‫ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﻴﺮﻱ‬
‫ﺭﻭﺷﻬﺎ ﻭ ﻛﺎﺭﺑﺮﺩﻫﺎ‬

‫ﭘﻞ ﺍﺱ. ِﻪﻭﻱ‬ ‫ﻟ‬ ‫ﺍﺳﺘﻨﻠﻲ ِﻤﻲﺷﻮ‬ ‫ﻟ‬

‫ﻣﺘﺮﺟﻢ‬

‫ﮔﻴﺘﻲ ﻣﺨﺘﺎﺭﻱ ﺍﻣﻴﺮﻣﺠﺪﻱ‬

‫ﻓﻬﺮﺳﺖﻧﻮﻳﺴﻲ ﭘﻴﺶ ﺍﺯ ﺍﻧﺘﺸﺎﺭ ﻛﺘﺎﺑﺨﺎﻧﺔ ﻣﻠﹼﻲ ﺍﻳﺮﺍﻥ‬ ‫ﻟِﻮﻱ، ﭘﻞ‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﻴﺮﻱ: ﺭﻭﺷﻬﺎ ﻭ ﻛﺎﺭﺑﺮﺩﻫﺎ / ﭘﻞ ﺍﺱ. ﻟِﻪﻭﻱ، ﺍﺳﺘﻨﻠﻲ ﻟِﻤﻲﺷﻮ؛ ﻣﺘﺮﺟﻢ ﮔﻴﺘﻲ ﻣﺨﺘﺎﺭﻱ ﺍﻣﻴﺮﻣﺠﺪﻱ‬ ‫- ﺗﻬﺮﺍﻥ: ﻣﺮﻛﺰ ﺁﻣﺎﺭ ﺍﻳﺮﺍﻥ، ﭘﮋﻭﻫﺸﻜﺪﺓ ﺁﻣﺎﺭ، ١٨٣١.‬‫٥٨٥ ﺹ. : ﺟﺪﻭﻝ، ﻧﻤﻮﺩﺍﺭ.‬ ‫٠٠٠٠٣ ﺭﻳﺎﻝ : 9-051-563-469 ‪ISBN‬‬ ‫ﻓﻬﺮﺳﺖﻧﻮﻳﺴﻲ ﺑﺮ ﺍﺳﺎﺱ ﺍﻃﻼﻋﺎﺕ ﻓﻴﭙﺎ.‬ ‫ﻋﻨﻮﺍﻥ ﺍﺻﻠﻲ:‬ ‫.‪Sampling of Populations: Methods and Applications‬‬ ‫ﻛﺘﺎﺏﻧﺎﻣﻪ.‬ ‫ﻧﻤﺎﻳﻪ‬ ‫ﻤ‬ ‫١. ﺟﻤﻌﻴﺖ – ﺭﻭﺷﻬﺎﻱ ﺁﻣﺎﺭﻱ. ٢. ﺁﻣﺎﺭﮔﻴﺮﻱ ﻧﻤﻮﻧﻪﺍﻱ. ﺍﻟﻒ. ِﻟ ِﺸﻮ، ﺍﺳﺘﻨﻠﻲ ‪Lemeshow, Stanley‬‬ ‫ﺏ. ﻣﺨﺘﺎﺭﻱ ﺍﻣﻴﺮﻣﺠﺪﻱ، ﮔﻴﺘﻲ، ٣٢٣١- ، ﻣﺘﺮﺟﻢ. ﺝ. ﻣﺮﻛﺰ ﺁﻣﺎﺭ ﺍﻳﺮﺍﻥ. ﭘﮋﻭﻫﺸﻜﺪﺓ ﺁﻣﺎﺭ. ﺩ. ﻋﻨﻮﺍﻥ.‬
‫.‪Levy, Paul S‬‬

‫٢٥٩١٥١٠٦/٤٠٣‬ ‫٧٤٦٠٤-١٨ﻡ‬

‫٨ﻥ٩ﻝ/٩٤/٩٤٨‪HB‬‬

‫١٨٣١‬ ‫ﻛﺘﺎﺑﺨﺎﻧﺔ ﻣﻠﻲ ﺍﻳﺮﺍﻥ‬

‫ﻣﺪﻳﺮﻳﺖ ﺗﻮﻟﻴﺪ : ﮔﺮﻭﻩ ﭘﮋﻭﻫﺸﻲ ﻃﺮﺣﻬﺎﻱ ﻓﻨﻲ ﻭ ﺭﻭﺷﻬﺎﻱ ﺁﻣﺎﺭﻱ‬ ‫ﻭﻳﺮﺍﺳﺘﺎﺭ ﻋﻠﻤﻲ ﻭ ﺍﺩﺑﻲ : ﺩﻛﺘﺮ ﻋﻠﻲ ﻋﻤﻴﺪﻱ‬ ‫ﺣﺮﻭﻑﻧﮕﺎﺭﻱ، ﻧﻤﻮﻧﻪﺧﻮﺍﻧﻲ، ﺻﻔﺤﻪﺑﻨﺪﻱ، ﺻﻔﺤﻪﺁﺭﺍﻳﻲ : ﻣﺤﺒﻮﺑﻪ ﻛﺎﻇﻤﻲ‬ ‫ﻭﻳﺮﺍﺳﺘﺎﺭ ﻫﻨﺮﻱ : ﻓﺮﺷﻴﺪ ﺧﺎﻥﺯﺍﺩﻩ‬ ‫ﻃﺮﺍﺣﻲ ﺟﻠﺪ : ﻧﻴﻤﺎ ﺩﺍﻧﺶﭘﺮﻭﺭ‬ ‫ﻣﺪﻳﺮ ﻓﻨﻲ : ﻋﻠﻲ ﺍﺻﻐﺮ ﺣﺎﺋﺮﻱ ﻣﻬﺮﻳﺰﻱ‬ ‫ﺍﻣﻮﺭ ﻓﻨﻲ ﻭ ﭼﺎﭖ : ﻣﺆﺳﺴﺔ ﺍﻧﺘﺸﺎﺭﺍﺕ ﺳﺘﺎﻳﺶ‬

‫© ١٨٣١‬ ‫ﺷﻤﺎﺭﺓ ٢٥، ﺧﻴﺎﺑﺎﻥ ﺷﻬﻴﺪ ﻓﻜﻮﺭﻱ، ﺧﻴﺎﺑﺎﻥ ﺑﺎﺑﺎﻃﺎﻫﺮ، ﺧﻴﺎﺑﺎﻥ ﺩﻛﺘﺮ ﻓﺎﻃﻤﻲ‬ ‫ﺗﻬﺮﺍﻥ ١١٩٧١٧٣١٤١، ﺍﻳﺮﺍﻥ‬
‫‪URL: http://www.src.ac.ir‬‬ ‫‪e-mail: src@src.ac.ir‬‬

‫ﺩﻭﺭﻧﮕﺎﺭ: ٩٨٩٧٠٠٨‬

‫ﺗﻠﻔﻦ: ٩٢٠٩٥٩٨‬

‫ﻫﻤـﺔ ﺣﻘـﻮﻕ ﺍﻳـﻦ ﺍﺛـﺮ ﺑﺮﺍﻱ ﭘﮋﻭﻫﺸﻜﺪﺓ ﺁﻣﺎﺭ ﻣﺤﻔﻮﻅ ﺍﺳﺖ. ﻫﻴﭻ ﺑﺨﺸﻲ ﺍﺯ ﺍﻳﻦ ﻛﺘﺎﺏ ﺭﺍ ﻧﻤﻲﺗﻮﺍﻥ‬ ‫ﺑـﺪﻭﻥ ﺍﺟـﺎﺯﺓ ﻛﺘﺒﻲ ﺍﺯ ﻧﺎﺷﺮﺵ ﺗﻜﺜﻴﺮ ﻳﺎ ﺑﻪ ﻫﺮ ﺷﻜﻠﻲ ﻭ ﺑﺎ ﻫﺮ ﻭﺳﻴﻠﻪﺍﻱ ﺫﺧﻴﺮﻩ ﻛﺮﺩ. ﺍﺳﺘﻔﺎﺩﻩ ﻳﺎ ﺗﻘﻠﻴﺪ‬ ‫ﺍﺯ ﻃﺮﺡ ﺟﻠﺪ، ﻣﻤﻨﻮﻉ ﺍﺳﺖ.‬ ‫ﺣﺮﻭﻑﻧﮕﺎﺭﻱ ﺷﺪﻩ ﺑﺎ ﻗﻠﻢﻫﺎﻱ ﻓﺎﺭﺳﻲ ﻟﻮﺗﻮﺱ ﻭ ﺗﻴﺘﺮ ﻭ ﻣﻴﺘﺮﺍ، ﻭ ﻗﻠﻢ ﻻﺗﻴﻦ ‪.Times New Roman‬‬ ‫ﭼﺎﭖ ﻭ ﺻﺤﺎﻓﻲ ﺷﺪﻩ ﺩﺭ ﺍﻳﺮﺍﻥ.‬ ‫ﭼﺎﭖ ﻳﻜﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎﺭﮔﺎﻥ: ٠٠٦‬ ‫ﭘﻴﺸﻨﻬﺎﺩ ﺑﺮﺍﻱ ﻧﺤﻮﺓ ﻧﻘﻞ ﻣﻄﻠﺐ، ﺟﺪﻭﻝ ﻳﺎ ﻧﻤﻮﺩﺍﺭ ﺍﺯ ﺍﻳﻦ ﻛﺘﺎﺏ، ﺑﻪ ﺻﻮﺭﺕ ﺯﻳﺮ ﺍﺳﺖ:‬ ‫ﻣﺨـﺘﺎﺭﻱ ﺍﻣـﻴﺮﻣﺠﺪﻱ، ﮔﻴﺘـﻲ )١٨٣١(. ﻧﻤﻮﻧـﻪﮔﻴﺮﻱ: ﺭﻭﺷﻬﺎ ﻭ ﻛﺎﺭﺑﺮﺩﻫﺎ. ﻟِﻪﻭﻱ، ﭘﻞ ﺍﺱ.؛ ﻟِﻤﻲﺷﻮ،‬ ‫ﺍﺳﺘﻨﻠﻲ. ﺗﺮﺟﻤﻪ ﺍﺯ ﺍﻧﮕﻠﻴﺴﻲ ﺑﻪ ﻓﺎﺭﺳﻲ. ﺗﻬﺮﺍﻥ: ﭘﮋﻭﻫﺸﻜﺪﺓ ﺁﻣﺎﺭ.‬
‫ﺷﺎﺑﮏ 9-051- 563 - 469‬
‫9-051-563-469 ‪ISBN‬‬

‫ﺑﻬﺎ: ﺳﻲ ﻭ ﭘﻨﺞ ﻫﺰﺍﺭ ﺭﻳﺎﻝ‬

‫ﻓﺼﻞ 2‬
‫ﺟﺎﻣﻌﻪ و ﻧﻤﻮﻧﻪ‬

‫در ﻓﺼﻞ ﻗﺒﻞ درﺑﺎرۀ آﻣﺎرﮔﯿﺮﯾﻬﺎی ﻧﻤﻮﻧﻪای ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﻄﺎﻟﻌﺎﺗﯽ ﺑﺤﺚ ﮐﺮدﯾﻢ ﮐﻪ ﺗﻮزﯾﻊ و ﺳﻄﻮح‬ ‫ﻣﺸﺨﺼﻪﻫﺎی ﺟﺎﻣﻌﻪ را ﺑﻪ وﺳﯿﻠﮥ اﻧﺪازهﮔﯿﺮﯾﻬﺎﯾﯽ از زﯾﺮﻣﺠﻤﻮﻋﮥ اﻓﺮاد اﻧﺘﺨﺎب ﺷﺪه از آن ﺟﺎﻣﻌﻪ ﺑﺮآورد‬ ‫ﻣـــﯽﮐﻨﻨـﺪ. در اﯾﻦ ﻓﺼـﻞ اﺑﺘﺪا ﺑﺎ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣﺆﻟﻔﻪﻫﺎی ﺟﺎﻣﻌﻪ ﺑﺮﺣﺴﺐ اﯾﻨﮑﻪ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﮔﺮﻓﺘﻦ ﻧﻤﻮﻧﻪ از آن‬ ‫ﺑﺎ ﻣﻌﻨﺎ ﺑﺎﺷﻨﺪ ﺑﻪ ﮔﺴﺘﺮش ﺑﻨﯿﺎﻧﻬﺎی روشﺷﻨﺎﺳﯽ ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ﻣﯽﭘﺮدازﯾﻢ. ﭘﺲ از اﯾﻦ ﮐﻪ اﯾﻦ ﻗﺒﯿﻞ ﺧﻮاص‬ ‫ﺟﺎﻣﻌﻪ ﺗﻌﺮﯾﻒ و از آﻧﻬﺎ ﺑﺤﺚ ﺷﺪ ﺑﺴﻂ روشﺷﻨﺎﺳﯽ ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی را آﻏﺎز ﻣﯽﮐﻨﯿﻢ.‬

‫2.1 ﺟﺎﻣﻌﻪ‬
‫ﺟﺎﻣﻌﻪ )ﯾﺎ ﺟﻤﻌﯿﺖ ﻫﺪف(، ﮐﻞ ﻣﺠﻤﻮﻋﮥ اﻓﺮادی اﺳﺖ ﮐﻪ ﯾﺎﻓﺘﻪﻫﺎی آﻣﺎرﮔﯿﺮی ﻗﺮار اﺳﺖ ﺑﺮای آن‬ ‫ﺑﺮوﻧﯿﺎﺑﯽ ﺷﻮﻧﺪ. در اﯾﻦ ﮐﺘﺎب از واژهﻫﺎی ﺟﺎﻣﻌﻪ و ﺟﺎﻣﻌﮥ ﻫﺪف ﺑﻪ ﺟﺎی ﯾﮑﺪﯾﮕﺮ و ﺑﻪ ﯾﮏ ﻣﻌﻨﯽ اﺳﺘﻔﺎده‬ ‫ﻣﯽﮐﻨﯿﻢ.‬ ‫ﻫﺮ ﯾﮏ از اﻋﻀﺎی ﺟﺎﻣﻌﻪای ﮐﻪ ﻗﺮار اﺳﺖ ﻣﺸﺨﺼﻪﻫﺎی آن اﻧﺪازهﮔﯿﺮی ﺷﻮد واﺣﺪﻫﺎی اوﻟﯿﻪ ﯾﺎ‬ ‫ﻋﻨﺎﺻﺮ ﺟﺎﻣﻌﻪ ﻧﺎﻣﯿﺪه ﻣﯽﺷﻮﻧﺪ. ﺑﺮای ﻣﺜﺎل، اﮔﺮ در ﺣﺎل اﺟﺮای ﯾﮏ آﻣﺎرﮔﯿﺮی ﻧﻤﻮﻧﻪای ﻫﺴﺘﯿﻢ ﮐﻪ اﻫﺪاف‬ ‫آن ﺑﺮآورد ﮐﺮدن ﺗﻌﺪاد اﺷﺨﺎص ﺳﺎﮐﻦ اﯾﻠﯽﻧﻮی اﺳﺖ ﮐﻪ ﻫﯿﭻ وﻗﺖ ﺑﻪ دﻧﺪاﻧﭙﺰﺷﮏ ﻣﺮاﺟﻌﻪ ﻧﮑﺮدهاﻧﺪ،‬ ‫ﻫﻤﮥ اﺷﺨﺎص ﺳﺎﮐﻦ اﯾﻠﯽﻧﻮی ﺟﺎﻣﻌﻪ را ﺗﺸﮑﯿﻞ ﻣﯽدﻫﻨﺪ و ﻫﺮ ﯾﮏ از اﺷﺨﺎص ﺳﺎﮐﻦ اﯾﻠﯽﻧﻮی ﯾﮏ‬ ‫واﺣﺪ اوﻟﯿﻪ ﯾﺎ ﯾﮏ ﻋﻨﺼﺮ اﺳﺖ. اﮔﺮ ﯾﮏ آﻣﺎرﮔﯿﺮی ﻧﻤﻮﻧﻪای درﺑﺎرۀ ﺳﻮاﺑﻖ ﭘﺰﺷﮑﯽ ﺑﯿﻤﺎرﺳﺘﺎﻧﯽ اﺟﺮا‬

‫ﺟﺎﻣﻌﻪ و ﻧﻤﻮﻧﻪ‬

‫41‬

‫ﻣﯽﮐﻨﯿﻢ ﮐﻪ ﻫﺪف از آن ﺑﺮآورد ﺗﻌﺪاد ﻣﺮﺧﺺﺷﺪﮔﺎن ﺑﺎ ﺑﯿﻤﺎری ﺧﺎص از ﺑﯿﻤﺎرﺳﺘﺎن در ﯾﮏ ﺳﺎل ﻣﻌﯿﻦ‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ، ﻫﺮ ﯾﮏ از ﻣﺮﺧﺺﺷﺪﮔﺎن در ﻃﯽ ﺳﺎل ﯾﮏ ﻋﻨﺼﺮ اﺳﺖ و ﮐﻞ ﻣﺮﺧﺺﺷﺪﮔﺎن از اﯾﻦ دﺳﺖ،‬ ‫ﺟﺎﻣﻌﻪ را ﺗﺸﮑﯿﻞ ﻣﯽدﻫﻨﺪ.‬ ‫در اﺟﺮای آﻣﺎرﮔﯿﺮﯾﻬﺎی ﻧﻤﻮﻧﻪای ﻏﺎﻟﺒﺎً اﯾﻦ اﻣﮑﺎن وﺟﻮد ﻧﺪارد ﮐﻪ از واﺣﺪﻫﺎی اوﻟﯿﻪ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺎً ﻧﻤﻮﻧﻪ‬ ‫ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﻮد. زﯾﺮا ﻓﻬﺮﺳﺘﻬﺎی واﺣﺪﻫﺎی اوﻟﯿﻪ ﮐﻪ ﺑﺘﻮان از آن ﻧﻤﻮﻧﻪ ﮔﺮﻓﺖ ﻏﺎﻟﺒﺎً ﺑﻪ راﺣﺘﯽ در دﺳﺘﺮس‬ ‫ﻧﯿﺴﺘﻨﺪ و ﻓﻘﻂ ﺑﺎ ﺻﺮف ﻫﺰﯾﻨﮥ ﻗﺎﺑﻞ ﻣﻼﺣﻈﻪای ﻓﺮاﻫﻢ ﻣﯽﺷﻮﻧﺪ. وﻟﯽ ﻏﺎﻟﺒﺎً ﻣﯽﺗﻮان واﺣﺪﻫﺎی اوﻟﯿﻪ را ﺑﺎ‬ ‫ﺳﺎﯾﺮ اﻧﻮاع واﺣﺪﻫﺎﯾﯽ ﻣﺮﺗﺒﻂ ﺳﺎﺧﺖ ﮐﻪ ﯾﺎ ﻓﻬﺮﺳﺖ آﻧﻬﺎ ﻣﻮﺟﻮد اﺳﺖ ﯾﺎ ﻣﯽﺗﻮاﻧﺪ ﺑﺮای ﻣﻘﺎﺻﺪ‬

‫ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ﺑﻪ آﺳﺎﻧﯽ ﺳﺎﺧﺘﻪ ﺷﻮد. اﯾﻦ ﻧﻮع واﺣﺪﻫﺎ را واﺣﺪﻫﺎی ﺷﻤﺎرش ﯾﺎ واﺣﺪﻫﺎی ﻓﻬﺮﺳﺖﺑﺮداری‬
‫ﻣﯽﻧﺎﻣﻨﺪ. ﯾﮏ واﺣﺪ ﺷﻤﺎرش ﯾﺎ واﺣﺪ ﻓﻬﺮﺳﺖﺑﺮداری ﻣﻤﮑﻦ اﺳﺖ ﺷﺎﻣﻞ ﯾﮏ ﯾﺎ ﭼﻨﺪ واﺣﺪ اوﻟﯿﻪ ﺑﺎﺷﺪ و‬ ‫ﻣﯽﺗﻮاﻧﺪ ﭘﯿﺶ از اﻧﺘﺨﺎب ﻧﻤﻮﻧﻪ ﻣﺸﺨﺺ ﺷﻮد. ﻣﺜﻼً، ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﯾﮏ آﻣﺎرﮔﯿﺮی ﻧﻤﻮﻧﻪای در ﻏﺮب‬ ‫ﻣﺎﺳﺎﭼﻮﺳﺖ در دﺳﺖ ﺑﺮﻧﺎﻣﻪرﯾﺰی اﺳﺖ ﮐﻪ ﻫﺪف از آن ﺗﻌﯿﯿﻦ ﺗﻌﺪاد اﺷﺨﺎص ﺳﺎﮐﻦ در ﻧﺎﺣﯿﮥ ﻫﻤﭙﺸﺎﯾﺮ‬ ‫اﺳﺖ ﮐﻪ در ﺑﺮاﺑﺮ ﺳﺮﺧﮏ اﯾﻤﻦﺳﺎزی ﺷﺪهاﻧﺪ. در اﯾﻦ ﻣﻮرد، ﺟﺎﻣﻌﮥ آﻣﺎری ﺷﺎﻣﻞ ﻫﻤﮥ اﺷﺨﺎص ﺳﺎﮐﻦ‬ ‫ﻧﺎﺣﯿﻪ اﺳﺖ و واﺣﺪﻫﺎی اوﻟﯿﻪ ﻧﯿﺰ ﻫﻤﮥ اﺷﺨﺎص ﺳﺎﮐﻦ ﻧﺎﺣﯿﻪاﻧﺪ. ﺑﺴﯿﺎر ﻧﺎﻣﺤﺘﻤﻞ اﺳﺖ ﮐﻪ ﻓﻬﺮﺳﺖ دﻗﯿﻖ‬ ‫و روزآﻣﺪی از ﺗﻤﺎم اﺷﺨﺎص ﺳﺎﮐﻦ اﯾﻦ ﻧﺎﺣﯿﻪ ﻣﻮﺟﻮد ﯾﺎ ﺑﻪ راﺣﺘﯽ ﻗﺎﺑﻞ ﺗﻬﯿﻪ ﺑﺎﺷﺪ. اﮔﺮ ﺑﻮد، ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از‬ ‫آن ﻓﻬﺮﺳﺖ ﻣﯽﺗﻮان ﻧﻤﻮﻧﻪای اﻧﺘﺨﺎب ﮐﺮد. وﻟﯽ ﻗﺎﺑﻞ ﺗﺼﻮر اﺳﺖ ﮐﻪ ﻓﻬﺮﺳﺘﯽ از ﻫﻤﮥ ﺧﺎﻧﻮارﻫﺎی ﻧﺎﺣﯿﻪ‬ ‫ﻣﻮﺟﻮد ﯾﺎ ﺣﺪاﻗﻞ ﺑﺪون زﺣﻤﺖ ﯾﺎ ﻫﺰﯾﻨﮥ زﯾﺎد ﻗﺎﺑﻞ ﺗﻬﯿﻪ ﺑﺎﺷﺪ. اﮔﺮ ﭼﻨﯿﻦ ﻓﻬﺮﺳﺘﯽ ﻣﻮﺟﻮد ﺑﺎﺷﺪ ﻣﯽﺗﻮان‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪای از ﺧﺎﻧﻮارﻫﺎ را اﻧﺘﺨﺎب ﮐﺮد و اﺷﺨﺎﺻﯽ را ﮐﻪ در اﯾﻦ ﺧﺎﻧﻮارﻫﺎ زﻧﺪﮔﯽ ﻣﯽﮐﻨﻨﺪ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان‬ ‫واﺣﺪﻫﺎی اوﻟﯿﮥ ﻧﻤﻮﻧﻪ در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺖ. ﺧﺎﻧﻮارﻫﺎ ﺧﻮد واﺣﺪﻫﺎی ﺷﻤﺎرشاﻧﺪ.‬ ‫اﮔﺮ ﻗﺮار اﺳﺖ ﻧﻤﻮﻧﻪ از ﯾﮏ ﻓﻬﺮﺳﺖ واﺣﺪﻫﺎی ﺷﻤﺎرش اﻧﺘﺨﺎب ﺷﻮد ﻻزم اﺳﺖ واﺣﺪﻫﺎی اوﻟﯿﻪای‬ ‫ﮐﻪ در ﻧﻈﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ ﻫﺮ واﺣﺪ ﺷﻤﺎرش ﻣﺮﺗﺒﻂ ﺷﻮﻧﺪ ﺑﺎ اﻟﮕﻮرﯾﺘﻤﯽ ﻣﺸﺨﺺ ﺷﻮﻧﺪ. ﭼﻨﯿﻦ اﻟﮕﻮرﯾﺘﻤﯽ را‬ ‫ﻗﺎﻋﺪۀ ﺷﻤﺎرش ﯾﺎ ﻗﺎﻋﺪۀ ﺷﻤﺮدن ﻣﯽﻧﺎﻣﻨﺪ. در آﻣﺎرﮔﯿﺮی ﻓﻮقاﻟﺬﮐﺮ ﺧﺎﻧﻮارﻫﺎ ﺑﺮای ﺑﺮآورد ﮐﺮدن ﺗﻌﺪاد‬ ‫اﺷﺨﺎص ﺳﺎﮐﻦ در ﻧﺎﺣﯿﮥ ﻫﻤﭙﺸﺎﯾﺮ ﮐﻪ در ﺑﺮاﺑﺮ ﺳﺮﺧﮏ اﯾﻤﻦﺳﺎزی ﺷﺪهاﻧﺪ، اﺷﺨﺎص ﺳﺎﮐﻦ در ﻧﺎﺣﯿﻪ،‬ ‫واﺣﺪﻫﺎی اوﻟﯿﻪ را ﺗﺸﮑﯿﻞ ﻣﯽدﻫﻨﺪ و ﺧﺎﻧﻮارﻫﺎ واﺣﺪﻫﺎی ﺷﻤﺎرشاﻧﺪ. ﻗﺎﻋﺪۀ ﺷﻤﺮدن در اﯾﻦ ﻣﺜﺎل ﻣﻤﮑﻦ‬ ‫اﺳﺖ ﻣﺸﺨﺺ ﮐﻨﺪ ﮐﻪ ﻫﻤﮥ اﻓﺮاد ﺳﺎﮐﻦ در ﯾﮏ ﺧﺎﻧﻮار ﺧﺎص ﺑﺎ آن ﺧﺎﻧﻮار ﻣﺮﺗﺒﻂاﻧﺪ.‬ ‫در ﻣﺜﺎل ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﻧﺎﺣﯿﮥ ﻫﻤﭙﺸﺎﯾﺮ، ﻗﺎﻋﺪۀ ﺷﻤﺮدن واﺿﺢ و ﺳﺮراﺳﺖ اﺳﺖ. وﻟﯽ ﮔﺎﻫﯽ اوﻗﺎت ﻗﺎﻋﺪۀ‬ ‫ﺷﻤﺮدن ﮐﻪ واﺣﺪﻫﺎی اوﻟﯿﻪ را ﺑﺎ واﺣﺪﻫﺎی ﺷﻤﺎرش ﻣﺮﺗﺒﻂ ﻣﯽﺳﺎزد ﭼﻨﺪان آﺷﮑﺎر و واﺿﺢ ﻧﯿﺴﺖ. ﻣﺜﻼ،‬ ‫ً‬ ‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﻣﯽﺧﻮاﻫﯿﻢ ﺗﻌﺪاد اﻓﺮادی را ﺑﺮآورد ﮐﻨﯿﻢ ﮐﻪ در ﮐﺎﻟﯿﻔﺮﻧﯿﺎ ﺑﻪ ﺑﯿﻤﺎری ﻧﺴﺒﺘﺎً ﺟﺪی و ﻧﺎدری‬

‫51‬

‫2.1 ﺟﺎﻣﻌﻪ‬

‫ﻫﻤﭽﻮن زﺧﻢ آﮐﻠﻪ ﺑﺎﻓﺖﻫﺎ )‪ 1(SLE‬دﭼﺎر ﺷﺪهاﻧﺪ. در اﯾﻦ ﻣﻮرد، ﻣﻌﻘﻮل آن اﺳﺖ ﮐﻪ از ﺗﺄﻣﯿﻦﮐﻨﻨﺪﮔﺎن‬ ‫ﻣﺮاﻗﺒﺘﻬﺎی ﺑﻬﺪاﺷﺘﯽ )ﻣﺎﻧﻨﺪ ﭘﺰﺷﮑﺎن و ﺑﯿﻤﺎرﺳﺘﺎﻧﻬﺎ( ﯾﮏ آﻣﺎرﮔﯿﺮی ﻧﻤﻮﻧﻪای ﺑﻪ ﻋﻤﻞ آورﯾﻢ و اﻃﻼﻋﺎت‬ ‫ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ اﻓﺮادی را ﮐﻪ ﺑﻪ ﺧﺎﻃﺮ اﯾﻦ ﺑﯿﻤﺎری ﺧﺎص ﺗﺤﺖ ﻣﺮاﻗﺒﺖ آﻧﻬﺎ ﻗﺮار ﮔﺮﻓﺘﻪاﻧﺪ ﺑﻪ دﺳﺖ آورﯾﻢ. از‬ ‫آﻧﺠﺎ ﮐﻪ ﺷﺨﺺ ﻣﺒﺘﻼ ﺑﻪ ﺑﯿﻤﺎری ﻣﻤﮑﻦ اﺳﺖ از ﺳﻮی ﭼﻨﺪ ﻣﻨﺒﻊ ﺗﺤﺖ ﻣﺮاﻗﺒﺖ ﻗﺮار ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ ﯾﺎ‬ ‫ﺑﮕﯿﺮد، ﺑﯿﺶ از ﯾﮏ راه ﻣﻨﻄﻘﯽ ﺑﺮای ﻣﺮﺗﺒﻂ ﺳﺎﺧﺘﻦ ﻣﻮارد )واﺣﺪﻫﺎی اوﻟﯿﻪ( ﺑﺎ ﻣﻨﺎﺑﻊ )واﺣﺪﻫﺎی ﺷﻤﺎرش(‬ ‫وﺟﻮد دارد. ﻣﺜﻼً، ﯾﮏ ﻗﺎﻋﺪۀ ﺷﻤﺮدن ﻣﻤﮑﻦ اﺳﺖ اﺟﺎزه دﻫﺪ ﮐﻪ ﯾﮏ ﻣﻮرد ﺑﻪ ﺗﺄﻣﯿﻦﮐﻨﻨﺪۀ ﻣﺮاﻗﺒﺘﻬﺎی‬ ‫ﺑﻬﺪاﺷﺘﯽ )ﻣﻨﺒﻊ( ﻣﺮﺗﺒﻂ ﺷﻮد ﮐﻪ در زﻣﺎن آﻣﺎرﮔﯿﺮی، ﻣﺴﺌﻮﻟﯿﺖ ﻣﺮاﻗﺒﺖ اﺻﻠﯽ از آن ﺷﺨﺺ را ﺑﻪ ﻋﻬﺪه‬ ‫داﺷﺘﻪ اﺳﺖ. ﻗﺎﻋﺪۀ ﺷﻤﺎرش دوم ﻣﻤﮑﻦ اﺳﺖ اﯾﻦ اﺟﺎزه را ﺑﺪﻫﺪ ﮐﻪ ﻣﻮرد ﺑﻪ ﺗﻤﺎم ﻣﻨﺎﺑﻌﯽ ﮐﻪ ﺗﺎ آن ﻫﻨﮕﺎم‬ ‫ﺑﻪ ﻣﺪاوای آن ﺷﺨﺺ ﭘﺮداﺧﺘﻪاﻧﺪ ﻣﺮﺗﺒﻂ ﮔﺮدد. ﻗﺎﻋﺪۀ ﺳﻮم ﻣﻤﮑﻦ اﺳﺖ ﻣﻮرد را ﺑﻪ ﻣﻨﺒﻌﯽ ﻣﺮﺗﺒﻂ ﺳﺎزد‬ ‫ﮐﻪ اول از ﻫﻤﻪ ﺑﯿﻤﺎری را در آن ﺷﺨﺺ ﺗﺸﺨﯿﺺ داده اﺳﺖ. در دو دﻫﮥ ﮔﺬﺷﺘﻪ ﺣﺠﻢ ﻓﺰاﯾﻨﺪهای از‬ ‫ﮐﺎرﻫﺎ ﺑﺮ اﯾﻦ ﺗﺤﻘﻖ اﺳﺘﻮار ﺑﻮده اﺳﺖ ﮐﻪ اﻧﺘﺨﺎب ﯾﮏ ﻗﺎﻋﺪۀ ﺷﻤﺎرش ﻣﻨﺎﺳﺐ، ﻣﯽﺗﻮاﻧﺪ ﻗﺎﺑﻠﯿﺖ اﻋﺘﻤﺎد‬ ‫ﺑﺮآوردﻫﺎ را در آﻣﺎرﮔﯿﺮی ﻧﻤﻮﻧﻪای ﺑﻪ ﺻﻮرﺗﯽ ﻗﺎﺑﻞ ﻣﻼﺣﻈﻪ ﺑﻬﺒﻮد ﺑﺨﺸﺪ ]3[.‬ ‫ﻫﺪف اوﻟﯿﮥ ﺗﻘﺮﯾﺒﺎً ﻫﺮ آﻣﺎرﮔﯿﺮی ﻧﻤﻮﻧﻪای، ﺑﺮآورد ﻣﻘﺎدﯾﺮ ﺧﺎص ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﺗﻮزﯾﻊ ﻣﺸﺨﺼﻪﻫﺎی وﯾﮋۀ‬ ‫ﯾﮏ ﺟﺎﻣﻌﻪ اﺳﺖ. اﯾﻦ ﻣﻘﺎدﯾﺮ ﺑﯿﺸﺘﺮ اوﻗﺎت ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻨﻬﺎ، ﻣﺠﻤﻮﻋﻬﺎ ﯾﺎ ﻣﺠﻤﻮع ﺗﺠﻤﻌﯽ، و ﻧﺴﺒﺘﻬﺎ ﯾﺎ‬ ‫درﺻﺪﻫﺎ ﻫﺴﺘﻨﺪ. ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ ﻣﻤﮑﻦ اﺳﺖ اﯾﻦ ﻣﻘﺎدﯾﺮ ﺑﻪ ﺻﻮرت ﺻﺪﮐﻬﺎ، اﻧﺤﺮاف ﻣﻌﯿﺎرﻫﺎ، ﯾﺎ ﺳﺎﯾﺮ‬ ‫ﭘﺎراﻣﺘــﺮﻫﺎی ﺗﻮزﯾﻊ ﺑﺎﺷﻨﺪ. ﻣﺜﻼً در ﯾﮏ آﻣﺎرﮔﯿـﺮی ﺧﺎﻧﻮار ﮐﻪ در آن ﻧﻤﻮﻧـﻪای از ﺳﺎﮐﻨـﺎن ﺷﯿﮑﺎﮔﻮ‬ ‫ﮔﺮﻓﺘﻪ ﻣﯽﺷﻮد ﻣﻤﮑﻦ اﺳﺖ ﺑﺨﻮاﻫﯿﻢ ﺗﻌﺪاد ﻣﺘﻮﺳﻂ ﻣﻮارد وﻗﻮع ﺑﯿﻤﺎرﯾﻬﺎی ﺣﺎد ﺑﻪازای ﻫﺮ ﻓــﺮد‬ ‫)ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺟﺎﻣﻌﻪ(، ﮐﻞ روزﻫﺎی ﮐﺎر ﯾﺎ ﺗﺤﺼﯿﻞ ﮐﻪ ﺑﻪ ﺧﺎﻃﺮ ﺑﯿﻤﺎری ﺣﺎد در ﺑﯿﻦ ﻫﻤﮥ اﻋﻀﺎی ﺟﺎﻣﻌﻪ ﺗﻠﻒ‬ ‫ﺷﺪه اﺳﺖ )ﻣﺠﻤﻮع ﺟﺎﻣﻌﻪ ﯾﺎ ﻣﺠﻤﻮع ﺗﺠﻤﻌﯽ(، و ﻧﺴﺒﺖ اﺷﺨﺎﺻﯽ ﮐﻪ در ﺳﺎل ﮔﺬﺷﺘﻪ دو ﯾﺎ ﭼﻨﺪ‬ ‫ﺑﯿﻤﺎری ﺣﺎد داﺷﺘﻪاﻧﺪ )ﻧﺴﺒﺖ ﺟﺎﻣﻌﻪای( را ﺑﺮآورد ﮐﻨﯿﻢ. ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ ﻣﻤﮑﻦ اﺳﺖ ﺑﺨﻮاﻫﯿﻢ ﻣﯿﺎﻧﮥ ﻫﺰﯾﻨﮥ‬ ‫ﺳﺎﻻﻧﮥ ﺧﺎﻧﻮار را ﺑﺮای ﻣﺮاﻗﺒﺘﻬﺎی ﺑﻬﺪاﺷﺘﯽ و اﻧﺤﺮاف ﻣﻌﯿﺎر ﺗﻮزﯾﻊ روزﻫﺎی ﮐﺎری ﺗﻠﻒ ﺷﺪه ﺑﻪ دﻟﯿﻞ‬ ‫ﺑﯿﻤﺎری ﺣﺎد را ﺑﺮآورد ﮐﻨﯿﻢ. در ﻣﺒﺤﺜﯽ ﮐﻪ ﻣﺘﻌﺎﻗﺒﺎً ﺧﻮاﻫﺪ آﻣﺪ، ﻧﻤﺎدﻫﺎی رﺳﻤﯽ را ﺑﺮای ﺑﺤﺚ در ﻣﻮرد‬ ‫ﻣﻔﺎﻫﯿﻢ ﺑﺎﻻ ﺷﺮح ﺧﻮاﻫﯿﻢ داد.‬

‫2.1.1 واﺣﺪﻫﺎی اوﻟﯿﻪ‬
‫ﺗﻌﺪاد واﺣﺪﻫﺎی اوﻟﯿﻪ در ﺟﺎﻣﻌﻪ ﺑﺎ ﺣﺮف ‪ N‬ﻧﻤﺎﯾﺶ داده ﻣﯽﺷﻮد و ﻫﺮ ﯾﮏ از واﺣﺪﻫﺎی اوﻟﯿﻪ ﺑﺎ‬ ‫ﺑﺮﭼﺴـﺒﯽ ﺑﻪ ﺷﮑﻞ ﯾﮏ ﺷـﻤﺎره از 1 ﺗﺎ ‪ N‬ﺷﻨﺎﺳﺎﯾﯽ ﺧﻮاﻫـﺪ ﺷﺪ.ﻫﺮ ﻣﺸﺨﺼﻪ )ﯾﺎ ﻣﺘﻐﯿﺮ( ﺑﺎ ﯾﮏ ﺣﺮف‬
‫1‬

‫‪Systemic Lupus Erythematosis‬‬

‫ﺟﺎﻣﻌﻪ و ﻧﻤﻮﻧﻪ‬

‫61‬

‫ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ x‬ﯾﺎ ‪ y‬ﻧﺸﺎن داده ﺧﻮاﻫﺪ ﺷﺪ. ﻣﻘﺪار ﯾﮏ ﻣﺸـﺨﺼﻪ ‪ x‬در واﺣـﺪ اوﻟﯿﮥ ‪ i‬ام را ﺑﻪ ﺻﻮرت ‪ X i‬ﻧﺸﺎن‬ ‫ﻣﯽدﻫﻨﺪ. ﻣﺜﻼً، در آﻣﺎرﮔﯿﺮی ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﻣﺮﺧﺺﺷﺪﮔﺎن ﺑﯿﻤﺎرﺳﺘﺎﻧﻬﺎ ﮐﻪ در ﯾﮏ ﺑﯿﻤﺎرﺳﺘﺎن ﺑﺮای ﺳﺎل‬ ‫ﺧﺎﺻﯽ اﺟﺮا ﻣﯽﺷﻮد، ﺟﺎﻣﻌﮥ آﻣﺎری ﻣﻤﮑﻦ اﺳﺖ ﻣﺠﻤﻮﻋﮥ ﻣﺮﺧﺺﺷﺪﮔﺎن از ﺑﯿﻤﺎرﺳﺘﺎن در ﻃﯽ ﻣﺪت‬ ‫زﻣﺎن ﻣﻮردﻧﻈﺮ ﺑﺎﺷﺪ و ﻫﺮ ﻣﺮﺧﺺ ﺷﺪه ﯾﮏ واﺣﺪ اوﻟﯿﻪ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد. اﮔﺮ در آن ﺳﺎل 0002 ﺑﯿﻤﺎر‬ ‫ﻣﺮﺧﺺ ﺷﺪه ﺑﺎﺷﻨﺪ، در آن ﺻﻮرت ‪ N‬ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ 0002 ﺧﻮاﻫـــﺪ ﺑﻮد و ﺑﻪ ﻫﺮ ﻣﻮرد ﻣﺮﺧــﺺ ﺷﺪن‬ ‫)ﺑﺮای ﻣﻘﺎﺻﺪ آﻣﺎرﮔﯿﺮی( ﯾﮏ ﺑﺮﭼﺴﺐ ﺷﻨﺎﺳﺎﯾﯽ ﺑﻪ ﺷﮑﻞ ﯾﮏ ﺷﻤﺎره از 1 ﺗﺎ 0002 داده ﺧﻮاﻫﺪ ﺷﺪ.‬ ‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﻢ ﺑﻪ ﺗﻮزﯾﻊ ﺗﻌﺪاد روزﻫﺎی ﺑﺴﺘﺮی ﺑﻮدن )ﻃﻮل ﻣﺪت اﻗﺎﻣﺖ( در ﺑﯿﻦ ﻣﺮﺧﺺﺷﺪﮔﺎن ﻋﻼﻗﻪﻣﻨﺪ‬ ‫ﺑﺎﺷﯿﻢ. در اﯾﻦ ﺻﻮرت 1 ‪ X‬ﻧﺸﺎندﻫﻨﺪۀ ﻃﻮل ﻣﺪت اﻗﺎﻣﺖ ﺑﺮای ﻣﺮﺧﺺﺷﺪۀ دارای ﺑﺮﭼﺴﺐ »1« از‬ ‫ﺑﯿﻤﺎرﺳﺘﺎن و 2 ‪ X‬ﻃﻮل ﻣﺪت اﻗﺎﻣﺖ ﺑﺮای ﻣﺮﺧﺺﺷﺪۀ دارای ﺑﺮﭼﺴﺐ »2« از ﺑﯿﻤﺎرﺳﺘﺎن و ﻫﻤﯿﻦ ﻃﻮر‬ ‫اﻟﯽآﺧﺮ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد.‬

‫2.1.2 ﭘﺎراﻣﺘﺮﻫﺎی ﺟﺎﻣﻌﻪ‬
‫ﮔﻔﺘﯿﻢ ﮐﻪ اﻫﺪاف آﻣﺎرﮔﯿﺮی ﺷﺎﻣﻞ ﺑﺮآورد ﮐﺮدن ﻣﻘﺎدﯾﺮ ﻣﻌﯿﻨﯽ از ﺗﻮزﯾﻊ ﯾﮏ ﻣﺘﻐﯿﺮ ﯾﺎ ﻣﺸﺨﺼﮥ ﺗﻌﯿﯿﻦ ﺷﺪه‬ ‫در ﺟﺎﻣﻌﻪ اﺳﺖ. اﯾﻦ ﻣﻘﺎدﯾﺮ ﺑﺮای ﺟﺎﻣﻌﻪ ﭘﺎراﻣﺘﺮ ﻣﺤﺴﻮب ﻣﯽﺷﻮﻧﺪ و ﭘﺎراﻣﺘﺮ ﺑﺮای ﯾﮏ ﺟﺎﻣﻌﮥ ﻣﻌﯿﻦ،‬ ‫ﺛﺎﺑﺖ اﺳﺖ. ﺗﻌﺎرﯾﻒ آن دﺳﺘﻪ از ﭘﺎراﻣﺘﺮﻫﺎﯾﯽ ﮐﻪ ﺑﯿﺸﺘﺮ اوﻗﺎت ﻣﺎﯾﻞ ﺑﻪ ﺑﺮآورد آن ﻫﺴﺘﯿﻢ در ﻣﺒﺤﺚ زﯾﺮ‬ ‫آﻣﺪه اﺳﺖ.‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع ﮐﻞ ﺟﺎﻣﻌﻪ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع ﮐﻞ ﺟﺎﻣﻌﻪ ﺑﺎ ﻣﺸﺨﺼﮥ ‪ x‬ﻣﻌﻤﻮﻻً ﺑﺎ ﺣﺮف ‪ X‬ﻧﺸﺎن داده ﻣﯽﺷﻮد و ﻣﺠﻤﻮع ﻣﻘﺎدﯾﺮ آن ﻣﺸﺨﺼﻪ‬ ‫ﺑﺮای ﮐﻞ ﻋﻨﺎﺻﺮ ﺟﺎﻣﻌﻪ اﺳﺖ. ﻣﺠﻤﻮع ﺟﺎﻣﻌﻪ از ﻓﺮﻣﻮل زﯾﺮ ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﯽآﯾﺪ:‬
‫‪X = ∑ Xi‬‬
‫1= ‪i‬‬ ‫‪N‬‬

‫)2.1(‬ ‫ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺟﺎﻣﻌﻪ‬

‫ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺟﺎﻣﻌﻪ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻣﺸﺨﺼﮥ ‪ x‬از ﻓﺮﻣﻮل زﯾﺮ ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﯽآﯾﺪ:‬

‫∑‬ ‫= ‪X‬‬

‫‪N‬‬ ‫1= ‪i‬‬

‫‪Xi‬‬

‫‪N‬‬

‫)2.2(‬ ‫ﻧﺴﺒﺖ ﺟﺎﻣﻌﻪ‬

‫ﻫﺮﮔﺎه ﻣﺸﺨﺼﮥ ﻣﻮرد اﻧﺪازهﮔﯿﺮی ﻧﻤﺎﯾﺎﻧﮕﺮ ﺑﻮدن ﯾﺎ ﻧﺒﻮدن ﻧﻮﻋﯽ ﺻﻔﺖ ﮐﯿﻔﯽ دوﺣﺎﻟﺘﯽ ﺑﺎﺷﺪ ﻏﺎﻟﺒﺎً ﻣﻄﻠﻮب‬ ‫آن اﺳﺖ ﮐﻪ ﻧﺴﺒﺖ واﺣﺪﻫﺎی اوﻟﯿﮥ دارای آن ﺻﻔﺖ در ﺟﺎﻣﻌﮥ آﻣﺎری ﺑﺮآورد ﺷﻮد. اﮔﺮ ﺻﻔﺖ ﮐﯿﻔﯽ ﺑﺎ‬

‫71‬

‫2.1 ﺟﺎﻣﻌﻪ‬

‫ﺣﺮف ‪ x‬ﻧﺸﺎن داده ﺷﻮد و ‪ X‬ﺗﻌﺪاد ﮐﻞ واﺣﺪﻫﺎی اوﻟﯿﮥ دارای آن ﺻﻔﺖ در ﺟﺎﻣﻌﻪ ﺑﺎﺷﺪ، در آن ﺻﻮرت‬ ‫‪ Px‬ﻧﺸﺎندﻫﻨﺪۀ ﻧﺴﺒﺖ ﺟﺎﻣﻌﻪای ﻋﻨﺎﺻﺮ دارای آن ﺻﻔﺖ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد و از ﻓﺮﻣﻮل زﯾﺮ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﯽﺷﻮد:‬
‫= ‪Px‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪N‬‬

‫)2.3(‬

‫ﺑﺎﯾﺪ ﺗﻮﺟﻪ داﺷﺖ ﮐﻪ ﺑﺮای وﺿﻌﯿﺖ ﺧﺎﺻﯽ ﮐﻪ در آن ﻣﺘﻐﯿﺮ ‪ x‬ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻓﺮﻣﻮل زﯾﺮ ﺑﻪ دﺳﺖ‬ ‫ﻣﯽآﯾﺪ ﻧﺴﺒﺖ ﺟﺎﻣﻌﻪای، ﯾﮏ ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺟﺎﻣﻌﻪای اﺳﺖ:‬

‫1‪‬‬ ‫‪Xi = ‬‬ ‫0‪‬‬

‫اﮔﺮ ﺻﻔﺖ ‪ x‬در ﻋﻨﺼﺮ ‪ i‬وﺟﻮد داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫اﮔﺮ ﺻﻔﺖ ‪ x‬در ﻋﻨﺼﺮ ‪ i‬وﺟﻮد ﻧﺪاﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‬
‫‪N‬‬

‫ﺑﻪ اﯾﻦ ﺗﺮﺗﯿﺐ ‪ X = ∑i =1 X i‬ﻧﻤﺎﯾﺎﻧﮕﺮ ﮐﻞ ﺗﻌﺪاد ﻋﻨﺎﺻﺮ دارای آن ﺻﻔﺖ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد.‬ ‫وارﯾﺎﻧﺲ و اﻧﺤﺮاف ﻣﻌﯿﺎر ﺟﺎﻣﻌﻪ‬

‫وارﯾﺎﻧﺲ و اﻧﺤﺮاف ﻣﻌﯿﺎر ﺗﻮزﯾﻊ ﯾﮏ ﻣﺸﺨﺼﻪ در ﺟﺎﻣﻌﻪ ﺑﻪ اﯾﻦ دﻟﯿﻞ ﻣﻮرد ﺗﻮﺟﻪاﻧﺪ ﮐﻪ ﭘﺮاﮐﻨﺪﮔﯽ‬
‫ﺗﻮزﯾﻊ را اﻧﺪازه ﻣﯽﮔﯿﺮﻧﺪ. وارﯾﺎﻧﺲ ﺟﺎﻣﻌﻪ ﺑﺎ ﻣﺸﺨﺼﮥ ‪ x‬ﺑﺎ ﻧﻤﺎد ‪ σ x‬ﻧﺸﺎن داده ﻣﯽﺷﻮد و از ﻓﺮﻣﻮل زﯾﺮ‬
‫2‬

‫ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﯽآﯾﺪ:‬
‫‪σx‬‬
‫2‬

‫∑‬ ‫=‬

‫‪N‬‬

‫1= ‪i‬‬

‫2) ‪( X i − X‬‬ ‫‪N‬‬

‫)2.4(‬

‫اﻧﺤﺮاف ﻣﻌﯿﺎر ﺟﺎﻣﻌﻪ ﮐﻪ ﺑﺎ ﻧﻤﺎد ‪ σ x‬ﻧﺸﺎن داده ﻣﯽﺷﻮد ﺻﺮﻓﺎً رﯾﺸﮥ دوم وارﯾﺎﻧﺲ اﺳﺖ و از ﻓﺮﻣﻮل زﯾﺮ‬ ‫ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﯽآﯾﺪ:‬
‫1‬ ‫2 ‪ ∑N ( X i − X )2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫1= ‪σ x =  i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫)2.5(‬

‫وﻗﺘﯽ ﻣﺸﺨﺼﮥ ﻣﻮردﻧﻈﺮ ﯾﮏ ﺻﻔﺖ ﮐﯿﻔﯽ دوﺣﺎﻟﺘﯽ اﺳﺖ ﻣﯽﺗﻮان ﻧﺸﺎن داد ﮐﻪ وارﯾﺎﻧﺲ ﺟﺎﻣﻌﻪ ﺑﻪ‬ ‫ﺻﻮرﺗﯽ ﮐﻪ در ﺑﺎﻻ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﺷﺪ ﺑﻪ ﻓﺮﻣﻮل زﯾﺮ ﺗﺒﺪﯾﻞ ﻣﯽﺷﻮد:‬
‫) ‪σ 2 = Px (1 − Px‬‬ ‫‪x‬‬

‫)2.6(‬

‫ﺑﺮای راﺣﺘﯽ ﮐﺎر در ارﺟﺎﻋﻬﺎی ﺑﻌﺪی، ﻫﻤﮥ ﻓﺮﻣﻮﻟﻬﺎی ﺑﺎﻻ در ﺗﺎﺑﻠﻮی 2.1 ﺧﻼﺻﻪ ﺷﺪهاﻧﺪ.‬ ‫ﺣﺎل ﺑﺒﯿﻨﯿﻢ از اﯾﻦ ﻓﺮﻣﻮﻟﻬﺎ در ﻋﻤﻞ ﭼﮕﻮﻧﻪ اﺳﺘﻔﺎده ﻣﯽﺷﻮد.‬ ‫ﻣﺜﺎل ﺗﺸﺮﯾﺤﯽ: ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﻣﯽﺧﻮاﻫﯿﻢ ﺗﻮزﯾﻊ وﯾﺰﯾﺖ ﺑﯿﻤﺎران را در ﺧﺎﻧﻮار ﺗﻮﺳﻂ ﭘﺰﺷﮑﺎن در ﯾﮏ ﺳﺎل‬ ‫ﻣﻌﯿﻦ ﺑﻪ دﺳﺖ آورﯾﻢ. ﺑﻪ 52 ﭘﺰﺷﮏ ﻣﺤﻞ از 1 ﺗﺎ 52 ﺷﻤﺎره داده ﺷﺪه و ﺗﻌﺪاد ﻣﺮاﺟﻌﮥ ﻫﺮ ﭘﺰﺷﮏ ﺑﻪ‬ ‫ﺧﺎﻧﻮار ﺑﯿﻤﺎران در ﺟﺪول 2.1 ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﺳﺖ.‬

‫ﺟﺎﻣﻌﻪ و ﻧﻤﻮﻧﻪ‬

‫81‬

‫در اﯾﻦ ﻣﻮرد، واﺣﺪﻫﺎی اوﻟﯿﻪ را ﭘﺰﺷﮑﺎن ﺗﺸﮑﯿﻞ ﻣﯽدﻫﻨﺪ و ﺗﻌﺪاد آﻧﻬﺎ 52 ﻧﻔﺮ اﺳﺖ. ﺑﻪ ﻋﺒﺎرت‬ ‫دﯾﮕﺮ 52= ‪ . N‬اﮔﺮ ‪ X i‬ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ ﺗﻌﺪاد وﯾﺰﯾﺘﻬﺎی ﭘﺰﺷﮏ ‪ i‬ﺑﺎﺷﺪ، ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺟﺎﻣﻌﻪ، ﻣﺠﻤﻮع ﮐﻞ، وارﯾﺎﻧﺲ،‬ ‫و اﻧﺤﺮاف ﻣﻌﯿﺎر ﺑﻪ ﺷﺮح زﯾﺮ ﺧﻮاﻫﻨﺪ ﺑﻮد )ﻓﺮﻣﻮﻟﻬﺎ را در ﺗﺎﺑﻠﻮی 2.1 ﺑﺒﯿﻨﯿﺪ(:‬
‫وﯾﺰﯾﺖ 80/5 = ‪X‬‬ ‫721 = ‪X‬‬
‫2‬ ‫19/76 = ‪σ x‬‬

‫2)وﯾﺰﯾﺖ(‬ ‫وﯾﺰﯾﺖ‬

‫وﯾﺰﯾﺖ‬

‫42/8 = ‪σ x‬‬

‫اﮔﺮ ‪ y‬را ﻧﻤﺎﯾﺎﻧﮕﺮ ﺻﻔﺖ ﮐﯿﻔﯽ اﻧﺠﺎم ﯾﮏ ﯾﺎ ﭼﻨﺪ وﯾﺰﯾﺖ در ﻃﯽ ﻣﺪت زﻣﺎن ﺗﻌﯿﯿﻦ ﺷﺪه ﺑﮕﯿﺮﯾﻢ،‬
‫= ‪Py‬‬

‫ﮐﻪ در آن ‪ Py‬ﻧﺴﺒﺖ ﭘﺰﺷﮑﺎن ﺟﺎﻣﻌﮥ آﻣﺎری اﺳﺖ ﮐﻪ در ﻃﻮل زﻣﺎن ﻣﻮردﻧﻈﺮ ﯾﮏ ﯾﺎ ﭼﻨﺪ ﺑﯿﻤﺎر را در‬ ‫ﺧﺎﻧﻮار ﺑﯿﻤﺎر وﯾﺰﯾﺖ ﮐﺮدهاﻧﺪ. ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ دارﯾﻢ‬
‫642/0= )65/0 – 1 ( × )65/0( = 2 ‪σ‬‬ ‫‪y‬‬

‫41‬ ‫65/0 =‬ ‫52‬

‫ﺧﻮاﻫﯿﻢ داﺷﺖ:‬

‫= ‪σy‬‬

‫694/0 = 642/0‬

‫ﯾﮏ ﭘﺎراﻣﺘﺮ دﯾﮕﺮ ﺟﺎﻣﻌﻪ ﮐﻪ در ﻧﻈﺮﯾﮥ ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ﺣﺎﯾﺰ اﻫﻤﯿﺖ اﺳﺖ ﺿﺮﯾﺐ ﺗﻐﯿﯿﺮات اﺳﺖ ﮐﻪ ﺑﺎ ﻧﻤﺎد‬ ‫‪ Vx‬ﻧﺸﺎن داده ﻣﯽﺷﻮد. ﺿﺮﯾﺐ ﺗﻐﯿﯿﺮات ﯾﮏ ﺗﻮزﯾﻊ ﻋﺒﺎرت اﺳﺖ از ﻧﺴﺒﺖ اﻧﺤﺮاف ﻣﻌﯿﺎر آن ﺗﻮزﯾﻊ ﺑﻪ‬ ‫ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺗﻮزﯾﻊ:‬

‫‪σx‬‬ ‫)2.7(‬ ‫‪X‬‬ ‫ﺿﺮﯾﺐ ﺗﻐﯿﯿﺮات ﻧﻤﺎﯾﺎﻧﮕﺮ ﭘﺮاﮐﻨﺪﮔﯽ ﺗﻮزﯾﻊ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺗﻮزﯾﻊ اﺳﺖ. در ﻣﻮرد ﺗﻮزﯾﻊ وﯾﺰﯾﺖ از‬ ‫= ‪Vx‬‬
‫ﺧﺎﻧﻮارﻫﺎ در ﻣﺜﺎل ﺗﺸﺮﯾﺤﯽ ﺑﺎﻻ، ﺿﺮﯾﺐ ﺗﻐﯿﯿﺮات از ﻓﺮﻣﻮل زﯾﺮ ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﯽآﯾﺪ:‬

‫= ‪Vx‬‬

‫ﻣﯽﺗﻮان ﻧﺸﺎن داد ﮐﻪ ﺿﺮﯾﺐ ﺗﻐﯿﯿﺮات ‪ Vy‬ﺑﺮای ﺻﻔﺖ دو ﺣﺎﻟﺘﯽ ‪ y‬از ﻓﺮﻣﻮل زﯾﺮ ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﯽآﯾﺪ:‬

‫26/1 = 42/8‬ ‫80/5‬

‫‪ 1 − Py‬‬ ‫‪Vy = ‬‬ ‫‪ P‬‬ ‫‪ y‬‬

‫1‬ ‫2‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫)2.8(‬

‫ﺑﺮای ﺗﻮزﯾﻊ ﭘﺰﺷﮑﺎن ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﺻﻔﺖ ﮐﯿﻔﯽ اﺟﺮای ﯾﮏ ﯾﺎ ﭼﻨﺪ وﯾﺰﯾﺖ در ﺧﺎﻧﻮار ﺑﯿﻤﺎر ﻃﯽ ﻣﺪت زﻣﺎن‬ ‫ﻣﺸﺨﺺ )ﻣﺜﺎل ﺗﺸﺮﯾﺤﯽ را ﺑﺒﯿﻨﯿﺪ(، ﺿﺮﯾﺐ ﺗﻐﯿﯿﺮات ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ اﺳﺖ:‬
‫1‬ ‫2 ‪ 0/44 ‬‬ ‫688/0 = ‪V y =  ‬‬ ‫‪ 0/56 ‬‬

‫91‬

‫2.1 ﺟﺎﻣﻌﻪ‬

‫ﺗﺎﺑﻠﻮی 2.1 ﭘﺎراﻣﺘﺮﻫﺎی ﺟﺎﻣﻌﻪ‬
‫ﻣﺠﻤﻮع‬
‫‪X = ∑ Xi‬‬
‫1= ‪i‬‬ ‫‪N‬‬

‫)2.1(‬
‫ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ‬

‫∑‬ ‫= ‪X‬‬

‫‪N‬‬ ‫1= ‪i‬‬

‫‪Xi‬‬

‫‪N‬‬

‫)2.2(‬
‫ﻧﺴﺒﺖ‬

‫= ‪Px‬‬

‫‪X‬‬ ‫‪N‬‬

‫)2.3(‬
‫وارﯾﺎﻧﺲ‬

‫‪σx‬‬

‫2‬

‫∑‬ ‫=‬

‫‪N‬‬ ‫1= ‪i‬‬

‫2) ‪( X i − X‬‬ ‫‪N‬‬

‫)2.4(‬
‫اﻧﺤﺮاف ﻣﻌﯿﺎر‬

‫1‬ ‫2 ‪ ∑ N ( X i − X )2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫1= ‪σ x =  i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫)2.5(‬
‫وارﯾﺎﻧﺲ، ﺻﻔﺖ ﮐﯿﻔﯽ دوﺣﺎﻟﺘﯽ‬

‫) ‪σ 2 = Px (1 − Px‬‬ ‫‪x‬‬

‫)2.6(‬

‫در اﯾﻦ ﺗﻌﺮﯾﻔﻬﺎ ‪ ، Ν‬ﺗﻌﺪاد واﺣﺪﻫﺎی اوﻟﯿﻪ در ﺟﺎﻣﻌﻪ و ‪ ، X i‬ﻣﻘﺪار واﺣﺪ اوﻟﯿﮥ ‪ i‬ام اﺳﺖ.‬

‫2‬ ‫ﻣﺮﺑﻊ ﺿﺮﯾﺐ ﺗﻐﯿﯿﺮات، ‪ V x‬اﺳﺖ ﮐﻪ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان وارﯾﺎﻧﺲ ﻧﺴﺒﯽ ﺷﻨﺎﺧﺘﻪ ﻣﯽﺷﻮد و ﭘﺎراﻣﺘﺮی اﺳﺖ ﮐﻪ‬

‫در روشﺷﻨﺎﺳﯽ ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی از آن اﺳﺘﻔﺎده ﮔﺴﺘﺮدهای ﻣﯽﺷﻮد.‬

‫ﺟﺎﻣﻌﻪ و ﻧﻤﻮﻧﻪ‬

‫02‬

‫ﺟﺪول 2.1 ﺗﻌﺪاد وﯾﺰﯾﺖ ﺑﯿﻤﺎران در ﺧﺎﻧﻮار ﺗﻮﺳﻂ ﭘﺰﺷﮏ در ﺳﺎﻟﯽ ﻣﺸﺨﺺ‬

‫ﺗﻌﺪاد وﯾﺰﯾﺖ‬
‫4‬ ‫8‬ ‫0‬ ‫7‬ ‫0‬ ‫73‬ ‫0‬ ‫8‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫0‬

‫ﭘﺰﺷﮏ‬
‫41‬ ‫51‬ ‫61‬ ‫71‬ ‫81‬ ‫91‬ ‫02‬ ‫12‬ ‫22‬ ‫32‬ ‫42‬ ‫52‬

‫ﺗﻌﺪاد وﯾﺰﯾﺖ‬
‫5‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫4‬ ‫7‬ ‫0‬ ‫21‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫22‬ ‫0‬ ‫5‬ ‫6‬

‫ﭘﺰﺷﮏ‬
‫1‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫4‬ ‫5‬ ‫6‬ ‫7‬ ‫8‬ ‫9‬ ‫01‬ ‫11‬ ‫21‬ ‫31‬

‫ﻣﺜﺎل ﺗﺸﺮﯾﺤﯽ: ﺑﺮای ﻧﺸﺎن دادن اﺳﺘﻔﺎده از ﺿﺮﯾﺐ ﺗﻐﯿﯿﺮات ﺑﻪﻋﻨﻮان ﯾﮏ آﻣﺎرۀ ﺗﻮﺻﯿﻔﯽ، ﻓﺮض ﻣﯽﮐﻨﯿﻢ‬ ‫ﻣﯽﺧﻮاﻫﯿﻢ ﺷﻨﺎﺧﺘﯽ ﭘﯿﺪا ﮐﻨﯿﻢ ﮐﻪ آﯾﺎ ﺳﻄﻮح ﮐﻠﺴﺘﺮول در ﯾﮏ ﺟﺎﻣﻌﻪ، از ﻣﺘﻐﯿﺮﻫﺎی ﻓﺸﺎر ﺧﻮن ﺳﯿﺴﺘﻮﻟﯽ‬ ‫در ﻫﻤﺎن ﺟﺎﻣﻌﻪ ﻣﺘﻐﯿﺮﺗﺮ اﺳﺖ ﯾﺎ ﻧﻪ. ﻓﺮض ﻣﯽﮐﻨﯿﻢ ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺳﻄﺢ ﻓﺸﺎر ﺧﻮن ﺳﯿﺴﺘﻮﻟﯽ در ﺟﺎﻣﻌﻪ 031‬ ‫ﻣﯿﻠﯽﻣﺘﺮ ‪) Hg‬ﻣﯿﻠﯽﻣﺘﺮ ﺟﯿﻮه( و اﻧﺤﺮاف ﻣﻌﯿﺎر 51 ﻣﯿﻠﯽﻣﺘﺮ ‪ Hg‬ﺑﺎﺷﺪ. ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ ﻓﺮض ﻣﯽﮐﻨﯿﻢ ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ‬ ‫ﺳﻄﺢ ﮐﻠﺴﺘﺮول 002 ﻣﯿﻠﯽﮔﺮم ﺑﺮ 001 ﻣﯿﻠﯽﻣﺘﺮ و اﻧﺤﺮاف ﻣﻌﯿﺎر 04 ﻣﯿﻠﯽﮔﺮم ﺑﺮ001 ﻣﯿﻠﯽﻣﺘﺮ اﺳﺖ.‬ ‫ﻣﺸﺎﻫﺪۀ اﻧﺤﺮاف ﻣﻌﯿﺎرﻫﺎی ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ آﻧﻬﺎ ﺑﻪ ﺷﮑﻠﯽ ﺑﺎ ﻣﻌﻨﺎ ﻣﺸﺨﺺ ﻧﻤﯽﮐﻨﺪ ﮐﻪ ﮐﺪام ﻣﺸﺨﺼﻪ در ﺟﺎﻣﻌﻪ‬ ‫ﺗﻐﯿﯿﺮﭘﺬﯾﺮی ﺑﯿﺸﺘﺮی دارد، زﯾﺮا اﯾﻦ اﻧﺤﺮاف ﻣﻌﯿﺎرﻫﺎ ﺑﺮ ﺣﺴﺐ واﺣﺪﻫﺎی ﻣﺘﻔﺎوﺗﯽ اﻧﺪازهﮔﯿﺮی ﺷﺪهاﻧﺪ‬ ‫)در اﯾﻦ ﻣﻮرد ﻣﯿﻠﯽﻣﺘﺮ ﺟﯿﻮه در ﻣﻘﺎﺑﻞ ﻣﯿﻠﯽﮔﺮم ﺑﺮ001 ﻣﯿﻠﯽﻣﺘﺮ(. وﻟﯽ اﯾﻦ دو ﻣﺘﻐﯿﺮ را ﻣﯽﺗﻮان ﺑﺎ ﻣﺸﺎﻫﺪۀ‬

‫51‬ ‫ﺿﺮﯾﺐ ﺗﻐﯿﯿﺮات ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﻫﺮ ﯾﮏ از آﻧﻬﺎ ﻣﻘﺎﯾﺴﻪ ﮐﺮد، ﯾﻌﻨﯽ‬ ‫031‬ ‫ﻣﻘﺎﺑﻞ 04‬ ‫ﯾﺎ 002/0 ﺑﺮای ﮐﻠﺴﺘﺮول. ﺿﺮاﯾﺐ ﺗﻐﯿﯿﺮات را ﻣﯽﺗﻮان ﻣﻘﺎﯾﺴﻪ ﮐﺮد زﯾﺮا آﻧﻬﺎ ﺑﺪون ﺑﻌﺪﻧﺪ. ﺑﻪ‬ ‫002‬
‫ﯾﺎ 511/0 ﺑﺮای ﻓﺸﺎر ﺧﻮن ﺳﯿﺴﺘﻮﻟﯽ در‬ ‫اﯾﻦ ﺗﺮﺗﯿﺐ، ﭼﻮن ﺿﺮﯾﺐ ﺗﻐﯿﯿﺮات ﺳﻄﺢ ﮐﻠﺴﺘﺮول ﺑﯿﺸﺘﺮ از ﺿﺮﯾﺐ ﺗﻐﯿﯿﺮات ﻓﺸﺎر ﺧﻮن ﺳﯿﺴﺘﻮﻟﯽ اﺳﺖ‬ ‫ﻣﯽﺗﻮان ﻧﺘﯿﺠﻪ ﮔﺮﻓﺖ ﮐﻪ در اﯾﻦ ﺟﺎﻣﻌﻪ ﮐﻠﺴﺘﺮول ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻓﺸﺎر ﺧﻮن ﺳﯿﺴﺘﻮﻟﯽ ﺗﻐﯿﯿﺮﭘﺬﯾﺮی ﺑﯿﺸﺘﺮی‬ ‫دارد.‬

‫12‬

‫ﻧﻤﻮﻧﻪ‬

‫2.2‬

‫در ﻣﺜﺎل ﺑﺎﻻ ﻧﻤﯽﺗﻮان از اﻧﺤﺮاف ﻣﻌﯿﺎر ﺑﺮای ﻣﻘﺎﯾﺴﮥ ﺗﻐﯿﯿﺮﭘﺬﯾﺮی دو ﻣﺘﻐﯿﺮ اﺳﺘﻔﺎده ﮐﺮد زﯾﺮا ﻣﺘﻐﯿﺮﻫﺎ‬ ‫ﺑﺎ واﺣﺪﻫﺎی اﻧﺪازهﮔﯿﺮی ﯾﮑﺴﺎن اﻧﺪازهﮔﯿﺮی ﻧﺸﺪهاﻧﺪ. ﺣﺎﻻ دو ﻣﺘﻐﯿﺮ را درﻧﻈﺮ ﻣﯽﮔﯿﺮﯾﻢ ﮐﻪ ﺑﺎ واﺣﺪﻫﺎی‬ ‫اﻧﺪازهﮔﯿﺮی ﯾﮑﺴﺎن اﻧﺪازهﮔﯿﺮی ﺷﺪه ﺑﺎﺷﻨﺪ ﻣﺜﻞ ﻓﺸﺎر ﺧﻮن ﺳﯿﺴﺘﻮﻟﯽ و ﻓﺸﺎر ﺧﻮن دﯾﺎﺳﺘﻮﻟﯽ. ﻓﺮض‬ ‫ﮐﻨﯿﻢ ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﻓﺸﺎر ﺧﻮن دﯾﺎﺳﺘﻮﻟﯽ در ﺟﺎﻣﻌﻪ 06 ﻣﯿﻠﯽﻣﺘﺮ ﺟﯿﻮه و اﻧﺤﺮاف ﻣﻌﯿﺎر آن ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ 8 ﻣﯿﻠﯽﻣﺘﺮ‬ ‫ﺟﯿﻮه و ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ و اﻧﺤﺮاف ﻣﻌﯿﺎر ﻓﺸﺎر ﺧﻮن ﺳﯿﺴﺘﻮﻟﯽ ﻫﻤﺎن ﻣﻘﺪار داده ﺷﺪه در ﻣﺜﺎل ﻗﺒﻠﯽ ﺑﺎﺷﺪ )ﯾﻌﻨﯽ‬ ‫031 = ‪ X‬ﻣﯿﻠﯽﻣﺘﺮ ﺟﯿﻮه و 51 = ‪ σ x‬ﻣﯿﻠﯽﻣﺘﺮ ﺟﯿﻮه(. ﭘﺲ ﺑﻪﻃﻮر ﻣﻄﻠﻖ، ﻓﺸﺎر ﺧﻮن ﺳﯿﺴﺘﻮﻟﯽ ﻣﺘﻐﯿﺮﺗﺮ از‬ ‫ﻓﺸﺎر ﺧﻮن دﯾﺎﺳﺘﻮﻟﯽ اﺳﺖ )51 = ‪ σ x‬ﻣﯿﻠﯽﻣﺘﺮ ﺟﯿﻮه ﺑﺮای ﺳﯿﺴﺘﻮﻟﯽ در ﻣﻘﺎﺑﻞ 8 ﻣﯿﻠﯽﻣﺘﺮ ﺟﯿﻮه ﺑﺮای‬ ‫دﯾﺎﺳﺘﻮﻟﯽ(. وﻟﯽ ﺑﻪﻃﻮر ﻧﺴﺒﯽ، ﻫﻤﺎﻧﻄﻮر ﮐﻪ اﻧﺪازهﮔﯿﺮی ﺿﺮﯾﺐ ﺗﻐﯿﯿﺮات ﻧﺸﺎن ﻣﯽدﻫﺪ، ﺗﻐﯿﯿﺮﭘﺬﯾﺮی ﻓﺸﺎر‬ ‫ﯾﺎ‬

‫51‬ ‫8‬ ‫ﺧﻮن دﯾﺎﺳﺘﻮﻟﯽ ﺑﯿﺸﺘﺮ اﺳﺖ. ﺿﺮﯾﺐ ﺗﻐﯿﯿﺮات ﺑﺮای دﯾﺎﺳﺘﻮﻟﯽ‬ ‫ﯾﺎ 331/0 و ﺑﺮای ﺳﯿﺴﺘـﻮﻟﯽ‬ ‫031‬ ‫06‬
‫ﻣﻮرد ﺗﻮﺟﻪاﻧﺪ ـ از اﯾﻦ رو اﻫﻤﯿﺖ ﺿﺮﯾﺐ ﺗﻐﯿﯿﺮات آﺷﮑﺎر ﻣﯽﺷﻮد.‬

‫511/0 اﺳﺖ. در ﻃﺮاﺣــــﯽ آﻣﺎرﮔﯿﺮﯾــــﻬﺎی ﻧﻤﻮﻧﻪای، ﻏﺎﻟﺒﺎً ﺗﻐﯿﯿﺮات ﻧﺴﺒﯽ ﺑﯿﺶ از ﺗﻐﯿﯿﺮات ﻣﻄﻠﻖ‬

‫2.2 ﻧﻤﻮﻧﻪ‬
‫در ﺑﺨﺶ 2.1 ﻣﻔﺎﻫﯿﻢ ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﺟﺎﻣﻌﻪ ﯾﺎ ﺟﺎﻣﻌﮥ ﻫﺪف را اراﺋﻪ ﮐﺮدﯾﻢ. ﺗﺄﮐﯿﺪ ﻣﯽﮐﻨﯿﻢ ﮐﻪ ﭘﺎراﻣﺘﺮﻫﺎی‬ ‫ﺟﺎﻣﻌﻪای ﺑﺤﺚ ﺷﺪه در ﺑﺨﺶ 2.1 ـ از ﻗﺒﯿﻞ ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺳﻄﺢ ﯾﮏ ﻣﺸﺨﺼﻪ، ﻣﻘﺪار ﮐﻞ ﯾﮏ ﻣﺸﺨﺼﻪ در‬ ‫ﺟﺎﻣﻌﻪ، ﯾﺎ ﻧﺴﺒﺖ ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻣﻮﺟﻮد در ﺟﺎﻣﻌﻪ ﺑﺎ ﺑﺮﺧﯽ ﺻﻔﺎت ﮐﯿﻔﯽ ﻣﺸﺨﺺ ﺷﺪه ـ ﺗﻘﺮﯾﺒﺎً ﻫﻤﯿﺸﻪ‬ ‫ﻧﺎﺷﻨﺎﺧﺘﻪاﻧﺪ. از اﯾﻦرو، اﻫﺪاف اوﻟﯿﮥ آﻣﺎرﮔﯿﺮی ﻧﻤﻮﻧﻪای، ﮔﺮﻓﺘﻦ ﻧﻤﻮﻧﻪای از ﺟﺎﻣﻌﻪ و ﺑﺮآورد ﭘﺎراﻣﺘﺮﻫﺎی‬ ‫ﺟﺎﻣﻌﻪ از روی آن ﻧﻤﻮﻧﻪ اﺳﺖ. در اﯾﻦ ﺑﺨﺶ، ﻣﻔﺎﻫﯿﻢ ﺧﺎﺻﯽ را در راﺑﻄﻪ ﺑﺎ ﻧﻤﻮﻧﻪﻫﺎ اراﺋﻪ ﻣﯽﮐﻨﯿﻢ و در‬ ‫ﻣﻮرد ﭼﮕﻮﻧﮕﯽ ﺑﺮآورد ﭘﺎراﻣﺘﺮﻫﺎی ﺟﺎﻣﻌﻪ از روی ﻧﻤﻮﻧﻪ ﺑﺤﺚ ﻣﯽﮐﻨﯿﻢ.‬

‫2.2.1 ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی اﺣﺘﻤﺎﻻﺗﯽ و ﻏﯿﺮاﺣﺘﻤﺎﻻﺗﯽ‬
‫آﻣﺎرﮔﯿﺮﯾﻬﺎی ﻧﻤﻮﻧﻪای را ﻣﯽﺗﻮان ﺑﺮ اﺳﺎس ﭼﮕﻮﻧﮕﯽ اﻧﺘﺨﺎب ﻧﻤﻮﻧﻪ در دو ردۀ ﺑﺴﯿﺎر وﺳﯿﻊ رﺳﺘﻪﺑﻨﺪی‬ ‫ﮐﺮد، ﯾﻌﻨﯽ ﻧﻤﻮﻧﻪﻫﺎی اﺣﺘﻤﺎﻻﺗﯽ و ﻧﻤﻮﻧﻪﻫﺎی ﻏﯿﺮاﺣﺘﻤﺎﻻﺗﯽ. ﻧﻤﻮﻧﮥ اﺣﺘﻤﺎﻻﺗﯽ اﯾﻦ ﻣﺸﺨﺼﻪ را دارد ﮐﻪ ﻫﺮ‬ ‫ﯾﮏ از ﻋﻨﺎﺻﺮ ﺟﺎﻣﻌﻪ دارای اﺣﺘﻤﺎﻟﯽ ﻣﻌﻠﻮم و ﻏﯿﺮﺻﻔﺮ ﺑﺮای ﮔﻨﺠﺎﻧﯿﺪه ﺷﺪن در ﻧﻤﻮﻧﻪ اﺳﺖ. ﻧﻤﻮﻧﮥ‬ ‫ﻏﯿﺮاﺣﺘﻤﺎﻻﺗﯽ ﻧﻤﻮﻧﻪای اﺳﺖ ﻣﺒﺘﻨﯽ ﺑﺮ ﺑﺮﻧﺎﻣﮥ ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ﮐﻪ اﯾﻦ ﺧﺼﯿﺼﻪ را ﻧﺪارد. در ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی‬ ‫اﺣﺘﻤﺎﻻﺗﯽ، ﭼﻮن ﻫﺮ ﯾﮏ از ﻋﻨﺎﺻﺮ ﺷﺎﻧﺲ ﻣﻌﻠﻮﻣﯽ ﺑﺮای اﻧﺘﺨﺎب ﺷﺪن دارد، ﺑﺮآوردﻫﺎی ﻧﺎارﯾﺐ‬ ‫ﭘﺎراﻣﺘﺮﻫﺎی ﺟﺎﻣﻌﻪ را ﮐﻪ ﺗﺎﺑﻌﻬﺎﯾﯽ ﺧﻄﯽ از ﻣﺸﺎﻫﺪاتاﻧﺪ )ﻣﺎﻧﻨﺪ ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻨﻬﺎی ﺟﺎﻣﻌﻪای، ﻣﺠﻤﻮﻋﻬﺎ و ﻧﺴﺒﺘﻬﺎ(‬ ‫ﻣﯽﺗﻮان از روی دادهﻫﺎی ﻧﻤﻮﻧﻪ ﺳﺎﺧﺖ. ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ، ﺗﺤﺖ اﯾﻦ ﺷﺮط ﮐﻪ اﺣﺘﻤﺎﻟﻬﺎی ﺷﻤﻮل ﻣﺮﺗﺒﻪ دوم‬

‫ﺟﺎﻣﻌﻪ و ﻧﻤﻮﻧﻪ‬

‫22‬

‫)ﯾﻌﻨﯽ اﺣﺘﻤﺎل ﺗﻮأم ﮔﻨﺠﺎﻧﺪن ﻫﺮ ﯾﮏ از واﺣﺪﻫﺎی دو ﺷﻤﺎرﺷﯽ( ﻣﻌﻠﻮم ﺑﺎﺷﻨﺪ، ﺧﻄﺎﻫﺎی ﻣﻌﯿﺎر اﯾﻦ‬ ‫ﺑﺮ آوردﻫﺎ را ﻧﯿﺰ ﻣﯽﺗﻮان ﺑﺮآورد ﮐﺮد. اﯾﻦ ﺑﻪ ﮐﺎرﺑﺮان ﺑﺮآوردﻫﺎی آﻣﺎرﮔﯿﺮی ﺷﻨﺎﺧﺖ ﻣﯽدﻫﺪ ﮐﻪ ﺗﺎ ﭼﻪ‬ ‫اﻧﺪازه ﻣﯽ ﺗﻮاﻧﻨﺪ روی ارزش ﺑﺮآوردﻫﺎ ﺣﺴﺎب ﮐﻨﻨﺪ. از ﺳﻮی دﯾﮕﺮ، ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ﻏﯿﺮاﺣﺘﻤﺎﻻﺗﯽ اﯾﻦ‬ ‫ﺧﺼﯿﺼﻪ را ﻧﺪارد و ﮐﺎرﺑﺮان ﻫﯿﭻ روش ﻣﻄﻤﺌﻨﯽ ﺑﺮای ارزﺷﯿﺎﺑﯽ اﻋﺘﺒﺎر ﯾﺎ ﻗﺎﺑﻞ اﻋﺘﻤﺎد ﺑﻮدن ﺑﺮآوردﻫﺎی‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ ﻧﺪارﻧﺪ. اﯾﻦ ﻣﻮارد و ﻣﻔﺎﻫﯿﻢ ﺑﻌﺪاً در ﻫﻤﯿﻦ ﻓﺼﻞ ﻣﻮرد ﺑﺤﺚ ﻗﺮار ﺧﻮاﻫﻨﺪ ﮔﺮﻓﺖ.‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪﻫﺎی ﻏﯿﺮاﺣﺘﻤﺎﻻﺗﯽ ﺑﻪ ﺧﺼﻮص در ﺗﺤﻘﯿﻘﺎت ﺑﺎزار و آﻣﺎرﮔﯿﺮی از آرای ﻋﻤﻮﻣﯽ ﺑﺴﯿﺎر ﻓﺮاوان‬ ‫ﺑﻪ ﮐﺎر ﻣﯽروﻧﺪ. از ﻧﻤﻮﻧﻪﻫﺎی ﻏﯿﺮاﺣﺘﻤﺎﻻﺗﯽ ﺑﻪ اﯾﻦ دﻟﯿﻞ اﺳﺘﻔﺎده ﻣﯽﺷﻮد ﮐﻪ ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی اﺣﺘﻤﺎﻻﺗﯽ ﻏﺎﻟﺒﺎ‬ ‫ً‬ ‫ﺷﯿﻮهای وﻗﺖﮔﯿﺮ و ﭘﺮﻫﺰﯾﻨﻪ اﺳﺖ و در واﻗﻊ ﻣﻤﮑﻦ اﺳﺖ در ﺑﺴﯿﺎری از وﺿﻌﯿﺘﻬﺎ اﻣﮑﺎنﭘﺬﯾﺮ ﻧﺒﺎﺷﺪ.‬ ‫ﻣﺜﺎﻟﯽ از ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ﻏﯿﺮاﺣﺘﻤﺎﻻﺗﯽ، آﻣﺎرﮔﯿﺮی ﻧﻤﻮﻧﻪای ﺑﻪ اﺻﻄﻼح ﺳﻬﻤﯿﻪای اﺳﺖ ﮐﻪ در آن ﺑﻪ‬ ‫ﻣﺼﺎﺣﺒﻪﮔﺮان ﮔﻔﺘﻪ ﻣﯽﺷﻮد ﮐﻪ ﺑﺎ ﺗﻌﺪادی ﻣﻌﯿﻦ از اﻓﺮاد در زﯾﺮﮔﺮوﻫﻬﺎی ﺟﻤﻌﯿﺘﯽ ﻣﻌﯿﻦ ﺗﻤﺎس ﺑﮕﯿﺮﻧﺪ و‬ ‫ﻣﺼﺎﺣﺒﻪ ﮐﻨﻨﺪ. ﻣﺜﻼ ﻣﻤﮑﻦ اﺳﺖ ﺑﻪ ﯾﮏ ﻣﺼﺎﺣﺒﻪﮔﺮ ﮔﻔﺘﻪ ﺷﻮد ﮐﻪ ﺑﺎ ﭘﻨﺞ ﻣﺮد ﺳﯿﺎهﭘﻮﺳﺖ، ﭘﻨﺞ زن‬ ‫ً‬ ‫ﺳﯿﺎهﭘﻮﺳﺖ، ده ﻣﺮد ﺳﻔﯿﺪﭘﻮﺳﺖ و ده زن ﺳﻔﯿﺪﭘﻮﺳﺖ ﻣﺼﺎﺣﺒﻪ ﮐﻨﺪ و اﻧﺘﺨﺎب اﻓﺮاد ﺧﺎص در داﺧﻞ ﻫﺮ‬ ‫ﯾﮏ از اﯾﻦ ردهﻫﺎ ﺑﻪ ﻋﻬﺪۀ ﻣﺼﺎﺣﺒﻪﮔﺮ ﮔﺬاﺷﺘﻪ ﺷﻮد. ﺑﺴﯿﺎر ﻣﺤﺘﻤﻞ اﺳﺖ ﮐﻪ ﭼﻨﯿﻦ روش اﻧﺘﺨﺎب ﻧﻤﻮﻧﻪ‬ ‫ﺑﻪ ﺑﺮآوردﻫﺎﯾﯽ ﺑﺎ ارﯾﺒﯽ ﺑﺴﯿﺎر زﯾﺎد ﻣﻨﺠﺮ ﺷﻮد. ﺑﺮای ﻣﺜﺎل، ﻣﺼﺎﺣﺒﻪﮔﺮ ﻣﻤﮑﻦ اﺳﺖ ﺑﺮای راﺣﺘﯽ ﮐﺎر ﺧﻮد‬ ‫ﻫﺮ ﭘﻨﺞ ﻣﺮد ﺳﯿﺎهﭘﻮﺳﺖ و ﻫﺮ ﭘﻨﺞ زن ﺳﯿﺎهﭘﻮﺳﺖ را از ﻣﺤﻠﻪﻫﺎﯾﯽ ﮐﻪ از ﻧﻈﺮ اﻗﺘﺼﺎدی و اﺟﺘﻤﺎﻋﯽ در‬ ‫ﺳﻄﺢ ﺑﺎﻻﺗﺮی ﻫﺴﺘﻨﺪ اﻧﺘﺨﺎب ﮐﻨﺪ ﮐﻪ ﻣﻤﮑﻦ اﺳﺖ ﻧﻤﺎﯾﻨﺪۀ ﻫﻤﮥ اﻗﻠﯿﺖ ﺳﯿﺎهﭘﻮﺳﺖ ﻧﺒﺎﺷﻨﺪ.‬

‫ﻧﻮع دﯾﮕﺮی از ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ﻏﯿﺮاﺣﺘﻤﺎﻻﺗﯽ ﮐﻪ ﮔﺎﻫﯽ اوﻗﺎت ﺑﻪ ﮐﺎر ﻣﯽرود ﺑﻪ ﻧﺎم ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ﻗﺼﺪی‬
‫ﯾﺎ ﻣﺒﺘﻨﯽ ﺑﺮ داوری ﻣﺸﻬﻮر اﺳﺖ. در اﯾﻦ ﻧﻮع ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی، اﻓﺮادی اﻧﺘﺨﺎب ﻣﯽﺷﻮﻧﺪ ﮐﻪ ﺑﻪ ﻧﻈﺮ ﻣﯽرﺳﻨﺪ‬ ‫ﺑﯿﺸﺘﺮﯾﻦ ﻧﻤﺎﯾﻨﺪﮔﯽ در ﮐﻞ ﺟﺎﻣﻌﻪ را دارﻧﺪ. ﺑﺮای ﻣﺜﺎل، ﻣﻤﮑﻦ اﺳﺖ ﺑﺨﻮاﻫﯿﻢ ﺗﻌﺪاد ﮐﻞ ﻧﻤﻮﻧﻪﻫﺎی ﺧﻮن‬ ‫را ﮐﻪ ﻃﯽ ﯾﮏ ﺳﺎل ﻣﻌﯿﻦ در ﯾﮏ درﻣﺎﻧﮕﺎه ﺑﯿﻤﺎران ﺳﺮﭘﺎﯾﯽ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﺪه اﺳﺖ ﺑﺎ اﻧﺘﺨﺎب ﭼﻨﺪ روز »ﻋﺎدی«‬ ‫و ﺑﺮرﺳﯽ ﺳﻮاﺑﻖ درﻣﺎﻧﮕﺎه در ﻫﻤﺎن روزﻫﺎی ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ﺷﺪه ﺑﺮآورد ﮐﻨﯿﻢ. اﮔﺮ ﻣﻨﺎﺑﻌﯽ در اﺧﺘﯿﺎر داﺷﺘﯿﻢ‬ ‫ﮐﻪ ﻣﯽﺗﻮاﻧﺴﺘﯿﻢ ﻓﻘﻂ ﭼﻨﺪ روز را ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ﮐﻨﯿﻢ، اﯾﻦ روش ﺑﻪ ﺑﺮآوردﻫﺎی ﻣﻌﺘﺒﺮﺗﺮ و ﻗﺎﺑﻞ اﻋﺘﻤﺎدﺗﺮی‬ ‫ﻣﻨﺠﺮ ﻣﯽﺷﺪ ﺗﺎ اﯾﻨﮑﻪ از روش ﻧﻤﻮﻧﮥ ﺗﺼﺎدﻓﯽ روزﻫﺎ اﺳﺘﻔﺎده ﺷﻮد، زﯾﺮا در رﻫﯿﺎﻓﺖ ﻣﺒﺘﻨﯽ ﺑﺮ داوری‬ ‫ﻣﺤﺘﻤﻞ ﺑﻮد ﮐﻪ از ﮔﻨﺠﺎﻧﺪن روزﻫﺎی ﻏﯿﺮﻋﺎدی اﺟﺘﻨﺎب ﺷﻮد )ﺑﺮای ﻣﺜﺎل، روزﻫﺎﯾﯽ ﮐﻪ ﺑﺎر ﻣﺮاﺟﻌﮥ ﺑﯿﻤﺎر‬ ‫ﺑﻪ ﻃﻮر ﻏﯿﺮ ﻋﺎدی زﯾﺎد، ﮐﻢ، ﯾﺎ ﺑﻪ ﺻﻮرﺗﯽ دﯾﮕﺮ ﻏﯿﺮ ﻋﺎدی اﺳﺖ(. ﻋﯿﺐ ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ﻣﺒﺘﻨﯽ ﺑﺮ داوری اﯾﻦ‬ ‫اﺳﺖ ﮐﻪ از ﻧﻈﺮ رﯾﺎﺿﯽ در راﺑﻄﻪ ﺑﺎ ﻗﺎﺑﻠﯿﺖ اﻋﺘﻤﺎد ﺑﺮآوردﻫﺎی ﺣﺎﺻﻞ ﻫﯿﭻ ﺷﻨﺎﺧﺘﯽ ﺑﻪ دﺳﺖ ﻧﻤﯽآﯾﺪ.‬

‫32‬

‫2.2 ﻧﻤﻮﻧﻪ‬

‫در اﯾﻦ ﮐﺘﺎب ﻓﻘﻂ ﺑﻪ ﻧﻤﻮﻧﻪﻫﺎی اﺣﺘﻤﺎﻻﺗﯽ ﻣﯽﭘﺮدازﯾﻢ زﯾﺮا ﻗﻮﯾﺎً اﺣﺴﺎس ﻣﯽﮐﻨﯿﻢ ﮐﻪ آﻣﺎرﮔﯿﺮﯾﻬﺎی‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪای ﺑﺎﯾﺪ ﺑﺮآوردﻫﺎﯾﯽ ﺑﻪ دﺳﺖ دﻫﻨﺪ ﮐﻪ از ﻧﻈﺮ آﻣﺎری ﺑﺘﻮاﻧﻨﺪ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻣﻘﺎدﯾﺮ ﻣﻮرد اﻧﺘﻈﺎر و‬ ‫ﺧﻄﺎﻫﺎی ﻣﻌﯿﺎرﺷﺎن ارزﺷﯿﺎﺑﯽ ﺷﻮﻧﺪ.‬

‫2.2.2 ﭼﺎرﭼﻮﺑﻬﺎی ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی، واﺣﺪﻫﺎی ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی، و واﺣﺪﻫﺎی ﺷﻤﺎرش‬
‫در ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی اﺣﺘﻤﺎﻻﺗﯽ ﺑﺎﯾﺪ اﺣﺘﻤﺎل ﻇﺎﻫﺮ ﺷﺪن ﻫﺮ ﻋﻨﺼﺮ در ﻧﻤﻮﻧﻪ ﻣﻌﻠﻮم ﺑﺎﺷﺪ. ﺑﺮای ﺗﺤﻘﻖ اﯾﻦ اﻣﺮ‬ ‫ﺑﺎﯾﺪ »ﻓﻬﺮﺳـﺘﯽ« ﻣﻮﺟـﻮد ﺑﺎﺷـﺪ ﮐﻪ ﺑﺘﻮان ﻧﻤـﻮﻧﻪ را از آن اﻧﺘﺨـﺎب ﮐﺮد. ﺑﻪ ﭼـﻨﯿﻦ ﻓﻬﺮﺳـﺘﯽ‬ ‫ﭼﺎرﭼﻮب ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ﻣﯽﮔﻮﯾﻨﺪ و ﺑﺎﯾﺪ اﯾﻦ ﺧﺎﺻﯿﺖ را داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ ﻫﺮ روﺷﯽ ﺑﺮای اﻧﺘﺨﺎب ﻋﻨﺎﺻﺮ از‬ ‫ﭼﺎرﭼﻮب ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ﺑﻪ ﮐﺎر ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﻮد ﯾﮑﺎﯾﮏ ﻋﻨﺎﺻﺮ در ﺟﺎﻣﻌﻪ ﺷﺎﻧﺴﯽ ﺑﺮای اﻧﺘﺨﺎب ﺷﺪن در ﻧﻤﻮﻧﻪ‬ ‫داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ. ﭼﺎرﭼﻮب ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی اﺟﺒﺎری ﻧﺪارد ﮐﻪ ﻫﻤﮥ ﻋﻨﺎﺻﺮ ﺟﺎﻣﻌﻪ را ﻓﻬﺮﺳﺖ ﮐﻨﺪ. ﺑﺮای ﻣﺜﺎل، اﮔﺮ‬ ‫ﺑﺮای ﯾﮏ آﻣﺎرﮔﯿﺮی ﻧﻤﻮﻧﻪای ﮐﻪ ﻋﻨﺎﺻﺮ آن ﺳﺎﮐﻨﺎن ﺷﻬﺮﻧﺪ از دﻓﺘﺮ راﻫﻨﻤﺎی ﺷﻬﺮ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﭼﺎرﭼﻮب‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی اﺳﺘﻔﺎده ﺷﻮد، واﺿﺢ اﺳﺖ ﮐﻪ در اﯾﻦ ﺻﻮرت ﻫﻤﮥ ﻋﻨﺎﺻﺮ ﺑﻪ ﻫﯿﭻ وﺟﻪ در ﭼﺎرﭼﻮب‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ﮐﻪ در اﯾﻦ ﻣﻮرد ﻓﻬﺮﺳﺖ )ﻓﺮﺿﺎً( ﺗﻤﺎم ﺧﺎﻧﻮارﻫﺎی ﺷﻬﺮ اﺳﺖ ﻓﻬﺮﺳﺖ ﻧﺨﻮاﻫﻨﺪ ﺷﺪ. وﻟﯽ‬ ‫ﭼﻮن اﯾﻦ ﯾﮏ آﻣﺎرﮔﯿﺮی اﺣﺘﻤﺎﻻﺗﯽ اﺳﺖ، اﮔﺮ ﭼﺎرﭼﻮب ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی در واﻗﻊ ﺷﺎﻣﻞ ﺗﻤﺎم ﺧﺎﻧﻮارﻫﺎی‬ ‫ﺷﻬﺮ ﺑﺎﺷﺪ ﻫﺮ ﯾﮏ از ﻋﻨﺎﺻﺮ، ﺷﺎﻧﺴﯽ ﺑﺮای اﻧﺘﺨﺎب ