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Khi-Deux Test

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Words 5061
Pages 21
STATISTIQUES pour la Gestion

2012 – 2013

2 c

Le Khi-deux

Jean-Marc Petit & Philippe Scotto

Bienvenue
Définition

Bienvenue dans ce cours de
Etape 1 : Formulation

Statistiques pour la Gestion

Etape 2 : calculs

Etape 3 :Analyses

Comprendre le Khi-deux en 4 étapes

Etape 4 : Conclusion

Exemples c² sur un tableau de contingence

Quelques principes de base
Définition

Il s’agit de comparer une distribution réelle observée à un modèle théorique parfait correspondant :
- à une situation d’indépendance - à une loi de probabilité Afin de tirer deux types de conclusions : 1. l’observation est suffisamment éloignée du modèle parfait pour rejeter ce modèle (ce n’est pas indépendant ou la loi ne peut être retenue) l’observation est suffisamment proche du modèle parfait pour pouvoir l’accepter (c’est indépendant, ou la loi s’applique)

Etape 1 : Formulation

Etape 2 : calculs

Etape 3 :Analyses

Etape 4 : Conclusion

2.

Exemples c² sur un tableau de contingence

Les conclusions seront probabilisées avec un risque d’erreur, défini au travers de la table du khi deux.

Quelques principes de base
Définition

Le khi-2 (c²) fournit un test simple, basé sur les différences
(écarts), entre effectifs observés (ni) et effectifs théorique (Npi ). Le khi-2, ou chi-2 (ou chi-carré), est un indicateur de la

Etape 1 : Formulation

Etape 2 : calculs

« distance » entre l’effectif réellement observé et l’effectif qu’aurait donné le modèle hypothétique dit « espéré »,

Etape 3 :Analyses

« théorique » ou « calculé ».

Ce dernier permet de tester une Hypothèse le plus souvent
Etape 4 : Conclusion

notée Ho correspondant à l’acceptation du modèle et H1 correspondant au rejet du modèle. Afin de comprendre, prenons un exemple basé sur l’applicabilité d’une distribution de probabilités :

Exemples c² sur un tableau de contingence

Etape 1 :
Définition

Formulation des hypothèses

Dans un 1er temps, il nous faut formuler des hypothèses. Regardons le tableau de données suivant:

Etape 1 : Formulation

Type d’écran Situation actuelle (observée) ni Situation passée (en%)

Tube Cathodique

LCD

Plasma

Total

40 60%

80 30%

80 10%

200 100%

Etape 2 : calculs

Etape 3 :Analyses

Supposons que l’on décide d’utiliser les résultats de la situation passée pour nous aider à prévoir les futures commandes de

Etape 4 : Conclusion

types d’écrans. Ce qui ferait de ces fréquences observées dans le passé des probabilités en vue d’effectuer des projections. Serait-ce un choix judicieux en tenant compte de la situation actuelle ?

Exemples c² sur un tableau de contingence

Etape 1 :
Définition

Formulation des hypothèses

Afin de vérifier la validité de ce choix, posons pour hypothèse H0 : « la distribution observée (situation actuelle) est conforme à La

Etape 1 : Formulation

distribution théorique (basée sur les ventes passées) » L’hypothèse contraire (souvent notée) H1 est alors :

Etape 2 : calculs

« La distribution observée ne s’ajuste pas à la distribution théorique»
Type d’écran Tube Cathodique 40 LCD Plasma Total

Etape 3 :Analyses

Etape 4 : Conclusion

Situation actuelle (observée) ni
Situation passée (en%) (pi) Situation passée (théorique) Npi

80

80

200 (N)

60% 60% x 200 = 120

30% 30% x 200 = 60

10% 10% x 200 = 20

100%

Exemples c² sur un tableau de contingence

200

Etape 2 :Calculs
Définition

Nous supposons Ho vraie pour construire un indicateur d’écart entre les deux distributions. Une estimation de la différence entre les valeurs observées (ni) et théoriques (Npi) est donnée par le khi-2 calculé.

