KELOMPOK VIII
Disusun oleh :
Adik Niko Heri Mukti Kusuma
(5215122652)
Asmara Yoga
(5215122687)
Lidya Setiawati
(5215122680)
Mochammad Aldi Mauludin
(5215122659)
Urfi Muthiah
(5215122677)
Yusuf Syani
(5215122628)
PENDIDIKAN TEKNIK ELEKTRONIKA
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS NEGERI JAKARTA
2013/2014
27 Mei 2013
[M A T E M A T I K A II]
KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Kuasa.Berkat rahmat, nikmat, serta limpahan karuniaNya Makalah Proyek Gradien ini dapat diselesaikan tepat pada waktunya
Penulisan makalah proyek ini sebagai sarana pemenuhan tugas mata kuliah pendidikan matematika II, pendidikan teknik elektronika semester 098 tahun pelajaran 2013/2014
Dalam penyelesaian makalah proyek ini penulis banyak mengalami kesulitan karena kurangnya materi yang diperoleh.Namun berkat bantuan dari berbagai pihak,akhirnya
makalah ini dapat
diselesaikan.Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih kepada
1. Dr.Ir.Rusmono sebagai Dosen Pembimbing Matematika II
2. Tim sebagai pencari informasi tambahan
Penulis menyadari makalah proyek
ini masih jauh dari sempurna.Oleh karena itu,penulis
meminta kritik dan saran yang membangun makalah proyek ini menjadi lebih baik.
Semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi yang membaca , khususnya penulis.
Jakarta,27 mei 2013
PENULIS
GRADIEN
ii
27 Mei 2013
[M A T E M A T I K A II]
DAFTAR ISI
Cover............................................................................................................................ i
Kata Pengantar........................................................................................................... ii
Daftar Isi ...................................................................................................................... iii
BAB I PENDAHULUAN ............................................................................................ 1
1.1 Latar Belakang ........................................................................................................ 1
1.2 Perumusan Masalah ................................................................................................. 2
1.3 Tujuan ..................................................................................................................... 2
BAB II PEMBAHASAN.............................................................................................. 3
2.1 Operator Diferensial Vektor .................................................................................... 3
2.2 Definisi Gradien ...................................................................................................... 3
2.3 Contoh Soal ............................................................................................................. 7
2.4 Latihan Soal ............................................................................................................ 9
BAB III PENUTUP ..................................................................................................... 11
3.1 Kesimpulan ............................................................................................................. 11
3.2 Saran ....................................................................................................................... 11
BAB IV LAMPIRAN .................................................................................................. 13
4.2 Algoritma Program .................................................................................................. 13
4.3 Flowchart Program .................................................................................................. 14
4.4 List Program ............................................................................................................ 15
4.4 Hasil Program.......................................................................................................... 21
GRADIEN
iiI
27 Mei 2013
[ M A T E M A T I K A II ]
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Di dalam perkuliahan matematika II terdapat bab yang menjelaskan mengenai
Operator Diferensial Vektor, khususnya pada bagian gradien suatu vektor. Gradien merupakan sebuah medan skalar kontinu dan dapat di definisi pada setiap titik
(x,y,z) dalam ruang R3 .
Dalam rangka memenuhi tugas proyek di akhir perkuliahan matematika II, maka dibuatlah suatu aplikasi untuk menyelesaikan beberapa persoalan matematika yang secara khusus mengenai divergensi suatu vektor. Software yang digunakan dalam pembuatan aplikasi ini adalah VISUAL BASIC. Dengan merancang algoritma dan mengaplikasikannya pada VISUAL BASIC, kemudian di uji coba dengan membandingkan antara hasil penghitungan manual dengan hasil output dari aplikasi ini sehingga mendapatkan kesesuaian hasil yang sama atau valid.
Dengan dibuatnya aplikasi ini, para pengguna diharapkan dapat menggunakannya dalam menyelesaikan persoalan gradien suatu vektor dengan lebih cepat, mudah, dan akurat.
GRADIEN
1
27 Mei 2013
[ M A T E M A T I K A II ]
1.2 Perumusan Masalah
1. Apakah pengguna dapat mengerti cara membuat program ini dan sistem kerja program ini dengan melihat informasi syntax/list program yang tersedia?
2. Apakah aplikasi ini sudah bisa membantu menyelesaikan persoalan matematika khususnya gradien suatu vektor ?
3. Apakah aplikasi ini dapat dijadikan acuan tetap atau hanya sebatas media pembanding antara perhitungan manual dengan perhitungan program?
