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Game Theory

In: Business and Management

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Words 15525
Pages 63
UNIVERSIDAD SAN PABLO CEU | TEORÍA DE JUEGOS Y OLIGOPOLIO | Una aproximación a la teoría de juegos adaptándola al estudio de los oligopolios. |

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ÍNDICE:
1. Introducción. Página 2
2. Teoría de Juegos Página 2
2.1 Concepto Página 2
2.2 Diversos aportes a la teoría de juegos Página 3
2.3 Juegos Página 4
2.3.1 Juegos estáticos no cooperativos Página 5 2.3.1.1 Representación Página 5 2.3.1.2 Estrategias Página 6 2.3.1.3 Axiomas Página 6 2.3.1.4 Estrategias Página 6 2.3.1.5 Dominancia estricta Página 9

1. INTRODUCCIÓN
El presente trabajo se trata de una aproximación teórica a la teoría de juegos y a los modelos de oligopolio clásicos. Durante una primera parte se halla descrita de forma pormenorizada los más importantes aportes a la teoría de juegos a lo largo de su desarrollo para tratar de componer una idea general de la misma al lector.
En un segundo apartado se estudian los distintos modelos más renombrados de oligopolio de manera teórica y bajo el prisma de la teoría de juegos, según lo explicado en el apartado primero.
Es preciso aclarar que tanto el primer apartado como el segundo se basan únicamente en los llamados juegos no cooperativos, aquellos en los que los individuos persiguen su propio beneficio y no dan lugar a acuerdos (se definen en el apartado correspondiente con mayor exactitud).
El último apartado consta de un breve aporte a la colusión o acuerdos en oligopolios. Se desarrollan los juegos cooperativos y, mediante los aportes teóricos apuntados, se procede a analizar las colusiones en modelos de oligopolio clásicos.
El objeto de este trabajo es, principalmente, considerar bajo qué situaciones son los oligopolios susceptibles a alcanzar acuerdos y qué circunstancias han de darse. Para ello se recorre toda la teoría de juegos, ya que es un instrumento muy útil para analizar las situaciones de interacción entre individuos o entre productores.
Merece especial mención también el estudio de por qué a Cournot se le reconoce como predecesor de las teorías que brindaron a John Forbes Nash el premio Nobel y los posteriores análisis, que radican en cómo ciertos modelos de oligopolio no son más que lo que comúnmente se conoce como juegos. 2. TEORÍA DE JUEGOS 2.1 Concepto
La Teoría de Juegos es una manera de educar la mente del individuo racional de tal forma que consiga maximizar su utilidad en la toma de elecciones con incertidumbre. Se basa en el estudio de problemas de decisión en los que intervienen varios individuos, problemas que se denominan juegos.
Al estudiar situaciones estratégicas su aplicación para el análisis económico es muy interesante, ya que el principal objetivo de la economía es intentar resolver de manera eficiente conflictos con componente estratégico. Por ello la Teoría de Juegos se halla muy presente en el estudio de oligopolios (modelos como el descrito por Cournot, precursor de esta teoría, o Bertrand dan buena prueba de ello). Para analizar un mercado de competencia perfecta no se han de emplear estos argumentos, ya que las empresas son precio-aceptantes y por ello no existe el factor táctico antes señalado. 3.2. Diversos aportes a la Teoría de Juegos.
Se conoce como fundadores de dicha teoría a Von Neumann y Morgenstern que publican en 1944 Theory of Games and Economic Behavior. Es preciso reconocer la labor realizada por diversos autores con anterioridad que sientan las bases donde se apoyan los autores y demás estudiosos que ahondan en el tema: * Cournot: Este matemático francés expone su modelo de duopolio a principios del siglo XIX. Sus aportaciones datan de 1838 y sus conclusiones se estudiarán a posteriori. * Edgeworth: Fue Martin Shubik en 1959 quien vinculó las teorías de este economista irlandés a la teoría de juegos. * Emille Borel. Este matemático francés aporta su visión en 1921 tratando de dilucidar si es posible clasificar una forma de jugar como superior a otra, basándose en el póquer de dos personas (juego de suma cero: en el que los intereses de los jugadores son diametralmente opuestos). * Zermelo: matemático alemán que formula su teorema central sobre esta teoría en el año 1913.
Von Neumann publica en 1928 “General Simplification”, artículo en el que formula un modelo general en el cual los jugadores mueven de manera secuencial con información imperfecta de los movimientos de sus oponentes. Asevera que los jugadores desconocen el movimiento que realizará su oponente, pero pueden obtener cierta información de los movimientos previos realizados por el contrincante en cuestión, es decir, afirma que las jugadas no son independientes. Con influencias claras de lo aportado por Borel, asegura que los participantes eligen una estrategia previa al comienzo del juego, con total desconocimiento de los lances del juego.
En 1944 Von Neumann y Morgenstern publican su libro, en el que analizan tanto juegos no cooperativos (en el que cada individuo actúa según su propio beneficio) y juegos cooperativos. En lo referido al primer tipo de juego, materia en la que alcanzan resultados más consistentes, definen la forma normal para representar juegos extensivos generales: un conjunto de jugadores, con un conjunto de estrategias y una función de utilidad definida como el producto cartesiano de las estrategias. Cada jugador ha de obtener su Spielmethode o método de juego (heredado del methode de jeu de Borel) de manera independiente, reafirmando la idea de Cournot de que los competidores toman sus decisiones de manera independiente.
Estos autores en la segunda parte de su libro estudian los juegos cooperativos, como comportamiento óptimo de muchos jugadores, pero no alcanzan resultados sustanciosos, al menos no al nivel de los juegos estrictamente competitivos. Una idea novedosa que incluyen es el considerar medible la utilidad de nuevo, ya que la identifican con las transferencias monetarias y así lo muestran en la segunda edición de su libro en 1947, con la teoría de maximización de la utilidad esperada.
Años más tarde diversos autores complementan la teoría, los apuntes más relevantes son los realizados por John Forbes Nash, además de Shepley, Shelten, Harsany, Aumann y Harmony, por los que obtienen el premio Nobel. 3.3. JUEGOS.
Se define como juego aquel dilema que se le plantea al individuo en el que el comportamiento estratégico tiene especial importancia, son problemas de decisión multipersonales. Es preciso distinguir entre dos tipos de juego: * Juegos no cooperativos o estrictamente competitivos: son aquellos en los que cada jugador actúa según su propia conveniencia. Ofrecen estrategias detalladas para la toma de decisiones del individuo. Von Neumann y Morgenstern, para simplificar el estudio, definen un juego de dos jugadores cuyos intereses son diametralmente opuestos, de manera que el equilibrio resultante es perfecto: la ganancia del primero es la pérdida del segundo y viceversa. A este tipo de juegos se les denomina de suma cero o equitativos desde el punto de vista actuarial. * Juegos cooperativos: aquellos en los que múltiples jugadores han de hallar su conducta óptima y en los que intervienen acuerdos o negociaciones previas.
Además de esta clasificación básica también es preciso distinguir entre juegos estáticos y juegos dinámicos: los estáticos son aquellos en los que los jugadores toman decisiones de manera simultánea, mientras que los dinámicos de manera sucesiva. 2.3.1 Juegos estáticos no cooperativos.
Conceptos iniciales: * Jugadores: son los agentes que toman las decisiones de acuerdo a su estrategia, definida como el plan preestablecido de actuar del individuo, puede ser pura; invariante a lo largo del juego, y mixta; cambiante entre estrategias puras. * Reglas del juego: han de ser explícitas en torno a qué se permite y qué no se permite, además de concretar a qué pagos se enfrenta el jugador; beneficios o pérdidas derivadas de la toma de decisiones. 2.3.2.1 Representación.
Existen dos maneras de modelizar los juegos no cooperativos: mediante un árbol ( de manera extensiva) o de forma estratégica o normal.
- Extensiva: se representa mediante un árbol, que es una consecución de nodos que se interconectan y sin componente cíclico. Dentro de los árboles se pueden distinguir los árboles de juego y los árboles de decisión. Se diferencian en la participación o no más de un individuo. * Arboles de decisión: representan las diferentes decisiones a las que un individuo se enfrenta. Supone una consecución de opciones representadas por los nodos de decisión. * Árbol de juego: en este caso el juego es multipersonal, y los nodos de juego son las distintas decisiones que hacen los participantes de manera intercalada o consecutiva. Existen los juegos con conocimiento completo de las acciones de los otros jugadores o con desinformación; más habitual y con mayor aplicación práctica.
- Estratégica: se trata de la forma que Von Neumann y Morgenstern representan los juegos. La definen como “normal”, aunque de facto es más corriente la manera extensiva. Se representan un conjunto de estrategias y los pagos que reciben los jugadores, todo ello formando un cuadro. 2.3.2.2 Estrategias
Ya se ha definido en un apartado anterior la dicotomía entre estrategias puras y estrategias mixtas. Puede ocurrir que en un juego un jugador posea una estrategia ganadora o dominante, aquella estrategia pura que ganará sobre cualquier estrategia pura que escoja su contrincante, independientemente de la estrategia por la que opten los demás. Un juego con estrategias dominantes para ambos individuos sería el ejemplo más sencillo de resolver, ya que la sensatez de los individuos les inclinaría a seguir la estrategia y se daría un equilibrio de estrategias dominantes.
Ante un juego sin dominancia aparente, se puede obtener la estrategia según la racionalidad del individuo. Si los individuos deducen que su contrincante se comportará de manera racional, muy probablemente se pueda alcanzar una dominación estricta sucesiva, solución para el juego en el que cada participante supone que su rival no optará por estrategias dominadas. Este supuesto de racionalidad del individuo es muy relevante para resolver todo tipo de juegos y se ilustra con meridiana claridad mediante la contribución de Aumann en 1976: “Saber que los jugadores son racionales, saber que los jugadores saben que son racionales… y así ad infinitum.”
La estrategia mixta se define como una combinación de estrategias puras, se basa en el análisis probabilístico de causalidad que un jugador atribuye al modo de jugar del otro jugador. . 2.3.2.3 Axiomas de Von Neumann y Morgenstern.
Para poder comprender la consecución de los juegos es preciso conocer los axiomas formulados por los padres de la teoría. Ante situaciones estratégicas los individuos actúan según sus preferencias o gustos y atendiendo a su actitud ante el riesgo. Von Neumann y Morgenstern afirman que el jugador pretende maximizar su utilidad, según el principio de maximización de la utilidad esperada.
Para analizar este concepto es preciso otorgar probabilidades a las distintas situaciones que presenta el juego, mediante el estudio de dichas probabilidades se obtendrá la esperanza matemática de los pagos del juego.
En una lotería de pagos x1 y x2 la utilidad que reporta cada pago es (Ux1 y Ux2). La probabilidad de que concurra x1 es p1 y x2 es p2=1-p1 (ya que estamos ante sucesos dicotómicos).
X1·p1+x2·p2= E {U(x)}=x1·p1+x2·(1-p1)
Los axiomas definidos por los autores son necesarios para entender la función de utilidad y son los siguientes: 1. Completitud. Toda función de utilidad ha de ser capaz de ordenar según una preferencia estricta, preferencia débil o indiferencia. 2. Transitividad. Si el consumidor prefiere x1 a x2 y x2 a x3 preferirá x1 a x3. 3. Sustitución. Si la opción entre los premios x1 y x2 que para el jugador son indiferentes entre sí, lo serán también dos loterías que otorguen x1 y x2. 4. Arquimediano o de Continuidad. Existe un valor probabilístico para el que el jugador está dispuesto a jugar siempre.
Los agentes económicos suelen tener distintas actitudes ante las elecciones con riesgo, por ello es necesario definir tres conceptos que encierra todo comportamiento que puede tener un jugador en este tipo de situaciones. Para ello se emplean los llamados juegos equitativos desde el punto de vista actuarial o juegos de suma cero, cuyo valor esperado es cero, ya nombrados con anterioridad. Este tipo de juegos tienen la particularidad de que lo que un jugador gana es lo que pierde su oponente, ejemplos como el póquer u otros juegos de cartas ayudarán a componer una idea adecuada sobre este concepto. 1. El individuo aversor al riesgo. Es aquel individuo que rechaza los juegos equitativos, es decir, sólo estaría dispuesto a jugar si la ganancia esperada es positiva. Su función de utilidad es cóncava hacia el origen de coordenadas.

