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Black Scholes

In: Business and Management

Submitted By luisaadame
Words 3404
Pages 14
Universidad Iberoamericana

Cálculo Vectorial Avanzado

“Modelo de Black-Scholes y las Opciones Europeas”

Mtra. Teresa Martínez Palacios

Luisa Adame Elías

México, D.F., a 8 de mayo de 2012.
Modelo de Black-Scholes y las Opciones Europeas

Resumen

La finalidad de este trabajo es entender el Modelo de Black-Scholes-Merton. Este método es el que se utiliza con mayor frecuencia para la valuación de opciones europeas en el mercado de derivados. Para poder comprender de mejor manera explicaremos de manera básica el mercado de derivados así como las opciones europeas. Conoceremos parte de la historia del método de Black-Scholes, obtendremos su ecuación diferencial parcial y conoceremos como aplicarla. También veremos un aplicación práctica donde alguna empresa muestra la manera en que llego a utilizar este tipo de opciones.

Introducción

Un derivado es un instrumento financiero que asegura el precio a futuro de la compra o venta sobre un activo (llamado activo subyacente), para prevenir o adelantarse a las posibles variaciones al alza o a la baja del precio que se generen sobre éste.

Su principal característica es que son dependientes al valor del activo subyacente. Por ejemplo, el precio del oro, del petróleo (en el caso de commodities), o de acciones, índices bursátiles, tasa de interés, valores de renta fija, etc. (en el caso de instrumentos financieros). Entre los derivados más utilizados en el mercado se encuentran los contratos forwards, los futuros y las opciones.

El mercado de derivados puede verse como un seguro. Los seguros tienen por obligación contar con el dinero en caso de requerirse la obligación. El contrato de derivados se cumple hasta que éste llegue a su fin. Al existir fluctuación diaria en cualquiera de estos activos, se vuelve necesario para las empresas asegurar sus precios sobre insumos de producción, adquiriendo un producto derivado, el cual hace las veces de un seguro, según menciona el MexDer (Mercado Mexicano de Derivados), que inicio sus operaciones desde diciembre de 1998.

Una opción de compra es un acuerdo legal entre dos partes. A una parte se le obliga vender un activo financiero, mientras que al comprador se le da la opción de comprar el activo a un precio establecido en una fecha futura. De este modo, el comprador cuenta con la posibilidad de obtener una ganancia ilimitada, conociendo de antemano la posible pérdida. El vendedor, a cambio del riesgo recibirá una comisión. Operar opciones te permite obtener ganancias siempre y cuando acertemos con previsiones y cálculos las condiciones futuras del mercado.

Las opciones se dividen en americanas y europeas. Las opciones americanas son aquellas que se pueden ejercer en cualquier momento hasta la fecha de expiración del contrato. Las opciones europeas, que son en las que nos enfocaremos en este trabajo, sólo pueden ser ejercidas en la fecha de vencimiento.
Los factores que determinan el precio de una acción son:

El precio de las acciones (St) en el tiempo (t) El precio de ejercicio (K) El tiempo hasta el vencimiento (T) La volatilidad del precio de las acciones (σ) El tipo de interés libre de riesgo (r) Los dividendos esperados durante la vida de la opción.

Las aseveraciones respecto de cada uno de los parámetros que determinan el precio de una opción son hechos bajo el supuesto de que los demás parámetros permanecen constantes.

Los orígenes de los modelos para la valoración de derivados financieros se encuentran en la ecuación de difusión creada por Joseph Fourier. Fourier, quien desde 1807 había presentado el primer trabajo sobre la conducción del calor, publicó la Théorie Analitique de la Chaleur en 1822.

