Free Essay

Case 1

In: Business and Management

Submitted By Handels
Words 34061
Pages 137
Björn Lantz

Lär lätt!
Statistik - Kompendium

Studentia www.studentia.se Lär lätt! Statistik - Kompendium
© 2006 Björn Lantz och Studentia
Ladda ner kompendiet gratis på www.studentia.se
ISBN 87-7681-080-1

Studentia www.studentia.se Lär lätt! Statistik - Kompendium

Innehållsförteckning

Innehållsförteckning
1.
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6

Introduktion till statistik
Inledning
Stolpdiagram och fördelning
Centraltendens
Spridning
Skevhet
Några exempel

6
6
7
9
10
11
13

2.
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7

Sannolikhetslära
Inledning
Union och snitt
Oberoende händelser
Betingade sannolikheter
Bayes teorem
Permutationer
Kombinationer

17
17
17
18
19
19
20
21

3.
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8

Diskreta fördelingar
Inledning
Väntevärde och varians för en diskret slumpvariabel
Binomialfördelningen
Poissonfördelningen
Hypergeometriska fördelningen
Geometriska fördelningen
Negativa binomialfördelningen
Additions- och multiplikationsformler

23
23
23
25
26
28
29
29
30

4.
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9

Kontinuerliga fördelningar
Inledning
Exponentialfördelningen
Normalfördelningen
Standardnormalfördelningen
Transformering till standardnormalfördelning
Transformering från standardnormalfördelning
Normalfördelningsapproximation av binomialfördelningen
Normalfördelningsapproximation av poissonfördelningen
Fördelningen för ett stickprovsmedelvärde

32
32
32
34
36
38
38
39
40
41

5.
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6

Konfidensintervall
Inledning
Konfidensintervall för populationsmedelvärde när σ är känd
Konfidensintervall för populationsmedelvärde när σ inte är känd
Konfidensintervall för populationsproportion
Konfidensintervall för ändliga populationer
Att bestämma stickprovsstorlek

43
43
43
44
45
46
47

Studentia.se freE-Learning

4

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Innehållsförteckning

6.
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
6.11
6.12

Hypotestest
Inledning
Fel av typ I och typ II
Test av ett populationsmedelvärde när σ är känd
Test av ett populationsmedelvärde när σ inte är känd
Test av en populationsproportion – stort stickprov
Test av en populationsproportion – litet stickprov
Test av en populationsvarians
Test av två populationsvarianser
Test av två populationsmedelvärden – lika standardavvikelser
Test av två populationsmedelvärden – olika standardavvikelser
Test av parvisa observationer
Test av två populationsproportioner – stora stickprov

49
49
50
50
52
53
55
55
57
58
60
61
64

7.
7.1
7.2
7.3
7.4

Variansanalys
Inledning
Enkel variansanalys
Uppföljning av enkel variansanalys
Andra typer av variansanalys

66
66
67
70
70

8.
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
8.7
8.8
8.9
8.10
8.11

Regressionsanalys
Inledning
Covarians och korrelationskoefficienten
Minstakvadrat-metoden för en regressions–linje
Konfidensintervall för regressionsparametrarna
Hypotestest för regressionsparametrarna
Prediktionsintervall vid extrapolering av regressionslinjen
Multipel regression
Polynom regression
Dummyvariabler
Multicolinjäritet
F-test av regressionssamband

71
71
73
75
77
78
79
80
80
81
82
82

9.
9.1
9.2
9.3
9.4

Chitvå-tester
Inledning
Test av anpassningsgrad – diskret fördelning
Test av anpassningsgrad – kontinuerlig fördelning
Korstabellanalys

84
84
84
87
89

10.
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6

Icke-parametriska metoder
Inledning
Teckentest
Wilcoxons teckenrangtest
Mann-Whitneys test
Kruskal-Wallis test
Spearmans rank-korrelationstest

Studentia.se freE-Learning

93
93
93
94
98
101
104

5

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Introduktion till statistik

1. Introduktion till statistik
1.1 Inledning
Statistik används huvudsakligen till två olika saker:



Att beskriva en datamängd i olika avseenden (beskrivande statistik).
Att analysera verkligheten med hjälp av stickprov (analytisk statistik).

Grunden för statistik är numerisk information – data – av olika slag. Datan kan vara empirisk
(insamlad från ”verkligheten”) eller teoretisk (baserad på antaganden). Med hjälp av sådan data kan verkligheten beskrivas och/eller analyseras på olika sätt med hjälp av statistiska metoder.
Om variabelvärdena i en viss mängd data representerar kvantiteter – d.v.s. svarar på frågan ”hur många?” – så sägs datan vara av kvantitativ karaktär. Motsatsen är om variabelvärdena representerar kategorier, t.ex. kön, färger eller placeringar. I detta fall sägs datan vara kvalitativ. Kvalitativ data kan delas in i nominaldata, där de olika kategorierna inte kännetecknas av någon inbördes ordning, eller ordinaldata, där de olika kategorierna kan rangordnas.
Observera att kvalitativ data mycket väl kan vara av sifferkaraktär. Till exempel är betyg på en skala 1-10 ordinaldata, medan postnummer är nominaldata. Data blir inte kvantitativ för att de olika kategorierna har namn som råkar består av siffror. Det krävs att datan faktiskt har en reell matematisk betydelse för att den ska vara kvantitativ. Det är viktigt att man har klart för sig vilken typ av data man arbetar med, eftersom valet av statistiska metoder och modeller styrs av detta.

Studentia.se freE-Learning

6

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Introduktion till statistik

1.2 Stolpdiagram och fördelning
”En bild säger mer än tusen ord” lyder ett gammalt talesätt. Ett vanligt sätt att beskriva en datamängd, där de enskilda observationerna naturligt kan grupperas eller där det endast finns ett fåtal olika värden
(utfall) för de enskilda observationerna, är att använda ett stolpdiagram. I ett stolpdiagram illustrerar höjden av varje enskild stolpe en frekvens, d.v.s. ett antal observationer. Hur antalet observationer i en datamängd är fördelat på olika utfall kallas för datamängdens frekvensfördelning. Stolpdiagram är ofta ett mycket användbart sätt att skaffa sig en bild av en viss datamängds frekvensfördelning.
Anta till exempel att 2689 personer har blivit av med sina körkort under en viss period, och att dessa personer åldersmässigt är fördelade på det sätt som framgår av tabellen nedan.

Ålderskategori

Antal personer

18-24

356

25-34

555

35-44

643

45-54

529

55-64

387

65-

219

Ett exempel på hur ett stolpdiagram kan beskriva denna datamängd finns i figur 1.1.
Figur 1.1
Stolpdiagram med frekvensfördelning
700
600
500
400

Antal

300
200
100
0
18-24

25-34

35-44

45-54

55-64

65-

Ålder (år)

Studentia.se freE-Learning

7

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Introduktion till statistik

Samma typ av diagram kan också användas för att visa också hur sannolikt det är att en slumpmässigt vald person som har blivit av med körkortet hör till en viss ålderskategori. I tabellen nedan har frekvenserna räknats om till sannolikheter för de olika kategorierna genom att dividera var och en av dem med det totala antalet personer i datamängden.
Ålderskategori

Sannolikhet

18-24

356/2689=0,1324

25-34

555/2689=0,2064

35-44

643/2689=0,2391

45-54

529/2689=0,1967

55-64

387/2689=0,1439

65-

219/2689=0,0814

Generellt kallas en variabel som får sitt värde via en slumpmässig process för slumpvariabel. En fullständig beskrivning av hur sannolika de olika möjliga utfallen för en viss slumpvariabel är kallas för slumpvariabelns sannolikhetsfördelning, eller bara fördelning. I figur 1.2 nedan illustreras sannolikhetsfördelningen för exemplet ovan med ett stolpdiagram. Notera att stolparnas inbördes förhållande är exakt detsamma som i figur 1.1.

Figur 1.2
Stolpdiagram med sannolikhetsfördelning
0,3
0,25
0,2

Sannolikhet

0,15
0,1
0,05
0
18-24

25-34

35-44

45-54

55-64

65-

Ålder (år)

Studentia.se freE-Learning

8

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Introduktion till statistik

1.3 Centraltendens
Kvantitativa mått används ofta för att beskriva en datamängd. För att beskriva datamängdens centraltendens (”tyngdpunkt”) används ofta måttet medelvärde. (Det aritmetiska) medelvärdet för ett stickprov bestående av n observationer x1, x2, ... , xn från en större datamängd betecknas med x och definieras som n x=

∑x i =1

i

n

där Σ betyder ”summa”. Det sanna medelvärdet för en större datamängd – en population – bestående av N observationer x1, x2, ... , xN, betecknas med den grekiska bokstaven µ (uttalas ”my”) och definieras som N

ì=

∑x i =1

i

N

Man inser enkelt att medelvärde bara kan beräknas för data av kvantitativ karaktär. (Fundera själv på vad nytta du skulle ha av medelvärdet av spelarnas nummer i ditt favoritlag i fotboll!) När man arbetar med ordinaldata används därför ofta median som mått på centraltendensen. Medianen definieras som den observation under vilken 50% av den totala rangordnade datamängden ligger. I praktiken innebär medianen ”den mittersta” observationen när antalet observationer är udda. Om antalet observationer är jämnt definieras medianen som det aritmetiska medelvärdet av de två mittersta observationerna.

STUDENTER FÅR 10 KR RABATT
PÅ ALLA MEAL ÖVER 55 KR.
Kan ej kombineras med andra erbjudanden. Gäller endast för ett meal per köptillfälle och på medverkande
Burger King-restauranger i Sverige. Gäller under läsåret 06/07 mot uppvisande av giltig studentlegitimation.

Studentia.se freE-Learning

9

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Introduktion till statistik

Medianen kallas också för den 50:e percentilen, eftersom just 50% av observationerna har lägre värde. På samma sätt är 99:e percentilen den observation under vilken 99% av de observerade värdena ligger. Den 25:e respektive 75:e percentilen kallas dessutom för 1:a (eller ”nedre”) respektive 3:e
(eller ”övre”) kvartilen, eftersom 1 respektive 3 kvartar (fjärdedelar) av den totala datamängden har lägre värde. Medianen är således samma sak som 2:a kvartilen.
När nominaldata ska beskrivas kan den inte rangordnas, vilket innebär att man inte kan tala om någon median, percentil eller kvartil för datamängden. Som mått på centraltendens används då istället datamängdens typvärde, vilket är samma sak som det vanligaste förekommande värdet. Om flera värden är lika vanligt förekommande i en datamängd, och inget annat värde är mer vanligt förekommande, så är samtliga dessa värden typvärden för datamängden.
Observera att även om man inte kan tala om medelvärde för en nominaldatamängd så går det utmärkt att beskriva kvantitativ data med typvärde. På samma sätt har en mängd kvantitativ data en median, även om en ordinaldatamängd inte har något medelvärde. En ordinaldatamängd har däremot alltid ett typvärde (eller flera). Man kan alltså säga att det finns tre ”nivåer” av data, nämligen
1.
2.
3.

kvantitativ data ordinaldata, och nominaldata där man för varje nivå även kan använda de metoder som finns tillgängliga för data på lägre nivå, men aldrig metoder som hör till data på högre nivå.

1.4 Spridning
Två datamängder som har samma centraltendens kan ändå skilja sig åt avsevärt vad gäller de enskilda observationernas spridning. Jämför t.ex. följande datamängder:
Datamängd I: 5, 6, 6, 6, 6, 7.
Datamängd II: 1, 4, 6, 6, 8, 11.
Både I och II består av 6 observationer och har samma medelvärde, median och typvärde, nämligen
6. Men II kännetecknas av betydligt större spridning kring sin centraltendens. För att beskriva en datamängd är därför mått på spridningen kring centraltendensen ofta användbart.
Det finns ett antal olika mått på spridning. Om datamängden är lägst på ordinalnivån så kan man tala om intervallet – differensen mellan lägsta och högsta värdet i datamängden, eller interkvartila intervallet – differensen mellan 1:a och 3:e kvartilen. Ett betydligt mer användbart mått på den genomsnittliga spridning kring ett medelvärde när man arbetar med en kvantitativ datamängd är emellertid standardavvikelsen för datamängden. Standardavvikelsen för en population bestående av N observationer x1, x2, ... , xN, betecknas med den grekiska bokstaven σ (uttalas ”sigma”) och definieras som
N

ó=

Studentia.se freE-Learning

∑ ( x - ì) i =1

10

i

2

N

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Introduktion till statistik

Ju större spridningen är kring medelvärdet, desto större blir alltså värdet på standardavvikelsen.
Om datamängden utgörs av ett stickprov bestående av n observationer x1, x2, ... , xN, från en population med okänt µ betecknas stickprovets standardavvikelse med s och definieras som n s=

∑ (x i =1

− x )2

i

n −1

Anledningen till att man dividerar med n - 1 istället för n när man arbetar med stickprovsdata är att man måste justera för osäkerhet som beror på det faktum att vi skattar populationens sanna medelvärde µ med stickprovets medelvärde x i formeln. Man säger då att s beräknas med n - 1 frihetsgrader.
Ett mått som är relaterat till standardavvikelsen är variansen, som helt enkelt är standardavvikelsen i kvadrat. Variansen för en population respektive ett stickprov blir alltså
N

2

ó =

∑ ( x - ì) i i =1

2

N

respektive n s2 =

∑ (x i =1

i

− x )2

n −1

Det går ofta att dra ganska långtgående slutsatser om hur en datamängd ”ser ut” bara utifrån information om medelvärdet och standardavvikelsen. Den matematiska tesen Chebyshevs teorem säger t.ex. att det för alla datamängder, oavsett hur de är fördelade, gäller att minst 3 / 4 av de enskilda observationerna i datamängden kommer att ligga inom två standardavvikelser från datamängdens medelvärde. Teoremet säger också att minst 8 / 9 av de enskilda observationerna kommer att ligga inom tre standardavvikelser från medelvärdet.
Om man vet om att datamängden är rimligt ”klockformad”, d.v.s. hyfsat symmetrisk kring en topp, vilket fallet ofta är i många verkliga situationer, så säger den s.k. empiriska regeln att ungefär 2 /
3 av de enskilda observationerna i datamängden kommer att ligga inom en standardavvikelse från datamängdens medelvärde. Dessutom kommer ungefär 19 / 20 av de enskilda observationerna kommer att ligga inom två standardavvikelser från medelvärdet, och praktiskt taget alla att ligga inom tre standardavvikelser.

1.5 Skevhet
En fördelning kan vara symmetrisk (se figur 1.3). Ofta är fördelningar emellertid skeva, vilket innebär att spridningen inte är likadan på båda sidor om medelvärdet. En fördelning som är skev åt höger kommer i grafisk illustration att vara utsträckt åt höger (se figur 1.4), och tvärtom. I en fördelning som är skev åt höger kommer medelvärdet dessutom att vara högre än medianen, och tvärtom.

Studentia.se freE-Learning

11

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Introduktion till statistik

Figur 1.3
En symmetrisk fördelning

Figur 1.4
En fördelning som är skev åt höger

Studentia.se freE-Learning

12

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Introduktion till statistik

När en datamängd ska beskrivas är det ofta meningsfullt att inkludera ett mått på skevhet. Skevheten för en population bestående av N observationer x1, x2, ... , xN, med medelvärdet µ och standardavvikelsen s beräknas normalt som
3

 xi − ì 
/N
Skevhet = ∑  ó  i =1 

N

När värdet på skevhet är positivt så innebär det att populationen ifråga är skev åt höger, och tvärtom.
En helt symmetrisk fördelning har värdet 0 på skevheten.

1.6 Några exempel
Exempel 1.1
Under en följd av 12 dagar observerades följande antal dagliga köpare av bilar hos en viss bilhandlare:
1, 4, 1, 2, 6, 3, 2, 3, 2, 1, 4 och 2.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)

Vilken typ av data (nivå) är detta?
Vad är medelvärdet?
Vad är medianen?
Vad är typvärdet?
Beräkna σ.
Beräkna σ2.
Beräkna s.
Beräkna s2.
Beräkna skevheten.
Illustrera datamängden med ett stolpdiagram.
Kontrollera om Chebyshevs teorem stämmer.

Studentia.se freE-Learning

13

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Introduktion till statistik

Lösning
a)

Kvantitativ data.

b)

Medelvärde:

c)

Median: 2

d)

Typvärde: 2

e)

ó=

f)

σ2 = 1,4412 = 2,076

g)

s=

h)

s = 1,5052 = 2,265

i)

Skevhet = 
 / 3 +  1, 441  / 3 + ... +  1, 441  / 3 = 0, 920
 1, 441 





1+ 4 +1+ 2 + 6 + 3 + 2 + 3 + 2 +1+ 4 + 2
= 2, 583
12

(1 − 2,583) 2 + (4 − 2,583) 2 + (1 − 2,583) 2 + (2 − 2,583)2 + ... + (2 − 2,583)2
= 1, 441
12
(1 − 2, 583) 2 + (4 − 2, 583) 2 + (1 − 2, 583) 2 + (2 − 2, 583) 2 + ... + (2 − 2, 583) 2
= 1, 505
11
1 − 2, 583 

3

 4 − 2, 583 

3

 2 − 2, 583 

3

j)

5
4
3

Frekvens

2
1
0
1

k)

2

3

4

5

6

I intervallet som börjar vid 2,583 - 2 · 1,441 = -0,299 och slutar vid 2,583 + 2 · 1,441 =
5,465 täcker in 11 av de 12 observationerna, d.v.s. teoremet stämmer.

Studentia.se freE-Learning

14

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Introduktion till statistik

Exempel 1.2
Antalet barn per hushåll undersöktes i en viss stad, och resultatet framgår av tabellen nedan.
Antal barn
0

27

1

55

2

84

3

51

4

21

5

8

6

3

7

Studentia.se freE-Learning

Frekvens

1

15

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

a)
b)
c)
d)
e)

Introduktion till statistik

Illustrera datamängden med ett stolpdiagram.
Beräkna medelvärdet, medianen och standardavvikelsen för antalet barn per hushåll i staden.
Kontrollera om empiriska regeln stämmer.

Lösning
a)

90
80
70
60
50

Frekvens 40
30
20
10
0
0

1

2

3

4

5

6

7

Antal barn

b)

µ = 27 ⋅ 0 + 55 ⋅1 + 84 ⋅ 2 + ... + 1⋅ 7 = 2,1

c)

Median: Sorterar vi de enskilda observationerna i ordning kommer nr 1 – 27 att vara 0: or, nr 28 – 82 att vara 1:or, nr 83 – 166 att vara 2:or o.s.v. Medianen måste alltså vara en 2:a.

d)

ó=

e)

Enligt empiriska regeln ska ungefär 2 / 3 av observationerna ligga i intervallet som börjar vid 2,1 - 1,327 = 0,773 och slutar vid 2,1 + 1,327 = 3,427. Vi ser att (55 + 84 + 51) /
250 = 0,76 , så det stämmer hyfsat. Dessutom ska ungefär 19 / 20 av observationerna ligga i intervallet som börjar vid 2,1 - 2 · 1,327 = -0,554 och slutar vid 2,1 + 2 · 1,327 = 4,754.
Vi kan konstatera att det stämmer bra, eftersom (27 + 55 + 84 + 51 + 21) / 250 = 0,952.
Bortom tre standardavvikelser från medelvärdet hamnar endast en familj – den med 7 barn – så vi drar slutsatsen att empiriska regeln stämmer.

27 + 55 + 84 + ... + 1

27(0 − 2,1) 2 + 55(1 − 2,1) 2 + 84(2 − 2,1) 2 + (7 − 2,1) 2
= 1,327
27 + 55 + 84 + ... + 1

Studentia.se freE-Learning

16

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Sannolikhetslära

2. Sannolikhetslära
2.1 Inledning
En sannolikhet är ett mått på hur troligt det är att ett skeende som kan resultera i flera olika möjliga utfall leder fram till ett visst utfall. Sannolikheten för att en händelse A inträffar skrivs P(A). En sannolikhet uttrycks matematiskt som ett numeriskt värde mellan 0 och 1, eller mellan 0% och 100%.
Om sannolikheten för ett visst utfall är 75% så betyder det att detta utfall inträffar 3 gånger av 4 i det långa loppet. Att sannolikheten för händelsen A är 0,4 skrivs alltså P(A) = 0,4.
En beskrivning av de olika utfall som är möjliga för en viss slumpvariabel kallas utfallsrum. När man till exempel kastar två tärningar består utfallsrummet av 36 olika utfall, eftersom varje tärning har 6 olika sidor. En händelse utgörs av en delmängd av ett utfallsrum. Om man kastar två tärningar och bara är intresserad av det totala antalet prickar så motsvarar de 36 utfallen med tärningarna endast 11 olika händelser eftersom många av utfallen innebär samma sammanlagda antal prickar. Om tärning 1 visar en 5:a och tärning 2 visar en 2:a så är det ett annat utfall än – men ändå samma händelse som – om tärning 1 hade visat en 3:a och tärning 2 en 4:a. I båda fallen är ju sammanlagda antalet prickar 7.
Komplementet till en händelse innebär att händelsen inte inträffar. Händelsen A har komplementet A .
Enligt lagen om total sannolikhet är sannolikheten alltid 1 att en händelse eller dess komplement inträffar. För varje händelse A gäller alltså att P( A) + P( A) = 1 . Detta till synes självklara konstaterande är mycket användbart, som vi kommer att se senare.

2.2 Union och snitt
Unionen mellan ett antal händelser innebär ett utfall där minst en av händelserna inträffar. Vi betecknar unionen mellan händelserna A och B som A ∪ B .
Snittet mellan ett antal händelser innebär ett utfall där samtliga händelser inträffar. Vi betecknar snittet mellan händelserna A och B som A ∩ B . När händelser inte har något snitt säger man att de är ömsesidigt uteslutande, eller disjunkta. För unionen och snittet mellan två händelser gäller sambandet P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B )

eller, om man så vill,
P ( A ∩ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∪ B )

Dessutom gäller enligt lagen om total sannolikhet att
P( A ∪ B) = 1 − P( A ∩ B )

Studentia.se freE-Learning

17

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Sannolikhetslära

2.3 Oberoende händelser
Om två sannolikheter är oberoende så har den ena händelsens eventuella inträffande ingen påverkan på sannolikheten för huruvida den andra händelsen faktiskt inträffar. Två händelser A och B är oberoende om
P( A ∩ B) = P ( A) ⋅ P( B)

Exempel 2.1
Sannolikheten för att Yngve ska klara en viss tenta i statistik (händelse A) antas vara 80%. Sannolikheten för att han äter gröt till frukost när han ska ha tenta (händelse B) är 30%. Sannolikheten för att han antingen äter gröt eller klarar tentan (eller båda) är 86%. Råder det beroende mellan händelserna A och B?
Lösning
Nej, de är oberoende eftersom 0,8 + 0,3 – 0,86 = 0,8 · 0,3 = 0,24.

DOLLINGS

Studentia.se freE-Learning

18

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Sannolikhetslära

2.4 Betingade sannolikheter
En betingad sannolikhet är sannolikheten för att en viss händelse inträffar under förutsättning att en viss annan händelse inträffar. Den betingade sannolikheten för att händelse A inträffar givet att händelse B inträffar skrivs P(A|B) , och det gäller bland annat att
P( A | B) =

P( A ∩ B)
P( B)

Två händelser A och B är oberoende om
P ( A | B ) = P ( A)

Exempel 2.2
Visa att sannolikheten för att Yngve ska klara sin tenta i exempel 2.1 inte är beroende av huruvida han äter gröt till frukost med hjälp av oberoendesambandet för betingade sannolikheter.
Lösning
Det råder oberoende, eftersom P( A | B) =

0, 24
= 0,8 = P( A) .
0,3

2.5 Bayes teorem
Med hjälp av de samband vi har definierat hittills kan ett antal andra användbara samband härledas,
t.ex.


P( A) = P( A ∩ B) + P( A ∩ B ) (enligt lagen om total sannolikhet)



P( A) = P( B) ⋅ P( A | B ) + P( B ) ⋅ P( A | B ) (enligt lagen om total sannolikhet)



P( B | A) =

P( A | B) ⋅ P ( B)
(”Bayes teorem”).
P( A | B) ⋅ P( B) + P( A | B ) ⋅ P( B )

Exempel 2.3
Anta att sannolikheten att Ericssons B-aktie har gått upp på börsen under en viss dag är 0,55. Anta vidare att sannolikheten att Yngves aktierådgivning har gett ett köptips på aktien samma dag som aktien gått upp är 0,4. Vad är sannolikheten att aktien gått upp och att Yngves aktierådgiving under samma dag inte gett aktien ett köptips?
Lösning
Eftersom P( A) = P( A ∩ B) + P( A ∩ B ) så gäller att P( A ∩ B ) = P( A) − P( A ∩ B) . Låt A vara händelsen ”aktien går upp” och B vara händelsen ”köptips gavs”. Vi har då sannolikheten
P( A ∩ B ) = P( A) − P( A ∩ B ) = 0,55 − 0, 4 = 0,15 .

Studentia.se freE-Learning

19

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Sannolikhetslära

Exempel 2.4
Yngve räknar med att Ericssons B-aktie har sannolikheten 0,8 att gå upp under nästa månad om man presenterar en mobiltelefon baserad på ny teknik. Om man inte presenterar någon sådan telefon tror
Yngve att sannolikheten att aktien går upp är 0,4. Enligt Yngves säkra källor är sannolikheten att en tekniskt sett ny telefon presenteras under kommande år 0,25. Vad är sannolikheten att aktien går upp?
Lösning
Låt A vara händelsen ”aktien går upp” och B vara händelsen ”telefon presenteras”. Vi har då
P ( A) = P ( B ) ⋅ P ( A | B ) + P ( B ) ⋅ P ( A | B ) = 0, 25 ⋅ 0,8 + (1 − 0, 25) ⋅ 0, 4 = 0,5 .
Exempel 2.5
Att en aktie går upp kraftigt på börsen är sällsynt – sannolikheten för det är bara 0,3%. Yngve har därför utvecklat en prognosmodell för aktievärdering för att kunna hitta de kraftiga uppgångarna på börsen. När en aktie kommer att gå upp kraftigt förutspår Yngves prognosmodell det helt korrekt med 90% sannolikhet. Modellen är dock inte perfekt - när den tillämpas på en aktie som inte kommer att gå upp kraftigt så visar den ändå med 5% sannolikhet att aktien kommer att gå upp kraftigt. Hur sannolikt är det att en aktie går upp kraftigt om Yngves prognosmodell indikerar det?
Lösning
Låt B vara händelsen ”aktien går upp” och A vara händelsen ”modellen indikerar uppgång”. Vi har då sannolikheten
P( B | A) =
=

P( A | B) ⋅ P( B )
=
P ( A | B) ⋅ P( B) + P( A | B ) ⋅ P( B )
0,9 ⋅ 0, 003
= 0, 051
0,9 ⋅ 0, 003 + 0, 05 ⋅ (1 − 0, 003)

vilket innebär att Yngves modell faktiskt har fel ungefär 19 gånger av 20 när den indikerar kraftig uppgång. 2.6 Permutationer
Ett sätt på vilket ett visst antal element kan väljas ut i en viss ordning från en viss mängd element kallas för en permutation. Antalet olika permutationer som kan åstadkommas när r element ska väljas från en mängd bestående av n element betecknas nPr och beräknas med formeln nPr =

n!
(n − r )!

där n! = 1· 2 · 3 · ... · n.

Studentia.se freE-Learning

20

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Sannolikhetslära

Exempel 2.6
Per ska lackera sina tre bilar, en Opel, en Volvo och en Saab, i tre olika färger. Han kan välja mellan svart, blå, röd, vit, gul, grön och silvermetallic. Hur sannolikt är det att Opeln blir röd, Volvon svart och Saaben grön om Per väljer färger helt slumpmässigt?
Lösning
Eftersom det spelar roll vilken bil som får vilken färg rör det sig om permutationer. Per kan lackera sina bilar på
7!
= 210
(7 − 3)! olika sätt. Eftersom alla utfallen är lika sannolika är den sökta sannolikheten 1 / 210 = 0,00476.

2.7 Kombinationer
Om ordningen de utvalda elementen emellan saknar betydelse så kallas den utvalda mängden för en kombination. Antalet kombinationer som kan åstadkommas när r element ska väljas från en mängd
n
bestående av n element betecknas nCr eller   (vilket utläses ”n över r”) och beräknas med formeln
r

n n!  = r  r !(n − r )!


Studentia.se freE-Learning

21

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Sannolikhetslära

Exempel 2.7
I spelet Lotto dras 7 nummer av 35. Hur stor är sannolikheten att få 7 rätt på Lotto om man spelar en enkelrad bestående av 7 nummer?
Lösning
Eftersom det inte spelar någon roll i vilken ordning numren dras rör det sig om kombinationer.
Det finns

 35 
35!
= 6724520
 =
 7  7!(35 − 7)! sådana kombinationer. Sannolikheten att en spelad enkelrad på Lotto ger 7 rätt är alltså
1 / 6724520 = 0,000000148.