Gráfico 1

Fuente: Microeconomía: María Lucía Cabañes 2. El individuo neutral al riesgo. En este caso el jugador es indiferente a jugar o tener la esperanza matemática cierta como pago en este tipo de juegos equitativos. Su función de utilidad es una línea recta.
Gráfico 2

Fuente: Microeconomía: María Lucía Cabañes

3. El individuo preferente por el riesgo. Se trata de un tipo de individuo que se arriesga aunque su ganancia segura sea igual a la esperanza matemática cierta. Su función es convexa hacia el origen de coordenadas.

Gráfico 3
Fuente: Microeconomía: María Lucía Cabañes

Fuente: Microeconomía: María Lucía Cabañes

2.3.2.4 Dominancia estricta.
Es la forma más sencilla de resolver un juego y puede darse en estrategias puras o estrategias mixtas. Como ya se adelantó en el apartado anterior, un juego con dominancia en estrategias puras es el más sencillo de resolver. Un jugador posee una estrategia estrictamente dominante si ante cualquier alternativa que juegue su oponente sus pagos son mayores, es decir, es aquella que maximiza el beneficio del jugador independientemente de qué estrategia emplee el otro.
La tabla 1 expone una dominancia estricta en forma normal.

Juego 1 | Jugador B | Jugador A | Estrategias | T1 | T2 | | S1 | 0,1 | 2,3 | | S2 | 3,2 | 4,2 |

En este juego el jugador A tiene preferencia clara por la estrategia S2, ya que es dominante sobre la estrategia S1, opte el jugador B por T1 o T2 las ganancias de uno son mayores en S2 en ambos casos.
La tabla 2 expone un caso en el que no existe una dominancia clara:
Juego 2: | Jugador B | Jugador A | Estrategias | T1 | T2 | T3 | | S1 | 0,1 | 2,3 | 5,2 | | S2 | 3,2 | 4,2 | 2,1 |

Ni S1 domina a S2 ni viceversa, para el jugador A, pero puede alcanzarse una dominancia mediante una sencilla reflexión. Para el jugador B, la estrategia t2 domina claramente a t3 y parece lógico que un jugador racional jamás jugaría una estrategia dominada, por lo que la estrategia t3 puede eliminarse y alcanzaríamos una matriz binaria idéntica a la tabla 1 y con la misma dominancia. Este proceso se denomina eliminación iterada de estrategias dominadas.
Una estrategia mixta es una combinación de estrategias puras. En estrategias mixtas y en su resolución mediante dominancia la probabilidad cobra un papel muy relevante, ya que una estrategia mixta es, en esencia, una distribución de probabilidad.
El jugador asigna unas probabilidades a las estrategias puras de su contrincante basándose en aspectos tanto subjetivos como objetivos. La información que el jugador disponga sobre las decisiones anteriores de su oponente ayudará a conformar la estrategia mixta más adecuada para el jugador, que también estudiará los condicionantes y entorno de la situación. Parece lógico pensar que en cualquier tipo de decisión existen unos antecedentes, cuyo conocimiento ayudan a conformar una opinión para el oponente de la manera de tomar decisiones y las tendencias del jugador a inclinarse hacia una opción u otra.
Juego 3 | Jugador B | Jugador A | Estrategias | T1 | T2 | T3 | | S1 | 1,1 | 2,0 | 0,2 | | S2 | 0,2 | 1,1 | 2,0 |

El criterio de dominancia estricta no es válido para resolver el juego. La mejor respuesta a las estrategias del otro jugador está condicionada por la opción que escoja el otro jugador con lo que no existe dominancia en estrategias mixtas.
El jugador A distribuye la probabilidad de las estrategias del jugador B de este modo:
Para la estrategia t1 p1=0,3, t2 p2=0,5, t3 p3=0,2.
S1=0,3·1+0,5·2+0,2·0=1,3
S2=0,3·0+1·0,5+0,2·2=0,9
Con una distribución de probabilidad así el jugador A optará por la estrategia S1, ya que le reporta unos pagos esperados mayores.
Es preciso mencionar el concepto de dominancia débil, que responde a la estrategia que maximiza la utilidad del individuo frente a otra estrategia y equipara sus utilidades. Es decir, genera indiferencia frente a una estrategia y preferencia frente a la otra, de ahí la denominación de dominancia débil.
ELIMINACIÓN ITERADA DE ESTRATEGIAS DOMINADAS
Es una manera de alcanzar una solución válida para un juego con ausencia de dominancias y se da en cierto tipo de juegos. Supongamos una matriz de pagos de 2x3 en la cual las estrategias del jugador 1 se definen como s1 y s2 y las del jugador 2 como t1, t2 y t3.
En un principio no se puede emplear la dominancia como criterio ya que s1 es preferido a s2 si el jugador 2 emplea t1, pero si el jugador 2 opta por t3 cambia la preferencia. La preferencia vuelve a cambiar si la estrategia t2 es jugada. Al analizar la matriz de pagos se comprueba que t2 es preferida por el jugador 2 en cualquier situación en referencia a t3, con lo que se puede deducir que de ninguna manera jugará dicha estrategia ya que los pagos que le reporta son menores que t2.
De ahí que la estrategia t3 pueda eliminarse de la matriz resultando de la operación una matriz 2x2 con una solución claramente definido. Dicho equilibrio será s2t1 ya que al prescindir de t3 s2 domina claramente a s1.

Juego 4: | Jugador 2 | Jugador 1 | Estrategias | T1 | T2 | T3 | | S1 | 2,4 | 5,6 | 4,3 | | S2 | 5,7 | 5,4 | 2,1 |

En esta ocasión se presenta la solución subrayada.
ESTRATEGIA MINIMAX
Otra manera de interpretar los juegos es este tipo de estrategias. Es un teorema de John Von Neumann para los juegos de suma cero y define la forma de actuar de un aversor al riesgo.
El objeto es minimizar la pérdida máxima. Para ello el jugador ha de localizar los valores maximin y minimax: máximo de los pagos para el jugador 1 y mínimo de los pagos para el jugador 2.
Si ambos valores (maximin y minimax) coinciden en una misma estrategia se alcanzaría un equilibrio de Nash o equilibrio estable. Es, por supuesto, también aplicable a estrategias mixtas, no únicamente a estrategias puras; únicamente habría que establecer una distribución de probabilidad y constatar, según la misma, qué valores minimizan y qué valores maximizan los pagos.
Esta estrategia es muy difícilmente aplicable a cualquier otro juego en el que los pagos de un jugador no sean las pérdidas de su oponente. 2.3.2 Equilibrio de Nash
El equilibrio de Nash es, probablemente, el concepto más relevante concerniente a los juegos no cooperativos. Un equilibrio de Nash es la manera óptima de responder a la estrategia del otro jugador, es un concepto íntimamente relacionado con el sentido común, ya que cualquier circunstancia en la que un individuo se vea incentivado a variar su estrategia no correspondería un equilibrio de Nash.
En otros términos, es una concatenación de las estrategias puras más favorables para los jugadores sabiendo qué estrategia escoge su contrario. Según Varian (1996): «Decimos que un par de estrategias es un equilibrio de Nash si la elección de A es óptima, dada la de B, y la de B es óptima, dada la de A. Ninguna de las dos personas sabe qué hará la otra cuando tenga que elegir su propia estrategia, pero sí puede tener algunas expectativas sobre lo que elegirá. El equilibrio de Nash puede interpretarse como un par de expectativas sobre la elección de cada persona tal que, cuando la otra revela su elección, ninguna de las dos quiere cambiar de conducta.»
Juego 5 | Jugador 2 | Jugador 1 | Estrategias | T1 | T2 | | S1 | 0,1 | 2,3 | | S2 | 3,2 | 4,1 |

En este juego la estrategia S2 del jugador 1 domina a S1, ocurre lo mismo con la estrategia t1 del jugador 2, por lo que el equilibrio de Nash se situará en S2-t1 con los pagos (3,2).
Se puede dar un equilibrio de Nash en estrategias mixtas y he aquí su verdadera relevancia, ya que en escasas ocasiones un juego se resuelve con tanta facilidad. La siguiente matriz binaria de pagos corresponde a un juego con resolución en Equilibrio de Nash en estrategia mixta.
Juego 5: | Jugador 2 | Jugador 1 | Estrategias | T1 | T2 | | S1 | 0,1 | 1,2 | | S2 | 2,2 | 0,1 | Para alcanzar un equilibrio de Nash habrá que emplear la probabilidad, ya que si el jugador 1 se decanta por: S1, el jugador 2 optará por t1; S2, el jugador 2 optará por t1. Respecto a las respuestas óptimas del jugador 1 a las acciones del jugador 2 sucede lo mismo, ya que si juega t1, al jugador 1 le conviene S2, mientras que si opta por t2 S1 maximizaría su beneficio.
Por ello cada jugador ha de asignar una probabilidad a las estrategias contrarias. El equilibrio de Nash en estrategias mixtas fluctuará de un nodo a otro en función de dicha probabilidad.
Pongamos que el jugador 2 ha estudiado el comportamiento habitual del 1 y determina que jugará S1 en una proporción de cuatro veces de cada 10 (p1=0,4).
T1= 0,4·1+0,6·2=1,6
T2=0,4·2+0,6·1=1,4
Por lo tanto el equilibrio de Nash se situará en t1 si la probabilidad de que opte por S1 es menor de 0,5 y en t2 si es mayor. En el caso de que haya evidencia de que el jugador 1 optará por una u otra estrategia con igual probabilidad ambas estrategias serán mejores respuestas y por lo tanto ambas constituirían equilibrios de Nash. 2.3.3.5 El dilema del prisionero
Es el más célebre ejemplo de esta teoría fue formulado por Albert Tucker y, a posteriori, desarrollado y modificado por varios estudiosos. Su nombre hace mención a la captura de dos individuos a manos de la policía, estos individuos son los responsables de un atraco y ambos poseen antecedentes penales suficientes para encerrarlos seis meses.
Se les coloca en celdas separadas y sin ninguna comunicación. No se posee suficiente información del crimen como para encerrarlos por el atraco por lo que les proponen un trato equivalente a cada uno; si acusan a su compañero del crimen un mes tan solo de cárcel y el otro delincuente doce meses a la cárcel. Si ambos se acusan del crimen mutuamente irán diez meses a la cárcel, ya que aportan a la justicia de suficientes pruebas como para que ningún trato sea necesario.
En este caso la matriz binaria de recompensas será negativa, ya que la utilidad en todos las situaciones posibles es menor que 0 y corresponde con los meses de cárcel.
Juego 6: | Preso 2 | Preso 1 | Estrategias | No confiesa | Confiesa | | No confiesa | -6,-6 | -12,-1 | | Confiesa | -1,-12 | -10,-10 |

El pensamiento de cada preso es el siguiente, la mejor situación posible es que confiese. Si el preso 1 no confiesa y el 2 tampoco ambos los encierran seis meses, pero si el 2 confiesa solamente estaría un mes encerrado. Si el preso 1 confiesa y el 2 no, encerrarían al segundo durante 12 meses, por lo que confesar le supone una mejora de dos meses menos de condena. Por lo tanto confesar es mejor respuesta para cualquier estrategia en cualquier situación, con lo que el equilibrio de Nash se situaría en que ambos acusen.
El análisis de este juego es interesante ya que, a priori, puede parecer que se inclinen por no confesar ambos y así permanecer seis meses en prisión, muestra de una manera cruda como la falta de cooperación puede llevar a resultados mejorables (o incluso nefastos) para las partes, de ahí la fascinación que suscita. 2.3.3.6 Batalla de los sexos
Otro ejemplo muy estudiado en relación a los juegos estáticos no cooperativos es el que recibe este nombre. Es una herramienta útil para explicar la existencia de más de un equilibrio de Nash en cierta clase de juegos. Se trata de una pareja que ha de decidir cuál es el plan a realizar el sábado por la noche; entre las opciones se encuentran asistir a un musical (plan preferido por la mujer) y asistir al fútbol (plan preferido por el hombre). Las utilidades de ambos son mayores si escogen el plan preferido y asisten en compañía pero se ven reducidas a cero si el otro decide no acompañarlo.
La matriz binaria de recompensas quedaría así:
Juego 7: | Mujer | Hombre | Estrategias | Fútbol | Musical | | Musical | 0,0 | 1,2 | | Fútbol | 2,1 | 0,0 |

Como se puede comprobar, existen dos equilibrios de Nash en estrategias puras correspondientes a que la pareja acuda al mismo evento mientras que la utilidad se anula si la decisión es distinta. Por lo tanto, como un individuo por sí solo no puede mejorar su utilidad de manera unilateral en ninguno de los dos puntos, los equilibrios de Nash se corresponderían con (fútbol, fútbol) y (musical, musical).
Ahora bien, considerando la posibilidad de equilibrios de Nash para estrategias mixtas en este juego es posible encontrar un tercer equilibrio de Nash. La mujer escogerá musical con probabilidad q mientras que el hombre escogerá fútbol con probabilidad p.
Las ganancias esperadas serán: * Mujer: Elegir musical le reportará una ganancia esperada de 2·(1-p). Si elige fútbol su ganancia esperada será de 1·(p)=p. * Hombre: Optar por fútbol le supone 2·(1-q), mientras que ceder y elegir musical le supone 1·(q)=q.
Estas ganancias esperadas dicen que si p y q corresponden a 2/3 los resultados escogiendo cualquier estrategia mixta serían equivalentes. Siempre y cuando las probabilidades sean mayores que 2/3 supondrían estrategias mixtas dominantes las cesiones en favor del interés contrario, con lo que se alcanzará un único equilibrio de Nash en estrategias mixtas mediante asignación de concurrencias.
Estos son ejemplos de juegos en los que la cooperación mejoraría la utilidad de los jugadores, ya que han de estar completamente seguros para emplear estrategias dominadas y para ello han de cerrar un acuerdo.

