Free Essay

The Death of Tommy Grimes

In: Novels

Submitted By primdahl
Words 4851
Pages 20
1 Ligninger
Du skal redegøre for løsningsmetoder for ligninger. Herunder også andengradsligninger.
Ligninger med én ubekendt:
En ligning med én ubekendt er et udtryk med en variabel (oftest x) og et lighedstegn. En løsning til ligningen er en værdi for den variable (x), der giver samme resultat på begge sider af lighedstegnet. Der findes mange forskellige ligninger, båge enkle og vanskelige ligninger. En af de enkle ligninger er: x-4=5 Løsningen er det x der gør at venstresiden (3x+4) er lig højresiden (7). I praksis løser man ligninger ved at isolere x på den ene side af lighedstegnet.

Regler for omformning af ligninger:
Det er tilladt at: * Lægge samme tal eller ubekendt/variabel til på begge sider af lighedstegnet. * Trække samme tal eller ubekendt/variabel fra på begge sider af lighedstegnet. * Gange med samme tal eller ubekendt/variabel på begge sider af lighedstegnet, blot tallet ikke er nul eller den ubekendte/variablen ikke har værdien nul. * Dividere med samme tal eller ubekendt/variabel på begge sider af lighedstegnet, blot tallet ikke er nul eller den ubekendte/variablen ikke har værdien nul.
Når vi jeg hjælp af reglerne for omformning af ligninger omformer en ligning til en anden, bruger jeg dobbeltpilen , som her: x-4=5 x=5+4 x=9 Se matematikbog side 20 og 21, for eksempler.

To ligninger med to ubekendte:
Hvis to variable (x og y) optræder i to ligninger der er sammenhørende kan de værdier af x og y der opfylder begge ligninger i mange tilfælde beregnes. Dette kan gøres ved at isolere den ene variabel i den ene ligning og så indsætte den i den anden. Dette ilustreres i følgende eksempel:
Se matematikbog side 22 for eksempel.
Andengradsligninger:
En andengradsligning er en ligning af formen ax2 + bx + c = 0, hvor det skal gælde at a er forskellig fra nul (a≠0).
Denne form kaldes for andengradsligningen grundform.
Dermed kan vi se at det at løse en andengradsligning er det samme som at finde rødder eller nulpunkter i et andengradspolynomium med regneforskriften f(x) = ax2 + bx + c.
Sætning for rødder i andelgradspolynomiet:
Hvis d≥0, udregnes rod eller rødder ved formlen: x=-b±d2a Hvor diskriminanten (d) som er defineret ved d=b2-4ac.
Når der står ± foran kvartatrodstegnet betyder det at man til den ene løsning skal regne med +, til den anden regne med -. Man kan derfor opskrive formlen som 2 løsninger: x1=-b+d2a x2=-b-d2a
Hvis d = 0 ser vi at x1 = x2, eller med andre ord, at der netop er en rod.
Se eksempler i bogen side 66 – 69.

Bevis for nulpunkter i andengradspolynomium:
Ideen i beviset er at omskrive ligningen ax2+bx+c=0 ved hjælp af kvadratrodsætningen:
(a+b)2=a+b∙a+b=a2+b2+2ab.
Derved får man omskrevet ligningen til en form hvor det ses at beviset må opdeles i tre tilfælde: d<0, d=0 eller d>0.
Jeg starter med at gange ligningen ax2+bx+c=0 med 4a på begge sider af lighedstegnet (vi husker at vi antog at a≠0, så jeg har lov til at gange med 4a). Da fås:
4aax2+4abx+4ac=0
Jeg lægger b2-4ac til på begge sider af lighedstegnet og får:
4aax2+4abx+4ac+b2-4ac=b2-4ac
Som kan reduceres til:
4aax2+4abx+b2=b2-4ac
For nemmere at kunne anvende kvadratrodssætningen omskrives venstresiden:
(2ax)2+b2+2∙2axb=b2-4ac
Her genkender jeg venstresiden som ”kvadratet på en toleddet størrelse” Derfor kan jeg omskrive venstresiden til:
2ax+b∙2ax+b=b2-4ac
(2ax+b)2=b2-4ac
Højresiden kan jeg genkende som diskriminanten (d), så nu har jeg:
(2ax+b)2=d
Jeg har omskrevet ax2+bx+c=0 til ligningen (2ax+b)2=d, og vi kunne gå den anden vej og komme tilbage til ax2+bx+c=0.

Jeg må nu opdele løsningen af ligningen i tre tilfælde:
Hvis d<0:
Venstre siden er et kvadrat (2ax+b)2, så det kan aldrig være et negativt tal. Så hvis diskriminanten d<0 er der ingen løsning på ligningen.
Hvis d=0: Jeg har da ligningen:
(2ax+b)2=0, Da må gælde at:
2ax+b=0, da 0=02, nu kan jeg bare løse ligningen:
2ax=-b
x=-b2a
Hvis d>0: Jeg har altså ligningen:
(2ax+b)2=d, da d>0 er det tilladt at skrive:
(d)2=d Da både negative og positive tal i anden kan give det samme må altså gælde:
2ax+b=-d, eller 2ax+b=d
Hvis jeg kalder den ene løsning for x1og den anden for x2 , kan jeg altså løse ligningerne:
2ax1=-b-d
x1=-b-d2a
Og: 2ax2=-b+d x2=-b+d2a Man skal være opmærksom på at en andengradsligning, netop fordi det er en ligning, godt kan tage sig anderledes ud end grundformen ax2 + bx + c = 0.

2. vækstmodeller
Du skal redegøre for karakteristiske egenskaber ved den lineære funktion f(x) = ax + b, samt lineær regression:
Lineære funktioner er karakteriseret ved:
1. At grafen er en ret linje (eller en del af en ret linje)’
2. At regneforskriften er f(x) = ax + b
3. At de absolutte tilvækster for x og for y er proportionale: ∆y=a∙∆x
At de absolutte tilvækster for x og y er proportionale detyder følgende:
Ser man på en absolut tilvækst for x kaldet ∆x og den tilsvarende absolutte tilvækst for y (∆y), så vil ∆y∆x = a.
Hvis a = 1 vil den absolutte tilvækst i x (∆x) være lige så stor som den absolutte tilvækst i y (∆y).
Hvis a = 3 vil den absolutte tilvækst i y være 3 gange så stor som den absolutte tilvækst i x.
Tallet a er den såkaldte hældningkoefficient.
Hældnings koefficienten a, for en lineær defineres altså som den tilvækst der er i y-værdien, når x-værdien øges med en.
Hvis man har de to punkter x1,y1og x2,y2 på grafen for den lineære funktion beregner man hældnings koefficienten (a) ved formlen: a=∆y∆x=y2-y1x2,-x1 Sætning 1:
For en lineær funktion er forholdet mellem de absolutte tilvækster for y-værdierne og x-værdierne konstant. Konstanten er netop hældnings koefficienten (a).
Når man kender a anvender man forskriften og fx punktet x1,y1til at finde b: b=y1-a∙x1 Se eksempler i bogen side 37.