1.3 Tujuan
1. Dapat mengerti pembuatan program sehingga menjadi suatu aplikasi dengan bantuan software Visual basic, dari mulai perancangan algoritma sampai menkonversinya menjadi suatu syntax sehingga program dapat dijalankan dan berfungsi dengan baik.
2. Membantu menyelesaikan persoalan gradien suatu vektor dengan cara praktis dan cepat dengan bantuan aplikasi yang dibuat dengan software Visual Basic.
3. Sebagai acuan tetap pembantu perhitungan atau sebagai media pembanding antara hasil perhitungan manual dengan output perhitungan program komputer.
GRADIEN
2
27 Mei 2013
[ M A T E M A T I K A II ]
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Operator Diferensial Vektor
Operator pada diferensial vektor dituliskan dengan
=
dan didefinisikan dengan :
atau
=
Operator ini disebut del atau juga nabla.
Jika (x,y,z) mendefinisikan sebuah medan skalar dan sebuah medan vektor, maka
,
, dan
x
(x,y,z) mendefinisikan
masing-masingnya masih
merupakan sebuah operator. Penggunaan operator del ini ada 3 yaitu, gradien , divergensi, dan curl. 1
Keterangan:
: operator differensial vektor
: div
x
: curl
atau rot
Di bawah ini akan dijelaskan mengenai gradien.
2.2 Gradien
Analisis vektor
“Ingat bahwa gradien mengubah fungsi skalar menjadi fungsi vektor”
Maka gradien ø dituliskan dengan
atau grad ø dan difenisikan dengan :
)ø
2
1
Idrus Ramli, Analisis Vektor (Jakarta: Proyek Pengembangan Lembaga Pendidikan Tenaga Kependidikan, 1988), hlm. 131.
2
Idrus Ramli, Analisis Vektor (Jakarta: Proyek Pengembangan Lembaga Pendidikan Tenaga Kependidikan, 1988), hlm. 131.
GRADIEN
3
27 Mei 2013
[ M A T E M A T I K A II ]
Terlihat bahwa
ø merupakan sebuah medan vektor. Kadang-kadang definisi
tersebut dituliskan juga dengan :
)
Secara umum
didefinisikan sebagai berikut : misalkan ø (X1, X2, ...,Xn)
mendefinisikan sebuah medan skalar yang dapat didefinisir pada setiap titik (X 1,
X2, .... , Xn) dalam ruang
, yang berarti :
ada, maka gradien ø pada titik (X1,X2,...,Xn) didefinisikan dengan :
Atau dapat disederhanakan menuliskannya dengan :
3
1. SIFAT-SIFAT GRADIEN
Misalkan ø (x,y,z) dan
(x,y,z) mendefinisikan sebuah medan skalar yang
dapat didefinisir pada setiap titik (x,y,z) dalam ruang
, dan c adalah bilangan
rill, maka berlaku :
a.
b.
c.
3
Idrus Ramli, Analisis Vektor (Jakarta: Proyek Pengembangan Lembaga Pendidikan Tenaga Kependidikan, 1988), hlm. 132.
GRADIEN
4
27 Mei 2013
[ M A T E M A T I K A II ]
d. Jika ø (x,y,z) = c maka
merupakan vektor normal pada permukaaan ø
(x,y,z) pada titik (x,y,z)
Bukti sifat a.
Bukti sifat b.
Bukti sifat c.
GRADIEN
5
27 Mei 2013
[ M A T E M A T I K A II ]
Bukti sifat d.
Misalkan
adalah vektor posisi untuk setiap titik (x,y,z) pada
permukaan ø (x,y,z) = c. Misalkan x= x (t), y=y(t), dan z= z(t), maka merupakan vektor singgung pada titik (x,y,z).
Akibat *) dan **) , maka :
Karena
merupakan vektor singgung pada sembarang titik (x,y,z) pada
permukaan tersebut, dan ø.
= 0, maka jelaslah, bahwa
merupakan vektor
normal. 4
4
Idrus Ramli, Analisis Vektor (Jakarta: Proyek Pengembangan Lembaga Pendidikan Tenaga Kependidikan, 1988), hlm. 133-135.
GRADIEN
6
27 Mei 2013
[ M A T E M A T I K A II ]
2.3 Contoh soal
Contoh soal aljabar :
1. Jika
, tentukan
( grad ø ) pada titik ( 1 , 2 , 3 )!
