UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR
Departamento de Matemáticas

APUNTES DE CÁLCULO I Primer curso de E.T.S DE TELECOMUNICACIONES
CURSO 2005–06 Apuntes elaborados por:

Alberto Portal Ruiz Juan José Teixidó Gómez

1

EL CUERPO DE LOS NÚMEROS REALES
1. Clases de números
Describimos distintas clases de números y sus propiedades. • Los números más sencillos son los números naturales. Representaremos dicho conjunto con el símbolo N. Así, podemos escribir: N = {1, 2, 3, . . .} (excluimos el 0)

Se pueden definir en N dos operaciones: La SUMA (+) y el PRODUCTO (·) PROPIEDADES SUMA: Cerrada, Asociativa, Conmutativa, sin Elemento neutro (pues 0 ∈ N) / PRODUCTO: Cerrada, Asociativa, Conmutativa, Elemento neutro (pues 1 ∈ N) DISTRIBUTIVA del producto respecto de la suma.

La propiedad más interesante de N es el principio de INDUCCIÓN MATEMÁTICA. Supongamos que P(x) significa que la propiedad P se cumple para el número x. Entonces el principio de inducción afirma que: P(x) es cierta ∀x ∈ N, siempre que: a) P(1) se cumple. b) Si P(k) se cumple, también P(k + 1). Esto basta para asegurar la verdad de P(x) para todo x ∈ N. En efecto, si P(1) es cierto b) implica, (poniendo k = 1), que P(2) es cierto. Se sigue que P(3) es cierto (k = 2 en b). Todo número natural será alcanzado de esta forma en una cantidad finita de pasos, de manera que P(x) será cierto para todos los número x. Vemos ahora un ejemplo sencillo que nos muestra una aplicación del principio de inducción. Vamos a probar la conocida igualdad que indica cómo encontrar la suma de los n primeros números naturales: 1 + 2 + · · · + n = n·(n+1) 2 Si n = 1=⇒1 = 1(1+1) ; que es cierto. 2 Supongamos ahora que para algún k ∈ N se tiene: 1 + 2 + · · · + k = Entonces: 1 + · · · + k + (k + 1) = k·(k+1) 2

k·(k+1) 2

+k+1=

k·(k+1+2k+2) 2

=

(k+1)·(k+2) 2

de manera que la fórmula también es cierta para k + 1. Otra formulación del principio de inducción afirma que: Si A es un conjunto de números naturales y a) 1 ∈ A b) k + 1 ∈ A siempre que k ∈ A entonces A = N.

En el ejemplo dado antes: A= n ∈ N : 1 + 2··· + n = n · (n + 1) 2

La demostración dada indica que A = N; es decir, la fórmula se cumple para todos los números naturales n. La fórmula puede expresarse también como: n i= i=1 n · (n + 1) 2

(puede reemplazarse i por cualquier otro símbolo salvo n) • Otro conjunto de números son los números enteros, que representamos mediante el símbolo Z, (del alemán "Zahl", número) Z= {. . . − 2, −1, 0, 1, 2, . . .} PROPIEDADES SUMA: Cerrada, Asociativa, Conmutativa, Elemento neutro, (pues 0 ∈Z), Elemento Simétrico (opuesto). PRODUCTO: Cerrada, Asociativa, Conmutativa, Elemento neutro (pues 1 ∈Z). DISTRIBUTIVA del producto respecto de la suma.

• Un conjunto aún más amplio es el formado por cocientes de números enteros (con denominadores no nulos). Este conjunto es el de los números racionales que se designa por Q, (del inglés "quotient", cociente) Q= p q

: p, q ∈ Z, con q = 0

Estos números poseen una cantidad finita de decimales o bien una cantidad infinita de cifras decimales periódicas. PROPIEDADES SUMA: Cerrada, Asociativa, Conmutativa, Elemento neutro, (pues 0 ∈Q), Elemento Simétrico (opuesto). PRODUCTO: Cerrada, Asociativa, Conmutativa, Elemento neutro (pues 1 ∈Q), Elemento Simétrico (Inverso). DISTRIBUTIVA del producto respecto de la suma. NOTA El 0 no posee simétrico multiplicativo o inverso.

• Los números que no son racionales los llamaremos irracionales. Los designaremos por I. Sus elementos tienen infinitas cifras decimales no periódicas. √ un Vemos que 2 es √ número irracional. Supongamos que 2 ∈ Q √ √ =⇒ 2 = p con mcd (p, q) = 1 =⇒ p = q 2 =⇒ p2 = 2q 2 =⇒ p2 es par q =⇒ p es par=⇒ p = 2k sustituyendo: 4k 2 = 2q 2 =⇒ 2k 2 = q 2 =⇒ q 2 es par

