06/03/2014

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ESTE
EL

ES UN CURSO SIN SESGOS IDEOLÓGICOS : ES UN CURSO CIENTÍFICO

OBJETIVO DE ESTE CURSO ES PRESENTAR UNA VISIÓN INTRODUCTORIA DE UNA ECONOMÍA DE MERCADO DESDE LA PERSPECTIVA TEORÍA NEOCLÁSICA, ADVIRTIENDO QUE PRESENTAR UNA TEORÍA NO QUIERE DECIR QUE SE APRUEBA. EL CONTRARIO, EL OBJETIVO BUSCADO, EN NUESTRO CASO, ES PERMITIR AL ESTUDIANTE EJERCER SU ESPÍRITU CRÍTICO, CON CONOCIMIENTO DE CAUSA. SIN NINGÚN SESGO IDEOLÓGICO.
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POR

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EN
I)

ESTE CURSO NOS APROXIMAREMOS A UNA ECONOMÍA DE MERCADO, DE LA SIGUIENTE FORMA:

EN

PRIMER LUGAR, ENTENDIENDO EL COMPORTAMIENTO DE LOS HOGARES (CONSUMIDORES) Y LAS EMPRESAS (FIRMAS) EN UN AMBIENTE DE “COMPETENCIA PERFECTA” (O “LIBRE CONCURRENCIA” COMO TAMBIÉN SE LE CONOCE).

II) EN SEGUNDO LUGAR, ESTUDIANDO LA NOCIÓN DE
EQUILIBRIO PARCIAL DE MERCADO Y SU EFICIENCIA.

III) FINALMENTE, ESTUDIANDO LAS “FALLAS DE MERCADO”

(ES DECIR, CUANDO EL EQUILIBRIO PARCIAL YA NO ES EFICIENTE) DENTRO DE DIFERENTES ESTRUCTURAS DE MERCADO TALES COMO EL MONOPOLIO, EL OLIGOPOLIO Y LA COMPETENCIA MONOPOLÍSTICA.

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LA

TEORÍA NEOCLÁSICA DEL EQUILIBRIO PARCIAL AFIRMA QUE CUALQUIER SITUACIÓN ECONÓMICA DE UN MERCADO PARTICULAR, PUEDE ENTENDERSE MEDIANTE ESTA METODOLOGÍA QUE ACABAMOS DE DESCRIBIR BREVEMENTE

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EL CURSO DE MICROECONOMÍA I

CONSISTE, PRECISAMENTE, EN TRATAR DE CONSTRUIR UN SISTEMA DE REFERENCIA (SISTEMA BAJO EQUILIBRIO PARCIAL) QUE NOS PERMITA ESTUDIAR LA ECONOMÍA DE MERCADO A PARTIR DEL COMPORTAMIENTO INDIVIDUAL DE LOS AGENTES.

ESTO, EN PRINCIPIO, SE DIFERENCIA DEL
INTENTO DE LA MACROECONOMÍA I , QUE BUSCA EL MISMO OBJETIVO, PERO MEDIANTE VARIABLES AGREGADAS A PRIORI.
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METODOLOGÍA DEL CURSO
Se dictarán dos clases presenciales semanalmente: 1. La clase magistral del martes dictada (en diapositivas) por el profesor titular de la materia. 2. Las clases de taller del miércoles (grupo 03) , del jueves (grupo 01) y del viernes (grupo 02), cada una con su correspondiente profesor auxiliar. Los ejercicios realizados por el profesor auxiliar en el taller serán previamente asignados por el profesor titular.
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PROFESORES AUXILIARES Y MONITORES
Grupo 01 (Ma-Jue): Julián Villamil Grupo 02 (Ma-Vie): Paula Castañeda Grupo 03 (Ma-Mie): Mercy Arias Monitores: María del Mar Cantero, Sebastián Higuera, Christian Martínez

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PROGRAMA DEL CURSO
CLASE MAGISTRAL #0: SOBRE LA ECONOMÍA NEOCLÁSICA, SUS MÉTODOS Y OBJETIVOS. CLASE MAGISTRAL #1: PRINCIPIOS DE LA TEORÍA DE LA UTILIDAD Y MAXIMIZACIÓN DE LA UTILIDAD. CLASE MAGISTRAL #2: MINIMIZACIÓN DEL GASTO. CLASE MAGISTRAL #3: TIPOS DE MERCANCÍAS Y EL CONCEPTO DE ELASTICIDAD. CLASE MAGISTRAL #4: EFECTO INGRESO Y EFECTO SUSTITUCIÓN.
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CLASE MAGISTRAL #5: PRINCIPIOS DE LA TEORÍA DE LA PRODUCCIÓN Y MAXIMIZACIÓN DEL BENEFICIO. CLASE MAGISTRAL #6: MINIMIZACIÓN DE COSTOS EN EL LARGO PLAZO. CLASE MAGISTRAL #7: MINIMIZACIÓN DE COSTOS EN EL CORTO PLAZO. CLASE MAGISTRAL #8:

EQUILIBRIO PAR-

CIAL COMPETITIVO.

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CLASE MAGISTRAL #9: ÓPTIMOS DE

Y LA NOCIÓN DE FALLA DE MERCADO.

PARETO

CLASE MAGISTRAL NOPSONIO.

#10: MONOPOLIO Y MOCOM-

CLASE MAGISTRAL #11: OLIGOPOLIO Y PETENCIA MONOPOLÍSTICA.

CLASE MAGISTRAL #12: BIENES PÚBLICOS Y EXTERNALIDADES (OPCIONAL).

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TEXTO GUÍA
“APUNTES NO-IDEOLÓGICOS PARA UN PRIMER CURSO DE MICROECONOMÍA ” VOLUMEN I: EQUILIBRIO PARCIAL
Sergio Monsalve (con la colaboración de Erick Céspedes) Segunda versión preliminar, 2014 [Pueden encontrarlo por capítulos en la fotocopiadora de Edgar]
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BIBLIOGRAFÍA ADICIONAL A LA ENTREGADA EN EL PROGRAMA DEL CURSO
1.

Guerrien, Bernard & Sophie Allais (2009), “Microeconomía: Una Presentación Crítica”. Maia Ediciones.

2. Krugman, Paul & Robin Wells (2006),“Introducción Microeconomía”. Editorial Reverté.

a

la

3. Marshall, Alfred (1898), “Principles of Economics”, Fourth Edition, London, MacMillan.

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4.

Nicholson, Walter (2005), “Teoría Microeconómica”. Editorial Thomson.