A través de los años, varios matemáticos y científicos hicieron estudios que se acercaban o ayudaban al método de Black-Scholes. Pero fue hasta 1973, que Fisher Black y Myron Scholes, bajo el supuesto de equilibrio general, desarrollaron un modelo para valuar una opción europea sobre una acción que no paga dividendos, cuyo precio es conducido por un movimiento geométrico Browniano. El movimiento geométrico Browniano describe un proceso estocástico en el que el logaritmo natural de una variable aleatoria sigue un proceso Weiner generalizado, que es un proceso estocástico en el que los cambios en la variable durante períodos cortos de tiempo están normalmente distribuidos con una media y una varianza que son proporcionales al plazo de tiempo en cuestión. Estos procesos estocásticos se utilizan ampliamente para modelar la evolución de precios a lo largo del tiempo y, por lo tanto, forman la base para muchos modelos de valoración estocástica.

Este modelo también es conocido como Black-Scholes-Merton, pues Robert Merton fue quien a formalizó y extendió, en una serie de artículos seminales, la metodología de Black-Scholes. Gracias a todas estas contribuciones se estableció lo que hoy llamamos matemáticas financieras modernas. En 1997, este modelo fue acreedor del Premio Nobel y fue recibido por Myron Scholes y Robert Merton. Desgraciadamente, Fisher Black ya había fallecido para ese entonces.

En atención a las contribuciones de Merton es por lo que en algunas ocasiones este modelo es conocido como Modelo de Black.Scholes-Merton, aunque hay quienes piensan que debería de llamarse Merton-Black-Scholes ya que las aportaciones que hizo Robert a la teoría financiera en el más alto nivel, fueron bastantes y de muy buena calidad.
Cuerpo Teórico

La ecuación diferencial parcial de Black-Scholes se obtiene cuando el precio del activo subyacente (acción) es conducido por un movimiento Browniano, ya antes explicado. Esta ecuación diferencial es de segundo orden, es decir, es una ecuación parabólica y su solución determina el precio de una opción europea cuando la condición final es el valor intrínseco del instrumento. Esta ecuación es comúnmente utilizada para valuar varios productos derivados, ya que sus soluciones representan los precios de los distintos derivados financieros que se encuentran en el mercado.

Anteriormente habíamos aclarado que una opción se determina en base a 6 factores:

El precio de las acciones (St) en el tiempo (t) El precio de ejercicio (K) El tiempo hasta el vencimiento (T) La volatilidad del precio de las acciones (σ) El tipo de interés libre de riesgo (r) Los dividendos esperados durante la vida de la opción.

El modelo de Black-Scholes se encuentra bajo varios supuestos básicos:

El activo subyacente no debe pagar dividendos durante la vida del contrato; El precio del activo subyacente es conducido por el movimiento Browniano, es decir, se distribuye de manera normal y puede ser modelado por la ecuación diferencial estocástica; La volatilidad del precio del activo subyacente se mantiene constante a través del tiempo; Las ventas en corto del subyacente son permitidas e ilimitadas; El mercado es líquido y divisible, es decir, el subyacente puede venderse y comprarse en cualquier fracción de unidad; No hay costos de transacciones (comisiones e impuestos); El mercado opera de manera continua; Existe un sistema bancario en el que se puede comprar y vender a una tasa constante a todos los plazos y libre de riesgo de incumplimiento; Los mercados están en equilibrio, es decir, no hay arbitraje alguno. Todos cuenta con la misma información, es decir la información es simétrica.

Dinámica del precio del subyacente

El precio del activo subyacente al tiempo t,S_t, es conducido por el movimiento Bowniano:

dS_t= μS_t dt+σS_t W_t

En esta ecuación μ pertenece a los reales y representa el rendimiento medio esperado mientras que σ debe ser mayor a 0 y representa la volatilidad por unidad de tiempo.

