Free Essay

Statistics Introduction

In:

Submitted By runomusom
Words 7724
Pages 31
İSTATİSTİK DERS NOTLARI

HAZIRLAYANLAR
YDR.DOÇ.DR.ANDIM OBEN BALCE YRD.DOÇ.DR.SERDAR DEMİR

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ İKTİSADİ VE İDARİ BİLİMLER FAKÜLTESİ EKONOMETRİ BÖLÜMÜ

2007, DENİZLİ

BÖLÜM 1 GİRİŞ
Günümüzde artık neredeyse her gün duyduğumuz “İSTATİSTİK” sözcüğü acaba gerçekte neyi ifade etmektedir? Özellikle medyada her gün bir kısım istatistiksel bilgiler sunulmakta, doğru ya da yanlış yorumlar yapılmaktadır. Ekonomik analizlerde, spor programlarında, seçim süreçlerinde, sağlık konularında ve daha birçok alanda sıkça kullanılan istatistik neden bu kadar önemlidir? Aklımıza gelen bu sorulara, bu bölümde kısaca cevap verilmeye çalışılacak, istatistiğin temel kavramları ele alınarak bir giriş yapılacaktır. İSTATİSTİK (STATISTICS) NEDİR? Yaşantımızın her anında bir karar verme durumu söz konusudur. Bu kararları verirken sahip olduğumuz bilgileri düşünce sürecinden geçirerek sonuca varmaya çalışırız. “Peki sahip olduğumuz bilgiler her zaman yeterli midir?, Bu bilgileri nasıl elde ediniriz?” v.b. sorulara vereceğimiz cevaplar bizi istatistiğe yönlendirecektir. yaşamda elbetteki alınacak kararların, içinde İhtimallerin bu kadar çok olduğu koşulların en iyi biçimde bulunulan

değerlendirilerek alınması gerekmektedir. Bu değerlendirme sürecinde en güçlü yardımcı araçlardan birisi istatistiktir. İstatistik, matematiğe dayalı olan kuramını uygulamaya geçirerek her türlü alanda büyük katkılar sağlamaktadır. Günümüzde ekonomi, işletme, sağlık, spor, mühendislik, genetik, astronomi, sanat v.d. hemen hemen tüm alanlarda kullanılan istatistiksel yöntemler, hızla artan bir öneme sahiptir. Bu nedenle istatistiğin doğru biçimde anlatılması gerekmektedir. Burada temel düzeyde istatistik konuları ele alınarak, öğrencilere günlük yaşamlarında ya da iş yaşamlarında yararlı olacak bilgileri vermek amaçlanmaktadır . Bir tanım olarak istatistik; belirsizlik altında bir konuda karar verebilmek amacıyla, ilgilenilen konuya ilişkin verilerin toplanması, düzenlenmesi, özetlenmesi, çözümlenmesi ve sonuçlarının yorumlanmasına yönelik olarak kullanılan yöntemler topluluğu olarak ifade edilebilir. Kısacası veri bilimidir ya da verilerin dilidir.

-2-

ÖNEMLİ KAVRAMLAR, TERİMLER, TANIMLAR Araştırma (Research) İlgilenilen konuya ilişkin sorunların saptanması, çözüm yollarının planlanması, uygulamaya konulması ve sonuçlarının değerlendirilmesine yönelik yapılan çalışmalardır. Araştırmanın konusu ve amacı belirgin olmalıdır. Zaman, personel ve maliyet dikkate alınarak, araştırmanın sınırı iyi belirlenmelidir. Araştırmada görev alan araştırıcılar ya da uzmanlar yeterli bilgi düzeyine sahip olmalıdır. Araştırmanın sonucunda elde edilen bilgiler doğru biçinde değerlendirilmelidir. Ölçme ve Ölçü (Ölçek) Ölçme (Measurement): Araştırma konusu ile ilgili sayısal değerleri elde etme işlemine “ ölçme” denir. Ölçme başlı başına bir çalışma alanıdır. Birçok yöntem ve teknik kullanılmaktadır. Ölçek(Scale): Sayısal değerleri elde etmek için kullanılan araç ya da gereçlere “Ölçek” ya da “Ölçek ya da Ölçü” denir. Ölçek türleri aşağıda verilmektedir: Sınıflamaya dayalı (Nominal) Ölçek: Cinsiyet (E, K); Sektör (Otomotiv, İmalat, Tarım, Maden,...; Medeni Durum; v.b; Ülkeler; ...) Sıralamaya dayalı (Ordinal) Ölçek: Ünvanlar, Rütbeler, Sınıflar,... Aralıklı (Interval) Ölçek: Başlangıç ve bitiş noktası vardır. Geçme notları, Sıcaklık ölçüleri, Zeka Ölçekleri,... Orana dayalı (Ratio) Ölçek: Sabit bir başlangıç noktası vardır. Hacim ve ağırlık ölçüleri, Uzaklık ölçüleri, sermaye, ... Kitle (Yığın, Anakütle, Population) Araştırma kapsamına giren, aynı özellikleri taşıyan birimlerin ya da bireylerin oluşturduğu topluluğa KİTLE denir. Kitlenin büyüklüğü araştırmanın özelliğine göre değişir. Nüfus sayımı için kitle Türkiye’dir. Denizli’deki üniversite öğrencilerinin giderleri için kitle Pamukkale Üniversitesi öğrencileridir. Kitle büyüklüğüne bağlı olarak her zaman tüm birimler (bireyler) hakkında bilgi sahibi olmak mümkün değildir. Bundan dolayı geniş kitlelerde araştırmalar; zaman, maliyet, personel, ulaşım, vb. nedenlerden dolayı tüm birimler yerine daha az sayıdaki birimler seçilerek yürütülür.

-3-

Örneklem (Sample) ve Örnekleme (Sampling) Bir kitleden, belirli yöntemler kullanılarak seçilen aynı özellikleri taşıyan bir kısım bireyin oluşturduğu topluluğa ÖRNEKLEM denir. Örneklem seçmek için kullanılan yöntemler topluluğu ise ÖRNEKLEME olarak adlandırılır. Örnekleme yöntemleri en genel şekliyle, Olasılığa Bağlı ve Olasılığa Bağlı Olmayan olarak 2 grubta toplanabilir. Olasılığa Bağlı Bazı Örnekleme Yöntemleri: Basit Rasgele Örnekleme, Tabakalı Örnekleme, Sistematik Örnekleme, Küme Örneklemesi; Sıralı Küme Örneklemesi. Olasılığa Bağlı Olmayan Bazı Örnekleme Yöntemleri: Kota Örneklemesi, Kartopu Örneklemesi, Uzman Örneklemesi. Tam Sayım Bir araştırma kapsamında, kitledeki tüm birimlerine ulaşılarak istenen bilginin elde edilmesi işlemidir. Bunun yapılabilmesi için incelenecek kitlenin büyüklüğünün, belirlenen maliyet ve zaman gibi kısıtlara uygun olması gerekir. Bazı durumlarda (nüfus sayımları gibi) kitle büyük olsa bile tam sayım yapılması zorunlu olmaktadır. Gelişen teknoloji ile birlikte bu tür tam sayımlar daha kolay yapılabilir hale gelmiştir. Gözlem (ya da denek, Observation) Kitle ya da örneklemde yer alan her birime gözlem ya da denek denir. Gözlem (ya da denek) sayısı aşağıdaki biçimde simgeleştirilmektedir. Kitledeki Gözlem Sayısı :N

Örneklemdeki Gözlem Sayısı: n Parametre (Parameter) ve İstatistik Kitle özelliklerinin sayısal değerlerine PARAMETRE denir. Araştırma kitle yerine örneklem üzerinde uygulanıyorsa, parametre değerleri tahmin edilir. Bu durumda, örneklemden elde edilen sayısal değerlere İSTATİSTİK denir. Örnek olarak, sıkça kullanılan bazı parametreler ve istatistikler aşağıda verilmektedir: Parametre Kitle Ortalaması :  Kitle Varyansı :
2

İstatistik Örneklem Ortalaması : x Örneklem Varyansı : S2

-4-

Değişken (Variable) Nicel (kantitatif) ya da nitel (kalitatif) anlamda bir özellik ya da karakterde belirgin olarak görülen farklılık, DEĞİŞKEN ile gösterilebilir. Bir değişken, denekten deneğe değişebilir. Örneğin; GSMH, İhracat-İthalat Değerleri ya da miktarları, Cari Fiyat, Dolar Alış-Satış Kurları,vb... Değişkenlere karşılık gelen denek ya da gözlem değerlerine de VERİ denir. Veriler, tek değişkenli, çift değişkenli ya da çok değişkenli olarak da kullanılabilir. Değişkenler; Nicel ve Nitel değişkenler olarak sınıflandırılabilir. Örnek: Nitel Değişkenler Cinsiyet Medeni durum Şirket Türü Ülkeler Nicel Değişkenler İhracat Miktarı Öğrenci Sayısı TÜFE Endeksi Ücretler

Değişkenler; Sürekli ve Kesikli değişkenler olarak sınıflandırılabilir. Sürekli Değişken: Değişkenler ölçülerek ya da sıralanarak elde edilir. İki ölçüm arası sonsuz sayıda noktaya bölünebilir. Aralık biçiminde ifade edilebilirler. Örneğin; boy uzunluğu, kilo, fiyat, gelir,.... Kesikli Değişken: Ölçümler 0, 1, 2 gibi kesin değerler alır. Ara değerler söz konusu değildir. Nitel değişkenler, genellikle kesikli değişkenlerdir. Örneğin; cinsiyet, yazı-tura, ülke kodları, şirket türü, vb...

-5-

BÖLÜM 2 VERİLERİN ÖZETLENMESİ
Bu bölümde, veri kavramı ve verilerin özetlenmesinde kullanılan temel yöntemler ele alınacak; çeşitli uygulamalar ile konuların daha iyi anlaşılması sağlanmaya çalışılacaktır. Veri (Data, Datum) Belirli amaçlar için toplanan bilgilere veri denir. Veri toplamak için farklı yöntemler kullanılabilir: Mevcut kaynaklardan (eski kayıtlar, arşivler, raporlar, yıllıklar, vb...) yararlanarak, Gözlem yaparak, Anket yaparak, Deney yaparak, Simülasyon yoluyla bilgisayarda yapay veri üreterek.

