Contenido
Página
Unidad I
Conjuntos
Fracciones
Decimales
Porciento
Aplicaciones
Operaciones números con signo
Exponentes
Orden de operaciones
Notación científica

1-3
4–6
7–8
9 – 10
11 – 14
15 – 16
17 – 18
19 – 20
21 – 22

Unidad II
Expresiones algebraicas
Operaciones con polinomios
Factorización de polinomios
Factorización completa
Expresiones algebraicas fraccionales

23
25
28
33
35

Unidad III
Ecuaciones lineales y literales
Desigualdades lineales
Ecuaciones con valor absoluto
Ecuaciones cuadráticas por factorización
Ecuaciones fraccionales
Traducción de frases y problemas verbales de números
Problemas verbales adicionales
Unidad IV
Operaciones con radicales
Propiedad de la raíz cuadrada y fórmula cuadrática
Ecuaciones irracionales
Unidad V
Localización de puntos en el plano
Gráficas de ecuaciones lineales

–
–
–
–
–

24
27
32
34
38

39 – 40
41 – 42
43 – 44
45 – 46
47 – 48
49 – 51
52 - 55
56 – 60
61 – 62
63 – 64
65 – 67
68 - 77

1

Conjuntos
1. Exprese cada conjunto en forma de lista.
a) A = {x x es un entero impar entre 6 y 14}
b) B = {x x es un entero par mayor que 8 y menor o igual que 16}
c) C = {x x es un entero positivo múltiplo de 3}
d) D = {x x es un entero entre 2.4 y 4.2}
e) E = {x x es un entero entre 8 y 9}
f) F = {x x es un entero mayor o igual que –2}
2. Exprese cada conjunto en forma descriptiva (constructiva).
a) A = {1,2,3,...,14,15}
b) B = {4,8,12,...}
c) C = {2,4,6,...,20}
d) D = {...,−6,−5,−4,−3}
3. Llene los blancos con ∈ ó ∉.
a) Si A = {10,12,14,...,30}
1) 26 _____ A
2) 15 ____ A
3) 8 ____ A
4) {12,14,16} ____ A
b) Si B = {x x es un entero positivo mayor que 3 y menor que12}
1) 12 ____ B
2) 5 ____ B
3) 17 ____ B
4. Llene los blancos con ⊂ ó ⊄ .
a) {45,47,49,...} ______{5,6,7,...,50}
b) {a, b, c, d , e} _____{c, d , e, f , g}
c) {24,28,32,...,40} _____{20,22,24,...,42}
d) 10 ____{5,10,15,..., }
e) {25,30} ____{5,10,15,...,40}

2
5. Dado el conjunto {-8, 2,

7
, 0,
8

11, -5.46,

−

9 , − .3 , 15,

7
,
4

5 }. Indique

los elementos que son:
a)
b)
c)
d)
e)
f)

números números enteros números números números naturales enteros no negativos racionales irracionales reales 6. Si A = {12,13,14,...,20}, B = {6,8,10,12}, C = {15,17,19}, halle:
a) A ∪ B
d) A ∩ B

b) A ∪ C
e) A ∩ C

c) B ∪ C
f) B ∩ C

Respuestas
1. a) A = {7,9,11,13}
d) D = {3,4}

b) B = {10,12,14,16}
e) E = { } = ∅

c) C = {3,6,9,12,...}
f) F = {−2,−1,0,1,...}

2. a) A = {x x es un número natural menor o igual que 15}
b) B = {x x es un entero positivo múltiplo de 4}
c) C = {x x es un entero par mayor o igual que 2 y menor o igual que 20}
d) D = {x x es un entero menor o igual que –3}
3. a) 1) ∈
b) 1) ∉

2) ∉
2) ∈

4. a) ⊄

b) ⊄

5. a) 2,

9 ,15

d) todos excepto
e) 5 , 11
f) todos

3) ∉
3) ∉

4) ∉

c) ⊂
b) 0, 2,

5 , 11

9 , 15

d) ⊄

e) ⊂

c) –8,0, 2, 9 , 15

3
6. a) {6,8,10,12,13,14,15,16,17,18,19,20}
b) {12,13,14,...,20}
c) {6,8,10,12,15,17,19}
d) {12}
e) {15,17,19}
f) { } = ∅

4

Fracciones
1. Exprese cada fracción mixta como impropia.
a) 3

5
9

b) 2

7
8

c) 4

2
5

d)) 5

6
7

2. Exprese cada fracción impropia como mixta.
a)

18
5

b)

32
7

c)

58
9

d)

93
8

d)

84
56

3. Reduzca las siguientes fracciones.

98
140
198
e)
144
a)

90
105
60
f)
225
b)

c)

150
270

4. Halle una fracción equivalente.
a)

3
=
7 42

b)

5
=
8 72

c)

7
=
11 55

d) 3=

3
4
o
8
9

c)

7
8
o
11 13

d) 3

6

e) 2

3
=
4 20

5. ¿Cuál es mayor?
a)

3
3
o
5
7

b)

2
3
o 3
5
7

6. Ordene las siguientes fracciones de menor a mayor.
a)

1 3 5 3
, , ,
2 8 16 4

b)

7 2 5 3
, , ,
10 3 6 5

c)

7. Halle los siguientes productos. Reduzca si es posible.
a)

3 7
×
5 9

e) 4 ×

7
12

b)

5 9
×
12 25

4 3
f) 4 ×
5 8

c)

15 24
×
32 35

2
3
g) 2 × 3
3
5

d)

2
×6
9

3
2
h) 3 × 2
4
5

7 5 11 1
, , ,
12 9 18 2

5
8. Halle los siguientes cocientes. Reduzca si es posible.
a)

4 3
÷
5 8

b)

5 10
÷
11 9

c)

3 15
÷
7 28

e)

3
÷ 18
4

f)

5
1
÷4
8
2

1
1
g) 3 ÷ 5
2
4

d) 6 ÷

8
15

2
2
h) 2 ÷ 2
3
15

9. Sume o reste. Reduzca si es posible.
a)

5 7
+
18 18

b)

11 5
−
24 24

3
2
c) 4 + 2
5
5

f)

5 4
+
6 9

g)

9 3
−
10 4

h)

k) 4 −

5
12

l) 6 −

2
3

1
3
d) 5 − 2
8
8

m) 5 +

8 3
−
9 5

5
5
j) 3 + 2
8
6

2
1
n) 5 − 2
3
8

6 7
+
7 8

5
1
e) 4 − 2
9
9

1
3
o) 4 − 1
6
4

i)

8
9

10. Use la factorización prima para hallar el mínimo común denominador de las siguientes fracciones.
a)

5 5 2
, ,
8 18 15

b)

6 5 3
, ,
25 28 35

c)

3 3 1
, ,
10 16 50

11. Lleve a cabo las siguientes operaciones. Use el mínimo común denominador que halló en el ejercicio anterior.
a)

5 5 2
+ −
8 18 15

b)

6
5
3
+
−
25 28 35

c)

3
3
1
+ −
10 16 50

Respuestas
1. a)

32
9

2. a) 3

3. a)

3
5

7
10

b)

23
8

b) 4

b)

4
7

6
7

c)

22
5

c) 6

c)

4
9

5
9

d)

41
7

d) 11

d)

3
2

5
8
e)

11
8

f)

4
15

6
4. a)

18
42

b)

45
72

c)

35
55

d)

5. a)

3
5

b)

4
9

c)

7
11

d) 3

6. a)

5 3 1 3
, , ,
16 8 2 4

b)

3 2 7 5
, , ,
5 3 10 6

7
15
7
e)
3

b)

32
15
1
e)
24

b)

2
3
23
f)
18
43
k)
12

1
4
3
g)
20
16
l)
3

7. a)

8. a)

9. a)

10. a) 360
11. a)

277
360

18
6

e)

55
20

c)

1 5 7 11
, , ,
2 9 12 18

3
7

3
20
9
f)
5

9
28
48
g)
5

d)

9
22
5
f)
36

c)

4
5
2
g)
3

d)

c) 7

1
4
13
i)
45
85
n)
24

b)

b) 700
b)

233
700

c)

h)

h) 9

45
4
5
h)
4

d) 3

97
56

m) 5

8
9

c) 400
c)

4
3

187
400

14
5
=1
9
9
155
j)
24
29
o)
12
e)

7

Decimales
1. Exprese en palabras los siguientes decimales.
a) 0.128

b) 0.76

c) 2.5

d) 9.00034

2. Exprese cada decimal como fracción reducida.
a) 0.24

b) 0.175

c) 0.8

d) 3.025

e) 2.04

3. ¿Cuál es mayor?
a) 0.2 o 0.8

b) 0.35 o 0.305

c) 3.2 o 3.189

4. Exprese cada fracción como decimal. No redondee.
a.

7
10

b.

4
25

c.

9
48

d.