Studentia.se freE-Learning

22

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Diskreta fördelningar

3. Diskreta fördelningar
3.1 Inledning
Som framgick av kapitel 1 så kallar vi en variabel som får sitt värde via en slumpmässig process för slumpvariabel. En slumpvariabel kan vara diskret eller kontinuerlig. En diskret slumpvariabel kan bara anta vissa värden – oftast heltalsvärden – medan en kontinuerlig slumpvariabel kan anta vilket värde som helst inom ett visst intervall. En kontinuerlig slumpvariabel har alltså, till skillnad från en diskret, ett oändligt antal möjliga utfall. I detta kapitel ska vi titta på diskreta slumpvariabler.
Fördelningen, eller fördelningsfunktionen, för en diskret slumpvariabel X visar sannolikheten att den får det specifika värdet x, d.v.s. P(X = x) , för varje möjligt värde på x. Den kumulativa fördelningsfunktionen för en diskret slumpvariabel X betecknas med F(x) och visar sannolikheten att den får högst det specifika värdet x, d.v.s. F ( x ) = P ( X ≤ x) , för varje möjligt värde på x. Observera att det gäller att x F ( x) = P( X ≤ x ) = ∑ P ( X = x ) i =0

när X bara kan anta icke-negativa heltalsvärden. Observera också att det enligt lagen om total sannolikhet gäller att

∑ P( X = x) = 1

Alla x

3.2 Väntevärde och varians för en diskret slumpvariabel
Det förväntade värdet, eller väntevärdet, för en diskret slumpvariabel X betecknas med E(X) och utgörs allmänt av dess sanna vägda medelvärde där de enskilda utfallens sannolikheter används som vikter. Det gäller alltså att ì = E(X ) =

∑ x ⋅ P ( X = x)

Alla x

Variansen för en diskret slumpvariabel X, betecknad med V(X), är dess genomsnittliga kvadrerade avvikelse från medelvärdet. Vi har alltså ó2 = V (X ) =

∑ ( x − ì)

2

⋅ P ( X = x)

Alla x

En ekvivalent, men ibland beräkningsmässigt enklare formel för denna varians, är
V ( X ) = E ( X 2 ) − ( E ( X )) 2

Studentia.se freE-Learning

23

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Diskreta fördelningar

Standardavvikelsen för en diskret slumpvariabel X, betecknad med S(X) , är roten ur dess varians,
d.v.s.
ó = S(X ) = V (X )

Exempel 3.1
Specificera fördelningsfunktionen för antalet sexor som kommer upp när man kastar två tärningar?
Vad är medelvärdet och variansen?
Lösning
Låt X vara antalet sexor som kommer upp. Vi har då

P( X = 2) =

1 1 1
⋅ =
= 0, 0278
6 6 36

5 5 25
= 0, 6944 .
Enligt lagen om total sannolikhet
6 6 36
P ( X = 1) = 1 − (0, 6944 + 0, 0278) = 0, 2778 . Vi har alltså fördelningsfunktionen:

och P( X = 0) = ⋅ =

Antal sexor

0,6944

1

0,2778

2

således

Sannolikhet

0

är

0,0278

StudentSMS erbjuder dig gratis ett omfattande verktyg för att underlätta din studievardag!
• Du får meddelande till mobilen från din lärare om plötsligt inställda lektioner, salbyten etc
• Effektivisera dina arbeten med dina kursare via vårt projektverktyg • Få ordning och struktur på ditt studentliv med kalendern som också ger info om roliga events till mobilen
• StudentSMS hjälper dig att hitta bostad, extra jobb och exjobb

Allt detta och mycket, mycket mer får du gratis!
Registrera dig på: www.studentsms.se

Studentia.se freE-Learning

24

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Diskreta fördelningar

Fördelningsfunktionen kan beskrivas med ett stolpdiagram som i figur 3.1. Notera särskilt att summan av stolparnas höjder – enligt lagen om total sannolikhet – blir 1.
Figur 3.1
Stolpdiagram med sannolikhetsfördelning

0,8
0,7
0,6
0,5

Frekvens

0,4
0,3
0,2
0,1
0
0

1

2

Medelvärdet för antalet sexor som kommer upp blir
E ( X ) = 0 ⋅ 0, 6944 + 1 ⋅ 0, 2778 + 2 ⋅ 0, 0278 = 0,3333

med variansen

V ( X ) = (0 − 0,3333)2 ⋅ 0, 6944 + (1 − 0,3333)2 ⋅ 0, 2778 + (2 − 0,3333) 2 ⋅ 0, 0278 = 0, 2778

3.3 Binomialfördelningen
I exempel 3.1 kunde vi faktiskt ha beräknat väntevärdet och variansen för slumpvariabeln X på ett enklare sätt, eftersom X där uppfyllde vissa villkor. När ett skeende utfaller antingen ”positivt” eller ”negativt” med känd och konstant sannolikhet, och X är en slumpvariabel som räknar antalet positiva utfall i ett antal på varandra oberoende upprepningar av skeendet, då kommer X att följa binomialfördelningen. Sannolikheten är alltid 1 / 6 för att en tärning ska visa en sexa, och vi lät i exempel 3.1 X symbolisera antalet sexor efter två av varandra oberoende tärningskast. X var alltså en binomialfördelad slumpvariabel.
Vi betecknar med X~B(n, p) att X är en binomialfördelad slumpvariabel som räknar antalet positiva utfall efter n oberoende försök där sannolikheten för positivt utfall i varje enskilt försök är p. I exempel 3.1 hade vi alltså X~B(2, 0,1667). För X~B(n, p) gäller medelvärdet

och variansen

E( X ) = n ⋅ p
V ( X ) = n ⋅ p (1 − p )

Studentia.se freE-Learning

25

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Diskreta fördelningar

Vidare kan P(X = x) när X~B(n, p) beräknas som

n
P( X = x) =   p x (1 − p )( n − x )
 x
Exempel 3.2
Verifiera P(X = 1) samt E(X) och V(X) i exempel 3.1 med hjälp av binomialfördelningsformlerna.
Lösning
P( X = 1) =

2!
⋅ 0,16671 (1 − 0,1667)(2 −1) = 0, 2778
1!(2 − 1)!

E ( X ) = 2 ⋅ 0,1667 = 0, 3333

V ( X ) = 2 ⋅ 0,1667(1 − 0,1667) = 0, 2778

3.4 Poissonfördelningen
Om X~B(n, p) när p är mycket litet och n är mycket stort så kan talen blir så stora att miniräknare, eller
t.o.m. datorer, inte klarar av dem. Anta t.ex. att vi har n = 100 000 och p = 0,00004. Fakulteten 100
000! blir ett alltför stort tal för att kunna beräknas med normala hjälpmedel, så vi kan inte använda den vanliga binomialfördelningsformeln för att beräkna P(X = x) . Däremot kan vi lätt beräkna det förväntade värdet av den binomialfördelade variabeln som E(X) = n · p = 100000 · 0,00004 = 4.
Det finns emellertid en lösning på problemet. När X~B(n, p), n är stor och p är liten, men E(X) = n · p är ”lagom stor”, kommer slumpvariabeln X att approximativt följa den s.k. poissonfördelningen.
Tumregelmässigt, om n > 10, p < 0,1 och 0,01 < E(X) < 50, så kan binomialfördelningsformeln approximeras med

n e− ì ⋅ ì x
P( X = x) =   p x (1 − p )( n − x ) ≈ x!  x där µ = E(X) = n · p och e = 2,718281828… (se miniräknaren). Generellt gäller att en slumpvariabel
X kommer att följa poissonfördelningen om X symboliserar det antal gånger ett visst fenomen uppträder under ett avgränsat intervall i tiden eller rummet, och om sannolikheten för att fenomenet ska uppträda är densamma för alla intervaller av samma storlek och oberoende mellan fenomenets förekomster i olika intervaller råder. Variansen för en poissonfördelad variabel kommer att vara lika med väntevärdet, vilket enklast förklaras av att när p är mycket litet så är (1– p) mycket nära 1, varvid
V(X) = n · p(1– p) reduceras till V(X) = n · p = µ . En poissonfördelad slumpvariabel har alltså bara en parameter, µ. Att X är en poissonfördelad slumpvariabel med parametern µ betecknas X~Po(µ).

Studentia.se freE-Learning

26

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Diskreta fördelningar

Exempel 3.3
En viss process i en dator som körs en gång per sekund dygnet runt åstadkommer att datorn havererar med sannolikheten 1 på en miljon. Hur sannolikt är det att datorn havererar exakt en gång per månad
(30 dagar)?

Lösning
På en månad körs processen n = 60 · 60 · 24 · 30 = 2592000 gånger. Varje gång är sannolikheten för haveri p = 0,000001. Det genomsnittliga antalet haverier per månad är alltså µ = 2592000 · 0,000001
= 2,592. Om vi låter X beteckna antalet haverier per månad så vet vi att X~Po(2,592). Vi kan nu beräkna den sökta sannolikheten

P( X = 1) =

Studentia.se freE-Learning

e−2,592 ⋅ 2,5921
= 0,194
1!

27

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Diskreta fördelningar

3.5 Hypergeometriska fördelningen
Binomialfördelningen förutsatte att samma sannolikhet p gällde för positivt utfall i vart och ett av de n skeendena. När n element tas från en mängd som totalt innehåller N element, och där man på förhand vet att R element är ”positiva” och således att N – R är ”negativa”, så kommer sannolikheten för positivt utfall för det enskilda elementet att variera beroende på vilka element som redan tagits.
En slumpvariabel X som räknar antalet positiva utfall kommer då inte att följa binomialfördelningen.
Istället kommer X att följa den hypergeometriska fördelningen, betecknat med X~HG(n, R, N). För denna variabel gäller väntevärdet
E(X) = n · p och variansen
V ( X ) = n ⋅ p (1 − p )( N − n) /( N − 1)

där p = R / N. För X~HG(n, R, N) beräknas P(X = x) med hjälp av formeln

 R  N − R
  ⋅

 x  n−x 
P( X = x) =
N
 
n
Exempel 3.4
Vad är medelvärdet och variansen för antalet ess på given i vanlig mörkpoker? Hur stor är sannolikheten att du får triss i ess på given?
Lösning
Du har n = 5, R = 4 och N = 52. Låt X vara antalet ess på given. Vi kan då beräkna

p = 4 / 52 = 0,0769
E(X) = 5 · 0,0769 =0,3845
V ( X ) = 5 ⋅ 0, 0769(1 − 0, 0769)(52 − 5) /(52 − 1) = 0,3271

4!
48!

3!(4 − 3)! 2!(48 − 2)!
= 0, 0017
P( X = 3) =
52!
5!(52 − 5)!

Studentia.se freE-Learning

28

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Diskreta fördelningar

3.6 Geometriska fördelningen
Om vi har ett skeende med den konstanta sannolikheten p för positivt utfall, och slumpvariabeln
X istället räknar antalet gånger skeendet måste upprepas för att man ska få ett positivt utfall, då kommer X att följa den geometriska fördelningen. Detta betecknas med X~G(p). För X~G(p) gäller väntevärdet E(X) = 1 / p och variansen
V(X) = (1– p) / p2
För X~G(p) beräknas P(X = x) med hjälp av formeln
P( X = x) = p(1 − p ) x −1

Exempel 3.5
Yngve går en kurs i statistik. Han vet att han har 75% chans att klara tentan på kursen. Vad är väntevärdet och variansen för det antal gånger Yngve kommer att behöva skriva tentan. Hur sannolikt är det att han kommer att behöva skriva tentan exakt tre gånger?
Lösning
Låt X vara det antal gånger Yngve behöver skriva tentan tills han klarar den. Vi har då X~G(0,75) och kan beräkna
E ( X ) = 1/ 0, 75 = 1,3333

V ( X ) = (1 − 0, 75) / 0, 752 = 0, 4444

P( X = 3) = 0, 75(1 − 0, 75)3−1 = 0, 0469

3.7 Negativa binomialfördelningen
I geometriska fördelningen räknas antalet gånger ett skeende med den konstanta sannolikheten p för positivt utfall måste upprepas till dess att ett positivt utfall erhålls. Ibland är man emellertid intresserad av att fortsätta tills man har erhållit två eller fler positiva utfall. Om slumpvariabeln X istället räknar antalet gånger skeendet måste upprepas för att man ska få s positiva utfall, då kommer
X att följa den negativa binomialfördelningen. Detta betecknas med X~NB(s, p). För X~NB(s, p) gäller väntevärdet

Studentia.se freE-Learning

29

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Diskreta fördelningar

E(X) = s / p och variansen
V ( X ) = s (1 − p ) / p 2

För X~NB(s, p) beräknas P (X = x) med hjälp av formeln

 x − 1
P( X = x) = p s ⋅ (1 − p) x − s ⋅ 

 s −1
Exempel 3.6
Sannolikheten för att Yngve ska göra mål när han skjuter en straffspark är 0,6. Hur många straffsparkar måste han i genomsnitt skjuta för att han ska komma upp i 3 mål? Vad är variansen? Hur sannolikt är det att han måste skjuta exakt 7 straffar för att göra 3 mål?
Lösning
Låt X vara det antal straffar Yngve behöver skjuta tills han gjort 3 mål. Vi har då X~NB(3, 0,6) och kan beräkna
E ( X ) = 3 / 0, 6 = 5

V ( X ) = 3(1 − 0, 6) / 0, 62 = 3,3333



6!
P( X = 7) = 0, 63 ⋅ (1 − 0, 6)7 −3 ⋅ 
 = 0, 0829
 2!(6 − 2)! 

3.8 Additions- och multiplikationsformler
Om c är en konstant och X och Y är slumpvariabler så gäller sambanden
E ( X + Y) = E (X) + E (Y)
E (c · X) = c · E (X)
V (c · X) = c2 · V (X)
V (c + X) = V (X)
Om X och Y dessutom är oberoende så gäller sambanden
E (X · Y) = E (X) · E(Y)
V (X + Y) = V (X) + V (Y)

Studentia.se freE-Learning

30

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Diskreta fördelningar

Det sista sambandet är mycket användbart. I ord säger det alltså att variansen för summan av två slumpvariabler är lika med summan av slumpvariablernas varianser. Man säger därvid att varianser är additiva.
Exempel 3.7
Yngve och hans bror Steve arbetar som bilförsäljare på olika bilfirmor. Medelvärdet för Yngves försäljning är 1,2 bilar per dag med standardavvikelsen 0,3 bilar. Steve säljer 1,6 bilar med standardavvikelsen 0,8 bilar. Vad är medelvärdet och standardavvikelsen för brödernas sammanlagda dagliga bilförsäljning?
Lösning
Låt X vara Yngves och Y Steves dagliga bilförsäljning. För deras sammanlagda dagliga prestation har vi då medelvärdet
E ( X + Y ) = E ( X ) + E (Y ) = 1, 2 + 1, 6 = 2,8

och variansen

V ( X + Y ) = V ( X ) + V (Y ) = 0,32 + 0,82 = 0, 7300 och således standardavvikelsen 0, 7300 = 0,8544 . Observera att standardavvikelser inte är additiva, d.v.s. 0,3 + 0,8 ≠ 0,8544 . Man måste alltid gå vägen över varianserna för att kunna utnyttja additiviteten. Studentia.se freE-Learning

31

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Kontinuerliga fördelningar

4. Kontinuerliga fördelningar
4.1 Inledning
I det här kapitlet ska vi studera kontinuerliga slumpvariabler. En kontinuerlig variabel får sitt värde som resultat av en mätning som i princip kan göras med hur stor noggrannhet som helst. Därför går det inte att specificera ett utfallsrum i termer av ett antal specifika utfall på samma sätt som för en diskret variabel. Utfallsrummet för en kontinuerlig variabel måste istället uttryckas som det intervall inom vilket variabelns värde kan hamna.
Fördelningen för en kontinuerlig slumpvariabel X åskådliggörs ofta med dess sannolikhetskurva f (x), som ibland även kallas täthetsfunktion. För f (x) gäller följande:
1.





f ( x)dx = 1

−∞

2.

P( X < a) =

a



−∞

3.

f ( x)dx b P(a < X < b) = ∫ f ( x)dx . a Uttryckt i ord så innebär det följande:
1.

Den totala ytan under en sannolikhetskurva är alltid lika med 1 eftersom kurvan är den kontinuerliga motsvarigheten till det diskreta stolpdiagrammet med relativa frekvenser där stolparnas höjder kan summeras till 1. Tankemässigt kan man således tänka sig en sannolikhetskurva som ett stolpdiagram med ett oändligt antal stolpar där varje stolpe är oändligt smal.

2.

Sannolikheten att en kontinuerlig slumpvariabel X får ett värde lägre än ett specifikt värde a motsvaras av ytan under sannolikhetskurvan från lägsta möjliga värde på x upp till och med a.

3.

Sannolikheten att en kontinuerlig slumpvariabel X får ett värde högre än a men lägre än ett annat specifikt värde b motsvaras av ytan under sannolikhetskurvan mellan a och b.

4.2 Exponentialfördelningen
I föregående kapitel såg vi hur den geometriska fördelningen kunde användas för att räkna på vilket genomsnittligt antal gånger ett visst skeende måste upprepas för att skeendet ska resultera i ett positivt utfall när sannolikheten för positivt utfall i varje enskilt skeende p är känd. Den kontinuerliga motsvarigheten till detta problem är att räkna på den förväntade återstående tiden till en viss händelse som inträffar slumpmässigt i tiden där händelsens genomsnittliga intensitet är känd.
Om vi låter slumpvariabeln X symbolisera den återstående tiden mätt i någon tidsenhet till en händelse som i medeltal inträffar med medelvärdet µ gånger per tidsenhet så kommer X att följa exponentialfördelningen, vilket vi betecknar med X~EXP(µ).

Studentia.se freE-Learning

32

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Kontinuerliga fördelningar

För X~EXP(µ) så gäller medelvärdet
E ( X ) = 1/ ì

och variansen

V ( X ) = 1/ ì 2

Vidare kan P (X > x) när X~EXP(µ) beräknas som

P ( X > x) = e( − x⋅ ì )

Exponentialfördelningens sannolikhetskurva framgår av figur 4.1.

Studentia.se freE-Learning

33

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Kontinuerliga fördelningar

Figur 4.1
Exponentialfördelningens sannolikhetskurva

f(x)

x

Exempel 4.1
Anta att en viss maskin har en så hög driftssäkerhet att den endast måste repareras i genomsnitt 0,5 gånger per år. Hur sannolikt är det då att den återstående tiden till reparation vid ett visst tillfälle kommer att vara längre än 1,5 år?
Lösning
Vi låter slumpvariabeln X symbolisera tiden mellan varje reparation. Vi har då E(X) = 1/0,5 = 2 , och således X~EXP(0,5). Vi kan nu beräkna den sökta sannolikheten som

P( X > 1,5) = e −1,5⋅ 0,5 = 0, 4723

4.3 Normalfördelningen
Om en slumpvariabel X definieras som summan av n slumpvariabler med en viss godtycklig fördelning samt medelvärdet µ och standardavvikelsen σ så kommer X att följa normalfördelningen med medelvärdet µ · n och standardavvikelsen ó ⋅ n om det är så att n är stort. Detta faktum kallas centrala gränsvärdessatsen (CGS) och är med stor säkerhet den viktigaste statistiska lag du någonsin kommer att stöta på. Oavsett vilken slags fördelning de enskilda slumpvariablerna i summan kommer från så kommer deras summa alltså alltid att vara en slumpvariabel som är fördelad på samma sätt om antalet enskilda slumpvariabler är stort. Normalfördelningen är kontinuerlig och sannolikhetskurvan för en normalfördelad slumpvariabel är ”symmetriskt klockformad”, vilket framgår av figur 4.2.

Studentia.se freE-Learning

34

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Kontinuerliga fördelningar

Figur 4.2
Normalfördelningens sannolikhetskurva

f(x)

x
Vad menar vi då med att n ska vara stort? Jo, ju mer ”olik” de enskilda slumpvariablernas fördelning är en normalfördelning, desto större måste n vara för att deras summa ska vara en normalfördelad slumpvariabel. Om den ursprungliga fördelningen är relativt lik en normalfördelning räcker det normalt att n ≥ 5. Om man inte känner till vilken den ursprungliga fördelningen är, eller har anledning att anta att den är mycket sned eller på annat sätt är olik en normalfördelning, så krävs att n är betydligt större. En vanlig tumregel är att summan av 30 eller fler slumpvariabler från en och samma fördelning alltid kan antas vara en normalfördelad slumpvariabel.
Att CGS är viktig kommer att framgå tydligt längre fram när vi tittar på hur man kan analysera stickprovsmedelvärden. Eftersom täljaren i ett stickprovsmedelvärde är just en variabelsumma där de enskilda variabelvärdena kommer från samma fördelning så kan ett stickprovsmedelvärde ofta antas vara just en normalfördelad slumpvariabel oavsett vilken typ av fördelning den population som stickprovet är hämtat från kännetecknas av. När man kan anta att en viss slumpvariabel är normalfördelad underlättas nämligen analysen av variabeln avsevärt, vilket vi kommer att se i detta avsnitt. Det är dock inte alls bara teoretiska variabelsummor som är normalfördelade. Många olika slag av slumpvariabler ”ute i verkligheten” följer approximativt (ungefärligen) normalfördelning. Generellt gäller att om värdet på en slumpvariabel påverkas av många oberoende faktorer, där ingen enskild faktor har stor inverkan i förhållande till någon annan på slumpvariabelns värde, då kommer slumpvariabeln att vara approximativt normalfördelad.
Att X är en normalfördelad slumpvariabel med medelvärdet µ och standardavvikelsen σ betecknar vi med X~N(µ, σ). Teoretiskt sett finns alltså ett oändligt antal normalfördelningar – en för varje kombination av värden på µ och σ. Detta illustreras i figurerna 4.3 och 4.4. I figur 4.3 finns sannolikhetskurvorna för tre normalfördelningar med µ = 0 men olika σ. I figur 4.4 finns sannolikhetskurvorna för två normalfördelningar med samma σ men med µ = -1 respektive µ = 1.

Studentia.se freE-Learning

35

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Kontinuerliga fördelningar

Figur 4.3
Tre normalfördelningar med samma medelvärde men med olika standardavvikelser. f(x) x

Figur 4.4
Tre normalfördelningar med olika medelvärden men med samma standardavvikelser. f(x) x

4.4 Standardnormalfördelningen
Den enskilt viktigaste normalfördelningen är standardnormalfördelningen som har medelvärdet 0 och standardavvikelsen 1. Den är standard såtillvida att den enkelt kan användas för att analysera varje annan normalfördelad slumpvariabel, vilket vi kommer att titta på i de två nästföljande avsnitten.
Den standardnormalfördelade slumpvariabeln är så viktig att den har ett eget ”namn”, nämligen Z.
Vi definierar alltså Z~N(0, 1). Med hjälp av tabell A1 i appendix kan man enkelt utläsa ytan under standardnormalfördelningens sannolikhetskurva för Z > z för z > 0. Denna yta är då samma sak som
P(Z > z).

Studentia.se freE-Learning

36

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Kontinuerliga fördelningar

Observera att det gäller att
P( Z < −a) = P ( Z > a) = 1 − P( Z < a )

och att
P ( a < Z < b) = 1 − P ( Z < a ) − P ( Z > b)

för godtyckliga värden på a och b.
Exempel 4.2
Ta med hjälp av tabell A1 fram sannolikheterna P( Z > 0, 4) , P( Z > −1, 63) och P (0, 38 < Z < 1,12) .
Lösning
P ( Z > 0, 4) = 0, 3446

P( Z > −1, 63) = 1 − P ( Z > 1, 63) = 1 − 0, 0516 = 0,9484

P (0, 38 < Z < 1,12) = 1 − P ( Z < 0, 38) − P ( Z > 1,12) = 1 − (1 − P ( Z > 0, 38)) − P ( Z > 1,12) =

= 1 − (1 − 0, 3520) − 0,1314 = 0, 2206

Studentia.se freE-Learning

37

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Kontinuerliga fördelningar

4.5 Transformering till standardnormalfördelning
Det finns ett oändligt antal normalfördelade slumpvariabler, men varje slumpvariabel X~N( µ , σ ) kan transformeras till Z~N(0, 1) vilket ger oss möjlighet att analysera X med hjälp av tabell A1. Denna transformering görs på följande sätt:

Z=

X −ì ó Exempel 4.3
Anta att X~N(42, 5). Använd transformering till Z för att finna P(X > 50).
Lösning
50 − 42 
 X − ì 50 − ì 

P( X > 50) = P 
>
 = PZ >
 = P ( Z > 1, 6) = 0, 0548 ó 
5 
 ó


4.6 Transformering från standardnormalfördelning
I föregående avsnitt transformerade vi en godtycklig normalfördelad slumpvariabel X till Z så att tabell A1 skulle kunna användas för att få fram en sannolikhet. Men transformering kan också göras åt andra hållet. Genom att arrangera om uttrycket för transformation från X till Z ovan så får vi nämligen
X = ì + Z ⋅ó

Således kan vi transformera ett specifikt värde på z från tabell A1 till ett specifikt värde på x för varje
X~N( µ , σ ) med hjälp av sambandet
X = ì + z ⋅ó

Exempel 4.4
Anta att X~N(42, 5). Vilket värde på x innebär att P(X > x) = 0,33?
Lösning
Från tabell A1 utläser vi att P(X > x) = 0,33 gäller för z = 0,44. Vi får då

x = ì + z ⋅ ó = 42 + 0, 44 ⋅ 5 = 44, 2
Alltså gäller det att P(X > 44,2) = 0,33.

Studentia.se freE-Learning

38

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Kontinuerliga fördelningar

4.7 Normalfördelningsapproximation av binomialfördelningen
Som vi såg i föregående kapitel om diskreta fördelningar så är binomialfördelningen svårhanterlig när n är stor. Om det samtidigt gäller att n är stor och p är liten så kunde vi approximera binomialfördelningen med en poissonfördelning. Om n är stor och p inte är mycket liten (eller mycket stor) så kan vi istället utnyttja det faktum att binomialfördelningen närmar sig normalfördelningen när n blir större.
När n är stort kan vi därför använda approximationen
X~B(n, p) ≈ X~N (n ⋅ p, n ⋅ p (1 − p ) )
En vanlig tumregel är att denna approximation får användas om det samtidigt gäller att n · p ≥ 5 och n(1 – p) ≥ 5. Eftersom normalfördelningen är kontinuerlig och binomialfördelningen är diskret måste man dock göra en s.k. kontinuitetskorrigering, vilket innebär att man låter varje diskret värde motsvaras av ett kontinuerligt intervall ±0,5 kring det diskreta värdet.
Exempel 4.5
Yngve kastar en tärning 1200 gånger. Vad är sannolikheten att han får minst 220 sexor?
Lösning
Sannolikheten för en sexa i ett enskilt kast är 1 / 6 = 0,1667. Om vi låter X beteckna antalet sexor så vet vi att X~B(1200, 0,1667). Tumregelmässigt får vi approximera X med normalfördelning eftersom n ⋅ p = 1200 ⋅ 0,1667 = 200 ≥ 5

och n(1 − p ) = 1200(1 − 0,1667) = 1000 ≥ 5

Vi kan alltså använda approximationen
X~B(1200, 0,1667) ≈ X~N(200, 12,91) eftersom

1200 ⋅ 0,1667 ⋅ 0,8333 = 12, 91

P(X ≥ 220) måste dock kontinuitetskorrigeras till P(X > 219,5) när normalfördelningen ska användas.
Vi får då sannolikheten

219,5 − 200 

P( X > 219,5) = P  Z >
 = P( Z > 1,51) = 0, 0655
12,91 


Studentia.se freE-Learning

39

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Kontinuerliga fördelningar

4.8 Normalfördelningsapproximation av poissonfördelningen
Även poissonfördelningen kan ofta approximeras med normalfördelningen, vilket gör att man kan undvika besvärliga beräkningar med poissonformeln. En tumregel för att få använda denna approximation är att poissonfördelningens väntevärde ska vara minst 10, men approximationen bli bättre ju större väntevärdet är. Approximationen blir då
X~Po(µ) ≈ X~N ( ì, ì )
Kontinuitetskorrigering måste dock göras eftersom poissonfördelningen är diskret.
Exempel 4.6
Yngve möter i genomsnitt 18 människor på sin dagliga morgonpromenad. Vad är sannolikheten att han möter minst 25 människor en viss morgon?
Lösning
Om vi låter slumpvariabeln X beteckna antalet möten så kommer X~Po(18). Eftersom 18 är större än 10 kan vi approximera X med normalfördelningen så att X~N (18, 18) . Vi kontinuitetskorrigerar och kan sedan beräkna

24,5 − 18 

P( X ≥ 24,5) = P  Z >
 = P( Z > 1,53) = 0, 0630
18 


Studentia.se freE-Learning

40

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Kontinuerliga fördelningar

4.9 Fördelningen för ett stickprovsmedelvärde
Ett stickprovsmedelvärde X kan ses som en slumpvariabel, eftersom upprepad stickprovstagning kommer att resultera i olika faktiska värden på x vid olika tillfällen p.g.a. att slumpen styr vilka element som hamnar i stickprovet. Om ett slumpmässigt stickprov om totalt n observationer tas från en population med medelvärdet µ och standardavvikelsen σ så kommer stickprovsmedelvärdet X enligt CGS att vara en normalfördelad slumpvariabel med medelvärdet µ och standardavvikelsen ó ⋅ n om n är stort. Om n är litet men ursprungspopulationen är någorlunda lik en normalfördelning så kommer också stickprovsmedelvärdet att vara en normalfördelad slumpvariabel med medelvärdet µ och standardavvikelsen ó ⋅ n . Storheten ó ⋅ n kallas i stickprovsanalys ofta för ”medelfelet” för att inte förväxlas med ursprungspopulationens standardavvikelse σ.
När stickprovsmedelvärdet X är en normalfördelad slumpvariabel så kan den naturligtvis transformeras till Z, d.v.s.
Z=

X −ì ó/ n

Observera att man dividerar med medelfelet ó ⋅ n , eftersom det är det som är standardavvikelsen för slumpvariabeln X .
I praktiken när man arbetar med stickprov så känner man nästan aldrig till ursprungspopulationens sanna standardavvikelse σ, vilket innebär att man inte kan göra Z-transformationen ovan, men om man vet att populationen är approximativt normalfördelad kan man istället beräkna stickprovets standardavvikelse och använda den istället för σ i transformationen. Resultatet blir en slumpvariabel som kommer att följa den s.k. t-fördelningen. Slumpvariabeln t, definierad som t= X −ì s/ n

kommer alltså att vara en t-fördelad slumpvariabel med n – 1 frihetsgrader (df). För slumpvariabeln t gäller väntevärdet
E(t) = 0 för df > 1 och variansen

V (t ) =

fg fg − 2

för df > 2. Sannolikhetskurvan för t-fördelningen blir mer och mer lik sannolikhetskurvan för
Z-fördelningen ju större df är, vilket framgår av tabell A2 där värden på t för olika antal frihetsgrader och olika återstående andelar av ytan under kurvan i högra svansen åskådliggörs.

