CAPITULO VII

TASAS DE INTERES

Estudiaremos las tasas de interés comenzando por indicar los principales nombres que toman según los tipos de lectura que se desee hacer o las formas de las operaciones a que puedan estar referidas, así como las relaciones entre ellas. En los párrafos que siguen desarrollaremos uno a uno los conceptos y sus aplicaciones.

TASAS

VENCIDAS ADELANTADAS

NOMINALES NOMINALES EQUIVALENTES

IGUALES

EFECTIVAS EFECTIVAS

Vimos que la denominación de “adelantada” o “vencida” viene del momento en que se pagan los intereses, así como el concepto de “nominal” o “efectiva” se asocia a las operaciones simples o compuestas.

TASA NOMINAL Es la tasa de las operaciones simples (no acumulativas), por lo general expresada en términos anuales o mensuales, y ocasionalmente de otra duración. Si son operaciones de interés, se denomina TASA NOMINAL VENCIDA, y para las operaciones de descuento se la distingue como TASA NOMINAL ADELANTADA

TASA PROPORCIONAL

Cuando no se corresponde con el tiempo exacto de la operación, lo que sucede generalmente, la tasa nominal se debe adecuar a esa duración y así determinamos la “TASA PROPORCIONAL”, que no es sino una porción de aquella. Por ejemplo si el dato que tenemos es que se debe aplicar una tasa del 13,25 % anual pero la operación en cuestión es de 96 días. Habrá que hacer : 0,1325 / 365 x 96 = 0,03484931507

tasa nominal tasa proporcional anual para 96 días
NOMBRES DADOS POR EL USO Y COSTUMBRE. NOTACIONES

Lo de ADELANTADA o VENCIDA, repetimos, es para diferenciar las operaciones con pago de los intereses al comienzo o al final del tiempo pactado. En realidad la “TASA” no es ni adelantada ni vencida dado que sólo es una relación numérica, pero el uso y costumbre la denominan así para identificar el tipo de operación al que se aplican.

En esencia hay una sola tasa, que es la TASA DE INTERES, de modo que todos los nombres que toma y las notaciones usuales que se emplean no debe llamar a confusión, pues tales diferencias surgen de las formas que toman las operaciones y su manera de plantearlas. Ellas son, para las vencidas:

i tasa unitaria nominal vencida (en general, con abstracción de la unidad de tiempo) TNAV tasa nominal anual vencida (para un año, en sus diferentes formas de expresarlo según corresponda al caso, por ejemplo 360 , 365 ó 366 días, 12 meses, 4 trimestres, etc...) TNMV tasa nominal mensual vencida (para un mes. Si es necesario expresarlo en días, por lo general se toman 30, con independencia de los días reales de un mes determinado) NAV ó NMV nominal anual vencida o nominal mensual vencida (que se agrega a la expresión numeraria de la tasa, como por ejemplo 18 % NAV ; ó 3 % NMV, etc.) i(m) tasa proporcional vencida (referida exactamente al tiempo de una operación determinada, expresada en días, meses, años, según corresponda al caso planteado, o bien i(96) para los 96 días del ejemplo anterior)

En cuanto a las adelantadas :

d tasa unitaria nominal adelantada TNAA tasa nominal anual adelantada TMA tasa mensual adelantada NAA ó NMA nominal anual adelantada o nominal mensual adelantada (luego del número que representa la tasa, por ejemplo 18 % NAA) d(m) tasa proporcional adelantada ( o por ejemplo d(14) para una operación de descuento de un pagaré a 14 días)

TASA EFECTIVA VENCIDA La tasa efectiva es la tasa del interés compuesto.

Para que tenga sentido, además, debe expresarse en relación a una unidad de tiempo determinada, como por ejemplo TASA EFECTIVA ANUAL VENCIDA o TASA EFECTIVA MENSUAL VENCIDA, etc.

Se la simboliza de estas maneras : i’ tasa unitaria de interés efectiva (en general) TEAV tasa efectiva anual vencida TEMV tasa efectiva mensual vencida
Con esto podemos ya enunciar que Tasa efectiva vencida es el interés compuesto ganado por un peso al cabo de un tiempo acordado, cuando se han pactado capitalizaciones de intereses al cabo de períodos de tiempo establecidos y en función de una determinada tasa nominal.