5. Stiglitz, Joseph (1994), “Principios de Microeconomía”. Editorial Ariel.

6. Artículos que serán “colgados” oportunamente en la plataforma Elearning-Claroline de la FCE. 7. Material de ayuda: Parciales y talleres resueltos de semestres anteriores, que serán también colocados en

Claroline.
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PRERREQUISITO
SUGERIDO POR LA ESCUELA DE ECONOMÍA

HABER APROBADO EL
CURSO DE CÁLCULO DIFERENCIAL
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EVALUACIÓN
1.

Se realizarán tres parciales conjuntos (25% cada uno) en las clases de los martes. El primer parcial evaluará desde la clase magistral #0 hasta la #4; el segundo parcial evaluará desde la clase magistral #5 hasta la clase magistral #8; y el tercer parcial evaluará desde la clase magistral #9 hasta la #11. Los tres parciales tendrán la modalidad de test (selección múltiple). Una nota de talleres (25%) (tres talleres). Estos se realizarán en equipos de, máximo, cuatro estudiantes del mismo grupo.
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2.

CORREO ELECTRÓNICO: smonsalveg@unal.edu.co

OFICINA: EDIFICIO 311, CUARTO PISO, 5B.
HORAS DE OFICINA: MARTES DE 9 am a 11 am; O SOLICITAR CITA POR CORREO ELECTRÓNICO
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Sugerencias generales para el curso de Micro I
1. Hacerme preguntas en la clase magistral. 2. Escribirme al correo para preguntas y comentarios. 3. Ir a la oficina en mi horario de atención a estudiantes, o pedirme cita por correo electrónico. 4. Asistir a las clases (en tablero) con los profesores auxiliares que consideren conveniente. Ellos presentan el mismo material, consistente en ejercicios y tareas previamente asignados por el profesor titular.
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5. Asistir a las monitorías (se avisarán próximamente los horarios).

6. Leer con antelación la clase magistral en diapositivas que les envío a su correo electrónico oficial.

7. Traer las diapositivas (impresas o en su computador personal) a la clase magistral y sobre ella hacer las anotaciones que consideren pertinentes.

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CLASE MAGISTRAL # 0
BÁSICAS DE LA MICROECONOMÍA NEOCLÁSICA: SU ORIGEN, SUS OBJETIVOS Y SUS MÉTODOS

NOCIONES

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¿QUÉ ES “ECONOMÍA NEOCLÁSICA”?

ES

LA TEORÍA ECONÓMICA QUE SE BASA EN EL PRINCIPIO EPISTEMOLÓGICO DE QUE:

LA ECONOMÍA ES UNA CIENCIA
NATURAL

CON LA MISMA CATEGORÍA DE LA FÍSICA Y DE LA BIOLOGÍA DE LOS SIGLOS XVII, XVIII y XIX .
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PARA HACER DE LA ECONOMÍA POLÍTICA
UNA TEORÍA VERDADERAMENTE CIENTÍFICA (EN EL SENTIDO POSITIVISTA DEL TÉRMINO) SE SUSTRAJO DE ELLA, LA SOCIEDAD, LA POLÍTICA Y LA HISTORIA.

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POR
i)

LO TANTO , LA DEBEN REGIR LOS MISMOS PRINCIPIOS: Los sistemas están conformados por partículas.

ii) Estas partículas se rigen por fuerzas emanadas del

Principio de Mínima Acción (o similar) que afirma que:

“ La naturaleza es económica en todas sus acciones"
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iii) Las partículas se estabilizan alrededor de ciertos estados de equilibrio del sistema. iv) La metodología de investigación consiste en, inicialmente, estudiar el sistema “sin rozamientos”, para después incorporar éstos, uno a uno, y así asimilar el funcionamiento del sistema económico completo.

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Esta adaptación se llevó a cabo, fundamentalmente, durante la segunda mitad del siglo XIX. Es decir,

La economía neoclásica se fundó durante la segunda mitad del siglo XIX y se desarrolló durante el siglo XX.

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Y la motivación principal para su surgimiento fue la de dar un modelo de pensamiento que permitiera estudiar el tránsito, en la Europa del siglo XIX, de una economía feudal a una capitalista, como producto del desarrollo de la Revolución Industrial. Por lo tanto, no hay duda de que fue el estudio del mercado bajo el comienzo de la edad dorada del capitalismo, el que posicionó a la economía neoclásica como la corriente científica principal del pensamiento económico. No olvidemos que hacia finales del siglo XIX y principios del XX se inventó el teléfono, aparecieron la locomotora eléctrica, los motores a gasolina, los barcos frigoríficos y los primeros automóviles (Ford).

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Sus más importantes pioneros fueron: Léon Walras
(1834-1910), William Jevons (1835-1882), Carl Menger (1840-1921) y Alfred Marshall (18421924). Aunque cabe advertir que no todos ellos coincidían en las mismas premisas de creación del paradigma neoclásico, ni tampoco todos fueron conscientes de que estaban facilitando la creación de un nuevo esquema para pensar la economía y hacer de ella una ciencia.

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PIONEROS

Carl Menger (1840-1921)

William Jevons (1835-1882)

“Principles of Political Economy” (1871)
Fotos tomadas de Wikipedia (DRA).

“The Theory of Political Economy” (1871)
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PIONEROS

Léon Walras (1834-1910) “Éléments d’Économie Politique Pure” (1874)

Alfred Marshall (1842-1924) “Principles of Economics” (1890)

Fotos tomadas de Wikipedia (DRA).

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Quizás el más decidido en esto fue Léon Walras: “Las matemáticas serán la lengua especial para hablar de hechos cuantitativos, y en consecuencia la economía será una ciencia matemática con el mismo título de la mecánica y la astronomía” (Walras, 1909)

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Pero también Jevons así lo creía: “La Teoría de la Economía (…) muestra una cercana analogía con la Mecánica Estática, y se encuentra que las Leyes de Intercambio son semejantes a las Leyes de Equilibrio de una palanca determinadas por el principio de las velocidades virtuales. La naturaleza de la Riqueza y el Valor se explica considerando cantidades infinitamente pequeñas de placer y dolor, así como la Teoría de la Estática se apoya en la igualdad de cantidades infinitamente pequeñas de energía”.

(W. S. Jevons, 1871)
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Por su parte, Carl Menger (1871) afirmaba en la Introducción de sus “Principios”:
Juzgar los resultados a que nos ha conducido el (…) método de investigación [[natural]], decidir si hemos logrado exponer con éxito el hecho de que los fenómenos de la vida económica se gobiernan por unas leyes estrictas similares a las que rigen en la naturaleza, es cosa que corresponde a nuestros lectores. Tan sólo querríamos prevenir aquí contra la opinión de quienes niegan la regularidad de los fenómenos económicos aludiendo a la libre voluntad de los hombres, porque por este camino lo que se niega es que las teorías de la economía política niegan el rango de ciencia exacta.