Studentia.se freE-Learning

41

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Kontinuerliga fördelningar

Exempel 4.7
Anta att ett stickprov med n = 12 som tas från en normalfördelad population med okänd σ har µ = 35.
Om s = 9, vad är sannolikheten att stickprovet visar x ≥ 45.
Lösning
Vi kan beräkna

t=

x−ì s/ n

=

45 − 35
9 / 12

= 3, 85

med 12 – 1 = 11 df. I tabell A2 ser vi att det för df = 11 gäller att P(t > 3,1058) = 0,005. Eftersom
3,85 > 3,1085 så är sannolikheten alltså mindre än 0,005 att ett stickprov under de aktuella omständigheterna kommer att visa x ≥ 45.

Sveriges största informationsportal om studier och karriär i Sverige och utomlands!

Läs mer på www.syoguiden.com! Studentia.se freE-Learning

42

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Konfidensintervall

5. Konfidensintervall
5.1 Inledning
Statistikämnets grundpelare kan sägas vara skattning av det sanna värdet för någon populationsparameter,
t.ex. ett medelvärde, med hjälp av slumpmässiga stickprov från populationen. (Stickprov antas i denna bok alltid vara slumpmässiga om inget annat sägs.) En punktskattning innebär just att skatta värdet på en sann populationsparameter med motsvarande parametervärde för ett stickprov från populationen.
Om värdet på den aktuella parametern i stickprovet i genomsnitt kan förväntas vara lika med den sanna populationsparameterns värde så sägs stickprovsparameterns värde vara väntevärdesriktigt.
Om det finns något som åstadkommer en systematisk avvikelse för stickprovsparameterns värde i förhållande till populationsparameterns sanna värde så är den alltså inte väntevärdesriktig.
Problemet är att även ett väntevärdesriktigt stickprovsvärde normalt är en slumpvariabel, vilket innebär att det värde man får med hjälp av stickprovet normalt kommer att avvika i lägre eller högre grad från populationens sanna värde. För att få en bild av hur osäker en punktskattning faktiskt är i en viss situation kompletteras den ofta med ett intervall kring det punktskattade värdet inom vilket den sanna populationsparametern ligger med en viss sannolikhet (konfidens). Ett sådant intervall kallas konfidensintervall, och skattning av en sann populationsparameter med hjälp av ett konfidensintervall brukar kallas intervallskattning. Begreppet konfidens innebär alltså ”sannolikheten att man har rätt” när man t.ex. skattar en populationsparameter med hjälp av ett intervall. Ett begrepp som är nära relaterat till konfidens är signifikans, vilket helt enkelt är komplementet till konfidens, således alltså
”sannolikheten att man har fel”. Signifikans är ett mycket viktigt begrepp i den statistiska inferensen, och vi kommer att använda det flitigt längre fram i denna bok. Signifikansnivå brukar generellt betecknas med α (uttalas ”alfa”). Konfidensnivån i en viss situation är således 1 – α.
I detta kapitel ska vi nu titta närmare på teorin bakom konfidensintervall och på hur några olika slag av konfidensintervall konstrueras.

5.2 Konfidensintervall för populationsmedelvärde när σ är känd
Om ett stickprov med storleken n tas från en population med standardavvikelsen σ så kommer stickprovsmedelvärdet att vara en normalfördelad slumpvariabel med standardavvikelsen (medelfelet) ó / n om populationen kan antas vara approximativt normalfördelad eller om stickprovsstorleken n är stor. Hur utnyttjar vi den kunskapen för att konstruera ett konfidensintervall kring stickprovets medelvärde med t.ex. 95% konfidens?
Av tabell A1 kan vi utläsa att P(Z > z) = 0,025 för z = 1,96. Det innebär att sannolikheten att en normalfördelad slumpvariabel får ett värde som ligger mer än 1,96 standardavvikelser ovanför medelvärdet är 2,5%. Eftersom normalfördelningen är symmetrisk ryms därför tydligen 95% av utfallsrummet för en normalfördelad slumpvariabel inom ett intervall motsvarande 1,96 standardavvikelser åt respektive håll från medelvärdet. Om X kan antas vara en normalfördelad slumpvariabel så kommer 95% av alla värden på X som är möjliga att få alltså att ligga i intervallet ì ± 1,96 ⋅ ó / n . Med andra ord – sannolikheten att det stickprovsmedelvärde x vi får för ett visst stickprov kommer med 95% sannolikhet att ligga i intervallet ì ± 1,96 ⋅ ó / n . Om x med 95% sannolikhet finns i intervallet ì ± 1,96 ⋅ ó / n så ligger x alltså mindre än ì ± 1,96 ⋅ ó / n åt endera

Studentia.se freE-Learning

43

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Konfidensintervall

hållet från µ, och i så fall kommer µ att täckas in av intervallet x ± 1,96 ⋅ ó / n med just 95% sannolikhet. Intervallet x ± 1,96 ⋅ ó / n är alltså ett 95% konfidensintervall för µ, eftersom µ med
95% sannolikhet kommer att finnas i detta intervall.
Vill man konstruera intervallet med en annan konfidensnivå väljer man helt enkelt ett annat z-värde från tabell A1.
Generellt när X är normalfördelad och σ är känd så beräknas ett konfidensintervall för µ med konfidensnivån 1 – α som x ± zá / 2 ⋅ ó / n

där zα / 2 är det z-värde från tabell A1 för vilket P( Z > zα / 2 ) = α / 2.
Exempel 5.1
Ett stickprov med n = 18 från en approximativt normalfördelad population med σ = 75 visar att x = 225. Intervallskatta µ med 99% konfidens.
Lösning
Vi ska använda konfidensnivån 1 – α = 0,99, vilket innebär att α = 1 – 0,99 = 0,01. Från tabell A1 får vi då zα / 2 = z0,005 = 2,58, vilket innebär att konfidensintervallet blir x ± zá / 2 ⋅ ó / n = 225 ± 2, 58 ⋅ 75 / 18 = 225 ± 45, 61 ,

d.v.s. [179,39 , 270,61].

5.3 Konfidensintervall för populationsmedelvärde när σ inte är känd
I de flesta praktiska situationer är σ okänd när µ ska skattas för en viss population. Som framgick av föregående kapitel kan σ då skattas med s om populationen är approximativt normalfördelad, varvid t-fördelningen kan användas istället för Z-fördelningen för att analysera situationen. Logiken för konstruktion av konfidensintervall är exakt densamma som när σ är känd – den enda skillnaden är att konstanten zα / 2 ersätts med motsvarande konstant från t-fördelningen, d.v.s. tα / 2 med aktuellt antal df, eftersom medelfelet nu måste skrivas som s / n . I och med att osäkerheten i skattningen därmed är större så blir konfidensintervallet vidare.
Generellt när X är normalfördelad och σ är okänd så beräknas ett konfidensintervall för µ med konfidensnivån 1 – α som x ± tá / 2 ⋅ s / n

där tα / 2 är det t-värde från tabell A2 för vilket P(t > tα / 2) = α / 2 med df = n – 1.

Studentia.se freE-Learning

44

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Konfidensintervall

Exempel 5.2
Ett stickprov med n = 18 från en approximativt normalfördelad population visar att x = 225 och s = 75. Intervallskatta µ med 99% konfidens.
Lösning
Vi har df = 18 – 1 = 17, och vi ska använda konfidensnivån 1 – α = 0,99, vilket innebär att α = 1 – 0,99
= 0,01. Från tabell A2 får vi då tα / 2 = t0,005 = 2,8982, vilket innebär att konfidensintervallet blir x ± tá / 2 ⋅ s / n = 225 ± 2 ,8982 ⋅ 75 / 18 = 225 ± 51, 23

d.v.s. [173,77 , 276,23].

5.4 Konfidensintervall för populationsproportion
Ofta är man intresserad av att kartlägga vilken andel av en population som uppfyller ett visst villkor.
Ett vanligt exempel är undersökningar som syftar till att skatta andelen röstberättigade medborgare som skulle rösta på ett visst parti om det vore val idag. Den sanna andelen av en population som uppfyller ett visst villkor betecknar vi med p, eftersom det är konceptuellt sett samma sak som sannolikheten att ett slumpmässigt utvalt element från populationen uppfyller det aktuella villkoret.
Det är alltså precis samma p som vi har sett tidigare i binomialfördelningen, och det är rent teoretiskt just binomialfördelningen som ska ligga till grund för ett konfidensintervall kring den stickprovsproportion, d.v.s. andelen element i stickprovet som uppfyller det aktuella villkoret. En
ˆ
stickprovsproportion betecknar vi med p .

Studentia.se freE-Learning

45

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Konfidensintervall

Problemet är att binomialfördelningen inte är symmetrisk, och att det är komplicerat att beräkna konfidensintervall baserat på denna fördelning. Som vi har sett tidigare kan binomialfördelningen emellertid approximeras med normalfördelningen när stickprovsstorleken är stor, vilket tumregelmässigt är fallet när n p ≥ 5 och n(1 – p) ≥ 5. Eftersom p är okänd så använder vi istället
ˆ
ˆ tumregeln att det ska gälla att n p ≥ 5 och n(1 – p ) ≥ 5.
Medelfelet för p blir teoretiskt sett n ⋅ p (1 − p ) / n =

p (1 − p ) / n

ˆ men vi förlorar en frihetsgrad när p skattas med p , så för att skattningen av medelfelet ska bli väntevärdesriktig måste vi dividera med n – 1 istället för med n, och resultatet blir att vi skattar
ˆ
ˆ
ˆ
medelfelet för p med uttrycket p (1 − p ) /(n − 1) .

Ett generellt konfidensintervall för p med konfidensnivån 1 – α kan därför beräknas som
ˆ
ˆ
ˆ
p ± zá / 2 ⋅ p (1 − p ) /( n − 1)

där zα / 2 är det z-värde från tabell A1 för vilket P(Z > zα / 2 ) = α / 2.
Exempel 5.3
I en undersökning där 240 slumpvis utvalda svenskar deltog visade sig 54 sympatisera med moderaterna. Ange ett 95% konfidensintervall för den sanna andelen moderata sympatisörer i Sverige vid det aktuella tillfället.
Lösning
ˆ
Vi har punktskattningen p = 54 / 240 = 0,225. Vi ska använda konfidensnivån 1 – α = 0,95, vilket innebär att α = 1 – 0,95 = 0,05. Från tabell A1 får vi då zα / 2 = z0,025 = 1,96, vilket innebär att konfidensintervallet blir

ˆ
ˆ
ˆ p ± zá / 2 ⋅ p(1 − p) /(n − 1) = 0, 225 ± 1,96 ⋅ 0, 225(1 − 0, 225) /(240 − 1) = 0, 225 ± 0,053

d.v.s. [0,172 , 0,278].

5.5 Konfidensintervall för ändliga populationer
Anta att det stickprov om n element vi har tagit utgör en relativt stor andel av en total ändlig population som vi vet uppgår till N element. Jämfört med de tidigare fallen, där vi implicit har antagit att populationen är oändlig (eller i alla fall mycket stor i förhållande till stickprovsstorleken) så kommer osäkerheten nu att vara mindre.
Man kan visa att ett korrekt sätt att hantera denna situation är att justera den aktuella stickprovsparameterns medelfel genom att multiplicera det med faktorn ( N − n) / N . Det innebär konkret att ett konfidensintervall blir snävare ju större andel av den totala populationen som ingår i

Studentia.se freE-Learning

46

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Konfidensintervall

stickprovet. Om hela populationen ingår så har vi en totalundersökning, och då blir medelfelet 0 efter den nämnda justeringen, vilket är logiskt eftersom någon osäkerhet då inte finns.
Tumregelmässigt bör man alltid göra denna justering om stickprovsstorleken utgör mer än 5% av den totala populationen.
Exempel 5.4
Ett stickprov med n = 12 från en approximativt normalfördelad population bestående av 20 element visar att x och s = 1,5. Intervallskatta µ med 95% konfidens.
Lösning
Vi har df = 12 – 1 = 11, och α = 1 – 0,95 = 0,05. Medelfelet blir efter justering
( N − n) / N ⋅ s / n = (20 − 12) / 20 ⋅1,5 / 12 = 0,1732

Från tabell A2 får vi då tα / 2 = t0,025 = 2,2010, vilket innebär att konfidensintervallet blir
7,3 ± 2, 2010 ⋅ 0,1732 = 7,3 ± 0,3812

d.v.s. [6,9188, 7,6812].

5.6 Att bestämma stickprovsstorlek
När X är normalfördelad och σ är känd så beräknas ett konfidensintervall för µ som x ± zá / 2 ⋅ ó / n .
Storheten zá / 2 ⋅ ó / n kallas vanligen för skattningens felmarginal, eftersom den visar hur stor punktskattningen avvikelse från sanna medelvärdet som högst kan vara med aktuell konfidensnivå.
Vi betecknar felmarginalen med B, och från
B = zá / 2 ⋅ ó / n

kan vi bryta ut n, vilket ger n = ( zá / 2 ⋅ ó / B ) 2

Om vi känner till, eller kan åstadkomma en rimlig skattning av, σ så kan detta uttryck utnyttjas för att bestämma minsta möjliga stickprovsstorlek vid en på förhand bestämd signifikansnivå och önskad felmarginal. På samma sätt kan vi utnyttja vetskapen om att felmarginalen för en populationsproportion är
B = zá / 2 ⋅ p (1 − p ) / n

från vilket vi på samma sätt som ovan kan bryta ut n, vilket ger n = ( zá / 2 ⋅ p (1 − p ) / B) 2

Studentia.se freE-Learning

47

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Konfidensintervall

som en formel för att kunna beräkna det n som uppfyller kraven på precision och säkerhet förutsatt att den vanliga normalfördelningsapproximationen får användas. Observera dock att en rimlig gissning av p måste göras för att man ska kunna använda denna formel. Om en sådan inte enkelt låter sig göras bör man använda försiktighetsprincipen och sätta p = 0,5 när formeln tillämpas.
Exempel 5.5
Yngve vill skatta den genomsnittliga längden på sina tio tusen röda rosor i trädgården med 95% konfidens och en felmarginal på högst 2,5 cm. Han har anledning att tro att σ = 15 cm. Hur många rosor bör Yngve ha med i stickprovet?
Lösning
n = ( zá / 2 ⋅ ó / B ) 2 = (1,96 ⋅15 / 2,5) 2 = 138,3

d.v.s. minst 139 rosor bör ingå i stickprovet.
Exempel 5.6
Yngve har ingen aning om hur stor andelen taggiga rosor i hans trädgård är, varför han vill skatta denna andel med 90% konfidens och en felmarginal på högst 0,03. Hur stort stickprov bör han ta?
Lösning
n = ( zá / 2 ⋅ p (1 − p ) / B) 2 = (1, 65 ⋅ 0,5(1 − 0,5) / 0, 03) 2 = 756, 25

d.v.s. minst 757 rosor bör ingå i stickprovet.

Studentia.se freE-Learning

48

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Hypotestest

6. Hypotestest
6.1 Inledning
I föregående kapitel tittade vi på hur stickprov från en population kan användas för att skatta en populationsparameter. Detta kan ses som en naturlig övergång från den beskrivande statistiken till den analytiska statistiken. I detta kapitel ska vi ta steget fullt ut och introducera principen om statistisk inferens, d.v.s. hur man med hjälp av stickprov kan dra konkreta slutsatser om värdet på olika populationsparametrar.
Grunden för den statistiska inferensen är hypotestesten. En hypotestest är precis vad ordet säger – en test av en hypotes. Med hypotes avses ett initialt antagande om värdet på en populationsparameter.
Så länge tillräckligt starka bevis inte har presenterats mot detta initiala antagande så måste man anta att antagandet kan vara sant. Det initiala antagandet kallas därför vanligen för nollhypotes, och betecknas med H0. Jämför gärna med den klassiska rättsprincipen ”hellre fria än fälla” som innebär att en åtalad ska frikännas om åklagaren inte har kunnat presentera tillräckligt starka bevis
(”bortom rimligt tvivel”) mot den åtalade. Ett frikännande betyder inte att domstolen konstaterar att den åtalade är oskyldig, bara att sannolikheten inte är tillräckligt stor för att man ska kunna dra slutsatsen att denne är skyldig.
Först om domstolen finner bevisningen såpass stark att det är bevisat bortom rimligt tvivel att den åtalade är skyldig, då fälls denne. Enligt samma logik genomförs en hypotestest. När vi testar en nollhypotes så tar vi ett stickprov och beräknar sannolikheten att få just de stickprovsdata vi faktiskt fick om det är så att nollhypotesen är sann. Om denna sannolikhet är tillräckligt låg så förkastar vi nollhypotesen och drar därmed slutsatsen att komplementet till nollhypotesen – den s.k. mothypotesen, betecknad med H1 – är sann. En hypotestest baseras alltså på att man har formulerat en nollhypotes och dess mothypotes, och att nollhypotesen kan testas med statistiska metoder.
Exempel 6.1
Yngve vill använda stickprov för att se om andelen röda rosor i hans trädgård kan antas utgöra mer än 50% av det totala antalet rosor. Hur ska han formulera sina hypoteser?
Lösning
H0: p ≤ 0,5
H1: p > 0,5
En sak bör dock särskilt observeras här: Om H0 i denna situation inte kan förkastas så har Yngve inte bevisat att andelen röda rosor är högst 50%, bara att risken att det kan vara så är för stor för han ska kunna påstå motsatsen. Detta är ett klassiskt fel som man tyvärr ofta ser folk göra när de använder hypotestest. Den enda gången man kan dra en konkret slutsats på basis av en hypotestest är när man kan förkasta H0, varvid man drar slutsatsen att H1 är sann. Kan H0 däremot inte förkastas så kan man inte dra någon annan slutsats än att bevisen inte var tillräckligt starka för att H0 skulle kunna förkastas.

Studentia.se freE-Learning

49

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Hypotestest

När hypoteser formuleras måste H0 och H1 uppenbarligen vara varandras komplement. Det är dock viktigt att tänka på att det är H0 som måste innehålla alternativet med likhet, och resonemanget i föregående stycke förklarar på sätt och vis varför. Man kan nämligen aldrig bevisa med hjälp av stickprov att en viss populationsparameter är lika med ett visst värde – för att kunna dra en sådan slutsats måste man alltid ta till en totalundersökning. Men om stickprovsdatan talar mot H0 tillräckligt mycket ska man dra slutsatsen att det är H1 som är sann. H1 måste därför alltid formuleras som en olikhet, och alternativet med likhet ska därför alltid återfinnas i H0.

6.2 Fel av typ I och typ II
När man testar en hypotes finns i de flesta fall en risk att man gör fel. Jämför återigen med rättsprincipen
”hellre fria än fälla” där beviskravet är ”skyldig bortom rimligt tvivel”. Även om domstolen finner det troligt att en åtalad är skyldig så ska denne frikännas om det finns rimligt tvivel på dennes skuld.
Och tvärtom – även om domstolen bara får fälla när den finner att det bortom rimligt tvivel är så att en åtalad är skyldig så händer det trots allt ibland att oskyldiga döms till straff. Uppenbarligen finns det två typer av fel som kan göras: Man kan frikänna en person som egentligen var skyldig, och man kan fälla en person som egentligen var oskyldig.
När det gäller hypotestest talar man om fel av typ I och fel av typ II, vilka har sina direkta motsvarigheter i exemplet i stycket ovan. Att förkasta H0 och därmed konkludera att H1 är sann innebär ett typ I-fel om det är så att H0 är sann. Att istället låta bli att förkasta en nollhypotes som egentligen inte var sann innebär ett typ II-fel. I de flesta fall kan ett typ I-fel sägas vara allvarligare än ett typ II-fel, eftersom man i det första fallet faktiskt drar en konkret slutsats. Detta illustreras av principen ”hellre fria än fälla”, eftersom ett typ I-fel motsvarar att döma en oskyldig, medan ett typ II-fel motsvaras av att frikänna en skyldig.
När man ska genomföra en hypotestest bestämmer man en konkret gräns för hur stor sannolikheten för ett typ I-fel får vara – den s.k. signifikansnivån α. Idén är sedan att analysera den stickprovsdata man har med lämpliga metoder och därmed beräkna sannolikheten för att få minst så pass extrema data som man faktiskt har fått om det är så att H0 faktiskt är sann. Denna sannolikhet kallas p-värde.
Beslutsregeln är sedan enkel: Om testets p-värde är lägre än α, då förkastas H0.
Sannolikheten för att en viss test leder till ett typ II-fel brukar betecknas med ß. Sannolikheten 1 – ß,
d.v.s. sannolikheten att en viss test undviker typ II-fel, brukar kallas testens styrka. Vi kommer att återkomma till detta begrepp längre fram.

6.3 Test av ett populationsmedelvärde när σ är känd
Anta vi vet att det för en viss population gäller att σ = 5, att vi har tagit ett stickprov med n = 50 och x = 201,3, och att vi nu vill genomföra hypotestesten
H0: µ ≤ 200
H1: µ > 200

Studentia.se freE-Learning

50

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Hypotestest

Vad är sannolikheten att få minst ett så pass extremt stickprovsmedelvärde som 201,3 när n = 50 och σ = 5 om det är så att sanna medelvärdet är 200? Det tar vi reda på med en vanlig Z-transformation, eftersom vi får anta att x är en normalfördelad slumpvariabel med medelfelet 5 / 50 eftersom stickprovet är stort:


201,3 − 200 
P (Z > z ) = P  Z >
 = P( Z > 1,84) = 0, 0329
5 / 50 

Sannolikheten för att få minst ett så pass extremt stickprovsmedelvärde om sanna medelvärdet faktiskt är 200 är alltså 0,0329. Det är det som är det här testets p-värde. Om vi på förhand hade bestämt oss för att arbeta med signifikansnivån 0,05, d.v.s. vi vill vara minst 95% säkra på att ha rätt om vi förkastar H0, så ska vi i detta fall förkasta H0 och dra slutsatsen att H1 är sann, eftersom
0,0329 < 0,05.
I detta fall använde vi Z som testvariabel. Som vi kommer att se längre fram finns olika slag av testvariabler, och valet av testvariabel beror på vilken typ av situation man står inför.
Faktum är att vi egentligen inte behövde räkna ut p-värdet för att kunna genomföra den här hypotestesten. Beslutsregeln är ju att förkasta H0 om p-värdet är lägre än α, och om vi vet vilket värde på testvariabeln som exakt motsvarar ett p-värde lika med α (det s.k. kritiska värdet för testvariabeln) så vet vi att H0 ska förkastas om testvariabelns framräknade värde är mer extremt (d.v.s. avlägset från 0) än dess kritiska värde. Även om vi då inte känner till det exakta p-värdet så vet vi att p-värdet i alla fall är lägre än α. I exemplet ovan säger man att testet görs i normalfördelningens högra svans, eftersom högre värden på Z ger lägre p-värden när H1 är av karaktären ”större än”.

Studentia.se freE-Learning

51

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Hypotestest

Generellt kan sambandet mellan testens H1 och sättet på vilket den genomförs sammanfattas enligt följande: Om H1 är {1. ”större än”, 2. ”mindre än”, 3. ”skild från”} så genomförs hypotestesten i {1. högra,
2. vänstra, 3. både högra och vänstra} svansen av testvariabelns fördelning, vilket innebär att testens p-värde blir lägre ju {1. större, 2. mindre, 3. mer extremt åt endera hållet} testvariabelns värde är.
Vilket är då det kritiska Z-värdet för detta test, d.v.s. vilket är det värde som det med stickprovsdata framräknade Z-värdet måste överstiga för att p-värdet ska vara lägre än α? Enligt tabell A1 går gränsen för de mest extrema 5% i Z-fördelningens högra svans vid värdet 1,65, d.v.s. z0,05 = 1,65.
Eftersom vi med hjälp av det stickprov vi har tagit kan beräkna testvärdet

z=

201,3 − 200
5 / 50

= 1,84

så vet vi att testets p-värde är lägre än α = 0,05 eftersom z > zα, d.v.s. 1,84 > 1,65. Detta innebär att
H0 ska förkastas, och det exakta p-värdet saknar egentligen betydelse. Båda sätten att genomföra hypotestester ger naturligtvis alltid samma slutsats, men beroende på situationen så är det ena sättet ofta enklare att använda än det andra. Detta kommer att framgå av den fortsatta framställningen.

6.4 Test av ett populationsmedelvärde när σ inte är känd
I praktiken är σ nästan alltid okänd när µ okänd. Vi kan då inte använda Z som testvariabel som i avsnitt 6.3. För att kunna göra en hypotestest av µ måste vi nu istället använda oss av stickprovets standardavvikelse s och basera testet på t-fördelningen, förutsatt att populationen som stickprovet kommer från kan antas vara approximativt normalfördelad. Vi räknar då fram ett t-värde för den stickprovsdata vi har med uttrycket

t=

x − ì0 s/ n

där µ är den konstant som vi testar mot i våra hypoteser. Sedan jämförs testets t-värde med ta, det kritiska t-värdet för den aktuella signifikansnivån och antalet df. Om testets t-värde är mer extremt än det kritiska t-värdet så förkastas H0.
Exempel 6.2
Ett stickprov med n = 17 från en approximativt normalfördelad population visar att x och s = 5,2.


Kan man med α = 0,05 dra slutsatsen att µ = 25 med α = 0,05?



Kan man med α = 0,05 dra slutsatsen att µ ≠ 24 med α = 0,05

Studentia.se freE-Learning

52

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Hypotestest

Lösning
Vi har hypoteserna
H0: µ ≤ 25
H1: µ > 25 vilket innebär att testet genomförs i t-fördelningens högra svans.
Kritiskt t för df = 17 – 1 = 16 och signifikansnivån 0,05 kan från tabell A2 avläsas till t0,05 = 1,7459.
Testets t-värde beräknas till

t=

x − ì0 s/ n

=

26, 92 − 25
5, 2 / 17

= 1, 52

vilket innebär att H0: µ ≤ 25 inte kan förkastas då 1,52 < 1,7459. Observera återigen att detta inte betyder att vi på något sätt skulle ha ”bevisat” att µ ≤ 25, bara att bevisen mot denna hypotes inte är tillräckligt starka för att vi ska kunna förkasta den.
Om vi istället vill kontrollera om det går att dra slutsatsen att µ ≠ 3 så får vi hypoteserna
H0: µ = 24
H1: µ ≠ 24 vilket innebär att testet genomförs i t-fördelningens båda svansar (en s.k. tvåsidig test). Detta beror på att tillräckligt extrema avvikelser i stickprovmedelvärde såväl uppåt som nedåt från de 25 som H0 antar leder till att H0 ska förkastas.
Vi får därmed två kritiska t-värden med α = 0,05, nämligen tα/2 = t0,025 = 2,1199 och
– tα/2 = – t0,025 = – 2,1199. Testets t-värde blir t= 26,92 − 24
5, 2 / 17

= 2,32

och eftersom testets t-värde är mer extremt än ett av de kritiska t-värdena, d.v.s. 2,1199 < 2,32, så ska H0: µ = 24 förkastas. Vi har tillräckligt starka bevis för att kunna dra slutsatsen att µ ≠ 24.

6.5 Test av en populationsproportion – stort stickprov
Vid hypotestest av hur den sanna populationsproportionen p förhåller sig till ett visst värde p0 så kan normalfördelningsapproximation användas när stickprovsstorleken är stor. Testvariabeln blir då Z, och testets z-värde beräknas med hjälp av stickprovsdata med formeln
Z=

ˆ p − p0 p0 (1 − p0 ) / n

ˆ där p är stickprovsproportionen och n är stickprovsstorleken.

Studentia.se freE-Learning

53

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Hypotestest

Exempel 6.3
I en undersökning där 240 slumpvis utvalda svenskar deltog visade sig 54 sympatisera med moderaterna. Kan man med 99% säkerhet dra slutsatsen att den sanna andelen moderata sympatisörer i Sverige vid det aktuella tillfället är lägre än 30%?
Lösning
Vi har hypoteserna
H0: p ≥ 0,30
H1: p < 0,30
ˆ
och p = 54 / 240 = 0,225. Testet utförs i Z-fördelningens vänstra svans, vilket innebär att det kritiska
Z-värdet enligt tabell A1 blir – zα = – z0,01 = – 2,33. Testets Z-värde blir

Z=

ˆ p − p0 p0 (1 − p0 ) / n

=

0, 225 − 0, 30
0, 30(1 − 0, 30) / 240

=

−0, 075
= −2, 53
0, 0296

varvid vi förkastar H0 och drar slutsatsen att p < 0,30 eftersom – 2,33 > – 2,53.

