Lineære Funktioner Og Lineære Vækst

Lineære Funktioner:

Definition:
Generelt kan vi sige, at en lineære funktion er en funktion der har forskriften y=ax+b x og y er variable. Tallet a kaldes hældningskoefficienten, og tallet b kaldes skæringspunktet med y-aksen.
Hvis den uafhængigvariable(x) vokser med 1, så vokser den afhængigvariabel(y) med a.
Bevis: Til en fast x-værdi x1, gælder: y1=fx=ax+b

Lægger vi 1 til x1 får vi x2=x1+1

Den nye y-værdi beregning:

y2=fx2=ax2+b=ax1+1+b=ax1+a+b=ax1+b+a=y1 +a
Finder a = (y2-y1) :(x2- x1)

Bevis for a:

y1 = ax1+b y2=ax2+b y2-y1=ax2+b-(ax1+b) y2-y1=ax2-ax1 ( b´erne går ud med hinanden) y2-y1=a(x2-x1) a=y2-y1 :(x2-x1)

Bevis for b: y1=ax1+b y1-ax1=b
(vi minusser med ax1 på begge sider af lighedstegnet, og så får vi det som står oven på)

opgave 1:

x1=-3 y1=8 x2=9 y2=-10

(y2 - y1):(x2-x1)=a

-10-8:9-(-3)=a
-18:12 = -1,5 = a

y1-ax1=b
8--1,5(-3)=b
8-4,5=b
3,5=b
Lineær Regressioner:

Definition:
Lineær regressioner laver man ud fra forskriften f(x)= ax+b. Der er tale om en lineær sammenhæng mellem de to variabler x og y og at værdierne af tallene a og kan oplyses i opgaven. Men i mange tilfælde skal man begynde med målinger og eksperimentere for at få en tabel af sammenhørerne værdier af de to variable. som man eksempelvis kan se i opgave 2 hvor vi har en tabel som vi ud fra kan finde både a og b.
Lineær regression bruges også til at bestemme en ligning mellem to punkter, som er en ret linje .
Opgave 2

Luftfugtighed (i %) | 46 | 52 | 58 | 64 | 70 | 76 | 82 | 88 | 94 | 100 | Udklækningstid (i timer) | 23,2 | 22,7 | 22,0 | 21,7 | 20,2 | 19,6 | 18,2 | 18,3 | 17,4 | 16,6 |
Forskriften: y=0,127374∙x+29,2883

Lineær vækst:
Definition:
I vækst kan man også bruge variabelsammenhæng. Hvis vi eksempelvis skal kører taxa så er det vigtigt for os at vi kan beregne prisen for at se om det er billiger at tag den ene taxa frem for den anden. Hvis vi så siger at p er prisen for en tur i en taxa, og at s er strækningen, så kan variabelsammenhængen være p=20s+40. Her kan vi sige at vi har beregnet prisen på en taxa tur. Prisen (p) er en afhængigvariabel, for den afhænger af hvordan vi beregner den, med 20s mener vi her at hver km taxaen kører koster det 20kr., og med +40 er starts gebyr i taxaen.

Opgave 3 a= forskriften er f(x) = 0,25x + 60 se grafen næste side

b= for at u=a*s+b skal gælde, så skal a være 0,25kr. og b skal være 60kr. c= Hældningskoefficienterne for den sorte linje er 0.25 og for den lilla/pinke linje er den 0.20. Begge linjer skærer u-aksen ved 60, dvs. At (0,60) er den lilla og den sorte linjes skæringspunkt.