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Si, y bajo qué condiciones, una cosa es útil para mí; si, y bajo qué condiciones, es un bien; si, y bajo qué condiciones, es un bien económico; si, y bajo qué condiciones, tiene valor para mí y cuál es la medida de este valor; si, y bajo qué condiciones, se produce un intercambio económico de bienes entre dos agentes económicos y cuáles son los límites dentro de los cuales puede llegarse a la formación del precio, todas estas y otras muchas cuestiones son tan independientes de mi voluntad como las leyes de la química son independientes de la voluntad de un químico práctico. (Carl Menger, 1871)
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Sin embargo , Marshall, en sus “Principles” de 1920 aseguraba que: “Las leyes de la acción humana no son realmente tan simples, tan definidas ni tan claramente asegurables como la ley de la gravitación; aunque muchas de ellas pueden equipararse con las leyes de aquellas ciencias naturales que tratan con asuntos más complejos.”

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En el fondo, Marshall creía más en la biología como paradigma epistemológico (aunque suplementada con investigación sociológica, histórica e institucional):

“En los últimos estadios de la economía, cuando nos estamos aproximando a las condiciones de la vida, las analogías biológicas son preferidas a las mecánicas.” (…)

“La Meca del economista está en la biología económica más que en la dinámica económica. Sin embargo, los conceptos biológicos son más complejos que los de la mecánica.” (Alfred Marshall, 1890)

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Sería precisamente Marshall quien llevaría a cabo cierta síntesis de los trabajos de sus antecesores y contemporáneos marginalistas (Cournot, Dupuit, Jevons, Menger e, inclusive, Walras) con la economía clásica de Smith y Ricardo. De aquí surgiría, posteriormente, el término de teoría “neo-clásica”.

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El estudio del mercado (o sociedad mercantil) desde la perspectiva neoclásica se concretó entonces así: 1. Las “partículas” (agentes) son: a) Los consumidores (hogares) b) Los productores (empresas o firmas) de bienes y servicios. Este es el principio básico de lo que se conoce como “individualismo metodológico”.

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2. El “Principio de Mínima Acción” (optimización) consta de dos partes: a) Los consumidores maximizan s u satisfacción en el consumo.

b) Los productores maximizan el beneficio.
Este principio está en la raíz de la filosofía naturalista que postula que el universo es una máquina racional que minimiza la energía para su funcionamiento.
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El “Principio

de Mínima Acción” (optimización) en una economía conduce a la noción de marginalidad. Por ello, al origen de la economía neoclásica también lo llaman “revolución marginalista”. El cálculo de cantidades marginales condujo a que el Cálculo Diferencial tuviera un papel protagónico en el desarrollo de la entonces naciente teoría neoclásica. Después aparecería una matematización mucho más profunda del modelo neoclásico de mercado.
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3. POR SU PARTE, EL CONCEPTO BÁSICO
DE EQUILIBRIO ES:

OFERTA DE BIENES = DEMANDA DE BIENES

Dibujo tomado de Wikipedia (DRA).

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El concepto básico de equilibrio de esta sociedad mercantil es “oferta de bienes igual a demanda de bienes y servicios”.

Esta idea de balance de “fuerzas económicas opuestas” (que parte de la Física de una bola que descansa en la parte inferior de una taza, del péndulo que cuelga verticalmente, etc.) es una idea organizativa central a toda la teoría neoclásica: es la mutua compatibilidad de las acciones individuales de los consumidores y los productores.
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En el caso de Walras, y su noción de equilibrio general (es decir, los mercados vistos de manera integrada), esta noción de balance de fuerzas económicas fue sugerida, sin duda, porque había leído a Augustin Cournot (1838), y su innovador uso de formas funcionales y cálculo diferencial para describir relaciones económicas, antes sometidas exclusivamente al reino de lo literario. Pero también, y muy fundamentalmente, porque había estudiado al famoso físico francés Louis Poinsot y su “Elementos de Estática” de 1803, en donde aprendió cómo se deducían ecuaciones de equilibrio general de un sistema mecánico a partir de las ecuaciones de equilibrio de las partículas.
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Para Marshall (1890) el concepto de equilibrio parcial (es decir, de los mercados vistos aisladamente) es la principal noción mecanicista que aplica tanto al estudio de la conducta de los individuos como de las sociedades, pues estaba convencido de que el equilibrio general no se daba nunca. De hecho, la noción de equilibrio parcial de Marshall nunca pretendió explicar los fenómenos económicos y sociales más allá de una zona circunscrita, en donde se busca observar ajustes localizados del sistema, imitando la manera en que los organismos vivos evolucionan según la teoría darwiniana.
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Por ello, en parte, es por lo que expertos en la obra de Marshall han demostrado que la agenda de investigación marshalliana (equilibrio parcial) era incompatible con la agenda del equilibrio general de Walras; es decir, el equilibrio parcial no es un caso particular ni aproximación de la teoría del equilibrio general.

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En resumen: la ECONOMÍA NEOCLÁSICA está basada en tres principios:
1. 2.

INDIVIDUALISMO
OPTIMIZACIÓN

METODOLÓGICO

3.

NOCIÓN DE EQUILIBRIO

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Las Nociones de Competencia Perfecta e Imperfecta
Como decíamos, la economía neoclásica vista como una ciencia natural, atacó, de manera principal, el problema del funcionamiento del sistema del mercado de bienes y servicios. Y lo hizo a la manera de la Física: primero estudiando el sistema “sin rozamientos” y luego “con rozamientos”.

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Y, en principio, asimiló esto de la siguiente forma:

Sistema sin rozamientos  Mercado bajo competencia perfecta.

Sistema con rozamientos  Mercado bajo competencia imperfecta.