Lema de Itô

Considere una función f(St, t) donde St es una acción y t es el tiempo. Al sustituir la función en su forma diferencial, obtenemos:

(dS_t)/dt= µdt + σ dW_t

Mediante una aplicación de expansión en serie de Taylor se tiene que:

dy= ∂f/(∂S_t ) ∂St + ∂f/∂t dt + 1/2 ((∂^2 f)/(∂〖S_t〗^2 ) (〖dS_t) 〗^2+2 (∂^2 f)/(∂S_t ∂t ) (dS_t )(dt)+(∂^2 f)/(∂t^2 ) (〖dt)〗^2)

Al sustituir la ecuación del movimiento Browniano geomñetrico en su forma diferencial de dS_t= μS_t dt+σS_t dW_t, y después de aplicar las reglas de diferenciación estocástica enunciadas, se tiene que dy=

= ∂f/∂t dt + ∂f/(∂S_t ) [μS_t dt + σ S_t dW_t ] + 1/2 ⌊(∂^2 f)/(∂〖S_t〗^2 ) [μ^2 〖〖S_t〗^2 〖dt〗^2 +2μS_t σ S_t dtdW_t+σ^2 〖S^2〗^ 〗_t 〖dW_t〗^2 ] +2 (∂^2 f)/(∂S_(t ) ∂t) [μS_t 〖dt〗^2+ σS_t dtdW_t ] +(∂^2 f)/(∂t^2 ) dt^2 ⌋

Simplificando, agrupando y utilizando las reglas de diferenciación estocáticas:

llegamos a que el lema de Ito es:

∂f/(∂S_t ) (S_(t ) μdt+σS_(t ) dW_t ) + ∂f/∂t dt +1/2 ((∂^2 f)/(∂〖S_t〗^2 ) σ^2 〖S_t〗^2 dt)

Dinámica del precio de la opción

El valor de una opcion dependerá de las propiedades del activo subyacente tales como: su precio, S_t , rendimiento esperado, µ , y volatilidad, σ, la tasa de interés, r. por lo anterior se puede escribir el valor de una opcion como: C= c(S_t, t; K,T, σ, µ, r)

Podemos notar que S_t, el precio de la acción, y t, el tiempo, son la variables relevantes por lo que las otras variables las dejaremos aparte. De este modo simplificamos el valor de la opción como c = c(S_t ,t)

Observe que cuando t cambia a t+dt, el activo cambia de S_t a S_t+dS_t, por lo tanto el precio de la accion cambia de c = c(S_t ,t) a c+dc mediante el lema de Ito, obteniendo:

dc_t= dc/(dS_t ) (S_t μdt + σS_t dW_t )+dc/dt dt+1/2 ((d^2 c)/(d〖S_t〗^2 ) σ^2 〖S_t〗^2 dt)

Dinámica de un portafolio combinado del subyacente y su opción de compra

Ahora consideremos un portafolio de inversión constituido con w_1 unidades del activo subyacente y w_2 unidades de una opción de compra sobre el subyacente precio c(S_t ,t). Por lo tanto:

π_t=w_1 S_t+ w_2 c(S_t ,t);

donde π es el valor actual del portafolio.

Cuando el tiempo cambia, de t a t+dt el valor del portafolio también cambia de la misma manera, es decir, de π a π+dπ_t:

dπ_t=w_1 〖dS〗_t+ w_2 dc

Anteriormente ya se había calculado el valor de 〖dS〗_t y el valor de dc por lo que ahora las sutituiremos en la última fórmula calculada:

dπ_t=w_1 (μS_t dt+σS_t W_(t) )+w_2 (dc/(dS_t ) (S_t μ_t dt +σS_t dW_t )+dc/dt dt+1/2 ((d^2 c)/(d〖S_t〗^2 ) σ^2 〖S_t〗^2 dt))

Ahora agruparemos esta fórmala de tal manera que la ecuación contenga dos tipos de términos:

dπ_t=(w_1+w_2 dc/(dS_t ))μS_t dt+(w_1+w_2 dc/(dS_t ))σS_t 〖dW〗_t+w_2 (dc/dt dt+1/2 ((d^2 c)/(d〖S_t〗^2 ) σ^2 〖S_t〗^2 dt))

Los dos tipos de términos son aquellos multiplicados por dt y aquel multiplicado por 〖dW〗_t, quien modela el riesgo de mercado del portafolio. Es posible eliminar el riesgo si se eligen, de manera adecuada, las cantidades de los activos (w_1,w_2).