Jeg tager udgangspunkt i at grafen for den lineære funktion går gennem de to punkter x1,y1 og x2,y2.

Og vi husker at a, for en lineær funktion defineres som den tilvækst der er i y-værdien, når x-værdien øges med 1
Og forholdet mellem de absolutte tilvækster for y-værdierne og x-værdierne er konstant. Konstanten er netop hældnings koefficienten (a).
Jeg kan af tegningen slutte følgende:
Forholdet mellem længderne (x2-x1) og en af de to vandrette sider er: x2-x11=x2-x1 Forholdet mellem længderne (y2-y1) og a af de to lodrette sider er: y2-y1a x2-x1=y2-y1a= a∙x2-x1=y2-y1= a=y2-y1x2-x1

Sætning 2:
Forskriften for en lineær funktion med en hældningskoeeficient på a er f(x) = ax + b hvor tallet b er y-værdien hvor grafen skærer y-aksen.

Indsætter disse værdier i stedet for, og hældningskoefficienten er så: a=fx-bx-0= a=fx-bx= ax=fx-b fx=ax+b
Dermed er sætningen bevist.

Sætning 3:
Hvis en funktion har en regneforskrift af formen f(x)=ax+b, er det en lineær funktion:
Jeg tager udgangspunkt i at der altid kan tegnes en ret linje mellem to punkter. Og jeg tager udgangspunkt i at ∆y∆x=hældningskoefficienten a, og at b er y-værdi ved x = 0.

Jeg tegner en ret linje gennem punkterne (0,b) og (1,b + a).
Denne rette linje har hældningskoefficient a ifølge mit første bevis. Og ifølge mit andet bevis har den rette linje som jeg vælger at kalde for g(x), regneforskriften g(x)= ax + b. Da f(x) som jeg nævnte i starten også har denne forskrift, er det også en lineær funktion.

3. vækstmodeller
Du skal redegøre for karakteristiske egenskaber ved den eksponentielle funktion f(x) = b∙ax, samt eksponentiel regression:
Potenser er et tal ganget med sig selv et vist antal gange. Hvis a er et vilkårligt tal og n et naturligt tal, definerer vi: an=a∙a…∙a (n fakorer)
Tallet a betegnes grundtallet i potensen, og n betegnes eksponenten.
Kopi af potensregler vedlagt!

Eksponentiel vækst:
Eksponentielle funktioner er karakteriseret ved:
1. At regneforskriften er f(x) = b∙ax, hvor x er et reelt tal og a og b er positive tal (normalt er a≠1)
2. At samme absolutte tilvækst i x-værdien giver samme relative vækst i y- værdien : y2=y1∙a∆x
3. At grafen er en ret linje i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem.
En eksponentiel funktion er voksende når a>1, og aftagende når a er mellem 0 og 1.
Da det kræves i en eksponentiel funktion at a>0 og b>0 vil alle grafer for eksponentielle funktioner ligge over x-aksen.

Vækstegenskab:
Hvis man betragter regneforskriften fx=b∙ax og undersøger hvad der sker med y – værdien når man lægger et tal ∆x til et givet x0. fx0+∆x=b∙ax0+∆x=b∙axo∙a∆x= fx0∙a∆x
Heraf ses at lægger vi et tal ∆x til x0 uanset hvilket x0 skal man altid gange f(x0)∙a∆x.

Andre egenskaber:
Ud fra 2 punkter (x1,y1) og (x2,y2) på grafen for en eksponentiel funktion kan man beregne a ved formlen: a=x2-x1y2y1 Når man kender a, anvender man eksempelvis punktet (x1,y1) til at finde b. b=y1ax1 Indsætter vi 0 i regneforskriften (fx=b∙ax) fås b∙a0=b. Heraf ses at b er y-værdien i skæringspunktet mellem grafen og y- aksen.

Titalslogaritmen:
Jeg vil nu betragte en særlig eksponentiel funktion, hvor b = 1 og a = 10, og regneforskriften er dermed fx=10x, spejler man grafen for denne særlige eksponentielle funktion i linjen y=x, får man grafen for den såkaldte titalslogaritme som vi her vil beregne med log(x).
Egenskaberne for titalslogaritmen hænger nøje sammen med egenskaberne for y = 10x.

Titalslogaritmens egenskaber: log(x) er udelukkende defineret for positive tal. log er en voksende funktion.
Der gælder følgende regneregler for titalslogaritmen:
1. logx1∙x2=logx1+logx2
2. log⁡(x1x2)= logx1-logx2
3. logxr=r∙log⁡(x)
Der gælder at 10log(x) = x, og log(10x) = x. Her ses at 10x og log(x) er modsatte operationer der så at sige ophæver hinanden.
Fordoblingskonstant og halveringskonstant for eksponentiel vækst se bilag!
4. Andengradspolynomier:
Du skal redegøre for bestemmelse af toppunkt samt rødder for andengradspolynomiet:
Et andengradspolynomium er en funktionstype med forskriften af formen: fx=ax2+bx+c Hvor a, b og c er konstanter og a er forskellig fra nul (a≠0)
Grafen for andengradspolynomiet kaldes en parabel.
Når en parabel er graf for en funktion, vil den enten vende ”benene” opad eller nedad.
(Tegn 2 parabler)
Fortegnet a bestemmer hvilken vej benene skal vende.
Punktet hvor parablen ”vender” kaldes toppunktet.
En parabel er symmetrisk omkring den lodrette linje der går gennem toppunktet.
Jo større a er, jo mere samlede er benene.
Toppunktsformlen:
Koordinaterne for toppunktet T kan beregnes ved: x,y=-b2a, -d4a, hvor d=b2-4ac
Konstanten d betegnes diskriminanten, en størrelse der også anvendes når rødderne (nulpunkterne) i andengradspolynomiet skal bestemmes.
Af toppunktets x-værdi -b2a, kan man se at det udelukkende er a og b der har indflydelse på.
Parablen skærer y-aksen i c.

Rødder i andengradspolynomiet:
Der findes en formel til at regne rødderne i andengradspolynomiet: x=-b±d2a Hvis d=0, har parablen kun en rod. (Lige der hvor toppunktet skærer x-aksen)
Hvis d>, har parablen to rødder.
Hvis d<0, har andengradspolynomiet ingen rødder.
Når der står ± foran kvartatrodstegnet betyder det at man til den ene løsning skal regne med +, til den anden regne med -. Man kan derfor opskrive formlen som 2 løsninger: x1=-b+d2a x2=-b-d2a
Hvis d = 0 ser vi at x1 = x2, eller med andre ord, at der netop er en rod.