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La noción de “competencia perfecta” solo vino a recibir atención explícita y sistemática a partir de los trabajos de los pioneros neoclásicos (Walras, Jevons, Marshall, etc.). De hecho, los economistas clásicos (por ejemplo, Adam Smith, Senior, Ricardo y otros), únicamente recurrieron a la noción intuitiva de “competencia” como equivalente a “rivalidad” en los negocios. Pero nunca llegaron a una noción tal como la de “competencia perfecta”.
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¿ Y en qué consiste un “Mercado bajo Competencia Perfecta” ?
Walras, en sus “Elementos de Economía Política Pura” de 1874, lo explicaba así:

“(…) Los mercados mejor organizados desde el punto de vista de la competencia son aquellos en que las ventas y las compras se hacen mediante subasta, a través de agentes tales como los agentes de cambio, corredores de comercio o voceadores que las centralizan, de tal forma que ningún cambio tiene lugar sin que las condiciones sean anunciadas y conocidas y sin que los vendedores tengan la oportunidad de rebajar sus precios y los compradores de aumentarlos. Así funcionan las bolsas de valores públicos, las bolsas de comercio, los mercados de grano, de carne, etc. ”
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“Al lado de estos mercados existen otros donde la competencia, aunque no tan bien organizada, funciona todavía de una manera bastante adecuada y satisfactoria: tales son los mercados de frutas y legumbres, de volatería. Las calles de una ciudad donde se encuentran almacenes y panaderías, carnicerías, tiendas de ultramarinos, sastrerías, zapaterías, constituyen mercados con una organización un poco más defectuosa desde el punto de vista de la competencia pero, sin embargo, ésta se encuentra presente de forma suficiente. (…)”

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“Supondremos un mercado perfectamente organizado (*) desde el punto de vista de la competencia, de igual forma que en la mecánica pura se supone que las máquinas se encuentran libres de rozamientos.” (Walras, Elementos, 41)
(*) Subrayado mío.

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Por su parte, Jevons, en su “The Theory of Political Economy” de 1871, lo explicaba como un …

“(. . . ) mercado teóricamente perfecto-[es decir] en el que puede asumirse que los precios están dados.”
Quizás de afirmaciones como estas de los pioneros, proviene el término “competencia perfecta”.

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Diremos, entonces, en este curso, que un mercado funciona bajo competencia perfecta si ningún agente, aisladamente, tiene influencia significativa sobre los precios del mercado. Para decirlo de manera coloquial, un agente (consumidor o productor) dentro de un mercado competitivo es lo que una gota dentro de una gran piscina: hace parte de ella, pero si retiramos esa gota, en nada afectará la cantidad de agua en la piscina. A un mercado así se le llama “mercado competitivo” o “mercado bajo competencia perfecta”. Este tipo de mercado es, en la práctica, un imaginario teórico; una utopía. Pero, para la economía neoclásica, una útil utopía.
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Y el hecho de todos los agentes bajo competencia perfecta reciban los mismos precios del mercado, conlleva un criterio moralista: Además de ser jurídicamente libres,

¡ Todos son iguales (y anónimos) ante el mercado competitivo !
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Por su parte (debemos decirlo de una vez) si algún agente del mercado sí tiene influencia sobre algún precio del mercado, entonces este mercado funciona bajo competencia imperfecta (por ejemplo, monopolios, oligopolios, competencia monopolística, etc.).

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EN

RESUMEN:

EN EL CURSO DE MICROECONOMÍA I, ESTUDIAREMOS EL COMPORTAMIENTO DE UNA ECONOMÍA DE MERCADO A LA LUZ DE LA TEORÍA NEOCLÁSICA DEL EQUILIBRIO PARCIAL.

Y, PARA HACERLO, ESTUDIAREMOS LAS
UNIDADES BÁSICAS (CONSUMIDORES Y PRODUCTORES) EN INTERCAMBIO DE BIENES Y SERVICIOS, A TRAVÉS DE LAS SEÑALES DE PRECIOS.
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CLASE MAGISTRAL #1

PRINCIPIOS

DE LA TEORÍA DEL CONSUMIDOR Y MAXIMIZACIÓN DE LA UTILIDAD

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Un consumidor es una persona, un grupo o una familia con un propósito de consumo unificado. La teoría neoclásica del consumo (o del consumidor) bajo competencia perfecta, busca entender el proceso de la formación de la demanda bajo los parámetros de la economía como ciencia natural; es decir, asumiendo a los consumidores como partículas, y optimizando cierta función para obtener las demandas.
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Y el problema es: ¿cuál es esa función?
Para ello, la teoría neoclásica asume que, de alguna forma, existe un “deseo interno” del consumidor hacia las mercancías, que lo lleva a demandar por ellas. Por ejemplo, Walras (1909) decía, de manera parafraseada, lo siguiente:

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“Los fenómenos mecánicos son exteriores, pero los fenómenos económicos (de la demanda) son interiores. Se tienen instrumentos para determinar la atracción de los astros los unos hacia los otros, pero no se tienen para medir la intensidad de las necesidades en las personas que intercambian. Pero no importa, puesto que cada individuo que intercambia se encarga de operar él mismo esta medida, consciente o inconscientemente, y de decidirlo en interior profundo.”

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“Que la medida sea exterior o que sea interior, en razón de que los hechos que se van a medir sean físicos o psíquicos, no impide que exista esta medida; es decir, que sea posible la comparación cuantitativa.” Se creyó, entonces, en la existencia de una “función de utilidad” (cardinal) que medía, de manera comparada, ese deseo por las mercancías.

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Y agregaba Walras:

“Así como las fuerzas serán causa del espacio recorrido por un objeto, y las masas serán causa del tiempo empleado en recorrer ese espacio, las utilidades (y las “raretés” *) serán la causa de la demanda.”
(*) “La “rareté” es la derivada de la utilidad efectiva respecto a la cantidad poseída, exactamente como se define la velocidad: la derivada de la distancia recorrida respecto al tiempo empleado en recorrerla” (Walras, 1874)

61

En adelante trabajaremos, fundamentalmente, con dos mercancías, x e y, aunque todo es posible extenderlo, inmediatamente, a tres o más mercancías. Para nuestro enfoque, sin embargo, esto es suficiente, pues será usual en este curso, interpretar a x como la mercancía a estudiar, y a y como el “resto de mercancías”. En nuestro curso, una función de utilidad U(x , y) mide, de alguna forma, la “satisfacción” que la canasta (x , y) le produce al consumidor.
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GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DE UTILIDAD EN DOS DIMENSIONES z z=U(x,y)
∙

y

∙(x,y)

x
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A partir de la función de utilidad U(x,y), es muy conveniente, desde el punto de vista gráfico, calcularle sus correspondientes curvas de nivel de utilidad (o curvas de indiferencia o de isoutilidad):

U(x ,y) = U0 donde U0 es una constante. Se trata de todas las canastas (x, y) que tienen el mismo nivel de utilidad; es decir, que le producen al consumidor la misma satisfacción o bienestar.