2.3.3.7 Refinamientos en equilibrios de Nash
En ciertas ocasiones puede ocurrir que se emplee una estrategia débilmente dominada y esto conduzca a un equilibrio de Nash. Está comúnmente aceptado en Teoría de Juegos por diversos autores la eliminación iterada de estrategias dominadas que ya se ha comentado, pero puede suceder que al eliminar una estrategia débilmente dominada la solución no sea tan obvia u ocasione ciertas divergencias.
En estos casos puede no ser irracional jugar una estrategia dominada de manera débil, ya que de ese modo puede dar lugar a un equilibrio de Nash y con recompensas mayores.

Juego 8: | Jugador 2 | Jugador 1 | Estrategias | T1 | T2 | | S1 | 10,4 | 9,6 | | S2 | 10,15 | 5,5 |

Analizando la figura, podemos establecer preferencias para ambos jugadores. La estrategia s2 está débilmente dominada por la s1 ya que para t1 su utilidad se iguala, pero para t2 s1 supone mayores pagos.
Si aplicamos la eliminación iterada de estrategias dominadas la estrategia s2 se borraría de las opciones, por lo que el equilibrio de Nash quedaría s1t1, ya que en el caso del jugador 2 t1 sí domina estrictamente a t2. Es un equilibrio de Nash ya que es un punto que aúna las mejores respuestas para ambos, aunque s2t1 suponga mayores pagos. 2.3 Juegos dinámicos no cooperativos.
Se ha definido ampliamente el concepto de juegos estáticos en los que las decisiones se toman de manera simultánea. Los juegos dinámicos no cooperativos se diferencian de sus antecesores en la toma de decisiones secuencial, no de manera coetánea.
En un primer término se comentarán los juegos con información completa y perfecta, lo cual quiere decir que los jugadores tienen perfecto conocimiento de las acciones de sus oponentes ya que es información de dominio público, aplicado a los árboles de juego; no tienen cabida los conjuntos de información.
El principio de credibilidad es clave para los juegos dinámicos, al jugar se contempla la posibilidad de amenazas verosímiles únicamente. Más concretamente, el principio de credibilidad requiere que los movimientos que realice el jugador a través de los nodos convengan para maximizar su utilidad, por lo tanto, se presupone que ningún jugador atentará contra su bienestar. Dicha premisa se acepta como axioma en los juegos con información perfecta, en otros juegos pueden considerarse posibles otras circunstancias.
Para este tipo de juegos es útil la representación en árbol de juego, ya que define de manera gráfica como cada individuo dispone de un turno para elegir y se presupone que conoce las elecciones tomadas con anterioridad. 2.4.3 Inducción hacia atrás
Es un método para hallar la solución eficaz en representaciones extensivas. Consiste en comenzar en el nodo terminal y se establece una estrategia por la cual los jugadores optarán por la elección que maximice sus pagos.
Un ejemplo real de este tipo de solución de juegos dinámicos podría ser la guerra de precios o el movimiento empresarial que Télex inició en los años 70 para desbancar a IBM de su puesto de monopolista en la fabricación de hardware.
En forma extensiva el ejemplo sería el siguiente:
Árbol de Juego 1:
Aplastar
Aplastar
0,0
0,0

Entrar
Entrar
2,2
2,2
IBM
IBM

Acomodarse
Acomodarse
Télex
Télex

Salir
Salir

1,5
1,5

Comenzando el nodo terminal IBM tiene dos opciones ante la entrada de mercado de Télex, o aplastar a la otra empresa con técnicas de mercado (como bajadas abusivas de precios, dumping…) o acomodarse. Lo lógico es que se acomode ya que dichas técnicas no le van a reportar ningún beneficio mientras que repartirse el mercado sí. Por lo tanto, respetando el principio de credibilidad, IBM se acomodará de ahí que Télex entre en el mercado, ya que la amenaza de que IBM comience competencia hostil para perpetuar su liderazgo no es creíble.
Este mismo juego representado en forma normal aportaría dos equilibrios de Nash, de ahí que se adapte mejor los árboles de juego a los conflictos dinámicos.

Juego 8: | IBM | Télex | Estrategias | Aplastar | Acomodarse | | Entrar | 0,0 | 2,2 | | Salir | 1,5 | 1,5 | En forma extensiva tanto acomodarse como no entrar por parte de Télex aportarían equilibrios de Nash, ya que no mejoraría ninguna empresa cambiando de estrategia unilateralmente., resultado que no coincide ante la inducción hacia atrás. 2.4.4 Juegos no cooperativos con información imperfecta. Son juegos secuenciales con información completa pero cuya información no es perfecta como en el apartado anterior, sino que se permite la aparición de decisiones simultáneas en ciertos nodos del juego representado como conjuntos de información. 2.4.5.8 Perfección en subjuegos.
Se trata de un refinamiento estudiado por Shelten, autor reconocido con el Premio Nobel en el año 1994, compartido con Harsanyi y John Forbes Nash. Es un refinamiento o perfeccionamiento acondicionado para juegos en forma de árbol o extensiva.
Árbol de Juego 2:

(4,4)
(4,4)

(6,3)
(6,3)
(1,1)
(1,1)

La figura muestra un árbol de juego en el que dos jugadores interactúan. El primer nodo se trata de un nodo de decisión, de ahí que no tenga fondo, mientras que el segundo nodo es un nodo aleatorio; de acuerdo con las definiciones ya mencionadas al inicio del documento al explicar las formas de representación.
Es un juego en el que dos equilibrios de Nash coexisten, uno con el que ambos jugadores alcanzan un pago de 4 cada uno y otro en el que el jugador 1 mejora obteniendo 6 y el jugador 2 empeora y obtiene 3. Para alcanzar el primer equilibrio el jugador 1 optará por la estrategia derecha y eliminará la opción de que el jugador 2 decida, mientras que para alcanzar el equilibrio mencionado en segundo lugar el jugador 2 ha de optar por la estrategia izquierda (las estrategias se denominan izquierda derecha según la posición de la flecha por la que se guían).
La siguiente figura muestra un árbol de juego de mayor complicación:
Árbol de Juego 3:
U
U
D
D

S
S
T
T
S
S
t t s s (3,3)
(3,3)
(2,2)
(2,2)
(1,2)
(1,2)
(5,1)
(5,1)
(4,4)
(4,4)

En esta figura los últimos nodos aleatorios corresponden a la última decisión que ha de tomar el jugador 1. El jugador 1 es el que comienza el juego en el nodo de decisión y sus estrategias se representan con letra mayúsculas, mientras que las del jugador 2 corresponden a las letras s y t minúsculas. El nodo de decisión del jugador 2 es un subjuego propio formado por estrategias y pagos que se decidirán a partir de ese momento, por ello se denomina subjuego. Un subjuego comienza con un conjunto de información que contiene un nodo de decisión y contiene todos los nodos sucesores. En este caso si el jugador 2 elige s, el jugador 1 debería de elegir S, con lo que U-S-s forma un equilibrio de Nash. Pero no sería un equilibrio en subjuegos perfecto, ya que si el jugador 2 elige s suponiendo que su oponente elegirá S, la mejor respuesta sería t, ya que domina a s. Por ello se determina que este tipo de refinamiento consiste en determinar en cada subjuego qué punto sería un equilibrio de Nash. En este tipo de juegos, con información completa y perfecta se permite determinar con el método de inducción hacia atrás. 2.4.5.9 Equilibrio Secuencial. Un equilibrio secuencial se trata de un refinamiento estudiado también por Shelten en el que un jugador ha de disponer de un perfil de estrategias para todo el conjunto de información y un conjunto de creencias. El perfil de estrategias le guiará en qué decisiones tomarán sus oponentes en los pasos siguientes y el conjunto de creencias formará su conocimiento sobre que ha ocurrido hasta ese instante en los nodos anteriores. Para satisfacer un equilibrio secuencial se ha de cumplir el llamado principio de racionalidad secuencial, que responde a que en cada punto del árbol de juego se empleen las mejores respuestas para los jugadores. Es un principio íntimamente relacionado con el de credibilidad, ya que de esta manera desecha las amenazas no creíbles por no ser mejores respuestas y no suponer una maximización de la utilidad de los jugadores. Shelten afirmó que si un juego tiene un equilibrio de Nash y es repetido un número de veces t finito, su solución es ese mismo equilibrio de Nash repetido todas y cada una de las t veces. De esta afirmación se deducen los principios de credibilidad y de racionalidad secuencial, ya que descarta amenazas inverosímiles y supone la existencia de un equilibrio de Nash en cada nodo. 3. TEORÍA DE JUEGOS Y OLIGOPOLIO Es muy común la aplicación de la teoría de juegos al oligopolio y las referencias son constantes, el modelo de Cournot de 1838 es un antecedente claro a lo desarrollado por Nash y el análisis de mercados oligopolistas desde la perspectiva de la teoría de juegos es siempre interesante, ya que el productor se enfrenta a decisiones cargadas de componente estratégico. 3.1 Concepto de Oligopolio. Un oligopolio es un mercado caracterizado por la existencia de un reducido número de productores y un elevado número de consumidores. Es un modelo de mercado que se puede aplicar a muchas realidades en los distintos sectores, ya que actualmente hay un fuerte empuje de las empresas de corte multinacional que acaparan la producción y actúan como oligopolistas. Un oligopolio produce bienes muy sustitutivos entre sí. Esto se analiza con la elasticidad de sustitución; que es el cociente entre la variación porcentual de la relación entre las cantidades poseídas de los dos bienes y la variación porcentual de la relación marginal de sustitución. Cuanto mayor es la elasticidad de los bienes serán mejores sustitutivos, ya que eso significa que la relación entre las cantidades poseídas de ambos bienes varía mucho mientras que la relación marginal de sustitución sufrió un cambio menor (gran variación numerador versus pequeña variación del denominador). Que los bienes producidos se sustituyan de manera sencilla provoca que los productores se vean muy afectados por las decisiones o cambios de estrategia de sus competidores. La razón por la cual el mercado está dominado por pocas empresas se basa en las elevadas barreras de entrada que suelen tener. Dichos obstáculos que se presentan a los nuevos productores pueden ser de distinto tipo, enumerando algunos ejemplos representativos: * Gastos de inversión elevados, mercados cuyas empresas se aprovechan de economías de escala o de la derivación desde monopolio natural a oligopolio natural (OPEP). * Normativa legal, capaz en algún caso de establecer oligopolios por decreto mediante la concesión de licencias (Sector de las telecomunicaciones). * Propiedad intelectual, la protección que otorga una patente e impide a otra empresa competir. Podría situarse dentro de normativa legal, pero tiene connotaciones distintas aunque ambas sean protecciones legales (mercado de los fármacos). La interdependencia en el oligopolio es muy elevada y por ello todas las políticas ejercidas por los demás (recortes en precios o publicidad agresiva, por ejemplo) pueden socavar el beneficio del productor. Todo ello explica la tentación que existe en todo oligopolio de llegar a acuerdos para mejorar la situación de los productores, en lógico detrimento de la satisfacción del consumidor. Para explicar la elevada interdependencia entre los distintos mercados existe una teoría desarrollada por Sweezy y denominada la Demanda Quebrada. 3.2 Modelo de la Demanda Quebrada Se trata de un modelo muy adecuado para entender el comportamiento de los oligopolistas ante variaciones de precios. Surge del Modelo de Chamberlin para los mercados de competencia monopolística, mercado en el cual existen multitud de productores, con productos poco diferenciados (no sustitutivos perfectos), sin barreras de entrada ni salida y costes similares, tanto de transacción como de producción. Chamberlin habla de la existencia de dos curvas de demanda, ya que la empresa productora considera que sus competidores no influyen sobre su demanda, por lo que vaticinan que su demanda es más elástica de lo que en realidad es; dos curvas, la que el productor considera y la real. Sweezy es un economista americano del siglo XX que profundiza en esta teoría aplicándola al mercado oligopolista y empleándolo como método analítico. Sweezy argumenta que los precios se mantienen estables porque las competiciones agresivas en precios suponen incurrir en pérdidas, como ya se ha visto con anterioridad con el juego en forma extensiva Télex versus IBM. Conociendo la escasa o nula conveniencia de dicha fórmula, los oligopolistas, según el autor, se decantan por diferenciarse con políticas de marketing esencialmente. Otra opción de la que disponen es mejorar en términos cualitativos. Las hipótesis en las que se basa son: * Existen dos curvas de demanda con pendiente y elasticidad distinta, una es la demanda esperada o anticipada por el productor y otra la real, este punto es muy semejante al modelo de Chamberlin. * Si el productor opta por bajar por el precio lo hace con el convencimiento de que conseguirá una mayor cuota de mercado al vender más barato que sus competidores. La demanda que él anticipa es muy elástica con lo que supone que dicho descenso le provocará un gran aumento en ventas. * No prevé que las demás empresas también descenderán sus precios con lo que sus ventas menguarán con respecto a lo que él anticipó y la demanda real de mercado será más inelástica que la anticipada. * Si la variación de precios se efectúa al alza, la demanda por la que se desplazará será la anticipada, con lo que ante pequeñas subidas de precio sus ventas se contraerán mucho, ya que ningún otro miembro del mercado le seguirá. La consecuencia de esta política es la de precipitarse al fracaso empresarial.

