RECAPITULARE BAC CLASA a 10-a
OPIS

ALGEBRǍ
1. Numere complexe………………………. pag.1-3
2. Clase de funcţii………………………… pag.4-6
3.Funcţia exponenţială şi funcţia logaritmică pag.7-8

4.Elemente de combinatorică …………….pag.9-10

GEOMETRIE
1.Trigonometrie ………………………….pag.11-12
2.Geometrie analiticã…………………… pag.13-14

Colegiul NaŃional de Informatică, Piatra NeamŃ

prof. Mormocea Dorina

Numere complexe

Forma algebrică a unui număr complex z = x + iy, x, y ∈ ℜ, i 2 = −1 , Re( z ) = x, Im( z ) = y.
M(z)

z1 = z 2 ⇔ ( x1 = x 2 , y1 = y 2 ).

y

OperaŃii cu numere complexe

z1 + z 2 = x1 + x 2 + i ( y1 + y 2 ) z1 z 2 = x1 x 2 − y1 y 2 + i ( x1 y 2 + x 2 y1 )

O

x
M imaginea numărului z

Conjugatul unui număr complex z = x − iy

ÎmpărŃirea a două numere complexe ( z 2 ≠ 0 ) x2 −iy 2

z1 z1 z 2 x + iy1 x x + y1 y 2 + i ( x1 y 2 − x 2 y1 )
=
= 1
= 1 2
(pentru a împărŃi două numere
2
2
2
z2 x 2 + iy 2 x2 + y 2 z2 complexe scrise sub formă algebrică amplificăm cu conjugatul numitorului).

ProprietăŃile conjugatului unui număr complex
•

z1 + z 2 = z1 + z 2 (conjugatul sumei este suma conjugatelor);

•

z1 z 2 = z1 ⋅ z 2 (conjugatul produsului este produsul conjugatelor);

•

•
•

 z1  z1
 =
 z  z ( z 2 ≠ 0) (conjugatul câtului este câtul conjugatelor);
 2
2
z ∈ ℜ ⇔ z = z (z este un număr real); z ∈ iℜ ⇔ z = − z (z este pur imaginar).

Modulul unui număr complex

z = x2 + y2 z ⋅ z = z !!!!
2

1
Recapitulare BAC – Numere complexe

Colegiul NaŃional de Informatică, Piatra NeamŃ

prof. Mormocea Dorina

ProprietăŃile modulului unui număr complex
•

z ≥ 0, z = 0 ⇔ z = 0.

•

z1 + z 2 ≤ z1 + z 2 !!!(modulul sumei este mai mic sau egal cu suma modulelor);

•

z1 ⋅ z 2 = z1 ⋅ z 2 (modulul produsului este egal cu produsul modulelor);

•

z1 z1 =
( z 2 ≠ 0) ( modulul câtului este egal cu câtul modulelor). z2 z2

Forma trigonometrică a unui număr complex z = x + iy, x, y ∈ ℜ, i 2 = −1 .

z = r ⋅ (cos α + i sin α ) , r = x 2 + y 2 , α ∈ [0,2π ).

y

 arctg x , pentru x > 0 si y > 0, M ( z ) ∈ C1 ;

y
 π − arctg , pentru x < 0 si y > 0, M ( z ) ∈ C 2 ; x  α = y  π + arctg , pentru x < 0 si y < 0, M ( z ) ∈ C 3 ; x 

y
2π − arctg , pentru x > 0 si y < 0, M ( z ) ∈ C 4 . x 

OperaŃii cu numere complexe scrise sub formă algebrică
ÎnmulŃirea

z1 ⋅ z 2 = r1 r2 (cos(α 1 + α 2 ) + i sin(α 1 + α 2 ) )
Ridicarea la putere z n = r n (cos(nα ) + i sin(nα ) )

ÎmpărŃirea

z1 r1
= (cos(α 1 − α 2 ) + i sin(α 1 − α 2 ) ) z 2 r2
Radicalul de ordin n n   α + 2kπ z = Z k = n r  cos

n
 


 α + 2kπ
 + i sin  n 



 , k = 0, n − 1.



Formula lui Moivre (r=1) z n = cos(nα ) + i sin(nα ).