5
32

e. 2

3
4

5. Exprese cada fracción como decimal periódico y como decimal redondeado a la centésima.
a)

5
18

b)

8
33

c)

12
37

d)

11
24

e)

25
41

6. Sume o reste.
a) 3.5 + 2.049
d) 0.06 + 0.564

b) 4.18 – 2.36
e) 12.07 – 5.481

c) 7.2 – 4.098

7. Multiplique o divida.
a) 0.6 × 0.45
d) 0.48 ÷ 0.2
g) 6.00135 ÷ 1.5
j) 3.85 ÷ 100

b)
e)
h)
k)

1.32 × 0.07
.002388 ÷ .04
.017208 ÷ .36
.0789 × 100

c) 2.7 × 3.01
f) .0100248 ÷ .8
i) 4.052 × 1000
l) .064 ÷ 10

8
Respuestas
1. a) Ciento veintiocho milésimas
b) Setentiseis centésimas
c) Dos y cinco décimas
d) Nueve y treinticuatro cien milésimas
2. a)

6
25

b)

7
40

c)

4
5

3. a) 0.8

b) 0.35
b) 0.16

c) 0.1875

121
40

e)

51
25

c) 3.2

4. a) 0.7

d)

__

__

____

d) .15625
_

e) 2.75
________

5. a) .2 7 ; .28 b) .24 ; .24

c) .324 ; .32

6. a) 5.549

b) 1.82

c) 3.102

d) .624

e) 6.589

7. a) .27
f) .012531
k) 7.89

b) .0924
g) 4.0009
l) .0064

c) 8.127
h) .0478

d) 2.4
i) 4,052

e) .0597
j) .0385

d) .458 3 ; .46 e) .60975 ; .61

9

Porciento
1. Exprese cada porciento como decimal y como fracción.
1
e) 12.4%
a) 8%
b) 32%
c) .5%
d) 6 %
2
2. Exprese cada decimal como porciento.
a) .47

b) .635

c) .009

d) .1275

3. Exprese cada fracción como porciento. No redondee.

1
4
11
e)
16
a)

3
5
12
f)
125

b)

9
10
28
g)
3500
c)

7
8
3
h)
2
d)

4. Exprese cada fracción como porciento y luego redondee al 1) entero de porciento y 2) décima de porciento.
a)

7
11

b)

13
22

c)

8
27

d)

31
45

5. Halle
a) el 30% de 800

b) el 10% de 328

d) el 25% de 240

e) el 12.4% de 600

6. ¿Qué porciento…
a) es 21 de 28?
b) de 45 es 15?
c) es 144 de 320?
d) de 248 es 31?

c) el 15% de 62
1
f) el 6 % de 400
4

10
Respuestas
1.

a) .08 =

2
25
31
e) .124 =
250

b) .32 =

8
25

2.
3.

a) 47%
a) 25%
e) 68.75%

b) 63.5%
b) 60%
f) 9.6%

4.

a) 63. 63 % ; 1) 64% 2) 63.6%

c) .005 =

1
200

c) .9%
c) 90%
g) .8%

d) .065 =

13
200

d) 12.75%
d) 87.5%
h) 150%

__

__

b) 59. 09 %; 1) 59% 2) 59.1%
____

c) 29. 629 %; 1) 30% 2) 29.6%
_

d) 68. 8 %;

1) 69% 2) 68.9%

5.

a) 240

b) 32.8

6.

a) 75%

b) 33. 3 %

_

c) 9.3

d) 60

c) 45%

d) 12.5%

e) 74.4

f) 25

11

Aplicaciones de fracciones, decimales y porciento
1. En una sección de un curso de estadística hay matriculados 50 estudiantes. a) Si el 20% de ellos sacaron A en el primer examen parcial, ¿cuántos estudiantes sacaron A en el primer examen?
b) Si 22 estudiantes sacaron C en el primer examen, ¿qué porciento de los estudiantes matriculados sacaron C?
4
c) Si partes del total de estudiantes matriculados sacaron B en el
25
primer examen, ¿cuántos estudiantes sacaron B?
d) ¿Cúantos estudiantes sacaron D o F en el primer examen?
e) ¿Qué parte o fracción del total de los estudiantes matriculados sacaron D o F?
2. Alberto ganó $1,800 durante el verano. Si ahorró

5 partes de lo que
9

ganó:
a) ¿qué parte o fracción gastó?
b) ¿cuánto dinero ahorró?
3. El precio del periódico dominical aumentó de $1.50 a $2.00. ¿Cuál fue el porciento de aumento en el precio? Redondee al entero de porciento.
4. Sandrá compró una cartera con un 35% de descuento. Si el precio original de la cartera era de $120:
a) ¿de qué cantidad fue el descuento?
b) ¿cuánto pagó por la cartera?
5. Carlos, Juan y Julio dieron un viaje en carro desde Florida hasta California.
1
2
Si Carlos guió parte del recorrido y Julio guió partes del recorrido,
3
5
¿qué parte del recorrido guió Juan?
6. Aida, Tere y Gilda son dueñas de un negocio. Si Aida es dueña de partes del negocio y Tere es dueña de
Gilda?

2
5

3 partes, ¿de qué parte es dueña
8

7. Las ventas anuales de una compañía han disminuído de $500,000 en el año 2007 a $400,000 en el 2008. ¿Cuál fue el porciento de disminución en las ventas?

12
8. El año pasado cierto gimnasio tenía 260 clientes. Si este año el número de clientes aumentó un 15%, ¿cuántos clientes tiene el gimnasio este año?
9. Entre Estela, Irene y Marta tienen un total de 360 acciones de cierta compañía. 4
a) Si Estela tiene partes del total de las acciones, ¿cuántas acciones
9
tiene?
b) Si Irene tiene 20% menos acciones que Estela, ¿cuántas acciones tiene? c) ¿Cuántas acciones tiene Marta?
10. Una compañía tiene un total de 150 empleados.
2
a) Si partes del total de empleados están casados, ¿cuántos
3
empleados están casados?
3
b) Si partes del total de empleados casados tienen hijos, ¿cuántos
4
empleados son casados y tienen hijos?
c) ¿Qué parte (fracción) del total de empleados de la compañía son casados y tienen hijos?
11. La mitad de un grupo de estudiantes viven en el área metropolitana. Si
1/5 parte de los que viven en el área metropolitana también tienen carro,
¿qué parte o fracción del total de estudiantes en el grupo viven en el área metropolitana y tienen carro?
12. Antonio tiene un sueldo de $3,200 mensuales. Si Ricardo gana un 15% más, ¿cuál es el sueldo mensual de Ricardo?
13. Un vendedor recibe una comisión de $.10 por cada dólar de venta. Si el vendedor tuvo ventas de $4500 el mes pasado, ¿cuánto recibió de comisión? 14. Un técnico de computadoras cobra $30 por visita más $6.50 por cada hora de servicio. ¿Cuánto cobra en total por un servicio de 5 horas?
15. El año pasado, Hilda le pidió prestados $480 a una amiga . Si ya le ha
5
devuelto partes de lo que le prestaron, ¿cuánto dinero le debe?
8
(Asuma que no le cobran intereses).

13
16. Dieciocho de los 32 estudiantes de un curso, tienen una computadora en su casa, ¿qué porciento del total de estudiantes tienen computadora en su casa? 17. El año pasado fueron admitidos un total de 540 estudiantes a la Facultad de Administración de Empresas.
2
a) Si partes de los admitidos piensan estudiar Finanzas, ¿cuántos
9
estudiantes piensan estudiar Finanzas?
b) Si el 30% de los admitidos piensan estudiar Contabilidad, ¿cuántos estudiantes piensan estudiar Contabilidad?
c) Si 27 estudiantes piensan estudiar estadística, ¿qué porciento del total admitidos piensan estudiar estadística?
d) Si 90 estudiantes piensan estudiar gerencia, ¿qué parte o fracción del total admitidos piensan estudiar gerencia?
18. El Sr. Ramos pagó un total de $10,562.50 por acciones de cierta compañía. Si cada acción le costó $84.50, ¿cuántas acciones compró?
19. Un televisor plasma con un precio original de $1200 se vende a un precio en especial de $780. ¿Cuál es el porciento de descuento?

2
3
partes del dinero que llevaba. Si
5
4 partes de lo que gastó lo gastó en ropa, ¿qué parte del dinero que llevaba lo gastó en ropa?

20. María fue a las tiendas y gastó

Respuestas
1. a) 10 estudiantes
1
e)
5
4
2. a) Gastó partes. 9
3. Aumentó un 33%
4. a) $42
b) $78
4
5. Guió partes. 15
9
6. partes. 40

b) 44%

b) $1,000

c) 8 estudiantes

d) 10 estudiantes

14
7. 20%
8. 299 clientes.
9. a) 160 acciones
10. a) 100 empleados
11. 1/10
12. $3,680
13. $450
14. $62.50
15. $180
16. 56.25%
17. a) 120 estudiantes
18. 125 acciones
19. 35%
20. 3/10

b) 128 acciones
b) 75 empleados

c) 72 acciones
c) ½

b) 162 estudiantes

c) 5%

d) 1/6

15

Operaciones con números con signo
1. Halle el valor de:

i) − 4 − 2

3 2
+
5 15
j) − 4 − (−2)

−1 −1
+
2
4
2 −7
g) +
3 8
k) 4 − (−3)

m) − 5 − (−9)

n) 5 − (−9)

o) − 7 − 7

p) − 7 − (−7)

s) − .83 − .6

t) − .79 − (−.3)

a) − 5 + −6

b) − 4 + −2

e) − 8 + 2

f) −

q)

−1 1
−
6 3

2. Halle el valor de:
a) (−3)(4)
b) (−3)(−4)
c) (5)(−2)
d) (−2)(3)(−6)
e) (−5)(−1)(−3)
f) 24 ÷ (−6)
g) (−36) ÷ (−9)
h) (−42) ÷ 7
i) − 6 + 4 − 3
k) 7 − (−3) − 12

r)

−3 1
−
5 10

c)

d) − 3 + 5
h) − .2 + .38
l) − 5 − 9

16
Respuestas
1.

a) –11
f) −

7
15

k) 7
p) 0

2.