Reconocemos entonces estos conceptos:

1. Tiempo (si es un año, definirá una TEAV, si es un mes, una TEMV lo que no excluye otros lapsos que se quiera, pero éstos son los más comunes) 2. Períodos de capitalización de los intereses (de extensión necesariamente diferente al tiempo total, puesto que si fuera la misma sería interés simple, y entonces la tasa efectiva sería la misma que la tasa nominal ya que los intereses se generarían y capitalizarían una sola vez) 3. Tasa nominal (Aclarando que si la unidad de tiempo a la que está referida no coincide con la extensión del período de capitalización del problema a resolver, habrá que adecuarla buscando correctamente la tasa proporcional que a ese período corresponde)

El Interés Compuesto de un peso (esa es la tasa efectiva) define esta fórmula :

i’ = ( 1 + i(m) ) n - 1

tasa unitaria que cantidad de veces corresponde exactamente que se capitalizarán al período de capitalización los intereses a lo largo de los intereses del tiempo de que se trate

Esta fórmula se presenta en el ámbito de las finanzas con alguna diferente apariencia. Por ejemplo ésta, que figura en algunas circulares del Banco Central de la República Argentina:

TEAV = ( 1 + r/100 . do/365)365/do - 1

“r” es una tasa porcentual y por eso es que se la divide en 100
“do” son “días de la operación”(no es otra cosa que lo que veníamos viendo como “tiempo”, simbolizado con “t”)
“365” es el tiempo al que está referido la tasa (es la “unidad de tiempo” “ut”)
Por lo tanto, r/100 . do/365 no es sino i(m)
El resultado del exponente 365/do , por su parte, serán las “veces” que capitalizarán los intereses, o sea n

Con los problemas de tasa efectiva debe tenerse cuidado en interpretar adecuadamente la información que brinda el caso a resolver y consignar bien el valor de las variables.

Por ejemplo si se nos pide calcular la TEMV que corresponde al 18 % NAV en períodos de capitalización de intereses de 14 días, hacemos : ( 1 + 0,l8 x 14 / 365 ) 30/14 - 1 = 0,014852908 = 1,485 % EMV

o la TEA del 23 % NAV para períodos de 32 días ...

( 1 + 0,23 x 32 / 365 ) 365/32 - 1 = 0,255723 = 25,57 % EAV

Puede presentarse como problema la necesidad de encontrar el valor de las otras variables conociendo la tasa efectiva. Transponiendo términos surgen otras fórmulas como ésta de la tasa nominal anual a partir de la efectiva:

TASA EFECTIVA ADELANTADA

Supongamos el siguiente escenario : Un banco tiene el día 1° de Enero $ 1.- y lo presta descontando un documento a la tasa “d” NAA que vence al cabo de un tiempo “do”. Cuando vence el documento, lo cobra y presta ese dinero (ahora mayor) descontando otro documento a la misma tasa y por el mismo plazo y así sucesivamente. El 31 de Diciembre habrá desarrollado un capital “N” que contendrá el capital inicial de $ 1,- más la ganancia. Esa ganancia es la tasa efectiva adelantada y lo narrado puede graficarse en este esquema:

1/1 31/12 x x x ... ... ... x x x 0 do 1 2 n-2 n-1 n

N

N ( 1 - d . do / 365 )

N ( 1 - d . do / 365 )2

V = N ( 1 - d . do / 365 )n

Por definición, el valor inicial “V” es igual a $ 1,- , y “N” es igual a $ 1,- más la ganancia, por lo tanto : N = Ganancia + 1 = ( 1 - d . do / 365 )-n

es la tasa efectiva

d’ = ( 1 - d . do / 365 )-n - 1

Con esto se puede ya averiguar, por ejemplo, cuanto será el rendimiento efectivo al cabo de un año, de un banco que presta dinero descontando documentos a 27 días con una TNAA del 12 %, para lo cual hay que hacer :

( 1 - 0,12 x 27 / 365 ) - 365/27 - 1 = 0,128101094 = 12,81 %

TASAS EQUIVALENTES

Dos tasas NOMINALES son equivalentes cuando sus TASAS EFECTIVAS son iguales.
A su vez esas tasas nominales pueden ser:

4. dos adelantadas entre sí, pero de diferente plazo 5. dos vencidas entre sí, pero de diferente plazo 6. una vencida con una adelantada, o viceversa, del mismo o de diferente plazo.

Todas las combinaciones posibles que se acaban de enunciar no son más que simples variaciones de un mismo tema, pues de lo que se trata es de averiguar una tasa nominal a partir de otra tasa nominal, pasando por la condición necesaria de que ambas efectivas sean iguales.