Temel olarak 2 tür veri vardır: NİCEL (Quantity) VERİ: Sayısal bir ölçekle ölçülerek elde edilmiş verilerdir. Boy uzunluğu, fiyat,.. NİTEL (Qualify) VERİ: Kategoriler biçiminde sınıflandırılabilen verilerdir. Cinsiyet, göz rengi,... Dağılım (Distribution) Kitlede ya da örneklemde yer alan her değişkene ilişkin veriler, araştırma konusuna ve araştırılan topluluğa özgü bir dağılım gösterirler. Dağılımda yer alan verilerin ortalaması hesaplanabilir. Veriler, ortalamanın iki yanında ve farklı uzaklıklarda yer alırlar. Verilerin, ortalamanın iki yanında ne şekilde yer aldığına ilişkin görünüme verilerin DAĞILIMI denir. İstatistikte kullanılan dağılım kavramı genel olarak 3 başlık altında ele alınmaktadır: i) Sıklık Dağılımları ii) Olasılık Dağılımları iii) Örneklem Dağılımları Bunlar ilerleyen kısımlarda ya da bölümlerde ayrıntılı olarak ele alınacaktır.

-6-

SIKLIK DAĞILIMLARI Çeşitli yollarla toplanan veriler, özellikleri hakkında bilgi edinmek amacıyla, düzenlemeler

yapılarak özet halinde sunulurlar. Uygulamalarda veri kümeleri çok sayıda gözlem içerebilmektedir. Bu nedenle verilerin özetlenmesi, ilgilenilen olay ya da problem açısından ilk yapılacak iş ve son derece önemli bir işlemdir. Verilerin düzenlendiği çizelgelere sıklık çizelgeleri, verilerin gösterdiği dağılıma sıklık dağılımı denir. Verilerin yapısına (nitel, nicel, vb...) göre sıklık çizelgeleri düzenlenir.

NİCEL VERİLERDE SIKLIK ÇİZELGELERİ Bir araştırma sonunda elde edilen sürekli nicel veriler, düzenlenmemiş ham ya da sınıflandırılmamış verilerdir. Aşağıda örnek olarak sunulan veriler düzenlenmemiş ham verilerdir. Konunun daha iyi anlaşılması için bu örnek üzerinden uygulamalar yapılacaktır. ÖRNEK: Bir finans analisti, bilgisayar donanım ve yazılım şirketlerinin AraştırmaGeliştirme(AR-GE) faaliyetlerine ayırdıkları kaynak miktarıyla ilgilenmektedir. Bu analist yüksek teknolojiye sahip 50 firmayı örneklem olarak belirlemiş ve bir önceki yıl gelirlerinden AR-GE’ye ayırdıkları kaynak miktarlarını (1000 YTL) elde etmiştir. Analistin amacı bu veri kümesini özetleyerek bir takım bilgilere ulaşmaktır. Veriler Tablo 1’de verilmiştir. Tablo1. Firmaların AR-GE faaliyetlerine ayırdıkları kaynak miktarları
Firma No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Miktar 13.5 8.4 10.5 9.0 9.2 9.7 6.6 10.6 10.1 7.1 Firma No 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Miktar 8.0 7.9 6.8 9.5 8.1 13.5 9.9 6.9 7.5 11.1 Firma No 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Miktar 8.2 8.0 7.7 7.4 6.5 9.5 8.2 6.9 7.2 8.2 Firma No 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 Miktar 9.6 7.2 8.8 11.3 8.5 9.4 10.5 6.9 6.5 7.5 Firma No 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 Miktar 7.1 13.2 7.7 5.9 5.2 5.6 11.7 6.0 7.8 6.5

Bu verilerin kaynak miktarına göre küçükten büyüğe doğru sıralanmış şekli, Tablo2’de verilmektedir. -7-

Tablo2. Sıralanmış Kaynak Miktarı Verileri
Firma No 45 46 44 48 25 39 50 7 13 18 Miktar 5.2 5.6 5.9 6.0 6.5 6.5 6.5 6.6 6.8 6.9 Firma No 28 38 10 41 29 32 24 19 40 23 Miktar 6.9 6.9 7.1 7.1 7.2 7.2 7.4 7.5 7.5 7.7 Firma No 43 49 12 11 22 15 21 27 30 2 Miktar 7.7 7.8 7.9 8.0 8.0 8.1 8.2 8.2 8.2 8.4 Firma No 35 33 4 5 36 14 26 31 6 17 Miktar 8.5 8.8 9.0 9.2 9.4 9.5 9.5 9.6 9.7 9.9 Firma No 9 3 37 8 20 34 47 42 1 16 Miktar 10.1 10.5 10.5 10.6 11.1 11.3 11.7 13.2 13.5 13.5

Sıklık Çizelgesinin Elde Edilişi Sıklık çizelgesinin elde edilişinde kullanılan tanımlar adımsal olarak verilerek yukarıdaki örnekle bu tanımlar pekiştirilmeye çalışılacaktır. Dağılım Sınırları: Bir dağılımda (veri kümesinde) yer alan en küçük ve en büyük denek değerleridir. En büyük değer (Maksimum): 13.5 (dağılımın üst sınırı) En küçük değer (Minimum) : 5.2 (dağılımın alt sınırı) Dağılım Genişliği (DG): Dağılım sınırları arasındaki farktır. DG=En büyük değer - En küçük değer =13.5 - 5.2 = 8.3 Sınıf: Eşit ya da birbirine yakın değerli deneklerin oluşturduğu her bir gruba SINIF denir. Sınıf sayısı, k ile gösterilir. Sınıf sayısının genellikle 7 ile 20 arasında olması istenir. Araştırmacı tarafından belirtilen sınıf sayısı, çok sayıda veri olduğunda aşağıda verilen Sturges’in formülü ile de bulunabilir. k=1+3.3log(n) Sınıfın Alt Sınırı: Bir sınıfta yer alan en küçük değerdir. Sınıfın Üst Sınırı: Bir sınıfta yer alan en büyük değerdir. Sınıf Aralığı: Ard Arda gelen iki sınıfın alt sınırları ya da üst sınırları arasındaki farktır. Sınıf aralığı, c ile gösterilir. Örneğimizde sınıf sayısı 8 olarak alınsın. Bu durumda Sınıf Aralığı:

-8-

c

DG  a SINIFSAYISI

a: veri kümesindeki verilerin ondalık kısmındaki hane sayısı ile ilgilidir. Örneğimizde tam kısımdan sonra 1 hane olduğu için a=0.1 alınır.

c

8.3  0.1 8.4   1.05 8 8

Sınıf sayısı ve aralığı belirlendikten sonra, ilk sınıfın alt sınırı saptanır. Bu değer genellikle dağılımın en küçük değeridir. Sınıf aralığı (c=1.1) ard arda eklenerek diğer sınıfların alt sınırları bulunur. İlk sınıfın üst sınırı ise ikinci sınıfın alt sınırının son hanesinden 1 çıkarılarak bulunur. Diğer sınıfların üst sınırları da ardı ardına sınıf aralığı eklenerek bulunur. Sıklık: Bir sınıfta yer alan denek sayısı o sınıfın sıklığıdır. f ile gösterilir. Sıklıklar toplamı denek sayısına eşittir. n f i 1

i

n

Örneğimizde ise k=8 tane sınıf olduğundan

f i 1

8

i

 50 ’dir.

Sınıflar oluşturulduktan sonra sınıfların sıklıkları bulunur. Bunun için önce her sınıfın sıklığı işaretleme (çeteleme) ile bulunur. İşaretlerin sayısı sınıf sıklıklarını verir. Seçilen sınıf sayısının uygun olup olmadığını tespit etmek için son sınıfta en büyük denek değerinin yer alıp almadığın bakılmalıdır. Eğer son sınıfta en büyük denek değeri yer almıyorsa sınıf sayısı daha büyük olmalıdır. En büyük denek değeri son sınıftan bir önceki sınıfta da yer alabilir. Bu durumda seçilen sınıf sayısı veriler için büyüktür. Bu iki durumda sınıf sayısı artırılır ya da azaltılır. Sınıf (Orta) Değeri (m): Bir sınıfın alt ve üst sınırlarının ortalaması o sınıfın sınıf değeri ya da sınıf orta değeridir. Sınıf değeri bir sınıfı tek bir değerle temsil eder ve m ile gösterilir.

mi 

ASi  ÜSi , i  1,2,..., k 2

ASi: i.sınıfın alt sınırı ÜSi: i.sınıfın üst sınırı Göreli Sıklık(Sıklık Yüzdesi): Her sınıfa düşen denek sayısının toplam denek sayısına göre yüzdesidir. Göreli Sıklıklar pi ile gösterilir. Toplamları 1 olmalıdır. -9-

pi 

fi , i  1,2,..., k n

p i 1

n

i

1

Çizelge1. AR-GE faaliyetleri için ayrılan kaynak miktarı verileri için sıklık çizelgesi
Sınıf Alt Sınır (AS) Üst Sınır (ÜS) Sınıf Orta (mi) 6.77 7.82 8.87 9.92 10.97 12.02 13.07 Değeri Çeteleme Sıklık (fi) Göreli Sıklık (pi=fi/n) 0.08 0.24 0.26 0.10 0.14 0.10 0.02 0.06

1 2 3 4 5 6 7 8

5.20 6.25 7.30 8.35 9.40 10.45 11.50 12.55

6.24 7.29 8.34 9.39 10.44 11.49 12.54 13.59

(5.15+6.24)/2=5.72 //// ///// ///// // ///// ///// /// ///// ///// // ///// / //// Toplam:

4 12 13 5 7 5 1 3 50

1.00

Çizelge 1 için örnek yorumlar: İkinci sınıfta AR-GE’ye 6.25 ile 7.29 bin YTL arasında yatırım yapan firmalar yer alır ve bu sınıftaki firmalar ortalama 6.77 bin YTL AR-GE’ye yatırım yapar. AR-GE’ye yatırım yapan 50 firmanın 12 tanesi ya da %24’ü AR-GE’ye ortalama 6.77 bin YTL yatırım yapmışlardır. AR-GE’ye yatırım yapan firmaların %24’ü AR-GE’ye tahminen ortalama 6.77 bin YTL yatırım yapmaktadırlar. (kitle için yorum) Sınıf Ara Değerleri (SA): Sınıflar arasındaki değerlerdir. Birinci sınıfın üst sınırı ile ikinci sınıfın alt sınırının ortalaması, birinci sınıf ile ikinci sınıf arasındaki sınıf ara değerini verir. İlk sınıfın ara değeri birinci sınıftan önce bir sınıf varmış diye kabul edilerek, hesaplanın birinci ve ikinci sınıflar arasındaki değerinden sınıf aralığı (c) çıkarılarak bulunur. Son sınıf ara değeri ise, sanki son sınıftan sonra bir sınıf daha varmış gibi kabul edilerek, hesaplanan son sınıf ara değerine sınıf aralığı (c) eklenerek bulunur. Sınıf ara değerlerinin sayısı (k+1)’dir. Birikimli Sıklık: Sınıf sıklıklarının üst üste eklenmesi ile oluşan sıklıklar birikimli sıklıklardır. Den Daha Az Birikimli Sıklık: Sınıf ara değerinden daha az değeri olan sınıf sıklıklarının birinci sınıftan başlayarak eklenmesi ile elde edilir. Den Daha Çok Birikimli Sıklık: Sınıf ara değerinden daha çok değeri olan sınıf sıklıklarının birinci sınıftan başlayarak eklenmesi ile elde edilir. Bir sınıf ara değerine karşı gelen den daha az ve den daha çok birikimli sıklıklar toplamı denek sayısına eşittir. Birikimli sıklıklar denek sayısına oranlanırsa den daha çok birikimli - 10 -

sıklık yüzdeleri ve den daha çok birikimli sıklık yüzdeleri elde edilir. Birikimli sıklık yüzdeleri sınıf ara değerinden daha az ya da daha çok büyük değerli denek değerlerinin yüzdesini verir. Alt sınır, üst sınır, sınıf değeri, sıklık ve göreli sıklık bilgilerinin oluşturduğu çizelgeye Sıklık Çizelgesi (Çizelge 1) ve Alt sınır, üst sınır; sınıf ara değeri, birikimli den daha az ve den daha çok sıklıklar ve birikimli den daha az ve den daha çok sıklık yüzdelerinden oluşan çizelgeye Birikimli Sıklık Çizelgesi denir(Çizelge 2). Çizelge2. AR-GE faaliyetleri için ayrılan kaynak mikatarı verileri için Birikimli Sıklık Çizelgesi
Sınıf 1 2 3 4 5 6 7 8 AS 5.20 6.25 7.30 8.35 9.40 10.45 11.50 12.55 ÜS 6.24 6.245 7.29 7.295 8.34 8.345 9.39 9.345 10.44 10.445 11.49 11.495 12.54 12.545 13.59 13.595 3 50 0 1.00 0.00 1 47 3 0.94 0.06 5 46 4 0.92 0.08 7 41 9 0.82 0.18 5 34 16 0.68 0.32 13 29 21 0.58 0.42 12 16 34 0.32 0.68 Sınıf Ara Değeri 5.145 4 4 46 0.08 0.92 fi Birikimli Sıklıklar Den Daha Den Daha Çok Az 0 50 Birikimli Sıklık Yüzdeleri Daha Den Daha Den Çok Az 0.00 1.00

Çizelge 2 için örnek yorumlar: 50 firmadan sadece 4 tanesi ya da %8’i AR-GE’ye 6.245 bin YTL’den daha az yatırım yapmıştır. AR-GE’ye yatırım yapan firmalardan tahmini olarak %8’i AR-GE’ye 6.245 bin YTL’den daha az yatırım yapmaktadır. (kitle için yorum) 50 firmadan sadece 46 tanesi ya da %92’si AR-GE’ye 6.245 bin YTL’den daha çok yatırım yapmıştır. AR-GE’ye yatırım yapan firmalardan tahmini olarak %92’i AR-GE’ye 6.245 bin YTL’den daha çok yatırım yapmaktadır. (kitle için yorum) Dikkat: Rakamların geldiği yerlere dikkat ederek benzer yorumlar diğer sınıflar içinde yapılabilir. Veriler ondalıklı değil ise sınıf ara değerinin anlamı yoktur. Çizelge2’deki sınıf ara değeri kolonu olmaz ve birikimli sıklık ve birikimli sıklık yüzdeleri alt sınır ve üst sınır değerlerine göre yorumlanır. - 11 -

HİSTOGRAM :

14 12 10
Sıklık

8 6 4 2 0 5.72 6.77 7.82 8.87 9.92 10.97 12.02 13.07 K.Miktarı

Çizelge1’de verilen göreli sıklık ve sınıf değerleri kullanılarak histogram çizilmiş ve yukarıda verilmiştir. Tablodaki bilgiler görsel olarak bu histogramdan da yorumlanabilir. Histogramdan veri dağılımının sağa çarpık olduğu gözlenmektedir. Büyük olasılık ile verilerin ortalaması ortancadan büyüktür. Eğer ortalama ve ortanca hesaplanırsa bu kolaylıkla görülebilir. DAL YAPRAK ÇİZİMİ: Veri kümesinin görsel olarak bir diğer gösterimi Dal-yaprak çizimidir. Dal 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Yaprak 269 055568999 11224557789 001222458 02455679 1556 137 255

Dal kısmında ondalıktan önceki verinin tam kısmı, yaprak kısmına ise ondalıktan sonraki kısım yazılarak dal-yaprak çizimi gerçekleştirilir. Benzer yorumlar bu çizimden de yapılır.Veri kümesinin sağa çarpıklığı buradan da gözlenebilir. 50 firmanın çoğunluğunun %9.9’dan daha az AR-GE’ye yatırım yaptığı söylenebilir. Bu durumdaki firma sayısı ise 40 tanedir. Grafikten yorumlar subjektif’tir. Diğer benzer ya da farklı yorumlamak mümkündür. - 12 -

DAĞILIM POLİGONU:

0.3 0.25
Sıklık Yüzdesi

0.2 0.15 0.1 0.05 0 5.70 6.80 7.90 9.00 10.10 11.20 12.30 13.40
Kaynak M iktarı

Enterpolasyon yöntemi ile ara değer bulma Yukarıdaki örnekte size %9’dan daha çok yatırım firma sayısı ne olduğu sorulduğunda tablodan direk bu soruya cevap vermeniz mümkün değil ama enterpolasyon yöntemi ile cevap vermeniz mümkündür. Sınıf Ara Değeri 8.345 9.00 9.395 Den Daha çok Sıklığı 21 X 16

(9  8.345) X  21 0.655 X  21     X  17.88  18 (9.395  8.345) 16  21 1.05 5
Enterpolasyon yöntemi ile %9’dan daha çok yatırım firma sayısının yaklaşık 18 olduğu bulunur. Enterpolasyon yöntemi ara değer bulmada kullanılan bir yöntemdir.

NİTEL VERİLERDE SIKLIK ÇİZELGESİ

- 13 -

SINIFLANABİLEN VERİLERDE SIKLIK ÇİZELGESİ Sınıflanan verilerde, sınıflar bağımsız olarak elde edildiği için her sınıfa düşen denek sayıları sıklık çizelgesini oluşturur. Sınıflar bağımsız olduğu için sıklık çizelgesinde sadece sınıf ve sıklık, göreli sıklık kolonları yer alır. ÖRNEK: 2003 turizm sezonunda ülkemize gelen 800 turistin ülkeye gelişte yararlandıkları taşıt türlerine göre dağılımının sıklık çizelgesi aşağıdaki çizelgede verilmiştir. Çizelge 3. 800 turistin yararlandıkları taşıt türlerine göre sıklık çizelgesi Taşıt Türü Kara Taşıtı Hava Taşıtı Deniz Taşıtı Toplam Yorumlar: 2003 turizm sezonunda ülkemize gelen 800 turistin %47.5’i (380 tanesi) uçak ile seyahat etmişlerdir. 2003 turizm sezonunda ülkemize gelen turistlerin yaklaşık %47.5’inin uçak ile seyahat ettikleri tahmin edilmektedir. Daire Dilimleri Grafiği Sıklık (f i) 220 380 200 800 Göreli Sıklık (pi=fi/n) 0.275 0.475 0.250 1.000

0.25

0.275 Kara Hava Deniz

0.475

SIRALANABİLEN VERİLERDE SIKLIK ÇİZELGESİ

- 14 -

Veriler belli bir sıralama ölçütüne göre sıralanabilen sınıflara ayrılır ve her sınıfa düşen deneklerin sayısı saptanırsa sıralanabilen verilerde sıklık çizelgesi elde edilir. ÖRNEK: Ekonomi dersinin genel sınav sonuçlarının sıklık çizelgesi aşağıdaki çizelgede verilmiştir. Çizelge 4. 77 öğrencinin Ekonomi sınav sonuçlarının sıklık çizelgesi
Notlar Sıklık (fi) Göreli Sıklık (pi=fi/n) Ve Daha Az Birikimli Sıklığı Ve Daha Çok Birikimli Sıklığı

F C B2 B1 A2 A1

29 31 7 6 3 1 77

0.377 0.402 0.091 0.071 0.039 0.013 1.000

29 60 67 73 76 77

(%37.7) (%77.9) (%87.0) (%94.8) (%98.7) (%100)

77 (%100) 48 (%62.3) 17 (%22.0) 10 (%12.9) 4 (%5.2) 1 (%1.3)

Yukarıdaki sıklık çizelgesinden yararlanarak bazı yorumlar yapılabilir: Ekonomi dersini alan öğrencilerin %3.9’u dersi A2 notu ile başarmıştır. Ekonomi dersini alan öğrencilerin %62.3’ü C ve daha yüksek not almıştır

EŞİT OLMAYAN ARALIKLI VE AÇIK UÇLU SIKLIK ÇİZELGESİ Eşit olmayan aralıklı sıklık çizelgeleri, uçlara doğru sıklık yoğun olduğunda ya da dağılım aşırı derecede çarpıklaştığında, uçların birinde ayrıntıların yok olduğu diğerinde gereksiz olduğu durumlarda düzenlemelidir. Örneğin, gelir dağılımı eşit olmayan aralıklı çizelgesi oluşturulur. Düşük gelirlerde sıklık yayılması olmasına karşın yüksek gelirlerde sıklıklar azalır. Eşit olmayan aralıklı sıklık çizelgelerinde, sınıflandırmada yorum ve grafik çiziminde kolaylık sağlanması için aralıklar en küçük aralığın katları olarak alınmalı ve değişik aralık sayısı da az olmalıdır. Dağılım sınırları belli olmayan verilerin sıklık çizelgeleri açık uçlu düzenlenir. Açık uçlu sıklık çizelgeleri, sınıf değerlerine bağlı olan hesaplamalarda güçlük yaratabilir. Böyle durumlarda kesin olmayan sınıf değerleri tahmin edilir. Açık uçlu sınıf sıklıkları küçük olduğu için, tahmin edilen değerlerden ötürü hatalı sonuç bulma olasılığı küçük olabilir.