Bevis for nulpunkter i andengradspolynomium:
Ideen i beviset er at omskrive ligningen ax2+bx+c=0 ved hjælp af kvadratrodsætningen:
(a+b)2=a+b∙a+b=a2+b2+2ab.
Derved får man omskrevet ligningen til en form hvor det ses at beviset må opdeles i tre tilfælde: d<0, d=0 eller d>0.
Jeg starter med at gange ligningen ax2+bx+c=0 med 4a på begge sider af lighedstegnet (vi husker at vi antog at a≠0, så jeg har lov til at gange med 4a). Da fås:
4aax2+4abx+4ac=0
Jeg lægger b2-4ac til på begge sider af lighedstegnet og får:
4aax2+4abx+4ac+b2-4ac=b2-4ac
Som kan reduceres til:
4aax2+4abx+b2=b2-4ac
For nemmere at kunne anvende kvadratrodssætningen omskrives venstresiden:
(2ax)2+b2+2∙2axb=b2-4ac
Her genkender jeg venstresiden som ”kvadratet på en toleddet størrelse” Derfor kan jeg omskrive venstresiden til:
2ax+b∙2ax+b=b2-4ac
(2ax+b)2=b2-4ac
Højresiden kan jeg genkende som diskriminanten (d), så nu har jeg:
(2ax+b)2=d
Jeg har omskrevet ax2+bx+c=0 til ligningen (2ax+b)2=d, og vi kunne gå den anden vej og komme tilbage til ax2+bx+c=0.

Jeg må nu opdele løsningen af ligningen i tre tilfælde:
Hvis d<0:
Venstre siden er et kvadrat (2ax+b)2, så det kan aldrig være et negativt tal. Så hvis diskriminanten d<0 er der ingen løsning på ligningen.
Hvis d=0: Jeg har da ligningen:
(2ax+b)2=0, Da må gælde at:
2ax+b=0, da 0=02, nu kan jeg bare løse ligningen:
2ax=-b
x=-b2a
Hvis d>0: Jeg har altså ligningen:
(2ax+b)2=d, da d>0 er det tilladt at skrive:
(d)2=d Da både negative og positive tal i anden kan give det samme må altså gælde:
2ax+b=-d, eller 2ax+b=d
Hvis jeg kalder den ene løsning for x1og den anden for x2 , kan jeg altså løse ligningerne:
2ax1=-b-d
x1=-b-d2a
Og: 2ax2=-b+d x2=-b+d2a Bevis for toppunkt i andengradspolynomium:
Toppunktsformlen her igen: x,y=-b2a, -d4a, hvor d=b2-4ac
Starter med udgangspunktet fx=ax2+bx+c
Til at finde et toppunkt, altså et maksimum eller et minimum, så skal man altid udersøge f’(x)=0. Der bruger jeg altså differentialregning: f'x=2ax+b Så sætter jeg: f'x=0 2ax+b=0
Så isolerer jeg x og finder x-koordinaten:
2ax=-b
x=-b2a
Y-koordinaten er lidt mere besværlig:
Jeg sætter x ind i andengradspolynomiets forskrift: f-b2a=a-b2a2+b∙-b2a+c f-b2a=ab24a2+-b22a+c f-b2a=b24a+-b22a+c f-b2a=b24a-2b24a+4ac4a

f-b2a=b2-2b2+4ac4a

f-b2a=-b2+4ac4a
Diskriminanten kender jeg: d=b2-4ac Her er kun forskellen +4ac i stedet for -4ac. Det vil sige at fortegnet for d altså må skifte til minus også: f-b2a=-d4a Og det er jo lige præcis toppunktets y-værdi, jeg skriver begge værdier her: x,y=-b2a,-d4a 5. Andengradspolynomier:
Du skal redegøre for andengradspolynomief f(x) = ax2 + bx + c og dets karakteristiske egenskaber:
Et andengradspolynomium er en funktionstype med forskriften af formen: fx=ax2+bx+c Hvor a, b og c er konstanter og a er forskellig fra nul (a≠0)
Grafen for andengradspolynomiet kaldes en parabel.
Når en parabel er graf for en funktion, vil den enten vende ”benene” opad eller nedad.
Fortegnet a bestemmer hvilken vej benene skal vende.
Punktet hvor parablen ”vender” kaldes toppunktet.
En parabel er symmetrisk omkring den lodrette linje der går gennem toppunktet.
Jo større a er, jo mere samlede er benene.
Toppunktsformlen:
Koordinaterne for toppunktet T kan beregnes ved:
T=x,y=-b2a, -d4a, hvor d=b2-4ac
Konstanten d betegnes diskriminanten, en størrelse der også anvendes når rødderne (nulpunkterne) i andengradspolynomiet skal bestemmes.
Toppunktet er den laveste værdi for parablen hvis a er positiv, toppunktet er den højeste værdi hvis a er negativ:
Man kan bestemme fortegnene for a, b, c og d ved at kigge på en parabel:

(Tegn en graf)
På denne graf kan jeg se at andengradspolynomiet konstanten a er positiv, og jeg kan se at b er positiv, da parablens toppunkt ligger til venstre for y-aksen, og:
-b2a=-b2a
Jeg kan regne ud at c er positiv idet: f0=0∙x2+0∙x+c f0=c
Jeg kan desuden vide at d, er positiv idet:
-d4a=-d4a

Polynomiers rødder (nulpunkter):
Man kan regne polynomiers rødder ved formlen: x=-b±d2a Når der står ± foran kvartatrodstegnet betyder det at man til den ene løsning skal regne med +, til den anden regne med -. Man kan derfor opskrive formlen som 2 løsninger: x1=-b+d2a x2=-b-d2a
Som bekendt gælder at diskriminanten: d=b2-4ac Faktorisering:
Hvis et andengradspolynomium har rødderne x1og x2 kan det faktoreres. Der gælder nemlig følgende omskrivning: fx=ax2+bx+c=ax-x1(x-x2) Hvis diskriminanten d = 0 har andengradspolynomiet en rod. I så fald vil x1=x2. Da kan faktoriseringen ske på samme måde som hvis x1 og x2 er forskellige.
Hvis andengradspolynimiet ingen rødder har, kan det ikke faktoriseres.
Bevis for faktorisering:
Jeg skal bevise at: fx=ax2+bx+c=ax-x1x-x2, når x1 og x2 er rødder. ax-x1x-x2=ax2-x∙x2-x1∙x+x1∙x2= ax2-x1+x2x+x1∙x2
Nu vil jeg se på x1+x2:
Hvis x1 og x2 er rødder i f gælder: x1=-b+d2a x2=-b-d2a
Da fås: x1+x2=-b+d2a+-b-d2a= -b+d-b-d2a=-2b2a= x1+x2=-ba Endvidere ses at: x1∙x2=-b+d2a∙-b-d2a= b2+b∙d-b∙d-d24a2= b2-d4a2=b2-b2-4ac4a2= 4ac4a2= x1∙x2=ca Nu indsætter jeg mine værdier: ax2-x1+x2x+x1∙x2=ax2--bax+ca= fx=ax2+bx+c

