UNIDAD IV:ESPACIOS CON
PRODUCTO INTERNO

Objetivos particulares:

Identificar los espacios con producto interno
Comprobar la ortogonalidad entre vectores
Definir bases ortonormales
Verificar la ortogonalidad en una transformación lineal

Contenido programático:

Espacio con producto interno
Producto interno. Definición y ejemplo
El producto interno estándar en dimensión tres (3)
Ortogonalidad
Conjuntos ortonormales. Definición
Bases ortonormales
Proceso de ortonormalización de Gram- Schmidt
Matrices ortogonales
Complemento transformaciones ortogonales

Producto interno
Los elementos fundamentales que constituyen un espacio vectorial son:
Un conjunto de vectores, y conjunto de escalares y dos operaciones:
Adición y producto por un escalar.

Tanto la definición de espacio vectorial como sus consecuencias inmediatas (teoremas) se refieren a propiedades que podríamos denominar algebraicas.

Existen diversas formas de introducir en un espacio vectorial dichos conceptos. Uno de ellos consiste en definirlos a partir de una operación conocida como producto interno

Producto interno
Un producto interior dentro de un espacio vectorial V es una función que asocia a cada par ordenado de vectores u y v en V, un número real único < u,v >, llamado producto interno de u y v, y que satisface los siguientes axiomas para todos u, v y w en V y para todo escalar c :
1.
2.
3.
4.
5.

< u,v > = < v,u >
< u + v , w > = < u, w > + < v , w >
< cu, v > = c < u, v >
< u,u > 0
< u,u > = 0, entonces u = 0

Ejemplo
Dados los vectores u = (u1, u2) y v = (v1, v2) en R2 y sea
< u, v > = 4u1v1 + 5 u2v2

(1)

Demuestre que (1) define un producto interno.
Solución: Satisface el axioma #1:
< u, v > = 4u1v1 + 5 u2v2 = 4v1u1 + 5 v2u2 = < v, u >
Axioma #2: Si W = ( w1, w2), entonces:
< u + v, w > = 4(u1 + v1 )w1 + 5( u2 + v2 )w2
= 4u1 w1 + 4v1 w1 + 5 u2w2 + 5 v2w2
= 4u1 w1 + 5 u2w2 + 4v1 w1 + 5 v2w2
= < u, w > + < v, w >

Continuación…
Axioma #3:
< cu, v > = 4( cu1) v1 +5( cu2 ) v2
= 4cu1 v1 +5 cu2 v2
= c (4u1 v1 +5u2 v2 ) = c < u, v >
Axiomas #4 y #5:
< u,u > = 4u21 +5u22

0

4u21 +5u22 = 0, si y sólo si: u1 = u2 =0
Por lo tanto (1) define un producto interno en R2

Ejercicios propuestos

En los siguientes ejercicios de vectores u y v en R2 definen productos internos:
1. < u, v > = 3u1v1 + 4u2v2
2. < u, v > = u1v1
3. < u, v > = u1v1 - u2v2

demuestre que se

Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt

Bases ortogonales: Un conjunto de n vectores de Rn mutuamente ortogonales, se llama una base ortogonal.
Los vectores ( 1, 0, -1), ( 0 , 5, 0) y ( 2, 0, 2) ocnstituyen una base ortogonal. Base ortonormal: Es una base ortogonal en la que la longitud de cada uno de sus vectores es igual a la unidad.

Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt

Este proceso de ortonormalización nos permite obtener una base ortonormal partiendo de una base cualquiera.
Demostración:
Supongamos que partiendo de una base cualquiera de Rn , A1, A2, …,
An deseamos obtener una base ortonormal: V1, V2, …, Vn
Partamos haciendo:

‫ܣ‬

V1 = | ‫| 1 ܣ‬
1

Vamos a buscar a V2
Haciendo: ܹ2 ortogonales: = ‫1ܸ߬ − 2ܣ‬

W2 V1 = A2V1 - τV1 V1
V1 V1 = 1

W 2 V1 = 0

y busquemos un

߬

que haga a W2 y V1

Continuación…

Busquemos ahora a V3 y a V2

Multiplicando por V1 :

: Obtendremos a un W3 que sea ortogonal a V1

Continuación…
Multiplicando por V2 :

De manera que:

De forma general:

Ejemplo

Determine una base ortonormal utilizando el proceso de ortonormalización de
Gram-Schmidt:
A1= (-2, 3)

y A2 = ( 1, 0)

Solución:

V1 = |

‫1ܣ‬
‫| 1ܣ‬

Continuación ejemplo…

Comprobando:

Ejercicios propuestos

Dadas las siguientes bases, obtenga una base ortonormal, usando el proceso de
Gram-Schmidt:

1) A1 = ( 2,3), A2 = ( -3, 2)
2) A1 = ( 0,1), A2 = ( -4, 8)
3) A1 = ( 1,0,3), A2 = ( -1, 2,0), A3 = ( 0,-2,1)
4) A1 = ( 2,3), A2 = ( -1, 0)

Matriz ortogonal

Una matriz Q de orden nxn, cuyas columnas forman un conjunto ortonormal, se denomina matriz ortogonal..
También una matriz Q es ortogonal ssi Q-1 = Qt
Ejemplo: La matriz

es una matriz ortogonal, ya que si llamamos a sus

Columnas: a = (0,1) y b = (1 , 0) se verifica que:
a.b= (0,1)(1,0) = 0 conjunto ortonormal

por lo tanto sus columnas constituyen un

Ejercicios propuestos

Determine cuales de las siguientes matrices son ortogonales:

 0 1 0

1) 0 0 1


1 1


0


cos θ

2) 
 senθ

senθ 
− cos θ 


3)

 1
 2


 1
−

2


1 
2 


1 


2

Complementos ortogonales

Sea W un subespacio de Rn . Decimos que un vector V en Rn es ortogonal a W. Si
V es ortogonal a todo vector en W. El conjunto de los vectores que son ortogonales a W se denomina complemento ortogonal de W y es denotado
={V en Rn / V.W = 0, para todo V en W}

Ejemplo: Encuentre el complemento ortogonal de :

W⊥ =

Complementos ortogonales….

Ahora si: que: ,

debe ser un vector de la forma:

x3 = x1+x2
Una base para W es la formada por los vectores:
W = x1(1,0,1)+x2(0,1,1)

W1 =(1,0,1)

W2=(0,1,1)

Asi que :
(a,b,c)(1,0,1)= a + c

(a,b,c)(0,1,1) = b + c

‫ ݓ‬ୄ = {(a,b,c)(1,0,1)= a + c , (a,b,c)(0,1,1) = b + c}={a = b = -c /a,b,c ∈ R}

, ya

Ejercicios Propuestos

GRACIAS!!!