ÖRNEK: Bir ildeki 30 ilkokulun derslik sayılarının dağılımı incelensin. - 15 -

Derslik Sayısı: 5 İlkokul Sayısı: 6

6 8

7 0

8 1

9 10 11 12 13 14 15 0 9 0 3 0 2 1

Verilerin, derslik sayısı 7, 9 11 ve 13 olan ilkokul sayısı sıfır olduğu için eşit olmayan aralıklı sıklık çizelgesi düzenlenebilir: Derslik Sayısı
5 6 7-9 10-12 13-15

İlkokul Sayısı
6 8 1 12 3

ÖRNEK: 108 kişinin yetenek test puanlarına göre dağılımı, açık uçlu sıklık çizelgesine örnektir: Puan 100’den az 100-119 120-139 140-159 160-179 180-199 200 ve çok Sıklık(fi ) 7 11 24 36 19 8 3

MERKEZİ KONUM (EĞİLİM) ÖLÇÜLERİ

- 16 -

Konum ölçüleri, verilerin dağılımdaki yerlerini, birbirlerine olan uzaklıklarını kısacası konumlarını belirlemek için kullanılan ölçülerdir. Bu ölçüler Tablo1’de verilen verilen veriler üzerinde uygulanarak aşağıda tek tek ele alınmaktadır. Aritmetik Ortalama ( x ) En sık biçimde kullanılan merkezi konum ölçüsüdür. Sınıflandırılmamış verilerde aritmetik ortalama,

x   xi / n i 1

n

formülü ile bulunur. Elimizdeki verilerin aritmetik ortalaması;

x  5.2  5.6  ...  13.5  424.6 / 50  8.49 olarak bulunur. Sınıflandırılmış verilerde ise aşağıdaki formüller kullanılmaktadır: i) Formül1

x

f m i 1 i

k

i

n

= (5.72x4+6.80x12+...+13.07x3)/50 = 425.65/50 = 8.513

ii)Formül2

x  Ac

f b i 1 i

k

i

n

A=Herhangi bir sınıf değeri (genellikle orta kısımlardaki sınıflardan seçilir) bi=(Si-A)/c

ˆ Tepe Değeri (Mod) ( x )
Sınıflandırılmamış verilerde tepe değeri en sık tekrar eden değerdir. Ham verilerimizde bu değer 6.50 ve 8.20 değerleridir. Sınıflandırılmış verilerde ise tepe değeri aşağıdaki gibi hesaplanır.

ˆ x  As  c

d1 d1  d 2

As=En büyük sıklığın bulunduğu sınıfın alt sınırı - 17 -

d1=En büyük sıklık - bir önceki sıklık d2=En büyük sıklık-bir sonraki sıklık O halde, As=7.30 d1=13-12=1 d2=13-5=8

ˆ x  7.30  1.05

1  7.42 1 8

Ortanca (Medyan)( x  ) Sınıflandırılmamış verilerde ortanca; n çift ise n/2'nci değer, n tek ise (n+1)/2'nci değerdir. Veri sayısı çift olduğundan (50)/2=25'inci değer olan 8.00 ortanca değerimizdir. Sınıflandırılmış verilerde ise ortanca aşağıdaki gibi hesaplanır.

n ( yada n  1) i1   fm 2 m 1 x  L  c fi
n 2  j  n 1  2  , n çift ise , n tek ise

L= DDA kolonunda j'nin bulunduğu sınıfın alt SAi değeri n=50 olduğundan j=59/2=25 bulunur. L=7.295

 f m   f m  16 m 1 m 1

i 1

4 1

x  L  c

n / 2  fm m 1

i 1

fi

 7.295  1.05

50 / 2  16  8.02 olarak bulunur. 13

Ortalama, ortanca ve tepe değeri arasındaki bağıntı:

ˆ x  x   x ise sıklık dağılımı simetrikdir.
- 18 -

ˆ x  x   x ise sıklık dağılımı negatif yöne eğilimli ya da sola doğru çarpıktır.

ˆ x  x   x ise sıklık dağılımı pozitif yöne eğilimli ya da sağa doğru çarpıktır.

ˆ Verilerimiz için x < x  < x olduğundan dağılımın sağa çarpık olduğu söylenebilir. Hali hazırda verilerin histogram grafiğinden de bu görünmekteydi.

YÜZDELİKLER, ÇEYREK DEĞERLER (DÖRDEBÖLENLER)

- 19 -

Yüzdelik (Percentile): Kendinden önce ve sonraki belirli oranlarda değerler olan noktanın değerini ifade etmektedir. Örneğin; 40. yüzdelik kendisinden önce deneklerin %40'ını kendisinden sonra deneklerin % 60'ının olduğu değerdir. Çeyrek Değer (Quartile): 25. ,50. ve 75. yüzdelik değerleri, 1, 2 ve 3. çeyrek dğerlerdir. Q1= 1.çeyrek değer (25. yüzdelik) (Alt dördebölen) Q2= 2. çeyrek değer (50. yüzdelik) aynı zamanda ortancadır. Q3= 3. çeyrek değer (75. yüzdelik) (Üst dördebölen) Sınıflandırılmamış verilerde aşağıdaki eşitlikler ile 1. ve 3. çeyrek değerler bulunur:

 X j  Q1    X j  X j1  2 

, j

n 1 , n tek ise 4 n , j , n çift ise 4

3(n  1)  , j , n tek ise X j 4  Q3    X j  X j1 , j  3n , n çift ise  2 4 

n ya da n+1 dördün katı değilse, çeyrek değerler araya katma yolu bulunurlar. Verilerimiz için n=50 olduğundan dördün katı değildir. j=50/4=12.50=121/2 olduğundan 12. ile 13. veri arasında kalmaktadır (% 50 lilik bir fazlayla). Bu durumda; Q1=6.9+0.50x(7.1-6.9)=7.00

3.çeyrek değeri için j=3x50/4=37.5= 37 Bu durumda; Q3=9.6+0.50x(9.7-9.6)=9.65

1 olduğundan 37 ile 38. veri arasında kalmaktadır. 2

Dördebölenler Aralığı: Aşırı uç değerden çok az etkilenen bir konum ölçüsüdür. Ancak kullanımda tercih edilmeyen bir ölçüdür. DBA=Q3- Q1

Sınıflandırılmış verilerde ise aşağıdaki formül ile hesaplanmaktadır:

- 20 -

%an  Pa  L  c
Pa=a. yüzdelik

m 1

fm

i 1

fi

L=%an değerini içine alan DDA sıklıklarının minimum olanına karşılık gelen SA değeri f m=%an değerini içine alan DDA sıklığı fi=yüzdeliğin bulunduğu sınıfın sıklığı Verilerimiz için aşağıdaki yüzdelikleri bulalım: a=10 için %an=10x50/100=5.00, L=6.245, f2=12, f m=4

P10  6.245  1.1

5 4  6.34 12

YORUM-1: 50 firmanın %10’u AR-GE için en fazla 6.34 bin YTL yatırım yapmaktadır. YORUM-2: 50 firmanın %90’ı AR-GE için en az 6.34 bin YTL yatırım yapmaktadır. YORUM-3: Firmaların %10’u AR-GE için tahminen en fazla 6.34 bin YTL yatırım yapmaktadır. YORUM-4: Firmaların %90’ı AR-GE için tahminen en az 6.34 bin YTL yatırım yapmaktadır.

a=25 için %an=25x50/100=12.50 L=6.245 f2=12 f m=4

P25  6.245  1.1

12.5  4  7.02 12

YORUM-1: 50 firmanın %25’i AR-GE için en fazla 7.02 bin YTL yatırım yapmaktadır. YORUM-2: 50 firmanın %75’i AR-GE için en az 7.02 bin YTL yatırım yapmaktadır. YORUM-3: Firmaların %25’i AR-GE için tahminen en fazla 7.02 bin YTL yatırım yapmaktadır. YORUM-4: Firmaların %75’i AR-GE için tahminen en az 7.02 bin YTL yatırım yapmaktadır.

a=50 için %an=50x50/100=25 L=7.295 f3=13 f m=16

P50  7.295  1.05

25  16  8.02 13

YORUM-1: 50 firmanın %50’si AR-GE için en fazla 8.02 bin YTL yatırım yapmaktadır. YORUM-2: 50 firmanın %50’si AR-GE için en az 8.02 bin YTL yatırım yapmaktadır. YORUM-3: Firmaların %50’si AR-GE için tahminen en fazla 8.02 bin YTL yatırım yapmaktadır. YORUM-4: Firmaların %50’si AR-GE için tahminen en az 8.02 bin YTL yatırım yapmaktadır.

a=75 için - 21 -

%an=75x50/100=37.50

L=9.395

f5=7

fm=34

P75  9.395  1.05

37.5  34  9.92 7

YORUM-1: 50 firmanın %75’i AR-GE için en fazla 9.92 bin YTL yatırım yapmaktadır. YORUM-2: 50 firmanın %25’i AR-GE için en az%9.92 bin YTL yatırım yapmaktadır. YORUM-3: Firmaların %75’i AR-GE için tahminen en fazla 9.92 bin YTL yatırım yapmaktadır. YORUM-4: Firmaların %25’i AR-GE için tahminen en az 9.92 bin YTL yatırım yapmaktadır.

AĞIRLIKLI, GEOMETRİK VE HARMONİK ORTALAMA AĞIRLIKLI ORTALAMA Sınıflandırılmamış bazı veri kümelerinde verilerin önem dereceleri farklı olabilir. Bu farkların etkisi de ağırlık biçiminde hesaplamaya katılarak Ağırlıklı Ortalama elde edilir. Ağırlıklı ortalama aşağıdaki eşitlik ile hesaplanmaktadır. Xi değerini alan fi tane denek olmak üzere, k k

AO   f i X i i 1

f i 1

i

Sıklık tablosundan elde edilen ortalama da bir tür ağırlıklı ortalamadır. Benzer bir örnek: ÖRNEK: Bir öğrencinin bir dönem boyunca aldığı derslere ilişkin ders kredisi ve not değerleri aşağıda verilmektedir. Ders Adı Matematik I Okuma Becerileri Kimya I Fizik I Türk Dili I Kredisi 4 2 4 4 2 Notu B1 A2 B2 C2 B1

Buna göre bu öğrencinin dönem ağırlıklı ortalaması; AO=(4x3+2x3.5+4x2.5+4x1.5+2x3)/18=2.277 olarak bulunur.

ÖRNEK: Bir iş yerinde çalışan 20 işçinin günlük ücreti 2500 YTL, 33 işçinin 3000 YTl, 40 işçinin 3200 YTL ve 10 işçinin de 4000 YTL’dir. Bu iş yerinde ortalama ücreti hesaplayınız. AO=(20x2500+33x3000+40x3200+10x4000)/100=3080 YTL olarak bulunur.