6. Trigonometri:
Cosinus sinus og tangens beskriver sammenhængen mellem en vinkel og to sider i en retvinklet trekant.
Den vinkel der indgår, er altid den vinkel som ikke er ret.
Cosv=hoshyp
Sinv=modhyp
Tanv=modhos
Først vil jeg definere Cos, sin og tan ud fra enhedssirklen.
Cirkel med radius 1.
Vinkel v.
Vilkårlig trekent
Tangens trekant
Cos/sin trekant.
De trekanter man regner på har sjældent hypotenusen 1. Derfor vil jeg gerne komme frem til de sætninger for cos, sin og tan vi kender så godt.
Finder nu forstørrelsesfaktoren på den støre og lille trekant: hyp1=hyp Nu skal jeg så have forstørret den modstående og den hosliggende katete op: covv∙hyp=hos cosv=hoshyp sinv∙hyp=mod sinv=modhyp
Jeg kan også bevise at modhos=tanv:
Finder nu forstørrelsesfaktoren på den større og mellem trekant: hos1=hos tanv∙hos=mod tanv=modhos Bevis for sinusrelationen: asin⁡(a)=bsin⁡(b)=csin⁡(c) Tegn trekant med A , B , C , a , b , c og h
1. del går ud på at højden ligger inden i trekanten
Der er også hvor højden ligger uden for trekant.
Vi skal have udtrykt h på 2 måder.
Det kan man gøre ved at bruge de to trekanter. sinA=hch=sin⁡(A)∙c sinC=hah=sin⁡(C)∙a
2 måder at udtrykke h, sætter dem lig med hinanden: sinA∙c=sinC∙asinA∙csinA=sinC∙aSinA c=sinC∙aSinA csin⁡(c)=sinCsinC∙asin⁡(A) asin⁡(A)=csin⁡(C)
Hvis man drejer trekanten vil man kunne regne b, samme princip.
Nu ligger højden uden for trekanten:
(tegn A , B , C , a , b ,c og h), med C (180-C):
Ligesom før have udtrykt h på 2 forskellige måder:
Starter med den store retvinklede. sinA=hch=c∙sinA Den lille trekant kender vi ikke vinkel C helt præcist.
Sin180-C=hah=sin⁡(180-C)∙a
Hvis vi se på enhedscirklen:
Man kan se på enhedscirklen at det er det samme.
Derfor udskifter jeg 180-C med C: h=sin⁡(C)∙a Regner nu: sinC∙a=sinA∙c sinC∙asinA=c asin⁡(A)=csin⁡(C) 8. Differentialregning:
Du skal redegøre for hvad der forstås ved en differental funktion gør rede for differentialkvotient og tangent.
Differential funktion: Vi kalder en funktion for differentiabel hvis grafen for funktionen har en tangent i alle punkter.
Se videre side 85 + 86 for grafer.

Differentialkvotient:
Jeg starter med at kigge på polynomiet: fx=x2 Finder punktet (x0,y0) og derefter et hjælpepunkt hvor y0=f(x0) = x02.
Hjælpepunktet er: (x0+h, f(x0+h). Som jeg vælger at kalder for (a).
Dernæst regner jeg forskellen på y-værdierne: fx0+h=(x0+h)2=x02+h2+2∙x0∙h Dermed:
∆f=fx0+h-fx0=x02+h2+2∙x0∙h-x02=h2+2∙x0∙h
Hældningskoefficienten for sekanten (a) udregnes: a=∆f∆x=∆fh=h2+2∙x0∙hh=h+2x0 Dermed: f'x0=limh→0h+2x0=0+2x0 f'x0=2x0

Differentialkvotient med stor ligning: fx=ax2+bx+c Hvis den skal differentieres gøres det på denne måde: f'x=2ax2-1+1bx1-1+c-c=2ax+b Finder punktet (x0,y0) og derefter et hjælpepunkt hvor y0=f(x0) = ax02+bx0+c.
Hjælpepunktet er: (x0+h, f(x0+h). Som jeg vælger at kalder for (a).
Dernæst regner jeg forskellen på y-værdierne: fx0+h=ax0+h2+bx0+h+c=ax02+h2+2∙x0∙h+bx0+bh+c= ax02+ah2+2∙a∙x0∙h+bx0+bh+c
∆f=fx0+h-fx0=ax02+ah2+2∙a∙x0∙h+bx0+bh+c-(ax02+bx0+c)=
ah2+2∙a∙x0∙h+bh
Hældningskoefficienten for sekanten (tangenten) (a) udregnes: a=∆f∆x=∆fh=ah2+2ax0h+bhh=ah+2ax0+b Dermed: f'x0=limh→0ah+2ax0+b=a∙0+2ax0+b f'x0=2ax0+b

Differentation af f(x)=xn:
Den sidste type jeg vil differentiere er: fx=xn Hvor den afledte funktion er: f'x=nxn-1 Første tirn: fx0+h=x0+hn=x0+hx0+h∙…∙x0+h ,n gange.
(x0+h)n=x0n+nx0n-1∙h+(led med h2 eller højere potens af h)

Derfor bliver altså:
∆f=x0n+nx0n-1∙h+(led med h2 eller højere potens af h)

Andet trin:
∆f∆x=x0n+nx0n-1∙h+led med h2 eller højere potens af hh= nxn-1+(led med h eller højere potens af h)

Tredje trin: f'x=limh→0∆fh= f'x=limh→0=nx0n-1+led med h eller højere potens af h= nx0n-1+0= f'x=nx0n-1
Den afledte funktion.

Bestemmelse af tangentens ligning:
Hvis en ret linje går gennem punkterne (x,f(x)) og (x0,f(x0)) kan man: a=fx-fx0x-x0 ax-x0=fx-fx0 ax-x0=fx-fx0 fx=ax-x0+f(x0)
Vi ved at a = f’(x0), derfor er tangentens ligning: y=f'(x0)∙x-x0+f(x0) 9. Differentialregning:
Du skal redegøre for følgende begreber : monotoniforhold, ekstrema, og fortolkning af differentialkvotient for en differentiabel funktion.
Differential funktion: Vi kalder en funktion for differentiabel hvis grafen for funktionen har en tangent i alle punkter.
Se videre side 85 + 86 for grafer

Differentialkvotient med stor ligning: fx=ax2+bx+c Hvis den skal differentieres gøres det på denne måde: f'x=2ax2-1+1bx1-1+c-c=2ax+b Finder punktet (x0,y0) og derefter et hjælpepunkt hvor y0=f(x0) = ax02+bx0+c.
Hjælpepunktet er: (x0+h, f(x0+h). Som jeg vælger at kalder for (a).
Dernæst regner jeg forskellen på y-værdierne: fx0+h=ax0+h2+bx0+h+c=ax02+h2+2∙x0∙h+bx0+bh+c= ax02+ah2+2∙a∙x0∙h+bx0+bh+c
∆f=fx0+h-fx0=ax02+ah2+2∙a∙x0∙h+bx0+bh+c-(ax02+bx0+c)=
ah2+2∙a∙x0∙h+bh
Hældningskoefficienten for sekanten (tangenten) (a) udregnes: a=∆f∆x=∆fh=ah2+2ax0h+bhh=ah+2ax0+b Dermed: f'x0=limh→0ah+2ax0+b=a∙0+2ax0+b f'x0=2ax0+b