Etape 1 : Formulation

Etape 2 : calculs

c² calculé == S [(ni – Npi)² / Npi] i 1
Avec i représentant l’indice de la somme et n le nombre de lignes ou modalités.
Type d’écran Tube Cathodique 40 120 LCD Plasma Total

n=3

Etape 3 :Analyses

Etape 4 : Conclusion

Situation (observée) ni Situation (théorique) npi

80 60

80 20

200 200

Exemples c² sur un tableau de contingence

c² calculé =

(40-120)² + (80-60)² + (80-20)² 120 60 20

= 240

Etape 3 :Analyses
Définition

La question posée est donc de savoir si cet indicateur d’écart,

c² calculé = S [(ni – Npi)² / Npi]
Etape 1 : Formulation

ici 240 est suffisamment faible pour accepter le modèle (Ho)
Ou suffisament elevé pour le rejeter. (H1)

Etape 2 : calculs

Etape 3 :Analyses

La réponse à cette question se fera de manière probabilisée à partir d’une table de c² qui permettra de déterminer le niveau de c² (Ho) calculé Etape 4 : Conclusion

maximum pour accepter le modèle

Exemples c² sur un tableau de contingence

et le niveau minimum que doit atteindre le c² pouvoir rejeter le modèle (H1)

calculé

pour

Etape 3 :Analyses
Définition

Pour utiliser la table du Khi-deux. On retiendra pour ligne le degré de liberté : « ddl » Il correspond dans un cas d’une distribution type ou loi, à ddl=������ = n – k – 1 où n représente le nombre de modalités

Etape 1 : Formulation

(lignes ou classes) et k le nombre de paramètres de la
Etape 2 : calculs

distribution théorique. (nombres de paramètres de la loi)  si la distribution théorique provient d’une observation du

Etape 3 :Analyses

passé, k = 0  si la distribution théorique est une loi uniforme, k = 0  si la distribution théorique est une loi de poisson, k = 1  si la distribution théorique est une loi exponentielle, k = 1

Etape 4 : Conclusion

Exemples c² sur un tableau de contingence

 si la distribution théorique est une loi normale, k = 2

Dans notre exemple k = 0, car la distribution théorique est basée sur des observations passées et donc v = 3 – 0 – 1 = 2 ddl.

Etape 3 :Analyses
Définition

Dans notre exemple ������ = 3 – 0 – 1 = 2 . La ligne de travail sera donc la ligne 2
.q .p ddl 1 2 3 4 5 0.995 0.99 0975 0.95 0.9 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0,005 0,010 0,025 0,050 0,100 0,900 0,950 0,975 0,990 0,995 0,00 0,01 0,07 0,21 0,41 0,00 0,02 0,11 0,30 0,55 0,00 0,05 0,22 0,48 0,83 0,00 0,10 0,35 0,71 1,15 0,02 0,21 0,58 1,06 1,61 2,71 4,61 6,25 7,78 9,24 3,84 5,99 7,81 9,49 11,07 5,02 7,38 9,35 11,14 12,83 6,63 9,21 11,34 13,28 15,09 7,88 10,60 12,84 14,86 16,75

Etape 1 : Formulation

Etape 2 : calculs

Etape 3 :Analyses

Etape 4 : Conclusion

Exemples c² sur un tableau de contingence

Pour une problématique d’acceptation, on travaillera à partir des colonnes repérées en p. Ce p représente le risque d’erreur sur acceptation. Par exemple si l’on retient p=0,05 pour une ligne 2 (ddl) on trouve un c² lu =0,1 qui signifie que si l’on trouve un c² calculé c² lu/risque q
.q .p ddl 1 2 3 4 5 0.995 0.99 0975 0.95 0.9 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0,005 0,010 0,025 0,050 0,100 0,900 0,950 0,975 0,990 0,995 0,00 0,01 0,07 0,21 0,41 0,00 0,02 0,11 0,30 0,55 0,00 0,05 0,22 0,48 0,83 0,00 0,10 0,35 0,71 1,15 0,02 0,21 0,58 1,06 1,61 2,71 4,61 6,25 7,78 9,24 3,84 5,99 7,81 9,49 11,07 5,02 7,38 9,35 11,14 12,83 6,63 9,21 11,34 13,28 15,09 7,88 10,60 12,84 14,86 16,75