GEOMETRİK ORTALAMA - 22 -

Geometrik ortalama ölçümler arasında değişme oranı çok olduğunda hesaplanan bir ortalamadır. Genellikle nüfus büyüme hızı, gelişme hızı ya da endeks gibi hesaplamalarda kullanılır. Geometrik ortalama uç değerlerden aritmetik ortalama kadar etkilenmez. Herhangi bir denek değeri 0 ya da negatif olduğunda geometrik ortalama hesaplanamaz. Sınıflandırılmamış verilerde geometrik ortalama

GO  n X 1X 2 ...X n  (X 1X 2 ...X n ) formülü ile hesaplanmaktadır.

1/ n

Sınıflandırılmış verilerde ise GO  n S 1 S 2 ...S n  (S 1 S 2 ...S n )

f1

f2

fn

f1

f2

fn

1/ n

ile elde edilmektedir.

ÖRNEK: Bir bölgenin nüfusu 1980 yılında 4254670 kişi, 1982 yılında ise 4575470 kişi ise 1982 yılındaki nüfusu tahmin ediniz.

GO  4254670.4575470  4412153.4

Geometrik Ortalama ile Bileşik Faiz Formülü Arasındaki İlişki Geometrik ortalamanın hesaplandığı eşitlikten yaralanılarak bileşik fazi formülüne ulaşılabilir. Bunu aşağıdaki örnekle gösterelim. ÖRNEK: Bir malın toptan satış fiyatı 1.yıldan 2.yıla %40, 2.yıldan 3.yıla ise % 50 oranında artmıştır. İncelenen 2 yıl içindeki ortalama artış ne kadardır? 1.yıl satış fiyatı: 1 birim ise 2.yıl satış fiyatı: 1.4 birim, 3.yıl satış fiyatı: 2.1 birim olur.

GO  1.40 x1.50  1.45
Gözlenen 2 yıl içinde malın toplam satış fiyatındaki ortalama artış yaklaşık % 45’dir.

Geometrik ortalama formülünden yararlanarak bileşik faiz formülüne ulaşılabilir. - 23 -

1.40x1.50  1.45

1.40 x1.50  (1  0.45) 2.10  (1  0.45)
2

2

Bileşik faiz formülü, Pt=P0 (1+r)t P0: Temel değer Pt: t zaman sonraki değer r: Artış oranı t: zaman Buradan örneğimiz için P0= 1.00, Pt= 2.10, r = 0.45, t = 2 olur.

Harmonik Ortalama Genellikle ortalama hız, ortalama fiyat v.b. hesaplamalarda kullanılmaktadır: Aşağıdaki formül ile hesaplanır.

H.O 

1 1 1 1 (  ...  ) n X1 Xn

ÖRNEK: Bir şehirler arası otobüs gittiği mesafesinin ilk üçte birinde 300km/s, ikinci üçte birinde 450 km/s ve son üçte birinde 360 km/s hız yapmıştır. Buna göre aracın ortalama hızı ne olmuştur.

H.O 

1  360 km/s 1 1 1 1   ( ) 3 300 450 360

DEĞİŞİM (YAYILIM) ÖLÇÜLERİ - 24 -

Konum ölçüleri veri kümesinin ya da dağılımının merkezi hakkında bilgi varmektedir. Yalnızca bu ölçülere bakılarak verinin dağılımı hakkında tam bir bilgi sahibi olmak mümkün değildir. Veriler ne derecede dağılmakta ya da yayılım göstermektedirler?; ortalamadan uzaklıkları ne kadardır? Gibi sorulara cevap vermek için değişim ölçüleri hesaplanmalıdır. ÖRNEK: NEWBOLD ( s.16). 2 firmanın 7 ustabaşısının yıllık kazançları aşağıda veilmiştir. A FİRMASI: 34500 B FİRMASI: 34900
30700 27500 32900 31600 36000 39700 34100 35200 33800 33800 32500 31700

İki firmaya ilişkin ortalama ve ortanca değerleri hesaplandığında eşit bulunmaktadır. Ortalama= 33500 ve Ortanca=33800. Konum ölçülerine baktığımızda 2 firma arasında bir farklılık görünmüyor. Gerçekte verilerin yayılımına dikkat ettiğimizde, A firmasında çalışanların birbirlerine daha yakın kazanç elde ettiklerini, buna karşın B firmasındakilerin ise kazançların birbirlerinden daha uzak olduğunu görmekteyiz. B firmasına çalışanların kazançları daha fazla farklılık göstermektedir. Az sayıdaki bu verilere bakarak bu sonuca varabiliyoruz. Ancak veri sayısının fazla olduğu durumda, bakarak bir sonuça ulaşmamız imkansızlaşacaktır. DEĞİŞİM GENİŞLİĞİ (ARALIK): Bir veri kümesindeki en büyük değer ile en küçük değer arasındaki farktır. Değişim genişliği R (RANGE) harfi ile gösterilir. R= Xmaks.- Xmin. ÇEYREK SAPMA: Ortalam yerine ortanca kullanıldığında ya da aşırı uç değerler bulunduğunda değişim genişliği yerine ÇEYREK SAPMA (Q) kullanılır.

Q

Q 3  Q1 9.62  7.02   1.3 2 2

Dağılımdaki tüm değerler kullanılmadığı için bilgi kaybı olabilir. ORTALAMA MUTLAK SAPMA: Verilerin ortalamadan farklarının (sapmalarının) mutlak değerlerinin ortalamasıdır. n MS 

| X i 1

i

x|

n

formülü ile hesaplanır. VARYANS ve STANDART SAPMA - 25 -

Bir veri dağılımındaki değişimin önemli bir ölçüsü varyanstır. Varyansın karekökü alınarak standart sapma elde edilir. Sınıflandırılmamış verilerde varyans ve standart sapma formülleri ve verilerimiz için sonuçları: n N

S 

2

 (x i 1

i

 x)

2

n 1
S=1.96



192.2168  3.84 49

Kitle için:  

2

 (X i 1

i

 )

2

N

S= Standart Sapma

S2=Varyans

Örneklem için neden (n-1)’e bölünüyor ? 20 koltuk bulunan bir salona öğrenciler sırasıyla girsinler. İlk öğrencinin 20 koltuktan birini seçme serbestliği var. İkinci öğrencinin kalan 19 koltuktan birini seçme serbestliği var. Bu şekilde devam edilirse, 19. öğrencinin kalan 2 koltuktan birini seçme serbestliği var. Ancak 20. öğrencinin koltuk seçme serbestliği kalmamıştır. Demek ki 19 öğrencinin seçme serbestliği varken 1 öğrencinin yoktur.

Sınıflandırılmış verilerde ise aşağıdaki formüller yardımıyla hesaplanır. k  k  2 2   f i m i  ( f i m i ) / n  2 i 1  S   i1   n 1    

2 2 3816.739  ( 425.65) / 50 S   3.94 50  1
ÖRNEK: NEWBOLD ustabaşı örneği. A Firması için   2414286 , =1554 B Firması için   12368571 , =3517 DEĞİŞİM, ÇARPIKLIK VE BASIKLIK KATSAYISI
2
2

S=1.98

Değişim Katsayısı
Standart sapma ortalamanın yüzdesi olarak tanımlandığında "Değişim Katsayısı" olarak adlandırılır. Özellikle farklı ölçü birimleri kullanan iki dağılımın değişimlerinin karşılaştırılmasında kullanılır. Aşağıdaki eşitlik ile hesaplanmaktadır.

V

S 100 X

V

1.98 100  23 8.49

- 26 -

Çarpıklık ve Basıklık
Dağılımın ortalamaya göre biçimine ilişkin bazı bilgileri çarpıklık ve basıklık katsayıları ile öğrenebiliriz. Çarpıklık katsayısı aşağıda verilen eşitlik ile elde edilebilir.

ÇK 

 (X i 1

n

i

 x) / n S
3

3

ÇK=0 ise dağılım simetriktir. ÇK0 ise dağılım sağa doğru çarpık ya da + yöne eğilimlidir. Basıklık Katsayısı ise aşağıdaki eşitlik ile hesaplanabilir:

B

 (X i  x ) 4 / n i 1

n

S4

3

B=0 ise dağılımın yüksekliği standart normal dağılıma uygundur. B0 ise dağılım standart dağılımdan sivridir. Verilerimizden elde edilen çarpıklık ve basıklık katsayısı değerleri: n ÇK 

 (X i 1

i

 x) / n S
3

3

 0.80

B

 (X i 1

n

i

 x) / n S
4

4

 3  3.13  3  0.13

Verilerimiz sağa çarpık ve standart dağılımdan daha sivri bir dağılıma sahiptir.

- 27 -

UYGULAMA-1 Aşağıda 45 ailenin yıllık gelirleri (1000 YTL) verilmektedir. Bu verilerden yararlanılarak sıklık çizelgesi, birikimli sıklık çizelgesi, konum ölçüleri, değişim ölçüleri elde edilmektedir.
12.4 19.6 41.7 17.3 21.9 13.7 32.6 30.4 26.8 23.8 27.5 9.9 11.4 22.1 16.4 19.4 21.6 7.5 20.7 24.7 12.5 41.2 38.7 24.3 21.5 28.3 36.4 20 9.9 22.2 36.3 19.8 38.2 23.2 29.8 29.7 23.4 11.3 35.8 29.3 19.7 9.6 25.6 14.2 21.4

Verileri küçükten büyüğe doğru sıralayalım. 7.5 14.2 21.4 24.3 30.4 9.6 16.4 21.5 24.7 32.6 9.9 17.3 21.6 25.6 35.8 9.9 19.4 21.9 26.8 36.3 11.3 19.6 22.1 27.5 36.4 11.4 19.7 22.2 28.3 38.2 12.4 19.8 23.2 29.3 38.7 12.5 20 23.4 29.7 41.2 13.7 20.7 23.8 29.8 41.7

En Küçük (Min.)= 7.5 En Büyük (Max.)= 41.7 Dağılım Genişliği (Range)= Max. - Min. = 41.7 - 7.5 = 34.2 k (sınıf sayısı) = 7 alınırsa c (sınıf aralığı) = (34.2+0.1) / 7= 34.3/ 7 = 4.9 olarak bulunur.