=⇒ q es par, absurdo pues mcd (p, q) = 1 =⇒

√

2 ∈Q=⇒ /

√

2 ∈I

Otro ejemplo de número irracional es: 0 123456789101112131415 . . . Es irracional por carecer de periodo. • El conjunto de los números reales, que designamos con el símbolo R, esta formado por todos los números racionales e irracionales: (R=Q ∪ I) PROPIEDADES DE R SUMA: Cerrada. i) Asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c ∀a, b, c ∈R ii) Conmutativa: a + b = b + a ∀a, b ∈R iii) Elemento neutro (cero): a + 0 = 0 + a ∀a ∈R iv) Elemento Simétrico (opuesto): ∀a ∈R ∃(−a) ∈R/ a + (−a) = (−a) + a = 0 PRODUCTO: Cerrada. v) Asociativa: a · (b · c) = (a · b) · c ∀a, b, c ∈R vi) Conmutativa: a · b = b · a ∀a, b ∈R vii) Elemento neutro (unidad): a · 1 = 1 · a ∀a ∈R viii) Elemento Simétrico (Inverso): ∀a ∈R\ {0} ∃a−1 ∈R / a · a−1 = a−1 · a = 1 Producto respecto de la suma ix) Distributiva: a · (b + c) = (a · b) + a · c ∀a, b, c ∈R NOTA 1 El 0 no posee simétrico multiplicativo o inverso. NOTA 2 Con estas propiedades R es un CUERPO CONMUTATIVO.

RELACIÓN DE ORDEN EN R Cada a ∈R cumple una, y sólo una, de las siguientes posibilidades: i) a > 0 ii) a < 0 iii) a = 0

A esta propiedad se le llama Ley de tricotomía. Los números a que cumplen a > 0 se llaman positivos, mientras que si a < 0 se llaman negativos. La relación de orden permite comparar dos números reales cualesquiera. Definición.- Se dice que a es mayor que b, y se escribe: a > b, si a − b > 0. Análogamente se dice que b es menor que a, b < a, si b − a < 0.

Nos queda aún por enunciar otra importante propiedad de los números reales. En primer lugar definimos lo que son cotas superiores e inferiores.

Definición.- Un conjunto A de números reales (A ⊂R) se dice que está acotado superiormente si existe un número x tal que x ≥ a ∀ a ∈ A. Definición.- Un número x con esta propiedad se dice que es una cota superior de A.

Ejemplos.i) A = 0, 12 ; tenemos que x = 2 es una cota superior de A. 7 ii) N no está acotado superiormente.

Definición.- Se dice que un número x es una cota superior mínima o SUPREMO de A, y lo escribiremos sup A si: i) x es una cota superior de A ii) si y es una cota superior de A =⇒ x y

Definición.- Un conjunto A de números reales (A ⊂R) se dice que está acotado inferiormente si existe un número x tal que x a ∀ a ∈ A. Definición.- Un número x con esta propiedad se dice que es una cota inferior de A.

Definición.- Se dice que un número x es una cota inferior máxima o ÍNFIMO de A y lo escribiremos ínf A si: i) x es una cota inferior de A ii) si y es una cota inferior de A =⇒ y x

Ya estamos en condiciones de enunciar una propiedad de los números reales muy importante: Propiedad de completitud (del supremo) de R Proposición.- SiA es un conjunto no vacío de números reales, y A está acotado superiormente, entonces A tiene una cota superior mínima; es decir, tiene SUPREMO

Nótese que esta propiedad no se cumple para Q. Sea A = {x ∈ Q : x2 < 5}. No existe ningún número racional que sea cota superior de A y que sea menor o igual que cualquier otro número racional que sea cota superior de A. Vemos ahora la propiedad arquimediana de los números naturales.

Teorema.- N no está acotado superiormente.

Demostración.- Supongamos que N estuviese acotado supeiormente. Puesto que N = ∅ , debería tener supremo. Entonces: n sup N ∀ n ∈ N =⇒ (n + 1) sup N puesto que (n + 1) ∈ N si n ∈ N. entonces, n sup N−1, ∀ n ∈ N, lo que significa que sup N−1 es también una cota superior de N, lo que contradice que sup N es la cota superior mínima. Vemos ahora una importante consecuencia. Teorema.- ∀ε > 0 existe un número natural n tal que:
1 n

< ε.

Demostración.- (Reducción al absurdo) Supongamos que no: 1 Si n ε para todo n ∈ N Entonces: n 1 para todo n ∈ N. ε Esto significa que N esta acotado superiormente, lo que es una contradicción.

Teorema.- (de los intervalos encajados de Cantor) . Sean los números reales: a 1 , a 2 , · · · , a n , · · · y b 1 , b2 , · · · , bn , · · · tales que: a1 a2 ... an ... bn ... b2 b1 entonces: ∞ [ai , bi ] contiene al menos un punto i=1 NOTA: El teorema no se cumple en general si los intervalos no son cerrados, como lo pone de manifiesto el siguiente ejemplo: 1 Sea la colección de intervalos semi-abiertos In = (0, n ] con n ∈ N; entonces: In = ∅ n∈N En efecto, si: x∈ n∈N 1 0, n 1 m

entonces x > 0. Por un teorema anterior existe m ∈ N tal que 1 Entonces x ∈ 0, m luego debe tenerse: / In = ∅ n∈N < x.