b) –6

c) −

3
4

d) 2

e) –6

5
24
l) –14
1
q) −
2

h) .18

i) –6

j) –2

m) 4

n) 14

o) –14

s) –1.43

t) -.49

g) −

r) −

7
10

a) –12

b) 12

c) –10

d) 36

e) –15

f) –4

g) 4

h) –6

i) –5

j) –2

17

Exponentes
1. Halle el valor de:
a) 5 2
f) − 5 2

b) 2 3
g) (−5) −2

k) (−3) −3

l)

c) 3 4
h) 5 0

4
5 −2

m)

3 −2
2 −3

d) 5 −2
i) (−3) 3

e) (−5) 2
j) 3 −3

1
n) (− ) 3
2

1
o) ( ) − 2
3

2. Simplifique haciendo uso de las leyes de exponentes. Exprese el resultado con exponentes positivos.
66
5
3
4
−3
2
−5
−1
0
a) 6 × 6
b) 6 × 6
c) 6 × 6
d) 6 × 6
e) 2
6
−2
−3
5
−4
6
6
6
6
g) 3
h) − 2
i) 0
j) (6 2 ) 3
f) −1
6
6
6
6
−4
−3
3
6 ×6
6×6
k) 6 2 (6 2 ) −3 l)
m)
5
6
60
3. Simplifique haciendo uso de las leyes de exponentes. Exprese el resultado con exponentes positivos.
a) ( xy 2 )( x 3 y )
d)

x 2 y −2 x −1 y

b) ( x 2 y −4 )( x −5 y −1 )
e)

x −5 y 3 x −2 y 6

x 4
)
y3

g) xy ( x 2 y −1 ) 2

h) (

j) (3uv 6 ) 2

k) (−2 p 7 q −3 ) −3

m)

(−3ab 2 ) 3
(2a −1b − 4 ) − 2

n) (5 p 4 q −6 )(−4 p −2 q 3 )

c)

x3 y5 xy 2

f) ( x 4 y 5 ) 3
i) (

x −2 −3
)
y4

2a 4 − 2
)
3b −5
15m −2 n 0
o)
25m 2 n −1
l) (

18
Respuestas
1. a) 25
f) –25
k) –1/27

b) 8
g) 1/25
l) 100

c) 81
h) 1
m) 8/9

d) 1/25
i) –27
n) –8/27

e) 25
j) 1/27
o) 16

2. a) 6 8

b) 6

d)

1
6
1
i) 3
6

e) 6 4

g)

1
63
1
h) 2
6
1
m) 2
6

1
b) 3 5 x y

c) x y

x3
d) 3 y e)

x5
g)
y

x4
h) 12 y i) x 6 y 12

j) 9u 2 v12

9
l)
4a 8 b10

108a
m) − 2 b 20 p 2
n) − 3 q o)

1
65
1
l) 6
6

f) 6 6
k)

1
64

3. a) x y
4

f) x y
12

3

15

q9
k) − 21
8p

c)

2

3

j) 6 6

1 x y3
3

3n
5m 4

19

Orden de operaciones
Halle el valor de:
1) 3 − 5 • 2 3
2) (3 − 5)2 3
3) 24 ÷ 4 • 3 − 20
4) 24 ÷ (4 • 3) − 20
5) 60 − 20 ÷ 5 • 2 − 3 2
6) (60 − 20) ÷ (5 • 2) − 3 2
7) 10 − 3(5 − 8)

3
1
8) (1 − ) 2 − (− ) 3
4
2
9) 20 ÷ 4 − 3 • 2 2
10)

24 + 12 ÷ 3 • 5
(2 − 3) 3 • 4

1 2 1
− ( )
11) 2 5 4
3 9
÷
5 10

1 1 3
÷ −
12) 2 4 4
1
(1 − ) 3
2

20
Respuestas
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)

–37
–16
–2
–8
43
–5
19
3
8)
16
9) –7
10) –11
3
11)
5
12) 10

21

Notación Científica
1. Exprese en notación científica:
a) 345,000
b) .00489
e) 856.2
2. Halle el valor de:
a) 1.59 × 10 4

b) 3.245 × 10 −3

c) 1,245,600

d) .0000728

c) 1.87 × 10 −5

d) 7.486 × 10 6

3. Halle el valor. Exprese el resultado sin exponentes.
a) (6 × 10 3 )(5 × 10 2 )
b) (3.6 × 10 −1 )(9 × 10 −4 )
4.8 × 10 −5
c)
6 × 10 − 2
d)

32 × 10 4
8 × 10 − 2

4. Multiplique o divida convirtiendo primero a notación científica. Exprese el resultado sin exponentes.
24,000
a)
.003
b) (140,000)(.0007)
c)

.000348
4,000

d) (.0005)(.00012)
e)

(.00015)(3,000)
.00005

22
Respuestas
1. a) 3.45 × 10 5
e) 8.562 × 10 2

b) 4.89 × 10 −3

c) 1.2456 × 10 6

d) 7.28 × 10 −5

2. a) 15,900

b) .003245

c) .0000187

d) 7,486,000

3. a) 3,000,000

b) .000324

c) .0008

d) 4,000,000

4. a) 8,000,000
e) 9,000

b) 98

c) .000000087

d) .00000006

23

Evaluación y simplificación de expresiones algebraicas
1. Evalúe las siguientes expresiones algebraicas para los valores dados.
1
a) x 2 − 3x + 4 ; x = −4, x = , x = 5
2
3
2
b) y − y + 2 y − 3 ; y = −3, y = 4
c) − 2 p 3 q − p 2 q 2 + pq 4 ; p = −4, q = 3
d) v 5 w 2 + v 4 w 3 − v 2 w 4 − w 6 ; v = −2, w = −1
2. Simplifique las siguientes expresiones algebraicas.
a) 5 x 3 − 3 x 2 + 4 x − x 2 − 7 x + 2
b) 5 x 3 − 3 x 2 + 4 x − ( x 2 − 7 x + 2)
c) 4(2a + 3) − 3(5a + 2)
d) 2 y (4 y − 1) − y ( y 2 + 5 y + 3)
1
1
e) (3c − d ) − (c + 3d )
2
4
2
f) 3 pq ( p − pq + q 2 ) − p (2 pq 2 + p 2 q ) − 5 pq 3
g) 8 x − [3 x − 2(4 x − 5) + 6]
h) 6 − 3{4 y − [5 y + 2( y − 4) − 8] + 7}
i) 2v − 3{5 − 2[6v − 4(v + 1) − 5] + 2v} − 10
j) 8b − 2{3b 2 − b[4b + 5(b − 9) − b 2 ] − 6b 3 + b − 1}

24
Respuestas
1. a) 32,

11
, 14
4

2. a) 5 x 3 − 4 x 2 − 3x + 2
c) − 7 a + 6
e)

5
5
c− d
4
4

g) 13 x − 16
i) 8v − 79

b) –45, 53

c) –84

b) 5 x 3 − 4 x 2 + 11x − 2
d) − y 3 + 3 y 2 − 5 y
f) 2 p 3 q − 5 p 2 q 2 − 2 pq 3
h) 9 y − 63
j) 10b 3 + 12b 2 − 84b + 2

d) –53

25

Operaciones con polinomios
1. Sume o reste los siguientes polinomios.
(2 x 2 − 4 x) + (−5 x 2 − 3x + 2)
(5a 3 − 2a − 6) + (2a 4 − a 3 − 4)
(3 y 4 − y 3 + 2 y ) − (4 y 3 − 2 y − 5)
(2a 4 + a 3b 3 − 6a 2 b 5 ) − (4a 3 b 3 − a 2 b 5 + 3b 6 )
1
1
e) ( p 2 − p + 1) − ( p + 2)
3
2
a)
b)
c)
d)

2. Multiplique los siguientes polinomios.
a) 4 x 2 y (−5 xy 3 )
b) − 2 x( x 3 − x 2 + 7 x − 4)
c) 3ab(5a 2 − 2ab − b 3 )
d) ( x + 8)( x − 3)
e) ( y − 9)( y − 2)
f) (2 z − 5)(3 z + 4)
g) (4a + 3)(5a + 6)
h) (a − 7b)(−3a + 5b)

k) ( x 2 − 1)(3 x 2 − 6 x − 8)
l) ( y − 5)(( y 3 − 4 y 2 + y − 9)
m) (a 2 + 3a − 1)(2a 2 − a + 5)
n) (r 2 + rs − 3s 2 )(2r 2 − 3rs − s 2 )
o) ( x − 2)( x + 3)( x − 5)
p) (2 y + 1)( y − 4)( y + 2)

i) (m 2 + 1)(m 2 − m)
j) (n 3 − n)(n 2 + 3)
3. Halle los siguientes productos especiales. Trate de obtener el resultado mentalmente. a) ( x − 7)( x + 7)
b) ( x + 8)( x − 8)
c) (2 y − 5)(2 y + 5)
d) (4 y + 3)(4 y − 3)
e) (2b − 3c)(2b + 3c)
f) (3a 2 − 1)(3a 2 + 1)

g) ( y − 8) 2
h) (5m + 3) 2
i) (7 − 4n) 2
j) (5 p − 6q ) 2
k) (3s 2 + s ) 2
l) (4s 2 − 3t 3 ) 2

4. Lleve a cabo las siguientes operaciones y simplifique.
a) (2 x + 3)(3x − 2) + (4 x − 1)( x + 1)
b) ( y − 4)(5 y − 1) − (3 y + 2)(2 y − 5)
c) (5a − 4)(5a + 4) + (2a − 7) 2

26
d) 5a − 4(5a + 4) + (2a − 7) 2
e) (4b − 3) 2 − (6b + 1)(6b − 1)
f) (7d + 3)(2d + 5) − (5d − 3) 2
g) 2(3 p − 1)(3 p + 1) − 3( p − 3)(2 p + 5)
5. Divida.