Studentia.se freE-Learning

54

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Hypotestest

6.6 Test av en populationsproportion – litet stickprov
Vid hypotestest av hur den sanna populationsproportionen p förhåller sig till ett visst värde p0 så måste binomialfördelningen användas när stickprovsstorleken är liten. Vi beräknar då p-värdet för det aktuella testet direkt såsom sannolikheten att faktiskt erhålla just det antal positiva utfall som vi faktiskt fick eller ett ännu mer extremt antal, i den totala mängden utförda försök om det är så att H0 faktiskt är sann. Är detta p-värde lägre än signifikansnivån så förkastas H0.
Exempel 6.4
En skojare på torget har tre koppar på ett bord. Under en av kopparna finns en kula, och folk slår vad om pengar med skojaren att de kan gissa under vilken kopp kulan finns när skojaren har flyttat runt kopparna ett tag. Gissar man på rätt kopp så får man dubbla insatsen tillbaks, annars får man ingenting. När folk gissat på en kopp vänds denna upp, och om kulan inte fanns där så visar skojaren under vilken av de båda andra kopparna kulan fanns för att demonstrera att det inte var något fusk.
Du har observerat att folk väldigt ofta gissar på fel kopp, och bestämmer dig för att göra ett experiment.
Du spelar spelet med skojaren 7 gånger och blundar varje gång medan han flyttar runt kopparna för att sedan välja en kopp slumpmässigt. Två av de 7 gångerna gissade du rätt. Kan man på basis av denna data med α = 0,1 dra slutsatsen att spelet är orättvist för spelarna?
Lösning
Vi låter p vara sannolikheten att spelaren gissar på rätt kopp vid slumpmässigt val av kopp. Vi får då hypoteserna H0: p ≥ 1/3
H1: p < 1/3
Sannolikheten att få högst 2 positiva utfall vid 7 successiva oberoende försök när p = 1/3 beräknas med binomialfördelningsformeln till
2
7
P( X ≤ 2) = ∑   (1/ 3) x (1 − (1/ 3))(7 − x ) = 0,5707 x=0  x 

Eftersom 0,1 < 0,5707 så har vi inte tillräckligt starka bevis för att kunna förkasta H0 och därmed kunna dra slutsatsen att spelet är orättvist för spelarna.

6.7 Test av en populationsvarians
Ibland är det spridningen i en population man vill kunna uttala sig om. Den fördelning som normalt används för att testa en populationsvarians när populationen i sig kan antas vara approximativt normalfördelad är chitvå-fördelningen, eller som den oftare skrivs med hjälp av det grekiska alfabetet, χ2-fördelningen. χ2 är i sig en kontinuerlig slumpvariabel vars fördelning formellt sett är sannolikhetsfördelningen för summan av flera oberoende Z-fördelade slumpvariabler som kvadrerats, därav tvåan i χ2. I tabell A3 illustreras, på samma sätt som för t-fördelningen i tabell A2, de kritiska värdena för χ2-fördelningen vid olika antal frihetsgrader och olika värden på α.

Studentia.se freE-Learning

55

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Hypotestest

2
När en hypotestest behandlar en populationsvarians, t.ex. om vi har H0: ó 2 = ó 0 , så är det alltså χ2
2
som är testvariabel. Testets χ -värde beräknas enligt formeln

÷2 =

(n − 1) s 2
2
ó0

vilket relateras till kritiskt χ2-värde med n – 1 df vid aktuell signifikansnivå α. Om testets χ2-värde är mer extremt än det kritiska χ2-värdet så förkastas H0.
Vidare kan ett konfidensintervall för σ2 för en normalfördelad population på nivån 1 – α definieras som
 (n − 1) s 2 (n − 1) s 2 
, 2


2
÷1− á / 2 
 ÷á/2

med n – 1 df. χ2-fördelningen används även vid andra typer av tester, vilket vi kommer att se längre fram i denna bok.
Exempel 6.5
I en produktionsprocess bör outputen bland annat kännetecknas av en varians under 75 för att allt ska anses vara normalt. Ett stickprov med n = 10 ger en stickprovsvarians på 26,4. Kan man med α = 0,05 dra slutsatsen att sanna variansen understiger 75? Beräkna också ett 95% konfidensintervall för sanna variansen.
Lösning
Vi har hypoteserna
H0: σ2 ≥ 75
H1: σ2 < 75
Testet genomförs i χ2-fördelningens vänstra svans, eftersom H1 är av karaktären ”mindre än”. Testets χ2-värde blir
(10 − 1) ⋅ 26, 4
÷2 =
= 3,168
75
och det kritiska χ2-värdet blir det värde som avgränsar de lägsta 5%, d.v.s. de högsta 95%, i χ22 fördelningen med 10 – 1 = 9 df, vilket kan avläsas från tabell A3 till ÷ 0,95 = 3,325. Detta innebär att
H0 förkastas, eftersom 3,325 > 3,168.
Ett 95% konfidensintervall beräknas enligt formeln som

 (10 − 1) ⋅ 26, 4 (10 − 1) ⋅ 26, 4  = [12,49, 88,00]
 19, 023 ,

2, 700



Studentia.se freE-Learning

56

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Hypotestest

6.8 Test av två populationsvarianser
Ibland är man intresserad av att testa hur två varianserna från två oberoende populationer förhåller
2
2 sig till varandra. Om vi kallar de båda populationsvarianserna ó1 och ó 2 så finns det konceptuellt
2
2
2
2
2
2 sett tre tänkbara nollhypoteser att testa, nämligen H0: ó1 = ó 2 , H0: ó1 ≤ ó 2 och H0: ó1 ≥ ó 2 .
Speciellt den förstnämnda har stor betydelse, vilket kommer att framgå längre fram i detta kapitel.
Denna typ av test kallas för F-test och baseras på det faktum att kvoten mellan stickprovsvarianserna
2
2 s12 och s2 , baserade på stickprovsstorlekarna n12 och n2 , följer den s.k. F-fördelningen (eller Fishers
F-fördelning) om populationerna är approximativt normalfördelade. Slumpvariabeln F definieras alltså som s2 F = 12 s2 2

med n1 – 1 df i täljaren och n2 – 1 df i nämnaren. Om F–värdet för viss testdata är större än 1 så
2
2
2
indikerar det att det kan vara så att ó12 > ó 2 , och tvärtom. Test av hypotesen H0: ó1 ≤ ó 2 utförs alltså i F-fördelningens högra svans, och tvärtom.
2

Kritiska värden för F-fördelningens högra svans finns i tabell A4 – A9 för olika värden på α där kolumnrubrikerna representerar täljarens df och radrubrikerna motsvarar nämnarens df. Kritiska värden för vänstra svansen fås enkelt via sambandet

F1− á =

Studentia.se freE-Learning

57

1


www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Hypotestest

Exempel 6.6
2
2
Antag att vi har tagit stickprov med n1 = 11 och n2 = 15 från två oberoende populationer som kan
2
2 antas vara approximativt normalfördelade. Antag vidare att vi har s1 = 18 och s2 = 41. Kan vi då
2
2 med α = 0,05 dra slutsatsen att ó1 < ó 2 ?

Lösning
Vi har hypoteserna
2
2
H0: ó1 ≥ ó 2
2
2
H1: ó1 < ó 2

och testet görs således i F-fördelningens vänstra svans med 11 – 1 = 10 df i täljaren och 15 – 1 = 14 df i nämnaren. Kritiskt F-värde blir då
F1− á =

1
1
=
= 0 , 3846
Fá 2 , 60

Testets F-värde blir
F=

18
= 0, 439
41

vilket innebär att H0 inte kan förkastas eftersom 0,3849 < 0,439.

6.9 Test av två populationsmedelvärden – lika standardavvikelser
En t-test kan också användas för att med hjälp av stickprovsdata analysera skillnad i medelvärde mellan två av varandra oberoende populationer där båda populationerna är approximativt normalfördelade. Även här finns konceptuellt sett tre olika slags nollhypoteser som kan testas, nämligen
H0: µ1 – µ2 = D, H0: µ1 – µ2 ≤ D, och H0: µ1 – µ2 ≥ D, där D är just den differens mellan de sanna populationsmedelvärdena som man vill testa för. Man är ofta intresserad av att använda D = 0, vilket innebär att man testar om det finns någon skillnad mellan de båda populationernas medelvärden över huvud taget.
När vi ska testa någon av dessa nollhypoteser så måste vi först bestämma oss för om vi ska anta att de båda populationernas standardavvikelser ska antas vara lika eller ej. Detta kan man med fördel Ftesta med hjälp av den stickprovsdata man har enligt föregående avsnitt (kom ihåg att variansen bara är kvadraten på standardavvikelsen). Om man kan anta att standardavvikelserna är lika så börjar man med att ta fram den sammanvägda stickprovsstandardavvikelsen sp såsom

sp =

varefter testets t-värde beräknas som t= Studentia.se freE-Learning

2
(n1 − 1) s12 + (n2 − 1) s2 n1 + n2 − 2

( x1 − x2 ) − D s p (1/ n 1 +1/ n2 )

58

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Hypotestest

med n1 + n2 – 2 df. Det kritiska t-värdet hämtas som vanligt från tabell A2. Ett 1 – α konfidensintervall för den sanna skillnaden µ1 – µ2 kan sedan beräknas som

( x1 − x2 ) ± tá / 2 s p (1/ n 1 +1/ n2 ) med n1 + n2 – 2 df.
Exempel 6.7
Stickprov från två olika populationer, som kan antas vara approximativt normalfördelade, med stickprovsstorlekarna n1 = 8 och n2 = 7 ger att x1 = 18,6, x2 = 19,9, s1 = 1,6 och s2 = 0,9. Kan man med α = 0,05 dra slutsatsen att µ1 < µ2 om man antar att populationernas sanna standardavvikelser är lika? Beräkna ett konfidensintervall för µ1 = µ2.
Lösning
Vi har hypoteserna

H0: µ1 – µ2 ≥ 0
H1: µ1 – µ2 < 0 (samma sak som µ1 < µ2)
Den sammanvägda stickprovsstandardavvikelsen sp blir

sp =

(8 − 1)1, 62 + (7 − 1)0,92
= 1,3237
8+7−2

varefter testets t-värde kan beräknas

t=

(18, 61 − 19,9) − 0
1,3237 (1/ 8 + 1/ 7)

=

−1,3
= −1,8976
0, 6851

H1 är av karaktären ”mindre än” vilket innebär att testet görs i t-fördelningens vänstra svans. Kritiskt t-värde för α = 0,05 och 8 + 7 – 2 = 13 df är enligt tabell A2 -1,7709. Eftersom -1,7709 > -1,8976 förkastas H0. Ett 95% konfidensintervall blir
(18, 6 − 19, 9) ± 2,1604 ⋅1, 3237 (1/ 8 + 1/ 7) = −1, 3 ± 1, 48 = [-2,78 , 0,18]

Studentia.se freE-Learning

59

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Hypotestest

6.10 Test av två populationsmedelvärden – olika standardavvikelser
När de sanna populationsstandardavvikelserna kan antas vara olika används respektive stickprovsstandardavvikelse direkt i beräkningen av testets t-värde: t= ( x1 − x2 ) − D
2
s12 / n1 + s2 / n2

Antalet frihetsgrader beräknas sedan till df =

2
( s12 / n1 + s2 / n2 ) 2
2
( s12 / n1 ) 2 /(n1 − 1) + ( s2 / n2 ) 2 /(n2 − 1)

vilket alltid ska avrundas nedåt om resultatet inte blir ett heltal. Ett 1 – α konfidensintervall för den sanna skillnaden µ1 – µ2 kan sedan beräknas som
( x1 − x2 ) ± tá / 2 s p (1/ n 1 +1/ n2 )

Studentia.se freE-Learning

60

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Hypotestest

Exempel 6.8
Räkna om exempel 6.7 under förutsättning att de sanna populationsstandardavvikelserna inte antas vara lika.
Lösning
Som innan har vi hypoteserna
H0: µ1 – µ2 ≥ 0
H1: µ1 – µ2 < 0
Testets t-värde kan nu beräknas till t= (18, 61 − 19,9) − 0
2

2

(1, 6 / 8 + 0,9 / 7)

=

−1,3
= −1,9695
0, 6601

och antalet frihetsgrader blir df =

(1, 62 / 8 + 0,92 / 7) 2
0,1898
=
= 11, 2976
2
2
2
2
(1, 6 / 8) /(8 − 1) + (0,9 / 7) /(7 − 1) 0, 0168

som ska avrundas nedåt till 11. Kritiskt t-värde avläses från tabell A2 till -1,7959 och H0 ska därmed förkastas eftersom -1,7959 > -1,9695. Ett 95% konfidensintervall blir nu

(18, 6 − 19,9) ± 2, 2010 (1, 62 / 8 + 0,92 / 7) = −1,3 ± 1, 45 = [-2,75 , 0,15]

6.11 Test av parvisa observationer
I många situationer är det naturligt att göra parvisa observationer. Ett enkelt exempel är ”före-efter”analyser. Det mest exakta sättet att analysera hur en viss parameter påverkas av en viss behandling är att mäta parameterns värde hos n slumpmässigt utvalda objekt före behandlingen och sedan mäta igen efter behandlingen för alla n objekten. På så vis kan man dra slutsatser om sanna parametervärdet före behandlingen i förhållande till sanna parametervärdet efter behandlingen.
Generellt innebär parvisa observationer att man för ett stickprov om n element observerar värdet för samma parameter vid två olika tillfällen. Vid analys av parvisa skillnader utgår man från medelvärdet av de n enskilda parvisa observationernas differenser. Vid analys av skillnad mellan två oberoende grupper utgår man, som vi såg i de båda föregående avsnitten, istället från differensen mellan stickprovsmedelvärdena för de båda grupperna som helhet. Som tidigare finns konceptuellt sett tre olika slags nollhypoteser som kan testas, nämligen H0: µ1 – µ2 = D, H0: µ1 – µ2 ≤ D, och H0: µ1 – µ2
≥ D, där D är just den differens mellan de sanna populationsmedelvärdena som man vill testa för.

Studentia.se freE-Learning

61

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Hypotestest

I princip görs detta genom att göra en enkel t-test på differenserna. Man beräknar alltså den genomsnittliga differensen d för de n observationerna samt dess standardavvikelse sd. Testets tvärde beräknas sedan som t= (d − D )
( sd / n )

med n – 1 df. Ett 1 – α konfidensintervall för den sanna skillnaden µ1 – µ2 kan sedan beräknas som d ± t á / 2 ( sd / n )

Exempel 6.9
En viss affärskedja med sex butiker genomför en reklamkampanj. Omsättningen veckan före respektive veckan efter kampanjen i de olika butikerna framgår av nedanstående tabell:
Butik nr

Före

Efter

1

2,6

3,1

2

2,2

2,3

3

3,7

4,4

4

2,8

2,7

5

2,7

2,9

6

3,1

3,5

Kan man med α = 0,05 dra slutsatsen att reklamkampanjen har ökat den genomsnittliga omsättningen i butikskedjan? Beräkna även ett 95% konfidensintervall för skillnaden i omsättning före och efter reklamkampanjen. Lösning
Låt µ vara den sanna omsättningen veckan före, och µ2 veckan efter. Vi får då hypoteserna
H0: µ2 – µ2 ≥ 0
H1: µ2 – µ2 < 0

Studentia.se freE-Learning

62

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Hypotestest

Differenserna framgår av tabellen nedan:
Butik nr

Före

Efter

Differens

1

2,6

3,1

-0,5

2

2,2

2,3

-0,1

3

3,7

4,4

-0,7

4

2,8

2,7

-0,1

5

2,7

2,9

-0,2

6

3,1

3,5

-0,4

Medelvärdet av differenserna blir

d =

−0,5 + (−0,1) + ... + (−0, 4)
= − 0,3
6

med standardavvikelsen

sd =

(−0,5 − (−0,3)) 2 + ... + (−0,5 − (−0, 4)) 2
= 0, 2898
6 −1

Testets t-värde blir då

t=

(−0,3 − 0)
(0, 2898 / 6)

= −2,5357

med 6 – 1 = 5 df. Kritiskt t-värde avläses från tabell A2 till -2,0150 och H0 ska därmed förkastas eftersom -1,0150 > -2,5357. Ett 95% konfidensintervall blir

−0,3 ± 2,5706 ⋅ 0, 2898 / 6 = −0,3 ± 0,304 = [-0,604 , 0,004]

Studentia.se freE-Learning

63

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Hypotestest

6.12 Test av två populationsproportioner – stora stickprov
Skillnaden mellan två populationsproportioner testas – precis som skillnaden mellan en populationsproportion och en konstant – med Z som testvariabel när stickprovsstorleken är stor. Ett vanligt förekommande tillämpningsområde för denna typ av test som de flesta svenskar känner till är opinionsundersökningarna baserade på frågan ”Vad skulle du rösta på om det vore val idag?”.
Vid resultatredovisningen av en sådan undersökning sägs ofta att t.ex. en ökning i ett visst parti väljarsympatier är statistiskt säkerställd. Med det avses att man kunde förkasta nollhypotesen att den sanna proportionen som skulle ha röstat på det aktuella partiet var oförändrad eller hade minskat. De tre olika slags nollhypoteser som kan testas är H0: p1 – p2 = D, H0: p1 – p2 ≤ D, och H0: p1 – p2 ≥ D , där D är just den differens mellan de sanna populationsproportionerna som man vill testa för.
Om vi har stickprov från två populationer (eller två olika stickprov från samma population tagna vid olika tillfällen) med stickprovsstorlekarna n1 och n2, och där observerat stickprovsproportionerna p1
ˆ
ˆ och p2 , så kan vi beräkna testets Z-värde som
Z=

ˆ
ˆ
( p1 − p2 ) − D
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ p1 (1 − p1 ) /(n1 − 1) + p2 (1 − p2 ) /(n2 − 1)

varefter kritiskt Z-värde hämtas från tabell A1 för den valda signifikansnivån. Ett 1 – α konfidens– intervall för den sanna skillnaden p1 – p2 kan sedan beräknas som

ˆ ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
( p1 − p2 ) ± Z α / 2 p1 (1 − p1 ) /(n1 − 1) + p2 (1 − p2 ) /(n2 − 1)

Studentia.se freE-Learning

64

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Hypotestest

Exempel 6.10
17 av 135 slumpmässigt utvalda och undersökta bilar som reparerat avgassystemet i verkstad A fick anmärkning vid kontrollbesiktningen. 24 av 103 undersökta bilar som reparerats i verkstad B fick också anmärkning. kan man dra slutsatsen (på nivån α = 0,05) att den sanna andelen bilar med anmärkning är mer än 2 procentenheter högre i verkstad B? Beräkna ett 95% konfidensintervall för den sanna skillnaden.
Lösning
Vi har hypoteserna
H0: p1 – p2 ≥ 0
H1: p1 – p2 < 0
ˆ
ˆ och stickprovsproportionerna p1 = 17/135 = 0,1259 och p2 = 24/103 = 0,2330.

Testets Z-värde blir

Z=
=

(0,1259 − 0, 233) − (−0, 02)
0,1259(1 − 0,1259) /(135 − 1) + 0, 233(1 − 0, 233) /(103 − 1)
−0, 0871
= −1, 72.
0, 0507

Kritiskt Z-värde finns i Z-fördelningens vänstra svans eftersom H1 är av karaktären ”mindre än”, och det kan enligt tabell A1 avläsas till -1,64. H0 förkastas därmed eftersom -1,64 > -1,72. Ett 95% konfidensintervall för den sanna skillnaden p1 – p2 är
(0,1259 − 0, 233) ± 1, 96 ⋅ 0, 0507 = −0,1071 ± 0, 0994 = [-0,2065 , -0,0077]

Studentia.se freE-Learning

65

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Variansanalys

7. Variansanalys
7.1 Inledning
I föregående kapitel visade vi hur nollhypotesen att två populationsmedelvärden är lika kan testas med hjälp av t-test. Ofta vill man emellertid jämföra fler än två populationsmedelvärden med varandra för att se om något av dem avviker. Om man har r oberoende populationer, och vill testa nollhypotesen att samtliga dessa populationer har samma sanna medelvärde, så blir de formella hypoteserna:
H0: µ1 = µ2 = ... = µr
H1: Minst två av µ1 = µ2 = ... = µr är olika
Observera att mothypotesen som alltid definieras som komplementet till nollhypotesen. Mothypotesen täcker i detta fall alltså in alla tänkbara situationer där samtliga populationsmedelvärden inte är lika.
Det enda slutsats som kan dras om det efter ett test visar sig att H0 ska förkastas är därför att minst två av de sanna populationsmedelvärdena är olika – men ingenting annat. Vi kan alltså inte utan att genomföra fler tester säga något om hur många sådana olikheter som finns, eller vilka av de testade populationsmedelvärdena som ska antas vara olika.
Den typ av test som normalt används för att testa om tre (eller fler) populationsmedelvärden kan antas vara lika är variansanalys (på engelska: ANalysis Of VAriance, ANOVA). Denna metod baseras på antagandet att de r populationer som stickproven kommer från är normalfördelade med lika varianser.
I en variansanalys delas den totala variansen för hela den mängd enheter som ingår i de tre (eller fler) stickproven upp i varians inom respektive population och varians mellan populationerna.

Studentia.se freE-Learning

66

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Variansanalys

Man kan nämligen visa att ju större skillnad i medelvärde som råder mellan olika populationer med samma varians, desto större kommer variationen mellan populationerna att vara jämfört med variationen inom populationerna. Om det då för den stickprovsdata man har är så att variationen mellan stickproven är stor jämfört med variationen inom stickproven så indikerar det alltså att medelvärdena för populationerna är olika. Detta är den teoretiska grunden för en variansanalys.

7.2 Enkel variansanalys
I en enkel (”ensidig”) variansanalys testas just nollhypotesen H0: µ1 = µ2 = ... = µr. Testen baseras på antagandet att alla r populationer som ingår i testen är approximativt normalfördelade med lika varianser. Generellt beräknas en stickprovsvarians såsom summan av ett antal kvadrerade differenser – en s.k. kvadratsumma – som dividerats med sitt antal frihetsgrader: n s2 =

∑ (x i =1

i

− x )2

n −1

Kvadratsumman för varians inom populationerna, betecknad med SSW (”Sums of Squares Within”) beräknas genom att beräkna populationsvisa kvadratsummor baserade på de enskilda populationernas medelvärden, varefter summering för samtliga populationer sker. Om vi har r populationer med stickprovsstorlekarna n1, n2, ..., nr, så definieras alltså SSW som ni r

SSW = ∑∑ ( xij − xi ) 2 i =1 j =1

där xij är observation j inom stickprovet från population i, och där xi är stickprovsmedelvärdet för population i. Stickprovsvariansen inom populationerna får vi sedan genom att dela denna kvadratsumma med antalet frihetsgrader. Vi har en total stickprovsstorlek n = n1 + n2 + ...+ nr, och vi skattade r parametrar (medelvärdet i respektive population) med stickprovsdata för att kunna beräkna kvadratsummorna. Antalet frihetsgrader är därför n – r. Variansen inom populationerna, betecknad med MSW (Mean Square Within) är alltså

MSW = SSW /(n − r )
Kvadratsumman för varians mellan populationerna, betecknad med SSB (”Sums of Squares Between) fås med liknande resonemang via uttrycket r SS B = ∑ ni ( xi − x ) 2 i =1

Genom att dividera SSB med sitt antal frihetsgrader får vi stickprovsvariansen mellan populationerna.

Studentia.se freE-Learning

67

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Variansanalys

Men hur många frihetsgrader har denna varians? Ja, vi vet att frihetsgrader är additiva, att den totala stickprovsvariansen hade (n – 1) frihetsgrader, och att stickprovsvariansen inom populationena hade
(n – r) frihetsgrader. Således måste stickprovsvariansen mellan populationerna ha (n – 1) – (n – r) =
(r – 1) frihetsgrader. Variansen mellan populationerna, betecknad med MSB (Mean Square Between) är alltså

MS B = SS B /( r − 1)
Hur används då dessa varianser för att testa nollhypotesen att alla r populationsmedelvärden är lika?
Jo, som vi har sett kommer kvoten mellan två oberoende stickprovsvarianser, där de sanna varianserna antas vara lika och populationerna normalfördelade, att följa F-fördelningen. Denna kvot blir därför vår testvariabel. Vårt testvärde beräknas därmed som

F=

MS B
MSW

med r – 1 och n – r frihetsgrader.
När alla populationsmedelvärden är lika så kommer variansen inom populationerna att vara relativt sett stor jämfört med variansen mellan populationerna. Vi är därför intresserade av det fall där stickprovsvariansen mellan populationerna är relativt sett stor jämfört med stickprovsvariansen inom populationerna, eftersom det tyder på att de sanna populationsmedelvärdena är olika. Det kritiska området av F-fördelningen i en variansanalys måste således vara dess högra svans.
Exempel 7.1
Från produktionslinjerna 1, 2 och 3 på en bilfabrik har stickprov om 5, 4 respektive 4 enheter tagits och antalet defekter per enhet har undersökts. Resultatet framgår av tabellen nedan.

Linje 1

Linje 2

Linje 3

29

41

36

31

38

36

37

39

32

34

40

33

36

Kan man dra slutsatsen med α = 0,05 att de olika produktionslinjerna har olika medelvärde för parametern ”antal defekter per enhet”?

Studentia.se freE-Learning

68

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Variansanalys

Lösning
Vi har tre populationer med total stickprovsstorlek n = 5 + 4 + 4 = 13 och hypoteserna
H0: µ1 = µ2 = µ3
H1: Minst två av µ1, µ2, µ3 är olika
Vi beräknar först de enkla stickprovsmedelvärdena: x1 = 33,4 x2 = 39,5 x3 = 34,25 x = 35,54

Kvadratsummorna SSW och SSB kan sedan beräknas:

SSW = (29 − 33, 4) 2 + (31 − 33, 4)2 + (37 − 33, 4)2 + (34 − 33, 4) 2 + (36 − 33, 4)2 +
+(41 − 39,5) 2 + (38 − 39,5) 2 + (39 − 39,5) 2 + (40 − 39,5) 2 +
+(36 − 34, 25)2 + (36 − 34, 25)2 + (32 − 34, 25) 2 + (33 − 34, 25) 2 = 62,95

SS B = 5(33, 4 − 35,54) 2 + 4(39,5 − 35,54) 2 + 4(34, 25 − 35,54) 2 = 92, 28

Studentia.se freE-Learning

69

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Variansanalys

Vi får då varianserna

MSW = 62, 95 /(13 − 3) = 6, 295 och MS B = 92, 28 /(3 − 1) = 46,14
Testets F-värde kan nu beräknas

F=

46,14
= 7,33
6, 295

med 3 – 1 = 2 och 13 – 3 = 10 frihetsgrader.
Kritiskt F-värde avläses från tabell A5 till 4,10. Eftersom 4,10 < 7,33 förkastas H0, och vi drar slutsatsen att minst ett populationsmedelvärde skiljer sig från övriga.

7.3 Uppföljning av enkel variansanalys
Om man har förkastat H0 i en enkel variansanalys så inställer sig ofta frågan om på vad sätt de aktuella populationernas medelvärden inte är lika. Spontant tycker man kanske då att man kan göra t-tester för att se vilka skillnader som är signifikanta, men eftersom variansanalysen inkluderar all data i en och samma ”körning” så måste den uppföljande testen också göra det för att vara giltig.
Det ligger utanför denna boks syfte att gå igenom testmetoder som uppfyller detta kriterium i detalj, men några exempel på användbara tester i detta sammanhang är Tukeys test och Bonferronimetoden.
Läsaren hänvisas till mer avancerad litteratur för beskrivning av dessa.

7.4 Andra typer av variansanalys
Variansanalys kan användas till mycket mer än att bara testa nollhypotesen att ett antal populationer har samma medelvärde. Till exempel kan man testa om andra faktorer än den bara faktorn som definierade populationerna har betydelse för utfallet på stickprovsvariabeln, och/eller om interaktionen mellan olika faktorer har betydelse för utfallet. När man använder variansanalys för att testa två (eller flera) olika faktorers inverkan så talar man om två- (eller fler-) vägs variansanalys. Läsaren hänvisas även här till mer avancerad litteratur.

Studentia.se freE-Learning

70

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Regressionsanalys

8. Regressionsanalys
8.1 Inledning
En viktig del av den analytiska statistiken är sambandsanalys, d.v.s. att analysera om, och i så fall hur, slumpvariabler samvarierar (korrelerar). Ett sådant samband kan analyseras i linjära och/eller icke-linjära termer, och det kan inkludera två eller flera olika slumpvariabler. I det allra enklaste fallet, som vi ska inleda med, studerar vi linjär samvariation mellan två slumpvariabler X och Y. Vi antar alltså att det går att beskriva sambandet mellan X och Y med räta linjens ekvation Y = ß0 + ß1X, där ß0 är skärningspunkten och ß1 riktningskoefficienten när det linjära sambandet illustreras i ett koordinatsystem. Ett vanligt exempel på två slumpvariabler som korrelerar linjärt är längden och vikten hos nyfödda barn. I tabellen nedan visas information om längd och vikt för de sex barn som föddes på ett sjukhus en viss dag. Informationen i denna tabell kommer att användas som grund för ett genomgående exempel i detta kapitel.

Barn nr

Längd (cm)

Vikt (g)

1

47

3040

2

49

3100

3

51

3500

4

53

3420

5

54,5

3870

6

55

3710

I fig. 8.1 åskådliggörs sambandet mellan längd och vikt i ett koordinatsystem. Det framgår att ett linjärt samband, illustrerat av den prickade linjen, verkar finnas.