GRÁFICO 4 Las demandas a las que se enfrenta el productor son la anticipada, que se corresponde con la marshalliana u ordinaria, y la variación ante cambios en los precios se denomina Chamberliana. Una particularidad de este modelo es que, ya que la demanda no consta de continuidad en la pendiente y posee en el punto de equilibrio del modelo un punto de inflexión, el Ingreso Marginal también goza de particularidades. El Im también tiene un cambio de pendiente igual que la demanda ya que su ángulo coincide con la mitad del ángulo de la demanda, con lo que en el modelo de Sweezy se pueden suceder distintos equilibrios de mercado Ingreso Marginal igual a Coste Marginal con distintos costes marginales, siempre que sean secantes en el punto discontinuo del Ingreso Marginal, como muestra el siguiente gráfico. GRÁFICO 5 En ese intervalo de discontinuidad es en el que se sucede la rigidez de precios. Las subidas de precios solo se darían si hay un convencimiento pleno de que todas las empresas efectuarán dicha subida. Analizándolo en forma de juego de manera estratégica quedaría una suerte de dilema del prisionero. Juego 9 | Empresa II | Empresa I | Estrategias | Mantener | Subir precios | | Mantener | 5,5 | 7,-1 | | Subir precios | -1,7 | 0,0 | El único equilibrio de Nash que resulta de este juego es la no subida de precios por parte de ninguna, ya que no subir precios es estrategia dominante para ambas empresas. Si su oponente sube, el productor acapararía mayor beneficio si no sube; gana cuota de mercado, provoca pérdidas en sus competidores e incluso podría convertirse en monopolista si la situación se agrava. Por ello ambas optan por permanecer sin estrategias de ningún tipo, ya que incluso cerrando un acuerdo para subir precios, es probable que un participante lo rompa en su favor. 3.3 Modelo de Cournot Este matemático francés formula en 1838 su modelo, precursor e inspirador de diversos modelos de oligopolio y de teoría de juegos que surgen años más tarde. El equilibrio que alcanza con su modelo de duopolio goza de enorme parecido con la aportación de John Forbes Nash con su equilibrio para los juegos no cooperativos, por ello a menudo se denomina equilibrio Cournot-Nash. Es un modelo sencillo de interacción entre dos empresas que producen bienes idénticos, es un oligopolio puro. El precio de los bienes también es el mismo para ambas empresas. Para simplificar el modelo, propone un mercado en el que el coste de producción es nulo. Para ello propone un mercado de agua mineral en el que las dos empresas poseen sendos pozos, de los que extraen el agua. El coste variable es cero ya que no disponen de materia prima además del agua y los clientes acceden al mercado con sus propios recipientes para portar el líquido. Existe un coste fijo correspondiente con la perforación del pozo, que es igual para ambas empresas. De ello extraemos que el coste marginal sería cero también. Es un modelo en el que las empresas compiten en cantidades de producción, Bertrand desarrollará el suyo (se estudiará en el siguiente punto) de manera semejante pero con competencia en precios. Se denominan ambos modelos de acción-reacción. En un inicio la empresa pionera o I es la única de mercado, actúa equiparando el coste marginal al ingreso marginal y obtiene un precio p’. Es muy relevante para comprender el modelo el supuesto acción-reacción: esto se traduce en que la empresa no actúa anticipándose a los movimientos de la otra, sino que ante un movimiento estratégico del competidor reacciona. Esta presunción de una permanencia de la producción en términos constantes de la empresa II es la que determina el funcionamiento del mercado. GRÁFICO 6 En el punto E, la empresa I maximiza sus ingresos con una elasticidad precio igual a 1, porcentaje en que varía la cantidad demandada del bien cuando su precio varía en un uno por ciento. La cantidad que vende la empresa I es OY’, que corresponde a un medio la distancia entre el eje de coordenadas y el punto de corte entre la demanda y el eje Y, con lo que ½ de OD’ es lo que produce I. La empresa II entra en el mercado y su predicción es que I no variará su producción a pesar de esta interacción, por lo que su demanda se corresponde con la parte AD’, la curva de ingreso marginal tendrá su origen en A y venderá una cantidad correspondiente con Y’Y’’=1/4OD’, a un precio inferior a p1, que denomina p2. Con la premisa de que II no cambiará la cantidad producida interviene I y producirá la mitad de la demanda no satisfecha: I: (1/2) · (1-1/4) OD’= (1/2 ·3/4) OD’= (3/8) OD’= (1/2-1/8) OD’ Con esta producción pierde parte de su cuota de mercado, ya que antes producía 1/2 y ahora únicamente 1/2 -1/8 y el precio asciende. II: (1/2) · (1-3/8) OD’= (1/2·5/8) OD’= (5/16) OD’= (1/4+1/16) OD’ La empresa II gana con su reacción un dieciseisavo de mercado, que equivale a la mitad de lo que perdió la empresa I en su reacción anterior. I: (1/2) · (1-5/16) OD’= (1/2 ·11/16) OD’= (11/32) OD’= (1/2-1/8-1/32) OD’ En esta segunda reacción la empresa I ha perdido un treintaiseisavo de mercado. La empresa II gana un medio de la cuota de mercado que la empresa I pierde, con lo que siguen progresiones geométricas de razón 1/4. Con el siguiente paso, que corresponde con la reacción de la empresa II, se constatará la pérdida/ganancia de cuota de mercado según progresión geométrica: II: (1/2) · (1-11/32) OD’=(1/2 ·21/32) OD’= (21/64) OD’= (1/4+1/16+1/64)OD’ Para hallar el equilibrio de Cournot se ha de emplear la fórmula de la suma de progresiones geométricas: SI= 1/2-(a1/1-r) SII= (a1/1-r) Las variables que intervienen son: * r : razón de la progresión. * a1: se refiere en cada caso al valor que gana o pierde (según sea de la empresa I o la II) en la primera reacción de cada empresa. Al efectuar la suma de progresiones obtenemos como resultados para la empresa I el resultado es 1/3, exactamente el mismo que para la empresa II. Con ello se deduce que el equilibrio del duopolio de Cournot se obtiene produciendo cada empresa un tercio del total del mercado, cubriendo entre ambas dos tercios de la producción del mercado. Si en lugar de tratarse de un duopolio, se tratara de un oligopolio de “n” empresas el resultado final de mercado sería una producción de nn+1 · OD’. Si de un monopolio se tratase la producción sería de 1/2 del mercado y cuanto mayor sea el número de empresas que producen y por lo tanto más se aproxime al ideal de competencia perfecta, mayor cuota de mercado se cubriría. Las curvas de reacción de las empresas son funciones que relacionan las producciones de las empresas en relación con la producción de su competidor en el mercado. Para hallar la curva de reacción de la empresa I: Si I = OD’ ; II = 0 I =12OD' ; II = 14OD' I = 0 ; II = 12OD' El mismo procedimiento se efectuará para hallar la curva de la empresa II: Si II = OD’ ; I = 0 II =12OD' ; I = 14OD' II = 0 ; I = 12OD' Una vez halladas las curvas de reacción de las empresas se representan gráficamente, con el eje de abscisas la producción de la empresa I y en el eje de ordenadas la producción de la empresa II.