50 x 4 − 25 x 3 + 15 x
5x
5
18 x y + 9 x 3 y 2 − 12 x 2 y 4
b)
6x 2 y
a)

c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)

12a 2 − 14a − 10
3a − 5
2
20b + 19b − 28
4b + 7
2
6c − 4c − 8
2c − 4
3
2d + 13d 2 + 9d − 6
2d + 3
3
4m − 6m − 9
2m − 4
3
n − 27 n−3 4 p + 2 p 2 − 20 p−2 Respuestas
1.

− 3x 2 − 7 x + 2
2a 4 + 4a 3 − 2a − 10
3y 4 − 5y3 + 4 y + 5
2a 4 − 3a 3 b 3 − 5a 2 b 5 − 3b 6
5
e) p 2 − p − 1
6
a)
b)
c)
d)

27
2.
a) − 20 x 3 y 4
b) − 2 x 4 + 2 x 3 − 14 x 2 + 8 x
c) 15a 3 b − 6a 2 b 2 − 3ab 4

e) y 2 − 11y + 18
f) 6 z 2 − 7 z − 20
g) 20a 2 + 39a + 18

d) x 2 + 5 x − 24
i) m 4 − m 3 + m 2 − m
j) n 5 + 2n 3 − 3n
k) 3x 4 − 6 x 3 − 11x 2 + 6 x + 8
l) y 4 − 9 y 3 + 21y 2 − 14 y + 45

h) − 3a 2 + 26ab − 35b 2
m) 2a 4 + 5a 3 + 16a − 5
n) 2r 4 − r 3 s − 10r 2 s 2 + 8rs 3 + 3s 4
o) x 3 − 4 x 2 − 11x + 30
p) 2 y 3 − 3 y 2 − 18 y − 8

a) x 2 − 49
b) x 2 − 64
c) 4 y 2 − 25
d) 16 y 2 − 9
e) 4b 2 − 9c 2
f) 9a 4 − 1

g) y 2 − 16 y + 64
h) 25m 2 + 30m + 9
I) 49 − 56n + 16n 2
j) 25 p 2 − 60 pq + 36q 2
k) 9s 4 + 6 s 3 + s 2
l) 16 s 4 − 24s 2t 3 + 9t 6

a) 10 x 2 + 8 x − 7
b) − y 2 − 10 y + 14
c) 29a 2 − 28a + 33

d) 4a 2 − 43a + 33
e) − 20b 2 − 24b + 10
f) − 11d 2 + 71d + 6
g) 12 p 2 + 3 p + 43

a) 10 x 3 − 5 x 2 + 3

f) d 2 + 5d − 3 +

3.

4.

5.

b) 3 x 3 +

3 xy − 2 y 3
2

g) 2m 2 + 4m + 5 +

11
2m − 4

h) n 2 + 3n + 9

c) 4a + 2
d) 5b − 4
e) 3c + 4 +

3
2d + 3

8
2c − 4

i) p 3 + 2 p 2 + 6 p + 12 +

4 p−2 28

Factorización de polinomios
1. Factorice removiendo el factor común máximo.
a) 4 x 8 − 12 x 6 + 8 x 4 − 20 x 2
b) − y 3 − 5 y 2 − 3 y
c) 10 p 5 q 2 − 5 p 4 q 3 + 15 pq 4
d) 12a 4 b 3 c + 6a 3 b 3 c 2 − 18a 2 b 4 c 5
e) − z − 2
f) z 2 − 5 z
2. Remueva todo factor común y simplifique.
a) ( x − 2)( x + 3) + ( x − 2)(2 x + 1)
b) ( x − 2)( x + 3) − ( x − 2)(2 x + 1)
c) 4 x(3x + 2) − 5(3x + 2)
d) ( y + 3) 2 + ( y + 3) 3
e) ( y + 3) 2 − ( y + 3) 3
f) 2 z ( z − 4) 2 − ( z − 4) 3
g) 2 z ( z − 4) 3 − ( z − 4) 2
h) 5a(2a + 1) − 10(2a + 1)
i) 10a 2 (2a + 1) + 5a (2a + 1)
j) 20b(b − 5) 2 − 5b 2 (b − 5)
k) 12b 5 (4b − 3) + 6b 3 (4b − 3) − 18b 2 (4b − 3)
l) 4c(5c + 1) 4 − 8c 2 (5c + 1) 3
m) ( x + 1) 3 ( y + 2) 3 + 2( x + 1) 4 ( y + 2) 2
3. Factorice por agrupación.
a) 15 x 2 − 12 xy + 10 xy − 8 y 2
b) y 3 + 4 y 2 + 5 y + 20
c) 4 p 3 + 4 pq + p 2 q + q 2
d) 4b 4 + 4b 3 − 3b − 3
e) 5a 3 + 10a 2 − 4a − 8
f) 3t 3 − 3ts − 4t 2 s + 4 s 2
g) 15u 4 − 10u 3 v − 3uv 2 + 2v 3
h) 3x 2 y 2 + 9 xyz − 2 xy 3 − 6 y 2 z
i) ab + 2a − b − 2

29
4. Factorice los siguientes trinomios. Cuando sea posible, remueva el factor común primero.
a) x 2 − 9 x + 14
b) x 2 − 5 x − 14
c) y 2 + 11y + 28
d) y 2 − 5 y − 36
e) z 2 + 3z − 18
f) u 2 − 14uv − 32v 2
g) u 2 + 5uv − 6v 2
h) a 4 + 19a 2 + 48
i) a 4 + 7a 2 − 30
j) 2a 2 + 4a − 30
k) 3 p 2 − 6 p − 24

l) p 3 − 7 p 2 + 12 p
m) q 3 − 8q 2 − 20q
n) 2q 2 − 5q − 12
o) 3t 2 + 2t − 8
p) 6t 2 − 7t − 20
q) 4c 2 + 9cd + 2d 2
r) 4c 2 − 8cd + 3d 2
s) 8n 2 − 26n + 15
t) 12n 2 − 7n − 12
u) 6d 2 + d − 22
v) 12m 2 + 14m − 6
w) 8m 3 − 11m 2 − 10m

5. Factorice los siguientes binomios. Cuando sea posible, remueva el factor común primero.
a) x 2 − 100
b) x 2 − 144
c) y 4 − 36
d) 9 y 6 − 25
e) u 4 − v 2
f) u 16 − v 36
g) 4 x 2 − 81 y 2
h) 9 p 2 − 4q 4

i) 3 y 2 − 75
j) z 3 − 9 z
k) 50 x 2 − 32 y 2
l) 16a 3 − 49ab 2
m) 12m 2 − 27n 2
n) 36 s 2 t 2 − t 6

6. Factorice los siguientes trinomios. Cuando sea posible, remueva el factor común primero.
a) x 2 + 14 x + 49
b) x 2 − 18 x + 81
c) 4 y 2 + 4 y + 1
d) 9 y 2 − 24 y + 16
e) 25 z 2 + 30 z + 9
f) 16a 2 − 8ab + b 2

g) 18 p 2 + 24 pq + 8q 2
h) 4m 4 + 12m 3 + 9m 2
i) s 4 − 2 s 2 t 2 + t 4
j) 4u 2 + 20u + 9
k) 9v 2 − 26v + 16
l) w 6 − 4w 3 + 4

30
7. Factorice los siguientes binomios. Cuando sea posible, remueva el factor común primero.
a)
b)
c)
d)
e)

x 3 − 64 y 3 + 125

8z 3 − 1
27a 3 + b 3
5 p 3 − 5q 3
f) 2m 4 − 128mn 3
g) 3a 6 + 24b 6

31
Respuestas ejercicios factorización
1.
a) 4 x 2 ( x 6 − 3 x 4 + 2 x 2 − 5)
b) − y ( y 2 + 5 y + 3)
c) 5 pq 2 (2 p 4 − p 3 q + 3q 2 )

2.

a) ( x − 2)(3x + 4)
b) ( x − 2)(− x + 2)
c) (3x + 2)(4 x − 5)
d) ( y + 3) 2 ( y + 4)
e) ( y + 3) 2 (− y − 2) = −( y + 2)( y + 3) 2
f) ( z − 4) 2 ( z + 4)
g) ( z − 4) 2 (2 z 2 − 8 z − 1)
h) 5(2a + 1)(a − 2)
i) 5a(2a + 1) 2
j) 5b(b − 5)(3b − 20)
k) 6b 2 (4b − 3)(2b 3 + b − 3)
l) 4c(5c + 1) 3 (3c + 1)
m) ( x + 1) 3 ( y + 2) 2 (2 x + y + 4)

3.

a) (5 x − 4 y )(3 x + 2 y )
b) ( y + 4)( y 2 + 5)
c) ( p 2 + q )(4 p + q)
d) (b + 1)(4b 3 − 3)
e) (a + 2)(5a 2 − 4)
f) (t 2 − s )(3t − 4s )
g) (3u − 2v)(5u 3 − v 2 )
h) ( xy + 3z )(3xy − 2 y 2 )
i) (b + 2)(a − 1)

d) 6a 2 b 3 c(2a 2 + ac − 3bc 4 )
e) − ( z + 2)
f) z ( z − 5)

32
4.

