Free Essay

Operateurs Differentiels

In: Science

Submitted By layalmoti
Words 1394
Pages 6
Master Dynamique terrestre et risques naturels Math´matiques pour g´ologues e e

Op´rateurs diff´rentiels e e
On ´tudie en g´osciences des fonctions scalaires des coordonn´es d’espace, comme la temp´rature, e e e e ou bien des vecteurs dont les trois composantes sont des fonctions des coordonn´es, comme la e pesanteur ou le champ magn´tique. Lorsque ces fonctions ont des d´riv´es partielles, on peut e e e d´finir d’autres scalaires ou vecteurs qui restent les mˆmes pour tout r´f´rentiel, ce qu’on appelle e e ee des invariants de la fonction ou du champ de vecteurs. Ils en fournissent des propri´t´s intrins`ques ee e et locales. Pour une fonction, les invariants qui nous seront utiles sont le gradient (un vecteur) et le laplacien (un scalaire). Pour un champ de vecteurs ce sont le rotationnel (un vecteur), la divergence (un scalaire) et le laplacien vectoriel (un vecteur).

1

Produit scalaire et vectoriel

Soit deux vecteurs a et b ayant pour composantes dans un r´f´rentiel cart´sien ax , ay , az et bx , by , ee e bz respectivement. On d´finit : e – le produit scalaire : a.b = ax b + ay by + az bz x ay b z − az b y – le produit vectoriel : a ∧ b =  az bx − ax bz  ax b y − ay b x

2

Notion de circulation d’un champ de vecteurs

On appelle travail de A ` B du vecteur a le long d’une courbe (C), dont un segment infinit´simal a e est le vecteur dl, la somme des produits scalaires infinit´simaux e
B

a.dl.
A

Lorsque (C) est une courbe ferm´e (A = B), la position de A sur (C) n’a pas d’importance, e seulement le sens de parcours. Le travail est alors appel´ la circulation de a sur (C), e a.dl.

3

Notion de flux d’un champ de vecteurs

Consid´rons une surface continue (S). Soit n sa normale unitaire, toujours issue du mˆme cˆt´. On e e o e appelle flux du vecteur a ` travers (S) le scalaire : a φ= a.ndS

Cette notion sera utilis´e pour introduire la divergence. e

4

Le gradient

La forme diff´rentielle totale d’une fonction f (x, y, z), o` x, y et z sont les trois variables de l’espace, e u est ∂f ∂f ∂f df = dx + dy + dz, ∂x ∂y ∂z

qui peut s’´crire sous la forme d’un produit scalaire de deux vecteurs u et dl avec e     ∂f dx ∂x  ∂f  u =  ∂y  dl =  dy  ∂f dz
∂z

Le champ vectoriel u s’exprime par un op´rateur nomm´ gradient que l’on note : e e    grad(f ) = ∇f = 
∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂z

 .

Ce vecteur n’est autre qu’une extension de la classique d´riv´e d’une fonction ` un espace de e e a dimension sup´rieure. Il indique donc la pente locale de la fonction, le vecteur obtenu ´tant dirig´ e e e le long de la plus grande pente au champ f . ∇f est orthogonal aux isosurfaces de f .

Expression en coordonn´es cyclindriques e
Sur la base (er , eφ , ez ) on a  ∇f =  
∂f ∂r 1 ∂f r ∂φ ∂f ∂z



 .

Expression en coordonn´es sph´riques e e
Sur la base (er , eθ , eφ ) on a  ∇f =  
∂f ∂r 1 ∂f r ∂θ ∂f 1 r. sin θ ∂φ



 .

5

La divergence
∂ux ∂uy ∂uz + + . ∂x ∂y ∂z

La divergence d’un champ vectoriel u est un scalaire d´fini par : e div(u) = ∇.u =

Afin de d´finir le sens physique de la divergence consid´rons un volume rectangulaire de cˆt´s dx, e e o e dy et dz. z Ux dz dy x

dx y

Le flux de u sortant de la face de droite dans la direction x est ux (x + dx, y, z)dydz. De mˆme le e flux de u entrant par la face de gauche dans la direction x est −ux (x, y, z)dydz. Le bilan de flux entre ces deux surfaces est donc ∂ux ∂ux dxdydz = dV ∂x ∂x Le mˆme raisonnement peut ˆtre fait dans la direction y et dans la direction z. Le bilan de flux au e e travers des faces du volume peut donc s’´crire e [ux (x + dx, y, z) − ux (x, y, z)]dydz = dφ = ∂uz ∂ux ∂uy + + ∂x ∂y ∂z dV = (∇.u)dV.