Studentia.se freE-Learning

71

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Regressionsanalys

Figur 8.1
Ett linjärt samband
4000

Vikt

3500

3000

2500
46

48

50

52

54

56

Längd

Även om X och Y är slumpvariabler som samvarierar linjärt innebär det dock nästan aldrig att sambandet är perfekt linjärt, utan att det ofta finns mindre, eller i enskilda fall även större avvikelser från det linjära sambandet. I figur 8.1 illustreras detta genom att prickarna i diagrammet inte bokstavligt talat ligger på linjen, men väl ganska nära. Vi skriver därför ofta det linjära sambandet mellan X och Y som
Y = ß0 + ß1 X + ε där ε (den grekiska bokstaven ”eta”) symboliserar slumpavvikelserna i det linjära sambandet. Studentia.se freE-Learning

72

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Regressionsanalys

8.2 Covarians och korrelationskoefficienten
Det enklaste statistiska måttet på linjärt samband mellan två slumpvariabler X och Y är variablernas covarians. Den sanna covariansen Cov(X,Y) för ett par av slumpvariabler X och Y definieras som det förväntade värdet av produkten av respektive slumpvariabels avvikelse från dess medelvärde, d.v.s.
Cov( X , Y ) = E[( X − ì X )(Y − ìY )]

där µX är det sanna populationsmedelvärdet för X, och µY det sanna populationsmedelvärdet för Y.
När Cov(X,Y) har ett positivt värde så innebär det att när X ökar så ökar (i genomsnitt) även Y, medan ett negativt värde på Cov(X,Y) innebär att när X ökar så minskar (i genomsnitt) Y. När Cov(X,Y) är noll så finns inget linjärt samband mellan variablerna.
En mer användbar tolkning erhålls om Cov(X,Y) divideras med produkten av de båda slumpvariablernas standardavvikelser. Då erhålls den sanna korrelationskoefficienten, betecknad med ñ (uttalas ”rå”) för X och Y. För korrelationskoefficienten ñ= Cov( X , Y ) ó X óY

där σX är den sanna populationsstandardavvikelsen för X, och σY den sanna populationsstandardavvikelsen för Y, gäller nämligen att dess värde alltid hamnar mellan 1 och -1. Om ñ har ett värde nära 0 så finns inget linjärt samband mellan X och Y. Om ñ ligger nära 1 så är det linjära sambandet mellan X och Y starkt positivt. Om ñ å andra sidan ligger nära -1 så är det linjära sambandet mellan
X och Y starkt negativt.
I praktisk statistisk analys beräknas naturligtvis dessa och andra relaterade mått rörande variabelsambandet med stickprovsdata. Precis som för variansanalys baseras denna analys på kvadratsummor. Vi definierar därför X-värdenas kvadratsumma SSX, Y-värdenas kvadratsumma SSY och produktsumman SSXY på följande sätt baserat på n par av observerade värden för X och Y:

 n 
 ∑ xi  n n
2
2
SS X = ∑ ( xi − x ) = ∑ xi −  i =1  n i =1 i =1

2

 n

 ∑ yi  n n
 i =1 
SS Y = ∑ ( y i − y ) 2 = ∑ y i2 − n i =1 i =1
SS XY

2

 n
 n

x i  ∑ y i 
∑
n n  i =1  i =1 
= ∑ ( x i − x )( y i − y ) = ∑ x i y i − n i =1 i =1

Covariansen för X och Y skattas med hjälp av stickprovsdata som SSXY /(n – 1). Från den vanliga definitionen av stickprovsstandardavvikelsen s inser man att σX skattas med hjälp av stickprovsdata som SS X /(n − 1) , och σY analogt som SSY /(n − 1) . Det innebär att den med stickprovsdata

Studentia.se freE-Learning

73

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Regressionsanalys

skattade korrelationskoefficienten för X och Y, betecknad med r, blir

r=

SS XY /(n − 1)
SS X /(n − 1) SSY /(n − 1)

=

SS XY
SS X SSY

Kvadraten på korrelationskoefficienten, r2, har också ett speciellt namn och en speciell betydelse. Den kallas determinationskoefficient, och kan ses som ett deskriptivt mått som visar ”andelen variation i de observerade värdena på Y som förklaras av det bästa linjära sambandet mellan X och Y”. Vi ska dock inte gå in i detalj på detta mått här. Däremot kan r och r2 användas för att testa någon av nollhypoteserna H0: ñ = 0, H0: ñ ≤ 0 eller H0: ñ ≥ 0. Om någon av dessa hypoteser kan förkastas så dras ju slutsatsen att det finns ett sant linjärt samband mellan variablerna. Testet baseras på tfördelningen, och testvariabelns värde beräknas som

t=

r
2

(1 − r ) /(n − 2)

med n – 2 df.
Exempel 8.1
Utgå från tabelldatan som fig. 8.1 baserades på, och anta att dessa kan ses som ett stickprov från populationen ”nyfödda barn i allmänhet”. Beräkna SSX, SSY och SSXY, och använd dessa för att beräkna
r. Testa sedan om man med α = 0,01 kan dra slutsatsen att det verkligen finns ett positivt linjärt samband mellan längd och vikt för nyfödda barn.
Lösning
SS X = 47 2 + 492 + ... + 552 −

(47 + 49 + ... + 55) 2
= 50, 21
6

SSY = 3040 2 + 3100 2 + ... + 37102 −

(3040 + 3100 + ... + 3710) 2
= 537400
6

SS XY = 47 ⋅ 3040 + 49 ⋅ 3100 + ... + 55 ⋅ 3710 −

(47 + 49 + ... + 55)(3040 + 3100 + ... + 3710)
= 4825
6

varefter vi kan beräkna

r=

Studentia.se freE-Learning

4825
50, 21 ⋅ 537400

74

= 0,9289

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Regressionsanalys

Vi får hypoteserna
H0: ñ ≤ 0
H1: ñ > 0 och testets t-värde

t=

0,9289
(1 − 0,92892 ) /(6 − 2)

= 5, 02

med 6 – 2 = 4 df. Testet görs i t-fördelningens högra svans, varvid kritiskt t-värde avläses från tabell
A2 till 3,7469. Således förkastas H0 eftersom 3,7469 < 5,02. Vi drar slutsatsen att det finns ett positivt linjärt samband mellan längd och vikt för nyfödda barn.

8.3 Minstakvadrat-metoden för en regressionslinje
När man med hjälp av stickprov har konstaterat att det finns ett signifikant linjärt samband mellan två variabler X och Y så är man ofta intresserad av att kartlägga närmare hur detta samband ser ut.
Den linje som ”bäst” beskriver det sanna linjära sambandet kallas regressionslinje, och skrivs som tidigare sagts Y = ß0 + ß1X + ε när Y kan antas vara beroende av X. Enligt den s.k. minstakvadratmetoden åstadkommer vi skattningar av ß0 och ß1, vilka betecknas med b0 och b1, med hjälp av kvadrat- och produktsummorna som vi använde tidigare:

b1 =

Studentia.se freE-Learning

SS XY
SS X

75

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Regressionsanalys

b0 = y − b1 x
På det sättet får vi den skattade regressionslinjen Y = b0 + b1 X + e, där e symboliserar de ”fel” som kan observeras när linjen b0 + b1 X anpassas till de n datapunkterna.
De antaganden som måste göras för att man ska kunna använda minstakvadrat-metoden är ganska komplicerade, så vi ska inte förklara dem i detalj. De är


ε är en normalfördelad slumpvariabel med medelvärdet 0.



ε har en varians som är konstant för olika X-värden, d.v.s. datapunkternas genomsnittliga avvikelser från regressionslinjen påverkas inte av att X ändras.



Det råder oberoende mellan alla ε -värden

När vi säger att resultatet av minstakvadrat-metoden är den ”bästa” linjen så menar vi mer konkret att det är den linje för vilken summan av alla kvadrerade avvikelser i Y-led mellan linjen och de enskilda punkterna, d.v.s. summan av alla kvadrerade ”fel”, minimeras. Om vi definierar kvadratsumman
SSE som

( SS XY ) 2
SS E = ∑ ( yi − (b0 + b1 xi )) = SSY −
SS X i =1 n 2

så innebär minstakvadrat-metoden formellt att SSE minimeras.
Exempel 8.2
Utgå från exempel 8.1, och skatta regressionslinjen med minstakvadrat-metoden. Beräkna också SSE.
Lösning

b1 =

b0 =

4825
= 96,1
50, 21

3040 + 3100 + ... + 3710
47 + 49 + ... + 55
− 96,1 ⋅
= −1517,1
6
6

Den skattade regressionslinjen blir alltså Y = – 1517,1 + 96,1X + e.

SS E = SSY −

Studentia.se freE-Learning

( SS XY ) 2
48252
= 537400 −
= 73734,9
50, 21
SS X

76

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Regressionsanalys

8.4 Konfidensintervall för regressionsparametrarna
Skattningarna b0 och b1 är naturligtvis punktskattningar av de sanna parametrarna ß0 och ß1. Det naturliga nästa steget i analysen är därmed att göra motsvarande intervallskattningar. Med andra ord, hur konstrueras konfidensintervall för ß0 och ß1?
För att kunna svara på det måste vi veta hur medelfelen för b0 och b1 beräknas. Vi kallar dessa medelfel för s(b0) och s(b1), och man kan visa att formlerna för dessa storheter blir n s (b0 ) =

SS E ∑ xi2 i =1

n(n − 2) SS X

och s (b1 ) =

SS E
(n − 2) SS X

Med dessa medelfel kan konfidensintervall för ß0 och ß1 enkelt konstrueras. Ett (1 – α) konfiden– sintervall för ß0 blir b0 ± tá / 2 s (b0 )

med n – 2 df.
Ett (1 – α) konfidensintervall för ß1 blir b1 ± tá / 2 s (b1 )

med n – 2 df.
Exempel 8.3
Utgå från exempel 8.2, och beräkna 95% konfidensintervall för de sanna regressionslinjeparametrarna.
Lösning
Vi börjar med att beräkna medelfelen för skattningarna. De blir

s(b0 ) =

73734,9(47 2 + 492 + ... + 552 )
= 989,9
6(6 − 2)50, 21

och

s (b1 ) =

Studentia.se freE-Learning

73734,9
= 19,16
(6 − 2)50, 21

77

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Regressionsanalys

Konfidensintervallen blir då

−1517,1 ± 2, 7765 ⋅ 989, 9 = [- 4265,56 , 1231,36] och 96,1 ± 2, 7765 ⋅19,16 = [42,90 , 149,30]

8.5 Hypotestest för regressionsparametrarna
Den enda slutsats vi har dragit om regressionssambandet i det genomgående exemplet så här långt är att det finns ett positivt samband, i och med att vi i exempel 8.1 kunde dra slutsatsen att r > 0.
Det är ofta en väsentlig del av en regressionsanalys att testa om de sanna parametrarna, särskilt ß1, är signifikant skilda från 0. Detta görs med enkla t-tester. Testernas t-värden beräknas då enligt

t=

b0 s (b0 )

t=

b1 s (b1 )

för parametern ß0, och med

för parametern ß1, i båda fallen med n – 2 df.

Studentia.se freE-Learning

78

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Regressionsanalys

Exempel 8.4
Utgå från exempel 8.3. Testa om båda parametrarna är signifikant skilda från 0, i båda fallen med α = 0,01.
Lösning
Vi har först nollhypotesen H0: ß0 = 0. Testets t-värde blir

t=

b1 s (b1 )

Testet är tvåsidigt, och enligt tabell A2 är de kritiska t-värdena ± 2,7765. H0 kan alltså inte förkastas, eftersom -2,7765 < -1,53 < 2,7765.
Vi har sedan nollhypotesen H0: ß1 = 0. Testets t-värde blir

t=

−1517,1
= −1,53
989,9

Testet är även här tvåsidigt, och de kritiska t-värdena är fortfarande ± 2,7765. H0 förkastas då, eftersom 2,7765 < 5,02. Vi drar slutsatsen att parametern ß1 är signifikant skild från 0.

8.6 Prediktionsintervall vid extrapolering av regressionslinjen
Ett syfte med regressionsanalys är ofta att ta fram en prognosmodell, d.v.s. en modell med vilken man på basis av hur en viss variabel har utvecklat sig historiskt försöker förutspå hur den kommer att utveckla sig i framtiden. Denna del av den statistiska analysen kallas tidsserieanalys. Den grundläggande idén är att helt enkelt att anta att det linjära samband man har modellerat kommer att fortsätta gälla. När man extrapolerar en regressionslinje (d.v.s. ”drar ut linjen” så att den hamnar
”utanför” den datamängd man använde för att ta fram regressionslinjen) så måste man dock alltid vara medveten om att det linjära sambandet kanske inte gäller längre.
ˆ
Ett punktskattat y-värde, betecknat med y , baserat på ett specifikt x-värde fås enkelt genom att sätta in det specifika x-värdet i regressionslinjens ekvation, d.v.s.

ˆ y = b0 + b1 x
Osäkerheten i en skattning av denna typ beror på hur långt linjen extrapoleras, och vi kan beräkna ett prediktionsintervall inom vilket y-värdet faktiskt kommer att ligga med sannolikheten 1 – α såsom

 SS E   1 ( x − x ) 2 
ˆ
y ± tá / 2 

 1 + +
SS X 
 (n − 2)   n med n-2 df.

Studentia.se freE-Learning

79

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Regressionsanalys

Exempel 8.5
Utgå från exempel 8.1 – 8.4. Beräkna ett 95% prediktionsintervall för vikten på ett barn som är 56 cm långt.
Lösning
Vi har stickprovsmedelvärdet för längden x = (47 + 49 + ... + 55) / 6 = 51,18

och punktskattningen för vikten vid längden 56 cm blir

ˆ y = – 1517,1 + 96,1 · 56 = 3864,5 gram

Vi får sedan prediktionsintervallet
 73734, 9   1 (56 − 51,18) 2 
3864, 5 ± 2, 7765 
 = [3385, 4344] gram,
 1 + +
51, 58
 (6 − 2)   6


inom vilket ett barn med längden 56 cm ligger med 95% säkerhet om det linjära sambandet kunde antas fortsätta gälla även för högre x-värden än dem vi använde för att ta fram regressionslinjen.

8.7 Multipel regression
Vi har hittills antagit att värdet på slumpvariabeln Y beror linjärt på värdet av en slumpvariabel X.
Logiken bakom analysen går att generalisera så att Y kan antas vara linjärt beroende av värdet på k olika slumpvariabler X1, X2, ... , Xk. Regressionsmodellen blir då
Y = â0 + â1 X 1 + â2 X 2 + ... + âk X k + å

och vi talar då om multipel linjär regressionsanalys till skillnad från enkel linjär regressionsanalys som baseras på endast en oberoende variabel X. Det primära problemet i en multipel regressionsanalys är naturligtvis att skatta ß1, ß2, ... , ßk. Vi ska inte gå in i detalj på hur man räknar för att ta fram dessa skattningar, men den grundläggande logiken är densamma: Det gäller att hitta det linjära uttryck som minimerar summan av de kvadrerade avvikelserna. Man använder normalt sett alltid datorstöd när man arbetar med multipel regression.

8.8 Polynom regression
En regressionsmodell behöver inte nödvändigtvis baseras på antaganden om linjärt samband. En enkel plott av den data man har kan indikera att sambandet mellan X och Y är icke-linjärt, och då måste man naturligtvis ta hänsyn till detta. Om det t.ex. är rimligt att anta att sambandet kan beskrivas med en andragradsfunktion så kommer regressionsmodellen att få formen

Studentia.se freE-Learning

80

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Regressionsanalys

Y = â0 + â1 X + â2 X 2 + å

Regressionsanalys baserade på icke-linjära modeller brukar betecknas polynom regression. Även här används normalt alltid datorstöd för beräkningar.

8.9 Dummyvariabler
En användbar teknik i multipel regression är att använda en variabel som symboliserar huruvida ett visst villkor är uppfyllt eller ej. Ett enkelt exempel kan vara om vi använder regressionsanalys för att bestämma hur de mätbara variablerna vikt och cylindervolym för bilar påverkar bilarnas acceleration. Om vissa av bilarna då har turbo så kan vi använda en tredje variabel för att ta hänsyn till detta. Vi låter först variablerna X1 och X2 symbolisera vikt och cylindervolym på vanligt sätt. Sedan inför vi variabeln X3 som får symbolisera närvaron av turbo. För bilar som har turbo så får variabeln X3 då värdet 1, för övriga bilar får X3 värdet 0. Med regressionsmodellen
Y = â0 + â1 X 1 + â2 X 2 + â3 X 3 + å

så kommer parametern ß3 då att visa hur bilarnas acceleration i medeltal påverkas av det faktum att turbo är installerat, allt annat lika. Variabeln X3 kallas för dummyvariabel, eller binär variabel, i denna modell, eftersom den symboliserar huruvida ett visst villkor är uppfyllt och därmed endast kan anta värdet 0 eller 1. Räknetekniskt fungerar allting på precis samma sätt oavsett om en variabel är en dummyvariabel eller en vanlig (kvantitativ) variabel.

Studentia.se freE-Learning

81

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Regressionsanalys

8.10 Multicolinjäritet
När man arbetar med multipel regression så antar man generellt att de olika X-variablerna inte korrelerar med varandra. Två variabler X1 och X2 korrelerar perfekt linjärt om sambandet dem emellan går att uttrycka

X 1 = a1 + a2 X 2 där a1 och a2 är konstanter. X1 och X2 sägs då vara colinjära. När inbördes colinjäritet finns mellan flera X-variabler i en multipel regressionsmodell kännetecknas modellen av multicolinjäritet.
Multicolinjäritet är ett problem i multipel regression, eftersom X-variablerna modellmässigt var och en för sig antas bidra med information om hur Y varierar. Om X1 då fullt ut förklaras av värdet på X2 så bidrar ju inte X1 med någon förklarande effekt för Y. Tvärtom kommer närvaron av X1 i regressionsmodellen att skapa snedvridande effekter i regressionsanalysen. Exempel på effekter som kan uppstå är följande:




Konfidensintervallen för regressionsmodellens parametrar blir mycket stora.
En eller flera parametrar i regressionsmodellen får värden som uppenbart är orimliga med avseende på storlek och/eller tecken.
Uteslutande av en variabel från modellen ger stor inverkan på värdet för andra variablers parametrar.

När man misstänker multicolinjäritet är det viktigt att man försöker utreda vilka variabler som är colinjära, och utesluter variabler från modellen så att inga colinjära variabelrelationer återstår.

8.11 F-test av regressionssamband
Det generella sättet att testa huruvida en regressionsmodell är signifikant, d.v.s. om regressionssambandet mellan Y och de aktuella X-variablerna är tillräckligt ”bra” för att man ska kunna hävda att modellen faktiskt förklarar sambandet mellan variablerna, är att göra en F-test. Generellt innebär detta att man genomför hypotestesten
H0: ß1 = ß2 = ... = ßk = 0
H1: Minst en av ß1 , ß2 , ... , ßk är skild från 0 för en regressionsmodell med k X-variabler. Testet görs i F-fördelningens högra svans. I fallet med en enda X-variabel så är denna test ekvivalent med den t-test vi såg tidigare i kapitlet, och vi kommer att illustrera tillvägagångssättet baserat på enkel linjär regressionsanalys.
Testets F-värde beräknas då som

F=

SSY − SS E
SS E /( n − 2)

med 1 och n – 2 frihetsgrader.

Studentia.se freE-Learning

82

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Regressionsanalys

Exempel 8.6
Utgå från exempel 8.1 – 8.5. Kontrollera med en F-test om regressionsmodellen är signifikant på nivån 1%.
Lösning
Vi beräknar F-värdet för testen:
F=

537400 − 73734,9
= 25,15
73734,9 /(6 − 2)

Kritiskt F för α = 0,01 samt 1 och 6 – 2 = 4 frihetsgrader är enligt tabell A7 lika med 21,20. Således kan H0 förkastas eftersom 21,20 < 25,15.

Studentia.se freE-Learning

83

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Chitvå-tester

9. Chitvå-tester
9.1 Inledning
I kapitlet om hypotestest introducerades chitvå-fördelningen, vilken användes för att testa hur en populationsvarians förhöll sig till ett visst värde. Chitvå-fördelningen kan även användas till andra typer av tester som är mycket användbara. I detta kapitel ska vi titta på några sådana tester.
Den grundläggande idén är densamma i samtliga tester. Vi har stickprovsdata i termer av observerade frekvenser – d.v.s. antal faktiskt observerade utfall – för var och en av ett antal möjliga kategorier.
Vår data är alltså alltid kvalitativ eller diskret kvantitativ. En chitvå-test baseras sedan på att man beräknar förväntade frekvenser för var och en av de möjliga kategorierna under förutsättning att den nollhypotes man vill testa faktiskt är sann. Om de observerade frekvenserna skiljer sig tillräckligt mycket från de förväntade så drar man slutsatsen att nollhypotesen är falsk. Den testvariabel som utnyttjas är genomgående χ2. Varje sådan test görs i chitvå-fördelningens högra svans.
Som kommer att framgå längre fram är det ibland så att det är oklart hur många kategorier man bör arbeta med, och/eller att användaren själv kan definiera kategorierna. Det är då viktigt att tänka på att en chitvå-test förutsätter att den förväntade frekvensen i var och en av de kategorier som används är tillräcklig stor. En tumregel är att den förväntade frekvensen inte ska understiga 5 i någon kategori.

9.2 Test av anpassningsgrad – diskret fördelning
Som har framgått av tidigare kapitel görs ofta ett antagande om vilken fördelning stickprovsdata hämtats från. Det är ofta möjligt att testa om stickprovsdata är tillräckligt väl anpassad till en viss teoretisk fördelning för att ett sådant antagande ska kunna anses vara rimligt eller ej. Man talar då om ett test av anpassningsgrad. (på engelska: test of goodness-of-fit).
Vid test av anpassningsgrad gäller generellt att antalet frihetsgrader i respektive fall är lika med antalet kategorier minus 1. Om man måste skatta parametervärden av något slag med hjälp av stickprovsdata för att kunna genomföra testen reduceras antalet frihetsgrader därutöver med 1 per sådan parameter.
Testets χ2-värde beräknas som k ÷2 = ∑ i =1

(oi − ei ) 2 ei där k är antalet kategorier, oi den observerade frekvensen för kategori i, och ei den förväntade frekvensen för kategori i under förutsättning att nollhypotesen är sann.
Exempel 9.1
I en marknadsundersökning fick 140 slumpmässigt utvalda personer blindtesta fyra olika sorters läsk, betecknade A, B, C och D, varefter de bestämde vilken läsk de föredrog. Resultatet framgår av nedanstående tabell.

Studentia.se freE-Learning

84

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Chitvå-tester

Läsk

A

B

C

D

Observerad frekvens 34

45

42

19

Testa om man med α = 0,01 kan dra slutsatsen att smaken är olika.
Lösning
Vi har hypoteserna
H0: Smaken är lika
H1: Smaken är olika
Om smaken faktiskt är lika, som H0 säger, så måste den förväntade frekvensen vara densamma i alla fyra kategorierna. Med 140 ”försökspersoner” blir det således 140 / 4 = 35 per kategori. Vi kan således beräkna testets χ2-värde som

÷2 =

(34 − 35) 2 (45 − 35) 2 (42 − 35) 2 (19 − 35) 2
+
+
+
= 11, 6
35
35
35
35

Kritiskt χ2-värde med 4 – 1 = 3 frihetsgrader är 11,3449 enligt tabell A3. Eftersom 11,3449 < 11,6 förkastas H0.

Studentia.se freE-Learning

85

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Chitvå-tester

Exempel 9.2
Antalet betjänade kunder i en viss skönhetssalong per timme under en vecka har observerats under de
55 öppettimmar salongen haft under en vecka. Resultatet framgår av tabellen nedan.

Antal kunder 0

1

2

3

4

5

Observerad frekvens 3

7

11

14

15

5

Testa med α = 0,05 om poissonfördelning kan antas föreligga för slumpvariabeln ”antal betjänade kunder”.
Lösning
Vi har hypoteserna
H0: Poissonfördelning föreligger
H1: Poissonfördelning föreligger inte
Om poissonfördelning föreligger så måste vi ha fördelningens väntevärde (dess enda parameter) för att kunna beräkna förväntade frekvenser. Hypoteserna säger inget om vad detta väntevärde ska antas vara, så vi måste beräkna det genomsnittliga antalet kunder per timme med hjälp av stickprovsdatan till

x = (0 ⋅ 3 + 1 ⋅ 7 + 2 ⋅11 + 3 ⋅14 + 4 ⋅ 15 + 5 ⋅ 5) / 55 = 2,8364 varvid vi har förlorat en frihetsgrad. Med hjälp av den vanliga poissonformeln (se kapitel 3) beräknar vi sedan de förväntade frekvenserna. Resultatet framgår av nedanstående tabell.
Antal
kunder

0 eller 1

2

3

4

5 eller fler Observerad frekvens 10

11

14

15

5

Förväntad frekvens 12,37

12,97

12,26

8,70

8,69

Observera att vi måste slå ihop kategorierna 0 och 1 kunder till en kategori, liksom alla kategorier över 4 kunder , eftersom vi annars hade haft kategorier med förväntad frekvens under 5.

Studentia.se freE-Learning

86

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Chitvå-tester

Vi kan nu beräkna testets χ2-värde som
÷2 =

(10 − 12, 37) 2 (11 − 12, 97) 2 (14 − 12, 26) 2 (15 − 18, 7) 2 (5 − 8, 69) 2
+
+
+
+
= 7,13
12, 37
12, 97
12, 26
8, 7
8, 69

Kritiskt χ2-värde med 5 – 1 – 1 = 3 frihetsgrader är 7,81472 enligt tabell A3. Eftersom 7,81472 > 7,13 kan H0 inte förkastas med α = 0,05.

9.3 Test av anpassningsgrad – kontinuerlig fördelning
I exempel 9.2 i ovanstående avsnitt var det relativt enkelt att definiera de kategorier som skulle användas, eftersom det rörde sig om en diskret fördelning. Det var då bara en fråga om att se till så att inget av de möjliga diskreta utfallen hade en förväntad frekvens som understeg 5.
Om man vill testa om stickprovsdata kan antas komma från en kontinuerlig fördelning finns per definition ett oändligt antal utfall, och man måste som användare då själv dela in utfallsrummet i intervaller för att åstadkomma de kategorier som chitvå-testen kräver. Huvudregeln är att man ska försöka definiera kategorierna så att den förväntade frekvensen i respektive kategori blir ungefär lika.
När det gäller antalet kategorier så får man i varje enskilt fall göra en avvägning mellan det positiva faktum att många kategorier innebär fler frihetsgrader, och det negativa faktum att fler kategorier leder till att förväntad frekvens per kategori sjunker.
Exempel 9.3
Ett slumpmässigt urval om 40 kunder i en butik kartlades i termer av bland annat den totalsumma de handlade för. Resultatet (i euro per kund) framgår nedan:
31,70

6,00

32,80

22,80

22,70

31,60

28,00

33,10

34,20

38,60

36,20

24,90

29,10

33,10

49,60

61,00

34,00

23,60

26,80

31,70

15,70

9,90

17,90

56,60

46,50

43,10

35,70

29,50

38,90

52,90

27,80

35,80

12,40

42,10

37,60

35,10

17,00

32,10

43,70

24,20

Kan köpesumman per kund antas vara en normalfördelad slumpvariabel? Använd α = 0,1.

Studentia.se freE-Learning

87

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Chitvå-tester

Lösning
Vi har hypoteserna
H0: Normalfördelning föreligger
H1: Normalfördelning föreligger inte.
För att kunna konstruera intervaller som är ungefär lika sannolika krävs att vi har information om medelvärde och standardavvikelse. Från stickprovsdatan får vi x = 32,15 och s = 12,00, vilka vi använder som skattningar av µ och σ. Vi skattar alltså två parametrar med stickprovsdata, vilket kostar två frihetsgrader.
Hur många kategorier ska vi använda? Eftersom normalfördelningen är symmetrisk kan det vara vettigt med ett jämnt antal. Fler än 8 är dock inte ens teoretiskt möjligt, eftersom 40 / 8 = 5, vilket är absolut minimum för förväntad frekvens per kategori. För säkerhets skull kan vi använda 6 kategorier, så har vi lite marginal vad gäller förväntade frekvenser. I så fall ska kategorierna definieras så att varje kategori kan förväntas innehålla ungefär 1 / 6 = 0,1667 av den totala stickprovsstorleken. Från tabell A1 kan vi avläsa att P(Z > 1) = 0,1587 och således vet vi också att P(Z < – 1) = 0,1587. Vi ser också att P(0 < Z < 0,44) = 0,3300 – 0,1585 = 0,1713 och således även att P(0 > Z > – 0,44) =
0,1713. Avslutningsvis har vi att P(0,44 < Z < 1) = 0,5 – 0,1713 – 0,1585 = 0,17 och därmed även att
P(– 0,44 > Z > – 1) = 0,17. Därmed har vi delat in normalfördelningen i sex intervaller av ungefär samma storlek. Med omvänd Z-transformation hittar vi enkelt de fem gränserna för indelning i dessa sex kategorier enligt H0:
1. 32,15 – 1 · 12 = 20,15
2. 32,15 – 0,44 · 12 = 26,87
3. 32,15
4. 32,15 + 0,44 · 12 = 37,43
5. 32,15 + 1 · 12 = 44,15

Studentia.se freE-Learning

88

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Chitvå-tester

Vi kan nu räkna observerade och förväntade frekvenser för de olika kategorierna sammanfatta det hela i tabellform:

Intervall

Observerade frekvenser Förväntade frekvenser < 20,15

6

0,1587·40 = 6,348

20,15 – 26,87

6

0,1713·40 = 6,852

26,87 – 32,15

8

0,17·40 = 6,8

32,15 – 37,43

9

0,17·40 = 6,8

37,43 – 44,15

6

0,1713·40 = 6,852

> 44,15

5

0,1587·40 = 6,348

Vi kan nu beräkna testets χ2-värde som
÷2 =

(6 − 6,348) 2 (6 − 6,852) 2 (8 − 6,8) 2 (9 − 6,8) 2 (6 − 6,852) 2 (5 − 6,348) 2
+
+
+
+
+
= 1, 44
6,348
6,852
6,8
6,8
6,852
6,348

Kritiskt χ2-värde med α = 0,1 och med 6 – 1 –2 = 3 frihetsgrader är 6,25139 enligt tabell A3. Eftersom
6,25139 > 1,44 kan H0 inte förkastas.