5.

a) ( x − 7)( x − 2)
b) ( x − 7)( x + 2)
c) ( y + 4)( y + 7)
d) ( y − 9)( y + 4)
e) ( z + 6)( z − 3)
f) (u − 16v)(u + 2v)
g) (u + 6v)(u − v)
h) (a 2 + 16)(a 2 + 3)
i) (a 2 + 10)(a 2 − 3)
j) 2(a + 5)(a − 3)
k) 3( p − 4)( p + 2)

l) p( p − 4)( p − 3)
m) q (q − 10)(q + 2)
n) (2q + 3)(q − 4)
o) (3t − 4)(t + 2)
p) (3t + 4)(2t − 5)
q) (4c + d )(c + 2d )
r) (2c − d )(2c − 3d )
s) (4n − 3)(2n − 5)
t) (4n + 3)(3n − 4)
u) (6d − 11)(d + 2)
v) 2(3m − 1)(2m + 3)
w) m(8m + 5)(m − 2)

a) ( x − 10)( x + 10)
b) ( x − 12)( x + 12)
c) ( y 2 − 6)( y 2 + 6)
d) (3 y 3 − 5)(3 y 3 + 5)
e) (u 2 − v)(u 2 + v)
f) (u 8 − v 18 )(u 8 + v18 )
g) (2 x − 9 y )(2 x + 9 y )

i) 3( y − 5)( y + 5)
j) z ( z − 3)( z + 3)
k) 2(5 x − 4 y )(5 x + 4 y )
l) a(4a − 7b)(4a + 7b)
m) 3(2m − 3n)(2m + 3n)
n) t 2 (6 s − t 2 )(6 s + t 2 )

h) (3 p − 2q 2 )(3 p + 2q 2 )
6.
a) ( x + 7) 2
b) ( x − 9) 2
c) (2 y + 1) 2
d) (3 y − 4) 2
e) (5 z + 3) 2
f) (4a − b) 2

g) 2(3 p + 2q) 2
h) m 2 (2m + 3) 2
i) ( s 2 − t 2 ) 2
j) (2u + 1)(2u + 9)
k) (9v − 8)(v − 2)
l) ( w 3 − 2) 2

a) ( x − 4)( x 2 + 4 x + 16)
b) ( y + 5)( y 2 − 5 y + 25)

f) 2m(m − 4n)(m 2 + 4mn + 16n 2 )
g) 3(a 2 + 2b 2 )(a 4 − 2a 2 b 2 + 4b 4 )

7.

c) (2 z − 1)(4 z 2 + 2 z + 1)
d) (3a + b)(9a 2 − 3ab + b 2 )
e) 5( p − q )( p 2 + pq + q 2 )

33

Factorización completa
Factorice completamente los siguientes polinomios:
1. 48 x 2 − 27
2. 9 y 3 + 12 y 2 + 4 y
3. 6ab + 3b − 4a − 2
4. 12d 3 + 14d 2 − 20d
5. x 2 (4 x + 5) − (4 x + 5) 2
6. 2 f 3 − 54
7. m 4 − 5m 2 − 36
8. 4(n 2 + 1) 3 − 20(n 2 + 1) 2
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.

12 p 3 + 27 p 2 − 27 p
5 p 2 q + 20 p 2 − 15q − 60

16r 2 − 80rs + 100s 2 u6 −1
12v 4 − 19v 3 + 4v 2
5z 2 − 4 z + 4
3( x + 1) 2 ( y − 2) + 6( x + 1)( y − 2) 2
12a 4 + a 2 b 2 − b 4
3 x 2 (2 x + 1) − (2 x + 1) 2

34
Respuestas
1.

3(4 x − 3)(4 x + 3)

2. y (3 y + 2) 2
3. (2a + 1)(3b − 2)
4. 2d (6d − 5)(d + 2)
5. (4 x + 5)( x − 5)( x + 1)
6. 2( f − 3)( f 2 + 3 f + 9)
7. (m − 3)(m + 3)(m 2 + 4)
8. 4(n − 2)(n + 2)(n 2 + 1) 2
9. 3 p (4 p − 3)( p + 3)
10. 5( p 2 − 3)(q + 4)
11. 4(2r − 5s ) 2
12. (u − 1)(u 2 + u + 1)(u + 1)(u 2 − u + 1)
13. v 2 (3v − 4)(4v − 1)
14. no es factorizable
15. 3( x + 1)( y − 2)( x + 2 y − 3)
16. (2a − b)(2a + b)(3a 2 + b 2 )
17. (2 x + 1)(3x + 1)( x − 1)

35

Operaciones con expresiones algebraicas fraccionales
1. Halle la(s) restricción(es) de las siguientes fracciones algebraicas.
a)
b)
c)
d)
e)

5x − 1 x+4 x +1
3x
4x
2x − 1 y −5 y2 −1
4y + 3
2
y − 2 y − 24

2. Reduzca (simplifique) las siguientes fracciones algebraicas.

x +1 x + x2
2x 2 − 7 x − 4
b)
2 x 2 + 5x + 2 y 3 − 7 y 2 + 10 y
c)
y3 − 2y2
a)

d)

3

6 y 2 − 14 y − 12
4 y 2 − 16 y + 12

a 2 − 2ab + b 2 ab − a 2
25 − z 2
f) 2 z − 2 z − 15
e)

3. Multiplique o divida. m3 − m 2
2m 2 + m − 6
•
m2 − m
3m 2 + 7m + 2
2r 2 + 5rs + 2s 2 3r 2 + 2rs − s 2
b)
•
3r 2 − 4rs + s 2 2r 2 + 3rs + s 2 t 2 − 6t + 9
3t
•
c)
2
9t
3t − t 2
a)

36 u3 u 2 + 3u
÷ 2 u 2 − 7u − 18 u − 6u − 27
2v 2 − 3v − 2
e) 2
÷ (2v 2 + 3v + 1) v − 5v + 6
12w 2 − 9w − 3 1 − w 2
÷
f) w 6w 3
d)

4. Halle el mínimo común denominador de las siguientes fracciones.
a)
b)
c)
d)
e)

7 5 x
, ,
2 x 3x 4 x 2
2y
3
, 2 y +1 y −1 z 2
, 2
2
z + 4 z z + 5z + 4
2a + 5
3a − 1
, 2
2
a + 2a + 1 a + a
4
3
,
b−3 b+2

5. Sume y/o reste. Simplifique el resultado cuando sea posible.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)

7 x − 4 2 x + 10
+
3x + 2 3x + 2
3x 2
2x + 8
− 2
2
x − 2x x − 2x x + 3 x −1
−
4x
2x 2
5
4
+
y +2 y −3
4
32
− 2 y − 4 y − 16 z z−4
+ 2
2z − 4 z − 2z z −1 z−7 + 2
2
z − 3z z − 9 a+5 a−3
−
a−4 a+2

37
Respuestas

1.
a) x ≠ −4
b) x ≠ 0
1
c) x ≠
2
d) y ≠ ±1
e) y ≠ −4, y ≠ 6
2.

1 x2 x−4
b)
x+2 y −5
c)
y
3y + 2
d)
2( y − 1) a − b − ( a − b)
e) −
=
a a z + 5 − ( z + 5)
f) −
=
z +3 z +3
a)

3.

m(2m − 3)
3m + 1 r + 2s
b)
r−s t − 3 − (t − 3)
c) − 2 =
3t
3t 2 u2 d) u+2 1
e)
(v − 3)(v + 1)
− (4w + 1)
4w + 1
=
f) −
2
2w ( w + 1) 2w 2 ( w + 1)
a)

38
4.
a) 12 x 2
b) y 2 − 1
c) z ( z + 1)( z + 4)
d) a(a + 1) 2
e) (b − 3)(b + 2)
5.
a) 3
3x + 4
b)
x
2
x +x+2
c)
4x 2
9y − 7
d)
( y + 2)( y − 3)
4
e) y+4 z+4
f)
2z
2z + 1
g)
z ( z + 3)
14a − 2
2(7 a − 1)
h)
=
(a + 2)(a − 4) (a + 2)(a − 4)

39

Ecuaciones lineales y ecuaciones literales
1. Resuelva las siguientes ecuaciones lineales.
a) x + 5 = −10
b) y − 8 = 3
c) 4a = −12
d) − 6b = 24

2 p = −4
3
1
f) − q = 7
5
e)

g) 3v + 6 = −9
h) 8 − 2 w = 14
i) 10 z − 6 = 4 z − 1
j) 9 − m = 4m + 3
2. Despeje por la variable indicada.
a) Ax + By + C = 0 ; y
b) 5 x − 2 y − 4 = 0 ; y
C − vr
c) D =
;N
N
C − vr
;C
d) D =
N
e) A = P + Pr t ; t y − y1
f) m = 2
; y2 x 2 − x1
1
g) A = h(b1 + b2 ) ; b2
2
c+d
h) B =
− e;c
2
x−μ
i) z =
;μ

σ

x
j) Y = (v + w) ; w
4

k) 2(n + 3) = 6 − (2n + 1)
l) 4(r − 5) − 2r = 2r − 8
1
2
m) s − 3 = s + 1
4
3
3
1 3 1
n) t + = t −
8
2 4
3
2x + 1 x − 3
o)
+
= x −1
3
4
3y − 5 y + 1 1
p)
−
= y −3
4
2
8
5z + 1 2 z − 7 1
q)
−
= ( z − 4)
2
6
3
4w − 5 w + 2
2
= w−
r)
−
3
9
3
s) 3 − [4v − 2(v + 3)] = 5v − 8
t) {7a + 2[a − (3a − 5)] + 1} = −6 + a

