Aarhus Universitet, School of Business and Social Sciences
Vintereksamen 2014/2015

HD 1. del

DATAANALYSE
MINIPROJEKT III

Opgaveløsere (anfør navn og studienummer):

Martin Stentoft
Peter Guiltoft
Andreas Roar
Nemaja Stankovic

201402687
201400077
201207880
201409598

Gruppenummer:

18
Hold (F01/on, F02/to, F03/lø):

F03/lø

Opgaven udleveres den 4. december 2014 via Blackboard, og besvarelsen afleveres
1) i to eksemplarer (inkl. udfyldt forside) til Institut for Marketing og Organisation, School of Business and Social Sciences, Aarhus Universitet, att. Lisbeth Widahl (bygn. 1326, lokale 217), Bartholins Allé
10, 8000 Aarhus C
OG
2) uploades på Blackboard som pdf (med denne udfyldte forside som første side i dokumentet)

senest onsdag den 17. december 2014 kl. 12.00.

Miniprojekt III

Opgave 1:

Dataanalyse

Gruppenr.: 18

Foretag en kort diskussion af datagrundlaget til opgaven i forhold til de krav, der almindeligvis stilles til stikprøver og deres udvælgelse med henblik på at gennemføre statistiske analyser (herunder også datakvaliteten).
-

Repræsentativ, dvs. at det kun er en stikprøve af hele populationen, men som skal afspejle populationen, og der skal være samme fordeling i stikprøven som det er i populationen, fx køn.

-

Simpel tilfældig udvælgelse forventes at sikre repræsentativitet, dvs. at alle enheder i populationen har samme sandsynlighed for at blive udtrukket til stikprøven, ligesom lodder fra en tombola. Herved kan man generalisere fra stikprøven til hele populationen. -

Generelt forventer vi at jo større stikprøven vil der være mindre usikkerhed. Jo mindre variationen er, jo mindre usikkerhed vil der være i stikprøven.

Opgave 2:

Lav en deskriptiv analyse af variablen ”_Freq_”.
a) Beregn deskriptive mål for ”_Freq_”, og fortolk disse.
_FREQ_
Middelværdi
17,96428571
Standardfejl
0,553389313
Median
16
Tilstand
1
Standardafvigelse 13,09558131
Stikprøvevarians 171,4942499
Kurtosis
4,734230026
Skævhed
1,611438273
1. kvartil
9
3. kvartil
22
Område
98
Minimum
1
Maksimum
99
Sum
10060
Antal
560
Tabel 1 – Beskrivende statistik af variablen _FREQ_
Variablen _FREQ_ er målt på ratio skalaer. Der er ingen manglende værdier for variablen.
Positionsmålene er gennemsnit, median, og typetal.
Gennemsnittet for _FREQ_ er 17,96, altså det gennemsnitlige antal produkter som medarbejderen i stikprøven har købt i den givne måned.

Side 1 af 19

Miniprojekt III

Dataanalyse

Gruppenr.: 18

Variationsmålet for variablen er standardafvigelse, varians, område, topstejlhed(Kurtosis) og skævhed.
Område angiver i forbindelse med _FREQ_ forskellen mellem den/de personer som har købt færrest og den/de personer der købt flest produkter.
Kurtosis angiver stikprøvens topstejlhed, ved negative værdier vil den være fladere end normalfordelingen, og ved positive værdier vil den være stejlere end normalfordelingen.
Skævhed angiver hvor meget fordeling afviger fra symmetrisk, ved negative værdier vil fordelingen være venstreskæv. Ved positive værdier vil fordelingen være højreskæv.
Store numeriske værdier angiver afvigelser fra normalfordeling.’
Standardafvigelsen er den gennemsnitlige afvigelse omkring det estimerede gennemsnit.
Variansen er et mål for hvor meget værdierne i gennemsnit afviger fra middelværdien. n _

Gennemsn int, x 

x i 1

 17,96 1

n

n

var ians , s 2 

i

_

 ( xi  x ) 2 i 1

n 1

 171,49

sta.ndardafvigelse, s  s 2  13,09 n Skævhed, g1 

 (x i 1

i

 x)3

n * s3
Venstreskæv   1  0

 1,61

Symmetrisk   1  0
Højreskæv   1  0 n Topstejlhe d , g 2 

 (x

i

 x)4

 3  4,73 n * 24
Fladere , end , normaltfor delt   2  0 i 1

En, normaltfor delt   2  0
Stejlere , end , normaltfor delt   2  0
b) Lav en grafisk analyse af ”_Freq_”.

1

Beskrivende mål jf. Notesamling til Statistik side 41

Side 2 af 19

Miniprojekt III

Dataanalyse

Gruppenr.: 18

250

Antal medarbejder

200
150
100
50
0

Antal produkter

Diagram 1 – Histogram, antal købte produkter per medarbejder
Som det fremgår af Diagram 1 ses at diagrammet er højreskævt hvilket vi også kunne se ud fra Destriktiv Beskrivelse i opgave 2a. Se diagram 1.
c) Opstil et 90 % og et 95 % konfidensinterval for den gennemsnitlige værdi af ”_Freq_”.
Forudsætning:
Population: intervaller fordi vi ved at der omkring vores punktestimat er noget statistisk usikkerhed. Da variansen er ukendt anvender vi en t-fordeling.
Forudsætningerne for denne, at den følger den centralegrænseværdisætning: når n er stor dvs. n ≥ 30, så vil enhver stikprøvefordeling approksimativt følge en normalfordeling. 90 % konfidensinterval på gennemsnit
_

x  t1 / 2 *

s n 
17,9  1,645 *

13,09
560



16.96;18.80

Side 3 af 19

Miniprojekt III

Dataanalyse

Gruppenr.: 18

Konklusion:
Vi har estimeret et gennemsnit på 17,9 i stikprøven og kan med 90 % sikkerhed sige at det sande gennemsnit i hele populationen ligger mellem 16,96 og 18,80.

95 % konfidensinterval på gennemsnit:
_
s x  t1 / 2 * n 

17,9  1,96 *

13,09
560



16,82;18,98

Konklusion:
Vi har estimeret et gennemsnit på 17,9 i stikprøven, og kan med 95 % sikkerhed sige at det sande gennemsnit i hele populationen ligge mellem 16,82 og 18,98.
d) Opstil et 95 % konfidensinterval for variationen i ”_Freq_”.
(n  1) S 2 nedre, grænse  chi 2 ( / 2)( n 1)

øvre, grænse 

(n  1) S 2 chi 2 (1 / 2)( n 1)

dvs.
(560  1) *13,09
 153,14
626
(560  1) *13,09 øvre, grænse 
 193,66
495
nedre, grænse 

Konklusion:
Vi har estimeret en varians på 171,49 i stikprøven, og kan med 95 % sikkerhed sige at den sande variation i hele populationen vil ligge mellem 153,44 og 193,66.

e) Test, hvorvidt variablen kan antages at være normalfordelt.

Side 4 af 19

Miniprojekt III

Dataanalyse

Gruppenr.: 18

Hypotese:
H0 fordelingen for variablen er normaltfordelt
H1 fordelingen for variablen er ikke normaltfordelt α = 0,05 k Obsevator   i 1

( Fi  Ei ) 2
~ chi 2 k m1 2
Ei

Der er tilnærmet chi-fordelt hvis:

ei  n * p i  5 f i  antal , observationer , klasse, i ei  forventet , antal , observationer , klasse, i pi  klassesandsynlighed , given, fordeling k  antal , klasser m  antal , estimerede , parametre
Idet chi 2 obs er den værdi, observationen chi 2 k m1 antager ved indsættelse af de observerede antal i de k klasser, fås følgende beslutningskriterium:
Hvis chi 2 obs  chi 2 k m1; forkastes H0 ellers godtages denne.
Vi vurdere derfor om observationerne af ”_Freq_” bekræfter eller afkræfter tæthedsfunktionen. Med udgangspunkt i standardnormalfordelingen vil vi nu fastlægge antal af klasser der sikre at ei  n * pi  5
Vi har således bestemt 6 klasser, og herefter optælles det observerede antal observationer i hver af de 6 klasser.
Testobsevator beregnes og sættes i forhold til den kritiske værdi, hvorpå konklusion vedrørende nul-hypotese kan drages.

2

Test af fordeling jf. Notesamling til Statistik side 53

Side 5 af 19

Miniprojekt III

Dataanalyse

k

Testobsevator , chi 2   i 1

Gruppenr.: 18

( f i  ei ) 2 ei dvs. chi 2  755
Kritisk , værdi, chi 2 k  m 1  0,00
Konklusion
Da testobservatoren overstiger den kritiske værdi, forkastes nulhypotesen. Man kan i bilaget se hvor testobservatoren indikerer, hvori afvigelsen fra normalfordelingen ligger.
Opgave 3:

Undersøg, hvorvidt variationen i ”_Freq_” er den samme for ansatte over 43 år og ansatte på 43 år eller derunder.
Test af to normalfordelinger pga.
Freq er kontinuerlig (y)=>afhængig
Alder er nominal (x)=>uafhængig forklarende variabel
Forudsætninger:
Vi antager at de to ”stikprøver” er normaltfordelte.
De to stikprøver skal være uafhængige.
Vi forventer at de to stikprøver har ens varians.