Etape 2 : calculs

Etape 3 :Analyses

Etape 4 : Conclusion

Exemples c² sur un tableau de contingence

Si l’on retient q=5% on obtient un c² lu = 5,99

Etape 3 :
Définition .q .p ddl 1 2 3 4 5

Analyses

0.995 0.99 0975 0.95 0.9 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0,005 0,010 0,025 0,050 0,100 0,900 0,950 0,975 0,990 0,995 0,00 0,01 0,07 0,21 0,41 0,00 0,02 0,11 0,30 0,55 0,00 0,05 0,22 0,48 0,83 0,00 0,10 0,35 0,71 1,15 0,02 0,21 0,58 1,06 1,61 2,71 4,61 6,25 7,78 9,24 3,84 5,99 7,81 9,49 11,07 5,02 7,38 9,35 11,14 12,83 6,63 9,21 11,34 13,28 15,09 7,88 10,60 12,84 14,86 16,75

Etape 1 : Formulation

Etape 2 : calculs

Si l’on retient q=5% on obtient un c² lu = 5,99 Ce qui signifie que si le c²calculé > 5,99 On peut rejeter le modèle avec un risque d’erreur maximum de 5% L’hypothèse H1 (rejet) est donc à retenir avec un risque d’erreur de 5% C’est le cas ici où c²calculé =240,

Etape 3 :Analyses

Etape 4 : Conclusion

Exemples c² sur un tableau de contingence

Etape 3 :Analyses
Définition

Etape 1 : Formulation

Lorsque l’on dispose d’un c²calculé et du degré de liberté on peut par encadrement définir le risque minimum à accepter en p pour retenir le modèle (Ho) et le risque minimum à accepter en q pour le rejeter (H1) Si dans un autre exemple ddl= ������ =4 et c²calculé = 11,58 On lira

Etape 2 : calculs

Etape 3 :Analyses

Etape 4 : Conclusion

Exemples c² sur un tableau de contingence

.q .p ddl 1 2 3 4 5

0.995 0.99 0975 0.95 0.9 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0,005 0,010 0,025 0,050 0,100 0,900 0,950 0,975 0,990 0,995 0,00 0,01 0,07 0,21 0,41 0,00 0,02 0,11 0,30 0,55 0,00 0,05 0,22 0,48 0,83 0,00 0,10 0,35 0,71 1,15 0,02 0,21 0,58 1,06 1,61 2,71 4,61 6,25 7,78 9,24 3,84 5,99 7,81 9,49 11,07 5,02 7,38 9,35 11,14 12,83 6,63 9,21 11,34 13,28 15,09 7,88 10,60 12,84 14,86 16,75

Etape 3 :Analyses
Définition

Etape 1 : Formulation

Si dans un autre exemple ddl= ������ =4 et c²calculé = 11,58 On lira
.q .p
4

0.025 0,990
11,14 11,58 13,28

Etape 2 : calculs

Etape 3 :Analyses

Etape 4 : Conclusion

Exemples c² sur un tableau de contingence

Ce qui signifie que pour retenir le modèle, il faudra accepter un niveau d’erreur de 0,99=99% (11,585 ni 12 18 13 6 2 1 fi 0,2308 0,3462 0,25 0,1154 0,0385 0,0192 pi 0,2231 0,3347 0,251 0,1255 0,0471 0,0141 0,0045

52

1

0,9955

Etape 4 : Conclusion

Exemples c² sur un tableau de contingence

52

1

1

Le cas d’une loi de Poisson
Définition

On peut ensuite calculer les nith . dans le cadre de la formule nith  N  pi xi 0 1 2 3 4 5 >5 ni 12 18 13 6 2 1 fi 0,2308 0,3462 0,25 0,1154 0,0385 0,0192 pi 0,2231 0,3347 0,251 0,1255 0,0471 0,0141 0,0045 Npi=nith 11,6 17,4 13,05 6,53 2,45 0,73 0,23