40
Respuestas
1. a) x = −15

b) y = 11

c) a = −3

f) q = −35

g) v = −5

h) w = −3

1
4

l) no sol.

m) s = −

k) n = −

p) y = −10

2. a) y = −

q) z = −

18
11

A
C
x−
B
B

5 x−2 2
C − vr
c) N =
D
d) C = DN + vr
A− P
e) t =
Pr
f) y 2 = m( x 2 − x1 ) + y1
2 A − b1 h
A
g) b2 = 2 − b1 = h h
h) c = 2 B + 2e − d
i) μ = x − zσ
4Y
4Y − xv
−v =
j) w = x x
b) y =

48
5
11
r) w =
2

d) b = −4
5
i) z =
6
20
n) t =
9
17
s) v =
7

e) p = −6
6
j) m =
5
o) x = 7
t) a = −

17
2

41

Solución de desigualdades lineales
Resuelva las siguientes desigualdades lineales. Exprese la solución en notación de intervalo.
1) 4 x ≥ 20
2) − 2 y < 12
3) 3 z − 4 ≤ −11
4) 8 − w > 10
5) 5a − 15 < 3a + 1
6) 3b + 9 ≤ 7b + 3
7) 3(c − 4) ≥ 4(c − 5)
8)

1
3 5
1
m+ > m−
2
4 8
4

9)

2n + 5 n + 1 n − 2
−
<
4
12
3

10)

5p − 4 2 p +1 5
−
≤ p +1
9
18
6

42
Respuestas
1) x ≥ 5 ; [5, ∞)
2) y > −6 ; (−6, ∞)
7
7
3) z ≤ − ; (−∞,− ]
3
3
4) w < −2 ; (−∞,−2)
5) a < 8 ; (−∞,8)
3 ⎡3
6) b ≥ ; ⎢ , ∞)
2 ⎣2
7) c ≤ 8 ; (−∞,8]
8) m < 8 ; (−∞,8)
9) n < −22 ; (−∞,−22)
27 ⎡ 27
10) p ≥ −
; − , ∞)
7 ⎢ 7
⎣

43

Ecuaciones y desigualdades con valor absoluto
1. Halle el conjunto solución para cada ecuación.
a) x = 12
b) x = −3
c) y + 3 = 10
d) 4 y − 5 = 2
e) 3 z + 4 = 0

1 z−6 = 4
2
g) 8 − 5 x = 7
f)

2a − 4
=6
5
3p + 7 1
i)
=
4
2
6q − 4
j)
+2=4
7
h)

2. Resuelva cada desigualdad. Exprese la solución en notación de intervalo.
a) x ≤ 8

i) w > 15

b) x + 3 < 4

j) u ≥ 4

c) x − 4 ≤ −1

k) 5 − 3u ≥ 8

d) 2 y − 6 < 10

l) 6v − 5 > 1

e) 4 y + 7 − 3 ≤ 1

m) v + 9 + 4 > 2

f) 8 − y + 5 < 2

n)

z −9 3
≤
2
2
h) 5w + 1 < 0
g)

v
+5 ≥9
3
4t + 3
o)
+2≥2
5
p) 7 − 2t > 0

44
Respuestas
1. a) {-12,12}
⎧3 7⎫
d) ⎨ , ⎬
⎩4 4⎭
⎧1 ⎫
g) ⎨ ,3⎬
⎩5 ⎭
⎧ 5 ⎫
j) ⎨− ,3⎬
⎩ 3 ⎭
2. a) [-8, 8]
b) (-7, 1)
c) ∅
d) (-2, 8)

⎡ 11 3 ⎤
e) ⎢− ,− ⎥
⎣ 4 4⎦
f) ∅
g) [6, 12]
h) ∅

b) ∅
⎧ 4⎫
e) ⎨− ⎬
⎩ 3⎭
h) {-13,17}

c) {-13,7}
f) {4.20}

5⎫
⎧
i) ⎨− 3,− ⎬
3⎭
⎩

i) (−∞,−15) ∪ (15, ∞)
j) (−∞,−4] ∪ [4, ∞)
13
k) (−∞,−1] ∪ [ , ∞)
3
2
l) (−∞, ) ∪ (1, ∞)
3
m) (−∞, ∞)
n) (−∞,−42] ∪ [12, ∞)
o) (−∞, ∞)
7
7
p) (−∞, ) ∪ ( , ∞)
2
2

45

Solución de ecuaciones cuadráticas y polinomiales por factorización
1. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas por factorización.
a) x 2 − 5 x = 0
b) 2 x 2 + 4 x = 0
c) y 2 = y
d) y 2 − y − 12 = 0
e) z 2 = 10 − 3z
f) 6a 2 − 11a = 10
g) 8b 2 = 14 − 9b

h) 12d 2 + 4d = 21 m2 i)
= m + 12
2
j) (2n + 3)(n − 1) = −2n + 17
k) (4 p + 5)(3 p + 4) = 2 p( p + 8) + 30
l) 3(q + 3)(q − 3) = (q − 3)(q + 4)
m) (2r − 1) 2 = 9
n) (4s + 5) 2 = 7 s 2 + 16s + 9

2. Resuelva las siguientes ecuaciones polinomiales por factorización.
a) x 3 + x 2 − 6 x = 0
b) 2 y 3 = 18 y
c) z 3 + 16 z = 8 z 2
d) a 4 − a 3 − 20a 2 = 0
e) 6b 4 + 22b 3 = 8b 2

46
Respuestas
1. a) x = 0, x = 5
b) x = −2, x = 0
c) y = 0, y = 1
d) y = −3, y = 4
e) z = −5, z = 2

2
5
f) a = − , a =
3
2
7
g) b = −2, b =
8
2. a) x = −3, x = 0, x = 2
b) y = 0, y = ± 3
c) z = 0, z = 4
d) a = −4, a = 0, a = 5
1
e) b = −4, b = 0, b =
3

3
7
h) d = − , d =
2
6
i) m = −4, m = 6
5
j) n = −4, n =
2
1
k) p = −2, p =
2
5
l) q = − , q = 3
2
m) r = −1, r = 2
n) s = −

4
3

47

Ecuaciones fraccionales
1. Resuelva las siguientes ecuaciones fraccionales. Indique claramente la solución o soluciones.

2 1
=
x 3
3
1
+
=2
4x 2x
8 3y −1
+
=3 y y −1
1
4
10
+
= 2 y + 5 y − 5 y − 25
5 4
5
− 2 = z z z −1 a a 2 + 16
4
−
= 2 a + 4 a − 4 a − 16
10
5
= 2
2
c − 25 c − 5c

a) 3 −
b)
c)
d)
e)
f)
g)

2. Despeje por la variable indicada.

ab
; c a+c ab x= ; a a+c 1 1 p= − ; q q r
1 1 1
= − ; n m n p
1
s = − 1; t tu a) x =
b)
c)
d)
e)

b − 3 2b − 3
=
b + 6 2b + 3
6
i) m − = 5 m 1
1
3
j) +
=
p p +1 2
3
2
=1
k) − q 2q − 1
1
1
2
l)
+ = 2 r −1 2 r −1 s 4
2
m)
−
= 2 s − 2 s − 1 s − 3s + 2 w 9
45
n)
+
= 2 w+3 w−2 w + w−6
h)

48
Respuestas

3
4
5
b) x =
8
4
c) y =
5

1. a) x =

d) y = −1

h) b =

3
4

i) m = −1, m = 6

2
j) p = − , p = 1
3
3
k) q = 1, q =
2

4
9
f) No hay solución

l) r = −3

g) No hay solución

n) w = −9

e) z =

ab − ax a (b − x)
=
x x cx a= b−x r q= pr + 1 mp n= m+ p
1
1 t= = su + u u ( s + 1)

2. a) c =
b)
c)
d)
e)

m) s = 3

49

Traducción de frases y problemas verbales de números
1. Traduzca cada frase a una expresión algebraica:
a) Doce más que un número.
b) Un número disminuído en ocho.
c) El producto de tres y un número.
d) Veinte dividido entre un número.
e) Siete menos que el doble de un número.
f) El doble de un número, restado de siete.
g) El triple de un número, aumentado en seis.
h) El triple de la suma de un número y seis.
i) Diez veces la resta de un número y cuatro.
j) El cociente de quince y la suma de un número y cinco.
k) La suma del doble de un número y nueve.
l) La diferencia de cuatro veces un número y dieciocho.
m) Uno menos que la mitad de un número.
n) La mitad de un número, disminuído en tres.
o) Una cuarta parte de la diferencia de un número y tres.
p) El cuadrado de un número, restado del opuesto del número.
q) El producto de cinco y el cubo de un número.
r) Seis veces la suma de un número y cuatro, dividido entre once.
s) Treinta menos que el quince porciento de un número.
t) Doce veces el cociente de siete y un número.
2. Haga uso de una ecuación lineal para resolver los siguientes ejercicios.
Indique lo que representa su variable y conteste lo que se pregunta.
a) La suma de doce y tres veces un número es 36. ¿Cuál es el número? b) Cuatro veces un número, restado de diez es igual al número disminuído en veinte. ¿Cuál es el número?
c) Cinco veces la diferencia de un número y seis es nueve menos que el doble del número. ¿Cuál es el número?
d) Una cuarta parte de la suma de un número y seis es igual a la mitad del número, menos ocho. ¿Cuál es el número?
e) Halle dos números tal que el segundo es diez menos que el primero y la suma de ambos es 62.