El siguiente esquema enseña un camino crítico apto para encontrar cualquier tipo de equivalencia que se presente:

comenzamos conocemos una aquí resolvemos y tasa nominal encontramos la terminamos tasa equivalente aquí

conocemos si despejamos la es vencida o adelantada tasa nominal

conocemos el reconstruimos la período de capitalización ecuación con los o de descuento datos disponibles

encontramos la ponemos la misma tasa efectiva igualamos tasa efectiva

Veamos un ejemplo :

Buscar la tasa nominal anual vencida para operaciones a 60 días que equivale al 17 % nominal anual vencido en operaciones de 30 días.

Encontramos primero la efectiva del 17 % NAV para 30 días :

( 1 + 0,17 x 30 / 365 )365/30- 1 = 0,1839109

Luego reconstruimos la ecuación igualando su resultado :

( 1 + i x 60 / 365 ) 365/60- 1 = 0,1839109

es la incógnita y la despejamos

i = [ ( 1 + 0,1839109 )60/365- 1 ] 365/60 = 0,171187674

La conclusión es que el 17 % NAV para 30 días es EQUIVALENTE al 17,12 % NAV para 60 días, porque ambas rinden lo mismo.

El ejemplo vale para dos vencidas entre sí, pero el procedimiento es el mismo para cualquiera de los supuestos, como en este otro ejercicio:

Un banco capta fondos del público en Caja de Ahorros pagando el 9 % NAV capitalizable mensualmente. Su pretensión es ganar 5 puntos efectivos anuales y desea saber qué TNAA debe aplicar en las operaciones de descuento de documentos por 60 días de plazo.

Averiguamos la tasa efectiva de costo de toma de fondos :

( 1 + 0,09 / 12 )12- 1 = 0,093806898 Agregamos la ganancia pretendida + 0,05

Esta diferencia entre tasa pasiva (costo de tomar fondos) y tasa activa (beneficio sobre los préstamos otorgados) se denomina “SPREAD”(se pronuncia “spred”) y oscila en función del momento, posición, calidad del cliente, etc...

Así tenemos la tasa efectiva a cobrar = 0,143806898

Recordamos la fórmula de la TEAA, reconstruimos la ecuación e igualamos:

( 1 - d . 60 / 365 ) - 365/60 - 1 = 0,143806898 es d’

despejamos y resolvemos

d = - [ ( 1 + 0,143806898 )- 60/365 - 1 ] 365/60 = 0,132889125 = 13,29 % NAA
Si bien para cada forma de equivalencia puede estandarizarse una fórmula, preferimos seguir un sólo camino crítico para resolver todos los problemas posibles. De otro modo tendríamos una enorme cantidad de fórmulas que terminarían perturbando innecesariamente la firmeza conceptual que necesitamos preservar.

TASA REAL

En general, las tasas son la medida relativa de la rentabilidad del capital en una operación dada. En contextos de inflación, sin embargo, las tasas de interés suelen estar compuestas de esa rentabilidad más una sobretasa implícita que apunta a preservar al capital del deterioro inflacionario. Por ejemplo, si una inversión de $ 1.000,- en un mes pretende ganar el 5 % de interés, pero hay una inflación mensual del 2 %, entonces el inversor debe pensar que dentro de un mes su capital, para mantener su poder adquisitivo, debiera ser de $ 1.020,- y, si quiere conservar su pretensión de ganar el 5 %, debe calcularlos sobre los $ 1.020,- , es decir $ 51,- , con lo que para lograr ambas cosas, es decir preservar su capital en términos reales y además ganar el 5 %, debe aspirar a recuperar 1.000 + 20 + 51 = 1.071,- con lo que la tasa de interés “compuesta” (deterioro inflacionario más rentabilidad aspirada), para ambos objetivos, debe ser del 7,1 %

En conclusión, la TASA REAL DE INTERES es la medida relativa de la retribución al capital invertido en términos “reales”, es decir al margen del deterioro por efecto inflacionario. Es de aclarar que no siempre esta tasa de interés compuesta alcanza a cubrir y sobrepasar el efecto de la inflación, supuesto en el que la tasa real será positiva en la medida en que la haya sobrepasado, sino que a veces es tan baja que no alcanza a cubrirla y entonces el inversor habrá trabajado a quebranto. En este supuesto, la tasa real, entendida como “tasa compuesta” menos “tasa de inflación”, será negativa.