9.4 Korstabellanalys
Ett vanligt sätt att presentera resultatet av en undersökning där respondenterna får svara på flera olika frågor är att använda korstabeller för att ge en översiktlig bild av hur de som svarar på en viss fråga tenderar att svara på en annan fråga. Om 100 slumpmässigt utvalda människor tillfrågades om dels kön och dels om sin uppfattning när det gäller EU så skulle resultatet kunna beskrivas som i korstabellen nedan.

Män

Kvinnor

Positiv till EU

34

15

Negativ till EU

29

22

Kan man på basis av denna tabell utan vidare dra slutsatsen att män generellt är mer positiva till
EU? Nej, naturligtvis inte utan att genomföra någon form av analys som pekar på att det är så.

Studentia.se freE-Learning

89

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Chitvå-tester

Standardmetoden för att analysera huruvida en klassificeringskategori (i detta fall: kön) är oberoende av en annan (i detta fall: uppfattning om EU) är att använda en chitvå-test. Testen baseras på den sannolikhetsteoretiska definitionen av oberoende. I kapitel 2 definierades två händelser A och B som oberoende om P ( A ∩ B ) = P ( A) ⋅ P ( B ) .
Notera att varje ”ruta” i korstabellen hör till en viss rad och en viss kolumn. Om klassificering skategorierna är oberoende enligt P ( A ∩ B ) = P ( A) ⋅ P ( B ) så ska den förväntade frekvensen i en viss ruta vara lika med summan av radens observerade frekvenser multiplicerat med summan av kolumnens observerade frekvenser dividerat med den totala stickprovsstorleken. När man på det sättet har tagit fram observerade och förväntade frekvenser så kan man använda en chitvå-test för att testa nollhypotesen att klassificeringskategorierna är oberoende på det vanliga sättet. Den enda skillnaden jämfört med tidigare är att antalet frihetsgrader beräknas som df = (r – 1)(c – 1) där r är lika med antalet rader och c är lika med antalet kolumner i korstabellen.
Det finns ingen övre gräns för hur många rader och/eller kolumner som korstabellen kan bestå av för att en chitvå-test ska vara adekvat som analysverktyg.

Studentia.se freE-Learning

90

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Chitvå-tester

Exempel 9.4
Testa med α = 0,05 om det finns beroende mellan kön och uppfattning om EU när 100 slumpvis tillfrågade personer tillfrågats och observerade frekvenser är:
Män

Kvinnor

Positiv till EU

34

15

Negativ till EU

29

22

Lösning
Vi har n = 100 och hypoteserna
H0: Det råder oberoende mellan kön och uppfattning om EU
H1: Det råder inte oberoende mellan kön och uppfattning om EU.
Vi beräknar rad-, kolumn- och totalsumma:
Män

Kvinnor

Total

Positiv till EU

34

15

49

Negativ till EU

29

22

51

Total

63

37

100

Förväntade frekvenser under antagandet att H0 är sann blir då:

Män

Kvinnor

Positiv till EU

49 · 63/100=30,87

49 · 37/100=18,13

Negativ till
EU

51 · 63/100=32,13

51 · 37/100=18,87

Studentia.se freE-Learning

91

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Chitvå-tester

Vi kan nu beräkna testets χ2-värde som
÷2 =

(34 − 30,87) 2 (15 − 18,13) 2 (29 − 32,13) 2 (22 − 18,87) 2
+
+
+
= 1, 68
30,87
18,13
32,13
18,87

Kritiskt χ2-värde med α = 0,05 och med (2 – 1)(2 – 1) = 1 frihetsgrad är enligt tabell A3 lika med
3,84146. Eftersom 3,84146 > 1,68 kan H0 inte förkastas.

Studentia.se freE-Learning

92

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Icke-parametriska metoder

10. Icke-parametriska metoder
10.1 Inledning
Icke-parametriska (eller parameterfria/fördelningsfria) metoder skiljer sig från parametriska metoder såtillvida att inget särskilt antagande om någon populationsparameter behöver göras. I t.ex. en t-test eller en variansanalys antas bland annat att populationsparametern som undersöks är approximativt normalfördelad. En fråga som ofta uppstår är vad man gör om normalfördelning inte kan antas råda, och svaret på den frågan är att man då helt enkelt inte får använda t-test eller variansanalys. Istället får man använda metoder som inte kräver någon specifik fördelning.
I detta kapitel ska vi titta på några alternativ till t-test, variansanalys och regressionsanalys som kan användas när normalfördelningsantagandet inte är uppfyllt. Dessa metoder baseras inte på något starkare antagande än att observationerna är möjliga att rangordna. Det innebär att de ersätter de metoder vi har sett tidigare i denna bok vid två tillfällen:
1.

När datan man arbetar med är på intervall- eller kvotskalan, men där ett antagande om normalfördelning kan antas vara felaktigt.

2.

När datan man arbetar med är på ordinalskalan.

Särskilt viktig är punkt 2 ovan. Många olika slag av undersökningar baseras på att respondenter får avge svar ”på en skala” på frågor. Den data man då erhåller är på ordinalskalan, vilket innebär att parametriska metoder inte får användas för dataanalysen. Just detta fel ser man ändå ofta att folk gör.
Fundera därför alltid på vilka antaganden en viss analysmodell baseras på innan du använder den, och välj därefter en modell som inte kräver mer av den data du har än vad datan faktiskt uppfyller.

10.2 Teckentest
Som ett alternativ till en enkel t-test (se avsnitt 6.4) kan en teckentest användas. Här testas nollhypotesen att en populationsmedian Md är högst, lägst, eller lika med ett visst värde M0. Testen baseras formellt på binomialfördelningen, men vi kommer i denna bok endast att studera hur testen görs under normalfördelningsapproximation, vilket i detta fall förutsätter att stickprovsstorleken n > 10.
Tillvägagångssättet för en teckentest är följande: Bestäm först värdet för variabeln S:


Om H0: Md ≥ M0 så är S lika med antalet observationer i stickprovet som överstiger M0.



Om H0: Md < M0 så är S lika med antalet observationer i stickprovet som understiger M0.



Om H0: Md = M0 så är S lika med det största av a) antalet observationer i stickprovet som överstiger M0 respektive b) antalet observationer i stickprovet som understiger M0

Studentia.se freE-Learning

93

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Icke-parametriska metoder

Beräkna sedan testets Z-värde som

z=

( S − 0,5) − 0,5n
0,5 n

Exempel 10.1
En tillverkare av glödlampor hävdar att medianvärdet för deras glödlampors livslängd är minst 3 hela år. Ett stickprov om 30 glödlampor av den aktuella typen tas och deras livslängd observeras.
Resultatet framgår av tabellen nedan.
Livslängd
(år)

0-1

1-2

2-3

3-4

4-5

5-6

6-7

Observerad frekvens 11

8

6

3

1

0

1

Kan man på basis av detta stickprov hävda att tillverkaren har fel med α = 0,01?
Lösning
Vi har hypoteserna
H0: Md ≥ 3
H1: Md < 3
Antalet av de 30 observerade livslängderna som överstiger 3 år är 5 st. Vi beräknar alltså testets Zvärde till

z=

(5 − 0,5) − 0,5 ⋅ 30
0,5 30

= −3, 47

Eftersom H1 är av karaktären ”mindre än” genomförs testet i Z-fördelningens vänstra svans. Kritiskt
Z-värde för en ensidig test för α = 0,01 kan då avläsas från tabell A1 till -2,33. Eftersom -2,33 > -3,47 förkastas H0.

10.3 Wilcoxons teckenrangtest
Som alternativ till den parvisa t-testen (se avsnitt 6.11) kan Wilcoxons teckenrangtest användas. Här testas nollhypotesen att skillnaden mellan två populationsmedianer, M1 och M2, är högst, lägst, eller lika med noll. När antalet observerade par är litet baseras testen på en fördelning som inte tas upp i denna bok, men när n > 20 kan normalfördelningsapproximation användas.
Tillvägagångssättet är att beräkna differensen mellan vart och ett av de n dataparen, utesluta de datapar som har differensen 0 från testen, och därpå rangordna differensernas absolutvärden. Datapar med differensen 0 utesluts från testen. Därefter beräknas storheterna T – och T + där

Studentia.se freE-Learning

94

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium




Icke-parametriska metoder

T – = summan av rangvärdena (”platssiffrorna”) för de datapar som har negativ differens
T += summan av rangvärdena för de datapar som har positiv differens

När flera datapar har samma absoluta differens så får samtliga ett rangvärde motsvarande deras genomsnittliga rangvärde.
Värdet på variabeln T definieras sedan på följande sätt:




Om H0: M1 ≤ M2 så är T = T –
Om H0: M1 > M2 så är T = T + så är T = T +
Om H0: M1 = M2 så är T = det minsta av T och T +

Testets Z-värde beräknas som

z=

n(n + 1)
4
n(n + 1)(2n + 1)
24
T−

Exempel 10.2
28 slumpmässigt valda kunder fick svara på hur positivt inställda de var till en viss nöjespark när de gick in i parken. Samma kunder svarade även på samma fråga när de lämnade parken. Svaren avgavs på en skala 1 – 7 där 7 betydde att man var maximalt positiv. Resultatet framgår av tabellen nedan.
Kund

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

In

3

4

5

3

4

5

7

5

3

4

5

7

4

4

Ut

5

5

6

7

5

4

6

6

5

4

5

7

6

3

Kund

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

In

4

3

4

5

1

3

3

4

5

3

5

6

7

3

Ut

2

2

4

5

5

5

4

6

6

4

7

6

5

7

Kan man med α = 0,05 dra slutsatsen att kunderna är mer nöjda när de lämnar parken?

Studentia.se freE-Learning

95

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Icke-parametriska metoder

Lösning
Vi får hypoteserna
H0: M1 ≥ M2
H1: M1 < M2
Vi beräknar de absoluta differenserna mellan varje enskild observation, exkluderar de sex observationerna med 0 i differens, och ger varje absolut differens sitt rangvärde. Vi har 11 observationer med den absoluta differensen 1, vilket innebär att dessa 11 observationer har det genomsnittliga rangvärdet 6 (medelvärdet av platssiffrorna 1 till 11). Vi har sedan 8 observationer med den absoluta differensen 2, vilket ger dessa observationer det genomsnittliga rangvärdet 15,5 (medelvärdet av platssiffrorna 12 till 19), och så vidare. De rangvärden som hör till en negativ differens summeras sedan till T -, medan de rangvärden som hör till en positiv differens summeras till T +. Alltsammans sammanfattas i nedanstående tabell.

Studentia.se freE-Learning

96

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Icke-parametriska metoder

Rangvärde för positiv differens

Rangvärde för negativ differens

Kund

Före

Efter

Differens

Absolut differens

Rangvärde

1

3

5

-2

2

15,5

15,5

2

4

5

-1

1

6

6

3

5

6

-1

1

6

6

4

3

7

-4

4

21

21

5

4

5

-1

1

6

6

6

5

4

1

1

6

6

7

7

6

1

1

6

6

8

5

6

-1

1

6

6

9

3

5

-2

2

15,5

15,5

10

4

4

0

11

5

5

0

12

7

7

0

13

4

6

-2

2

15,5

0

14

4

3

1

1

6

6

15

4

2

2

2

15,5

15,5

16

3

2

1

1

6

6

17

4

4

0

18

5

5

0

19

1

5

-4

4

21

21

20

3

5

-2

2

15,5

15,5

21

3

4

-1

1

6

6

22

4

6

-2

2

15,5

15,5

23

5

6

-1

1

6

6

24

3

4

-1

1

6

6

25

5

7

-2

2

15,5

15,5

26

6

6

0

27

7

5

2

2

15,5

28

3

7

-4

4

21

15,5

15,5
21
T

+

= 55

T

-

= 198

De sex observationer med 0 i differens utesluts från testen, som alltså baseras på n = 28 – 6 =
22, vilket innebär att vi kan använda normalfördelningsapproximation. Vi har en nollhypotes av karaktären M1 ≥ M2 så T = T += 55. Testets Z-värde blir då z= Studentia.se freE-Learning

n(n + 1)
4
= n(n + 1)(2n + 1)
24
T−

22(22 + 1)
−71,5
4
=
= −2,32
30,8
22(22 + 1)(2 ⋅ 22 + 1)
24
55 −

97

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Icke-parametriska metoder

Kritiskt Z-värde för α = 0,05 i vänstra svansen är enligt tabell A1 lika med -1,64. Eftersom -1,64 >
-2,32 så förkastas H0.

10.4 Mann-Whitneys test
Som alternativ till t-testen för två oberoende populationer (se avsnitt 6.4) kan Mann-Whitneys test
(kallas ibland Wilcoxons rangsummetest – icke att förväxla med Wilcoxons teckenrangtest som illustrerades ovan) användas. Här testas nollhypotesen att skillnaden mellan två populationsmedianer,
M1 och M2, är högst, lägst, eller lika med noll. När antalet observationer från minst en av populationerna är litet baseras testen på en fördelning som inte tas upp i denna bok, men när n1 > 10 och n2 > 10 kan normalfördelningsapproximation användas.
Tillvägagångssättet är följande: Uttryck först hypoteserna så att n1 ≤ n2. Rangordna sedan de n1 + n2 observationerna från lägsta till högsta värde. När flera observationer har samma värde så får samtliga ett rangvärde motsvarande deras genomsnittliga rangvärde. Värdet på variabeln T definieras nu som summan av rangvärden för stickprovet från population 1.
Testets Z-värde beräknas sedan som

n1 (n1 + 1) + n1n2
−T
2 z= n1n2 (n1 + n2 + 1)
12

Studentia.se freE-Learning

98

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Icke-parametriska metoder

Exempel 10.3
24 slumpmässigt utvalda personer (11 män och 13 kvinnor) fick bedöma på en skala 1 – 10 (där 10 är bäst) vad de tyckte om kvaliteten på en viss utbildning de hade genomgått. Resultatet framgår av tabellen nedan.
Män

9

7

6

7

5

5

7

8

7

4

5

Kvinnor

4

4

6

5

8

7

4

5

6

5

3

4

5

Kan man med α = 0,01 dra slutsatsen att männen i medeltal är mer nöjda än kvinnorna?
Lösning
Vi sätter männen som population 1 eftersom 11 < 13 och får hypoteserna
H0: M1 ≤ M2
H1: M1 > M2
Vi ger därefter var och en av de 11 + 13 = 24 observationerna sitt rangvärde. Vi har en 3:a som lägsta värde, den får rangvärdet 1. Vi har därefter 5 st. 4:or på platserna 2 till 6. Deras genomsnittliga rangvärde är alltså 4, och så vidare. Resultatet framgår av tabellen nedan.

Studentia.se freE-Learning

99

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Icke-parametriska metoder

Population

Värde

Rangvärde

1

9

24

1

7

19

1

6

15

1

7

19

1

5

10

1

5

10

1

7

19

1

8

22,5

1

7

19

1

4

4

1

5

10

2

4

4

2

4

4

2

6

15

2

5

10

2

8

22,5

2

7

19

2

4

4

2

5

10

2

6

15

2

5

10

2

3

1

2

4

4

2

5

10

Vi summerar rangvärdena för observationerna från population 1:
T = 24 + 19 + ... + 10 = 171,5

Studentia.se freE-Learning

100

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Icke-parametriska metoder

Sedan beräknas testets Z-värde:
11(11 + 1) + 11 ⋅13
− 171,5
−34
2 z= =
= −1,97
17, 26
11 ⋅13(11 + 13 + 1)
12

Kritiskt Z-värde för α = 0,01 är enligt tabell A1 lika med -2,33. H0 kan således inte förkastas, eftersom
-2,33 < -1,97.

10.5 Kruskal-Wallis test
Som alternativ till envägs variansanalys för 3 eller fler oberoende populationer (se kapitel 7) kan
Kruskal-Wallis test användas. Här testas nollhypotesen att skillnaden mellan tre populationsmedianer är lika med noll. När antalet observationer från minst en av populationerna är litet baseras testen på en fördelning som inte tas upp i denna bok, men när stickprovsstorleken från var och en av de populationer som undersöks är åtminstone 5 kan chitvå-fördelningsapproximation användas. Denna test påminner mycket om Mann-Whitneys test (de är rent tekniskt identiska om antalet populationer som undersöks är två).
Antag att vi har stickprovsdata på minst ordinalskalan från k olika populationer. Precis som i MannWhitneys test inleder man då med att tilldela var och en av de n = n1 + n2 + + ... + nk observationerna ett rangvärde. Även här är det så att när flera observationer har samma värde så får samtliga ett rangvärde motsvarande deras genomsnittliga rangvärde. Vi definierar sedan T1 som summan av rangvärden från stickprov 1, T2 som summan av rangvärden från stickprov 2 och så vidare upp till Tk som summan av rangvärden från stickprov k. Därefter beräknas värdet för testvariabeln H som

H=

k
Ti 2
12
∑ − 3(n + 1) n(n + 1) i =1 ni

som approximativt följer en chitvå-fördelning med k – 1 frihetsgrader.

Studentia.se freE-Learning

101

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Icke-parametriska metoder

Exempel 10.4
En butik delar in sina kunder i tre kategorier: yngre, medelålders och äldre. Man vill nu testa om kunderna i medeltal kan antas vara inne i butiken lika länge. Man mäter därför hur länge 5 slumpmässigt valda kunder från respektive kategori är inne i butiken. Resultatet (i minuter) framgår av tabellen nedan.

Yngre

Medelålders

Äldre

4

6

13

7

8

3

3

14

5

4

8

6

11

18

5

Kan man med α = 0,05 dra slutsatsen att någon ålderskategori i medeltal är inne längre i butiken än någon annan?

STUDENTER FÅR 10 KR RABATT
PÅ ALLA MEAL ÖVER 55 KR.
Kan ej kombineras med andra erbjudanden. Gäller endast för ett meal per köptillfälle och på medverkande
Burger King-restauranger i Sverige. Gäller under läsåret 06/07 mot uppvisande av giltig studentlegitimation.

Studentia.se freE-Learning

102

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Icke-parametriska metoder

Lösning
Vi ger var och en av de 5 + 5 + 5 = 15 observationerna sitt rangvärde. Vi har 2 st. 3:or som lägsta värde – deras genomsnittliga rangvärde är alltså 1,5. Vi har därefter 2 st. 4:or på platserna 3 och 4.
Deras genomsnittliga rangvärde är alltså 3,5, och så vidare. Resultatet framgår av tabellen nedan.
Population

Värde

Rangvärde

1

4

3,5

1

7

9

1

3

1,5

1

4

3,5

1

11

12

2

6

7,5

2

8

10,5

2

14

14

2

8

10,5

2

18

15

3

13

13

3

3

1,5

3

5

5,5

3

6

7,5

3

5

5,5

Vi summerar därefter rangvärdena för var och en av populationerna:

T1 = 3, 5 + 9 + 1, 5 + 3, 5 + 12 = 29,5
T2 = 7, 5 + 10, 5 + 14 + 10, 5 + 15 = 57,5
T3 = 13 + 1, 5 + 5, 5 + 7, 5 + 5, 5 = 33
Vi kan nu beräkna värdet för testvariabeln H:
H=

 29,52 57,52 332 
12
+
+

 − 3(15 + 1) = 4, 655
15(15 + 1)  5
5
5 

Kritiskt χ2-värde för α = 0,05 med 3 – 1 = 2 df är enligt tabell A3 lika med 5,99148. Således kan H0 inte förkastas, eftersom 5,99148 > 4,655.

Studentia.se freE-Learning

103

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Icke-parametriska metoder

10.6 Spearmans rank-korrelationstest
Som alternativ till den ”vanliga” korrelationskoefficienten vid sambandsanalys för två slumpvariabler
X och Y (se avsnitt 8.2) kan Spearmans rank-korrelationstest användas. Denna förutsätter endast att
X- och Y-värdena är rangordningsbara, d.v.s. de kan vara på ordinalskalan eller de kan vara kvantitativ data med godtycklig fördelning.
Idén är helt enkelt att beräkna korrelationskoefficienten r med den vanliga formeln, men på basis av observationernas rangvärden istället för observationerna i sig. På samma sätt som innan så blir det så att när flera observationer har samma värde så får samtliga ett rangvärde motsvarande deras genomsnittliga rangvärde.
Tolkningen av denna korrelationskoefficient blir densamma som för den vanliga korrelationskoef ficienten. För mindre värden på n kommer r dock att följa en fördelning som inte tas upp i denna bok. För större värden på n (tumregel: n > 10) kan däremot t-fördelningen användas för att analysera nollhypotesen att den sanna korrelationskoefficienten är högst, lägst, eller lika med noll. Testets tvärde beräknas då enligt formeln

t=

r n−2
1− r2

med n – 2 frihetsgrader.
Exempel 10.5
10 studenter tillfrågas om hur många timmar de har arbetar med en viss inlämningsuppgift, för att kunna analysera om det finns något samband mellan arbetsinsats och betyg. Betyg gavs på en skala
1 – 5 där 5 är bäst. Resultatet framgår av tabellen nedan.

Student

Betyg

1

3

2

2

5

4

3

4

3

4

8

3

5

7

4

6

9

4

7

6

3

8

6

2

9

10

5

10

Studentia.se freE-Learning

Timmar

7

5

104

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Icke-parametriska metoder

Finns det någon signifikant korrelation mellan betyg och arbetsinsats i tid räknat? Använd α = 0,05.
Lösning
Vi beräknar först rangvärdena för variablerna ”timmar” respektive ”betyg” var för sig för respektive student:
Student

Rangvärde
Betyg

1

1

1,5

2

3

7

3

2

4

4

8

4

5

6,5

7

6

9

7

7

4,5

4

8

4,5

1,5

9

10

9,5

10

Studentia.se freE-Learning

Rangvärde
Timmar

6,5

9,5

105

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Icke-parametriska metoder

Beräkning av korrelationskoefficienten med den vanliga formeln (se avsnitt 8.2) ger r = 0,63 (pröva själv!). Stickprovsdatan indikerar alltså en viss korrelation. Vi vill testa om den är signifikant positiv, och får då hypoteserna
H0: ñ ≤ 0
H1: ñ > 0
Testets t-värde beräknas till t= r n−2
1− r

2

=

0, 63 10 − 2
1 − 0, 632

= 2, 29

Kritiskt t-värde för 10 – 2 = 8 df är enligt tabell A2 lika med 1,8595. Således kan H0 förkastas, eftersom 1,85 < 2,29.

Studentia.se freE-Learning

106

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Standardnormalfördelningen.

Tabell A1: Standardnormalfördelningen


Tabellen visar P(Z > z) =

∫ f ( z )dz

när Z~N(0, 1).

z

Exempel: När Z~N(0, 1) så blir P(Z> 1,42) = 0,0778 z 0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,0

0,5000

0,4960

0,4920

0,4880

0,4840

0,4801

0,4761

0,4721

0,4681

0,4641

0,1

0,4602

0,4562

0,4522

0,4483

0,4443

0,4404

0,4364

0,4325

0,4286

0,4247

0,2

0,4207

0,4168

0,4129

0,4090

0,4052

0,4013

0,3974

0,3936

0,3897

0,3859

0,3

0,3821

0,3783

0,3745

0,3707

0,3669

0,3632

0,3594

0,3557

0,3520

0,3483

0,4

0,3446

0,3409

0,3372

0,3336

0,3300

0,3264

0,3228

0,3192

0,3156

0,3121

0,5

0,3085

0,3050

0,3015

0,2981

0,2946

0,2912

0,2877

0,2843

0,2810

0,2776

0,6

0,2743

0,2709

0,2676

0,2643

0,2611

0,2578

0,2546

0,2514

0,2483

0,2451

0,7

0,2420

0,2389

0,2358

0,2327

0,2296

0,2266

0,2236

0,2206

0,2177

0,2148

0,8

0,2119

0,2090

0,2061

0,2033

0,2005

0,1977

0,1949

0,1922

0,1894

0,1867

0,9

0,1841

0,1814

0,1788

0,1762

0,1736

0,1711

0,1685

0,1660

0,1635

0,1611

1,0

0,1587

0,1562

0,1539

0,1515

0,1492

0,1469

0,1446

0,1423

0,1401

0,1379

1,1

0,1357

0,1335

0,1314

0,1292

0,1271

0,1251

0,1230

0,1210

0,1190

0,1170

1,2

0,1151

0,1131

0,1112

0,1093

0,1075

0,1056

0,1038

0,1020

0,1003

0,0985

1,3

0,0968

0,0951

0,0934

0,0918

0,0901

0,0885

0,0869

0,0853

0,0838

0,0823

1,4

0,0808

0,0793

0,0778

0,0764

0,0749

0,0735

0,0721

0,0708

0,0694

0,0681

1,5

0,0668

0,0655

0,0643

0,0630

0,0618

0,0606

0,0594

0,0582

0,0571

0,0559

1,6

0,0548

0,0537

0,0526

0,0516

0,0505

0,0495

0,0485

0,0475

0,0465

0,0455

1,7

0,0446

0,0436

0,0427

0,0418

0,0409

0,0401

0,0392

0,0384

0,0375

0,0367

1,8

0,0359

0,0351

0,0344

0,0336

0,0329

0,0322

0,0314

0,0307

0,0301

0,0294

1,9

0,0287

0,0281

0,0274

0,0268

0,0262

0,0256

0,0250

0,0244

0,0239

0,0233

2,0

0,0228

0,0222

0,0217

0,0212

0,0207

0,0202

0,0197

0,0192

0,0188

0,0183

2,1

0,0179

0,0174

0,0170

0,0166

0,0162

0,0158

0,0154

0,0150

0,0146

0,0143

2,2

0,0139

0,0136

0,0132

0,0129

0,0125

0,0122

0,0119

0,0116

0,0113

0,0110

2,3

0,0107

0,0104

0,0102

0,0099

0,0096

0,0094

0,0091

0,0089

0,0087

0,0084

2,4

0,0082

0,0080

0,0078

0,0075

0,0073

0,0071

0,0069

0,0068

0,0066

0,0064

2,5

0,0062

0,0060

0,0059

0,0057

0,0055

0,0054

0,0052

0,0051

0,0049

0,0048

2,6

0,0047

0,0045

0,0044

0,0043

0,0041

0,0040

0,0039

0,0038

0,0037

0,0036

2,7

0,0035

0,0034

0,0033

0,0032

0,0031

0,0030

0,0029

0,0028

0,0027

0,0026

2,8

0,0026

0,0025

0,0024

0,0023

0,0023

0,0022

0,0021

0,0021

0,0020

0,0019

2,9

0,0019

0,0018

0,0018

0,0017

0,0016

0,0016

0,0015

0,0015

0,0014

0,0014

3,0

0,0013

0,0013

0,0013

0,0012

0,0012

0,0011

0,0011

0,0011

0,0010

0,0010

Studentia.se freE-Learning

107

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

t-fördelningen.

Tabell A2: t-fördelningen
Tabellen visar kritiska värden för t-fördelningen.
Exempel: För 8 frihetsgrader så är 0,01 > P(t > 3) > 0,005 eftersom 2,8965 < 3 < 3,3554. df t0,1

t0,05

t0,025

t0,01

t0,005

t0,001

1

3,0777

6,3137

12,706

31,821

63,656

318,29

2

1,8856

2,9200

4,3027

6,9645

9,9250

22,328

3

1,6377

2,3534

3,1824

4,5407

5,8408

10,214

4

1,5332

2,1318

2,7765

3,7469

4,6041

7,1729

5

1,4759

2,0150

2,5706

3,3649

4,0321

5,8935

6

1,4398

1,9432

2,4469

3,1427

3,7074

5,2075

7

1,4149

1,8946

2,3646

2,9979

3,4995

4,7853

8

1,3968

1,8595

2,3060

2,8965

3,3554

4,5008

9

1,3830

1,8331

2,2622

2,8214

3,2498

4,2969

10

1,3722

1,8125

2,2281

2,7638

3,1693

4,1437

11

1,3634

1,7959

2,2010

2,7181

3,1058

4,0248

12

1,3562

1,7823

2,1788

2,6810

3,0545

3,9296

13

1,3502

1,7709

2,1604

2,6503

3,0123

3,8520

14

1,3450

1,7613

2,1448

2,6245

2,9768

3,7874

15

1,3406

1,7531

2,1315

2,6025

2,9467

3,7329

16

1,3368

1,7459

2,1199

2,5835

2,9208

3,6861

17

1,3334

1,7396

2,1098

2,5669

2,8982

3,6458

18

1,3304

1,7341

2,1009

2,5524

2,8784

3,6105

19

1,3277

1,7291

2,0930

2,5395

2,8609

3,5793

20

1,3253

1,7247

2,0860

2,5280

2,8453

3,5518

21

1,3232

1,7207

2,0796

2,5176

2,8314

3,5271

22

1,3212

1,7171

2,0739

2,5083

2,8188

3,5050

23

1,3195

1,7139

2,0687

2,4999

2,8073

3,4850

24

1,3178

1,7109

2,0639

2,4922

2,7970

3,4668

25

1,3163

1,7081

2,0595

2,4851

2,7874

3,4502

26

1,3150

1,7056

2,0555

2,4786

2,7787

3,4350

27

1,3137

1,7033

2,0518

2,4727

2,7707

3,4210

28

1,3125

1,7011

2,0484

2,4671

2,7633

3,4082

29

1,3114

1,6991

2,0452

2,4620

2,7564

3,3963

30

1,3104

1,6973

2,0423

2,4573

2,7500

3,3852

35

1,3062

1,6896

2,0301

2,4377

2,7238

3,3400

40

1,3031

1,6839

2,0211

2,4233

2,7045

3,3069

45

1,3007

1,6794

2,0141

2,4121

2,6896

3,2815

50

1,2987

1,6759

2,0086

2,4033

2,6778

3,2614

60

1,2958

1,6706

2,0003

2,3901

2,6603

3,2317

80

1,2922

1,6641

1,9901

2,3739

2,6387

3,1952

100

1,2901

1,6602

1,9840

2,3642

2,6259

3,1738



1,2815

1,6448

1,9600

2,3264

2,5758

3,0902

Studentia.se freE-Learning

108

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

X2-fördelningen.