L’´quation ci-dessus permet d’exprimer ce qu’est la divergence : la divergence est donc le bilan de e flux d’un champ de vecteurs par unit´ de volume. Sous forme int´grale on obtient le th´or`me de e e e e la divergence (Green-Ostrogradsky) : u.dS = int div(u)dV

Le flux ` travers une surface ferm´e S d’un champ u est ´gale ` l’int´grale sur tout le volume a e e a e d´limit´ par S de la divergence de u. e e Si u est un champ de vitesse, alors la divergende de u mesure l’accroissement total de volume par unit´ de temps et par unit´ de volume. Si en un point A la divergence est positive (n´gative) alors e e e A est un point d’expension (de compression). Si la divergence de u est nulle en tout point d’une r´gion D alors le corps ayant le champ de vitesse u est incompressible dans cette r´gion. e e

Expression en coordonn´es cyclindriques e
∇.u = ∂uz 1 ∂(r ur ) 1 ∂uφ + + . r ∂r r ∂φ ∂z

Expression en coordonn´es sph´riques e e
∇.u = 1 ∂(r2 ur ) 1 ∂(sin θ uθ ) 1 ∂uφ + + r2 ∂r r sin θ ∂θ r sin θ ∂φ

6

Le rotationnel

Le rotationnel d’un champ vectoriel u est un vecteur d´fini par e   ∂uy ∂uz ∂y − ∂z   rotu = ∇ ∧ u =  ∂ux − ∂uz  . ∂z ∂x ∂uy ∂ux ∂x − ∂y On interpr`te le rotationnel ∇ ∧ u comme l’axe d’un tourbillon en m´canique des fluides, le champ e e u repr´sentant la vitesse du liquide. e Le rotationnel d’un gradient est nul : rot(grad(f ) = ∇ ∧ ∇f = 0 Soit u un champ vectoriel et (C) un contour ferm´. On peut montrer que le flux du rotationnel de e u ` travers une surface s’appuyant sur (C) est ´gale ` la circulation le long de (C) du champ u. Ce a e a th´or`me est appel´ th´or`me du rotationnel (Stokes) e e e e e u.dl = ∇ ∧ u.dS

Expression en coordonn´es cyclindriques e

1 r ∂uφ 1 ∂uz r ∂φ − ∂z ∂uz ∂ur ∂z − ∂r ∂(r uφ ) − ∂(r ur ) ∂r ∂φ

 ∇∧u =



 .

Expression en coordonn´es sph´riques e e

1 r sin θ 1 r sin θ 1 r ∂(sin θ uφ ) − ∂uθ ∂θ ∂φ ∂(r sin θ uφ ∂ur ∂φ − ∂r ∂(r uθ ) ∂ur − ∂θ ∂r

  ∇∧u =  



  . 

7

Le laplacien

Le dernier op´rateur que nous utiliserons est le laplacien. Le laplacien est d´fini comme la divergence e e du gradient. On distingue le laplacien scalaire laplacien(f ) = div(grad(f )) = ∆f = ∇2 f = De mˆme on d´finit le laplacien vectoriel comme e e 
∂ 2 ux ∂x2 ∂ 2 uy ∂x2 ∂ 2 uz ∂x2

∂2f ∂2f ∂2f + 2 + 2. ∂x2 ∂y ∂z

+ + +

 ∆u = ∇2 u = 

∂ 2 ux ∂y 2 ∂ 2 uy ∂y 2 ∂ 2 uz ∂y 2

+ + +

∂ 2 ux ∂z 2 ∂ 2 uy ∂z 2 ∂ 2 uz ∂z 2



 .

Le laplacien d’une fonction mesure la diff´rence entre la valeur de la fonction en un point et sa e moyenne autour de ce point. Ainsi le laplacien est nul ou tr`s petit lorsque la fonction varie sans e a ` coups.

Expression en coordonn´es cyclindriques e
∇2 f = 1 ∂ r ∂r r ∂f ∂r + 1 ∂2f ∂2f + 2. r2 ∂φ2 ∂z

Expression en coordonn´es sph´riques e e
∇2 f = 1 ∂ r2 ∂r r2 ∂f ∂r + 1 ∂ r2 sin θ ∂θ sin θ ∂f ∂θ + 1 ∂2f . r2 sin2 θ ∂φ2

8

Relations fondamentales div(grad) = laplacien div(rot) = 0 rot(rot) = grad(div) − laplacien rot(grad) = 0

9

Exercices
1. On consid`re un champ v purement divergent en 2D e (a) D´terminer le syst`me d’´quations diff´rentielles v´rifi´ par les composantes du champ e e e e e e v (b) Donner un exemple simple de vecteur v (c) Tracer le champ v 2. Idem mais pour un champ purement rotationnel.