Administración de riesgo de mercado

Para eliminar el término estocástico de la ecuación anterior, debemos elegir w_1,w_2 y eliminar el riesgo de mercado, esto es posible ya que el valor de la acción y la opción estan directamente relacionados. Para eso:

w_1+w_2 dc/(dS_t )=0

Claramente existen infinitas soluciones para la ecuación anterior. Utilizaremos un ejemplo: si w_2=1 y 〖 w〗_1=-dc/(dS_t )=-∆ .
La ecuación anterior es dinámica ya que la cantidad dc/(dS_t ) cambia con S_t y t.
Ésta elección de cantidad de activos es muy común y se refieren a ella como cobertura Delta. La cobertura Delta es aplicable solamente durante el instante dt, ya que al transcurrir el tiempo la cobertura se deteriora poco a poco y pierde su efectividad. Por lo tanto, se emplea esta cobertura en:

dπ_t=w_1 〖dS〗_t+ w_2 d;

y se obtiene:
〖〖dπ〗_t〗^((∆))=c-∆S_t *

Cuenta Bancaria

Uno de los supuestos básicos del modelo de Black-Scholes (supuesto 8), dice que existe un mercado de crédito libre de riesgo de incumplimiento. Esto se refiere a que los participantes del mercado pueden prestar o pedir prestado a una tasa constante, r, a todos los plazos y libre de riesgo de mercado.

Si B_0 es el depósito que se hace continuamente (capitalizable) entonces el saldo de la cuenta se definiria como:

B_t= B_0 e^rt

Por lo tanto esta ecuación satisface a la ecuación diferencial:

〖dB〗_t=rB_t dt

Ahora juntemos los dos últimos incisos vistos. Si el valor del portafolio resultante es el depósito que se esta haciendo periodicamente, entonces se satisface:

〖dπ〗_t= π_t r_t dt

Donde π era el valor del portafolio y r es la tasa de interés del banco.

Recordemos que el supuesto 9 del modelo de Black-Scholes dice que el mercado se encuentra en equilibrio, es decir, no hay oportunidades de arbitraje. Por lo tanto se tiene que:

〖〖dπ〗_t〗^((∆))=〖〖dπ〗_t〗^((r))

Ó

dπ_t= π_t r_t dt

Esto sucede ya que si la tasa de rendimiento del portafolio fuera mayor que el interés que paga el banco, entonces se pediría prestado en el banco la cantidad de -∆S_t+c para invertirla en el portafolio. Después, se le pagaría al banco los intereses mas el capital y el restante sería una ganancia libre de riesgo. De la otra maner, es decir, si el rendimiento del portafolio es menor que los intereses que paga el banco, no tendría sentido invertir en el portafolio.

Ecuación diferencial de Black-Scholes

A lo largo de este trabajo hemos calculado varias ecuaciones. Recordemos la que calculamos en el inciso Dinámica de un portafolio combinado del subyacente y su opción de compra, cuando el valor del portafolio cambiaba al mismo tiempo que el tiempo cambiaba:

dπ_t=w_1 〖dS〗_t+ w_2 dc

Esta ecuación es equivalente a 〖〖dπ〗_t〗^((∆)), por lo que ahora sustituiremos esta fórmula en la fórmula calculada anteriormente:

π_t r_t dt= w_1 〖dS〗_t+ w_2 dc

En el mismo inciso calculamos el valor de un portafolio:

π_t=w_1 S_t+ w_2 C_t

Podemos notar que en esta ecuacion nos dan el valor de π_t, por lo que lo sustituiremos en la fórmula:

〖(w〗_1 S_t+ w_2 C_t)r_t dt= w_1 〖dS〗_t+ w_2 dc

En el inciso de Administración de riesgo de mercado, concluimos que w_2=1 y 〖 w〗_1=-dc/(dS_t ) datos que de la misma manera podemos sutituir en la ecuacion anterior en ambos lados:

(-dc/(dS_t ) S_t+ 1C_t ) r_t dt=(-dc/(dS_t ) 〖)dS〗_t+ 1dc_t

En el inciso de Dinámica del precio de la opción calculamos dc_t y en el inciso de Dinámica del precio del subyacente calculamos 〖dS〗_t, que de igual manera sustiuiremos en la fórmula anterior:

(-dc/(dS_t ) S_t+ 1C_t ) r_t dt

=(-dc/(dS_t ) 〖)(μS_t dt+σS_t W_t ) 〗_

+ (dc/(dS_t ) (S_t μdt + σS_t dW_t )+dc/dt dt+1/2 ((d^2 c)/(d〖S_t〗^2 ) σ^2 〖S_t〗^2 dt))

Recordemos las reglas de diferenciación estocástica aplicadas en el Lema de Ito:

De esta manera eliminamos y el resultado lo igualamos a 0 obteniendo:

1/2 (d^2 c)/(d〖S_t〗^2 ) σ^2 〖S_t〗^2 dt+dc/dt dt-C_t r_t dt+dc/(dS_t ) S_t r_t dt=0

Esta es la ecuacion diferencial parcial de 2do orden de Black-Scholes para una opcion europea.

Para tener una solución concreta es ncesario aplicar soluciones de fronter:

C_t (0,t)=0
C_t (S_t,T)=max{S_t-k,0}

donde k es el precio (strike price). Aplicación Práctica

Grupo Bimbo:
El principal insumo utilizado por Grupo Bimbo en los procesos productivos es la harina de trigo, que se adquiere principalmente de molinos locales. Grupo Bimbo mantiene contratos de suministro a largo plazo a fin de asegurar un abastecimiento oportuno del producto.
La cotización de la harina de trigo toma como referencia el precio de los futuros del trigo en las Bolsas de Chicago, Kansas y Minneapolis, en EE.UU. y de Buenos Aires, en Argentina.
Con el objetivo de mantener un suministro oportuno de harina de trigo y de compensar la volatilidad en su precio, Grupo Bimbo cuenta con políticas definidas de compra y cobertura, las cuales incluyen el seguimiento sistemático de las condiciones diarias del mercado y la consulta a especialistas en la materia, entre otras. Las coberturas de precio de algunos insumos del Grupo se realizan en aquellos países en que el mercado local lo permite, como México, EE.UU., Brasil y Argentina. Grupo Bimbo estima que se encuentra cubierto de manera razonable ante posibles variaciones en el precio del trigo que pudiera afectar su operación. Sin embargo, Grupo Bimbo no puede garantizar la estabilidad del precio del trigo u otras materias primas en el futuro ante las muchas variables que afectan su comportamiento.
La Compañía principalmente utiliza swaps de tasa de interés para administrar su exposición a las fluctuaciones de tasas de interés y de moneda extranjera de sus financiamientos; así como futuros y opciones para fijar el precio de compra de materias primas, entre ellas el trigo y algunos energéticos. La Compañía documenta formalmente todas las relaciones de cobertura, en donde describe los objetivos y estrategias de la administración de riesgos para llevar a cabo transacciones con derivados. La negociación con instrumentos derivados se realiza sólo con instituciones de reconocida solvencia y se han establecido límites para cada institución.

Los instrumentos financieros derivados que utiliza La Compañía son principalmente:

a) Futuros de materias primas
b) Opciones sobre futuros de materias primas
c) Opciones de compra sobre divisas (Calls)
d) Contratos de precio adelantado (Forwards) de divisas y tasas de interés
e) Contratos mediante los cuales se establece la obligación bilateral de intercambiar flujos de efectivo en fechas futuras preestablecidas, sobre un valor nominal o de referencia (Swaps) 1) De tasas de interés (Interest Rate Swaps) para equilibrar la mezcla de tasas de sus pasivos financieros entre tasas fija y tasas variables. 2) De monedas (Cross Currency Swaps) para transformar la moneda en la que se encuentra denominado tanto el capital como los intereses de un pasivo financiero.
*Datos recolectados de la página oficial de Grupo Bimbo
Con los datos que se encuentran en la parte superior podemos ver un caso práctico donde una de las empresas más importantes de México utiliza la compra de derivados para asegurar la compra de la materia prima de sus productos.
Nunca de menciona en los reportes financieros ni en la página de internet el uso del modelo de Black-Scholes. Pero podemos suponer que en el uso de varios modelos para calcular el precio de las opciones se encuentre este modelo ya que es el más utilizado en el área financiera.