GRÁFICO 7 Fuente: Microeconomía. María Lucía Cabañes Las curvas de reacción cumplen la condición de maximización del beneficio en su recorrido, en el que ingreso marginal se equipara con coste marginal y, en este caso particular de duopolio, a cero. Ya se detalló con anterioridad que los costes variables son inexistentes por lo tanto no existe un coste marginal, pues el coste derivado de producir una unidad a mayores es cero. La unión de los puntos de corte con el eje (R1-Q1, R2-Q2) corresponde a la denominada curva de contrato, recta que corresponde a combinaciones lineales de 1/2 OD’ y en la que se encontraría el equilibrio del mercado, ya que las empresas maximizarían beneficios si lo acordaran de antemano. Si suponemos que la función de demanda es: Y = a-bp P = a/b – Y/b Y = YI + YII (producción de ambas empresas) Al maximizar beneficios el beneficio marginal es igual al coste marginal y éste es igual a cero. El ingreso marginal, ingreso que se obtiene al producir una unidad adicional del bien, de la empresa I es la derivada parcial del ingreso total según YI. El ingreso total es el precio por la producción de la empresa I por lo que se sustituye por la función de precios cambiando la producción Y por su función, es decir, descomponiéndola en producciones segregadas según la empresa. ImI = dIT/dYI = d(p · YI)/dYI = p + YI (dp/dYI) = a/b – (YI + YII)/b +YI (-1/b) ImII = dIT/DYII = d (p· YII)/dYII = p + YII (dp/dYII) = a/b – (YI+ YII)/b + YII (-1/b) Despejando las dos al igualarlas a 0 quedaría: Curva de reacción de la empresa I: 2YI + YII = a Curva de reacción de la empresa II: YI + 2YII = a Son curvas de reacción que representan óptimos de respuesta ya que se encuentran bajo condiciones de maximización del beneficio. Al resolver el sistema se halla el punto de Cournot, ya que se sitúa donde ambas curvas coinciden. 2YI + YII + YI + 2YII = a + a YI = YII = a/3 por lo tanto la producción total Y= 2a/3 El precio de equilibrio sería: P= a/b – Y / b= a/b - 2a/3b = a /3b Con lo que el ingreso total de los dos duopolistas es: IT = p·Y = 2 a2 / 9b Ahora se va a proceder a demostrar que el equilibrio de Cournot es también un equilibrio de Nash, por lo tanto, un par de estrategias empresariales que constituyen mejores respuestas frente a las reacciones del competidor. Las cantidades producidas por ambas empresas se representan por las letras yI y yII, siendo Y la producción total del mercado (suma de yI y yII). El precio de mercado P = a/b – Y/b. Como ya se ha adelantado, el coste por unidad es constante, ya que el coste marginal es cero, por lo tanto p ha de ser mayor que k. P > k. La producción del mercado: Y = a – bk Por ello la producción inicial de yI será: yI = a-bk2 Y la producción de yII inicial (respuesta): yII= a-bk2 · (1 – yI) Estas dos producciones responden a cantidades producidas para maximizar el beneficio, por lo tanto cantidades óptimas de producto y, por ende, equilibrios de Nash. Para demostrar dicha afirmación, se sabe que: Max Bº (Y1, Y2) = max Y* {a- (Y1*+Y2*)- bk}: Para valores pertenecientes a un intervalo de cero (inclusive) a infinito. De ahí obtenemos el siguiente par de ecuaciones: Y1* = 1/2 (a – Y2* - bk) Y2* = 1/2 (a – Y1* - bk) Igualando las producciones y resolviendo las ecuaciones los resultados son: Y1* = Y2* = a-bk3: Equilibrio Cournot-Nash de producción final de mercado. Constatando que Y* es menor que a – bk, por lo tanto la condición de maximización de beneficio se cumpliría. Se ha demostrado que la cantidad producida hallada al inicio del apartado es verdaderamente una cantidad óptima y corresponde a una estrategia de mejores respuestas. Este juego se puede representar en otras formas, como normal o estratégica y extensiva. Suponemos que los jugadores o competidores, así lo dijo Cournot, desconocen las decisiones de sus competidores, con lo que se van a considerar distintas estrategias, como ejemplo, para demostrar que la mejor respuesta es lo declarado por Cournot. En este juego concreto las estrategias corresponden a cantidades producidas, por lo tanto se considerará un juego en el cual la estrategia t y U de los jugadores es producir 1/2 de la producción sin cubrir, y las estrategias s y D producir 1/3 de la producción no satisfecha. Las respuestas de las estrategias S y s ya se han detallado al inicio del apartado, con lo que no se repetirá el procedimiento. Seguimos presumiendo que OD’ es la producción total. Estrategia U y s. S: 1/2 t: 1/3 I: 1/2 OD’. II: 1/3 (1 – 1/2) OD’= (1/3 · 1/2) OD’= 1/6 OD’ I: 1/2 (1- 1/6) OD’= (1/2 · 5/6) OD’ = 5/12 OD’= (1/2-1/12) OD’ En su primera reacción la empresa I pierde una cantidad equivalente a la mitad de lo que produce la empresa II en la fase anterior, es decir, un doceavo. II: 1/3 (1- 5/12) OD’= (1/3 · 7/12) OD’= 7/36 OD’= (1/6 + 1/36) OD’ En esta reacción la empresa II gana mercado, una tercera parte de lo que perdió la empresa I en su reacción. I: 1/2 (1 – 7/36) OD’= (1/2 · 29/36) OD’= 29/72 OD’ = (1/2 – 1/12 – 1/72) OD’ II: 1/3 (1- 29/72) OD’ = (1/3 · 43/72) OD’ = 43/216 OD’= (1/6 + 1/36 + 1/216) OD’ I: 1/2 (1- 43/216) OD’= (1/2 · 173/216) OD’ = 173/432 OD’= (1/2- 1/12- 1/72 – 1/432) OD’ La tendencia de perder y ganar mercado sigue una progresión geométrica de razón 1/6, como se puede comprobar tras los cálculos efectuados. Por lo tanto, si se calcula las sumas de las progresiones se comprobará el resultado final de mercado: SI= 1/2-(a1/1-r)= 4/10. SII= (a1/1-r)= 1/5. Ahora se comprobará la situación contraria, que la empresa II opte por producir 1/2 de la producción sin cubrir y la empresa I 1/3. I: 1/3OD’ II: 1/2 (1-1/3) OD’= 2/6OD’ I: 1/3 (1- 2/6) OD’ = (1/3 · 4/6) OD’ = 4/18 OD’= (1/3 – 2/18) OD’ II: 1/2 (1- 4/18) OD’= (1/2 · 14/18) OD’= 14/36 OD’= (2/6 + 2/36) OD’ I: 1/3 (1 – 14/36) OD’= (1/3 · 22/36) OD’= 22/108 OD’= (1/3 – 2/18 – 2/108) OD’ II: 1/2 (1-22/108) OD’= (1/2 · 86/108) OD’= 86/216 OD’= (2/6 + 2/36 + 2/216) OD’ En este segundo caso analizado ocurre lo mismo que en el anterior, que las producciones siguen progresiones aritméticas en dirección opuesta con razón r = 1/6. Por ello también podremos hallar la suma de progresiones por tratarse de una progresión geométrica de términos infinitos pero decrecientes, con lo que empleamos la fórmula ya empleada: SI= 1/3-(a1/1-r) = 4/30 SII= (a1/1-r)= 4/10 Por último las estrategias utilizadas serán producir 1/3 de la producción restante, con lo que I: 1/3 OD’ II: 1/3 (1- 1/3) OD’= (1/3 · 2/3) OD’= 2/9 OD’ I: 1/3 (1- 2/9) OD’ = (1/3 · 7/9) OD’= 7/ 27 OD’ = (1/3 – 2/27) OD’ II: 1/3 (1- 7/27) OD’ = (1/3 · 20/27) OD’ = 20/81 OD’= (2/9 + 2/81) OD’ I: 1/3 (1 – 20/81) OD’= (1/3 · 61/81) OD’= 61/243 OD’= (1/3 – 2/27 – 2/243) OD’ II: 1/3 (1 – 61/243) OD’ = (1/3 · 182/243) OD’ = 182/729 OD’ = (2/9 + 2/81 + 2/729) OD’ Se puede comprobar que en este caso las reacciones también siguen una progresión geométrica de razón r = 1/9. Por ello se va a proceder a hallar la suma de las progresiones: SI= 1/3-(a1/1-r) = 1/4. SII= (a1/1-r)= 1/4. El número de estrategias es infinito, se escoge 1/3 para facilitar el ejemplo. En forma estratégica o normal el juego del duopolio de Cournot se vería así: Juego 10 | Empresa II | Empresa I | Estrategias | t | s | | U | 1/3, 1/3 | 4/10, 1/5 | | D | 4/30, 4/10 | 1/4, 1/4 | Paso por paso, para el jugador o empresa I las estrategias son: * U: producir 1/2 de la producción que no cubre II. * D: producir 1/3 de la producción que no cubre II Para el jugador o empresa II las estrategias son las siguientes: * t: producir 1/2 de la producción que no cubre I. * s: producir 1/3 de la producción que no cubre I. Los pagos responden a la cuota de mercado de la que disponen, ya que compiten en cantidades. Para el jugador o empresa I los pagos si juega U son 1/3 y 4/10, mientras que si cambia su estrategia produciría 4/30 y 1/4. De ahí se deduce que para I existe una estrategia estrictamente dominada, la “D”, que nunca jugará, ya que siempre optará por producir la mayor cuota de mercado. Para el jugador o empresa II la situación es la que sigue, si opta por jugar la estrategia denominada como “t”, su recompensa sería o 1/3 o 4/10 del total del mercado. Si elige la estrategia “s”, produciría 1/5 y 1/4. Se repite la situación, la estrategia “t” está estrictamente dominada por “s”, por lo que lógicamente II se decantará por la estrategia que le reporte mayor cuota de mercado en cualquier situación. Al haber estrategias estrictamente dominantes la solución del juego es sencilla, existe un equilibrio de Nash en S-s, por lo que, con estas estrategias dadas, se demuestra que el equilibrio de Cournot para el duopolio es una concurrencia de mejores respuestas o equilibrio de Nash. Este juego representaría el nodo final de un árbol de decisión con infinitas secuencias, por lo que lógicamente no se puede representar en su totalidad pero sí en cierta parte. Se trata de un árbol de juego cuyas estrategias se definen como conjuntos de información, ya que desconoce qué opción toma su competidor, por lo que se representa las estrategias y los resultados finales de mercado en un árbol de juego que muestra la primera acción de la empresa I, con su par de estrategias, y la reacción de la empresa II con su par de estrategias y sus recompensas. Árbol de juego 4 Esta competición empresarial en cantidades por medio de la acción-reacción, se trata de un juego con infinitos nodos que se podrían segregar en subjuegos y aplicar el refinamiento de Shelten para la perfección en subjuegos. Esto es debido a que cada nodo supone un conjunto de información y por ello el par de estrategias U-t han de suponer un equilibrio de Nash en cada etapa. Si se comprueba los cálculos efectuados al calcular la suma de las progresiones se constata dicha afirmación, ya que en cada etapa (las tres iniciales que constan en el documento) U y t dominan a los otros modos de jugar de manera estricta. Si fuera posible representar el árbol de juego en su completitud, se comprobaría, asimismo, que se trata de una dominación estricta iterada, por lo que el duopolio de Cournot es un perfecto ejemplo para estudiar los aportes de Shelten. Este modelo de Duopolio ha cosechado diversas críticas a lo largo de la historia y, por ende, amplias modificaciones y adecuaciones. La más repetida incide en el axioma formulado por Cournot en que las empresas creen que su competidor no reacciona ante su producción, cuando, en realidad, sí lo hacen continuamente a lo largo del modelo. También la suposición de que a lo largo del proceso no aprenderá de la experiencia y su curva de reacción se repetirá, atenta contra el sentido común. La crítica más contundente y que guía hacia el siguiente apartado es que Cournot deduce que las empresas compiten en cantidades producidas, pero según el autor que sigue, Bertrand, parece más racional deducir que compiten en precios. 3.4 Duopolio de Bertrand. Bertrand se basa en el duopolio de Cournot y lo modifica, alegando que las empresas han de competir en precios, no en cantidades. Asume que las empresas eligen el precio y cambia la hipótesis de partida y concluye que las empresas modificarán sus precios según las acciones del otro duopolista. La mecánica de funcionamiento del modelo dice que los competidores igualarán el precio hasta coincidir con el Coste Marginal, como en competencia perfecta, si éste es 0, tenderá a cero. Cada empresario deduce que el rival mantendrá sus precios y éste procurará descenderlo para albergar mayor cuota de mercado y procurar maximizar su beneficio. Es un modelo que está íntimamente relacionado con la demanda quebrada de Sweezy y la esperanza del productor, al efectuar políticas de descensos de precios, de que el mercado le recompense y sus competidores no le sigan (demanda Chamberliana versus demanda marshalliana). Las funciones de reacción en este modelo de duopolio serán dos rectas que salen del origen de coordenadas con distintos ángulos. Ante el precio inicial p1 de la empresa I la empresa II fija su precio inicial. Por ello la empresa I reacciona y desciende el precio hasta p2, haciendo lo propio la empresa II y así sucesivamente, los precios tenderían a cero. Si el coste marginal no fuese cero, ello quiere decir que además de costes fijos existen costes variables. En este caso el precio de equilibrio descendería hasta el punto en el que se cubran los costes para ambos y proporcionaría un beneficio. Las curvas de reacción se obtienen uniendo los puntos mínimos de las curvas de isobeneficio para distintos niveles de precios, dichas curvas señalan los lugares en los que, para distintos niveles de producción, el productor consigue beneficios equivalentes, término también empleado por Stackelberg como se verá en el siguiente apartado. Cuanto más se alejan del origen de coordenadas, el beneficio aumenta. El punto en que dichas funciones se cortan conforma el equilibrio en el modelo de Bertrand, como se ve en el gráfico que se expone a continuación. GRÁFICO 8 Fuente: Microeconomía. María Lucía Cabañes Argudo Imagínese un mercado de duopolio en el que las dos empresas poseen funciones de demanda como las siguientes: YI : 50 - 2p1 + p2 YII : 50 - 2p2 + p1 Se representan dichas funciones, ya que ante ascensos del precio de la propia empresa su demanda desciende, mientras que si es su competidora la que sube el precio, aumenta la demanda, ya que son sustitutivos. Si suponemos que el coste marginal de producir una unidad más es el mismo para ambas: Cmg = 5 u.m. Cada firma maximizará sus beneficios, siendo sus beneficios los siguientes: BºI: (PI –5 )·( 50 - 2p1 + p2) BºII: (PII – 5)·( 50 - 2p2 + p1) Cada empresa elige el precio de su producto, por ello derivará su beneficio según el precio de su producto y posteriormente se iguala a 0, con lo que las funciones de reacción serán: PI: 60+p24 PII: 60+p14 El equilibrio del juego se halla donde las funciones se cortan, de ahí que: PI=PII= 20 Con lo que los beneficios de las empresas serán también equivalentes y correspondientes a 450 u.m cada uno, siendo su producción de equilibrio de 30 unidades. Este