Similar Documents

Free Essay

Archi

...ARCHITECTURE ET TECHNOLOGIE DES ORDINATEURS Sylvain TISSERANT Université de la Méditerranée Ecole Supérieure d’Ingénieurs de Luminy - Département d’informatique 2003 S. Tisserant – ESIL – Architecture et Technologie des Ordinateurs - 2003 2 Introduction I.1 Architecture des ordinateurs I.1.a L'informatique aujourd'hui Apparue au milieu du 20ème siècle, l'informatique a connu et connaît une évolution extrêmement rapide. A sa motivation initiale qui était de faciliter et d'accélérer le calcul, se sont ajoutées de nombreuses fonctionnalités, comme l'automatisation, le contrôle et la commande de pratiquement tout processus, la communication ou le partage de l'information. Dans nos sociétés occidentales elle omniprésente. Après avoir été un outil réservé aux centres de recherche, elle s'est implantée dans l'industrie et depuis les années 80 elle envahit nos foyers. Au départ nous n'avions que des systèmes centraux, puis sont apparus les postes de travail individuels, très rapidement reliés en réseaux locaux. Tous, ou presque, sont maintenant connectés à la "Toile". Nombreux sont les projets actuels d'utilisation et de gestion d'une puissance de calcul énorme distribuée sur un grand nombre de sites disséminés de par le monde. L'informatique est en grande partie responsable de la profonde transformation que connaît actuellement la civilisation des pays riches. Les évolutions techniques sont telles que la durée de vie des matériels est relativement courte. Le......

Words: 5614 - Pages: 23

Premium Essay

Operation Strategy Quality Measures

...The Role and Measurement of Quality in Competition Analysis 2013 The OECD Competition Committee discussed the role and measurement of quality in competition analysis in June 2013. This document contains an executive summary of that debate and the documents from the meeting: an analytical note by the OECD staff and written submissions: Australia, Canada, Chile, the European Union, Indonesia, Japan, Mexico, Portugal, United Kingdom, Ukraine, United States and BIAC. A note by Theodore Voorhees Jr. as well as a detailed summary of the discussion are also included. Competition policy is just as concerned with quality as it is with prices. While the importance of quality is undisputed and issues about quality are mentioned pervasively in competition agency guidelines and court decisions, there is no widely-agreed framework for analysing it which often renders its treatment superficial. There are a number of reasons why in practice, courts and competition authorities rarely analyse quality effects as rigorously as they analyse price effects. First, quality is a subjective concept and therefore much harder to define and measure than prices. In addition, microeconomic theory offers little help in predicting how changes in the level of competition in a market will affect quality and it is usually up to empirical analysis to determine how quality will change in response to varying degrees of competition in the context of particular markets. Given difficulties in terms of the evaluation...

Words: 125933 - Pages: 504

Free Essay

Djcauxde Report

...DOCUMENT DE RÉFÉRENCE 2014 179,8 179,8 Chiffre d'affaires 2014 par zone géographique Effectif 2013 par méti CHIFFRE D’AFFAIRES AJUSTÉ PAR ZONE GÉOGRAPHIQUE 2012 2013 2012 2014 2013 2014 2012 Reste du Monde 9,6 % Royaume-Uni 11,8 % Asie-Pacifique 23,3 % CHIFFRE D’AFFAIRES AJUSTÉ PAR ACTIVITÉ Administration et informatique 16% Vente et Marketing 19% * Hors France et Royaume-Uni Marge opérationnelle 2014 par activité Marge opérationnelle 2014 par activité 2 813,3 Chiffre d'affaires 2014 par zone géographique 2 676,2 2 813,3 602,2 623,6 Femmes 54% 602,2 Rest of the World 9.6% 45,3% Transport Affichage Affichage 439,0 1 012,5 38,6% 1 014,0 37,9% 1 078,8 38,6% 1 014,0 37,9% 1 078,8 38,4% 16,7% 439,0 2012 458,8 16,7% 470,3 17,6% 458,8 16,3% 470,3 17,6% 2012 2013 2013 2014 623,6 630,0 Mobilier Urbain Europe* 374,9 Mobilier Urbain 27.2% 374,9 62,3% 391,0 62,7% 408,0 62,3% 391,0 62,7% 408,0 64,8% 64,8% 170,6 28,3% 170,2 27,3% 175,7 28,3% 170,2 27,3% 175,7 27,9% 27,9% 9,4% 62,4 10,0% 46,3 62,4 10,0% 46,3 7,3% 7,3% 38,4% 16,3% Transport 170,6 Asia-Pacific 23.3% Transport Affichage 56,7 Affichage Le chiffre d’affaires ajusté du Mobilier Urbain s’établit à 1 275,7 millions d’euros, en augmentation de 7,0 %. A périmètre et taux de change constants, la croissance est de 4,3 %. 9,4% 2012 2014 En......

Words: 147140 - Pages: 589