2
Recapitulare BAC – Numere complexe

Colegiul NaŃional de Informatică, Piatra NeamŃ

prof. Mormocea Dorina

Rădăcinile cubice ale unităŃii: z 3 = 1 ⇔ ( z − 1)( z 2 + z + 1) = 0 , z1 = 1, z 2,3 =

  2kπ 
−1± i 3
 2kπ
. Z k =  cos
 + i sin 

2
 3
  3 

Rădăcinile de ordin n ale unităŃii:


 , k = 0,2.



B(zB)

z n = 1 ⇔ ( z − 1)( z n −1 + z n − 2 + ... + 1) = 0 , yB-yA   2kπ
Z k =  cos

  n


 2kπ
 + i sin 

 n


 , k = 0, n − 1.



A(zA) xB-xA Lungimea unui segment

AB = ( x B − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2 = z B − z A .

EcuaŃii binome
O ecuaŃie de forma: z n + a = 0, a ∈ C , n ∈ ℵ, n ≥ 2, se numeşte ecuaŃie binomă.
Rezolvare
z n = − a, soluŃiile sunt, de fapt, rădăcinile de ordin n ale numărului complex –a.
Dacă − a = r ⋅ (cos α + i sin α ). Atunci rădăcinile de ordin n sunt:

  α + 2kπ 
 α + 2kπ z k = n r  cos
 + i sin 

n n 

 


 , k = 0, n − 1.



EcuaŃii bipătrată
O ecuaŃie de forma: az 2 n + bz n + c = 0, a, b, c ∈ C , a ≠ 0, n ∈ ℵ* se numeşte ecuaŃie bipătrată.
Rezolvare
Pentru rezolvarea ecuaŃiei bipătrate se notează z n = y şi se obŃine ecuaŃia ay 2 + by + c = 0, cu soluŃiile y1 , y 2 . Se rezolvă apoi ecuaŃiile z n = y k , k = 1,2.
3
Recapitulare BAC – Numere complexe

2. CLASE DE FUNCŢII
1. Notiunea de functie, imaginea unei functii, graficul unei functii
¸
¸
¸
¸
Definitie. Fiind date multimile nevide A ¸i B, spunem c˘ am definit o functie f pe multimea
¸
¸ s a
¸
¸
A cu valori ˆ multimea B, dac˘, printr-un anumit procedeu (formul˘, lege, conventie, etc.), fiec˘rui ın ¸ a a
¸
a element x din A i-am asociat un unic element din B, notat f pxq.
‚ Pentru o functie definit˘ pe A cu valori ˆ B folosim notatia f : A Ñ B.
¸
a ın ¸
‚ Multimea A se nume¸te domeniu de definitie, iar multimea B se nume¸te codomeniu.
¸
s
¸
¸ s ‚ Elementul f pxq din multimea B se nume¸te imaginea elementului x prin functia f.
¸
s
¸
‚ Imaginile tuturor elementelor din domeniu formeaz˘ o submultime a codomeniului numit˘ imaginea a ¸ a a ıncˆ functiei f. A¸adar, Im f “ ty P B | exist˘ x P A astfel ˆ at y “ f pxq u .
¸
s
‚ Dac˘ S Ă A, atunci multimea f pSq “ ty P B | exist˘ x P S astfel ˆ at y “ f pxqu se nume¸te imaga
¸
a ıncˆ s inea multimii S prin functia f.
¸
¸
‚ Functiile f : A Ñ B ¸i g : A1 Ñ B 1 sunt egale dac˘ A “ A1 , B “ B 1 ¸i f pxq “ gpxq, @x P A.
¸
s a s
‚ Fiind dat˘ functia f : A Ñ B, multimea Gf “ tpa, bq | a P A ¸i b “ f paqu se nume¸te graficul functiei a ¸
¸
s s ¸
f. Dac˘ A ¸i B sunt multimi de numere reale, atunci f este o functie numeric˘, iar graficul ei se poate a s
¸
¸ a reprezenta geometric ˆ ıntr-un sistem de axe ortogonale.

