Analisis Discriminate

ANALISIS DISCRIMINANTE

Se usa para identificar variables que contribuyen a las diferencias e un grupo definido a priori.
Se sabe que las poblaciones son distintas, y cada individuo pertenece a una de ellas. Por lo tanto la predicción y la descripción son los 2 principales usos del análisis discriminante. Ejemplo: Un investigador interesado en quiebres de negocios tal vez pueda agrupar a las empresas de acuerdo a si quebraron o no con el paso del tiempo, con base en variables independientes como la ubicación, razones financieras o cambios en la administración. El reto consiste en encontrar variables discriminantes que produzcan una asignación de los individuos a los grupos y que sea mejor que una asignación al azar. El análisis discriminante tiene 4 objetivos principales: § § § § Determinar combinaciones lineales de las variables independientes para separar grupos. Desarrollar procedimientos para asignar nuevos objetos. Probar si existen diferencias significativas entre los grupos. Determinar las variables que explican las diferencias entre los grupos.

Concepto básico: Existe un individuo que puede pertenecer a una de las 2 poblaciones, con base en la medición de una característica X. Y se cuenta con una muestra representativa de cada población, que permite estimar la distribución de X y las medias. “Distribuciones de 2 poblaciones” Población II �� < �� Población I �� > ��

�� C

��

��

Porcentaje de miembros de la Población I clasificados incorrectamente en la Población II

C es un punto divisor (para cualquier valor dado de C se incurre en un cierto % de error).

Porcentaje de miembros de la Población II clasificados incorrectamente en la Población I

Si el individuo provenía de la Población I pero la �� < ��, se clasificaría incorrectamente al individuo en la Población II. Si el individuo provenía de la Población II pero la �� > ��, se clasificaría incorrectamente al individuo en la Población I. Si las 2 poblaciones tienen la misma varianza, entonces el valor usual de C es: �� = En donde �� y �� son los valores medios para los 2 grupos. Este valor asegura que las 2 probabilidades de error son iguales. Metodología: El análisis discriminante implica derivar la combinación lineal de las variables independientes que discriminarán mejor entre los grupos definidos a priori. Esto se logra a través de los criterios estadísticos de maximizar la varianza entre grupos con relación a la varianza dentro de los grupos. La combinación lineal para un análisis discriminante se deriva a partir de una ecuación: �� = �� + �� + �� + ⋯ + �� • • • �� calificación discriminante �� pesos discriminantes �� variables independientes
�� !��

El análisis discriminante es una técnica estadística para probar la hipótesis de que las medias de los grupos son iguales. En el análisis discriminante cada variable independiente se multiplica por su peso correspondiente y se suman estos productos, y el resultado es una sola clasificación discriminante compuesta para cada individuo en el análisis. Se promedian las clasificaciones discriminantes para todos los individuos dentro de un grupo particular para llegar a la media del grupo, conocida como centroide (el número de centroides corresponde al número de grupos). Los centroides indican la ubicación más típica de un individuo de un grupo particular. Una comparación de los centroides de los grupos muestra qué tan alejados están los grupos a lo largo de la función discriminante que se está probando. La prueba de significancia estadística es una medida generalizada de la distancia entre los centroides de los grupos. Se calcula comparando la distribución de las calificaciones discriminantes para los grupos. ü Si la superposición en la distribución es pequeño, la función discriminante separa bien a los grupos. ü Si la superposición en la distribución es grande, la función discriminante separa mal a los grupos y por lo tanto es un discriminador pobre entre los grupos. Superposición: Es el trazo de una línea recta a través de los 2 puntos en donde las elipses se interceptan y la proyección de esta línea a un nuevo eje Y (representada por el área sombreada).

“Diagrama de dispersión y proyección que muestra lo que sucede cuando se calcula una función discriminante de 2 grupos”
�� Se tienen 2 grupos A y B, y 2 mediciones �� y �� , en cada miembro de los 2 grupos. El eje Z expresa los perfiles de 2 variables de los grupos A y B como números únicos. Si se encuentra una combinación lineal de las variables originales �� y �� se puede proyectar el resultado como una función discriminante. A´ Eje Z �� El valor medio para las calificaciones Z discriminantes para una categoría o grupo particular es el centroide. Un análisis discriminante tiene 2 centroides. B´ Función discriminante

Asignación a grupos: Los tamaños de muestra pueden ser iguales o diferentes. Los puntos de corte pueden estar con ponderación (se considera la diferencia de tamaño de las muestras), o sin ponderación (se ignora la diferencia de tamaño de las muestras). Si se ignora la diferencia en los tamaños de las muestras, el uso del punto de corte sin ponderación da por resultado una clasificación perfecta en el grupo B, pero clasifica incorrectamente a los miembros del grupo A.

