of which are Global migration, interregional migration and, intraregional migration. There is a significant diversity as it relates to the issues of migration in the United States. These issues vary from state to state. However International /global migration posed the most issues in this country. These issues have affected the United States for many years. James Rubenstein notes that “unrestricted immigration to the United States ended when congress passed the Quota Act in 1921 and the National Origins Act in 1924. However over the years different issues arose on this topic; some of which are job threatening, deportation, population overgrowth, devaluing of property, and increased crime rate. Legal as well as illegal immigrants encounter problems to some extent. The questions of who belongs? Who stays? And who goes? Are often widely debated topics by citizens of the United States? It has also been a focal topic in presidential debates. Others made reference to the DREAM Act by claiming that the political parties fail to address the heart of the immigration problem. Immigration has impacted the United States socially, economically, and politically. Like Global migration, interregional migration also creates issues, in the United States. Introduction The topic of immigration can be broken down into many different...

Words: 7696 - Pages: 31

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A Research Proposal: How to Develop a Business Strategy to Expand a Business in an International Market?‏ Read More: Http: //Www.Ukessays.Com/Essay-Examples/Business-Essay-Examples/Business-Strategy-International-Market.Php#Ixzz2Howzexxn

...1. Introduction The globalization of the economy, internationalization of businesses and emergence of new markets are all key themes in contemporary business. Whereas international business may once have been the province of organisations with sufficient scale and reach, these types of companies – typically multi-national corporations - no longer have a monopoly on this kind of business. Increasing numbers of firms, of varying scale, are confronted with compelling reasons for expanding their activities across multiple national boundaries. In some cases, such motivation includes the knowledge that success in international markets is a pre-requisite for survival; if competitor organisations succeed in international markets, they may achieve the scale and liquidity which affords them sustainable competitive advantage. However, scrutiny of the empirical experience of international expansion suggests that the apparent potential is by no means straightforward to achieve in practice. This raises questions about whether or not it is realistic to envisage a ‘best practice’ in terms of international expansion strategy. Can the latter be conceived of as a specific and transferable management skill, or is it instead reliant upon expertise in a particular sector of business, a market, or a national culture? After all, if proven strategists are found wanting, where can the organisation go in terms of its future practice? Large, successful and sophisticated businesses have often found that...

Words: 3219 - Pages: 13

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Human Resource

...Executive summary The research report strives to carry out an investigation to gain an understanding about cultural differences in workplace, the impact, and the preventions in the context of Singapore. The focus will be employees on Singapore work environment. Cullen & Praveen (2014) explains culture as the characteristics of a particular group of people, defined by everything from language, religion, cuisine, social habits, music and arts etc. Nick (2012) points out that in Southeast Asia, Singapore has become a newly industrialized nation, which was hailed as a great economic success during the last 2 decades and the countries traditions of its culture still play a major role in business activities. While Stanton & Nankervis (2011) argues that the national culture of Singapore is high in power distance and this has lead the superiors and subordinates treat each other as unequals in the country. Singapore has also been called is also called a “nanny state’ by Nick (2012), because it is a work culture in which people are supposed to do exactly what they are told and there is no decentralisation or any opportunity for lower level employees to make suggestions. The research used both primary and secondary data collection method to collect information about the question at hand. Research found that Clearly the problem of conflicts due to culture is prevailing both in work conditions and everyday life in Singapore. These have huge implications for the businesses, especially...

Words: 7009 - Pages: 29

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Innovation and Collaboration at Coca Cola It S the Real Thing

...Innovation And Collaboration At Coca Cola It s The Real Thing Five years ago, Coca-Cola's design chief was told: "We need to do more with design. Go figure it out." Now his labors are bearing fruit When David Butler joined Coca-Cola (KO) almost five years ago, he was given, as he tells it, "the Post-it Note mandate: We need to do more with design. Go figure it out." Butler, who had come from a gig as director of brand strategy at the interactive marketing and consulting firm Sapient, had soon written up a 30-page manifesto laying out a design strategy for the company. But if Butler, who's now vice-president for design, has made an impact at the beverage giant, it's not because of some heady proclamation. Instead it's because he has learned the most effective way to implement design strategy at a company as large and complex as Coca-Cola: avoid the word "design" as much as possible. "If I'm at a meeting with manufacturing people, I'll say: 'How can we make the can feel colder, longer?'," he says as an example. "Or, 'How can we make the cup easier to hold?'" In other words, he talks about the benefits of smart design in a language to which those he's talking to can relate. Based on several recent brand redesigns—including the new Coke identity work that won the Grand Prix at the Cannes Lions awards program in June—and innovations such as an aluminum bottle and a new family of coolers, this surreptitious approach seems to be working. Butler leads a team of 60 designers—a...