2. Monotonia functiilor numerice
¸
Definitie. Fie functia f : A Ñ B, unde A, B P R, iar A1 este o submultime a lui A.
¸
¸
¸
1
Atunci, pe multimea A , functia f este:
¸
¸
‚ cresc˘toare dac˘ @x1 , x2 P A1 , x1 ă x2 ñ f px1 q ď f px2 q. a a
‚ strict cresc˘toare dac˘ @x1 , x2 P A1 , x1 ă x2 ñ f px1 q ă f px2 q. a a
‚ descresc˘toare dac˘ @x1 , x2 P A1 , x1 ă x2 ñ f px1 q ě f px2 q. a a
‚ strict descresc˘toare dac˘ @x1 , x2 P A1 , x1 ă x2 ñ f px1 q ą f px2 q. a a
‚ monoton˘ dac˘ este cresc˘toare pe A1 sau descresc˘toare pe A1 . a a a a
‚ strict monoton˘ dac˘ este strict cresc˘toare pe A1 sau strict descresc˘toare pe A1 . a a a a

3. Functii pare, functii impare
¸
¸
Definitie. Fie D Ă R o submultime simetric˘ fata de origine (adic˘ @x P D ñ ´x P D).
¸
¸ a ¸˘ a Spunem c˘ o functie f : D Ñ R este: a ¸
‚ functie par˘ dac˘ f p´xq “ f pxq, @x P D;
¸
a a ‚ functie impar˘ dac˘ f p´xq “ ´f pxq, @x P D.
¸
a a Graficul unei functii pare este simetric fata de axa Oy, iar graficul unei functii impare este simetric
¸
¸˘
¸
fata de originea O a sistemului de axe.
¸˘

4. Functii periodice
¸
Recapitulare BAC: clasa a X-a

´4´

Algebrã: Clase de funcţii

Definitie. Fie T ‰ 0 fixat ¸i o multime D Ă R cu proprietatea c˘ @x P D ñ x ´ T P D ¸i
¸
s
¸
a s x ` T P D.
O functie f : D Ñ R este periodic˘ de perioad˘ T, dac˘ f px ` T q “ f pxq, @x P D.
¸
a a a
Observatie. ˆ conditiile definitiei de mai sus, orice num˘r kT (k P Z) este perioad˘ a functiei f.
¸
In
¸
¸ a a
¸
Definitie. Dac˘ exist˘ cea mai mic˘ perioad˘ strict pozitiv˘, aceasta se nume¸te perioad˘ principal˘
¸
a a a a a s a a a functiei f.
¸

5. Functii m˘rginite
¸
a
Definitie. Fie D Ă R. Spunem c˘ functia f : D Ñ R este m˘rginit˘ dac˘ imaginea functiei este o
¸
a
¸
a a a
¸
multime m˘rginit˘, adic˘
¸
a a a exist˘ m, M P R astfel ˆ at m ď f pxq ď M, @x P D. a ıncˆ

Putem spune echivalent c˘ functia f : D Ñ R este m˘rginit˘ dac˘ a ¸ a a a exist˘ K ą 0 astfel ˆ at |f pxq| ď K, @x P D. a ıncˆ
O functie este m˘rginit˘ dac˘ ¸i numai dac˘ graficul ei este situat ˆ
¸
a a as a ıntre dou˘ drepte paralele la axa Ox. a 6. Functii injective, functii surjective, functii bijective
¸
¸
¸
Definitie. O functie f : A Ñ B este injectiv˘ dac˘
¸
¸ a a
@x1 , x2 P A cu x1 ‰ x2 ñ f px1 q ‰ f px2 q.

Teorem˘. O functie f : A Ñ B este injectiv˘ dac˘ ¸i numai dac˘ a ¸ a as a @x1 , x2 P A cu f px1 q “ f px2 q ñ x1 “ x2 .
Observatie. Dac˘ A ¸i B sunt multimi de numere reale, atunci f este injectiv˘ dac˘ ¸i numai dac˘
¸
a s
¸
a as a orice paralel˘ dus˘ la axa Ox, prin punctele codomeniului, intersecteaz˘ graficul functiei ˆ cel mult un a a a ¸ ın punct. (Interpretarea geometric˘ a injectivit˘¸ii.) a at
Teorem˘. Dac˘ f : A Ñ B este o functie numeric˘ strict monoton˘ (strict cresc˘toare pe A sau strict a a
¸
a a a descresc˘toare pe A), atunci f este injectiv˘. a a
Definitie. O functie f : A Ñ B este surjectiv˘ dac˘
¸
¸ a a
@y P B, Dx P A astfel ˆ at y “ f pxq. ıncˆ Teorem˘. O functie f : A Ñ B este surjectiv˘ dac˘ ¸i numai dac˘ Im f “ B. a ¸ a as a Observatie. Dac˘ A ¸i B sunt multimi de numere reale, atunci f este surjectiv˘ dac˘ ¸i numai dac˘
¸
a s
¸
a as a orice paralel˘ dus˘ la axa Ox prin punctele codomeniului intersecteaz˘ graficul functiei ˆ cel putin un a a a ¸ ın
¸
punct. (Interpretarea geometric˘ a surjectivit˘¸ii.) a at
Recapitulare BAC: clasa a X-a