Differentation af f(x)=xn:
Den sidste type jeg vil differentiere er: fx=xn Hvor den afledte funktion er: f'x=nxn-1 Første tirn: fx0+h=x0+hn=x0+hx0+h∙…∙x0+h ,n gange.
(x0+h)n=x0n+nx0n-1∙h+(led med h2 eller højere potens af h)

Derfor bliver altså:
∆f=x0n+nx0n-1∙h+(led med h2 eller højere potens af h)

Andet trin:
∆f∆x=x0n+nx0n-1∙h+led med h2 eller højere potens af hh= nxn-1+(led med h eller højere potens af h)

Tredje trin: f'x=limh→0∆fh= f'x=limh→0=nx0n-1+led med h eller højere potens af h= nx0n-1+0= f'x=nx0n-1
Den afledte funktion.

Monotoniforhold:
Fortegnet for f’(x) , angiver om funktionen er voksende eller aftagende.
Voksende f'(x)>0
Aftagende f'(x)<0
Hvis x1<x2, vil f'(x1)<f'(x2) f'x=∆f∆x Forklar med forskellige positive og negative tal, og kig på tidligere bevis.

Hvis en differentiabel funktion har lokalt maksimum eller minimum i x0, vil f'x0=0 igen f'x=∆f∆x
Kun hvis delta f = 0.
∆f=fx+h-fx=0
∆x=h

Ekstrema:
Man finder lokale maksima og minima (samlet kaldet extrema) ud fra x værdier hvor f’(x)=0:
Men det er ikke altid lokalt maksimum eller minimum, hvis funktionen opfører sig uartigt.
Se evt side 109.

10. Differentialregning:
Du skal redegøre for hvad der forstås ved en differental funktion gør rede for differentialkvotient og tangent.
Differential funktion: Vi kalder en funktion for differentiabel hvis grafen for funktionen har en tangent i alle punkter.
Se videre side 85 + 86 for grafer

Differentialkvotient med stor ligning: fx=ax2+bx+c Hvis den skal differentieres gøres det på denne måde: f'x=2ax2-1+1bx1-1+c-c=2ax+b Finder punktet (x0,y0) og derefter et hjælpepunkt hvor y0=f(x0) = ax02+bx0+c.
Hjælpepunktet er: (x0+h, f(x0+h). Som jeg vælger at kalder for (a).
Dernæst regner jeg forskellen på y-værdierne: fx0+h=ax0+h2+bx0+h+c=ax02+h2+2∙x0∙h+bx0+bh+c= ax02+ah2+2∙a∙x0∙h+bx0+bh+c
∆f=fx0+h-fx0=ax02+ah2+2∙a∙x0∙h+bx0+bh+c-(ax02+bx0+c)=
ah2+2∙a∙x0∙h+bh
Hældningskoefficienten for sekanten (tangenten) (a) udregnes: a=∆f∆x=∆fh=ah2+2ax0h+bhh=ah+2ax0+b Dermed: f'x0=limh→0ah+2ax0+b=a∙0+2ax0+b f'x0=2ax0+b

Differentation af f(x)=xn:
Den sidste type jeg vil differentiere er: fx=xn Hvor den afledte funktion er: f'x=nxn-1 Første tirn: fx0+h=x0+hn=x0+hx0+h∙…∙x0+h ,n gange.
(x0+h)n=x0n+nx0n-1∙h+(led med h2 eller højere potens af h)

Derfor bliver altså:
∆f=x0n+nx0n-1∙h+(led med h2 eller højere potens af h)

Andet trin:
∆f∆x=x0n+nx0n-1∙h+led med h2 eller højere potens af hh= nxn-1+(led med h eller højere potens af h)

Tredje trin: f'x=limh→0∆fh= f'x=limh→0=nx0n-1+led med h eller højere potens af h= nx0n-1+0= f'x=nx0n-1
Den afledte funktion.

Monotoniforhold:
Fortegnet for f’(x) , angiver om funktionen er voksende eller aftagende.
Voksende f'(x)>0
Aftagende f'(x)<0
Hvis x1<x2, vil f'(x1)<f'(x2) f'x=∆f∆x Forklar med forskellige positive og negative tal, og kig på tidligere bevis.

Hvis en differentiabel funktion har lokalt maksimum eller minimum i x0, vil f'x0=0 igen f'x=∆f∆x
Kun hvis delta f = 0.
∆f=fx+h-fx=0
∆x=h

Ekstrema:
Man finder lokale maksima og minima (samlet kaldet extrema) ud fra x værdier hvor f’(x)=0:
Men det er ikke altid lokalt maksimum eller minimum, hvis funktionen opfører sig uartigt.
Se evt side 109.

11. Integralregning:
Du skal redegøre for bestemmelse af stamfunktioner og hvorledes disse kan anvendes til bestemmelse af arealer:
Integralregning er den modsatte funktion af differential regning den kaldes også integeration og stamfunktionsbestemmelse. Fxer stamfunktion til fxhvis:
F'x=f(x)
Ofte benyttes skrivemåden:
Fx=f(x)dx
Det læses ”det ubestemte integral af f” eller ”en stamfunktion til f”
Eksempler på integralregning: fx=2x, er Fx=x2 en stamfunktion til f fordi:
F'x=x2'=2x=f(x)

Fx=x2+7x=fxdx=2x+7
Gx=x2+7x+5 er også stamfunktion
Gx=fxxdx=x2+7+0
Når man tjekker om man har fundet den rigtige stamfunktion kaldes det integrationsprøven.

Hvis F er en stamfunktion til funktionen f, vil alle funktioner af formen G(x)=F(x)+k , hvor k er en konstant, også være stamfunktioner til f.
Bevis:
At F er en stamfunktion til f betyder at F'x=fx.
Vi differentierer funktionen Gx=Fx+k:
G'x=F'x+k'=F'x+0=fx=G(x) G(x) er også stamfunktion til f.
Hvis funktionen f er defineret i et interval og har stamfunktionen F. Så er alle stamfunktioner til f defineret ved : Gx=Fx+k, hvor k selvfølgelig er en konstant.
Gxer jo også stamfunktion til f:
G'x=f(x) og danner nu funktionen:
Hx=Gx-Fx.
Differentierer nu H:
H'x=G'x-F'x=
fx-fx=0
H differentieret til nul betyder at den er konstant:
Hx=k
H(x) er jo:
Hx=Gx-Fx=k
Som kan omskrives:
Gx=Fx+k
Så har jeg bevist at alle stamfunktioner til f er defineret ved det.…...