Jawab :
Contoh soal trigonometri :
1. Jika ø (x,y,z) = sin 90 xy – cos 60yz, carilah
( grad ø ) pada titik (2,1,2)
Jawab :
GRADIEN
7
27 Mei 2013
[ M A T E M A T I K A II ]
Contoh soal eksponensial :
1. Misalkan
=
, carilah
pada titik (1,2,2) !
Jawab:
=
= yz
(1,2,2) = 4
5
5
Idrus Ramli, Analisis Vektor (Jakarta: Proyek Pengembangan Lembaga Pendidikan Tenaga Kependidikan, 1988), hlm. 132.
GRADIEN
8
27 Mei 2013
[ M A T E M A T I K A II ]
2.4 Latihan soal
Latihan soal aljabar :
1. Jika
, tentukan
( grad ø ) pada titik ( 5, 6 , 5 )!
Jawab :
Latihan soal trigonometri :
1. Jika ø (x,y,z) = sin 30xy – cos 30yz, carilah
( grad ø ) pada titik ( 2 , 2 , 2 )
Jawab :
GRADIEN
9
27 Mei 2013
[ M A T E M A T I K A II ]
Latihan soal eksponensial :
1. Misalkan
=
, carilah
pada titik ( 8 , 8 , 8 ) !
Jawab:
=
= yz
= ( 8 ).( 8 )
= 64
GRADIEN
10
27 Mei 2013
[ M A T E M A T I K A II ]
BAB III
PENUTUP
3.1 Rangkuman
Gradien adalah perkalian operator diferensial vektor dengan perkalian skalar. SIFAT-SIFAT GRADIEN
Misalkan ø (x,y,z) dan
(x,y,z) mendefinisikan sebuah medan skalar yang
dapat didefinisir pada setiap titik (x,y,z) dalam ruang
, dan c adalah bilangan
rill, maka berlaku :
a.
b.
c.
d. Jika ø (x,y,z) = c maka
merupakan vektor normal pada permukaaan ø
(x,y,z) pada titik (x,y,z)
GRADIEN
11
27 Mei 2013
[ M A T E M A T I K A II ]
DAFTAR PUSTAKA
Ramli,Idrus.(1988).Analisis Vektor.Jakarta:Departemen Pendidikan dan Kebudayaan
Direktorat jendral Pendidikan tinggi Proyek Pengembangan Lembaga Pendidikan
Tenaga Kerja
GRADIEN
12
27 Mei 2013
[ M A T E M A T I K A II ]
BAB IV
LAMPIRAN
4.1. Algoritma Program
1. Start
2. Judul Program = Gradien
3. Variabel yang di gunakan = x, y, z.
4. Input nilai.
5. Input Soal.
6. Proses = Menemukan nilai x, y, dan z.
7. Hasil
8. Selesai.
GRADIEN
13
[ M A T E M A T I K A II ]
27 Mei 2013
4.2. Flowchart Program
Start
Deklarasi
X, y, z
Pembahasan
Ya
Tampilkan Windows
Pembahasan
Kembal i Tdk
Tdk
Contoh Soal
Ya
Tampilkan Contoh
Soal
Kembal i Tdk
Latihan Soal
Ya
Ya
Tdk
Ya
Tampilkan
Latihan Soal
Nilai
Proses
Kembal i Tdk
Tdk
End
GRADIEN
14
Ya
27 Mei 2013
[ M A T E M A T I K A II ]
4.3. List Program
1. List menu utama
Private Sub Command1_Click()
Form8.Visible = True
Form1.Visible = False
End Sub
Private Sub Command2_Click()
Form1.Visible = False
Form2.Visible = True
End Sub
Private Sub Command3_Click()
Form1.Visible = False
Form7.Visible = True
End Sub
Private Sub Command4_Click()
Form1.Width = 9435
Command6.Visible = True
Command4.Visible = False
End Sub
Private Sub Command6_Click()
Form1.Width = 4770
Command6.Visible = False
Command4.Visible = True
End Sub
2. Contoh Soal
Private Sub Command1_Click()
Form3.Visible = True
End Sub
Private Sub Command2_Click()
Form4.Visible = True
End Sub
Private Sub Command3_Click()
Form5.Visible = True
End Sub
Private Sub Command5_Click()
Unload Me
Form1.Visible = True
End Sub
GRADIEN
15
27 Mei 2013
[ M A T E M A T I K A II ]
3. Daftar Soal Latihan
Private Sub Command1_Click()
Form6.Visible = True
End Sub
Private Sub Command2_Click()
Form17.Visible = True
End Sub
Private Sub Command3_Click()