Conlusiones

Las finanzas es un campo basado en puras fórmulas matemáticas. Con estas fórmulas se han ido creando distintos tipos de instrumentos financieros y mecanismo de inversión y de la misma manera se han creado modelos para calcular el valor de estos instrumentos.

Este trabajo habla principalmente del modelo de Black-Scholes creado en 1973 y es uno de los modelos más utilizados, principalmente para calcular el valor de una opcion europea.

Pero para poder utilizar la formula de Black-Scholes para calcular el precio de una opción, se deben de tomar en cuenta muchas variables como lo es el llamado “strike price” de la opción, las tasas de interés, volatilidad, etc.

El tiempo es uno de los principales factores por el cual se ve afectado el precio de una opción, ya que al mismo tiempo afecta el precio de la prima de la acción y el valor del portafolio combinado. Cada cambio marginal en el tiempo afecta directamente a todas las variables.

Los supuestos básicos del modelo de Black-Scholes son supuestos que la verdad son muy dificiles que sucedan en la vida real. Por ejemplo, es difícil que los mercados se encuentren realmente en equilibrio y generalmente es posible la obtención de información privilegiada, lo que permite ganancias extraordinarias, esto muestra una eficiencia débil de mercado.

El objetivo de tener este tipo de herramientas como la que es la famosa fórmula de Black-Scholes, es ayudar a los inversionistas a tener mayores ganancias y/o minimizar sus pérdidas.

Bibliografía

http://www.cnnexpansion.com/economia/derivados-bftoxicos-o-medicinales/bfque-es-un-mercado-de-derivado (consultado el 4 de mayo a las 17:00)

Venegas Martínez, Francisco, “Riesgos financieros y económicos; productos derivados y decisiones económicas bajo incertidumbre” Segunda ed. 2008 pp. 203- 206.
Martínez Palacios María Teresa Verónica, Un Análisis Comparativo de Diversas Metodologías para la Valuación de Opciones, Facultad de ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México, páginas 83-89

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Paper1

...The Black–Scholes /ˌblæk ˈʃoʊlz/[1] or Black–Scholes–Merton model is a mathematical model of a financial market containing certain derivative investment instruments. From the model, one can deduce the Black–Scholes formula, which gives a theoretical estimate of the price of European-style options. The formula led to a boom in options trading and legitimised scientifically the activities of the Chicago Board Options Exchange and other options markets around the world.[2] lt is widely used, although often with adjustments and corrections, by options market participants.[3]:751 Many empirical tests have shown that the Black–Scholes price is "fairly close" to the observed prices, although there are well-known discrepancies such as the "option smile".[3]:770–771 The Black–Scholes was first published by Fischer Black and Myron Scholes in their 1973 paper, "The Pricing of Options and Corporate Liabilities", published in the Journal of Political Economy. They derived a stochastic partial differential equation, now called the Black–Scholes equation, which estimates the price of the option over time. The key idea behind the model is to hedge the option by buying and selling the underlying asset in just the right way, and consequently "eliminate risk". This hedge is called delta hedging and is the basis of more complicated hedging strategies such as those engaged in by investment banks and hedge funds. The hedge implies that there is a unique price for the option and this is given by......