Similar Documents

Free Essay

Tommy Hilfiger

...IN-COMPANY TRAINING REPORT ON MARKETING STRATEGY OF TOMMY HILFIGER COMPLETED IN TOMMY HILFIGER LTD SUBMITTED IN PARTIAL FULFILLMENT OF THE REQUIREMENT OF BACHELOR OF BUSINESS ADMINISTRATION (BBA) GURU JAMBHESHWAR UNIVERSITY OF SCIENCE & TECHNOLOGY, HISAR TRAINING SUPERVISOR: SUBMITTED BY: MR. SAUMYA GHOSH MANDEEP SINGH (Senior Marketing Manager) Batch: 2007-2010 Enrollment No.: 07511213132 Session: 2007-2010 RNIS COLLEGE OF MANAGEMENT DIRECTORATE OF DISTANCE EDUCATION GURU JAMBHESHWAR UNIVERSITY OF SCIENCE & TECHNOLOGY, HISAR-125001 PROJECT REPORT ON MARKETING STRATEGY OF TOMMY HILFIGER COMPLETED IN TOMMY HILFIGER LTD SUBMITTED IN PARTIAL FULFILLMENT OF THE REQUIREMENT OF BACHELOR OF BUSINESS ADMINISTRATION (BBA) GURU JAMBHESHWAR UNIVERSITY OF SCIENCE & TECHNOLOGY, HISAR TRAINING SUPERVISOR: SUBMITTED BY: MR. SAUMYA GHOSH MANDEEP SINGH (Senior Marketing Manager) Batch: 2007-2010 Enrollment No.: 07511213132 Session: 2007-2010 RNIS COLLEGE OF MANAGEMENT DIRECTORATE OF DISTANCE EDUCATION GURU JAMBHESHWAR UNIVERSITY OF SCIENCE & TECHNOLOGY, HISAR-125001 STUDENT DECLARATION I hereby declare that the Summer Training Report conducted at “Marketing Strategy Of Tommy Hilfiger” submitted in partial fulfillment of the requirement of bachelor of business administration (BBA) RNIS......

Words: 17393 - Pages: 70

Premium Essay

The Death of Tommy Grimes

...Analyse af The death of Tommy Grimes We all have to go through it. We all learn from it, and it will always be in our memory. Growing up. Some just want to pass it and move on, where others try to stay in the phase as long as possible. Some people grows up when they leave home, some kids by becoming 18 and others a third or fourth reason. The short story The Death of Tommy Grimes is about the main character Tommy Grimes and him becoming a man. The Story is written by R.J. Meaddough in 1962. The most important person we here about otherwise is Tommy’s father Tom Grimes also called Pa. The title first let us believe that Tommy is going to die, literally. And when you read the first pages, it is about hunting what makes it more likely that he might die. But in the end he does not die, literally. Tommy’s father is teaching him how to hunt and track down animals. And as the story composes Tommy develops a new side of himself, and becomes a man instead of a boy. Because of this change the main theme is growing up. Tommy is a 12 years old boy who lives with his mom and dad in a house near Collierville. Collierville is in the South-eastern America. We are also in a modern time, because of the tone in the text. They use colloquial language for example the father says: Then you dead, boy”. In that sentence there is missing a subject, this makes it a colloquial language. The story is written in 3th person with an invisible narrator. The point of view lies with Tommy and it is......

Words: 1246 - Pages: 5

Free Essay

The Death of Tommy Grimes

...kkkkkkkkkkkkkkkk kkkkkkkkkkk kkk hjjjjjjjjj jjjjjjjjj jjjjjjjj jjjjj jjjjjjjjjjjj jjjjjjjjjjjjjjj jjjjjj j j jj j jj j jj j jj j jj j j jj j j j j j jj j j j jr r r r r r rr r r r r r r r r r r r r re r er er er ere er er er e r e r ere r we t er t ret retr t ert ret er t rt e gdf g fg d f g dg dfgfd gdfgdf g fdgfgdfgd gdfg dfg dfgdg g gg gg g g g g g g g gg g g gg g g g g g gg g g gg g g g g g g g g g g g g g g g g r r r r r r r r r r rr r rr r r r r r r r r r t t t t t t t t t t t t t t t 5 5 5 55 55 5 5 5 5 5 55 55 e e ee e e e e e e e e e ee e e e e e e e e e e w w ww w w w w w w w w w w w w 3 33 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 33 3 3 4 4 4 4 4 44 44 4 4 4 4 5 5 5 5 5 55 5 6 6 6 6 6 6 t t tt t t r r r e e e e r t tt r e r t r e r t r t re rt e r t r e ee rt...

Words: 293 - Pages: 2

Free Essay

The Death of Tommy Grimes

...Tommy var blevet en del af jorden. I det mindste følte han det sådan, imens han kiggede på duggen og dagslyset som lavede store skinnende spindelvæv over trætoppene. Solen var endnu ikke stået op og en tåge lå over jorden, som fik skoven til at se endnu mere uhyggelig for ham. Hans næse kløede og han længtes efter at klø, bare en lille smule, men Pa sagde ikke flytte, ikke spjæt og ikke træk vejret hårdt. Ikke en arm, en hånd og ikke engang en finger, sagde han. ”Han kender skoven” Pa fortalte ham: ”Du vil aldrig vide at han er her, pludselig vil han kigge på dig, bare kigge.” Det startede for langtid siden huskede Tommy, næsten for et år siden, da han kun var 11år. Den nat i hønsegården med væselts øjne som glinsede i lommelygten. Han affyrede aldrig et skud, stod der bare med munden åben, tåbelig, mens væsel løb ind i skoven igen. Og Pa rev riflen ud af hånden på ham og spurgte ”hvorfor skød du ikke? Hvad venter du på? Hvad er der galt med dig dreng?” Tommy ”Pa, jeg…. Jeg kunne ikke.” Pa knælede ned på den ene balle, og tog et græsstrå. Han sagde ingenting for et minut, han knælede bare imens han tyggede på græsset. ”Du har aldrig kunne lide at slå ihjel, vel dreng? Heller ikke da du var lille.” Tommy kiggede på jorden uden at sige ingenting og hans far sukkede ”Tommy, forhelvede, en mand dør altid lidt når han dræber noget, men det skal bare gøres. Nogle dyr er bare ikke gode og derfor bliver de dræbt, forstået?” Han nikkede uden at svare, stadig kiggende......