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FORMACIÓN DE LAS CURVAS DE NIVEL
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C U RVA S D E N I V E L
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Veamos un par de ejemplos: i) U(x , y) = x y = U0 (curvas de nivel (o de indiferencia o de isoutilidad)). De donde, despejando, se obtiene que y = U0 /x (hipérbolas)
Uo=4 Uo=3 Uo=2 Uo=1 y=1/x y=2/x y=3/x y=4/x

y

x

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ii) U( x, y) = √x + y = U0 (curvas de indiferencia). De donde se obtiene que y y = U0 – √x

(parábolas)

•

y = 3- √x

y= 2- √x
•

x
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HIPÓTESIS SOBRE LAS CURVAS DE NIVEL DE UTILIDAD
i) Todo el espacio ℝ²₊₊ está cubierto por estas curvas de nivel. A esta característica la llaman “completez” de las curvas de indiferencia. ii) Las curvas de indiferencia son “continuas”. iii) Un aumento en las cantidades consumidas (de la mercancía x y de la mercancía y) implica un aumento de la utilidad. Por lo tanto, las curvas “más lejanas” al origen son las que tienen mayor nivel de utilidad. A esta característica la llaman “monotonicidad” de las curvas de indiferencia. iv) Las curvas de indiferencia son “transitivas”.
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Completez, Continuidad , Monotonicidad y Transitividad de las Curvas de Indiferencia

0
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v) Finalmente, asumiremos que las curvas de nivel satisfacen la condición de convexidad:
Las combinaciones convexas son “mejores” que la especialización (“hipótesis de la dieta balanceada”)

•

• •

•
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Por ejemplo, la curva de nivel 1 de la función de utilidad U(x,y)=xy es la hipérbola

y= 1/x y, por lo tanto, las siguientes canastas tienen utilidad 1:

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Curvas de nivel para la función de utilidad tipo Cobb-Douglas U(x,y)=xy y (1/2,2)

•

Uo=3

• (1,1)

• (2,1/2)

Uo=2 Uo=1

x

75

Otro ejemplo: la curva de nivel 1 de la función de utilidad U(x,y) = Min{x,y} está definida por las canastas (x,y) que satisfacen

Min{x, y}=1 y, por lo tanto, las siguientes canastas tienen utilidad 1:

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Curvas de nivel para la función de utilidad tipo Leontief y y=x
(1,4) • (1,3) • (1,2)• Uo=3 Uo=2 Uo=1

• • • • (1,1) (2,1) (3,1) (4,1)

x

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Ahora pasamos al segundo instrumento (después de la función de utilidad) en la teoría del consumidor: la

restricción (o recta) presupuestal: p₁ x + p ₂ y = M donde: i)

p₁ es el precio por unidad del bien x.

ii) p₂ es el precio por unidad del bien y. iii) M es el presupuesto (renta) que tiene el consumidor para gastar en las mercancías x e y. En principio, no depende de los precios.
78

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Recta presupuestal (o presupuestaria) y M/p₂ •

Está compuesta por todas las canastas (x,y) que puede adquirir un consumidor con presupuesto M, a los precios de mercado p1 y p2. p₁ x + p₂ y = M (recta presupuestal) Tiene pendiente – p1/p2 ya que es equivalente a la recta y= -(p1/p2)x + M/p2
•

∙ (x, y)

M/p₁

x
79

Cambio de M en la restricción presupuestal y M’/p2

Recta presupuestal con aumento de M M/p2•

p₁ x + p₂ y=M (recta presupuestal inicial)

M/p1

•

M’/p₁

x
80

40

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Cambio de p2 en la restricción presupuestal y M/p₂•
Aumento en p2

Recta presupuestaria con aumento de p2

M/p’₂

p₁ x + p₂y=M (recta presupuestaria inicial)

•

x
81

Cambio de p1 en restricción presupuestal y M/p2 •

Recta presupuestaria con aumento de p1 p₁ x + p₂ y=M (recta presupuestaria inicial)

M/p’1

M/p₁

•

x
82

Aumento en p₁

41

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Uniendo las dos piezas claves en la teoría del consumidor (función de utilidad y restricción presupuestaria), llegamos al problema básico (primal) de la teoría del consumo:

Maximizar U(x, y) sujeta a p₁ x + p₂ y = M
Es decir, maximizar la satisfacción en el consumo, sujeta al presupuesto que se tenga disponible y a los precios del mercado.
83

MAXIMIZACIÓN DE LA UTILIDAD y Solución (x*,y*) (demandas marshallianas)

Curva de nivel ordinaria U(x , y) = constante

y*

•

Recta presupuestaria p ₁ x + p₂ y = M

x*

x
84

42

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INSISTO:
El objetivo fundamental del consumidor en la teoría neoclásica es construir unas bases teóricas que permitan encontrar las demandas. Que éstas sean “buenas” bases teóricas o no, es tema de álgido debate en los últimos treinta años.
85

UN PRIMER EJEMPLO DE UN PROBLEMA DE CONSUMIDOR (UN CASO DE FUNCIÓN DE UTILIDAD COBB-DOUGLAS)

Maximizar xy sujeta a p ₁ x + p₂ y = M
Solución La restricción p₁ x + p₂ y = M reducir a y= (M - p₁ x)/ p₂ la podemos

(*)
86

43

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Y con esto, reducimos nuestro problema de optimización a la siguiente forma

Maximizar

x(M- p₁ x )/ p₂ ( = (Mx - p₁ x2 )/ p₂)

Derivando esta función con respecto a x, e igualando a cero, obtenemos que
(M - 2 p₁ x) / p₂ = 0 y así

M - 2 p₁ x=0

o bien,

x = M / 2 p₁
87

y, reemplazando en (*) , llegamos a que

y = M / 2 p₂
Y así obtenemos las demandas marshallianas de este consumidor:

x * = M / 2 p₁

;

y* = M / 2 p₂

Notemos que estas demandas son directamente proporcionales al presupuesto M, e inversamente proporcionales a su propio precio. Y que, además, si el presupuesto y los precios se multiplican por la misma cantidad (es decir, se duplican, se triplican, etc.), las demandas marshallianas no cambian.
88

44

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Demanda por el bien x, para M fijo p1 x = M/2p1

x

Notemos que si M crece, aumenta la demanda
89

SEGUNDO EJEMPLO DE UN PROBLEMA DE CONSUMIDOR (FUNCIÓN DE UTILIDAD CUASILINEAL)

UN

Maximizar sujeta a

√x + y p ₁ x + p₂ y = M la podemos

Solución La restricción p₁ x + p₂ y = M reducir a

y= (M - p₁ x)/ p₂

(*)
90

45

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Y con esto, reducimos nuestro problema de optimización a la siguiente forma