Words: 472 - Pages: 2

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Sdas

...LECTURE 7: BLACK–SCHOLES THEORY 1. Introduction: The Black–Scholes Model In 1973 Fisher Black and Myron Scholes ushered in the modern era of derivative securities with a seminal paper1 on the pricing and hedging of (European) call and put options. In this paper the famous Black-Scholes formula made its debut, and the Itˆ calculus was unleashed upon the world o 2 of finance. In this lecture we shall explain the Black-Scholes argument in its original setting, the pricing and hedging of European contingent claims. In subsequent lectures, we will see how to use the Black–Scholes model in conjunction with the Itˆ calculus to price and hedge all manner of o exotic derivative securities. In its simplest form, the Black–Scholes(–Merton) model involves only two underlying assets, a riskless asset Cash Bond and a risky asset Stock.3 The asset Cash Bond appreciates at the short rate, or riskless rate of return rt , which (at least for now) is assumed to be nonrandom, although possibly time–varying. Thus, the price Bt of the Cash Bond at time t is assumed to satisfy the differential equation dBt (1) = rt Bt , dt whose unique solution for the value B0 = 1 is (as the reader will now check) t (2) rs ds . Bt = exp 0 The share price St of the risky asset Stock at time t is assumed to follow a stochastic differential equation (SDE) of the form (3) dSt = µt St dt + σSt dWt , where {Wt }t≥0 is a standard Brownian motion, µt is a nonrandom (but not......

Words: 3260 - Pages: 14

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Real Options Analysis Thesis

... except to the extent that assistance from others in the project's  design  and conception  or  in  style, presentation  and  linguistic expression  is  acknowledged.’       Signed ……………………………………………..............     Date ……………………………………………..............        ii    1. ABSTRACT Real options analysis can be used by investors to determine the value of potential  investments that offer an owner the right but not the obligation to exercise a strategic  decision at a predetermined time and price. Tools which are popular for valuing financial  options, such as Black Scholes analysis, can be used to determine the value of real options.  However, Black Scholes analysis has been criticized for its unintuitive approach to real  options and also for its difficulty in determining the volatility of an investment. The purpose  of this thesis is to investigate whether or not a second order moment approach can be used  as a substitute for Black Scholes analysis.  Comparison between Black Scholes analysis and the second order moment approach is done  in three ways. Firstly, the manner in which each approach captures the upside value of a  real option is compared mathematically including an analysis of input parameters;  specifically, cash flows, rate of return, strike price, standard deviation, volatility and time  until expiration. Secondly, an analysis of each method’s valuation of various examples of ......

Words: 13382 - Pages: 54

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Kataby

...Ibrahim Nasser Khatatbeh May, 2013 Q1: Explain how the option pricing formula developed by black and scholes can be used for common stock and bond valuation. Include in your discussion the consequences of using variance applied over the option instead of actual variance. Its generally known that Black and Scholes model became a standard in option pricing methods , with almost everything from corporate liabilities and debt instruments can be viewed as option (except some complicated instruments), we can modify the fundamental formula in order to fit the specifications of the instrument that will be valued. An argument done by Black and Scholes which was based on the past proposition of Miller and Modigliani a well as assuming some ideal conditions, States that value of the firm is a sum of total value of debt plus the total value of common stock. As well as the fact that in the absence of taxes, the value of the firm is independent of its leverage and the change of debt has no effect on the firm value. V = E + Dm V: value of the firm. E: shareholders right (common stock values). Dm: market value of the debt. As the above equation impose that Equity (common stock values) can be viewed as a call option on the firm value (due to the shareholders limited liability and with consideration that firm debt can be represent as a zero-coupon bond), where exercising the option means that equity holders buy the firm at the face value of debt (which is in this case will......

Words: 1396 - Pages: 6

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Gdragon

...Chapter 12 & 20 Chapter 21 The Black-Scholes Formula and Option Greeks Adapted from Black & Scholes (1973), The Pricing of Options and Corporate Liabilities, The Journal of Political Economy, Vol. 81, No. 3., pp. 637-654. 2 Black-Scholes Assumptions • Assumptions about stock return distribution    Continuously compounded returns on the stock are normally distributed and there is no jumps in the stock price The volatility is a known constant Future dividends are known, either as discrete dollar amount or as a fixed dividend yield • Assumptions about the economic environment    The risk-free rate is a known constant There are no transaction costs or taxes It is possible to short-sell costlessly and to borrow at the risk-free rate 3 Black-Scholes Assumptions • The original paper by Black and Scholes begins by assuming that the price of the underlying asset follows a process like the following dS (t )  (   )dt   dZ (t ) S (t ) where       (20. 1)  S(t) is the stock price dS(t) is the instantaneous change in the stock price  is the continuously compounded expected return on the stock δ is the dividend yield on the stock  is the continuously compounded standard deviation (volatility) Z(t) is the standard Brownian motion dZ(t) is the change in Z(t) over a short period of time 4 Black-Scholes Assumptions • There are 2 important implications of equation (20.1)  Suppose the stock price now is S(0). If the......