Tabell A3: χ2 -fördelningen
Tabellen visar kritiska värden för χ2-fördelningen.
Exempel: För 8 frihetsgrader så är 0, 05 > P ( ÷ 2 > 16) > 0, 025 eftersom 15,5073 < 16 < 17,5345. df 2
÷ 0,995

2
÷ 0,99

2
÷ 0,975

2
÷ 0,95

2
÷ 0,9

2
÷ 0,1

2
÷ 0,05

1

0,00004

0,00016

0,00098

0,00393

0,01579

2,70554

3,84146

5,02390

6,63489

7,87940

2

0,01002

0,02010

0,05064

0,10259

0,21072

4,60518

5,99148

7,37778

9,21035

10,5965

3

0,07172

0,11483

0,21579

0,35185

0,58438

6,25139

7,81472

9,34840

11,3449

12,8381

4

0,20698

0,29711

0,48442

0,71072

1,06362

7,77943

9,48773

11,1433

13,2767

14,8602

5

0,41175

0,55430

0,83121

1,14548

1,61031

9,23635

11,0705

12,8325

15,0863

16,7496

6

0,67573

0,87208

1,23734

1,63538

2,20413

10,6446

12,5916

14,4494

16,8119

18,5475

7

0,98925

1,23903

1,68986

2,16735

2,83311

12,0170

14,0671

16,0128

18,4753

20,2777

8

1,34440

1,64651

2,17972

2,73263

3,48954

13,3616

15,5073

17,5345

20,0902

21,9549

9

1,73491

2,08789

2,70039

3,32512

4,16816

14,6837

16,9190

19,0228

21,6660

23,5893

10

2,15585

2,55820

3,24696

3,94030

4,86518

15,9872

18,3070

20,4832

23,2093

25,1881

11

2,60320

3,05350

3,81574

4,57481

5,57779

17,2750

19,6752

21,9200

24,7250

26,7569

12

3,07379

3,57055

4,40378

5,22603

6,30380

18,5493

21,0261

23,3367

26,2170

28,2997

13

3,56504

4,10690

5,00874

5,89186

7,04150

19,8119

22,3620

24,7356

27,6882

29,8193

14

4,07466

4,66042

5,62872

6,57063

7,78954

21,0641

23,6848

26,1189

29,1412

31,3194

15

4,60087

5,22936

6,26212

7,26093

8,54675

22,3071

24,9958

27,4884

30,5780

32,8015

16

5,14216

5,81220

6,90766

7,96164

9,31224

23,5418

26,2962

28,8453

31,9999

34,2671

17

5,69727

6,40774

7,56418

8,67175

10,0852

24,7690

27,5871

30,1910

33,4087

35,7184

18

6,26477

7,01490

8,23074

9,39045

10,8649

25,9894

28,8693

31,5264

34,8052

37,1564

19

6,84392

7,63270

8,90651

10,1170

11,6509

27,2036

30,1435

32,8523

36,1908

38,5821

20

7,43381

8,26037

9,59077

10,8508

12,4426

28,4120

31,4104

34,1696

37,5663

39,9969

22

8,64268

9,54249

10,9823

12,3380

14,0415

30,8133

33,9245

36,7807

40,2894

42,7957

24

9,88620

10,8563

12,4011

13,8484

15,6587

33,1962

36,4150

39,3641

42,9798

45,5584

26

11,1602

12,1982

13,8439

15,3792

17,2919

35,5632

38,8851

41,9231

45,6416

48,2898

28

12,4613

13,5647

15,3079

16,9279

18,9392

37,9159

41,3372

44,4608

48,2782

50,9936

30

13,7867

14,9535

16,7908

18,4927

20,5992

40,2560

43,7730

46,9792

50,8922

53,6719

35

17,1917

18,5089

20,5694

22,4650

24,7966

46,0588

49,8018

53,2033

57,3420

60,2746

40

20,7066

22,1642

24,4331

26,5093

29,0505

51,8050

55,7585

59,3417

63,6908

66,7660

50

27,9908

29,7067

32,3574

34,7642

37,6886

63,1671

67,5048

71,4202

76,1538

79,4898

60

35,5344

37,4848

40,4817

43,1880

46,4589

74,3970

79,0820

83,2977

88,3794

91,9518

70

43,2753

45,4417

48,7575

51,7393

55,3289

85,5270

90,5313

95,0231

100,425

104,215

80

51,1719

53,5400

57,1532

60,3915

64,2778

96,5782

101,879

106,629

112,329

116,321

90

59,1963

61,7540

65,6466

69,1260

73,2911

107,565

113,145

118,136

124,116

128,299

100

67,3275

70,0650

74,2219

77,9294

82,3581

118,498

124,342

129,561

135,807

140,170

Studentia.se freE-Learning

109

2
÷ 0,025

2
÷ 0,01

2
÷ 0,005

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

F-fördelningen för

α = 0,1.

Tabell A4: F-fördelningen för α = 0,1
Tabellen visar kritiska värden för F-fördelningen när α = 0,1.
Exempel: För 8 frihetsgrader i täljaren och 5 frihetsgrader i nämnaren så är P(F > 4) < 0,1 eftersom 4 > 3,34
Täljarens df
Nämnarens
df

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
22
24
26
28
30
35
40
50
60
70
80
90
100
9999

39,86
8,53
5,54
4,54
4,06
3,78
3,59
3,46
3,36
3,29
3,23
3,18
3,14
3,10
3,07
3,05
3,03
3,01
2,99
2,97
2,95
2,93
2,91
2,89
2,88
2,85
2,84
2,81
2,79
2,78
2,77
2,76
2,76
2,71

49,50
9,00
5,46
4,32
3,78
3,46
3,26
3,11
3,01
2,92
2,86
2,81
2,76
2,73
2,70
2,67
2,64
2,62
2,61
2,59
2,56
2,54
2,52
2,50
2,49
2,46
2,44
2,41
2,39
2,38
2,37
2,36
2,36
2,30

53,59
9,16
5,39
4,19
3,62
3,29
3,07
2,92
2,81
2,73
2,66
2,61
2,56
2,52
2,49
2,46
2,44
2,42
2,40
2,38
2,35
2,33
2,31
2,29
2,28
2,25
2,23
2,20
2,18
2,16
2,15
2,15
2,14
2,08

55,83
9,24
5,34
4,11
3,52
3,18
2,96
2,81
2,69
2,61
2,54
2,48
2,43
2,39
2,36
2,33
2,31
2,29
2,27
2,25
2,22
2,19
2,17
2,16
2,14
2,11
2,09
2,06
2,04
2,03
2,02
2,01
2,00
1,94

57,24
9,29
5,31
4,05
3,45
3,11
2,88
2,73
2,61
2,52
2,45
2,39
2,35
2,31
2,27
2,24
2,22
2,20
2,18
2,16
2,13
2,10
2,08
2,06
2,05
2,02
2,00
1,97
1,95
1,93
1,92
1,91
1,91
1,85

58,20
9,33
5,28
4,01
3,40
3,05
2,83
2,67
2,55
2,46
2,39
2,33
2,28
2,24
2,21
2,18
2,15
2,13
2,11
2,09
2,06
2,04
2,01
2,00
1,98
1,95
1,93
1,90
1,87
1,86
1,85
1,84
1,83
1,77

58,91
9,35
5,27
3,98
3,37
3,01
2,78
2,62
2,51
2,41
2,34
2,28
2,23
2,19
2,16
2,13
2,10
2,08
2,06
2,04
2,01
1,98
1,96
1,94
1,93
1,90
1,87
1,84
1,82
1,80
1,79
1,78
1,78
1,72

59,44
9,37
5,25
3,95
3,34
2,98
2,75
2,59
2,47
2,38
2,30
2,24
2,20
2,15
2,12
2,09
2,06
2,04
2,02
2,00
1,97
1,94
1,92
1,90
1,88
1,85
1,83
1,80
1,77
1,76
1,75
1,74
1,73
1,67

59,86
9,38
5,24
3,94
3,32
2,96
2,72
2,56
2,44
2,35
2,27
2,21
2,16
2,12
2,09
2,06
2,03
2,00
1,98
1,96
1,93
1,91
1,88
1,87
1,85
1,82
1,79
1,76
1,74
1,72
1,71
1,70
1,69
1,63

60,19
9,39
5,23
3,92
3,30
2,94
2,70
2,54
2,42
2,32
2,25
2,19
2,14
2,10
2,06
2,03
2,00
1,98
1,96
1,94
1,90
1,88
1,86
1,84
1,82
1,79
1,76
1,73
1,71
1,69
1,68
1,67
1,66
1,60

Studentia.se freE-Learning

110

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

F-fördelningen för

α = 0,05.

Tabell A5: F-fördelningen för α = 0,05.
Tabellen visar kritiska värden för F-fördelningen när α = 0,05.
Exempel: För 8 frihetsgrader i täljaren och 5 frihetsgrader i nämnaren så är P(F > 5) < 0,05 eftersom 5 > 4,82
Täljarens df
Nämnarens
df

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
22
24
26
28
30
35
40
50
60
70
80
90
100
9999

161,4
18,51
10,13
7,71
6,61
5,99
5,59
5,32
5,12
4,96
4,84
4,75
4,67
4,60
4,54
4,49
4,45
4,41
4,38
4,35
4,30
4,26
4,23
4,20
4,17
4,12
4,08
4,03
4,00
3,98
3,96
3,95
3,94
3,84

199,5
19,00
9,55
6,94
5,79
5,14
4,74
4,46
4,26
4,10
3,98
3,89
3,81
3,74
3,68
3,63
3,59
3,55
3,52
3,49
3,44
3,40
3,37
3,34
3,32
3,27
3,23
3,18
3,15
3,13
3,11
3,10
3,09
3,00

215,7
19,16
9,28
6,59
5,41
4,76
4,35
4,07
3,86
3,71
3,59
3,49
3,41
3,34
3,29
3,24
3,20
3,16
3,13
3,10
3,05
3,01
2,98
2,95
2,92
2,87
2,84
2,79
2,76
2,74
2,72
2,71
2,70
2,60

224,6
19,25
9,12
6,39
5,19
4,53
4,12
3,84
3,63
3,48
3,36
3,26
3,18
3,11
3,06
3,01
2,96
2,93
2,90
2,87
2,82
2,78
2,74
2,71
2,69
2,64
2,61
2,56
2,53
2,50
2,49
2,47
2,46
2,37

230,2
19,30
9,01
6,26
5,05
4,39
3,97
3,69
3,48
3,33
3,20
3,11
3,03
2,96
2,90
2,85
2,81
2,77
2,74
2,71
2,66
2,62
2,59
2,56
2,53
2,49
2,45
2,40
2,37
2,35
2,33
2,32
2,31
2,21

234,0
19,33
8,94
6,16
4,95
4,28
3,87
3,58
3,37
3,22
3,09
3,00
2,92
2,85
2,79
2,74
2,70
2,66
2,63
2,60
2,55
2,51
2,47
2,45
2,42
2,37
2,34
2,29
2,25
2,23
2,21
2,20
2,19
2,10

236,8
19,35
8,89
6,09
4,88
4,21
3,79
3,50
3,29
3,14
3,01
2,91
2,83
2,76
2,71
2,66
2,61
2,58
2,54
2,51
2,46
2,42
2,39
2,36
2,33
2,29
2,25
2,20
2,17
2,14
2,13
2,11
2,10
2,01

238,9
19,37
8,85
6,04
4,82
4,15
3,73
3,44
3,23
3,07
2,95
2,85
2,77
2,70
2,64
2,59
2,55
2,51
2,48
2,45
2,40
2,36
2,32
2,29
2,27
2,22
2,18
2,13
2,10
2,07
2,06
2,04
2,03
1,94

240,5
19,38
8,81
6,00
4,77
4,10
3,68
3,39
3,18
3,02
2,90
2,80
2,71
2,65
2,59
2,54
2,49
2,46
2,42
2,39
2,34
2,30
2,27
2,24
2,21
2,16
2,12
2,07
2,04
2,02
2,00
1,99
1,97
1,88

241,9
19,40
8,79
5,96
4,74
4,06
3,64
3,35
3,14
2,98
2,85
2,75
2,67
2,60
2,54
2,49
2,45
2,41
2,38
2,35
2,30
2,25
2,22
2,19
2,16
2,11
2,08
2,03
1,99
1,97
1,95
1,94
1,93
1,83

Studentia.se freE-Learning

111

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

F-fördelningen för

α = 0,025.

Tabell A6: F-fördelningen för α = 0,025.
Tabellen visar kritiska värden för F-fördelningen när α = 0,025.
Exempel: För 8 frihetsgrader i täljaren och 5 frihetsgrader i nämnaren så är P(F > 7) < 0,025 eftersom 7 > 6,76.
Täljarens df
Nämnarens
df

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

647,8

799,5

864,2

899,6

921,8

937,1

948,2

956,6

963,3

968,6

2

38,51

39,00

39,17

39,25

39,30

39,33

39,36

39,37

39,39

39,40

3

17,44

16,04

15,44

15,10

14,88

14,73

14,62

14,54

14,47

14,42

4

12,22

10,65

9,98

9,60

9,36

9,20

9,07

8,98

8,90

8,84

5

10,01

8,43

7,76

7,39

7,15

6,98

6,85

6,76

6,68

6,62

6

8,81

7,26

6,60

6,23

5,99

5,82

5,70

5,60

5,52

5,46

7

8,07

6,54

5,89

5,52

5,29

5,12

4,99

4,90

4,82

4,76

8

7,57

6,06

5,42

5,05

4,82

4,65

4,53

4,43

4,36

4,30

9

7,21

5,71

5,08

4,72

4,48

4,32

4,20

4,10

4,03

3,96

10

6,94

5,46

4,83

4,47

4,24

4,07

3,95

3,85

3,78

3,72

11

6,72

5,26

4,63

4,28

4,04

3,88

3,76

3,66

3,59

3,53

12

6,55

5,10

4,47

4,12

3,89

3,73

3,61

3,51

3,44

3,37

13

6,41

4,97

4,35

4,00

3,77

3,60

3,48

3,39

3,31

3,25

14

6,30

4,86

4,24

3,89

3,66

3,50

3,38

3,29

3,21

3,15

15

6,20

4,77

4,15

3,80

3,58

3,41

3,29

3,20

3,12

3,06

16

6,12

4,69

4,08

3,73

3,50

3,34

3,22

3,12

3,05

2,99

17

6,04

4,62

4,01

3,66

3,44

3,28

3,16

3,06

2,98

2,92

18

5,98

4,56

3,95

3,61

3,38

3,22

3,10

3,01

2,93

2,87

19

5,92

4,51

3,90

3,56

3,33

3,17

3,05

2,96

2,88

2,82

20

5,87

4,46

3,86

3,51

3,29

3,13

3,01

2,91

2,84

2,77

22

5,79

4,38

3,78

3,44

3,22

3,05

2,93

2,84

2,76

2,70

24

5,72

4,32

3,72

3,38

3,15

2,99

2,87

2,78

2,70

2,64

26

5,66

4,27

3,67

3,33

3,10

2,94

2,82

2,73

2,65

2,59

28

5,61

4,22

3,63

3,29

3,06

2,90

2,78

2,69

2,61

2,55

30

5,57

4,18

3,59

3,25

3,03

2,87

2,75

2,65

2,57

2,51

35

5,48

4,11

3,52

3,18

2,96

2,80

2,68

2,58

2,50

2,44

40

5,42

4,05

3,46

3,13

2,90

2,74

2,62

2,53

2,45

2,39

50

5,34

3,97

3,39

3,05

2,83

2,67

2,55

2,46

2,38

2,32

60

5,29

3,93

3,34

3,01

2,79

2,63

2,51

2,41

2,33

2,27

70

5,25

3,89

3,31

2,97

2,75

2,59

2,47

2,38

2,30

2,24

80

5,22

3,86

3,28

2,95

2,73

2,57

2,45

2,35

2,28

2,21

90

5,20

3,84

3,26

2,93

2,71

2,55

2,43

2,34

2,26

2,19

100

5,18

3,83

3,25

2,92

2,70

2,54

2,42

2,32

2,24

2,18

9999

5,02

3,69

3,12

2,79

2,57

2,41

2,29

2,19

2,11

2,05

Studentia.se freE-Learning

112

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

F-fördelningen för

α = 0,01.

Tabell A7: F-fördelningen för α = 0,01.
Tabellen visar kritiska värden för F-fördelningen när α = 0,01.
Exempel: För 8 frihetsgrader i täljaren och 5 frihetsgrader i nämnaren så är P(F > 11) < 0,01 eftersom 11 > 10,29
Täljarens df
Nämnarens
df

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
22
24
26
28
30
35
40
50
60
70
80
90
100
9999

4052
98,50
34,12
21,20
16,26
13,75
12,25
11,26
10,56
10,04
9,65
9,33
9,07
8,86
8,68
8,53
8,40
8,29
8,18
8,10
7,95
7,82
7,72
7,64
7,56
7,42
7,31
7,17
7,08
7,01
6,96
6,93
6,90
6,64

4999
99,00
30,82
18,00
13,27
10,92
9,55
8,65
8,02
7,56
7,21
6,93
6,70
6,51
6,36
6,23
6,11
6,01
5,93
5,85
5,72
5,61
5,53
5,45
5,39
5,27
5,18
5,06
4,98
4,92
4,88
4,85
4,82
4,61

5404
99,16
29,46
16,69
12,06
9,78
8,45
7,59
6,99
6,55
6,22
5,95
5,74
5,56
5,42
5,29
5,19
5,09
5,01
4,94
4,82
4,72
4,64
4,57
4,51
4,40
4,31
4,20
4,13
4,07
4,04
4,01
3,98
3,78

5624
99,25
28,71
15,98
11,39
9,15
7,85
7,01
6,42
5,99
5,67
5,41
5,21
5,04
4,89
4,77
4,67
4,58
4,50
4,43
4,31
4,22
4,14
4,07
4,02
3,91
3,83
3,72
3,65
3,60
3,56
3,53
3,51
3,32

5764
99,30
28,24
15,52
10,97
8,75
7,46
6,63
6,06
5,64
5,32
5,06
4,86
4,69
4,56
4,44
4,34
4,25
4,17
4,10
3,99
3,90
3,82
3,75
3,70
3,59
3,51
3,41
3,34
3,29
3,26
3,23
3,21
3,02

5859
99,33
27,91
15,21
10,67
8,47
7,19
6,37
5,80
5,39
5,07
4,82
4,62
4,46
4,32
4,20
4,10
4,01
3,94
3,87
3,76
3,67
3,59
3,53
3,47
3,37
3,29
3,19
3,12
3,07
3,04
3,01
2,99
2,80

5928
99,36
27,67
14,98
10,46
8,26
6,99
6,18
5,61
5,20
4,89
4,64
4,44
4,28
4,14
4,03
3,93
3,84
3,77
3,70
3,59
3,50
3,42
3,36
3,30
3,20
3,12
3,02
2,95
2,91
2,87
2,84
2,82
2,64

5981
99,38
27,49
14,80
10,29
8,10
6,84
6,03
5,47
5,06
4,74
4,50
4,30
4,14
4,00
3,89
3,79
3,71
3,63
3,56
3,45
3,36
3,29
3,23
3,17
3,07
2,99
2,89
2,82
2,78
2,74
2,72
2,69
2,51

6022
99,39
27,34
14,66
10,16
7,98
6,72
5,91
5,35
4,94
4,63
4,39
4,19
4,03
3,89
3,78
3,68
3,60
3,52
3,46
3,35
3,26
3,18
3,12
3,07
2,96
2,89
2,78
2,72
2,67
2,64
2,61
2,59
2,41

6056
99,40
27,23
14,55
10,05
7,87
6,62
5,81
5,26
4,85
4,54
4,30
4,10
3,94
3,80
3,69
3,59
3,51
3,43
3,37
3,26
3,17
3,09
3,03
2,98
2,88
2,80
2,70
2,63
2,59
2,55
2,52
2,50
2,32

Studentia.se freE-Learning

113

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

F-fördelningen för

α = 0,005.

Tabell A8: F-fördelningen för α = 0,005.
Tabellen visar kritiska värden för F-fördelningen när α = 0,005.
Exempel: För 8 frihetsgrader i täljaren och 5 frihetsgrader i nämnaren så är P(F > 14) < 0,005 eftersom 14 > 13,96.
Täljarens df
Nämnarens
df

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
22
24
26
28
30
35
40
50
60
70
80
90
100
9999

16212
198,5
55,55
31,33
22,78
18,63
16,24
14,69
13,61
12,83
12,23
11,75
11,37
11,06
10,80
10,58
10,38
10,22
10,07
9,94
9,73
9,55
9,41
9,28
9,18
8,98
8,83
8,63
8,49
8,40
8,33
8,28
8,24
7,88

19997
199,0
49,80
26,28
18,31
14,54
12,40
11,04
10,11
9,43
8,91
8,51
8,19
7,92
7,70
7,51
7,35
7,21
7,09
6,99
6,81
6,66
6,54
6,44
6,35
6,19
6,07
5,90
5,79
5,72
5,67
5,62
5,59
5,30

21614
199,2
47,47
24,26
16,53
12,92
10,88
9,60
8,72
8,08
7,60
7,23
6,93
6,68
6,48
6,30
6,16
6,03
5,92
5,82
5,65
5,52
5,41
5,32
5,24
5,09
4,98
4,83
4,73
4,66
4,61
4,57
4,54
4,28

22501
199,2
46,20
23,15
15,56
12,03
10,05
8,81
7,96
7,34
6,88
6,52
6,23
6,00
5,80
5,64
5,50
5,37
5,27
5,17
5,02
4,89
4,79
4,70
4,62
4,48
4,37
4,23
4,14
4,08
4,03
3,99
3,96
3,72

23056
199,3
45,39
22,46
14,94
11,46
9,52
8,30
7,47
6,87
6,42
6,07
5,79
5,56
5,37
5,21
5,07
4,96
4,85
4,76
4,61
4,49
4,38
4,30
4,23
4,09
3,99
3,85
3,76
3,70
3,65
3,62
3,59
3,35

23440
199,3
44,84
21,98
14,51
11,07
9,16
7,95
7,13
6,54
6,10
5,76
5,48
5,26
5,07
4,91
4,78
4,66
4,56
4,47
4,32
4,20
4,10
4,02
3,95
3,81
3,71
3,58
3,49
3,43
3,39
3,35
3,33
3,09

23715
199,4
44,43
21,62
14,20
10,79
8,89
7,69
6,88
6,30
5,86
5,52
5,25
5,03
4,85
4,69
4,56
4,44
4,34
4,26
4,11
3,99
3,89
3,81
3,74
3,61
3,51
3,38
3,29
3,23
3,19
3,15
3,13
2,90

23924
199,4
44,13
21,35
13,96
10,57
8,68
7,50
6,69
6,12
5,68
5,35
5,08
4,86
4,67
4,52
4,39
4,28
4,18
4,09
3,94
3,83
3,73
3,65
3,58
3,45
3,35
3,22
3,13
3,08
3,03
3,00
2,97
2,74

24091
199,4
43,88
21,14
13,77
10,39
8,51
7,34
6,54
5,97
5,54
5,20
4,94
4,72
4,54
4,38
4,25
4,14
4,04
3,96
3,81
3,69
3,60
3,52
3,45
3,32
3,22
3,09
3,01
2,95
2,91
2,87
2,85
2,62

24222
199,4
43,68
20,97
13,62
10,25
8,38
7,21
6,42
5,85
5,42
5,09
4,82
4,60
4,42
4,27
4,14
4,03
3,93
3,85
3,70
3,59
3,49
3,41
3,34
3,21
3,12
2,99
2,90
2,85
2,80
2,77
2,74
2,52

Studentia.se freE-Learning

114

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

F-fördelningen för

α = 0,001.

Tabell A9: F-fördelningen för α = 0,001.
Tabellen visar kritiska värden för F-fördelningen när α = 0,001.
Exempel: För 8 frihetsgrader i täljaren och 5 frihetsgrader i nämnaren så är P(F > 28) < 0,001 eftersom 28 > 27,65.
Täljarens df
Nämnarens
df

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

405312 499725 540257 562668 576496 586033 593185 597954 602245 605583

2

998,4

998,8

999,3

999,3

999,3

999,3

999,3

999,3

999,3

999,3

3

167,1

148,5

141,1

137,1

134,6

132,8

131,6

130,6

129,9

129,2

4

74,13

61,25

56,17

53,43

51,72

50,52

49,65

49,00

48,47

48,05

5

47,18

37,12

33,20

31,08

29,75

28,83

28,17

27,65

27,24

26,91

6

35,51

27,00

23,71

21,92

20,80

20,03

19,46

19,03

18,69

18,41

7

29,25

21,69

18,77

17,20

16,21

15,52

15,02

14,63

14,33

14,08

8

25,41

18,49

15,83

14,39

13,48

12,86

12,40

12,05

11,77

11,54

9

22,86

16,39

13,90

12,56

11,71

11,13

10,70

10,37

10,11

9,89

10

21,04

14,90

12,55

11,28

10,48

9,93

9,52

9,20

8,96

8,75

11

19,69

13,81

11,56

10,35

9,58

9,05

8,65

8,35

8,12

7,92

12

18,64

12,97

10,80

9,63

8,89

8,38

8,00

7,71

7,48

7,29

13

17,82

12,31

10,21

9,07

8,35

7,86

7,49

7,21

6,98

6,80

14

17,14

11,78

9,73

8,62

7,92

7,44

7,08

6,80

6,58

6,40

15

16,59

11,34

9,34

8,25

7,57

7,09

6,74

6,47

6,26

6,08

16

16,12

10,97

9,01

7,94

7,27

6,80

6,46

6,20

5,98

5,81

17

15,72

10,66

8,73

7,68

7,02

6,56

6,22

5,96

5,75

5,58

18

15,38

10,39

8,49

7,46

6,81

6,35

6,02

5,76

5,56

5,39

19

15,08

10,16

8,28

7,27

6,62

6,18

5,85

5,59

5,39

5,22

20

14,82

9,95

8,10

7,10

6,46

6,02

5,69

5,44

5,24

5,08

22

14,38

9,61

7,80

6,81

6,19

5,76

5,44

5,19

4,99

4,83

24

14,03

9,34

7,55

6,59

5,98

5,55

5,24

4,99

4,80

4,64

26

13,74

9,12

7,36

6,41

5,80

5,38

5,07

4,83

4,64

4,48

28

13,50

8,93

7,19

6,25

5,66

5,24

4,93

4,69

4,50

4,35

30

13,29

8,77

7,05

6,12

5,53

5,12

4,82

4,58

4,39

4,24

35

12,90

8,47

6,79

5,88

5,30

4,89

4,59

4,36

4,18

4,03

40

12,61

8,25

6,59

5,70

5,13

4,73

4,44

4,21

4,02

3,87

50

12,22

7,96

6,34

5,46

4,90

4,51

4,22

4,00

3,82

3,67

60

11,97

7,77

6,17

5,31

4,76

4,37

4,09

3,86

3,69

3,54

70

11,80

7,64

6,06

5,20

4,66

4,28

3,99

3,77

3,60

3,45

80

11,67

7,54

5,97

5,12

4,58

4,20

3,92

3,70

3,53

3,39

90

11,57

7,47

5,91

5,06

4,53

4,15

3,87

3,65

3,48

3,34

100

11,50

7,41

5,86

5,02

4,48

4,11

3,83

3,61

3,44

3,30

9999

10,83

6,91

5,42

4,62

4,10

3,74

3,47

3,27

3,10

2,96

Studentia.se freE-Learning

115

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

F-fördelningen för

α = 0,001.