Maximizar

√x + (M- p₁ x )/ p₂

Derivando esta función con respecto a x, e igualando a cero, obtenemos que

1/(2√x) - p₁ / p₂ = 0
Y así, la demanda por el bien x es:

x* = (1/4)(p₂ /p₁)2
91 91

Y, por lo tanto,

y* = (M - p₁ x)/ p₂
Así, las demandas marshallianas de este consumidor son:

x* = (1/4)(p₂ /p₁)2 y* = M/p2 - p2/4p1
Note aquí que y*>0 solo cuando M/p2 > p2/4p1 ; o bien cuando M> (p2)2/4p1. Es decir, esas demandas x*, y* son correctas cuando el consumidor es “relativamente rico”.
92

46

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Demanda por el bien x, para M y p2 fijos p1 x = (1/4)(p₂ /p₁)2

x

Notemos que si M crece, NO aumenta la demanda. Pero si p2 crece, sí aumenta la demanda.
93

TERCER EJEMPLO DE UN PROBLEMA DE CONSUMIDOR (FUNCIÓN DE UTILIDAD LEONTIEF) Maximizar sujeta a Min {x , y} p₁ x + p₂ y = M

UN

Solución En primer lugar, recordemos que las curvas de nivel son escuadras con vértices sobre la recta y=x. Y observemos la figura siguiente para deducir las demandas.
94

47

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De la restricción presupuestaria p1x+p2y= M cuando hacemos, según muestra la figura, x=y, entonces tendremos que las demandas marshallianas son:

x* = M/(p₁+p₂) = y* y y=x

• x x*=y*= M/(p1+p2)

95

Demanda por el bien x, para M y p2 fijos p1 x= M/(p1+p2)

x

Notemos que si M crece, aumenta la demanda. Pero si p2 crece, disminuye la demanda.
96

48

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UN

CUARTO EJEMPLO DE UN PROBLEMA DE CONSUMIDOR (OTRA FUNCIÓN DE UTILIDAD CUASILINEAL: CASO CUADRÁTICO)

Maximizar (x – x2) + y sujeta a p₁ x + p₂ y = M
Solución La restricción p₁ x + p₂ y = M la podemos reducir a y= (M - p₁ x)/ p₂ (*)
97

Por lo tanto, la función a maximizar es U(x, y) = (x – x2) + y

= (x – x2) + (M - p₁ x)/ p₂ Derivando e igualando a cero, obtenemos que: 1- 2x - (p₁ / p₂)=0 Y así,

x* = (1/2) - (p₁/2p₂)

Por lo tanto, y*= (M - p₁ x)/ p₂ = (M/p2) – (p1/2p2) + [(p1)2/2(p2)2]

Ejercicio: ¿Para qué valores de M son x*, y* >0?
98

49

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Demanda por el bien x, para M y p2 fijos p1 p2

x= (1/2) - (p₁/2p₂)

1/2

x

Notemos que si M crece, NO aumenta la demanda. Pero si p2 crece, sí aumenta la demanda.
99

Hagamos énfasis en la particular forma de la función de utilidad U(x,y) = (x-x2)+ y que estamos analizando y notemos que, con respecto al bien x, es un consumidor que tiene una cantidad crítica a partir de la cual comienza a decrecer la utilidad, y también un punto en el que “ se sacia” del bien x.
U(x)=x-x2 Máxima utilidad

Cantidad de saciedad
1

x
100

50

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Ejercicios para la clase en tablero con el profesor auxiliar (Mercy , Paula ó Julián) Del texto guía de nuestro curso, hacer los ejercicios 1, 3 [literales a), b),c)], 4 [ literales a), b),c),d)], correspondientes a la Semana 1.

101

CLASE MAGISTRAL # 2

MINIMIZACIÓN DEL GASTO
Y

ANÁLISIS MARGINALISTA DE
LA MAXIMIZACIÓN DE LA UTILIDAD
102

51

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EL PROBLEMA DUAL DEL CONSUMIDOR:

MINIMIZACIÓN DEL GASTO
Paralelo al problema de maximizar la utilidad sujeta a la restricción presupuestaria, el consumidor tiene otra alternativa: minimizar el gasto del hogar. Como veremos, este problema tiene un carácter más normativo.
103

En lugar del problema básico del consumidor

Maximizar U(x, y) sujeta a p ₁ x + p₂ y = M el problema de minimización de su gasto es:

Minimizar sujeta a

p ₁ x + p₂ y U(x, y) = U₀

donde U₀ es un nivel de utilidad (bienestar) fijo deseado.

104

52

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MINIMIZACIÓN y DEL

GASTO

Curva de isocosto p₁ x + p₂ y = e Curva de nivel U(x , y)= U₀

h₂

•

p₁ x + p₂ y = e (= p₁ h₁ + p₂ h₂)

h₁

x
105

Para calcular el gasto, no requerimos de llevar a cabo nuevos cómputos: basta con tener resuelto el problema central del consumidor. Veamos cómo. En el primer ejemplo, donde U(x , y) = x y, teníamos que las demandas marshallianas eran

x*= M / 2p₁ y* = M / 2p₂
Y la utilidad máxima (o utilidad indirecta) era

U = M² / 4p₁p₂
106

53

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En esta última ecuación

simplemente hacemos U=U₀ y proviene del inglés “expenditure” “gasto”), para obtener: y de allí se obtiene:

U = M² / 4 p₁ p₂
M=e
(esta e que significa

U₀ = e² / 4 p₁ p₂

e = 2 (U₀ p₁ p₂)½ que es la función de gasto de este consumidor.

107

Esta función mide, exactamente, cuánto requiere “gastar” una familia para aumentar su nivel de bienestar. O de otra forma: ella permite medir en cuánto debe compensarse a una familia para que recupere su nivel de bienestar, ante, por ejemplo, un aumento de precios. Es muy utilizada en problemas de políticas públicas y sociales debido a que es estimable econométricamente. Por ejemplo, la función de gasto es la herramienta fundamental para el cálculo del IPC (Índice de Precios al Consumidor) por parte del DANE (ver Semana 1 del libro, al final).

108

54

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Ahora: A partir de la función de gasto

e= p₁ x + p₂ y y derivando parcialmente, obtenemos las demandas así:

∂e/∂p₁ = x

,

∂e/∂p₂ = y

Pero en este momento, estas demandas cambian de notación y de nombre: se llaman demandas hicksianas (o demandas compensadas) ( John Hicks (1939)) y satisfacen entonces las ecuaciones:
109

∂e/∂p₁ = h₁ , ∂e/∂p₂ = h₂ (Lema de Shephard) donde h₁ = la demanda hicksiana por el bien x h₂ = la demanda hicksiana por el bien y
Estas ecuaciones muestran que si estimamos econométricamente la función de gasto (lo cual es posible mediante la Encuesta Nacional de Hogares (DANE)), también podremos estimar las demandas hicksianas.