Words: 3326 - Pages: 14

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Merck Company

...Assuming Standard deviation of 0.5 Using T= 7 years in Black-Scholes Valuation 2 Decision Tree See worksheet "Decision Tree" 3 Detailed description of Real Option Technique "First, using a decision tree, I came up with a simple expected value of $13,980,000 based on the costs to complete each phase, the probabilities of completing each phase, and the costs and probabilities associated with failure at each step in the approval process. The expected value of successful completion with Depression only was $36,390,000, for weight only $1,200,000 and for both $26,880,000. The expected value of failure (including failure at any phase) was ($59,490,000). Next, I calculated the Valuations of each successful outcome using the decision tree analysis and the spectrum of outcomes with an asymetric distribution of rewards. Using the probability of 14.55%, which is the combined probability for any sucess, I recalculated the valuations of each success (Depression only, Depression only after testing for both in phase III, Weight only, etc). This gave me some drastically different valuations for those outcomes that had very small probabilities to begin with and ended with a summed expected value for the project of ($6,120,000). See the table below. " "When using the Black-Scholes spreadsheet to calculate the valuations, I used the 14.55% (as was done in the lecture slide notes). I have listed out the differences between the black-scholes model valuations and the decision tree......

Words: 1029 - Pages: 5

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Option Pricing

...stochastic volatility option, in addition to a discussion about the numerical methods that are used to examine pricing biases, and an investigation about the occurrence of the biases in the case of stochastic volatility. As for the results obtained, this paper presents interesting results for each of the two cases. When the stochastic volatility is independent of stock price, the results show that the price calculated using Black-Scholes equation is overestimated for at-the-money options and underestimated for deep in-and out-of-the-money options. This overpricing takes place for stock prices within about ten percent of the exercise price. Moreover, it is shown that the degree of the pricing bias can be up to five percent of the Black-Scholes price. For the second case when the stock price is positively correlated with the volatility, the results show that the Black-Scholes formula overprices in-the-money options and underprices out-of-the-money options. On the other hand, when the stock price is negatively correlated with the volatility, the Black-Scholes formula overprices out-of-the-money options and underprices in-the-money options. Although these results are obtained for European call option, they can be directly used for European put options by applying the put-call parity equation. Furthermore, these results can be also applied for American call options on non-divided-paying stocks. Research Methodology: First Approach: Series Form Solution To derive a......

Words: 797 - Pages: 4

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American Fidelity

...beneficial with the possible oil field. Question 5 If the Black-Scholes method was used instead of the tree analysis, the option value would be lower. The Black-Scholes model is a special case of the binomial model where the number of binomial steps is infinite and the option is a European option. On the other hand, lattice models are frequently used to value American options;yet, for European options, if step-size gets infinitely small, the value in the tree will approach the Black-Scholes value.The Black-Scholes method does not consider the steps along the way where there could be the possibility of early exercise of an American option. Rather, it only calculates the option price at one point in time - only at expiration. Where an American and a European option are otherwise identical, a European option price would be less than or equal to the price of an American option. The European option price (and the result with the Black-Scholes) is lower because it does not have an early exercise option, hence it is less risky (the exercise can only be at the expiration date, so there is less uncertainty about timing). When Black-Scholes is used,there is a need to distill real life variables into the variables used in Black-Scholes. Also, the Black-Scholes model calculates the price while ignoring dividends (the convenience yield in this case) paid during the life of the option. Finally,it can be mentioned that the Black-Scholes method is much easier to implement than lattice......

Words: 1589 - Pages: 7