Täljarens df
Nämnarens
df

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
22
24
26
28
30
35
40
50
60
70
80
90
100
9999

12

15

20

25

30

40

50

100

9999

610352 616074 620842 623703 626087 628471 630379 633240 636578
999,3
999,3
999,3
999,3
999,3
999,3
999,3
999,3
999,3
128,3
127,4
126,4
125,8
125,4
125,0
124,7
124,1
123,5
47,41
46,76
46,10
45,69
45,43
45,08
44,88
44,47
44,05
26,42
25,91
25,39
25,08
24,87
24,60
24,44
24,11
23,79
17,99
17,56
17,12
16,85
16,67
16,44
16,31
16,03
15,75
13,71
13,32
12,93
12,69
12,53
12,33
12,20
11,95
11,70
11,19
10,84
10,48
10,26
10,11
9,92
9,80
9,57
9,33
9,57
9,24
8,90
8,69
8,55
8,37
8,26
8,04
7,81
8,45
8,13
7,80
7,60
7,47
7,30
7,19
6,98
6,76
7,63
7,32
7,01
6,81
6,68
6,52
6,42
6,21
6,00
7,00
6,71
6,40
6,22
6,09
5,93
5,83
5,63
5,42
6,52
6,23
5,93
5,75
5,63
5,47
5,37
5,17
4,97
6,13
5,85
5,56
5,38
5,25
5,10
5,00
4,81
4,60
5,81
5,54
5,25
5,07
4,95
4,80
4,70
4,51
4,31
5,55
5,27
4,99
4,82
4,70
4,54
4,45
4,26
4,06
5,32
5,05
4,78
4,60
4,48
4,33
4,24
4,05
3,85
5,13
4,87
4,59
4,42
4,30
4,15
4,06
3,87
3,67
4,97
4,70
4,43
4,26
4,14
3,99
3,90
3,71
3,51
4,82
4,56
4,29
4,12
4,00
3,86
3,77
3,58
3,38
4,58
4,33
4,06
3,89
3,78
3,63
3,54
3,35
3,15
4,39
4,14
3,87
3,71
3,59
3,45
3,36
3,17
2,97
4,24
3,99
3,72
3,56
3,44
3,30
3,21
3,02
2,82
4,11
3,86
3,60
3,43
3,32
3,18
3,09
2,90
2,69
4,00
3,75
3,49
3,33
3,22
3,07
2,98
2,79
2,59
3,79
3,55
3,29
3,13
3,02
2,87
2,78
2,59
2,38
3,64
3,40
3,15
2,98
2,87
2,73
2,64
2,44
2,23
3,44
3,20
2,95
2,79
2,68
2,53
2,44
2,25
2,03
3,32
3,08
2,83
2,67
2,55
2,41
2,32
2,12
1,89
3,23
2,99
2,74
2,58
2,47
2,32
2,23
2,03
1,79
3,16
2,93
2,68
2,52
2,41
2,26
2,16
1,96
1,72
3,11
2,88
2,63
2,47
2,36
2,21
2,11
1,91
1,66
3,07
2,84
2,59
2,43
2,32
2,17
2,08
1,87
1,62
2,74
2,51
2,27
2,11
1,99
1,84
1,73
1,49
1,00

Studentia.se freE-Learning

116

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Engelsk - svensk ordlista

Tabell B: Engelsk–svensk ordlista
Alternative hypothesis ............................................................................................................Mothypotes
Analysis of variance .............................................................................................................Variansanalys
Approximation ............................................................................... Approximation, ungefärlig beräkning
Arithmetic mean................................................................................................... Aritmetiskt medelvärde
Average ................................................................................................................................... Genomsnitt
Bias .................................................................................................................................. Systematiskt fel
Binomial distribution ................................................................................................. Binomialfördelning
Central limit theorem ..................................................................................... Centrala gränsvärdessatsen
Combinations .....................................................................................................................Kombinationer
Chi-square distribution............................................................................. Chitvå-fördelning, -fördelning
Coefficient of determination ............................................................................ Determinationskoefficient
Conditional probability ............................................................................................ Betingad sannolikhet
Confidence interval ...................................................................................................... Konfidensintervall
Contingency table .........................................................................................Korstabell, kontingenstabell
Continous distribution..........................................................................................Kontinuerlig fördelning
Correlation .............................................................................................................................. Korrelation
Correlation coefficient ..........................................................................................Korrelationskoefficient
Covariance ............................................................................................................... Kovarians, covarians
Cumulative probability ......................................................................................... Kumulativ sannolikhet
Degreees of freedom .............................................................................................................Frihetsgrader
Density function ................................................................................................................Täthetsfunktion
Disjoint events ..................................................................................... Ömsesidigt uteslutande händelser
Discrete distribution ..................................................................................................... Diskret fördelning
Distribution .............................................................................................................................. Fördelning
Distribution function ................................................................................................. Fördelningsfunktion
Error of type I.............................................................................................................................. Typ 1-fel
Estimate..................................................................................................... Estimat, skattning (substantiv)
Estimation ..................................................................................................... Estimering, skattning (verb)
Event ........................................................................................................................................... Händelse
Expected value ........................................................................................................................ Väntevärde
Exponential distribution ..................................................................................... Exponentialfördelningen
F-distribution ..................................................................................................................... F-fördelningen

Studentia.se freE-Learning

117

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Engelsk - svensk ordlista

Geometric distribution ...........................................................................................Geometrisk fördelning
Goodness of fit ............................................................................................................... Anpassningsgrad
Hypergeometric distribution ................................................................... Hypergeometriska fördelningen
Hypothesis.....................................................................................................................................Hypotes
Independent events................................................................................................... Oberoende händelser
Interquartile range ................................................................................................. Interkvartila intervallet
Intersection......................................................................................................................................... Snitt
Kurtosis ......................................................................................................................................Toppighet
Linear regression ............................................................................................. Linjär regression(-sanalys)
Mean .......................................................................................................................................Medelvärde
Mean square .........................................................................................................................Medelkvadrat
Median ...........................................................................................................................................Median
Mode ...........................................................................................................................................Typvärde
Multicollinearity ............................................................................................................. Multicolinearitet
Multiple regression ..................................................................................... Multipel regression(-sanalys)
Non-parametric .................................................................. Ickeparametrisk, parameterfri, fördelningsfri
Normal distribution ....................................................................................................... Normalfördelning
Null hypothesis ...................................................................................................................... Nollhypotes
One-sided test......................................................................................................................... Ensidigt test
Outcome ............................................................................................................................................Utfall
Outlier ...................................................................................................... Extremt avvikande observation
Permutations ....................................................................................................................... Permutationer
Point estimation .................................................................................................................Punktskattning
Poisson distribution.......................................................................................................Poissonfördelning
Pooled variance ........................................................................................................Sammanvägd varians
Probability ...............................................................................................................................Sannolikhet
Probability distribution ...................................................................... Sannolikhetsfördelning, fördelning
Probability function .................................................................................................Sannolikhetsfunktion
Probability space .......................................................................................................................Utfallsrum

Studentia.se freE-Learning

118

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Engelsk - svensk ordlista

Quartile ...........................................................................................................................................Kvartil
Random variable .................................................................................................................Slumpvariabel
Range ........................................................................................................................................... Intervall
Rank sum ............................................................................................................................... Rangsumma
Reject ........................................................................................................................................... Förkasta
Sample.............................................................................................................................. Stickprov, urval
Sample size ....................................................................................................................Stickprovsstorlek
Sampling distribution ..............................................................Samplingfördelning, stickprovsfördelning
Skewness ....................................................................................................................................... Skevhet
Slope ............................................................................................................ Lutning, riktningskoefficient
Standard deviation ........................................................................................................Standardavvikelse
Statistic.................................................................................................................. Statistiska, testvariabel
Unbiased ....................................................................................................................... Väntevärdesriktig
Uniform distribution ................................................................................................Likformig fördelning
Union................................................................................................................................................Union
Variance.......................................................................................................................................... Varians

Studentia.se freE-Learning

119

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Index

Index
Anpassningsgrad ........................................83,86
Approximation ..........................................38, 39
Betingad sannolikhet.......................................18
Binomialfördelning .......................24, 25, 27, 28
Centrala gränsvärdessatsen .............................33
Chitvå-fördelning ............................................83
Covarians ........................................................72
Determinationskoefficient ...............................73
Diskret fördelning .....................................83, 86
Ensidigt test.....................................................18
Exponentialfördelningen ...........................31, 32
F-fördelningen...............................56, 57, 67, 81
Frihetsgrader ..............10, 40, 54, 59, 60, 66, 67,
69, 82, 83, 86, 87, 88, 89, 100, 102
Fördelning ..........6, 7, 10, 12, 22, 23, 24, 25, 27,
28, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 38, 39,
40, 42, 43, 44, 45, 47, 50, 51,52,
53, 54, 55, 56, 57, 58, 64, 67, 73,
74, 81, 83, 85, 86, 87, 92, 93, 97,
99, 100, 102
Fördelningsfunktion ............................22, 23, 24
Geometriska fördelningen ...................27, 28, 31
Hypergeometriska fördelningen......................27
Hypotes ..........48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56,
57, 58, 60, 61, 63, 64, 65, 67, 68,
69, 73, 74, 77, 78, 81, 83, 84, 85,
87, 89, 90, 92, 93, 95, 96, 97, 98,
99, 102 , 104
Händelse............................16, 17, 18, 19, 31, 89
Ickeparametriska metoder ...............................93
Intervall ............9, 13, 15, 22, 25, 31, 38, 42, 43,
44, 45, 46, 55, 58, 59, 60, 61, 62,
63, 64, 75, 76, 78, 79, 86, 87, 92
Kombinationer ..........................................20, 21
Konfidensintervall ......42, 43, 44, 45, 45, 46, 55,
58, 59, 60, 61, 62, 64, 75,
76, 81
Kontinuerlig fördelning ..................................86
Studentia.se freE-Learning

Korrelation ........................72, 73, 102, 103, 104
Korrelationskoefficient .............72, 73, 102, 103
Korstabell ..................................................88, 89
Kumulativ sannolikhet .................................. 117
Kvartil ...............................................................9
Linjär regression .......................................79, 81
Lutning ............................................................87
Medelvärde ..8, 9, 10, 12, 13, 15, 22, 23, 24, 27,
30, 31, 32, 33, 34, 35, 40, 42, 43,
46, 49, 50, 51, 52, 57, 58, 60, 62,
65, 66, 67, 68, 69, 72, 75, 79, 87, 95
Median ........... 8, 9,10, 11, 13, 15, 92, 93, 97, 99
Mothypotes ...............................................48, 65
Multicolinjäritet ..............................................81
Multipel regression .............................79, 80, 81
Nollhypotes ....48, 49, 56, 57, 60, 63, 65, 66, 67,
69, 73, 78, 83, 89, 92, 93, 96, 97,
99, 102
Normalfördelning.......33, 34, 35, 37, 38, 39, 40,
42, 45, 47, 50, 52, 87, 92,
93, 96, 97
Oberoende händelser .......................................17
Permutationer ............................................19, 20
Poissonfördelning .........................25, 38, 39, 85
Punktskattning ........................42, 45, 46, 75, 79
Riktningskoefficient ........................................70
Sannolikhet ......7, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23,
24, 25, 26, 27, 28, 29, 31, 32, 33,
34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42,
43, 44, 48, 49, 50, 54, 78, 79
Sannolikhetsfunktion .................................... 118
Sannolikhetsfördelning ...............................7, 54
Skattning ..........................42, 43, 45, 46, 74, 75,
76, 78 ,79, 87
Skevhet................................................10, 12, 13
Slumpvariabel ........7, 16, 22, 23, 24, 25, 27, 28,
31, 33, 34, 35, 37, 39, 40, 42,
50, 54, 56, 72, 75, 79, 85, 87

120

www.studentia.se

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Index

Snitt ......9, 16, 22, 26, 29, 31, 33, 34, 35, 37, 39,
42, 47, 51, 57, 60, 61, 72, 75, 85, 86, 92,
93, 94, 95, 9, 98, 100, 102, 103
Standardavvikelse ..9, 10, 12, 15, 23, 30, 33, 34,
35, 40, 42, 51, 57, 58, 60, 61,
62, 72, 87
Stickprov ......5, 8, 10, 34, 40, 41, 42, 43, 44, 45,
46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56,
57, 58, 60, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69,
72, 73, 74, 79, 83, 85, 86, 87, 89, 92,
93, 97, 99, 100, 104
Stickprovsfördelning ..................................... 119
Stickprovsstorlek........42, 45, 46, 52, 54, 56, 58,
63, 66, 68, 87, 89, 92, 99
Systematiskt fel ............................................. 117

Varians............10, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 30,
32, 40, 54, 55, 56, 57, 65, 66, 67,
68, 69, 70, 75, 83, 92, 99
Variansanalys ..............65, 66, 67, 69, 72, 92, 99
Väntevärde .............................22, 24, 25, 27, 28,
39, 40, 42, 45, 85
Väntevärdesriktig ......................................42, 45
Ömsesidigt uteslutande händelser ...................17

Typ 1-fel ..........................................................50
Typvärde ...............................................9, 12, 13
Union...............................................................16
Urval ...............................................................86
Utfall ............6, 7, 16, 20, 22, 24, 27, 28, 31, 42,
54, 69, 83, 86
Utfallsrum .....................................16, 31, 42, 86

DOLLINGS

Studentia.se freE-Learning

121

www.studentia.se

Similar Documents

Premium Essay

Case 1

...Case 1. Is there anything wrong with the actions of the three personalities in this case? Elaborate your answer After reading the case study and analyzing it, from my opinion I think yes there is anything wrong with the actions of the three personalities- Mr.Bondoc, his wife and Dr. Agao. For elaboration I will explain them one by one. Mr.Bondoc acted as the champion of the student’s cause therefore it’s his responsibility to fight for the own good of the students, the one who will voice out their stands and if possible disagree to the proposals that may greatly affect them like increasing of their tuition fee. It’s great that he has the attitude of convincing others in personal way for them to agree of opposing the proposals of Dr. Agao because of this they can stop his proposals. He must maintain and assure that he is doing his job and must not allow others to control him in bad way or stop him to do his obligation but stated on the case study his wife wished him to maintain good relationship with Dr.Agao which unfortunately leads him to suddenly accept his proposals. It showed that he let others dictate him what to do and failed to do his job. About the wife of Mr.Bondoc, she was carried away by the good actions showed by Dr. Agao without knowing his real intentions of befriending her. She can be easily manipulated like what Dr. Agao wanted her to do through doing special treatments and helped with her business. Like what she did to his husband, she requested him to......

Words: 383 - Pages: 2

Premium Essay

Case Study 1

...1.2 Case Study: Whither an MBA at Strutledge By: Ashley Tinkham 1.2 Case Study: Whither an MBA at Strutledge Tinkham, 1 President of Strutledge, After reviewing the Board of Regents’ plan and reasons behind the desire to implement an MBA program at Strutledge I have determined there to be a lack of information to make a decision at this time. The information to make a supportive decision on whether to implement an MBA program is not sufficient enough and increases the risks of failure of the program. Failure or an unsuccessful implementation of an MBA program at Strutledge can be catastrophic to the reputation of the school. Thus making the situation of rising costs and decreasing enrollment worse. The Board of Regents could be on the right track of implementing a MBA program to attract more students but this can only be determined through data. The question that truly needs to be answered is if the area needs or desires a MBA program and only if the answer is yes to that question should the idea of implementing an MBA program be explored as an option. My suggestion is that the Board of Regents organize their thoughts around why they think an MBA program would be beneficial to Strutledge. From what I can gather an MBA program would help to attract students who have already graduated from their undergraduate studies and are looking for more, but how else would it benefit Strutledge? When considering......

Words: 1262 - Pages: 6

Premium Essay

Case Study 1

...Case study 1 Employer branding was discussed at the beginning of this chapter.  On a scale of 1 (Poor) to 5 (Excellent), how valuable are the following brands?  Why do you rate them low or high?  What are your criteria for the rating? a. Bank of America : 2 * Laid off a lot of employees * Employees feel disconnected from the customers or business partner due to its large size. * Bank president gets paid too much. b. McDonald’s : 4 * The working environment is depending on the management of the store. * Wide range of jobs available and require no specification * They make a reasonably good hamburger for an affordable price. c. BP Global : 3 * They have internship and graduate programs in 20 different countries. * They want to invest in employee’s development. d. Walmart : 2 * They started business as offering domestic goods at affordable prices but now they mainly sell imported low price goods. * I have read from the book that they discriminate against women. e. Google : 5 * Google is ranked as the best company to work for in 2014. * The company believes that treating people well is more important than making a lot of money. * HR ran a survey in which it asked employees to choose the best among many competing pay options. Watch the video on Module 1 then answer this question "Judging from the video describe Theo’s...

Words: 350 - Pages: 2

Premium Essay

Partial Case Study 1

...Tanglewood Case 1 In: Business and Management Tanglewood Case 1 To: Donald Penchiala, the Director of Staffing Services RE: Tanglewood Retail Case January 18, 2012 Every organization in the global economy has to develop a strong staffing strategy if they wish to remain competitive and be successful. Tanglewood Retail Stores is one of the largest retailers among 12 regions locally and oversees. After examining the report that you provided me, I have analyzed the staffing strategy and would like to provide you with my recommendations. Acquire or Develop Talent: After reviewing the Tanglewood Case along with exhibit 1.7 in Part One of our text Strategic Staffing, I feel the staffing levels and quality listed and the need for developing talent and exceptional workforce that Tanglewood currently has is one of its greatest assets and will play into a key staffing strategy. Tanglewood has differentiated itself from its competition in its development of an organizational culture that provides employees with a level of expertise that far exceeds its competition. Looking at any successful organization you will notice that their internal culture is a key factor in its ability to meet organizational goals. It is clear that Tanglewood has a family/team oriented environment. For instance, people from the same region as the store will have better knowledge of its clientele and are a better fit because they know the culture of the environment and live in the same......

Words: 333 - Pages: 2

Premium Essay

Deloitte Case 12-1

...Case Study 12-1: An Unlikely Alliance Florabama is a power producer of which Meyer Inc. is a 60% owner and Saban Company is a 40% owner. Saban has a cost-plus arrangement that permits it to purchase up to 20% of the power produced by Florabama at the cost plus a fee. The remaining power produced by Florabama is sold to third parties. The profits and losses of Florabama are split based on ownership. Sale, transfer, or disposition of ownership requires written consent of the other party in advance. Both parties are independent and willingly agreed upon the prior approval terms. The board is composed of 10 individuals that Meyer and Saban are able to appoint based on their ownership percentage (Meyer has 6 and Saban has 4). The board makes all strategic decisions and establishes operating and capital budgets. The board also determines the pricing of power produced and appoints the CEO. The CEO that was appointed was the COO of Saban and he will oversee the day to day operations of Florabama. Both Meyer and Saban bear equity price risk. Meyer Inc. also has operating risk since the decisions of the board are made by simple majority (Meyer owns the majority). Saban bears commodity price risk due to the cost-plus arrangement. Meyer and Saban are both variable interest holders. Saban has an equity interest in Florabama and it also has the cost-plus arrangement, both of which make Saban a variable interest holder. Meyer Inc. is a variable interest holder in Florabama due to......

Words: 396 - Pages: 2

Premium Essay

Housing Helpers Case Study 1

...Housing Helpers Case Study 1 By Kevin Wilkerson BUS-4046 Employee and Labor Relations U07A1 Instructor Andrew Ansoorian May 26th, 2014 As the contract negotiation continues between Beth and Jim: Beth: That sounds very tempting Jim, but even though the CPI has risen by just 2%, the cost of living has risen by 3.5% and the working force needs that money now to support their families. Jim: Well, is there any other thing that we can propose that might get us closer to an agreement? Beth: Well, Jim, I think that we will hold a membership meeting to see where the members stand on this issue and your offer of 2% each year for 4 years. Jim: Ok, we will reschedule another session after the meeting. Another meeting resumes: Beth: The members have met and we have a couple of other proposals that might be of interest to you. Jim: Ok, what do you have in mind? Beth: We would like to propose a 3%. Cost of living allowance increase as well as an additional 5 days paid vacation for all employees, and work hours that are flexible such as 4 10 hour days or a 5/4/9 schedule which would keep production up, but allow the employees to spend more time with their families also. Jim: Beth, we simply cannot afford for employees to receive such a pay increase right now, but the alternative work hours might be something that we can talk about. Beth: HR has run the numbers, and the number of employees that have seniority and are getting up there in age are costing us more......

Words: 433 - Pages: 2

Free Essay

Velocity Cellular: Trueblood Case 09-1

...Case Study: Velocity Cellular Case Study: Velocity Cellular Revenue Recognition in a Multiple-Element Arrangement Velocity Cellular Services is planning the rollout of a new prepaid phone service called Power Starterpack. Using the current, relevant accounting guidance, determine and support the appropriate method for recognizing revenue for this new product. Power Starterpack Details Velocity Cellular sells the Power Starterpack for $200. The Power Starterpack consists of two elements: a new activation card and a prepaid voucher for $50 worth of airtime. The new activation card allows the subscriber’s cellular phone to function and gives the subscriber additional features not available with the old activation card. Activation cards can be purchased separately from Velocity. Identical activation cards can be purchased from other vendors. The $50 prepaid airtime voucher must be used within 360 days or the remaining value is forfeited. If there is no activity for seven consecutive months, the subscriber’s account is closed and the phone number is deactivated. No refunds are given and the subscriber has no general rights of return for the Power Starterpack. Are the Deliverables Considered Separate Units of Accounting? Velocity Cellular adopted ASU 2009-13, “Revenue Arrangements with Multiple Deliverables” in the current fiscal year. The Update amends the criteria in Subtopic 605-25 for separating revenue in multiple-deliverable arrangements. The......

Words: 1378 - Pages: 6

Premium Essay

Lesson-1(Case Study on Listo System)

...Lesson1: Case Study on Listo Systems Mani Kumar Budathoki International American University (IAU) MGT 500: Organization Behavior and Leadership Dr. Om Prasad Sitaula September 17, 2014 Overview of Listo Systems: Listo Systems is a pioneering graphic agency with a long span of success history. After the beginning of 1990s, the company grew frenetically and became one of the best graphic service companies in the world. The pace of new technology has created the more opportunities as well as challenges for the company and customers. However, advancements of this new technology have helped to produce more competitors with a better quality service and product. Due to more emergences of new competitors in the markets, the customers have got more options while opting to buy quality products and services. With all these changes, the industry has been facing the new threats in terms of security and product-thefts. Question No-1: The impacts of power shifting from the seller to the buyer: More competitions in terms of quality products and services are providing the customers more choices than ever before. As a result, customers want more quality products and services for less money, more flexibility and convenience, and more innovation. Listo systems had monopoly power in the early 1990s, so easily able to earn a huge success in a short span of time, but when a new technology is introduced then more and more competitors participated in providing the same services to...

Words: 2354 - Pages: 10

Premium Essay

Case Study 1 Surver of Hospitality Management

...Keller Graduate School of Management Case Study 1: Guest Satisfaction at the Convention Center Hotel Week 3 Irene Garcia Vilardosa HOSP582 Survey of Hospitality Management Dr. Pratt Introduction In order to be successful in the market it is not sufficient to attract new customers. Managers should also concentrate on retaining existing customers implementing effective policies of customer satisfaction and loyalty. In hotel industry, customer satisfaction is largely hooked upon quality of service. A management approach focused on customer satisfaction can improve customer loyalty, thus increasing the positive image of the touristic destination. Hence, exploring the importance for customers of hotel attributes in hotel selection is indispensable. Problems with front office In order to solve the customers dissatisfaction issues related with check in and check out, Frank should take into account the reservations and have more employees working at front desk when the number of reservations is higher so they do not have to be waiting for a long time. During major arrivals and departures days, the staff has to be increased so that the guests are quickly addressed and they can continue with their trips or business without wasting too long. Problems with housekeeping When dealing with a situation as described in which rooms are not ready, there are usually two possible options to consider. Either the housekeeping staff is not enough considering the number......

Words: 598 - Pages: 3

Premium Essay

Case Study Chapter 6: #1-3

...Case Study Chapter 6 The two values I believe Schwartz created that are affecting Bain & Company, Home Depot and Best Buy include: conformity and universalism. In regards to universalism, Bain & Company and Best Buy began to lower the goals for employees’ sales, which resulted in their receiving bonuses still plausible. In addition, Best Buy tried to keep their employees engaged through the hard time by setting up online surveys for them to give the company general ideas for cost cutting. This showed that the companies understood the employees’ situations, appreciated them the best they could and tried to protect them from losing their jobs. The companies showed restraint and tried not to make the employees upset in their conformity values. For example, instead of firing employees, Steve Ellis began to hire people he thought would be successful for after the recession was over. This gave additional talented people an opportunity to work instead of going through lay offs during this time. During the recession, Ellis used his affective, cognitive and behavioral components of his attitude to show employees that he cared about how they felt, displayed his beliefs and ideas, and how he intended to move forward instead of back. Ellis made it possible to hire more people during the recession. He did not see this as a setback but an opportunity to bring talented workers on board with his company. Best Buy created online surveys for their employees to give their ideas for......

Words: 304 - Pages: 2

Premium Essay

Case Study #1 Turner Test Prep Co.

... possessed about 10 percent of the small market and was facing fierce competition from its rival company, National Testing Services (NTC). By Spring of 2003, Turner was pleased that the number of customers was rising each session, but was concerned that she had not tapped enough of the market and was not growing in the right direction. Furthermore, a lack of student attendance in live lectures caused her to wonder if there was opportunity in formatting the course differently. Finally, Turner realized that she neglected to calculate her break-even point. In short, Turner was questioning the effectiveness of several aspects of her business plan such as her differentiation, marketing, and advertising strategies. At the beginning of this case study Turner starts off making some good choices such as using the effectuation process to come up with her idea to develop a CPA testing prep company. This process leads her to choose a career path and business that makes use of her knowledge, experience, and resources. Another great choice Turner makes is to do research to find a prime location for her business. In addition, it is wise of her to devote so much time and effort into developing a service that has a competitive advantage over competitors’ services. However, Turner overlooks several important opportunities to build a comprehensive business plan such as doing market research to ensure that her method of instruction is one that would be valued by the majority of potential......

Words: 1231 - Pages: 5

Free Essay

Bus 250 Week 1 Case Study a Brawl in Mickeys Backyard

...BUS 250 WEEK 1 CASE STUDY A BRAWL IN MICKEYS BACKYARD A+ Graded Tutorial Available At: http://hwsoloutions.com/?product=week-1-case-study-a-brawl-in-mickeys-backyard Visit Our website: http://hwsoloutions.com/ Product Description BUS 250 Week 1 Case Study A Brawl in Mickeys Backyard, A Brawl in Mickey’s Backyard According to our text, ultimately, a company’s decision can have a negative impact on many. Not only can the decision of a company affect the company as an individual, but in turn it can also alter the lives of many others, including members of the immediate society, customers, suppliers, employees, stockholders, creditors, and business partners (Lawrence & Weber, 2011). How can a highly profitable business return thanks to its stakeholders without jeopardizing potential revenue, reputation, vision, and customer satisfaction? SunCal and Disney had a difficult challenge to try to overcome in order to settle the dipute over the available land located outside of Disney’s compound. Both companies presented their arguments on who should prevail, SunCal, who wanted to purchase the land in order to develop housing at an affordable rate for residence and locals, or Disney, who owns land across from the proposed building site, which may be utilzed in the future for expansion, but who also finds the thought of an apratment building so close to the complex a eye soar for the customers who experience the magic of Disney. The dispute was heard by the Chamber of......

Words: 424 - Pages: 2

Premium Essay

Cis 512 Wk 2 Case Study 1 Revolutionizing the Retail Sector

...CIS 512 WK 2 CASE STUDY 1 REVOLUTIONIZING THE RETAIL SECTOR To purchase this visit here: http://www.activitymode.com/product/cis-512-wk-2-case-study-1-revolutionizing-the-retail-sector/ Contact us at: SUPPORT@ACTIVITYMODE.COM CIS 512 WK 2 CASE STUDY 1 REVOLUTIONIZING THE RETAIL SECTOR CIS 512 WK 2 Case Study 1 - Revolutionizing the Retail Sector The Digipos (http://bit.ly/MOWvG1) Website states, “We design, develop and manufacture our own range of systems that are engineered to meet the challenging and constantly changing demands of a retail environment. Using the latest technologies, we deliver positive, cost-effective solutions in compact, high performance, reliable, and energy saving technologies. Our systems are used by leading retailers around the world.” In 2004, DigiPos launched the DigiPos Retail Blade system, which was the first electronic point of sale (EpoS) system to use blade technology. Go to Intel’s Website and read “Revolutionizing the Retail Sector”, located athttp://intel.ly/NAfWDs. Write a four to five (4-5) page paper in which you: 1. Examine and assess the main computing problems Digipos faced with regard to system upgrades. 2. Evaluate the solutions that Digipos used to resolve the problem. Propose an alternative solution that you believe could resolve the problem. Compare and contrast the Quantum Blade to the Retail Blade system in terms of computer architecture and system performance. Activity mode aims to provide quality study......

Words: 778 - Pages: 4

Premium Essay

Cis 462 Wk 2 Case Study 1 Acceptable Use Policy

...CIS 462 WK 2 CASE STUDY 1 ACCEPTABLE USE POLICY To purchase this visit here: http://www.activitymode.com/product/cis-462-wk-2-case-study-1-acceptable-use-policy/ Contact us at: SUPPORT@ACTIVITYMODE.COM CIS 462 WK 2 CASE STUDY 1 ACCEPTABLE USE POLICY CIS 462 WK 2 Case Study 1 - Acceptable Use Policy An Acceptable Use Policy (AUP) is a very important policy within organizations to define acceptable employee behavior when accessing company resources. Additionally, there are also legal implications within AUPs. Use an existing AUP that you are familiar with, such as from a current or previous workplace, or search on the Internet for an example AUP to complete this case study. Write a three to five (3-5) page paper in which you: 1. Describe the purpose of an Acceptable Use Policy you have selected and explain how the AUP helps provide confidentiality, integrity, and availability within the organization. 2. Critique the AUP you selected and provide recommendations for improving the AUP. 3. Explain methods that organizations can implement to help ensure compliance with the AUP, mitigate their risk exposure, and minimize liability. Describe how your selected AUP accomplishes these goals. More Details hidden... Activity mode aims to provide quality study notes and tutorials to the students of CIS 462 WK 2 Case Study 1 Acceptable Use Policy in order to ace their studies. CIS 462 WK 2 CASE STUDY 1 ACCEPTABLE USE POLICY To purchase this visit......

Words: 688 - Pages: 3

Premium Essay

Mgt 455 Week 1 Written Case Analysis - Izmir National University

...MGT 455 Week 1 Written Case Analysis - Izmir National University Click Link Below To Buy: http://hwcampus.com/shop/mgt-455-week-1-written-case-analysis-izmir-national-university/ Use the following format for each week’s Case Analysis assignment. Each Case Analysis should be 5 to 6 pages in length. Izmir National University Case Analysis assignment Questions 1. What do the comments by the faculty tell you about INU ’s strategy? 2. What would you recommend the Dekan do regarding the Business School’s strategic planning process? What role would you recommend the Dekan play in this process? 3. Productivity is defined as the ratio of output (including both goods and services) to the input used to produce it. How could the productivity of the Business School be measured? What would the effect be on productivity if the faculty all received a 10 percent raise but continued to teach the same number of classes and students? Format I. Summary of the Facts This section presents a brief listing of the key facts, with page numbers from the case in parentheses, where appropriate. It should be no more than 1 page in length. Therefore, there is little room for a long-winded presentation of each fact. Important assumptions should also be listed here and labeled as such. II. Statement of the Problem This section presents a brief treatment of the major problem or problems, with a concise statement of the major problem or problems you see in the case. This......

Words: 801 - Pages: 4