�� = ��! + ��! ��! ��! + ��! ��! ; ��(��) = 2 ��! ��!

Grupo A

“Punto de corte critico para muestras de igual tamaño”
Clasificación de Corte: ��

Grupo B

�� Clasificar como A

�� Clasificar como B

“Punto de corte critico para muestras de distintos tamaños”

Clasificación de Corte Con ponderación

Grupo A

��

Clasificación de Corte Sin ponderación El grupo A es menor que el Grupo B, la calificación óptima de corte estará más cercana al centroide del grupo A que al centroide del grupo B.

Grupo B

��

La calificación o punto de corte: Es el criterio contra el cual se juzga la calificación discriminante de cada individuo para determinar en qué grupo deberá clasificarse al individuo.

Comparación del análisis de regresión y del análisis discriminante: ANÁLISIS DE REGRESIÓN: Supuesto: La Y tiene distribución normal y las X son fijas. Objetivo: Predecir el valor de la población media de la Y con base en los valores conocidos y fijos de las X. Se hacen ciertos supuestos con el fin de generar estimaciones de parámetros que tengan propiedades estadísticas deseables. ANÁLISIS DISCRIMINANTE: Supuesto: Las X tienen distribución normal y la Y es fija, con valores de 0 a 1. Objetivo: Encontrar una combinación lineal de X que maximice la discriminación entre los 2 grupos y minimice la probabilidad de clasificar incorrectamente a los individuos en sus grupos respectivos. Aplica una estrategia para encontrar una media y clasificar con exactitud individuos u objetos en grupos. Estimación: El método directo implica estimar la función discriminante de manera que todas las variables independientes se incluyan simultáneamente. En este caso cada X se incluye sin importar su poder de discriminación. Este método es apropiado cuando el investigador tiene razones a priori para que la discriminación se base en todas las variables independientes. Los parámetros (pesos) se describen de tal manera que la función discriminante proporcione una máxima separación de grupos. �� ∶ Indica que % de la varianza en la Y es explicado por las X.

Determinación de la significancia (�� ): �� ∶ Las medias de los grupos de la función discriminante son iguales (�� : �� = �� ) Esto se prueba estadísticamente a través de (�� ): Se calcula para cada variable para ver si la variable discrimina (valores entre 0 y 1). Los valores mayores de �� indican que las medias de los grupos no parecen ser diferentes (no discriminan). Es decir, que �� tiene que ser chico para que exista una mayor diferencia entre los grupos. Si se rechaza la �� , indica que hay una discriminación significativa, por lo tanto se puede proceder a interpretar los resultados. Interpretación: Cargas canónicas o discriminantes: Es la correlación entre las variables y la función discriminante y también representan la varianza que la variable comparte con la función. Clasificación y validación: La validación de la función discriminante es necesaria para evitar conclusiones sobre muestras o datos específicos, en cuyo caso los resultados no son generalizados. Los resultados también deberán ser validos para otras muestras de la misma población. I. II. Método de Retención: Divide la muestra total en 2. Una sub muestra se utiliza para construir la regla de clasificación y la otra se emplea para la validación. Método U o Validación cruzada: Hace uso de todos los datos disponibles sin un sesgo serio en la estimación de tasas de errores.

ANÁLISIS DISCRIMINANTE MÚLTIPLE: Se desea encontrar un eje con la propiedad de maximizar la razón de la variabilidad entre grupos a la variabilidad dentro de los grupos de las proyecciones sobre este eje. Con m grupos y p variables independientes, hay min (p, m-1) posibles ejes discriminantes.

Mini Resumen del Análisis Discriminante Aplicación: El análisis discriminante se emplea para identificar variables que contribuyen a diferencias en los grupos definidos a priori con el uso de funciones discriminantes. También se usa para clasificar objetos en 1 o más grupos que ya están definidos. Entradas: El modelo requiere de valores para las variables independientes y la variable dependiente. Salidas: Este análisis proporciona las características de la función discriminante, como las variables que contribuyen a cada función discriminante. También se proporciona la significancia de la función. Los pesos discriminantes estandarizados y no estandarizados ayudan en la clasificación de objetos. La utilidad de este análisis para clasificación se evalúa mediante la razón de aciertos. Pruebas estadísticas: La significancia de la función discriminante (Wilks) y las variables se evalúan mediante un estadístico F. Suposiciones en las que se basa la función discriminante: 1. Las variables independientes p deben tener una distribución normal de variables múltiples. 2. La matriz de varianzas-covarianzas de las variables independientes en los 2 grupos debe ser la misma. 3. Muestra tiene que ser representativa. La población de interés está compuesta de sub poblaciones separadas y distintas. Cada sub población puede ser explicada por un conjunto de variables cuantitativas que siguen una distribución normal.

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