DISTRIBUSI BINOMIAL

Distribusi binomial berasal dari percobaan binomial yaitu suatu proses Bernoulli yang diulang sebanyak n kali dan saling bebas. Distribusi Binomial merupakan distribusi peubah acak diskrit. Secara langsung, percobaan binomial memiliki ciri-ciri sebagai berikut: – – – – percobaan tersebut dilakukan berulang-ulang sebanyak n kali setiap percobaan menghasilkan keluaran yang dapat dikategorikan sebagai gagal dan sukses probabilitas sukses p tetap konstan dari satu percobaan ke percobaan lain percobaan yang berulang adalah saling bebas

Ruang sampel A untuk percobaan E yang terdiri dari himpunan tak hingga tetapi masih terhitung dari titik – titik sampel: Jika S = Sukses dan G = Gagal E1 : S (sukses pada percobaan pertama) E2 : GS (gagal pada percobaan pertama dan sukses pada percobaan kedua) E3 : SG (sukses pada percobaan pertama, gagal pada percobaan kedua) E4 : GGS (gagal pada percobaan 1 dan 2, sukses pada percobaan ketiga) E5 : GSG (gagal pada percobaan 1 dan 3, sukses pada percobaan kedua) E6 : SGG (gagal pada percobaan 2 dan 3, sukses pada percobaan pertama)

En : SSS ...S GGG...G (sukses sebanyak x kali, gagal sebanyak n – x kali) x n x

Jika peluang sukses dinotasikan dengan p maka peluang gagal adalah q = 1 – p. Peubah acak X menyatakan banyaknya sukses dari n percobaan yang saling bebas. Maka peluang X pada masing – masing percobaan E adalah:

P(X)  p P(X)  qp  pq P(X)  pq
2 2

untuk E1 untuk E2 untuk E3

P(X)  q p  pq untuk E4 P(X)  qpq  pq 2 untuk E5 P(X)  pqq  pq 2 untuk E6 P(X)  p x q n  x untuk En

 2 Dapat dilihat bahwa E2 dan E3 memberikan hasil yang sama. Jumlahnya   , yaitu 1 

jumlah semua titik sampel yang mungkin menghasilkan x = 1 yang sukses dan n – x = 2 – 1 = 1 yang gagal dari 2 percobaan. Begitupun untuk E4 , E5 , dan E6 juga
 3 memberikan hasil yang sama. Jumlahnya   , yaitu jumlah semua titik sampel yang 1 

mungkin yang menghasilkan x = 1 yang sukses dan n – x = 3 – 1 = 2 yang gagal dari 3 percobaan. Secara umum, jumlah titik sampel yang mungkin untuk menghasilkan x sukses dan n – x gagal dalam n percobaan adalah banyaknya cara yang berbeda dalam
n mendistribusikan x sukses dalam barisan n percobaan, sehingga terdapat   cara.  x

Dan distribusi peluang atau Probability Mass Function (PMF) X dinyatakan pada definisi berikut:
n  n P(X  x)  f ( x)    p x q n x    p x (1  p)n  x  x  x

untuk x  1, 2,..., n dan 0  p  1 . Pembuktian distribusi Binomial merupakan suatu PMF. Bukti: Untuk membuktikan suatu peubah acak adalah PMF, maka harus ditunjukan: 1. 2. f ( x)  0

 f ( x)  1 x Akan ditunjukkan distribusi binomial memenuhi kedua syarat di atas: 1. f ( x)  0

Karena 0  p  1 dan nilai kombinasi pasti positif maka f(x) pasti positif. 2.

 f ( x)  1 x Menggunakan persamaan binomial Newton pada

 f ( x) , akan diperoleh: x  f ( x)    x  p (1  p) x x x 0

n

n  

n x

 ( p  (1  p)) n  1n  1

(1)

Dari 1 dan 2 dapat dikatakan bahwa distribusi binomial merupakan PMF.