Etape 1 : Formulation

Etape 2 : calculs

52
Etape 3 :Analyses

1

0,9955

52

Etape 4 : Conclusion

Exemples c² sur un tableau de contingence

Comme le test de Khi-deux requiert des effectifs théoriques au moins égaux à 5, on regroupe les effectifs en partant du bas (et/ou du haut si nécessaire) jusqu’à atteindre ou passer le seuil de 5 avant de calculer le Khi-deux.

Le cas d’une loi de Poisson
Définition

Etape 1 : Formulation

Comme le test de Khi-deux requiert des effectifs . théoriques au moins égaux à 5, on regroupe les effectifs en partant du bas (et/ou du haut si nécessaire) jusqu’à atteindre ou passer le seuil de 5 avant de calculer le Khi-deux. Soit : Nith xi 0 1 2 3 4 5 >5 ni 12 18 13 6 2 1 fi 0,2308 0,3462 0,25 0,1154 0,0385 0,0192 pi 0,2231 0,3347 0,251 0,1255 0,0471 0,0141 0,0045 Npi =nith regroupés 11,6 11,6 17,4 17,4 13,05 13,05 6,53 9,94 2,45 0,73 0,23

Etape 2 : calculs

Etape 3 :Analyses

Etape 4 : Conclusion

52

1

0,9955

52,00

52

Exemples c² sur un tableau de contingence

Ce regroupement des effectifs théoriques demande un regroupement parallèle des

ici 9,94=0,23+0,73+2,45+6,53

Le cas d’une loi de Poisson
Définition

. Ce regroupement des effectifs théoriques demande un regroupement parallèle des effectifs observés. xi 0 1 2 3
4

Etape 1 : Formulation

Etape 2 : calculs

ni 12 18 13 6
2 1

fi 0,2308 0,3462 0,25 0,1154
0,0385 0,0192

pi 0,2231 0,3347 0,251 0,1255
0,0471 0,0141 0,0045

Nith ni Npi =nith regroupés regroupés 11,6 11,6 12 17,4 17,4 18 13,05 13,05 13 6,53 9,94 9 2,45 0,73 0,23

Etape 3 :Analyses

5 >5

Etape 4 : Conclusion

52

1

0,9955

52

52

52

Exemples c² sur un tableau de contingence

Une fois ces regroupements effectués on pourra calculer le Khi-deux.

Le cas d’une loi de Poisson
On obtient donc le tableau suivant :
Définition xi 0 1 2 3 4 5 >5 ni 12 18 13 6 2 1 fi 0,2308 0,3462 0,25 0,1154 0,0385 0,0192 Nith regrou ni pi Npi =nith pés regroupés 0,2231 11,6 11,6 12 0,3347 17,4 17,4 18 0,251 13,05 13,05 13 0,1255 6,53 9,94 9 0,0471 0,0141 0,0045 2,45 0,73 0,23 0,0136 0,0204 0,00022 0,0893

Etape 1 : Formulation

Etape 2 : calculs

52
Etape 3 :Analyses

1

0,9955

52,00

52

52 0,1235

Etape 4 : Conclusion

Exemples c² sur un tableau de contingence

Qui aboutit à un c²calculé = 0,1235 Le test se fera à nouveau à partir de la table de En retenant pour ddl : Le nombre de lignes après regroupement : 4 Moins le nombre de paramètres de la loi de poisson:1 Moins 1

Soit un ddl = ������= 4 -1-1=2

Le cas d’une loi de Poisson
Définition

2 ccalculé = 0,1235 et ddl    4 1 1  2 Avec un
.q .p ddl 1 2 0.995 0.99 0975 0.95 0.9 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0,005 0,010 0,025 0,050 0,100 0,900 0,950 0,975 0,990 0,995 0,00 0,01 0,00 0,02 0,00 0,05 0,00 0,10 0,02 0,21 2,71 4,61 3,84 5,99 5,02 7,38 6,63 9,21 7,88 10,60