La búsqueda de la tasa real, supongamos que la calculemos en su expresión “anual”, consiste en proyectar los intereses y en proyectar la inflación para comparar los resultados al final. Para ello desarrollaremos un caso de una inversión financiera cualquiera que tiene los siguientes datos:

Capital invertido: $ 1.000,- ; TEM a la que fue colocado = 2,5 %
Índice de inflación del último mes conocido (por ejemplo Julio): 1.245,36
Índice de tres meses anteriores al último (supongamos que Abril): 1.190,96
Se conoce que esa inflación habida, de acuerdo a los indicadores macroeconómicos, habrá de mantenerse y es proyectable al próximo año (de no ser así, habrá que proyectar la que se supone ocurrirá, según la expectativa que se tuviere al respecto)

(NOTA: Como la inflación en este caso se calcula en parámetros mensuales, la tasa de interés a comparar debe ser efectiva mensual. Si los índices, por ejemplo, miden el fenómeno inflacionario en días, la tasa de interés a comparar debe ser antes convertida a su expresión efectiva diaria. Es decir, ambas tasas deben ser congruentes en su forma de expresión, pues caso contrario el cálculo no lo será)

Primero calculamos la inflación mensual promedio haciendo:
(1.245,36 / 1.190,96)1/3 – 1 = 0,015 y luego la proyectamos a un año haciendo:
(1+0.015)12 -1 = 0,1956138 (o también puede ser: (1.245,36/1.190,96)12/3-1 = 0,1956138)
A continuación calculamos cuál es la cantidad, en moneda de un año más adelante, que tendrá el mismo valor adquisitivo que los $ 1.000,- invertidos en el presente, y para ello hacemos: 1.000 (1 + 0,195618) = 1.195,62
(Lo anterior también podía calcularse así: 1.000 (1.245,36/1.190,96)12/3 = 1.195,62)
Luego calculamos el monto a interés compuesto, a un año, con el 2,5 % TEM:
1.000 (1+0,025)12 = 1.344,89

Ese inversor tendrá al cabo de un año un monto de $ 1.344,89, pero cometerá un error si piensa que invirtió $ 1.000,- y ganó la diferencia de $ 344,89, ya que aquellos $ 1.000,- de un año atrás, hoy se representan con $ 1.195,62 y así deben ser leídos. Por lo tanto, las cifras a comparar deben estar expresadas en moneda homogénea, o de igual valor adquisitivo, diciendo: Una inversión de $ 1.195,62 se convirtió en un monto de $ 1.344,89 un año más tarde, capitalizando intereses en forma mensual. ¿Cuál es la TEAV “REAL” que obtuvo? Calculamos y es (1.344,89/1.195,62)-1 = 12,48 y si queremos averiguar la TEN, entonces es (1.344,89/1.195,62)1/12-1=0,00985 = 0,985 %

Otra forma es no comparar los valores al final del año, como hicimos más arriba, sino hacerlo al inicio. Como esa comparación también debe ser en moneda homogénea o del mismo valor adquisitivo, la regla es “capitalizar con tasa y deflactar por inflación”.

En el caso anterior, el “corrector” anual inflacionario es: (1.245,36/1.190,96)12/3 = 1,195618 y la capitalización con TEM del 2,5 % es:
1.000 (1+0,025)12 = 1.344,89
Ahora debemos deflactar el monto, que está situado un año más adelante, para expresarlo en moneda del presente, haciendo: 1.344,89 / 1,195618 = 1.124,85 (para leerlo en moneda del inicio) y luego relacionamos monto con inversión para deducir la misma tasa, haciendo: 1.124,85 / 1000 – 1 = 0,1248 = 12,48 %, que por supuesto es la misma TEAV que la encontrada anteriormente, pero expresada en términos REALES o simplemente, es la TASA REAL buscada, expresada como efectiva anual vencida.

Los métodos anteriores pueden graficarse así:
PRIMER MÉTODO:
Paso 1) Indexar capital invertido Capital indexado
Paso 2) Calcular monto Monto obtenido
Paso 3) Relacionar esos valores de un año más adelante y encontrar tasa real.
SEGUNDO MÉTODO:
Paso 1: Capitalizar con tasa a un año Monto obtenido
Paso 2: Deflactar ese monto dividiéndolo en el corrector inflacionario
Monto en moneda del inicio Monto obtenido
Paso 3: Relacionar el monto así deflactado con el capital histórico invertido, es decir ambos en la misma moneda de origen, y encontrar tasa real.
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i = [ ( 1 + i’)do/365- 1 ] 365/do

PRIMER METODO
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SEGUNDO METODO
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