Words: 1273 - Pages: 6

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Personal Development

...Personal Development: Introduction This article needs attention from an expert in Psychology or Personal life explain the issue with the article Personal life (or their Portals) may be able to help recruit an expert. An individual's personality is an aggregate conglomeration of the decisions they have made throughout their life and the memory of the experiences to which these decisions led. There are inherent natural, genetic, and environmental factors that contribute to the development of our personality. According to process of socialization, "personality also colors our values, beliefs, and expectations. Hereditary factors that contribute to personality development do so as a result of interactions with the particular social environment in which people live." There are several personality types as Katharine Cook Briggs and Isabel Briggs Myers illustrated in several personalities typology tests, which are based on Carl Jung's school of Analytical psychology. However, these tests only provide enlightenment based on the preliminary insight scored according to the answers judged by the parameters of the test. Other theories on personality development include Jean Piaget's stages of development, Erik Erikson's stages of psychosocial development, and personality development in Sigmund Freud's theory being formed through the interaction of id, ego, and super-ego. Speak to almost any volunteer and they will tell you that they get at least as much out of giving time as they...

Words: 4402 - Pages: 18

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Psycho Education

...Psychoeducation for schizophrenia (Review) Xia J, Merinder LB, Belgamwar MR This is a reprint of a Cochrane review, prepared and maintained by The Cochrane Collaboration and published in The Cochrane Library 2013, Issue 1 http://www.thecochranelibrary.com Psychoeducation for schizophrenia (Review) Copyright © 2013 The Cochrane Collaboration. Published by John Wiley & Sons, Ltd. TABLE OF CONTENTS HEADER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PLAIN LANGUAGE SUMMARY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SUMMARY OF FINDINGS FOR THE MAIN COMPARISON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BACKGROUND . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . OBJECTIVES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . METHODS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . RESULTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Figure 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Figure 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DISCUSSION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . AUTHORS’ CONCLUSIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ACKNOWLEDGEMENTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . REFERENCES...

Words: 61871 - Pages: 248

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Social Media - an Opportunity for Fashion Brnds Marketing in China

...4/11/2012 SOCIAL MEDIA - AN OPPORTUNITY FOR FASHION BRNDS MARKETING IN CHINA Table of Contents Chapter 1 1 Introduction 1 1.1 Introduction 1 1.2 Background 2 1.3 Rationale of the Research 2 1.4 Problem statement 3 1.5 Aim and Objectives 3 1.5.1 Aim of the Study 3 1.5.2 Objectives of the Study 3 1.5 Research Questions 4 1.7 Significance of the Research 5 1.8 Dissertation Structure 5 Chapter II 6 Literature Review 6 2.1 Introduction 6 2.2 Consumers’ decision making and Internet 7 2.3 Consumer Behavior and Fashion trends 7 2.4 Branding and the Internet 9 2.5 Communication and Fashion 10 2.6 Sustainable Fashion and the Internet 12 2.7 Global Followers 12 2.8 Internet in China 13 2.8.1 The Public Containment 14 2.8.2 The Power of Internet in China 14 2.8.3 Internet and Politics in China 15 2.9 The Use of Internet in China 15 2.9.1 Socio-culture of China and the Internet 16 2.10 Fashion and Marketing 16 2.10.1 Consumer Intention 17 2.11 Summary 18 Chapter III 19 Research Methodology 19 3.1 Introduction 19 2.11 3.2 The philosophy of research - Positivism 20 2.12 Strategies for research 21 3.4.2 Sampling Procedures 21 3.4.3 Questionnaire Designing 22 2.13 3.6 Time Horizon 23 3.7.1 Secondary data Collection 23 3.8 Data Analysis Methods 23 CHAPTER IV 25 Data Analysis &Findings 25 4.1 Introduction 25 4.2 Data Analysis and Findings 25 4.2.1 Gender Distribution 26 4.2.2 Age Distribution 27 4.3 Internet and Social Networks usage...

Words: 12880 - Pages: 52

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Iimpact of International Trade Fair Participation on Export – an Empirical Study of China Based on Treatment Effect Model

...affecting the export of China. Keywords: China export, international trade fairs, and treatment effect model. JEL Classifications: F14, F19, C21 ___________________________________________________________________ *Zhuo Li (corresponding author), Email: lizhuo@whu.edu.cn, tel no: +86 27 68753023 Introduction Trade fair is an important medium where different sellers gather together for the sales and exposure of their product and from where buyers can get information about different products under one roof. Trade fairs emerge as particularly importance to the firms for export start-ups that may have no pre-existing networks and limited international experiences. These firms enter the established international network to accelerate the process...

Words: 5462 - Pages: 22