110

55

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En el caso del ejemplo que venimos discutiendo, teníamos que:

e = 2 (U₀ p₁ p₂)½
Y, por lo tanto, por el teorema de Shephard, h₁ = ∂e/∂p₁ = U₀ p₂(U₀ p₁ p₂)-½ h₂ = ∂e/∂p₂ = U₀ p₁(U₀ p₁ p₂)-½ lo que nos lleva, simplificando, a que las demandas hicksianas de este consumidor son:

h₁ = (U₀ p₂/ p₁)½ h₂ = (U₀ p₁/ p₂)½
111

¿Pe ro q u é e s l o q u e m i d e n l a s d e m a n d a s hicksianas?
M/p2

(h1(p1, p2, U0), h2(p1, p2, U0)) (h1(p1, p’2, U0), h2(p1, p’2, U0)) •B U(x, y)=U0
M/p1

M/p’2

•A
∆e

112

56

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Estando en el punto A, sucede un aumento en el precio p2, y así pasamos de una recta presupuestaria a otra. Para recuperar el nivel de bienestar U0, debemos entonces aumentar el gasto en ∆e (presupuesto) y, al hacerlo, pasamos a la recta presupuestaria amarilla, y llegamos al punto B. En el gráfico, señalamos las correspondientes demandas hicksianas en los puntos A y B, y el gasto (∆e) necesario para regresar al nivel U0 .
113

Las demandas hicksianas, entonces, miden los cambios del punto A de consumo al punto B de consumo (debido a un aumento en el precio p2), pero sin abandonar el nivel de bienestar U0 .

114

57

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EJEMPLO Maximizar U(x,y) = x y sujeta a 3x+2y=45
Si el precio de x aumenta en un 20%, las demandas hicksianas y el gasto. calcule

Solución
Las demandas marshallianas de este problema son: x*= (45)/(2)(3)= 7.5 , y*= (45)/(2)(2)= 11.25 Y el nivel de utilidad recibido allí es: U(x*,y*) = (7.5) (11.25) = 84.375
115

Si aumenta el precio del bien x en 20%, las nuevas demandas marshallianas son:

x**= (45)/(2)(3,6) = 6.25
El nivel de utilidad ha bajado a

;

y**= (45)/(2)(2) = 11.25

U(x**, y**) = (6.25) (11.25) = 70.3125
Para regresar al nivel de utilidad original de 84.375, debemos aumentar el presupuesto; es decir, debemos “invertir” en el hogar una cantidad que está dada, precisamente, por la función de gasto ya calculada: e = 2 (U₀ p₁ p₂)½ = 2[(84.375)(3.6)(2) ] ½ = 49.295
116

58

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La nueva recta presupuestal es, entonces, 3.6x + 2y = 49.295 que es paralela a la segunda recta presupuestal 3.6x + 2y = 45 Y las nuevas demandas serán: h1 = (49.295 )/( 2)(3.6) = 6.8465 h2 = (49.295 )/(2)(2) = 12.3237 Notemos que U(h1 , h2) = U(6.8465 , 12.3237) = 84.375 es el nivel de utilidad original.

117

A NÁLISIS GENERAL DEL
PROBLEMA PRIMAL DEL CONSUMIDOR
Recobrando inicialmente el problema central del consumidor:

Maximizar U(x, y) sujeta a p ₁ x + p₂ y = M ahora lo resolvemos en forma general recurriendo al método de los multiplicadores de Lagrange.

118

59

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Escribimos el lagrangiano

L = U(x, y) + λ(M - p₁ x - p₂ y )
Y derivamos con respecto a x, y, λ: ∂L /∂x = ∂U/∂x - λ p₁ = 0 ∂L /∂y = ∂U/∂y - λ p₂ = 0 ∂L /∂ λ = M - p₁ x - p₂ y = 0 Lo que nos lleva a las ecuaciones de equilibrio del consumidor: (∂U/∂x)/ (∂U/∂y) = p₁/ p₂ ; p₁ x + p₂ y = M
119

Al término

(∂U/∂x) / (∂U/∂y) se le llama “tasa marginal de sustitución entre las mercancías x e y”. Y, por lo tanto, la ecuación de equilibrio

(∂U/∂x)/ (∂U/∂y) = p₁/ p₂ Ecuación de equilibrio (de Jevons) que se conoce como ecuación de Jevons, se lee:

“tasa marginal de sustitución igual a la relación de precios”
120

60

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Pero…¿qué mide la tasa marginal de sustitución? Veamos. La curva de nivel que pasa por el punto de equilibrio del consumidor (es decir, que pasa por las demandas marshallianas (x*,y*)), satisface la ecuación

U(x , y) = U(x*,y*) siendo U(x*,y*) =U0 una constante.

121

Tomando entonces derivadas parciales a ambos lados de la ecuación U(x , y) = U0 se obtiene que

(∂U/∂x) dx + (∂U/∂y) dy = 0 ó (∂U/∂x) dx = - (∂U/∂y) dy

Y, de allí, obtenemos que:

(∂U/∂x) / (∂U/∂y) = - d y / d x
Es decir, las tasas marginales de sustitución coinciden con las pendientes de las rectas tangentes a las curvas de nivel.
122

61

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y U(x,y)=U0

(∂U/∂x) / (∂U/∂y) ≈
1

x

Así, la tasa marginal de sustitución mide la cantidad que debe aumentarse de y (ye) al disminuir “una unidad” de x, pero siempre manteniéndose en la misma curva de utilidad.
123

Lo importante aquí, es que, en equilibrio, esta tasa marginal de sustitución es, exactamente, la relación de precios p₁/p₂ dada por el mercado.

124

62

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y

En la asignación A puedo ir al mercado y cambiarla (a los precios corrientes) por la asignación B que me da más utilidad, etc. Hasta llegar al punto E.

-∂U/∂x / ∂U/∂y|(x*,y*)= pendiente
A∙ B∙ C∙

de

la curva de nivel en el punto E =Pendiente de la recta = -p1/p2

E(x*,y*)

•

•

F

x
A este tipo de procesos, Marshall (1920) los reunía bajo el rótulo de “Principio de sustitución”. 125

Por lo tanto, esta ecuación de equilibrio (que algunos autores la asimilan, para el consumo, con una “ecuación de calor”, o de “ecuación termodinámica”) es una igualdad entre una tasa subjetiva de intercambio con una tasa real de intercambio en el mercado. Es decir, es la igualdad entre un “costo de oportunidad subjetivo” (del consumidor) con un “costo de oportunidad objetivo” (mercado).