Form16.Visible = True
End Sub
4. Latihan Soal Aljabar
Option Explicit
Dim X As Integer
Dim Y As Integer
Dim a As Integer
Dim b As Integer
Dim c As Integer
Dim HSL As Long
Dim I As Byte
Private Sub Command1_Click()
Form6.Height = 5760
Label1(0).Caption = Text4.Text
Label2(0).Caption = Text5.Text
Label3(0).Caption = Text6.Text
Label1(1).Caption = Text4.Text
Label2(1).Caption = Text5.Text
Label3(1).Caption = Text6.Text
Label1(2).Caption = Text4.Text
Label2(2).Caption = Text5.Text
Label3(2).Caption = Text6.Text
Label1(3).Caption = Text4.Text
Label2(3).Caption = Text5.Text
Label3(3).Caption = Text6.Text
Label7.Caption = (Label7.Caption * Label1(3).Caption)
Label1(4).Caption = (Label1(1).Caption - 1)
Label2(4).Caption = Label2(3).Caption
Label3(4).Caption = Label3(3).Caption
Label8.Caption = (Label8.Caption * Label2(3).Caption)
Label1(5).Caption = Label1(3).Caption
Label2(5).Caption = (Label2(3).Caption - 1)
Label3(5).Caption = Label3(3).Caption
Label9.Caption = (Label9.Caption * Label3(3).Caption)
Label1(6).Caption = Label1(3).Caption
Label2(6).Caption = Label2(3).Caption
Label3(6).Caption = (Label3(3).Caption - 1)
GRADIEN
16
27 Mei 2013
[ M A T E M A T I K A II ]
Label1(7).Caption = Label1(4).Caption
Label2(7).Caption = Label2(4).Caption
Label3(7).Caption = Label3(4).Caption
Label1(8).Caption = Label1(5).Caption
Label2(8).Caption = Label2(5).Caption
Label3(8).Caption = Label3(5).Caption
Label1(9).Caption = Label1(6).Caption
Label2(9).Caption = Label2(6).Caption
Label3(9).Caption = Label3(6).Caption
Label10.Caption = Label7.Caption
Label14.Caption = Label8.Caption
Label18.Caption = Label9.Caption
Label11.Caption = Text1.Text
Label12.Caption = Text2.Text
Label13.Caption = Text3.Text
Label15.Caption = Text1.Text
Label16.Caption = Text2.Text
Label17.Caption = Text3.Text
Label19.Caption = Text1.Text
Label20.Caption = Text2.Text
Label21.Caption = Text3.Text
X = Val(Label11.Caption)
Y = Val(Label1(7).Caption)
HSL = 1
For I = 1 To Y
HSL = HSL * X a = Str(HSL)
Next
X = Val(Label12.Caption)
Y = Val(Label2(7).Caption)
HSL = 1
For I = 1 To Y
HSL = HSL * X b = Str(HSL)
Next
X = Val(Label13.Caption)
Y = Val(Label3(7).Caption)
HSL = 1
For I = 1 To Y
HSL = HSL * X c = Str(HSL)
Next
Label4.Caption = ((Label10.Caption * a) * b * c)
X = Val(Label15.Caption)
Y = Val(Label1(8).Caption)
HSL = 1
For I = 1 To Y
HSL = HSL * X a = Str(HSL)
Next
GRADIEN
17
27 Mei 2013
[ M A T E M A T I K A II ]
X = Val(Label16.Caption)
Y = Val(Label2(8).Caption)
HSL = 1
For I = 1 To Y
HSL = HSL * X b = Str(HSL)
Next
X = Val(Label17.Caption)
Y = Val(Label3(8).Caption)
HSL = 1
For I = 1 To Y
HSL = HSL * X c = Str(HSL)
Next
Label5.Caption = ((Label14.Caption * a) * b * c)
X = Val(Label19.Caption)
Y = Val(Label1(9).Caption)
HSL = 1
For I = 1 To Y
HSL = HSL * X a = Str(HSL)
Next
X = Val(Label20.Caption)
Y = Val(Label2(9).Caption)
HSL = 1
For I = 1 To Y
HSL = HSL * X b = Str(HSL)
Next
X = Val(Label21.Caption)
Y = Val(Label3(9).Caption)
HSL = 1
For I = 1 To Y
HSL = HSL * X c = Str(HSL)
Next
Label6.Caption = ((Label18.Caption * a) * b * c)
End Sub