Sıklık çizelgesini düzenleyelim: Alt Sınır(A.S) Üst Sınır(Ü.S.) Sınıf Değeri (mi) 7.5 12.4 17.3 22.2 27.1 32 36.9 12.3 17.2 22.1 27 31.9 36.8 41.7 9.9 14.8 19.7 24.6 29.5 34.4 39.3 6 5 12 8 6 4 4 Sıklık (fi) Göreli Sıklık (pi) 0.133 0.111 0.267 0.178 0.133 0.089 0.089 -3 -2 -1 0 1 2 3 bi .

mi (sınıf değeri)= (ASi + ÜSi) / 2 pi (göreli sıklık)= fi / n

- 28 -

Birikimli sıklık çizelgesini düzenleyelim:

A.S. Ü.S. 7.5 12.3

fi 6 5 12 8 5 4 4

mi 9.9

SAi 7.45

D. D.A.fi 0

D.D.Ç.fi 45 39 34 22 14 8 4 0

D. D.A.pi 0.000 0.133 0.244 0.489 0.689 0.822 0.911 1

D. D.Ç.pi 1.000 0.867 0.756 0.511 0.311 0.178 0.089 0

12.35 6 12.4 17.2 17.3 22.1 22.2 27 27.1 31.9 32.0 36.8 36.9 41.7 14.8 17.25 11 19.7 22.15 23 24.6 27.05 31 29.5 31.95 37 34.4 36.85 41 39.3 41.75 45

HİSTOGRAM GRAFİK
14

12

10

8

6

4

fi

2 9.900 14.000 19.700 24.600 29.500 34.400 39.300

Si

Yıllık geliri 25 Bin YTL’den fazla olan aile sayısını bulmak isteyelim. Bunu interpolasyon yardımıyla yapabiliriz. SAi 22.15 25 27.05 D.D.Ç.fi 22 x 14

25  22.15 x  22  eşitliği ile x aşağdaki gibi bulunur. 27.05  22.15 14  22 2.85 x  22  4 .9 8 x  17 bulunur.

- 29 -

Şimdi yıllık geliri 15 Bin YTL’den az olan aile sayısını bulalım. SAi 12.35 15 17.25 D.D.A.fi 6 x 11

17.25  12.35 11  6  eşitliği ile x aşağdaki gibi bulunur. 15  12.35 x6 4.9 5  2.65 x  6 x  9 bulunur.

ORTALAMA, TEPE DEĞERİ (MOD) VE ORTANCA (MEDYAN) Ortalama ( x ) k x

i 1

 f i si n = (9.9x6+14.8x5+...+19.7x12)/45 = 1038.4/45 = 23.075

ˆ Tepe Değeri ( x )
ˆ x  As  c
As=17.3 d1=12-5=7 d2=12-8=4

d1 d1  d 2
En büyük sıklığın bulunduğu sınıfın alt sınırı En büyük sıklık - bir önceki sıklık En büyük sıklık-bir sonraki sıklık

ˆ x  17.3  4.9
Ortanca ( x  )

7  17.3  3.12  20.42 74

n( yada n  1 ) i 1   fm 2 m 1  Lc x fi

n  j 2 n 1   2

, n çift ise , n tek ise

L= DDA kolonunda j'nin bulunduğu sınıfın alt SAi değeri n=45 olduğundan j=46/2=23 bulunur. L=17.25 i 1 4 1

m 1

 f m   f m  11 m 1

x  L  c

n / 2   fm m 1

i 1

fi

 17.25  4.9

46 / 2  11  21.95 olarak bulunur. 12

Ortalama, ortanca ve tepe değeri arasındaki bağıntı
23.175 > 21.95 > 20.42 olduğundan dağılım sağa doğru çarpıktır. - 30 -

YÜZDELİKLER, ÇEYREK DEĞERLER
%an   f m m 1 i 1

Pa  L  c

fi

Pa=a. yüzdelik L=%an değerini içine alan DDA sıklıklarının minimum olanına karşılık gelen SA değeri fm=%an değerini içine alan DDA sıklığı fi=yüzdeliğin bulunduğu sınıfın sıklığı a=25 için %an=25x45/100=11.25 L=17.25 f3=12 fm=11 a=50 için %an=50x45/100=22.5 L=17.25 f3=12 fm=11 a=75 için %an=75x45/100=33.75 L=27.05 f5=6 fm=31
P50  17.25  4.9 22.5  11  21.95 12 P25  17.25  4.9

11.25  11  17.35 12

P75  27.05  4.9

33.75  31  29.29 6

VARYANS, STANDART SAPMA k  k  2 2   f i si  (  f i si ) / n  2 i 1  S   i 1   n 1    

 ( 27314.52  1038.4 2 / 45  2   76.201 S    45  1  

S=8.73

- 31 -

ALIŞTIRMALAR 1) Bir benzin istasyonu rasgele seçtiği 30 müşterisinin aldığı benzin miktarlarını litre olarak aşağıdaki gibi kaydetmiştir. Sıklık ve birikimli sıklık çizelgelerini 7 sınıf için düzenleyiniz. Ortalama, ortanca, tepe değeri ve varyansını çizelgelerden yararlanarak hesaplayınız. (Cula, s.76) 2 10 13 2 10 13 3 10 14 4 11 16 6 11 18 7 11 20 7 11 25 8 12 25 8 12 28 9 12 28

2) İktisat bölümünde okuyan 40 öğrencinin bir aylık giderleri aşağıda verilmiştir. Sıklık ve birikimli sıklık çizelgelerini 6 sınıf için düzenleyiniz.
100 350 450 500 150 350 500 500 200 350 500 600 200 400 500 600 250 400 500 600 300 400 500 650 300 400 500 750 300 400 500 800 300 400 500 800 300 400 500 850

3) Aşağıda 10 şirketin tahvil fonlarının beş yıldaki getiri yüzdeleri verilmiştir. Getiri yüzdelerinin örneklem ortalamasını, varyansını ve standart sapmasını bulunuz. 99.7 77.5 86.3 85.6 69.5 96.6 83.1 75.1 90.4 82.1

4) Aşağıda 9 hisse senedinin belirli bir gündeki staış fiyatları verilmiştir. Satış fiyatlarının örneklem ortalamasını, ortancasını, varyansını ve standart sapmasını bulunuz. 7.40 8.80 4.04 7.45 6.00 5.10 9.90 3.34 18.70

5) Bir apartmandaki 10 dairenin kira tutarları (YTL) aşağıdaki gibidir. Kira tutarlarının ortalamasını, ortancasını, tepe değerini ve varyansını hesaplayınız. 300 500 350 400 600 450 550 500 350 500

6) Bir tekstil firması yılda 3 milyon triko, 500 bin tişört, 400 bin gömlek ve 500 bin çorap üretmektedir. Sıklık dağılımını oluşturunuz ve daire dilim grafiği çiziniz.

- 32 -

BÖLÜM 2 OLASILIK
2.1. GİRİŞ Olasılık, günlük yaşamımızda sıkça kullandığımız, yararlandığımız bir kavramdır. Örneğin meteoroloji uzmanı sabah haberlerinde o gün %80 olasılıkla yağmur yağacağını, sağlık uzmanları sigara içenlerin içmeyenlere oranla kansere yakalanma riskinin daha yüksek olacağını, sınavı başarısız geçmiş bir öğrenci o dersten geçme şansının çok az olacağını söyler. Herhangi bir olayın meydana gelme şansını ölçmeyle ilgilenen olasılık, istatistiğin önemli bir bölümünü oluşturmaktadır. İstatistiğin çıkarsama (öngörü) temelini oluşturan olasılık, belirsizlik durumunda sağlıklı kararlar vermeyi sağladığı için, planlama çalışmalarında yoğun bir biçimde kullanılmaktadır. Örneğin bir firmanın gelecek yıldaki satış kestirimleri, bir kısmı gerçekleşecek bir kısmı gerçekleşmeyecek bir çok varsayıma dayalıdır. Bu nedenlerden dolayı olasılık kuramı, bizlere belirsizlik altında ya da mevcut bilgilerin tam ve sağlıklı olmaması gibi durumlarda doğru ve sağlıklı kararlar verebilmede yardımcı olacaktır. Bu bölümde olasılığa ilişkin temel kavramlar verilecek, daha sonra olasılık hesaplama kuralları ele alınacaktır. Olasılığın Başlangıcı… Arkeologlar tarih öncesi barınaklarda, medeniyetler boyunca değişik toplumlar için oyun ve şans oyunlarının önemli bir eğlence aracı olduğunu gösteren kanıtlar buldular. Yunan, Mısır, Çin ve Hindu hanedanlarının büyük matematiksel buluşları ve insanların oyun oynamaya olan eğilimleri dikkate alındığında, olasılık matematiğinin diğerleri arasında en erken gelişmeye başladığı tahmin edilebilir. Buna karşın, 17. yy da fransız matematikçiler Pierre de Fermat ve Blaise Pascal’a kadar, olasılık matematiğinde dikkate değer bir gelişme olmamıştır. Noktalar Problemi Rönesans Avrupa’sında matematiksel olasılığın gelişimine ilham olan problem budur. Kısaca şöyle tanımlanabilir: İki eşit yetenekte oyuncu belli bir para karşılığında bir şans oyunu oynarlarken, oyun kesiliyor. Bu aşamadaki oyun skoruna göre para nasıl bölünmelidir? Burada “eşit yetenekli” her oyuncunun oyuna eşit kazanma şansı ile başladığı anlamına gelir. Aşağıdaki senaryoyu takip ediniz. Pascal ve Fermat Paris’te bir kafede oturuyorlar ve daha zor senaryolar tartışarak geçen yorucu saatlerden sonra, oyunların en kolayı olan, para atma oyununu oynamaya karar verirler. Eğer tura gelirse Fermat, yazı gelirse Pascal bir puan alacaktır. İlk kez on puan alan kazanacaktır. Sonuçta ne olursa olsun birinin diğerini yemeğe götüreceğini bilerek, her biri ortaya 50 Frank para koyuyor, böylece ortada 100 Frank bahis oluyor. Kazanan hepsini alacak. Ama sonra ilginç birşey oluyor. Fermat 8 e karşı 7 yenerken, bir arkadaşının hasta olduğuna dair bir mesaj alıyor ve Toulouse’a gitmesi gerekiyor. Mesajı getiren adam, hemen hareket etmek şartıyla onları götürebileceğini söylüyor. Tabii ki Pascal durumu anlayışla karşılıyor, ama ortadaki parayı nasıl bölüştürecekler? Fermat bir mektubunda şu teklifi sunuyor: “Değerli Blaise, 100 Frankı bölüştürme problemi hakkında, adil olduğunu düşüneceğin bri çözüm buldum. Benim sadece 2 senin de 3 puana ihtiyacın olduğunu düşünürsek, 4 atışta oyun kesinlikle bitmiş olacaktı. Bu dört atışta, eğer galibiyet için gereken üç puanı alamazsan, bu benim kazanmam için gereken iki puanı aldığım anlamına gelir. Benzer yolla, eğer ben iki puanı alamazsam, sen kazanman için gerekli olan en az üç - 33 -

puanı almış ve kazanmışsın demektir. Böylece, aşağıdaki olası oyun senaryolarının eksiksiz olduğuna inanıyorum. ‘h’ harfi tura, ‘y’ harfi de yazıyı göstermektedir. Benim kazandığım senaryolara yıldız koydum. tttt* t yt t* yttt* yytt* ttty* t yt y* ytty* yyt y t t yt * t yyt* yt yt* y y yt ttyy* tyyy ytyy yyyy