Etape 1 : Formulation

Etape 2 : calculs

Qui est encadré dans la table par 0,10 (q=0,95) et 0,21 (p=0,1)

Etape 3 :Analyses

Soit 95% de risque d’erreur si on rejette et 10% si on accepte.
On considère donc que la distribution correspond bien à une loi de Poisson de paramètre 1,5, avec un risque d’erreur de 10%

Etape 4 : Conclusion

Exemples c² sur un tableau de contingence

Test du
Définition

c

2

à partir d’un tableau de contingence

Prenons l’exemple (n°1) suivant : test d’indépendance Un journaliste cherche à montrer que la mention au Bac

Etape 1 : Formulation

dépend de la catégorie socioprofessionnelle (CSP) des parents.

On nous donne le tableau des effectifs observés (ni) ci-dessous.
Etape 2 : calculs

Mention/ CSP
Etape 3 :Analyses

TB

B

AB

P

Total

Cadres Employés/ ouvriers Inactifs Total

20 5 0 25

20 20 10 50

10 20 20 50

0 55 20 75

50 100 50 200

Etape 4 : Conclusion

Exemples c² sur un tableau de contingence

Test du
Définition

c

2

à partir d’un tableau de contingence
Etape 1 : Formulation des Hypothèses
Mention/ CSP TB B AB P Total

Etape 1 : Formulation

Cadres
Employés/ ouvriers Inactifs Total

20 5 0 25

20 20 10 50

10 20 20 50

0 55 20 75

50 100 50 200

Etape 2 : calculs

Etape 3 :Analyses

Supposons pour l’hypothèse Ho que « les variables sont
Etape 4 : Conclusion

indépendantes, c’est-à-dire qu’il n’y a pas de relation de dépendance entre la CSP et la mention ». L’hypothèse contraire

Exemples c² sur un tableau de contingence

H1 sera alors : « les variables ne sont pas indépendantes, il

existe bien une relation ente la CSP et la mention ».

Test du
Définition

c

2

à partir d’un tableau de contingence
Etape 1 : Formulation des Hypothèses
Mention/ CSP TB B AB P Total

Etape 1 : Formulation

Cadres
Employés/ ouvriers Inactifs Total

20 5 0 25

20 20 10 50

10 20 20 50

0 55 20 75

50 100 50 200

Etape 2 : calculs

Etape 3 :Analyses

Le test d'indépendance du c² nécessite de construire le tableau
Etape 4 : Conclusion

des observations théoriques (Npi ) en supposant que les deux variables sont indépendantes (H0 vraie). Si A et B sont des variables indépendantes alors : P(A ∩ B) = P(A) x P(B)

Exemples c² sur un tableau de contingence

Test du
Définition

c

2

à partir d’un tableau de contingence
Etape 2 :calcul des fréquences théoriques
Nous avons donc par exemple à partir du tableau ci-dessous :

Etape 1 : Formulation

P(cadres ∩ TB) = P(cadres) x P(TB) = (50/200) x (25/200) = 1/32 Ou encore, P(cadres ∩ P) = P(cadres) x P(P) = (50/200) x

Etape 2 : calculs

(75/200) = 3/32
Mention/ CSP TB B AB P Total

Etape 3 :Analyses

Cadres
Etape 4 : Conclusion

20 5 0

20 20 10 50

10 20 20 50

0 55 20

50
100 50

Employés/ ouvriers Inactifs Total

Exemples c² sur un tableau de contingence

25

75

200

Test du
Définition

c

2

à partir d’un tableau de contingence
Etape 2 :calcul des fréquences théoriques
En considérant les lignes comme indicées en Xi et les colonnes en Yj

Etape 1 : Formulation

Nous obtenons le tableau des fréquences théoriques obtenues par calcul P(Xi ∩ Yj) = P(Xi) X P(Yj) suivant :
Mention/ CSP Cadres TB 1/32 1/16 1/32 1/8 B 1/16 1/8 1/16 1/4 AB 1/16 1/8 1/16 1/4 P 3/32 3/16 3/32 3/8 Total 1/4 1/2 1/4 1

