CAPÍTULO 4

Funciones matemáticas
4.1 FUNCIONES 4.2 TIPOS DE FUNCIONES 4.3 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS FUNCIONES Términos y conceptos clave Fórmulas importantes Ejercicios adicionales Evaluación del capítulo

OBJETIVOS DEL CAPÍTULO
◗ Permitir que el lector comprenda la naturaleza y la notación de las funciones matemáticas. ◗ Proporcionar ilustraciones de la aplicación de las funciones matemáticas. ◗ Ofrecer un panorama breve de tipos importantes de funciones y sus características. ◗ Analizar la representación gráfica de las funciones.

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CAPÍTULO 4 Funciones matemáticas

ESCENARIO DE MOTIVACIÓN: Acumulación militar progresiva

Al inicio de la crisis del Golfo Pérsico en 1990, Estados Unidos desplegó cientos de miles de tropas en Arabia Saudita. A causa del potencial de guerra química, las tropas necesitaban usar con urgencia máscaras antigas. El Departamento de Defensa negoció un contrato con un fabricante para surtir dos tipos de máscaras antigas. Los dos tipos costaban $175 y $225, respectivamente. Dada la necesidad urgente, el contrato especificaba que si el número combinado de máscaras antigas entregado cada semana era mayor que 5 000, el gobierno pagaría al fabricante un bono de $50 000 más $25 por cada unidad por encima de las 5 000. Para esto se desea una fórmula que exprese la relación matemática entre las ventas semanales en dólares al gobierno y el número de unidades surtidas de los dos tipos de máscaras antigas. [Ejemplo 10]

La aplicación de las matemáticas yace en la capacidad de identificar una representación matemática relevante de un fenómeno del mundo real. Esta relación a menudo se conoce como modelo matemático. Un modelo es relevante si capta con éxito los atributos del fenómeno que son significativos para el constructor del modelo. Al igual que un modelo a escala de un avión muestra la apariencia física de un avión real, un modelo matemático de una función de la demanda representa las interrelaciones entre, digamos, el precio de una mercancía y la cantidad demandada. Es importante repetir que los modelos matemáticos pueden reflejar una realidad exactamente; no obstante, con frecuencia se aproximan a la realidad. Si el modelo es una buena aproximación, puede ser muy útil en el estudio de la realidad y toma de decisiones relacionadas con ésta. Si un modelo no es una buena aproximación, es importante que comprenda esto. Ya sea que efectúe por sí mismo el análisis matemático o si se le proporcionan los resultados de un análisis matemático, es importante que entienda las suposiciones, fuerzas y limitaciones de los modelos utilizados. ¡Haga preguntas! Realice análisis y tome decisiones de manera informada.

4.1

Funciones
En los modelos matemáticos, por lo general se representan las relaciones significativas por medio de funciones matemáticas o simplemente funciones. Las funciones constituyen una piedra angular de gran parte de lo que sigue en este libro. El propósito de este capítulo es presentar este importante tema.

Definición de funciones
Se puede considerar una función como un dispositivo de entrada/salida. A un dato de entrada (o conjunto de datos de entrada) se le aplica (o se les aplica) la regla matemática que transforma (manipula) el dato (o datos) de entrada en un dato de salida específico. (Véase la figura 4.1.) Considere la ecuación y x2 2x 1. Si los datos de entrada son valores de x, arbitrariamente elegidos, la ecuación produce valores de y como datos de salida. Para ilustrarlo:

4.1 Funciones

143

Figura 4.1 Representación de entrada/salida de una función.

“Entrada”

“Función”

“Salida”

Entrada
Si x Si x Si x 1 5 10 y y y

Salida correspondiente
(1) 2 ( 5) 2 2(1) 2( 2(10) 1 5) 1 0 1 36 81

(10) 2

La ecuación proporciona la regla que nos permite transformar un valor de x en un valor correspondiente de y. Es posible expresar verbalmente la regla para esta ecuación como “tome el valor de entrada y elévelo al cuadrado, reste dos veces el valor de entrada y sume 1”. Nótese que para cualquier valor de entrada, se determina un valor único de salida.

Definición: Función
Una función es una regla matemática que asigna a cada valor de entrada uno y sólo un valor de salida.

Dominio/rango
Ul dominio de una función es el conjunto que consiste en todos los valores de entrada posibles. El rango de una función es el conjunto de todos los valores de salida posibles. A menudo el proceso de asignación de valores de salida a los correspondientes valores de entrada es conocido como mapeo. La notación f: x : y

representa el mapeo del conjunto de valores de entrada x en el conjunto de valores de salida y, usando la regla de mapeo f. La figura 4.2 ilustra algunos puntos importantes en relación con las funciones. El mapeo indicado en la figura 4.2a) cumple con la definición de una función. A cada valor indicado en el dominio corresponde un valor único en el rango de la función. De manera similar, el mapeo de la figura 4.2b) cumple con la definición. El hecho de que dos valores diferentes en el dominio se “transformen” en el mismo valor en el rango no viola la definición. Sin embargo, el mapeo de la figura 4.2c) no representa una función, ya que a un valor en el dominio se le asignan dos valores en el rango.