punto correspondería con un equilibrio estable o de Nash, ya que ninguna empresa puede mejorar su utilidad a no ser que lleguen a un acuerdo o colusión, pero esto se verá más adelante. Para comprobar que ese es el equilibrio estable y en el cual maximizan sus beneficios sin llegar a coludir se propondrá otro par de estrategias para que tomen los jugadores y se comprobará que beneficio obtendrían en ese supuesto. Se denomina el par de estrategias dominantes como U-t, siendo las estrategias por las que pueden optar el jugador o empresa I: * U: fijar el precio de equilibrio de mercado. * D: fijar un precio superior. La empresa II puede optar por: * t: fijar el precio de equilibrio. * s: fijar un precio superior. Obtendrían beneficios por valor de 300, en los casos en que fijen los precios en 30 u.m. La estrategia D combinada con la s no se daría, ya que los precios se fijan por interrelación y no podrían fijarlos cada uno por separado ya que incumpliría la función de reacción. En los nodos en los que un actor fija el precio superior se obtiene un beneficio de 300 por su parte y 281,25 unidades monetarias su competidor. Si se analiza el par de estrategias inversa los pagos son idénticos. En los puntos donde se intersecta un precio por encima de equilibrio y otro de equilibrio, como se hallan de manera interdependiente, se supone que el que elije salirse del punto de Bertrand elige primero, con lo que el segundo competidor fijará su precio de acuerdo a lo que prefije el competidor. Esto quiere decir que solamente cuando ambos eligen situarse en el punto de intersección de las dos funciones de reacción, se está verdaderamente vendiendo a 20 u.m, mientras que la empresa que decide aumentarlo, vende su producto a 30 u.m. en este ejemplo. El cuadro o matriz de recompensas quedaría compuesta de este modo: Juego 10 | Empresa II | Empresa I | Estrategias | t | s | | U | (450,450) | (300,281’5) | | D | (281’5,300) | -,- | Esta aproximación a teoría de juegos muestra como el máximo beneficio para ambas en todos los casos es situarse sobre el equilibrio. Podría efectuarse el mismo análisis pero mostrando que ocurriría si las empresas optan por bajar el precio. Si proponemos que las por las que pueden optar el jugador o empresa I: * U: fijar el precio de equilibrio de mercado. * D: fijar un precio inferior. La empresa II puede optar por: * t: fijar el precio de equilibrio. * s: fijar un precio inferior. Las suposiciones para efectuar el ejemplo coinciden con las de antes y se entiende que las estrategias D y s es fijar un precio de 10 u.m. Ocurre de nuevo la imposibilidad de deducir el beneficio que obtendrían si ambos optasen por las estrategias dominadas, ya que se incumplirían las funciones de reacción. La matriz de pagos quedaría en este caso de la siguiente manera: Juego 11 | Empresa II | Empresa I | Estrategias | t | s | | U | (450,450) | (450,200) | | D | (200,450) | -,- | Se comprueba entonces la aclaración antes afirmada, en la que suponemos que ambas estrategias son dominantes sobre las otras, excluyendo la posibilidad de que ambas elijan estrategias dominadas y los pagos no se puedan calcular para esas funciones de reacción. No existe equilibrio si los precios no son iguales. El equilibrio de Bertrand es muy semejante al hallado por Cournot ya que maximiza loss beneficios de los productores, pero no el del mercado. En el punto E no se dan las condiciones de óptimo, las curvas de isobeneficio no son tangentes, y se alcanzaría mayor beneficio en los puntos correspondientes a la curva de contrato. En este caso la curva de contrato, está formada por los puntos de tangencia de las curvas de isobeneficio y corresponde con puntos de producción en los cuales los beneficios de la industria alcanzarían máximos, mejorando los de ambos duopolistas o al menos el de uno, manteniendo el de su competidor constante. Se puede comprobar en el gráfico siguiente: GRÁFICO 9 Fuente: Microeconomía. María Lucía Cabañes Argudo Los puntos A-B-C son las tres tangencias que trazan la curva de contrato, término introducido por Edgeworth, en los cuales se alcanzaría un mayor beneficio que en el punto de Bertrand. Los beneficios serán mayores o menores según las curvas de isobeneficio que participen en la tangencia: * Punto A: mayor beneficio para la empresa II, menor beneficio para la empresa I. * Punto B: beneficio mediano para ambas. * Punto C: mayor beneficio para la empresa I, beneficio menor para la empresa II. Bertrand expone un caso extremo de dos empresas que ofrecen productos idénticos, con costes marginales iguales. En este caso el precio de equilibrio se situaría en un punto de equilibrio que corresponde con el coste marginal con lo que el beneficio de equilibrio sería nulo. Las críticas a Bertrand son muy similares a Cournot, ya que comúnmente se opina que las empresas han de aprender de la experiencia y no reaccionar como si nunca hubiese experimentado una situación parecida. 3.5 Duopolio de Stackelberg. Stackelberg también parte del modelo de Cournot y de las premisas de este, pero borra la más criticada, en la que que no modifica la producción el duopolista. Su modelo se basa en dos empresas en la cual una tiene un mayor nivel de sofisticación que le lleva a predecir el comportamiento de su competidora, según el modelo predicho por Cournot, por lo que actuará como líder, ya que se adelanta a las acciones del oponente. Se considera que la función de reacción de la empresa seguidora la incorpora la empresa líder en su función de producción, es decir, produce de acuerdo a las reacciones de su competidora. Stackelberg contempla cuatro posibilidades en este tipo de mercado, ya que para que haya un solo liderazgo, tiene que existir la empresa seguidora: * Que la empresa I sea líder y la II seguidora. * La situación inversa, la II líder y la I seguidora. * Las dos empresas actúan como seguidoras. * Las dos empresas actúan como líderes. GRÁFICO 10 Fuente: Microeconomía. María Lucía Cabañes Argudo El punto E se corresponde con el equilibrio de Cournot y se trata del caso en el cual ambas empresas son seguidoras. En los casos en los que una de las dos es líder, la líder obtiene unos beneficios mayores de lo que obtendría con Cournot, pero a la seguidora le ocurre lo contrario, contrae más sus beneficios que con Cournot. Si las dos empresas son líderes se obtiene un punto de desequilibrio, comúnmente denominado desequilibrio de Stackelberg, que corresponde con el punto D. Ese punto es el inicio de políticas agresivas de descensos de precios hasta que el poderío de una empresa haga sucumbir a su oponente, alcanzando así un punto de liderazgo y seguimiento situado en F o en G. La dinámica de este modelo se inicia de la misma manera que Cournot, por lo que la curva de reacción obtenida sirve como punto de partida. Curva de reacción de la empresa II: YI + 2YII = a YII= a-YI2 Por ello: Y= YI+YII= a+YI2 Si se deriva la producción con respecto a la producción de la empresa I, se obtendrá que el resultado es 0,5. Si sustituyes el valor en la condición de equilibrio del duopolio, ingreso marginal igual a coste marginal e igual a cero (de la empresa I) obtienes la curva de reacción de la empresa I. El Ingreso Marginal se obtuvo en el apartado correspondiente a Cournot: ImI = dIT/dYI = d(p · YI)/dYI = p + YI (dp/dYI) = a/b – (YI + YII)/b +YI (-1/b)·(1/2) Curva de reacción empresa líder: 3YI+2YII=2ª Con la curva de reacción de la empresa II, YI + 2YII = a, se resuelve un sistema de dos ecuaciones cuyos resultados son, la empresa I producirá a/2 del mercado y la empresa II a/4. La cantidad producida en total es mayor que en Cournot, 3a/4. Los ingresos que obtendrán serán: Cálculo del precio: p=a/b-Y/b=a/4b Ingresos: IT= p·Y= (a/4b)·(3a/4)=3a2/16b Por lo tanto, el precio y los ingresos que obtienen son menores que en Cournot, con lo que estos puntos de Stackelberg no corresponden a equilibrios de Nash en estrategias puras, ya que para la empresa seguidora su situación empeora y para la líder ingresa menos. Se trataría de un equilibrio en subjuego perfecto. Se puede representar en un árbol de juego como el siguiente: Árbol de juego 5 Según esta adaptación en cifras del duopolio de Stackelberg, la empresa II conoce los movimientos de la líder, la empresa I. Este juego alcanza un equilibrio subjuego perfecto en D-ts, que deriva en Ds como equilibrio de Nash en estrategias mixtas. Se analiza del siguiente modo, el jugador II, ante el movimiento del líder, efectuará aquello que maximice sus pagos, en este caso ingresos, por ello el jugador I, que conoce la decisión que tomará la II, escogerá la estrategia D, pues en caso de escoger S, el jugador II se verá inclinado a beneficiarse con t, dejando al líder con nulidad de ingresos. Se trata de un modelo en el cual, la empresa sofisticada y previsora (la líder), es capaz de anticipar las acciones de su rival y, con el supuesto de Cournot de producir como si de monopolista se tratase, no reacciona más allá de la primera reacción ya que su situación empeoraría. 4. La Colusión en el Oligopolio. Como se ha observado a lo largo del estudio de los distintos modelos de oligopolio, los equilibrios en términos de Nash de los modelos de Cournot y Bertrand pueden ser mejorados en cuanto a ingresos por otros puntos si se arregla un acuerdo entre los productores. Stackelberg muestra un duopolio distinto, ya que los puntos en los cuales existe un líder y un seguidor no se corresponden con las mejores respuestas de los productores, se alcanzaría un óptimo de Nash para estrategias mixtas. Si ambas son seguidoras se alcanzaría un punto de Cournot que sí sería un equilibrio estable. Al alcanzar un acuerdo se situarían en la que se denomina, en los apartados anteriores, curva de contrato. En los equilibrios descritos con anterioridad se determina que los jugadores no tienen la disponibilidad de comunicarse previamente al juego. A ese acuerdo se le denomina, en términos de oligopolio, colusión. Dicha colusión puede ser, según esté o no penada por las leyes antitrust, abierto o cerrado. 5.1. Teoría de Juegos Cooperativos. En los apartados anteriores de este escrito se ha expuesto una serie de modelos de duopolio según el punto de vista de la teoría de juegos, pero en su versión no cooperativa. En un inicio ya se diferenciado entre una y otra parte de la teoría, con lo que no se va a proceder a definirlo de nuevo. Von Neumann y Morgenstern, padres de la teoría, ya destacaron en su manual la dicotomía existente en esta disciplina. Para comprender los juegos cooperativos es preciso comprender los axiomas que los caracteres no comunes. En los juegos cooperativos existe la posibilidad de una negociación previa al juego, dicha negociación puede concluir en un acuerdo vinculante. La teoría cooperativa es más abierta, por lo que se puede aplicar a problemas menos concretos, pero en la teoría no cooperativa al resolver un juego, se da con certeza dicha solución si no conduce a ambigüedades, certeza que no se da con cooperación. 5.1.1 Conjunto de negociación o Curva de Contrato. Von Neumann y Morgenstern denominaron conjunto de negociación a la región de pagos que se ha denominado curva de contrato en este estudio. Esto es debido a que ambos términos están íntimamente relacionados y comparte un núcleo común en cuanto a la base teórica. Definen conjunto de negociación como los pares de pagos individualmente racionales y Pareto-eficientes en la región de pagos cooperativa, llamada X. La característica de eficiencia de Pareto se corresponde con el óptimo de Pareto, y responde a que x será un óptimo de Pareto si no existe otro resultado y en X que sea preferido por algún jugador a x y que a los demás le suponga indiferente. Será individualmente racional si la utilidad que genera a cada jugador es mayor que la que se generaría en ausencia de acuerdo, ya que en caso contrario el jugador optaría por romper el acuerdo. 5.1.2 Solución de Negociación de John Forbes Nash John Forbes Nash dio un paso más al respecto del conjunto de negociación y definió una serie de axiomas, dichos axiomas conforman lo que se conoce como la solución de negociación de Nash. Las características de X,d son: * El conjunto X es convexo. * El conjunto X es cerrado y acotado superiormente. * Se permite la eliminación libre. Es un término complejo, ya que indica que existe la posibilidad de que los jugadores acuerden eliminar una cantidad precisa de los beneficios que podrían obtener si así lo estipula el contrato. Se considera dicha posibilidad, pues no puede ser excluida de manera lógica. La solución de negociación de Nash corresponde un par (X,d), en el que X es el conjunto de pagos factibles y d las consecuencias de no alcanzar un acuerdo. Se representa el conjunto de todos los problemas de negociación que cumplen las condiciones como B. En la próxima figura se representa un conjunto de negociación con el problema de negociación de Nash. GRÁFICO 11 El punto s y la recta soporte se eligen según la siguiente función: S= αr + βt Los valores de alfa y beta varían según el poder de negociación de cada individuo, tal y como sucede con la curva de contrato de Edgeworth. A este respecto, John Nash sólo valora la situación en la que ambos poseen el mismo poder de negociación de la misma manera que sucede en el gráfico, que es un conjunto de negociación con una solución de Nash regular. Los axiomas desarrollados por el matemático son: * La elección de una unidad de medida de la utilidad u otra no es relevante a la hora de determinar los resultados. * El par de pagos ha de situarse en el conjunto de negociación. * Independencia de alternativas irrelevantes, si escogen un par de pagos s siendo t posible, nunca escogerán t siendo s factible. Esto quiere decir que la preferencia de unos pagos sobre otros permanece cuando pagos antes no factibles pasan a ser posibles pero no cambian la preferencia. * En situaciones simétricas ambos jugadores obtienen lo mismo, para Nash es un caso especial en la que los poderes de negociación son iguales. Nash consideraba a las teorías como complementarias, por ello desarrolló el Programa de Nash, que se trata de una manera no cooperativa de estudiar la cooperación. Si se definen todas las posibilidades de la negociación como jugadas de un juego de negociación, por lo que cada jugador debería enfrentarse a este juego para escoger una estrategia para un juego mayor, con lo que dicho juego mayor se vería condicionado enormemente por las situaciones derivadas del juego de la negociación. Nash formula la teoría de la amenaza, supone que si los jugadores no firman el acuerdo tienen la posibilidad de amenazar ejecutando una estrategia perniciosa para su oponente, pero ha de ser una amenaza creíble, nadie pensará que elegirá un par de pagos que sea dañina también para él.