Métrica de R Definición.- Se llama valor absoluto (o módulo) del número real x al mismo número x, si x 0 y −x si x < 0. Usando símbolos matemáticos:|x| |x| = x si x > 0 −x si x < 0

De la definición de valor absoluto se deducen: PROPIEDADES ∀ε > 0 Se cumple: i) |x| 0 ii) |x| = | − x| iii) −|x| x |x| iv) Si ε > 0 entonces las desigualdades: |x|

ε y −ε

x

ε son equivalentes

Podemos demostrar el siguiente resultado. PROPIEDAD TRIANGULAR : Teorema.- x, y ∈R entonces: |x + y| |x| + |y|

Demostración.- Si x, y ∈R, entonces −|x| Sumando término a término se obtiene: −(|x| + |y|) Segun (iv) esto es equivalente a: |x + y| x+y

x

|x| ; −|y|

y

|y|

|x| + |y|

|x| + |y|

Teorema.- x, y ∈R entonces |x − y|

|x| − |y|

Demostración.- Se tiene x = y + (x − y), de donde: |x| = |y + (x − y)| |y| + |x − y| =⇒ |x − y| |x| − |y| √ Observando que |x| = x2 es fácir probar el siguiente resultado Teorema.i) Si x, y ∈R entonces |x · y| = |x| · |y| ii) Si x, y ∈R con y = 0 entonces | x | = y

|x| |y|

Demostración.i) ii) |x · y| = (x · y)2 = x2 · y 2 =

√

x2 ·

y 2 = |x| · |y|
1 |y|

y · y −1 = 1 =⇒ |y · y −1 | = 1 =⇒ |y| · |y −1 | = 1 =⇒ |y −1 | =
1 1 entonces: | x | = |x · y | = |x| · | y | = |x||y −1 | = |x| · y 1 |y|

= |y|−1

=

|x| |y|

También puede demostrarse usando la definición y considerando los posibles casos que se obtienen considerando los distintos signos de x, y. Ejemplos.Resolver las ecuaciones: a) |x| = x + 2 b) x + 2|x| = 3 Resolución.a) Si x 0 =⇒ x = x + 2, que no tiene solución. si x < 0 =⇒ −x = x + 2, de donde x = −1 b) Si x 0 =⇒ x + 2x = 3, de donde x1 = 1 Si x < 0 =⇒ x − 2x = 3, de donde x2 = −3

Ejemplo.Demostrar que |x| − |y| |x − y|

Resolución.Se tiene ||x| − |y|| = |x| − |y| o bien = −(|x| − |y|) = |y| − |x|. En el primer caso hay que probar que |x| − |y| |x − y| cosa que ya sabemos. En el segundo caso había que ver que −(|x| − |y|) |x − y| lo que es fácil: |x − y| = | − (x − y)| = |y − x| |y| − |x| = −(|x| − |y|) Definición.- La distancia entre dos números reales, x, y, se define por d(x, y) = |x − y|

PROPIEDADES i) d(x, y) 0, d(x, y) = 0, si y sólo si x = y ii) d(x, y) = d(y, x) iii) d(x, y) d(x, z) + d(z, y); ∀x, y, z ∈ R (Desigualdad triangular)

Numerabilidad Definición.- Se dice que un conjunto A es numerable si es posible disponer sus elementos en una sucesión: a1 , a2 , a3 , . . . , an , . . .

Ejemplos.1) N es numerable: 1, 2, 3, . . . 2) Los números pares son numerables 2, 4, 6, . . . 3) Z es numerable: 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, . . . 4) Q es numerable. Sin embargo, no todos los conjuntos que se pueden considerar son numerables. Lo comprobamos con el siguiente resultado

Teorema.- R no es numerable.

Demostración.Reducimos la prueba a ver que I = [0, 1] no es numerable. Supongamos que I es numerable, de manera que sus elementos pueden expresarse como una sucesión: x1 , x 2 , x 3 , . . . Cada elemento de I puede escribirse en forma decimal como: x1 = 0.a11 a12 a13 . . . a1n . . . x2 = 0.a21 a22 a23 . . . a2n . . . x3 = 0.a31 a32 a33 . . . a3n . . .

xn = 0.an1 an2 a13 . . . a1n . . . donde aij ∈ {0, 1, · · · , 9} y donde cada decimal contiene un número infinito de cifras distintas de 0. Por ejemplo, en el caso 1/2 = 0’5000. . . = 0’4999. . . Se adopta la segunda expresión. Se construye ahora el número real: y = 0.b1 b2 b3 . . . bn . . . que pertenece a I en la forma siguiente: se escoge b1 de forma que b1 = 0 y b1 = a11 ; b2 de forma que b2 = 0 y b2 = a22 ; etc. Se tiene: y = x1 pues b1 = a11 ; y = x2 pues b2 = a22 ; etc. es decir y = xn , para n ∈N, por lo que y ∈ I, lo cual es una contradicción. Por tanto I no es numerable. /