Tutoriumsaufgaben Statistik I - Aufgabenblatt 2

Aufgabe 1
a) Falsch. Angenommen sind P (A) > 0 und P (B) > 0.
Wenn A und B disjunkt sind, gilt: P (A ∩ B) = 0.
Wenn A und B unabh¨ngig sind, gilt: P (A ∩ B) = P (A) · P (B) > 0. ⇒ Widerspruch! a ¯
¯
b) Richtig. Wenn dieser Zusammenhang gilt, ist P (A∩ B) = P (A)·P (B). Dies wird im Folgenden gezeigt: ¯
¯
P (A ∩ B) = P (A) − P (A ∩ B) = P (A) − P (A) · P (B) = P (A) · [1 − P (B)] = P (A) · P (B).
c) Falsch. P (A|B) =

P (A∩B)
P (B)

=

0,2
0,5

¯
= 0, 4. Denn P (A) − P (a ∩ B) = 0, 5 − 0, 3 = 0, 2.

d) Richtig. (Definition: statistische Wahrscheinlichkeit).
e) Falsch. Jede Ziehung vermindert die Grundgesamtheit. Dadurch ver¨ndern sich die Wahra scheinlichkeiten in die Stichprobe zu gelangen.
f) Falsch. Die Anzahl der Stichproben ist:

10
2

=

10!
2!·8!

= 45

g) Richtig. Ereignisse k¨nnen aus mehreren Elementen bestehen und in kleinere Ereignisse zerlegt o werden. Von Elementarereignissen spricht man, wenn das Ereignis nur noch aus einem Element besteht. Eine weitere Zerlegung ist dann nicht mehr m¨glich. o Aufgabe 2
a)
P (Mann) = 0, 2

P (P C) = 0, 9

P (Steno ∩ P C) = 0, 25

P (Steno) = 0, 3

P (Erf ) = 0, 65

b) P (F rau) = 1 − P (Mann) = 1 − 0, 2 = 0, 8
c) P (Steno ∪ P C) = P (Steno) + P (P C) − P (Steno ∩ P C) = 0, 3 + 0, 9 − 0, 25 = 0, 95
d) P (Mann ∩ Erf ) = P (Mann|Erf ) · P (Erf )
Bekannt ist, dass die Berufserfahrung unabh¨ngig vom Geschlecht ist ⇒ P (Mann|Erf ) = a P (Mann)
P (Mann ∩ Erf ) = P (Mann|Erf ) · P (Erf ) = P (Mann) · P (Erf ) = 0, 2 · 0, 65 = 0, 13
!

n · 0, 13 ≥ 16

⇔

n≥

16
0,13

= 123, 0769

⇔
1

n ≥ 124

Es m¨ssen mindestens 124 Bewerbungen vorliegen, damit davon 16 von M¨nnern mit Berufsu a erfahrung kommen.

Aufgabe 3
P (A ∩ C) = 0, da disjunkt;
P (B ∩ C) = P (B) · P (C) = 0.3 , da unabh¨ngig. a P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (A ∩ B) −P (A ∩ C) − P (B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C)
P (B|A) · P (A) = 0, 2
= 0, 4 + 0, 6 + 0, 5 − 0, 2 − 0, 3 = 1

=0

¯ ¯ ¯
P (A ∪ B ∪ C) = P (A ∩ B ∩ C) = 1 − P (A ∩ B ∩ C) = 1
Das Venn-Diagramm:
Ω
B
A

B
B

C

A

C

Aufgabe 4
a)

10
5

6
3

4
2

= 30240

b) P(’5 Gewerkschafter’) =

6 5 4 3 2
· · · · = 0, 0238
10 9 8 7 6

Aufgabe 5
Mi := Schraube entstammt der Maschine i (i = 1, 2, 3).
B := Schraube ist brauchbar.
Gegeben: P (M1 ) = 2/3; P (M2 ) = 1/6; P (M3 ) = 1/6;
¯
¯
¯
P (B|M1 ) = 0, 1; P (B|M2 ) = 0, 05; P (B|M3 ) = 0, 01

2

a) Eine neue Bezeichnung wird eingef¨hrt f¨r Aufgabenteil a) (da hier nur die Maschine 1 beu u ¯ 1 ) ≡ P (B1 ) = 0, 1 trachtet wird): P (B|M aa) P (B1 ∩ B1 ∩ B1 ) = P (B1 ) · P (B1 ) · P (B1 ) = P (B1 )3 = 0, 93 = 0, 729 ab) P [(B1 ∩ B1 ∩ B1 ) ∪ (B1 ∩ B1 ∩ B1 ) ∪ (B1 ∩ B1 ∩ B1 ) ∪ (B1 ∩ B1 ∩ B1 )]
= P (B1 )3 + 3 · P (B1 )2 · P (B1 ) = 0, 93 + 3 · 0, 92 · 0, 1 = 0, 972
b) Gesucht: P (B)
Es liegt ein vollst¨ndiges System vor, da M1 ∪ M2 ∪ M3 = Ω und Mi ∩ Mj = ∅ f¨r i ̸= j. a u
Damit gilt nach dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit:
P (B) = P (B|M1 ) · P (M1 ) + P (B|M2 ) · P (M2 ) + P (B|M3 ) · P (M3 )
= 0, 9 · 2/3 + 0, 95 · 1/6 + 0, 99 · 1/6 = 0, 92¯ = 0, 9233
3
⇒ 92, 33% sind brauchbar.
c) ca) Gesucht: P (M1 |B)
P (M1 ∩ B)
P (B|M1 ) · P (M1 )
0, 9 · 2/3
=
=
= 0, 6498
P (B)
P (B)
0, 9233
¯
cb) Gesucht: P (M2 |B)
P (M1 |B) =

¯
0, 05 · 1/6
P (B|M2 ) · P (M2 )
P (M2 ∩ B)
¯
=
= 0, 1086
P (M2 |B) =
=
¯
1 − P (B)
1 − 0, 9233
P (B)
¯
cc) Gesucht: P (M3 ∩ B)
¯
¯
P (M3 ∩ B) = P (B|M3 ) · P (M3 ) = 0, 01 · 1/6 = 0, 0017

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