´ El dilema de los prisioneros es un ejemplo en el cual los interesados mejorarían mediante la cooperación. Como ya se había explicado, los jugadores alcanzan un equilibrio de Nash correspondiente al par de pagos de confesar e inculpar al contrario, con la consecuente condena de diez meses en la cárcel. La región de pagos cooperativos se muestra en la siguiente figura. GRÁFICO 12 El par (-6,-6) corresponde con el equilibrio de Nash ya citado y el área que abarca el resto de los pagos corresponde a la región de pagos cooperativos. Aunque los jugadores hayan acordado de manera informal a priori elegir no confesar, siempre se verán impulsados a romper la promesa en su beneficio, por lo que parece que el egoísmo conducirá con un seguridad a un resultado más dañino para ambos que el acuerdo inicial. Esta es una de las críticas fundamentales a la teoría de juegos, la presunción de que, para el individuo, prima su beneficio sobre su ética o moral. 5.1.3 Repetición Si se produce una repetición, o más bien “n” repeticiones, cambia la impunidad con la que un jugador puede quebrantar el acuerdo alcanzado. El procedimiento es el siguiente, si se alcanza un acuerdo antes de jugar (un acuerdo verbal que pueda quebrantarse), los jugadores pueden confiar en la palabra del oponente y uno de ellos quebrantar el acuerdo para alcanzar mayores beneficios o simplemente, atentar en contra de su contrario. En el momento en que los jugadores son conscientes de que el juego se va a repetir, la probabilidad de atentar en contra de los intereses del otro y faltar a lo negociado desciende en gran medida, ya que faltar a su promesa socavará la obtención de beneficios futuros derivados del acuerdo. De manera sencilla y con el dilema del prisionero como ejemplo, si se repite el juego y un prisionero inculpa al otro en la primera etapa, el prisionero dos conocerá su mentira y actuará en consecuencia en la siguiente etapa. Pero parece obvio que el prisionero inculpará al otro en la última repetición del juego, ya que de ese modo se beneficia enormemente. Esto es debido a que en el dilema del prisionero repetido existe un único equilibrio subjuego-perfecto, que es confesar, con lo que es probable que a lo largo del juego mantengan el acuerdo por miedo a que su oponente lo inculpe, pero en una última etapa ambos escogerán esa opción. Parece que la conclusión que se alcanza es que solamente funcionan los acuerdos que se autorregulan por medio de la repetición, de otra manera, máxime si en el mismo participan multitud de agentes, algún integrante romperá el acuerdo en su propio beneficio. Es decir, a consecuencia del egoísmo que impulsa las acciones humanas, un acuerdo funcionará si se autorregula, en el caso que su rotura redunde en mayores beneficios para los agentes, el acuerdo no tendrá validez. Si alguien está en desacuerdo con esta conclusión otro punto de vista es posible, quizá más aceptado y concluye en las mismas afirmaciones. El impulso de los agentes no ha de ser el egoísmo y su preocupación por su propio beneficio, pero sí la desconfianza. Es muy fuerte el incentivo a romper el acuerdo por no otorgarle fiabilidad a la palabra del oponente, ya que su cambio de decisión provoca consecuencias fatales para el otro. 5.2. Colusión en el Oligopolio de Cournot. 5.3.1. Sin repetición Rememorando lo explicado en el apartado de Cournot, se procederá a explicar de qué manera beneficia la colusión en este modelo y qué resultado se alcanzará. Estudiar la teoría cooperativa en términos económicos tiene una ventaja implícita, suscita mucha menos crítica. A menudo, todo lo anteriormente comentado; la rotura en los acuerdos, la autorregulación y como los incentivos a romper acuerdos salen ganadores bajo este prisma, ha causado gran controversia en la sociedad debido a que atentan contra la ética social. En el caso de grandes productores como serían unos duopolistas se acalla la crítica, ya que está aceptado socialmente que las multinacionales miran su beneficio y no se preocupan del bienestar social. Al menos, el bienestar social no prima sobre su beneficio, si no se quiere presuponer que estas compañías carecen de escrúpulos. En un oligopolio la región de pagos cooperativos será la correspondiente a un monopolio que maximice beneficios, lo cual se corresponde con 1/2 OD’. Por lo tanto ambos duopolistas acordarán producir la mitad de la cantidad que satisfaría el total de la demanda: Y’ = Y’’ = 1/2 OD’ El beneficio que alcanzan en este punto es mayor que el alcanzado con el equilibrio de Cournot, ya que aunque producen menos su precio asciende. Si el acuerdo firmado no es vinculante se romperá, ya que ambos de manera unilateral ganarían más de esa manera y acabarían en el equilibrio de Cournot con 1/3 OD’ cada uno y produciendo 2/3 de la demanda total entre ambos. El acuerdo ha de ser vinculante para alcanzar una producción del 50% de la mitad de la demanda cada uno. Gráficamente se representa de la manera siguiente, con las curvas de isobeneficio de ambos individuos. GRÁFICO 13 Se puede observar en la figura que los acuerdos colusivos para este oligopolio son inestables. Se obtiene un resultado simétrico como lo que se obtendría si se emplease la teoría de las amenazas de Nash. Es preciso tener en cuenta la realidad de este tipo de mercados, los acuerdos a los que se llega muy a menudo, por no decir su totalidad, son ilegales. Existe una legislación que protege las leyes de competencia para evitar esta clase de acuerdos y proteger de ese modo los intereses del consumidor. La producción, la recta que marca Y’+Y’’, es una línea que une óptimos de Pareto ya que las curvas de isobeneficio son tangentes a este recta, es muy similar a la curva de contrato de Edgeworth. Lo relevante en este caso es preguntarse si los acuerdos alcanzados se van a conservar, porque legalmente es probable que no existan. Por ello, se respetarán únicamente si no existen incentivos para salirse de ellos. El par de producciones 1/2 OD’=q1=Y’ y 1/2 OD=q2=Y’’ no se va a cumplir ya que no existen razones para respetar el acuerdo. Ambos jugadores no cumplen con la mejor respuesta situándose en estos puntos, ya que su mejor respuesta sería situarse en r(1/2 OD’) y r(1/2 OD). El único acuerdo para el cual no se han de preocupar en actuaciones en contra de la colusión, es el par de 2/3 OD ‘, que coincide con el punto de Cournot-Nash, por ello es un equilibrio estable. Por lo tanto, una colusión en el modelo de Cournot se traslada a un equilibrio completamente inestable, con altas posibilidades de desviación por parte de los interesados. 5.3.2. Con repetición Como ya se ha comentado es interesante analizar la repetición en los juegos cooperativos, ya que las conclusiones alcanzadas pueden variar enormemente. Cumplir con la colusión en el oligopolio de Cournot una sola vez es complicado. Tomando como marco la realidad, es preciso decir que jugar este juego una vez responde a situaciones poco realistas. Un oligopolio como tal es un mercado en continuo movimiento, en el que se toman decisiones de producción sobre largos períodos de tiempo y en el que no parece conveniente en absoluto este tipo de prácticas, ya que atentan contra el beneficio a largo plazo. De ahí que las situaciones repetidas sean infinitamente más favorables que los juegos cooperativos únicos. Si se parte del duopolio anterior, se supone que ambos acuerdan producir la mitad del total a lo largo de las etapas, mantener las producciones, esto reportará unos beneficios α y β a los productores I y II respectivamente. Como el juego se repite, en el acuerdo se puede incluir una cláusula sobre qué hacer si uno de los mismos no sigue el acuerdo. Para este caso se procederá de la misma manera que si dicha cláusula no existiera, ya que de quebranto de las normas se seguirán estrategias de mejores respuestas hasta lograr un equilibrio Cournot-Nash. Para comprobar si el acuerdo va a ser exitoso es preciso comprobar los alicientes de los productores. Para ello valoraremos la situación hipotética de que el productor I respeta el acuerdo y su factor de descuento δ tal que 1 < δ < 0. El factor de descuento es una aproximación teórica a lo que podría definirse como grado de impaciencia de los productores, oscilando de 0 a 1 siendo los valores próximos a 1 los que definen al individuo más paciente. Esto redunda en la ansiedad por conseguir beneficios, cuanto más paciente menor ansiedad y mayor probabilidad de mantenerse dentro de lo convenido. El productor I consigue lo siguiente si mantiene lo pactado: C = a + aδ + aδ2 +… + aδ2 La siguiente ecuación supone lo que obtendría el productor I si II respeta el acuerdo y él se sale en la etapa N + 1. D = a + aδ + aδ2 +… + aδN-1 + BδN + cδN+1 + cδN+2 +… El significado de la nomenclatura es el siguiente: * B: beneficio que obtiene el productor que rompe el acuerdo en la etapa que lo rompe, es decir, beneficio en la etapa N + 1. * c: beneficio periódico que se obtiene a raíz de romper el acuerdo, que se corresponde con lo obtenido al efectuar la estrategia de mejores respuestas o de Cournot- Nash como se actuaría sin repetición. El mayor beneficio lo obtiene en la etapa N + 1. De ello se puede deducir que B es mayor que a, y a su vez a es mayor que c pues, como ya se ha demostrado, se obtienen mayores beneficios en colusión que en el modelo de Cournot. Si se demuestra que C es mayor que D, el incumplimiento de lo establecido no será rentable para el jugador. Por ello se restan ambas ecuaciones de la manera que sigue: C – D = δN {(a – B) + (a – c) δ1- δ } Al despejar, el factor de descuento ha de ser mayor o igual que la fracción de la diferencia del beneficio en la etapa N +1 menos el beneficio en colusión partido del beneficio N + 1 menos el beneficio en situación de respuestas óptimas. Por ello el factor de descuento ha de ser muy próximo a la unidad, ya que cuando c < a < B la fracción es menor que uno. Por lo tanto se debe concluir este análisis de la colusión con que en circunstancias externas favorables (con suficiente información o información perfecta) se procederá a acordar producciones siempre y cuando los productores carezcan de impaciencia y busquen el beneficio progresivo máximo, no con inmediatez. Si se fija la vista en la realidad, se ve como los acuerdos en mercados de productos muy sustitutivos y con escasos productores se dan muy a menudo y numerosos son los casos en los que interviene la autoridad para deshacer el agravio hacia los consumidores. Es preciso considerar también que dichos casos son los más flagrantes y en los mercados con mayor influencia, de ahí que la asiduidad de dichas prácticas ha de ser mucho más frecuente de lo que se refleja y de lo que es públicamente conocido. 4.3 Colusión en el Modelo de Bertand. El modelo de Bertrand analizaba las competencias en precios de dos empresas basándose en las enseñanzas de Cournot. El caso de Bertrand es muy similar al de Cournot tanto en un juego único como en la repetición del juego. Al no repetir el juego, la tentación a no respetar el acuerdo es excesivamente grande y se romperá el cártel. En el caso de Bertrand es incluso mayor, ya que como la competencia es en precios, baste con no acatar los términos del cártel para abarcar todo el mercado bajando el precio. Por ello lo interesante es analizar qué ocurre con los acuerdos si se reitera el juego un número de veces alto como sucede efectivamente en la sociedad (excepto en una subasta, pero es una excepción). Los beneficios que obtendrían son los siguientes al fijar un precio monopólico según el factor de descuento δ ya explicado: 1/2 Bm + 1/2 δ Bm + 1/2 δ 2 Bm …≥ Bm. 1/2 Bm · (1 + δ + δ2 +… + δN) ≥ Bm Bm responde al beneficio monopólico. Lo que expresa la demostración matemática es que, para que los acuerdos se perpetúen, han de suponer mayores beneficios para los productores que el beneficio que le otorga fijar otro precio y así obtener un beneficio monopólico en esta etapa y en las siguientes equipararía el coste marginal al precio sin obtener beneficio alguno. De la segunda ecuación se deduce una progresión geométrica finita ya que δ es menor que 0 por definición que se definirá: V = 1 + δ + δ2 +… + δN Si se multiplica por el factor de descuento: δV = δ + δ2 + δ3 +… + δN+1 La diferencia entre ambas sería: V – δV = 1 - δN+1 V (1 – δ) = 1 - δN+1 Si presuponemos que las repeticiones del juego tienden a infinito, obtenemos que δN+1 se acerca a 0, ya que ha de situarse entre 0 y 1 y, a no ser en casos muy extremos, dicho intervalo debería ser cerrado. Por lo que si sustituimos δN+1 por 0 nos queda como resultado: V =11 - δ Al sustituir el valor de V en la ecuación inicial: 1/2 Bm · (11 - δ) ≥ Bm. Al resolver esta desigualdad el resultado es el siguiente: δ=12 En cuanto se vaya aumentando el número de empresas del modelo el factor de descuento va en aumento, ya que el beneficio monopólico se reparte entre más interesados y se van constriñendo los beneficios de la colusión. Pero según el resultado obtenido es posible concluir que para un modelo de oligopolio de competencia en precios se puede mantener la colusión para valores de δ cercanos a la unidad, es decir, con indiferencia entre obtener los beneficios en la actualidad o en el futuro y para productores pacientes.