La naturaleza y la notación de las funciones
Las funciones, como las trataremos, sugieren que el valor de algo depende del valor de una o más cosas diferentes. Hay incontables relaciones funcionales en el mundo que nos rodea.

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CAPÍTULO 4 Funciones matemáticas

X X f Y Dominio Rango Dominio

f

Y

Rango

a) Cumple con la definición de función

b) Cumple con la definición de función

X

f

Y

Dominio

Rango

c) No cumple con la definición de función

Figura 4.2 Mapeos de la muestra.

El número de personas en una playa puede depender de la temperatura y el día de la semana, las cantidades vendidas de un producto pueden depender del precio que se cobra por producto y los precios de las marcas competidoras, las calificaciones pueden depender del tiempo que un estudiante dedica al estudio, las tasas de impuestos de una ciudad pueden depender del nivel del gasto municipal y la cantidad de dólares que un estado paga puede depender del número de personas desempleadas. El lenguaje matemático proporciona una manera de describir cómo se relacionan funcionalmente las variables. La ecuación y f (x)

denota una relación funcional entre las variables x y y. Se puede describir verbalmente esta ecuación como si “y es igual a f de x” o “y es una función de x”. No se debe interpretar esta ecuación como “y es igual a f por x”. Cuando decimos que y es una función de x, queremos decir que el valor de la variable y depende de x y se determina únicamente por el valor de la variable x; x es la variable de entrada y y la variable de salida. Los papeles respectivos de las dos variables hacen que la variable x reciba el nombre de variable independiente y la variable y se denomine variable dependiente. De forma alternativa, a menudo nos referimos a la variable y como el valor de la función. “f ” es el nombre de la función o regla de mapeo. Aunque y representa por lo general la variable dependiente, x la variable independiente y f el nombre de la función, se puede utilizar cualquier letra para representar las variables dependiente e independiente y el nombre de la función. La ecuación u g(v)

es una manera de expresar que se determina el valor de una variable dependiente u por el valor de la variable independiente v. Y el nombre de la función o regla que relaciona las dos variables es g.

XAMPLE

XAMPLE XAMPLE

4.1 Funciones

145

Ejemplo 1

XAMPLE XAMPLE

Imagine que se le ha contratado como vendedor. Su patrón le indicó que su salario dependerá del número de unidades que venda cada semana. Si suponemos que y x salario semanal en dólares número de unidades vendidas cada semana

se puede representar la dependencia definida por su patrón mediante la ecuación y f (x)

donde f es el nombre de la función del salario.

❑

Suponga que su patrón le dio la ecuación siguiente para determinar su salario semanal: y f (x) 3x 25

(4.1)

Dado cualquier valor para x, la sustitución de este valor en f dará como resultado el valor correspondiente de y. Por ejemplo, si deseamos calcular su salario semanal cuando vende 100 unidades, sustituir x 100 en la ecuación (4.1) da y 3(100) $325 25

Para la función y denota con f(b).

f(x), el valor de y que corresponde al valor de entrada x

b se

En la ecuación (4.1) se puede definir el salario asociado con la venta de 75 unidades como f(75). Para evaluar f(75), sólo sustituya el valor 75 en la ecuación (4.1) en cualquier lado en donde aparezca x, o bien f (75) 3(75) $250 25

De modo similar, con f(0) se denota el valor de y que corresponde a x 0 y se calcula como f(0) 3(0) 25 $25. La figura 4.3 es un diagrama esquemático de la función del salario que ilustra la naturaleza de los datos de entrada/salida.

Entrada

x Unidades vendidas por semana

Función f(x) = 3x + 25

y Salario semanal ($)

Salida

Figura 4.3 Función del salario semanal.

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CAPÍTULO 4 Funciones matemáticas

Ejemplo 2 XAMPLE

Dada la relación funcional z h(t) t2 t

10

XAMPLE

10 a) h(0) (0)2 (0) 10 b) h( 5) ( 5)2 ( 5) 10 25 5 10 10 c) h(u v) (u v)2 (u v) 10 u 2 2uv v 2 u v 102 u 2 u

2uv

v

v2

10

Observe que en el inciso c, el valor de entrada para t es la suma u v. Para evaluar h(u v), el pro2 cedimiento es exactamente el mismo que en las partes a) y b). En cualquier parte en donde aparezca 2 t en la función, sustituimos la cantidad u v. 2
2 2 2 2

Ejercicio de práctica
2

Para t
4xy 5y

u(v)
2y2.