Etape 2 : calculs

Etape 3 :Analyses

Employés / ouvriers Inactifs

Etape 4 : Conclusion

Total

Sachant que la population totale N = 200 , nous sommes en
Exemples c² sur un tableau de contingence

mesure de construire le tableau des effectifs théoriques (sur la base H0 vraie). Il suffit de multiplier chaque fréquence du tableau par 200 pour obtenir les effectifs théoriques.

Test du
Définition

c

2

à partir d’un tableau de contingence
Etape 2 : Distribution des effectifs théoriques
Mention/ CSP TB 1/32 x 200 = 25/4 B AB P Total

Etape 1 : Formulation

Cadres

1/16 x 200 = 25/2

25/2

75/4

50

Etape 2 : calculs

Employés/ ouvriers Inactifs

25/2
25/4 25

25
25/2 50

25
25/2 50

75/2
75/4 75

100
50 200

Etape 3 :Analyses

Total

Etape 4 : Conclusion

A noter que ces effectifs théoriques peuvent être calculés directement en calculant pour chaque case :

Exemples c² sur un tableau de contingence

Total de la ligne X Total de la colonne/Total Général

Exemple pour la première case : 50X25/200=25/4=6,25
En effet( P( C) X P(TB))XN = (50/200 x 25/200) X 200 =50 x25/200

Test du
Définition

c

2

à partir d’un tableau de contingence
Etape 2 : Distribution des effectifs théoriques
Mention/ CSP TB 1/32 x 200 = 25/4 B AB P Total

Etape 1 : Formulation

Cadres

1/16 x 200 = 25/2

25/2

75/4

50

Etape 2 : calculs

Employés/ ouvriers Inactifs

25/2
25/4 25

25
25/2 50

25
25/2 50

75/2
75/4 75

100
50 200

Etape 3 :Analyses

Total

Etape 4 : Conclusion

A noter que ces effectifs théoriques peuvent être calculés directement en caLculant pour chaque case :

Exemples c² sur un tableau de contingence

Total de la ligne X Total de la colonne/Total Général

Exemple pour la première case : 50X25/200=25/4=6,25
En effet( P( C) X P(TB))XN = (50/200 x 25/200) X 200 =50 x25/200

Test du
Définition

c

2

à partir d’un tableau de contingence
Etape 2 : Distribution de l’échantillonnage
Il convient ensuite de comparer au travers du c² les effectifs théoriques obtenus par calcul avec les effectifs observés initialement à partir de la formule suivante : Nous obtenons le tableau des c² calculés pour chaque case. ² calculé = S [(ni – npi)² / npi] = 80

Etape 1 : Formulation

Etape 2 : Distribution

c

Etape 3 : Régions

Mention/ CSP Cadres

TB

B

AB

P

Total

[(20 – 25/4)² / (25/4)] = 30,25

4,5

0,5

18,75

54

Etape 4 : Conclusion

Employés/ ouvriers Inactifs Total

4,5 6,25 41

1 0,5 6

1 4,5 6

8,166... 0,083... 27

14,666... 11,333...

Exemples c² sur un tableau de contingence

80

Test du
Définition

c

2

à partir d’un tableau de contingence
Etape 3 : Région critique, région d’acceptation
Avant d’utiliser la table de la loi du c² pour déterminer la valeur

Etape 1 : Formulation

seuil qui sépare les deux régions (La région d’acceptation (H0 vraie) et la région critique de rejet (H1 vraie), il nous faut d’abord calculer ddl=������ = (l-1)x(c-1) ddl avec l représentant le nombre de

Etape 2 : calculs

lignes et c le nombre de colonnes.
Etape 3 :Analyses

Soit : ������ = (3-1)x(4-1) = 6 ddl et un c²
.q .p ddl 1 2 3 4 5 6

calculé

= 80

0.995 0.99 0975 0.95 0.9 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0,005 0,010 0,025 0,050 0,100 0,900 0,950 0,975 0,990 0,995 0,00 0,01 0,07 0,21 0,41 0,68 0,00 0,02 0,11 0,30 0,55 0,87 0,00 0,05 0,22 0,48 0,83 1,24 0,00 0,10 0,35 0,71 1,15 1,64 0,02 0,21 0,58 1,06 1,61 2,20 2,71 4,61 6,25 7,78 9,24 10,64 3,84 5,99 7,81 9,49 11,07 12,59 5,02 7,38 9,35 11,14 12,83 14,45 6,63 9,21 11,34 13,28 15,09 16,81 7,88 10,60 12,84 14,86 16,75 18,55

Etape 4 : Conclusion

Exemples c² sur un tableau de contingence

Test du
Définition

c

2

à partir d’un tableau de contingence
Etape 4 : Conclusion
Résumons la situation. Nous avons trouvé un c² calculé = 80

Etape 1 : Formulation

très supérieur au c²= 18,55 de la table au risque d’erreur de de 0,005=0,5% ce qui signifie que l’on peut rejeter l’hypothèse d’indépendance avec un risque d’erreur qui sera inférieur à

Etape 2 : calculs

0,5% On peut donc affirmer au risque de 0,5% qu’il existe un lien en CSP et mention au Baccalauréat.

Etape 3 :Analyses

Etape 4 : Conclusion

On a donc plus de chance d’intégrer polytechnique avec un
Exemples c² sur un tableau de contingence

parent polytechnicien ... Quoique...

Test du
Définition

c

2

à partir d’un tableau de contingence
Prenons un autre exemple (n°2) : test d’indépendance Soit la distribution ci-dessous où les effectifs observés nij représentent les nombres de pulls vendus enregistrés suivant deux

Etape 1 : Formulation

modalités : la taille et la couleur.
Les ni représentent les totaux en lignes, nj : les totaux en

Etape 2 : calculs

colonnes et N : le total général N (ici N=200) Peut-on conclure à un lien et la couleur au risque de 1%?

Etape 3 :Analyses

Taille/ Couleur Rose Blanc

S

M

L

Total

Etape 4 : Conclusion

15
15

20
35 50 105

15
25 15 55

50
75 75 200

Exemples c² sur un tableau de contingence

Bleu Total

10 40

Test du
Définition

c

2

à partir d’un tableau de contingence
Etape 1 : Formulation des Hypothèses
Taille/ Couleur S M L Total

Etape 1 : Formulation

Rose Blanc

15 15

20 35 50 105

15 25 15 55

50 75 75 200

Etape 2 : calculs

Bleu
Etape 3 :Analyses

10 40

Total

Etape 4 : Conclusion

Supposons pour l’hypothèse H0 que « les variables sont

indépendantes, c’est-à-dire qu’il n’y a pas de relation de
Exemples c² sur un tableau de contingence

dépendance entre la taille et la couleur ». L’hypothèse contraire H1 sera alors : « les variables ne sont pas indépendantes, il existe bien une relation ente la taille et la couleur ».

Test du
Définition

c

2

à partir d’un tableau de contingence
Etape 1 : Formulation des Hypothèses
Taille/ Couleur S M L Total

Etape 1 : Formulation

Rose Blanc

15 15 10 40

20 35 50 105

15 25 15 55

50 75 75 200

Etape 2 : calculs

Bleu Total
Etape 3 :Analyses

Le test d'indépendance du c² nécessite de construire le tableau
Etape 4 : Conclusion

des observations théoriques (Npi ) en supposant que les deux variables sont indépendantes (H0 vraie). Si A et B sont des variables indépendantes alors : P(A ∩ B) = P(A) x P(B)

Exemples c² sur un tableau de contingence

Test du
Définition

c

2

à partir d’un tableau de contingence
Etape 2 : Distribution de l’échantillonnage
En faisant le calcul direct : ni x nj/N= nijthéorique on obtient :