4 CONCLUSIONES A lo largo del trabajo se ha podido apreciar como la teoría de juegos es una disciplina que no se encuentra, en absoluto, alejada de la realidad social y cuyas aplicaciones son infinitas. En este documento se le ha querido

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Game Theory

...21/01/09 Start with a brief timeline, including when applications to different areas were first used. Game Theory (i) Game Theory Introduction We begin with a simple, informal example of a game. Rousseau, in his Discourse on the Origin and basis of equality among men, comments: “If a group of hunters set out to take a stag, they are fully aware that they would all have to remain faithfully at their posts in order to succeed, but if a hare happens to pass near one of them, there can be no doubt that he pursued it without qualm, and that once he had caught his prey, he cared very little whether or not he had made his companions miss theirs” To make this into a game, we need to fill out a few details. Suppose that there are only two hunters, and that they must decide simultaneously whether to hunt for a stag or for hare. Each player has a choice between two strategies: (hunt stag, hunt hare). If both hunt stag, each gets half a stag If both hunt hare, each gets one hare If one hunts for hare while the other tries to take a stag, the former will catch a hare and the latter will catch nothing. If we suppose that the utility of catching a stag is 4 and for a hare is 1, then the payoff matrix for the players can be summarised as follows: Stag Hare (2,2) (0,1) (1,0) (1,1) Game theory is concerned with what outcomes arise in equilibrium. An equilibrium outcome is one which......

Words: 2617 - Pages: 11

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...Game Theory∗ Theodore L. Turocy Texas A&M University Bernhard von Stengel London School of Economics CDAM Research Report LSE-CDAM-2001-09 October 8, 2001 Contents 1 What is game theory? 2 Definitions of games 3 Dominance 4 Nash equilibrium 5 Mixed strategies 6 Extensive games with perfect information 7 Extensive games with imperfect information 8 Zero-sum games and computation 9 Bidding in auctions 10 Further reading 4 6 8 12 17 22 29 33 34 38 This is the draft of an introductory survey of game theory, prepared for the Encyclopedia of Information Systems, Academic Press, to appear in 2002. ∗ 1 Glossary Backward induction Backward induction is a technique to solve a game of perfect information. It first considers the moves that are the last in the game, and determines the best move for the player in each case. Then, taking these as given future actions, it proceeds backwards in time, again determining the best move for the respective player, until the beginning of the game is reached. Common knowledge A fact is common knowledge if all players know it, and know that they all know it, and so on. The structure of the game is often assumed to be common knowledge among the players. Dominating strategy A strategy dominates another strategy of a player if it always gives a better payoff to that player, regardless of what the other players are doing. It weakly dominates the other strategy if it is always at least as good. Extensive game An extensive game (or......

Words: 13879 - Pages: 56

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...Rachel Dillie SOS-360 Final Project March 25, 2014 Game Theory “Game theory is the study of strategic interaction among rational players in an interactive setting” (Stevens, Lecture 1). Elements of a game consist of common knowledge, the players, strategies and payoffs. Every other Friday night my wife and I play cards at our friend’s house and it generally gets more intense as the game and the drinks progress. We mainly play a card game called spades and we play as partners. Common knowledge in this game is every player knows that in order to win you have to bid the correct number of books, meaning you have to guess how many rounds you and your partner can win based off what cards you are holding and what you think the other players are holding in their hands. Each player also is assumed to be an experienced player unless otherwise stated and even if they are it’s easier to guess how the hand will play out. In this card game there is not strictly a pure strategy at play, meaning it doesn’t not involve an act of randomness but a game of mixed strategy. Mixed strategy means using a pure strategy with acts of randomness. I have an idea what the other players will do when it is their turn in the card game but sometimes to force their hand, it is necessary to randomly sacrifice one of your cards to make them display their higher ranked cards. The payoff to a player reflects what that player cares about, not what another player thinks they should care about. Being......

Words: 2875 - Pages: 12

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...GAME THEORY & ASYMMETRIC INFORMATION LITERATURE REVIEW NATHALIA PALOMINO ID# 0501605 MARCH 1, 2014. FACILITATOR: SHELLEY WHITTLE Introduction This paper will firstly address game theory, Prisoners Dilemma which is a very prominent game and Bargaining. Asymmetric Information is also discussed along with a few examples of how asymmetric information relates to the business environment. The writer gives the reader a basic understanding of game theory and asymmetric information uses in a logical manner. As many opinions are combined to critically analyse the aforementioned. Game Theory A definition of Game Theory or something that appears to be a definition may be applied as such: An analytical or mathematical approach of examining strategic interaction when dealing with competitive situations in business decisions. As Keat, Young & Stephen (2014) did not give a clear definition of Game Theory. This definition stated business decision however, Martin (1978) stated that Game theory has proved useful in only war and economic. He states, “I see that at least three ways in which game theory has proved ‘useful’. First, it has led to practical advice on tactical decision-making in certain well defined situations, especially in military areas involving missile tracking and similar task (where the theory of differential games has led to results equivalent to control theory). Second, it has provided an occupation and amusement for thousands of government......

Words: 2354 - Pages: 10

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...“Planning and Playing a Game” Objectives: * Learn how individuals contribute to teamwork. * Experience some of the features of group work and teamwork. * Understand what managers and organizational developers do to transform groups into teams. * Articulate the tangible benefits (both quantitative and qualitative) of high-performing teams. * Finish with an interest in learning more about these concepts and techniques to apply what you learn. Background: In game theory, there are non-cooperative and cooperative games. A non-cooperative zero-sum game has a definite winner and loser. For one to win, one must lose. A cooperative game is where everyone who plays is better off for having played than not having played the game. That is not to say that everyone is equally well off, but simply better off than they were before playing. Hence, even in a cooperative game, some people will likely benefit more than others. To understand why individuals make the decisions they do in a game it is important to consider the personality of the player. Personality is a term used to describe a great many feelings and behaviors. Literally hundreds of personality dimensions or traits have been identified by psychologist over the last 100 years. However, within the past 25 years or so, a consensus has emerged that, for the most part, the human personality can be described by five dimensions or factors. The Big Five personality dimensions include: extroversion,......

Words: 1747 - Pages: 7

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...independent. For affiliated signals, the result holds under certain restrictions on the seller's choice of negotiating mechanism. The result suggests that the value of negotiating skill is small relative to the value of additional competition. The paper also shows how the analogies between monopoly theory and auction theory can help derive new results in auction theory. (JEL D44, G34) There are close analogies between standard price theory and the theory of auctions. In an absolute English auction, in which the price rises continuously until only one bidder remains and the seller is required to accept the final bid, the sale price equals the lowest competitive price at which supply equals demand. In the theory of optimal auctions the seller is treated as a monopolist who can choose any mechanism, such as establishing a minimum sale (or reserve) price, to maximize expected profit.As in monopoly theory, optimal auction theory assigns all bargaining power to the seller, subject to the constraint that she does not have access to buyers' private information about an asset's value. This paper shows how the analogies between monopoly theory and auction theory can help derive new results in auction theory. Specifically, we are able to put a fairly tight bound on the value of any seller's bargaining power: a seller with no bargainingpower who can only run an English auction with no reserve price among N + 1 symmetric bidders will earn more in expectation than a seller with all the......

Words: 9022 - Pages: 37

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...Through visionary thought and understanding, a creative strategy increases the outcome of success in a given situation or variable. In many cases, strategy is understood as a plan that chooses an individual’s future possible position. Speaking with respect to Game Theory within the Healthcare field, there are many ways to move forward with creating this ideal insightful approach. Learning through class discussions, it’s clear the topic of the discussion with Game Theory is very evolved, diverse, and dynamic with all different observations. All games share an interdependence meaning the result for each individual is dependent on the option they primarily choose. For myself, this is definitely considered an everyday normalcy working in the Healthcare Industry. Whether Game Theory is applied in all of society is only understood through the participants as all situations are different and unique, but all equally share the mindset of increasing their individual outcome of achievement. The analysis of Game Theory within Healthcare is spread across an increasingly strategy-prone competitive market. Governmental changes alone within healthcare laws create challenges for decision makers to compete within this highly-regulated domain. Creating governmental regulation lessens efficiency for providers who serve society to collaboratively work together, and in addition, diminishes their likelihood of optimal standing within the environment. Turning the hand in reference to my current......

Words: 946 - Pages: 4

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...A game is any situation of conflict with at least two players (it may be a person, company). Each side chooses some kind of behavior (strategy) to get the best payoff. Game theory is a way to study conflicts and strategies used to get best results. The decision process is made without full knowledge and that’s what drives people engage into game to strategize to get as good output as possible- perfectly to win everything or at least to lose as little as possible. Game theory as a mix of psychology, mathematics, logic and other academics areas can be useful in several ‘real life’ situations, including negotiations and business. It can be observed in an oligopoly market, when two companies offering a very similar product (for example gas) must find a way to win over their competitors. One can notice parallels in a situation of those companies and classical example of the game theory “prisoner dilemma”. Game theory may also be used in auctions, mergers and acquisitions, bargaining, real estate negotiations, salary negotiations and so on. The most common application of game theory in real life is setting price. Each company wants to set price as high as possible to maximize profit but also wants to win market share as big as possible. Companies can all set the same price for their products and split the profit between themselves or one could try and forecast an advantageous set of lower prices and basically win since their higher market share even at their lower prices......

Words: 264 - Pages: 2

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...Managerial Economics 2010 1. A. Design a simple two-company game that illustrates why it might have been in economic interests of the cigarette companies to support the ban. In designing the game, assume that there is no regulation and that the two firms simultaneously choose between advertising and not advertising. Display your hypothetical payoffs in strategic form (see Figure 9.1) and highlight the Nash equilibrium. Explain the intuition for why the firms in your example would favor regulation to ban advertising. Winston |Advertise |Not Advertise | |fff | | | | | |100/100 |160/60 | | | | | | | | | | |160/60 |150/150 | Profits – Advertising Cost from TV (In millions) Advertise Tareyton Not Advertise During the 1960’s, numerous reports started to surface connecting cancer to smoking...

Words: 2724 - Pages: 11

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...Game theory is the method utilized to understand the behavior of oligopolies or market situations in which each of a few producers affects but does not control the market. Unlike monopolies in which a company has complete control of the entire supply of goods and/or services in a certain market, oligopolies do have competitors with in the market. However, unlike monopolistically competitive firms and perfectly competitive firms, firms within a oligopolistic frame work have so few competitors that marketing and pricing decisions made by one firm has a very unique possibility of affecting all the other firms within that market segment. In essence, competitors must take their competitors' possible reactions and responses into account when making decisions. The table below shows the Coke and Pepsi Payoff Matrix with respect to price competition. Both companies have two fundamental strategies: charge an elevated or above market price or a minimal or below market price for its products. Both companies have the possibility of obtaining a big payoff by charging a minimal price while its competitor charges an elevated price, but both companies know that if one of them cuts it price the other will quickly follow suit, resulting in a smaller payoff for both. The resulting equilibrium is both companies charging a high price and engaging instead in non-price competition. Coke vs. Pepsi Payoff Matrix Pepsi charges high price Pepsi charges low price Coke charges high......

Words: 402 - Pages: 2