2v2

2

2 5v, determine a) u( 5) y b) u(x

y). Respuesta: a) 75, b) 2x2

5x

XAMPLE

Ejemplo 3

2

El departamento de policía de 2una ciudad pequeña contempla la compra de un auto patrulla adicio2 nal. Los analistas de la policía estiman que el costo de la compra de un automóvil totalmente equipado (subcompacto, pero con mucha potencia) es de $18 000. También estiman un costo operativo XAMPLE promedio de $0.40 por milla. a) Determine la función matemática que representa el costo total C de la posesión y operación del automóvil en términos de las x millas conducidas. b) ¿Cuáles son los costos totales proyectados si se conduce el automóvil 50 000 millas durante su tiempo de vida? c) ¿Si se conduce 100 000 millas? SOLUCIÓN a) En este ejemplo, se nos pidió determinar la función que relaciona el costo total C con las x millas conducidas. Por el momento excluiremos cualquier consideración sobre el valor de recuperación (o reventa). La primera pregunta es: ¿qué variable depende de la otra? Una segunda lectura del problema y algo de reflexión sobre las dos variables deben llevar a la conclusión de que el costo total depende del número de millas conducidas o
C f (x)

En esta etapa se debe ser capaz de escribir la función del costo como
C f (x) 0.40x 18 000

Si no puede escribir de inmediato la función del costo, suponga dos valores de muestra del millaje (variable independiente) y determine el costo asociado (variable dependiente). Examine los respectivos valores de las variables y vea si comienza a surgir un patrón. Si es así, entonces articule su modelo mental (o de manera más simple, escriba la función).

4.1 Funciones

147

Probemos este planteamiento. ¿Cuál sería el costo total si el auto se condujera 0 millas (suponiendo que se comprara)? Su modelo mental debería responder “$18 000”. ¿Cuál sería el costo total si se condujera el vehículo 10 000 millas? $22 000. ¿Qué sucedería si se condujera 20 000 millas? $26 000. Si no le es difícil encontrar estas respuestas, de hecho tiene algún modelo mental del costo. Ahora es el momento de expresar ese modelo matemáticamente. El costo total de posesión y operación del auto patrulla es la suma de dos costos componentes: costo de compra y costo de operación. Y el tipo de cálculo que debería hacer al responder cada pregunta es multiplicar el número de millas por $0.40 y sumar este resultado al costo de compra de $18 000. O bien C f (x) costo total de operación costo de compra (costo de operación por milla) (número de millas) 0.40x 18 000

costo de compra

o sea

C

b) Si se conduce el automóvil 50 000 millas, se estima que el costo total equivale a
C f (50 000) 0.40(50 000) $38 000

18 000

c) De modo similar, con 100 000 millas
C f (100 000) 0.40(100 000) $58 000 18 000

❑

Consideraciones de dominio y rango
Con anterioridad se definió el dominio de una función como el conjunto de todos los valores de entrada posibles. Dado que nos enfocaremos en funciones con valores reales, el dominio consiste en todos los valores reales de la variable independiente para los cuales se define y es real la variable dependiente. Para determinar el dominio, en ocasiones es más fácil identificar los valores que no se incluyen en el dominio (es decir, encontrar las excepciones). Dado el dominio, el rango de una función es el conjunto correspondiente de valores para la variable dependiente. Es posible que sea más difícil identificar el rango que definir el dominio. En este momento nos preocuparemos menos por este proceso. Analizaremos el rango con mayor detalle cuando estudiemos la representación gráfica más adelante en este capítulo.
XAMPLE Ejemplo 4 XAMPLE

Dada la función y f (x) 2 x 2 2x 1

se puede sustituir cualquier valor real por x, lo que da como resultado un valor correspondiente y único de y. Si se define D como el dominio de f,
D
XAMPLE XAMPLE

{x|x es real}

148

CAPÍTULO 4 Funciones matemáticas
XAMPLE XAMPLE XAMPLE XAMPLE

Ejemplo 5

La función u f (v)
2 2 2

1 4

v

2

tiene la forma de un cociente. Se debe excluir del dominio cualquier valor de v que dé como resul2 2 2 tado el denominador igual a cero, ya que la división entre 0 es indefinida. El denominador es igual 2 24 a cero cuando v 0 o cuando v tiene el valor ya sea de 2 o de 2. El dominio de la función incluye todos los números reales excepto 2 y 2, o bien D {v|v es real y v 2}.
XAMPLE XAMPLE Ejemplo 6 Para la función XAMPLE XAMPLE

y

f (x)

√x

5

x puede tener cualquier valor para el cual la expresión debajo del signo de la raíz cuadrada es positiva o cero. (¿Por qué sucede esto?) Para determinar estos valores, x 5 x 0 5

cuando

Por consiguiente, el dominio de la función incluye todos los números reales que son mayores o iguales que 5, o D {x|x es real y x 5}.
XAMPLE La función XAMPLE XAMPLE Ejemplo 7 XAMPLE

y

f (x)

2 √x22
2

x

12

2 2 2 está definida para todos los valores de x que dan como resultado x2 2 lente, los valores son aquellos para los que

x

12

0. En forma equiva-

(x

4)(x

3)

0

El producto de los dos factores es igual a cero cuando cualquiera de los dos factores equivale a cero. Por tanto, dos miembros del dominio son x 4 y x 3. El producto será positivo en dos circunstancias: ambos factores son positivos o ambos factores son negativos. Es decir,
(x 4) (x 3) 0

cuando o Los dos factores son positivos, respectivamente, cuando x 4 x 0 4 y y x 3 x 0 3

o sea

4.1 Funciones x 4>0yx x>3 x> 4 x 5 a) x 4