´5´

Algebrã: Clase de funcţii

Definitie. O functie f : A Ñ B este bijectiv˘ dac˘ este injectiv˘ ¸i surjectiv˘.
¸
¸ a a as a
Teorem˘. O functie f : A Ñ B este surjectiv˘ dac˘ ¸i numai dac˘ a ¸ a as a @y P B, D!x P A astfel ˆ at y “ f pxq. ıncˆ Observatie. Dac˘ A ¸i B sunt multimi de numere reale, atunci f este bijectiv˘ dac˘ ¸i numai dac˘
¸
a s
¸
a as a orice paralel˘ dus˘ la axa Ox prin punctele codomeniului intersecteaz˘ graficul functiei ˆ exact un punct. a a a ¸ ın
(Interpretarea geometric˘ a bijectivit˘¸ii.) a at

7. Compunerea functiilor, functii inversabile
¸
¸
Definitie. Fiind date functiile f : A Ñ B ¸i g : B Ñ C definim functia compus˘ a lui g cu f, ˆ
¸
¸ s ¸ a ın aceast˘ ordine, notat˘ cu g ˝ f, prin a a g ˝ f : A Ñ C, pg ˝ f qpxq “ gpf pxqq, oricare ar fi x P A.

Teorem˘. Operatia de compunere a functiilor este asociativ˘, adic˘ a ¸
¸
a a ph ˝ gq ˝ f “ h ˝ pg ˝ f q, oricare ar fi f : A Ñ B, g : B Ñ C, h : C Ñ D.
Definitie. Fiind dat˘ multimea nevid˘ A, definim functia identic˘ a multimii A, notat˘ cu 1A ,
¸
a
¸
a
¸
a
¸
a prin 1A : A Ñ A, 1A pxq “ x, oricare ar fi x P A.

Teorem˘. Fiind dat˘ functia f : A Ñ B, avem f ˝ 1A “ 1B ˝ f “ f. a a
¸
Definitie. Spunem c˘ o functie f : A Ñ B este inversabil˘ dac˘ exist˘ o functie f ´1 : B Ñ A
¸
a
¸
a a a
¸
astfel ˆ at ıncˆ f ´1 ˝ f “ 1A ¸i f ˝ f ´1 “ 1B . s Teorem˘. O functie f : A Ñ B este inversabil˘ dac˘ ¸i numai dac˘ este bijectiv˘. a ¸ a as a a

Recapitulare BAC: clasa a X-a

´6´

Algebrã: Clase de funcţii

Colegiul Naţional de Informatică, Piatra Neamţ

prof. Mormocea Dorina

Funcţia exponenţială şi funcţia logaritmică
Putere cu exponent natural

a n  a   ... , n  , n  2, a  , a 0  1, a 1  a.


 aa n ori

Putere cu exponent întreg negativ a  n 

Putere cu exponent raţional a

m n 1
, a  0, a  , n  * . n a

 n a m , a  0, m  Z , n  , n  2.

Proprietăţi ale puterilor şi radicalilor a, b  0, x, y  , m, n  , m  2, n  2. a x 

1
.
ax

a>1

Funcţia exponenţialã

f :    , f ( x)  a x .

Acelaşi exponent a x b x  ab  , n a n b  n ab -pentru a înmulţi Reprezentarea grafică a două puteri cu acelaşi exponent înmulţim bazele şi scriem exponentul comun. x funcţiei exponenţiale cu baza supranitară

0