Bu çıktıların hepsinin eşit olasılıklı olduğunda hem fikir olduğumuzu düşünüyorum. Bu yüzden, parayı benim lehime olarak 11:5 oranında dağıtmamız gerektiğine inanıyorum, yani ben (11/16)*100=68.75 Frank almalıyım ve sen de 31.25 Frank almalısın tabii. Paris’te herşeyin yolunda olması temennisiyle, Arkadaşın ve meslektaşın, Pierre”

2.2. RASGELE DENEY, RASGELE SONUÇ Pekçok gözlemden sadece bir tanesinin gerçekleşme sürecine “Rasgele (Rassal) Deney (Deneme)” denir. Örneğin; madeni para ile yapılan yazı-tura atışı, zar atışı, üretilen bir malın hatalı olupolmaması, bir hisse senedinin karlı olup-olmaması, bir öğrencinin dersi geçme notu,... Rasgele bir deneyin mümkün her bir sonucuna “rasgele sonuç” denir. Tüm mümkün sonuçlarının kümesine ise “örneklem uzayı” denir ve “S” ile gösterilir. Örneğin; RASGELE DENEY 1: Bir madeni paranın bir defa atışı. RASGELE SONUÇ 1: Yazı ya da Tura S={Yazı, Tura} RASGELE DENEY 1: Bir zar atışı RASGELE SONUÇ 1: Bir, İki, Üç, Dört, Beş ya da Altı S={1, 2, 3, 4, 5, 6} RASGELE DENEY 1: Üretilen bir malın hatalı olup-olmaması RASGELE SONUÇ 1: Hatalı ya da hatasız S={Hatalı, Hatasız} RASGELE DENEY 1: Bir öğrencinin dönem başarısı. RASGELE SONUÇ 1: A1, A2, B1, B2, C, F3, F2, F1 S={Yazı, Tura} Bir deneyin örneklem uzayı Venn ya da ağaç diyagramı çizilerek de oluşturulabilmektedir. Venn diyagramı, bir deneyin tüm olası sonuçlarının (kare, dikdörtgen ya da daire gibi) bir şekille gösterilmesidir. Ağaç diyagramındaysa her bir sonuç, ağacın bir dalıyla ifade edilmektedir. Venn ve

- 34 -

ağaç diyagramları olasılık kavramlarının, görsel ifade yoluyla kolay anlaşılmasına yardımcı olmaktadır.

S
Yazı Tura

- 35 -

Similar Documents

Free Essay

Cognition

...Details on Research Summary Papers PSY 388-Cognition, spring 2016 Overview: For each research summary, an article will be provided on Blackboard for your use. Each reading will involve an original research report. Your task will be to read the article and summarize the major sections (introduction, methods, results, discussion). If an article has multiple experiments, you should briefly describe these components for each of the experiments. These summaries will allow you to delve more deeply into some research that was either touched on in your textbook. After summarizing the research, you will provide your own reflection on the article. There will be a total of 4 summary assignments, worth 25 points each, and you will be required to compete all of them. Due Dates: See the course schedule on the syllabus for specific dates. Summaries will be due via SafeAssign by midnight on the date listed. Formatting: No title page is required, but be sure to include your name and the name of the assignment (e.g. Research Summary 1). You will be summarizing each of the sections of the paper (introduction, methods, results, discussion). If it helps to organize your paper with these headings, you may, but it is possible to write your summary with effective transitions and no topic headings. Either way is fine. Use standard formatting (i.e. Times New Roman, 12 point font, 1” margins, double-spaced). Length: While there is no hard-and-fast length requirement, your summary should...

Words: 524 - Pages: 3

Premium Essay

Public Speaking

...Status Ethnicity 7. What is your context? • • • • • • • • • • Large or small audience? What are the expectations? Do current events affect your speech? Outdoors or indoors? Noise? Are appropriate teaching tools available? What is the size of the room? Is the audience seated or standing? Is the room hot or cold? Are there chairs or tables? INTRODUCTIONS AND CONCLUSIONS Purposes of the Introduction: To obtain the listener’s attention. To create a favorable first impression; if you lose them here, you may lose them for good. To arouse interest in your subject. To orient the audience to the different parts of your speech. 1. 2. 3. 4. Four Parts to an Introduction: 1. Attention-getting Phase—capture the interest of audience. 2. Orientation Phase—articulate the purpose and identify with audience (why should they listen?). 3. Credibility Phase—what type of expertise do you have? 4. Preview of Main Points—delineate main topics. First: ATTENTION-GETTING PHASE  Ask Audience to Physically Move.  Create Curiosity.  Refer to the Setting or the Occasion.  Compliment Your Audience.  Use a Startling Statement or Statistic.  Use a Quotation.  Use Humor.  Use a Short Story.  Pose a Question. Second: ORIENTATION PHASE  Introduce Your Purpose Statement. (Less Formal Than a Thesis Statement in a Paper.)  Relate Topic to the Audience. Third: CREDIBILITY  State Your Interest, Research, Caring, and Experience in...

Words: 577 - Pages: 3

Premium Essay

Dfdadfasdf

...ADVOCACY ESSAY: PEER REVIEW MEMO When you are ready to review a peer’s essay, open this document in one window and the essay in another window (you’ll be cutting and pasting information from the essay into this memo. Place your cursor in the gray field to record your answer. Refer to specific parts of paper by paragraph number. Reviewer’s Name: Karen Adame Title of Essay Reviewed: Intervention Programs for Youth to Reduce Deliquency Author’s Name: Jessica Leal-Rosas Date: 6/4/13 GENERAL COMMENTS Begin by reading your peer’s essay all the way through. Mark areas that are difficult to read, or don’t make sense, or that you think have some grammatical/usage problems. When you have read through the entire essay, come back and choose up to five sentences/areas that you marked for readability. Copy the text and insert it here, along with the paragraph number. You do not have to identify the error or fix it… just locate problems. No more than five sentences:      For the past decades, researchers such as Peter Greenwood have focused their attention…      Indeed, any program that is introduced to help reduce… After having read the whole paper through the first time, write out a few “big picture” comments. What one element of the paper do you think needs the most work before your peer turns it in as a final draft?      There are several grammar errors and to explain what are concepts such as zero tolerance and get tough on crime. If you had to grade it right now based...

Words: 1539 - Pages: 7

Premium Essay

Introduction to Basic Business Statistics

...DIPLOMA IN BUSINESS ADMINISTRATION | INTRODUCTION TO BASIC BUSINESS STATISTICS | | Table of Content No | Description | Pages | 1 | Introduction / Objective | 3 | 2 | Methodology | 4 | 3 | Analysis of finding | 5 | 4 | Conclusion | 13 | 5 | Recommendation | 14 | | Introduction ZC International Pte Ltd manufacture soaps, detergent and household products. Industry vision: “We benefit society by contributing to the sustainable improvement of the quality and comfort of life through hygiene and cleanliness in a free, competitive and innovative way”. Our mission is to communicate the value embodied in our industry’s vision and any related policies to all appropriate stakeholders effectively and objectively, while taking these stakeholders’s view into account. It does this by: - working with other organization as appropriate, ensuring stakeholder dialogue; and - to continue environmental progress in the design and marketing of product of package for household laundry detergent. Objective Data were collected by market survey and conducted by Nelso PL and consolidate with energy consumption date provided. The result of the survey can be found in Appendix 1. Methodology A set of value was collected using Personal interviews from adults who are working in Singapore. 30 candidates were selected using the random and convenience sampling methods. Out of the candidates 33.33% were males and 66.67% were females. Age of Candidates Class(years)...

Words: 1681 - Pages: 7

Premium Essay

Distracted Driving

...crash your parent’s car, because you are too busy looking at your phone? What about when you kill someone’s child because you’re too busy talking to your friend and run a stop light? Will you say “sorry” to the kid’s parents and expect everything to be okay? Saying “sorry” cannot begin to fix some things and preventing those from happening by acting responsibly in the first place is the best you can do. I like the introduction technique with the hypothetical questions. However, you now need to transition into your thesis or central claim, and that central claim needs to come here, at the end of the intro paragraph. Ninety percent of car accidents are caused by human error – driving under the influence of alcohol and marijuana, speeding recklessly, changing lanes without signaling, passing through red lines, and probably most known of all: distracted driving OK, first of all, don’t begin body paragraphs with statistics. Rarely should you do this. Instead, remember that I want your body paragraphs to begins with subclaims. Secondly, where did you get this statistic? This is not a research paper (you’ll be taught proper research in Composition II). For now, we want you to avoid research sources except your interviews. . Distracted Driving is dangerous and can kill you and those people around you.—THIS is a subclaim. The problem is, it needs to be backed up by the kind of evidence we’ve been talking about in this class—personal evidence and evidence from your interviews. It involves...

Words: 1037 - Pages: 5

Premium Essay

Rap Music and Teen Violence

...Elizabeth Ann Armstrong Course Speech (27 WEB 201108) Test Quiz 3 Started 8/29/11 3:09 PM Submitted 8/29/11 3:14 PM Status Completed Score 17 out of 20 points Time Elapsed 4 minutes. Instructions Answer questions. Question 1 .1 out of 1 points Reggie had a speech to prepare. He selected a topic, did his research, and sat down to draft the speech. He outlined the main points first and added the introduction and conclusion later. Is this a "textbook" way to organize a speech? Answer Selected Answer: Yes; your text suggests to start with the body of the speech first, then go back and draft the intro. Correct Answer: Yes; your text suggests to start with the body of the speech first, then go back and draft the intro. . Question 2 .1 out of 1 points The primary objective of class lectures, seminars, and workshops is to Answer Selected Answer: inform. Correct Answer: inform. . Question 3 .1 out of 1 points When you inform, which of the following do you accomplish? Answer Selected Answer: all of the above Correct Answer: all of the above . Question 4 .0 out of 1 points If the central idea is "There are three ways to interpret the stock-market page of your local newspaper," and you organize the speech into three parts, which method are you using to generate the main ideas? Answer Selected Answer: all of the above Correct Answer: logical divisions . Question 5 .1...