50
f) Halle dos números tal que el segundo es el triple del primero y la mitad del segundo es cinco menos que el primero.
g) La suma de tres números enteros consecutivos es 186. ¿Cuáles son los números?
h) Halle dos números enteros impares consecutivos tal que el triple del primero, más el segundo es igual a 78.
i) Halle tres números enteros pares consecutivos tal que la suma del primero y el doble del segundo es igual a cuatro veces el tercero.
j) Halle tres números enteros consecutivos tal que cuatro veces el tercero, menos el segundo es igual al primero aumentado en 25.
k) Halle tres números enteros impares consecutivos tal que la suma del primero y el doble del tercero es veinte más que el segundo.

51
Respuestas

1. a) x + 12

20 x b) x − 8

c) 3 x

d)

f) 7 − 2 x

g) 3 x + 6

h) 3( x + 6)

i) 10( x − 4)

k) 2 x + 9

l) 4 x − 18

m)

p) − x − x 2

q) 5x 3

2. a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)

1 x −1
2
6( x + 4)
r)
11

n)

1 x−3 2

s) .15 x − 30

El número es ocho.
El número seis.
El número es siete.
El número es 38.
El primer número es 36 y el segundo 26.
El primer número es –10 y el segundo es –30.
Los números son 61, 62 y 63.
Los números son 19 y 21.
Los números son –12, -10 y –8.
Los números son 9, 10 y 11.
Los números son 7, 9 y 11.

e) 2 x − 7

15 x+5 1
o) ( x − 3)
4
7
t) 12( ) x j)

52

Problemas verbales
Haga uso de una ecuación lineal para resolver los siguientes ejercicios. Indique lo que representa su variable y conteste lo que se pregunta. NO TANTEE.
1. Entre Carlos y Ana compraron un total de 500 acciones de cierta compañía. Si Ana compró 100 acciones menos que el doble de las que compró Carlos, ¿cuántas acciones compró cada uno?
2. Sara y Karla gastaron un total de $300 en ropa. Si Karla gastó $30 más que la mitad de lo que gastó Sara, ¿cuánto gastó cada una?
3. Luis, Ángel y Pedro se postularon para presidente de su clase y en la votación se emitieron un total de 160 votos. Si Luis recibió 1/3 parte de los votos que recibió Pedro y Ángel recibió 20 votos más que Pedro,
¿cuántos votos recibió cada uno?
4. Maribel y Frances vendieron boletos para un baile de su escuela. Frances vendió 10 boletos menos que 3/5 partes de los que vendió Maribel. Si
Frances vendió un total de 50 boletos, ¿cuántos boletos vendió Maribel?
5. Entre Manuel, Jaime y Sonia tienen ahorrados un total de $2,000. Si
Manuel tiene ahorrados $100 más que la mitad de lo que tiene Jaime y
Sonia tiene ahorrados el doble de lo que tiene Manuel, ¿cuánto dinero tiene ahorrado cada uno?
6. El precio de un pantalón tiene un 35% de descuento. Si usted pagó
$58.50 por el pantalón, luego del descuento, ¿cuál era el precio original del pantalón?
7. Las ventas anuales de cierta compañía han aumentado un 20% desde el año pasado. Si en el año presente la compañía ha tenido ventas de
$300,000, ¿cuáles fueron sus ventas el año pasado?
8. El 40% de los empleados de cierta compañía tienen un grado de maestría en su area de especialidad. Si hay un total de 128 empleados con grado de maestría, ¿cuántos empleados tiene la compañía?
9. El precio de una libra de pan ha aumentado un 25% en los últimos 6 meses. Si en el presente la libra de pan se vende $1.75, ¿a qué precio se vendía hace seis meses?
10. Juan vendió su libro de estadística en un 60% de lo que había pagado por él. Si lo vendió en $57, ¿cuánto pagó originalmente por el libro?

53
11. Mercedes fue al supermercado y gastó un total de $32.50 en una botella de vino y en un queso. Si el queso le costó el 30% de lo que le costó el vino, ¿cuánto pagó por cada artículo?
12. Enrique y Ricardo invertieron un total de $7,875 en sus cuentas de retiro.
Si Ricardo invertió un 25% más que Enrique, ¿qué cantidad invirtió cada uno en su cuenta de retiro?
13. Marta paga mensualmente $960 en la hipoteca de su residencia. Si esta cantidad es el 30% de su salario mensual, ¿cuál es su salario mensual?
14. Antonio obtuvo notas de 88, 79 y 70 en los tres exámenes parciales de su curso de contabilidad. ¿Qué nota debe sacar en el examen final para terminar el curso con un promedio de 80?
15. Si en el ejercicio anterior el examen final tuviera un valor de dos notas,
¿qué nota debe sacar Antonio en el final para obtener un promedio de 80 en el curso?
16. Gustavo compró 3 discos compactos y gastó un promedio de $12 en cada uno. Si pagó $11 y $16 por los primeros dos, ¿cuánto pagó por el tercero?
17. A una compañía le cuesta $30 fabricar cada unidad de su producto. Si además tiene unos costos fijos mensuales de $5,000 ¿cuántas unidades podrán fabricar con un presupuesto mensual de $20,000?
18. En un lote de estacionamientos cobran $1.25 por la primera hora y $0.75 por cada hora adicional. Si usted paga un total de $5.00, ¿cuántas horas estuvo estacionado?
19. Un técnico de computadoras cobra $25 por visita más $15 por hora de servicio. Si cobró un total de $77.50 por una servicio, ¿cuántas horas trabajó? 20. Por cada dos refrescos carbonatados se vende uno de frutas. Si los refrescos carbonatados se venden a $0.60 y los de fruta a $0.75, ¿cuántos refrescos se vendieron de cada clase si se obtienen $146.25 por la venta?
21. Carmen compró un total de 25 calendarios. Por unos pagó $5 y por el resto pagó $6. Si gastó un total de $139 por los calendarios, ¿cuántos calendarios de cada precio compró?

54
22. Las taquillas de palco para un concierto se venden a $50 y las de entrada general a $20. Si se venden un total de 500 taquillas y se recaudan
$14,500, ¿cuántas taquillas de palco y de entrada general se vendieron?
23. Alberto compró tres tipos de peces de colores para su pecera. Compró unos rojos a $3.00, el doble de esa cantidad en amarillos a $2.50 y quince más que en los rojos en peces multicolores a $4.00. ¿Cuántos peces compró de cada color si gastó un total de $180 en los peces?
24. Se invierten $3,500 al 4% de interés simple anual. ¿Cuál es el monto de la inversión al cabo de 4 años? ¿Cuánto se recibió en intereses?
25. Si se invierten $7,200 al 3 ¼% de interés simple anual, ¿cuál es el monto de la inversión al cabo de 18 meses?
26. Mariana hizo un préstamo al 7% de interés simple anual. Si al cabo de un año tuvo que pagar $2,568, entre principal e interés, ¿cuánto pidió prestado? 27. Sandra hizo un préstamo al 8% de interés simple anual. Si al cabo de dos años tuvo que pagar $500 en intereses, ¿cuánto pidió prestado?
28. Manolo invirtió $2,500 y al cabo de tres años recibió $ 375 en intereses.
¿a qué tasa de interés simple anual invirtió?
29. Si se invierten $4,250 al 6% de interés simple anual, ¿al cabo de cuánto tiempo se tendrán acumulados $4,887.50, entre principal e interés?
30. Si se toman prestados $1,500 y al cabo de cuatro años se salda el préstamo con un pago de $1,890, ¿a qué tasa de interés simple anual se hizo el préstamo?
Respuestas
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.

Carlos compró 200 acciones y Ana 300.
Sara gastó $180 y Karla $120.
Pedro recibió 60 votos, Luis 20 y Ángel 80 votos.
Maribel vendió 100 boletos.
Jaime tiene $680, Manuel tiene $440 y Sonia $880.
El precio original era de $90.
Las ventas fueron de $250,000.
La compañía tiene 320 empleados.
Se vendía a $1.40.

55
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.

Pagó $95.
Pagó $25 por el vino y $7.50 por el queso.
Enrique invirtió $3,500 y Ricardo $4,375.
Su salario mensual es $3,200.
Debe sacar 83 en el examen final.
Debe sacar 81.5 en el examen final.
Pagó $9.
Pueden fabricar 500 unidades.
Estuvo 5 horas estacionado.
Trabajó 3.5 horas.
Se vendieron 150 refrescos carbonatados y 75 de frutas.
Compró 11 calendarios a $5 y 14 calendarios a $6.
Se vendieron 150 taquillas de palco y 350 de entrada general.
Compró 10 rojos, 20 amarillos y 25 multicolor.
El monto es de $4,060 y los intereses de $560.
El monto es de $7,551.
Pidió prestados $2,400.
Pidió prestados $3,125.
Al 5% de interés simple anual.
Al cabo de 2.5 años.
A una tasa del 6 ½% anual.