Mean Jika X
B(n, p) ( X variabel random berdistribusi Binomial), maka nilai ekspektasi

dari X adalah
E ( X )   x.P( x) x   x.P( X  x) x 0 n

n

n   x.   p x (1  p) n  x x 0  x n n   x.   p x (1  p) n  x x 1  x n n!   x. p x (1  p) n  x x !(n  x)! x 1   x. x 1 n

n.(n  1)! . p. p x 1 (1  p) n  x x.( x  1)!(n  x)!

 np 

(n  1)! p x 1 (1  p) n  x x 1 ( x  1)!( n  x )! n Misalkan m = n – 1 dan s = x – 1, maka persamaan di atas menjadi
E ( X )  np m! p s (1  p)m s s  0 s !(m  s )! m Berdasarkan (1),

 s !(m  s)! p (1  p) s s 0

m

m!

m s

 1 , maka

E ( X )  np  s 0

m

m! p s (1  p) m  s s !(m  s )!

 np.1  np

Sehingga didapat mean dari X, E ( X )  np

Variansi
Var ( X )  E ( X 2 )  ( E( X ))2

Dalam meencari Var(X), kita harus tahu nilai ekspektasi dari X2 :

E ( X 2 )   x 2 .P( X  x)   x 2 . x 0 x 0

n

n

n! p x (1  p) n  x x !(n  x)!

E ( X 2 )   x 2 .P( x) x   x 2 .P ( X  x ) x 0 n n   x 2 .   p x (1  p) n  x x 0  x n n   x 2 .   p x (1  p) n  x x 1  x n n!   x2. p x (1  p) n  x x !(n  x)! x 1

n

  x2. x 1 n

n

n.(n  1)! . p. p x 1 (1  p) n  x x.( x  1)!(n  x)! (n  1)! p x 1 (1  p) n  x ( x  1)!(n  x)!

 np  x. x 1

Misalkan m = n – 1 dan s = x – 1, maka persamaan di atas menjadi
E ( X 2 )  np ( s  1) s 0 m m  m m! p s (1  p) m s  np  ( s  1)   p s (1  p) m s s !(m  s)! s 0 s 

E ( X 2 )  np  ( s  1) s 0

m

m! p s (1  p) m  s s !(m  s )!

m m  np  ( s  1)   p s (1  p) m s s 0 s  m  m m s  m m s  np.   s.   p (1  p)  1.   p s (1  p) m s  s 0 s   s 0  s    np[ mp  1]

 np[( n  1) p  1]  np[ np  p  1]

Var ( X )  E ( X 2 )  ( E ( X )) 2  np[np  p  1]  (np )2  (np )2  np 2  np  (np )2  np  np 2  np (1  p )
Sehingga didapat variansi dari X, Var ( X )  np(1  p)

Contoh: 1. Probabilitas bahwa sejenis komponen tertentu yang lolos uji kelayakan adalah ¾. Tentukan probabilitas dimana 2 dari 4 komponen yang selanjutnya diuji akan dinyatakan layak!
n  n P(X  x)  f ( x)    p x q n x    p x (1  p)n  x  x  x

p = ¾, q = 1 – ¾ = ¼ untuk x = 2
42

 4 3   1  P( X  2)        2 4   4 
2

 6.

9 1 27 .  16 16 128

2. Berdasarkan data biro perjalanan PT Sentosa, yang khusus menangani perjalanan wisata turis mancanegara, 20% dari turis menyatakan sangat puas berkunjung ke Indonesia, 40% menyatakan puas, 25% menyatakan biasa saja, dan sisanya menyatakan kurang puas. Apabila kita bertemu dengan 5 orang dari peserta wisata turis mancanegara yang pernah menggunakan jasa biro perjalanan tersebut. Tentukan probabilitas: a. Tepat 2 diantaranya menyatakan biasa saja

b. Paling banyak 2 diantaranya menyatakan sangat puas

Jawab: n=5 a. p = 0.25, q = 1 – 0.25 = 0.75
5 2

5 1   3  P( X  2)        2 4   4 
2

 0.2637

b. p = 0.2, q = 1 – 0.2 = 0.8
P( X  2)  P( X  0)  P( X  1)  P( X  2) 5  5 5    (0.2) 0 (0.8)5    (0.2)1 (0.8)51    (0.2) 2 (0.8)52 0 1   2  0.32768  0.40960  0.20480  0.94208