Words: 1077 - Pages: 5

Premium Essay

Academic Essays and Engaged Writing

...are important they are not absolute and the best writers are able to strike a balance between these various elements to form a writing style all their own. They are many good examples of good writing yet the best way is to allow one’s own personal experience and personality to come out in one’s writing. One thing on the don’t do list is letting your bias and views of the world stop your from evaluating opposing views and merits with competing points of views and ways of life. Now it begins. Yes, the infamous introduction. Many of my professors told me in the past that I needed to work on my introductions. It wasn’t until I read the book “The Say, I Say “ that I began to grasp the importance of good writing, especially good introductions. Also reading about the “pitch” and how to form one really helped me get more comfortable about my writing .The introduction is good to start with a attention grabber .It may even set the tone for the rest of the essay. Quotes, statistics and profound questions may be a good way to start. This is the hook that you want to use to get your audience engaged into your essay. Now that this is out of the way you want to present your points clearly. One should be carful to spell out the topics to be covered. Many...

Words: 609 - Pages: 3

Free Essay

Termpaper Help

...ENG 124 Essay – Outline Introduction: Think of the introduction as an inverted triangle, starting out broad, and whittling down to a specific point. For this project, your introduction should ideally identify the research already done on this topic and how you will use the element of context to demonstrate the importance of your analysis. * Introduce the topic * Make a general statement about the overall topic you will discuss. Create a “hook” or an attention getter, which briefly explains the broad aspects of the topic. Remember, the hook often does not discuss the texts you are analyzing specifically, but addresses the topic of the texts more generally. Below is a list of different types of attention getters: * Ask a question * A quotation from a different text * An interesting or shocking fact or statistic * A pertinent example * A personal anecdote * Vivid description * Definition (considered very cliché, and possibly “boring”) * Introduce the text/texts and modes of interpretation * Introduce titles and author names * Briefly provide a one sentence summary of the text/texts * Briefly explain the concept, method, theory of interpretation you will use * Provide a clear argument * Define your paper so as to demonstrate the specific interpretation you intend to articulate (Use “metadiscourse” such as “Through the lens of queer theory, I will contend that the short story…”...

Words: 520 - Pages: 3

Free Essay

Information Technology

...How to Write a Thesis http://www.ldeo.columbia.edu/~martins/sen_sem/thesis_org.html How to Write Your Thesis compiled by Kim Kastens, Stephanie Pfirman, Martin Stute, Bill Hahn, Dallas Abbott, and Chris Scholz I. Thesis structure Title Page Abstract Table of Contents List of Figures List of Tables Introduction Methods Results Discussion Conclusions Recommendations Acknowledgments References Appendices II. Crosscutting Issues What We Are Looking For Planning Ahead for Your Thesis Writing for an Audience Skimming vs. Reading Order of Writing Figures and Tables Tying the Text to the Data Giving Credit Final Thesis Resources III. Editing Your Thesis Copy Editing Content Editing Avoiding Ambiguity Thesis Length Writing for an International Audience I. Thesis structure Title Page Title (including subtitle), author, institution, department, date of delivery, research mentor(s) and advisor, their instututions and email adresses Abstract A good abstract explains in one line why the paper is important. It then goes on to give a summary of your major results, preferably couched in numbers with error limits. The final sentences explain the major implications of your work. A good abstract is concise, readable, and quantitative. Length should be ~ 1-2 paragraphs, approx. 400 words. Absrtracts generally do not have citations. Information in title should not be repeated. Be explicit. Use numbers where appropriate. Answers to these questions should be found in the abstract: ...

Words: 1121 - Pages: 5

Free Essay

Technology Solution Abstract

...extensive control steps – but that results in less efficiency and longer throughput times. The use of isolated systems prevents the timely transfer of information, which leads to further delays and additional costs. And last, but not least, it can result in a considerable amount of the enterprise’s intellectual capital being wasted. The cost of using various isolated systems to collect data for modern knowledge-management systems (statistics, data mining, reporting, exception handling, etc) is simply too high. So much knowledge that could be extracted from the data collected remains untapped. In the industry, there are three different approaches to addressing this root problem. • The first – is the optimization of the existing hybrid system by adapting the existing processes and systems. It goes without saying that such an approach only brings selective and slight improvements. • The second is the introduction of Electronic documentation systems (often described as electronic lab notebooks) that show the paper data in electronic format. While the introduction of such a system brings certain benefits for quality and compliance purposes, the real problem is simply transferred from paper to an electronic format (“paper on glass”) and the hope for...

Words: 525 - Pages: 3

Free Essay

Thesis

...Nesbitt-Johnston Writing Center Hamilton College Clinton, NY 13323 INTRODUCTIONS AND THESIS STATEMENTS Introductions The introduction is a key paragraph for both readers and writers. First impressions matter. The reader will be more inclined to read a paper and consider a position if the initial paragraph is clear, organized, and engaging. For the writer, a carefully crafted first paragraph acts as a springboard, establishing the order and direction for the entire paper. The form and content of an introduction depend upon many factors, including the specifics of the assignment, the intended audience, the style of the discipline, and the expectations of your professor. In general, your introduction should • capture the reader’s attention • reflect the question raised by the assignment • provide essential context for your topic • define key terms Most importantly, your introduction should • convey the pattern of organization you will follow in the paper • build to the thesis sentence: a clear, concise statement of the specific position you will explore in your paper Outline first Outline your argument as fully as possible before starting the first draft. Outlining first helps you to see the shape of your argument, making writing the draft much easier. Start focused Avoid broad openers; start your argument right away. Do not open with empty filler such as “Since the beginning of time” or “For thousands of years, men, both good and evil.” Open with a sentence...

Words: 1348 - Pages: 6

Free Essay

Communication Skills

...choosing a major Spatial Ex: states in US Logical Problem solution (AKA- “need-plan”) Topical Least desirable order Very general Ex: describing car in terms of its horsepower Number of Points Depends on topic In our class: minimum of three Be sure you have enough supporting info for each Unity with central idea Relatively equal merit Doesn’t Look at your outlines * Transitions Helps connect your ideas Reviews what was just said Expect for the transition from intro to main idea #1 Previews what will be said next See P147 good examples Introduction Functions: why important Secure attention Establish goodwill Establish credibility Assure a fair hearing Orient audience to your topic Mark your purpose clear Listen relatively Previews the main idea for the speech Last sentence of your introduction 1st How to capture attention First: be sure attention catcher is relevant Music Quotes Statistics Sweet dance moves Be sure to PRACTICE with it and plan for things that may go wrong. Ask audience questions Reh How to establish good will Especially for hostile audiences For persuasive Includes explaining opposing view point It’s a pleasure to be here I feel privileged to have this opportunity to share my thought with you Establish Credibility Tell your audience why you are qualified to speek on the topic Expert...

Words: 610 - Pages: 3

Premium Essay

Vwefvefv

...How to Write a Critique The critique is a rigorous critical reading of a passage. As such, it picks up where the objective summary leaves off. In fact, a critique often includes a brief summary so that its readers will be able to quickly grasp the main ideas and proofs of the passage under examination. Critiques come in all shapes and sizes, but a good way to get used to writing critically is to plan your earliest critiques along the following lines. First, read the passage thoroughly. Make plenty of notes, ask lots of questions, and highlight or underline anything you may wish to quote in your paper. Spend some time on this step. It is impossibly to adequately critique something if you don't fully understand it. Next, write a summary. Identify the author's main point (thesis) and list the types of proofs he or she employs to persuade the reader to believe or accept the thesis. For example, does the author use historical anecdotes, quote noted authorities, provide statistical evidence, or appeal to a reader's sense of patriotism or generosity? These are all common types of proofs used in persuasive writing. You should also try to figure out why the author is writing, and to whom. Remember that the purpose of a paper and its intended audience can affect the way the paper is written. Now, set your own agreement or disagreement with the author aside for a moment and investigate the validity of his or her argument. Does the author provide complete and accurate information...

Words: 774 - Pages: 4

Free Essay

Research Report

...other students. Therefore, your teacher may use this to test you on a lot of things. The assignment will also have different aims. With the aim of the paper in mind, your teacher will use this to determine if the research topic ought to be given to you or you have to select the topic on your own. If the teacher wants to have something particular from the students, for example, their level of understanding of interpretation of question, the topic will be provided to the students.If the idea of your topic has been settled, you will have to compose your assignment paper taking into consideration the basic principles of a good research paper. Your assignment paper will start with an introduction, a body, followed by a conclusion. You should not just jump into the introduction. You can only begin the introduction subsequent to conducting some preliminary research on the research paper topic. Preliminary research is what will give an arrangement and a purpose to your paper. This is because you have to know where to start your paper and what direction your paper should take. If you are already...

Words: 598 - Pages: 3

Premium Essay

Planning a Presentation

...Planning a Presentation © 2013 Learning Development Basic structure (e.g. 20 min presentation) 2 • Introduction (1-2 mins) • Body or discussion: – 3-5 sections (3-5 mins each) • Conclusion (1-2 mins) March 6, 2013 LD Planning a Presentation | www.newcastle.edu.au The Introduction • Greet the audience • Gain their attention – how? • Tell them what to expect – topic, purpose, outline • ‘Housekeeping’ – documents, questions March 6, 2013 3 LD Planning a Presentation | www.newcastle.edu.au The Introduction: tell them what to expect • Topic: – We are discussing the marketing plan of Company X… 4 • Purpose: – We’ll be analysing the current marketing strategy in order to make recommendations for future action • Outline: – We’ll do this through a situational analysis and a SWOT analysis. We will then outline objectives, alternative strategies, and, finally, present an action plan March 6, 2013 LD Planning a Presentation | www.newcastle.edu.au Body of the Presentation • 3-5 Sections – Select key themes/points – Include details to illustrate these – Decide what can be omitted – Don’t have too many visuals • Signpost: introduce & conclude each section 5 March 6, 2013 LD Planning a Presentation | www.newcastle.edu.au The Body (cont’d): ‘signposting’ • Introduce: – Firstly, I’d like to analyse the internal factors for company X… • Conclude: – It is apparent, therefore, that while the company’s capabilities vary, the company’s...

Words: 770 - Pages: 4