Etape 1 : Formulation

Taille/ Couleur Rose Blanc

S

M

L

Total

Etape 2 : calculs

50x40/200= 10 75x40 /200= 15 15 40

26,25
39,375 39,375 105

13,75
20,625 20,625 55

50
75 75

Etape 3 :Analyses

Bleu Total

Etape 4 : Conclusion

200 Ensuite pour chaque « case » du tableau il ne reste plus qu’à calculer le Khi-2.

Exemples c² sur un tableau de contingence

c² =

((nij –nijthéorique )2 /nij théorique)

Test du
Définition

c

2

à partir d’un tableau de contingence
Etape 2 : Distribution de l’échantillonnage
Nous obtenons le tableau des c² calculés pour chaque case.

Etape 1 : Formulation

Taille/ Couleur
Etape 2 : calculs

S

M

L

Total

Rose Blanc

[(15 – 10)² / (10)] = 2,5 [(15 – 15² / (15)] =0 [(10 – 15)² / (15)] = 1,6667 4,1667

1,4881 0,4861 2,8671 4,8413

0,1136 0,9280 1,5341 2,5757

4,1017 1,4141 6,0679

Etape 3 :Analyses

Bleu
Etape 4 : Conclusion

Total

11,5837

Exemples c² sur un tableau de contingence



calculé

=S

[(nij – nijth)² / nijth] = 11.584

Test du
Définition

c

2

à partir d’un tableau de contingence
Etape 3 :Analyse


Etape 1 : Formulation

calculé

= = 11.584 et

������ = (3-1)x(3-1) = 4 ddl

Etape 2 : calculs

Le niveau de risque maximum requis pour conclure à un lien soit rejeter l’indépendance est 1%
.q .p ddl 1 2 3 4 5 0.995 0.99 0975 0.95 0.9 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0,005 0,010 0,025 0,050 0,100 0,900 0,950 0,975 0,990 0,995 0,00 0,01 0,07 0,21 0,41 0,00 0,02 0,11 0,30 0,55 0,00 0,05 0,22 0,48 0,83 0,00 0,10 0,35 0,71 1,15 0,02 0,21 0,58 1,06 1,61 2,71 4,61 6,25 7,78 9,24 3,84 5,99 7,81 9,49 11,07 5,02 7,38 9,35 11,14 12,83 6,63 9,21 11,34 13,28 15,09 7,88 10,60 12,84 14,86 16,75

Etape 3 :Analyses

Etape 4 : Conclusion

Dans la table on trouve pour q=0,01 un c² lu =13,28. Or

Exemples c² sur un tableau de contingence



calculé

= = 11.584 n’est pas supérieur à 13,28.

On ne peut donc rejeter l’hypothèse d’indépendance si le risque maximum d’erreur accepté est de 1%

Test du
Définition

c

2

à partir d’un tableau de contingence
Etape 3 : Région critique, région d’acceptation calculé Or
Etape 1 : Formulation



= = 11.584 n’est pas supérieur à 13,28.

On ne peut donc rejeter l’hypothèse d’indépendance si le risque maximum d’erreur accepté est de 1%
.q .p ddl 1 2 3 4 5 0.995 0.99 0975 0.95 0.9 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0,005 0,010 0,025 0,050 0,100 0,900 0,950 0,975 0,990 0,995 0,00 0,01 0,07 0,21 0,41 0,00 0,02 0,11 0,30 0,55 0,00 0,05 0,22 0,48 0,83 0,00 0,10 0,35 0,71 1,15 0,02 0,21 0,58 1,06 1,61 2,71 4,61 6,25 7,78 9,24 3,84 5,99 7,81 9,49 11,07 5,02 7,38 9,35 11,14 12,83 6,63 9,21 11,34 13,28 15,09 7,88 10,60 12,84 14,86 16,75

Etape 2 : calculs

Etape 3 :Analyses

Etape 4 : Conclusion

Exemples c² sur un tableau de contingence

Cela ne signifie pas pour autant que l’on accepte l’indépendance puisque 11,58

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