126

63

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O en otras palabras:

La tasa marginal de sustitución nos dice cuánto vale el bien 1 en términos del bien 2 para el consumidor (tasa subjetiva), mientras que el precio relativo nos dice cuánto vale el bien 1 en términos del bien 2 para el mercado (tasa objetiva).

127

Ejemplo
Para resolver

Maximizar xαyβ sujeta a p1x+ p2y=M escribimos directamente la ecuación “tasa marginal de sustitución = relación de precios”:

(∂U/∂x)/ (∂U/∂y) = p₁/ p₂ (Ecuación de equilibrio (de Jevons) ) que en este caso es:
128

64

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α xα-1 yβ / β xα yβ-1 = p₁/ p₂ de donde obtenemos, cancelando términos, que αy/βx = p1/p2 y así, y = βp1x/αp2 Ahora colocamos esta ecuación en la restricción presupuestaria p1x+p2y=M, y obtenemos

p1x + p2 (βp1x/αp2) = M
Y despejando x, se llega a que:
129

x* = αM/(α+β)p1 Y llevando esto a la restricción presupuestal y despejando y (ye), obtenemos que y* = βM/ (α+β)p2
Con ello hemos encontrado las demandas marshallianas utilizando la ecuación de Jevons.

130

65

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C O M PO RTAMIE NTO G E NE RAL DE L AS DE M ANDAS DE L A F U NC I Ó N C O B B - DO UG L AS
M/p2
aumenta p2

•A •B

M/p´2

• A

•B

M/p1 disminuye p1

M/p´ 1

131

Un ejemplo central
Consideremos el caso de la “función cuasilineal” (donde U(.,.) es una función cóncava estricta)

U(x , y) = U(x) + y
Este tipo de función de utilidad es importante porque concentra su atención en el comportamiento de la mercancía x, dejando la variable y (ye) para el “resto” del consumo. Escribiendo la ecuación de equilibrio para este caso, obtenemos que

U’(x) / 1 = p₁/p₂ ó U’(x) = p₁/p₂
132

66

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Si se asume p₂=$1 (numerario), entonces se llega a que:

U´(x)

=

p₁

(Utilidad marginal = precio) Ecuación de equilibrio del consumidor Es decir, para maximizar la utilidad, un hogar consume una cantidad x, de tal forma que su utilidad marginal sea igual al precio del mercado. En otras palabras, consume hasta que al agregar una unidad más, la diferencia de utilidades coincide con el precio del mercado. Esta utilidad marginal era lo que Walras llamaba “rareté”. 133

Decisión de consumo de un hogar que solo demanda un bien
U(x) Pendiente U´(x*)

•

p₁
1

Función cóncava: utilidad marginal decreciente como típica hipótesis neoclásica x 134

x*

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U(x)
Precio más bajo Precio más alto

∙
1

p1

∙ x* x**

x

Note que si p1 crece, entonces, dada la concavidad estricta de la función de utilidad, la cantidad consumida x, disminuye. En su momento histórico se consideró, por parte de algunos economistas, como un descubrimiento de primer nivel científico. Es corriente utilizar esta condición como la ecuación de equilibrio en el caso de los hogares que consumen un bien (digamos “canasta familiar”) con un IPC (Índice de Precios al Consumidor) dado por el DANE.
135

EJEMPLOS
1. Para la función cuasilineal

U(x, y) = U(x)+ y = √x +y la demanda marshalliana por el bien x está dada por la ecuación

U’(x)=p1 que es la misma

(1/2√x) = p1
Y así,

x* = 1/(2p1)2
[Recordemos que, aquí, p2 =$1 es el numerario.]

136

68

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Demanda por el bien x p1 x*= 1/(2p₁)2

x

Notemos que si M crece, NO aumenta la demanda.
137

2. Para la función cuasilineal U(x, y) = U(x)+ y = [x- (x2/2)] + y la demanda marshalliana por el bien x está dada por la ecuación

U´(x)=p1 que es la misma

1-x = p1
Y así,

x* = 1-p1

(Demanda marshalliana)

que es una recta con pendiente negativa.
138

69

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Demanda por el bien x p1 1

x*= (1/2) - p₁

1/2

x

Notemos que si M crece, NO aumenta la demanda.
139

Ejercicios para la clase en tablero con el profesor auxiliar (Mercy, Paula ó Julián)
 Del texto guía de nuestro curso, hacer los ejercicios 1a), 5, 7a) de la Semana 2.  También los ejemplos 5 (Semana 1) y 7 (Semana 2) sobre la función de utilidad lineal.

140

70

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 Una observación sobre las demandas marshallianas

Una función de utilidad V(x, y) es una transformación estrictamente creciente de cierta función de utilidad U(x, y). Es decir,

V(x, y)= f( U(x, y) ) donde f(t): R  R es una función estrictamente creciente y diferenciable con continuidad. Y entonces nos preguntamos: ¿Cuál es la diferencia entre las demandas marshallianas de V y las de U ? Respuesta: NINGUNA. Veamos esto.

141

La ecuación de Jevons para la función de utilidad U(x, y) es

(∂U/∂x) / (∂U/∂y) = p ₁ / p ₂

(*)

Y la ecuación de Jevons para la función de utilidad V(x,y) es

(∂V/∂x) / (∂V/∂y) = p ₁ / p ₂
Pero como V ( x , y ) =f ( U ( x , y ) ) entonces
(∂V/∂x)/(∂V/∂y) =

(**)

= f´(U(x,y)) (∂U/∂x)/ f´(U(x,y)) (∂U/∂y) = (∂U/∂x)/ (∂U/∂y)
142

71

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Por lo tanto, las ecuaciones de Jevons para U(x, y) y V(x, y) son iguales, y eso nos lleva a una conclusión muy importante:

¡¡L as

demandas marshallianas de

u(x, y) y v(x, y) son iguales !!
Veamos ejemplos de aplicación de esto:

143

i) U(x,y)= xy y V(x,y)= xy +1 tienen las mismas demandas marshallianas (en este caso, f(t)=t+1). ii) U(x,y)= xy y V(x,y)= x2y2 tienen las mismas demandas marshallianas (aquí, f(t)=t2). iii) Similarmente para V(x, y)= lnx +lny = ln(xy).

144

72

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iv) U(x,y)= xαy1-α y V(x,y)= x3αy3(1-α) tienen las mismas demandas marshallianas (en este caso, f(t)=t3). v) U(x, y)= xα+y (0