56

Operaciones con radicales
1. Halle el valor de:
a)
f)

36
3

b)

1
27

g) − 4

k) − 3 − 64

c)

100
1
16

16
49

l)

1
4

h)

− 16

i)

625

n)

m)

4

9
25

d) −

−8

3

j) − − 81

0
− 625

4

e)

o) ± 121

2. Halle las siguientes raíces. Asuma que todas las variables representan números no negativos. d2 a)
f)

3

b)

n6

b4

g)

a4

4

c)

c6

h)

d)

y 20

i)

5

r 12 x 18

6

e)
j)

3

m3

z 16

4

3. Exprese en forma radical.
1

1

1

2

3

a) 5 2

b) 7 3

c) 9 4

d) 6 3

e) 8 5

f) 3x

1
2

g) (2 y )

1
5

3
4

h) (4 z )

i) 6w

2
3

j) 7x

3
2

4. Exprese en forma exponencial.
a)

3

b)

3

2

c)

f)

5z

g)

3

4t

h) 6 p

5

d)

4

4

e)

x3

i) 5 3 x 2

j)

7
5

y2 yz 5. Halle el valor de:
1

1

1

2

3

a) (16) 2

b) (−27) 3

c) (32) 5

d) 8 3

e) 9 2

f) (64)

2
3

g) (16)

3
4

h) (25)

3
2

i) (−8)

5
3

j) (−1)

7
5

6. Simplifique. Asuma que las variables asumen valores ≥ 0 .
a)

50

b)

45

c)

48

f)

108x 4

g)

76 y 3

h)

x16 y 25

d)
i)

x5

e)

y 11

8 p 7 q 15

j)

96 p 9 q 36

57
7. Sume o reste.
a)
b)
c)
d)

8 3+2 3
3 x −4 x
12 + 48 + 4
4 32 − 5 72

e) 2 75 y 3 + 3 12 y 3

20 + 45 − 125
g) 24 − 150 + 6

f)

h) 3 24a 3 b 2 − 4a 96ab 2 + ab 6a
i) 2 50 x 2 y − 3x 72 y + 4 32 x 2 y
8. Multiplique y simplifique cuando sea posible.
a)

3⋅ 7

i)

2 (4 − 2 )

b)

2⋅ 8

j)

5 ( 8 + 10 )

c)

5 ⋅ 10

k)

7 ( 8 − 2 14 )

d)

8⋅ x

l) 5 2 ( 2 + 3 24 )

e)

y ⋅ y3

f) 4 3 ⋅ 2 15
g)

p5q ⋅ p 3q 4

h) 5 8 z 7 ⋅ 3 5 z 3
9. Divida y simplifique cuando sea posible.
a)
b)

32
2
72
8

c)

25
49

d)

24 x 5

e)

8y9
32 y

6x3

58
10. Racionalice los denominadores para simplificar.
a)
b)
c)
d)
e)

3
2
4
7
5
8
3
6
7
2

f)
g)
h)

5 x x y p q3 i)

a b5 j)

m6 n9 59

Respuestas operaciones con radicales
1. a) 6
f) 1/3
k) 4

b) 10
g) - ½
l) 4/7

c) ½
h) no def.
m) 5

d) –3/5
i) 0
n) no def.

e) –2
j) no def.
o) ± 11

2. a) d
f) n 2

b) b 2
g) a

c) c 3
h) y 4

d) r 6
i) x 3

e) m
j) z 4

3. a) 5

b)

3

7

c)

4

9

d)

g)

5

2y

h)

4

(4 z ) 3

i) 6

f) 3 x

3

62
3

w2

e)

5

83

j) 7 x 3

1

1

1

3

2

4. a) 3 2

b) 2 3

c) 4 5

d) x 4

e) y 7

1

1

1

2

1

f) (5 z ) 2

g) (4t ) 3

h) 6 p 2

i) 5x 3

j) ( yz ) 5

5. a) 4
f) 16

b) –3
g) 8

c) 2
h) 125

d) 4
i) –32

e) 27
j) –1

6. a) 5 2

b) 3 5

c) 4 3

d) x 2 x

e) y 5 y

g) 2 y 19 y

h) x 8 y 12 y

i) 2 p 3 q 7 2 pq

j) 4 p 4 q 18 6 p

b) - x

c) 6 3 + 2

d) − 14 2

e) 16 y 3 y

g) − 2 6

h) − 9ab 6a

i) 8 x 2 y

b) 4

c) 5 2

d) 2 2 x

e) y 2

g) p 4 q 2 q

h) 30 z 5 10

i) 4 2 − 2

j) 2 10 + 5 2

f) 6 x 2 3
7. a) 10 3
f) 0
8. a)

21

f) 24 5

k) 2 14 − 14 2
9. a) 4
b) 3
5
c)
7
d) 2 x y4 1
e) y 4 =
2
2

l) 10 + 60 3

60

10. a)

3 2
2

b)

4 7
7

c)

10
4

2
2
14
e)
2
d)

5 x x xy
g)
y
f)

h)

pq q2 ab b3 m3 n
j)
n5
i)

61

Ecuaciones cuadráticas
1. Resuelva las siguientes ecuaciones haciendo uso de la propiedad de la raíz cuadrada.
a) x 2 = 81
f) (c − 3) 2 = 12
b) y 2 − 64 = 0
g) (3 p − 1) 2 = 45
c) z 2 + 4 = 12
h) (2q + 5) 2 = 48
1
d) 3a 2 − 15 = 60
i) (r + 1) 2 =
4
9
e) (b + 2) 2 = 18
j) (t − 4) 2 =
16
2. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas haciendo uso de la fórmula cuadrática. Si no hay soluciones reales indíquelo.
a) x 2 + 3x − 1 = 0
b) x 2 + 5 x = 2
c) t 2 − 6t = 4
d) 2 y 2 = 5 y − 1
e) 2 y 2 − 3 y = 20
f) 3z 2 + 2 z = −3
g) 6t 2 = 2t + 1
h) 5a 2 − 3a = −10

62
Respuestas
1. a) x = ±9
b) y = ±8
c) z = ±2 2
d) a = ±5
e) b = −2 ± 3 2

f) c = 3 ± 2 3

1± 3 5
3
−5± 4 3
h) q =
2
1 3
i) r = − ,−
2 2
13 19
j) t = ,
4 4
g) p =

− 3 ± 13
2
− 5 ± 33
b) x =
2

5
e) y = − , 4
2

c) t = 3 ± 13

g) t =

2. a) x =

d) y =

5 ± 17
4

f) No hay sols. reales

1± 7
6

h) No hay sols. reales

63

Ecuaciones irracionales
Resuelva las siguientes ecuaciones irracionales. Si no hay solución indíquelo.
1)

x+3 = 6

2)

2x − 8 = 4

3)

3x + 5 = 2

4)

4 y − 1 = −3

5) y = 2 y + 8
6) z = 3z + 18
7) z + 1 = 5 z + 1
8) z − 5 = z + 1

64
Respuestas
1) x = 33
2) x = 12
1
3) x = −
3
4) No hay solución
5) y = 4
6) z = 6
7) z = 0, z = 3
8) z = 8

65

Localización de puntos en el plano cartesiano
1. Localice los siguientes puntos en el plano.
(2, 3), (0, 4), (-1, 5), (-3, 0), (-4, -2), (3, -5)

2. Dé las coordenadas de los siguientes puntos.

66

3. Localice los siguientes puntos en el plano cartesiano.
1 3
3 5
4 9
7 5
A ( , ) , B ( ,− ) , C ( − , ) , D ( − ,− )
2 4
2 4
5 4
4 2

Respuestas
1.

67
2. A(-4, 5), B(-5, 0), C(-2, -1), D(0, 3), E(2, - 4), F(3, 2)
3.

68

Gráficas de ecuaciones lineales
1. Si y = x + 3 , llene la siguiente tabla de valores:

x -2 -1 0 1 2 y 2. Si y = 2 x − 1, llene la siguiente tabla de valores: x -2 -1 0 1 2 y 3. Trace la gráfica del ejercicio 1.

69
4. Trace la gráfica del ejercicio 2.

5. Halle los interceptos en los ejes de las siguientes ecuaciones:

y = x−2 y = x+5 y = 3− x y = 2x − 6
1
e) y = x − 4
2
f) 3x + 4 y = 2
g) 5 x − 2 y = 4
a)
b)
c)
d)

6. Trace las gráficas de las ecuaciones del ejercicio 5, haciendo uso de los interceptos. 7. Trace las gráficas de las siguientes ecuaciones:
a)
b)
c)
d)

y=5 y = −4 x = −3 x=6 70
8. Conteste a base de la siguiente gráfica:

a)
b)
c)
d)

¿Cuál es el intercepto en el eje de y?
¿Cuál es el intercepto en el eje de x?
Halle la abcisa para la cual la ordenada es 6.
Halle la ordenada para la cual la abcisa es -3.

Respuestas
1.
x -2 -1 0 1 2 y 1 2 3 4 5
2.
X -2 -1 0 1 2
Y -5 -3 -1 1 3

71
3.

4.

5.
a)
b)
c)
d)

Int.
Int.
Int.
Int.

en en en en Y
Y
Y
Y

(0,
(0,
(0,
(0,

-2); Int. en X (2, 0)
5); Int. en X (-5, 0)
3); Int. en X (3, 0)
-6); Int. en X (3, 0)

72
e) Int. en Y (0, -4); Int. en X (8, 0)
f) Int. en Y (0, ½); Int. en X (2/3, 0)
g) Int. en Y (0, -2); Int. en X (4/5, 0)
6.

a)

b)

73

c)

d)

74

e)

f)

75

g)

7.

a)

76

b)

c)

77

d)

8.
a) (0, 4)
b) (-2, 0)
c) x = 1
d) y = -2