Vi undersøger derfor først om der er ens varians.
2
H 0 :  A   k2 Ens varians i de to population
2
H1 :  A   k2 Forskellig varians

  0,05 teststørrelse, f obs 

2
S Max
2
S Min

3

dvs. f obs 

3

146,94
 6,07
24,00

Notesamling til Statistik side 51, 4 formel

Side 6 af 19

Miniprojekt III

Dataanalyse

Gruppenr.: 18

~ Fn1 1;n2 1 dvs. Kritisk , værdi.  1,22
Konklusion
Da kritisk værdi er mindre end teststørrelsen fastholdes H0. Derved kan vi antage at variansen for de to populationer er ens.

p  værdi  p( f  1,22) dvs. p  værd  0,10
Da p-værdi er mindre end α fastholdes H0
Der er ca. 10 % sandsynlighed for at begå en type 1 fejl, hvis vi forkaster H0, og vil højst acceptere 5 % derfor fastholder vi H0 for ens varians.
Opgave 4:

Undersøg, hvorvidt middelværdien af ”_Freq_” er den samme for ansatte over 43 år og ansatte på 43 år eller derunder.
Forudsætning
Vi antager ens varians, jf. hypotesetest fra opgave 3.

H 0 :   43   43   43    o Ens gennemsnit

H1 :   43    43    43    43  o Ikke ens gennemsnit

  0,05
_

_

x1  x2 teststørrelse, t 
~ t ( fg  n1  n2  2) 4
1 1
S fælles *

n1 n2

4

Notesamling til Statistik side 43, 4. formel

Side 7 af 19

Miniprojekt III

Dataanalyse

S2 fælles 

Gruppenr.: 18

2
(n1  1) * S12  (n2  1) * S 2 n1  n2  2

n1  n 43 n2  n 43
2
S12  S  43
2
2
S 2  S  43

dvs.
S2
fælles  84,03
S fælles  84,03  9,17
8,84  27,55

t

9,17 *

1
1

273 287

dvs. t  24,13

Konklusion
~ ( fg 1  n  1), ( fg 2  n  2)

dvs.
Kritisk , værdi.  1,96
Da kritisk værdi er større end teststørrelsen forkastes H0. p  værdi  p( f  1,96) dvs. p  værd  0,00
Da p-værdien nærmer sig 0 og er mindre end α forkast H0 .
Derved kan vi ikke antage at gennemsnittet for folk over 43 og under 43 år er ens.

Opgave 5

Undersøg, hvor stor en andel af medarbejderne, der har købt mere end 25 produkter i kantinen i løbet af januar måned, og opstil et 95% konfidensinterval for denne andel.

Konfidensinterval for andel n ≥ 40 p = xx, er andel der har købt mere end 25 produkter n = 560, antal i stikprøven

Side 8 af 19

Miniprojekt III

Dataanalyse

Gruppenr.: 18

x = 108, antal der har købt mere end 25 produkter

ˆ punktestimat , for , p  p 

x n dvs.
ˆ
p

108
560

dvs.
ˆ
p  0,1929
Dvs. at andelen der har købt mere end 25 produkter er 19,29 %.

ˆ
Konfiden sin terval, for , p  p  Z1 / 2

ˆ
ˆ
p * (1  p) n 5

dvs.
0,1929  1,96

0,1929 * (1  0,1929)
560

dvs. nedre  0,1602
Øvre  0,2256
Det vil sige med 95 % sandsynlighed, vil den sande andel der har købt for mere end 25 produkter i populationen ligge mellem 16,02 % og 22,56 %.
Opgave 6

Undersøg, hvorvidt der er en sammenhæng mellem ”Bo” og ”Uddlgd2” for de personer, der har besvaret begge spørgsmål
Sammenhæng mellem to nominalskalerede variabler.
Forudsætning:
Det forventede antal under H0 skal være større end 5%.
Hvert forsøg resulterer i et af k gensidigt udelukkende udfald.
Sandsynligheden er konstant fra forsøg til forsøg.
De enkelte forsøg er uafhængige.
Der gennemføres n forsøg

Vores nul- og alternativhypotese lyder derfor som følger:

5

Notesamling til Statistik side 44, 5. formel

Side 9 af 19

Miniprojekt III

Dataanalyse

Gruppenr.: 18

H 0 : Uafhængighed (ingen , sammenhæng)
H 1 : Afhængighe d ( sammenhæng) α = 0,05 k Teststørrelse, chi 2   i 1

( f i  ei ) 6 ei dvs. chi 2  23,84
Konklusion

Kritisk , værdi  11,70
Da vores kritiske værdi er mindre end teststørrelse bør man forkaste H0.

p  værdi  p(q  23,84) dvs. p  værdi  0,000
Der er altså uafhængighed mellem de to variabler, da p-værdi er mindre end α
(0,00