Words: 2133 - Pages: 9

Premium Essay

The Death of Tommy Grimes

...little girl swallowed by wolf yesterday a little girl called red ridding hood and her grandmother was eaten by a wolf. the horrible scene took place in the forest nearby near the village. Yesterday morning a little girl was walking to deliver some cake and vine to her sick grandmother. But on her way she was stopped by a wolf. “ first I was frightened but he seemed friendly, he asked me where I was going. When I said that I was going to my sick grandmothers house, he gave me the idea to pick up some flowers on my way, so I did” the girl tells. “The wolf attacked me by suprise” now when the little girl was distracted, the wolf went to the grandmothers house. The grandmother tells that she was lying in the bed when she heard the door being opened. “ I would never have expected to see the beast who came walking into my bedroom, I just thought it was my grandchild, he attacked me by surprise.” the wolf swallowed the old woman, and took on her close, then he waited for the girl in the grandmothers bed. Rescued by local lumperjack Some minutes later the girl arrived to her grandmothers house. She went to the bedroom with the cake and wine from her mother. When she saw the wolf wearing her grandmothers close she thought it was the sweet old woman she knew. “ she looked very strange, but I just thought it was because she was sick, when I later realized it was the wolf it was too late. I screamed.” luckily a local lumberjack was near the house and heard the......

Words: 380 - Pages: 2

Free Essay

The Death of Tommy Grimes

...Dropdead trøje "City that never sleeps" str. l/ xl - http://www.iheartdropdead.com/product.php/2173/103/city_that_never_sleeps Odd Future T-shirt - str. L - http://www.oddfuture.com/collections/clothing/products/white-boxcutter-tee Nike Air Jordan 4 Retro "Bred" str. 44/44.5 - kan fås http://shelta.eu/products/brand/jordan/nike-air-jordan-4-retro-bred-308497-089 eller http://www.norsestore.com/commodity/15060 Nike Sportswear Dunk High str. 44.5 - http://shelta.eu/products/brand/nike-sportswear/nike-sportswear-dunk-high-317982-051 Football Manager 13 til PC Zara sweatshirt - str. L http://www.zara.com/webapp/wcs/stores/servlet/product/dk/en/zara-neu-W2012/286512/1012529/SWEATSHIRT%20WITH%20LEATHER%20YOKE Zara skjorte - str. L http://www.zara.com/webapp/wcs/stores/servlet/product/dk/en/zara-neu-W2012/269236/938518/CAMOUFLAGE%20SHIRT Skjorte fra Weekday - str L http://www.weekday.com/mens-wear/cedric-jacquemyn/all/shirts/lagarfljot-shit Lange underbukser fra Norse - str. L http://www.norsestore.com/commodity/15076 Trøje fra streetammo - str. XL http://www.streetammo.dk/commodity/78009-vamp-life-the-brooklyn-baseball-tee#.UMI3hoOS-po Jakke fra Obey - str. L http://www.streetmachine.com/commodity/20616 New Era hue - https://www.dropdead.dk/new-era-hue-lic-cuff-knit-oakrai-team-sort Penge SKATE 4 til PS3 (hvis dette spil ikke findes, så ønsker jeg mig SKATE 3) April 77 bukser - str 32 ......

Words: 254 - Pages: 2

Premium Essay

The Death of Tommy Grimes Essay

...modern times. Tommy goes hunting in the woods, which is where the action starts. Later it moves on to the bar, where his father is telling his friends about, how brave his son was. In the beginning his father describes the forest particular, the beautiful colors, fresh stream etc. When Tommy is standing there, ready to kill, it is like everything is described in details, and I think it is because it is an important place in the text. The weather and environment reflects to the characters feelings. The sun is shining, when Tommy is waiting the woods, but when he is about to shoot the black man, the sun gets duller and there is a dead silence. I think it is probably because he is scared and nervous. In the end when they are all sitting in the bar, and Tommy is happy, because he is finally one of them, the Mississippi sunshine is mentioned Characters The first persons we are introduced to, is Tommy Grimes and his father Tom. Tommy is a white boy, and I think he is probably 12 years old “Soon they would be calling him Tim Grimes like his father (P.3, Line 6-7)”. It seems like Tommy has a beautiful point of view on life, but his father “brainwashes” him. He wants to grow up and become a real man, just like his father, so he can hang out with him and his friends at the bar. I do not think that he enjoys killing, but it is a duty. After he kills the black person, a part of him dies, like his father told him. He does not think it is that bad. Tommy’s father Tom Grimes is white......

Words: 522 - Pages: 3

Premium Essay

Tommy Grimes

...The movie is about a young guy Benjamin Braddock, who just graduated college. Now he doesn’t know what he wants to do next. He is feeling pressured by his parents, because they want him to continue studying, and he doesn’t want to continue school. He is seduced by one of his parent’s friends Mrs. Robinson an older lady. He is very hesitant and resist it, but then suddenly starts an affair with her, and things get a little messed up when he falls in love with her daughter Elaine. I really liked the acting, Dustin Hoffmann, is an excellent actor. He did a really good job portraying his character. I also really liked Benjamin Braddock’s character, a very polite, well-mannered, behaved young guy who is confused about life. The acting was really great; all the actors really did a good job portraying their character, even the small roles. Also I really liked the soundtrack of the movie, the music in background really matched the movies and the story. It gave the movie nice feeling, as if you were there yourself. I really like how the movie was surrounded in a rich environment. Because we know that college in America is extremely expensive, and people save up all their life just to attend college, when rich people they easily can. It somehow shows that school isn’t the answer to a good life and money can’t buy happiness. This is an older movie from the 60’s so the film quality isn’t the best, but the camerawork is very good. I didn’t like the story; I was expecting......

Words: 490 - Pages: 2

Free Essay

The Death of Tommy Grimes

...Tommy Grimes: Tommy is a 12 year old boy, who lives somewhere in the U.S.A with both his parents (probably in Mississippi, line 8 page 45). The whole story is taking place in a time before the civil war (before 1861). Hunting plays a vital role in the community Tommy lives in. Despite his father, “the boys” and the rest of the society, Tommy doesn’t like killing. (I can tell from line 6-15 on page 39). Tommy’s father is aware of that (as seen on line 19-20 page 39) and obviously he gets a little embarrassed when the other men bragged about their boys being good hunters (seen on line 26-28 page 40). Tommy realizes that, and in order to fit in, and be a part of the community (consisting of his father, “the boys” and all the other hunters in the village) he needs to accept the fact “that some varmints do damage and just plain got to be killed”. Tommy wants to make his father proud, so he eagerly starts practicing shooting with the rifle. After a while, Tommy is ready to see if he is able to make his first kill. He goes out buck hunting with his father. He managed to kill a runaway-slave with a shot that pierced right through the heart of the slave. – This is even better than killing a predator, and the above-mentioned situation results, that Tommy finally gets accepted as a man. Even though Tommy wasn’t quite happy about killing the slave, he is overwhelmed with pride....

Words: 264 - Pages: 2

Premium Essay

The Death of Tommy Grimes

...katedralskole B The Death of Tommy Grimes The text “The Death of Tommy Grimes” is about the eleven-twelve year old boy Tommy and his father. The story starts of in medias res where we hear about Tommy later in the story, and we get no introduction here. We get the introduction few sentences later in a flashback, where we hear about Tommy’s father trying to instruct Tommy in his shooting skill, but at this moment Tommy just can not pull the trigger. Tommy starts practicing his increasing shooting ability while his father teaches him about hunting, and how the nature cycle, in a metaphorical way, works on earth. In the end of the story, Tommy and his father go hunting, and Tommy ends up shooting a black man – something which makes his father awfully proud, and in the very end he boasts about it in the local bar saying the words, “my boy became a man today” The character Tommy is the protagonist in the story, and he lives in a small village with his father and the other inhabitants. From the descriptions in the text, it sounds like the environment Tommy lives in is very stuffy without any significant contact to the outside world. This is also why Tommy’s father has an enormous influence on him, including the fact that he probably does not know anything else, than what his father tells him. This draw the conclusion, that Tommy is completely dependent on his father, because he is the only source to knowledge about the world. During the action of the story, Tommy goes through a......

Words: 859 - Pages: 4

Premium Essay

Tommy Grimes

...modern times. Tommy goes hunting in the woods, which is where the action starts. Later it moves on to the bar, where his father is telling his friends about, how brave his son was. In the beginning his father describes the forest particular, the beautiful colors, fresh stream etc. When Tommy is standing there, ready to kill, it is like everything is described in details, and I think it is because it is an important place in the text. The weather and environment reflects to the characters feelings. The sun is shining, when Tommy is waiting the woods, but when he is about to shoot the black man, the sun gets duller and there is a dead silence. I think it is probably because he is scared and nervous. In the end when they are all sitting in the bar, and Tommy is happy, because he is finally one of them, the Mississippi sunshine is mentioned Characters The first persons we are introduced to, is Tommy Grimes and his father Tom. Tommy is a white boy, and I think he is probably 12 years old “Soon they would be calling him Tim Grimes like his father (P.3, Line 6-7)”. It seems like Tommy has a beautiful point of view on life, but his father “brainwashes” him. He wants to grow up and become a real man, just like his father, so he can hang out with him and his friends at the bar. I do not think that he enjoys killing, but it is a duty. After he kills the black person, a part of him dies, like his father told him. He does not think it is that bad. Tommy’s father Tom Grimes is white......

Words: 381 - Pages: 2

Free Essay

Tommy Hl

...Sloan MKT1040-8 November 21, 2012 MAI PHUNG NAVI PRASHAD SARAH KON MATT GAMMON 5317904 6018196 5834577 6441950 I NTRODUCTION: Company Overview & Ryder Jeans Tommy Hilfiger has earned worldwide recognition as one of the top leaders in premium lifestyle brands. Its high quality “Classic American Cool” preppy fashion with a refreshing twist is currently distributed in 90+ countries 1. In 1985, with the support of a businessman, Tommy Hilfiger released his first signature collection, offering high quality clothes for men, women, and children. The brand became a major hit after George Lois, a famous advertising communicator released a Tommy Hilfiger ad in New York’s Time Square 2. The 1985 “Hangman Billboard Ad” instantly ignited Tommy Hilfiger’s career, making it the starting point of his worldwide success and popularity. In the 90’s, Hilfiger Denim created a very bold marketing campaign in which they featured emerging musical talents such as Britney Spears and Lenny Kravitz 3. The strategy was to develop lasting relationships with cultural influencers and trendsetters in order to entice younger consumers to purchase the brand 4. Pop culture was becoming a worldwide phenomenon, attracting young consumers all over the world. In 2004, Beyonce signed a deal with Tommy Hilfiger agreeing to be the spokesperson for Hilfiger’s True Star fragrance. Her relationship with the brand proved to be major success, as sales skyrocketed through the......

Words: 3683 - Pages: 15

Premium Essay

Tommy O'Connell

...Tommy O’Connell, Audit Senior An audit senior and staff accountant have some similar and different roles when it comes to an audit. The staff accountant does most of the “leg work” in an audit such as gathering invoices and compiling everything needed for an audit. An audit senior is one that will review the compiled documents and ensure that the work done by the staff accountant is done properly. The two have a similarity, though, were they both have to audit specific things such as accounts during the audit. However, the audit senior is typically assigned the more difficult accounts as they are known to be more competent and able to review the accounts better. In my opinion, I believe that the staff accountant role is more important because they are reliable for getting the bulk of the work done during the early stages of the audit. If these are not done timely and effectively, then the firm is likely to go over budget on their audits and would not be able to take on many clients. On the other hand, the audit senior position is more stressful because they are the ones who have to double check the work of the staff accountants and still do audit work such as auditing complex accounts. If I was Tommy, I would bring it up casually to the person who just told me that Carl would be assigned with me on the audit that I have heard that he is likely not a good fit for this type of audit because there are many complex......

Words: 974 - Pages: 4

Premium Essay

Tommy Douglas

...Tommy Douglas was born on October 20, 1904. He was born in Falkirk, Scotland. He died when he was 82 on February 24, 1986. Tommy Douglas is responsible for many of the great benefits we have today. He introduced paved roads, sewage systems and power to most farmers. He somehow managed to reduce the provincial debt by $20 million. He later introduced Saskatchewan residents to car insurance and labour improvement. He is most famous for his long-standing dream of universal Medicare. He supported many and provided hope for the people of Saskatchewan. He won the respect of millions of Canadians due to his excellent debating and speaking skills. It was only after his death when he was voted "The Greatest Canadian" in a national CBC Television contest by his advocate George Stromboulopoulos. The Douglas family emigrated to Winnipeg, Manitoba in 1910. The family then returned to Glasgow, Scotland, during World War I, but came back to settle in Winnipeg in 1919. He was the child of Scottish immigrants. As a youth, Tommy experienced a bone infection in his leg. The doctors recommended he had his leg amputated. His parents had no money for a specialist. This happened not long before a specialist offered to perform a surgery on his leg, as long as his students were able to witness it. This surgery saved his life, and was his inspiration for universally accessible medical care. As a child Tommy Douglas' behavior and characteristics revealed the personality traits that he would be......

Words: 1160 - Pages: 5

Premium Essay

The Death of Tommy Grim

...We all have to go through it. We all learn from it, and it will always be in our memory. Growing up. Some just want to pass it and move on, where others try to stay in the phase as long as possible. Some people grows up when they leave home, some kids by becoming 18 and others a third or fourth reason. The short story The Death of Tommy Grimes is about the main character Tommy Grimes and him becoming a man. The Story is written by R.J. Meaddough in 1962. The most important person we here about otherwise is Tommy’s father Tom Grimes also called Pa. The title first let us believe that Tommy is going to die, literally. And when you read the first pages, it is about hunting what makes it more likely that he might die. But in the end he does not die, literally. Tommy’s father is teaching him how to hunt and track down animals. And as the story composes Tommy develops a new side of himself, and becomes a man instead of a boy. Because of this change the main theme is growing up. Tommy is a 12 years old boy who lives with his mom and dad in a house near Collierville. Collierville is in the South-eastern America. We are also in a modern time, because of the tone in the text. They use colloquial language for example the father says: Then you dead, boy”. In that sentence there is missing a subject, this makes it a colloquial language....

Words: 261 - Pages: 2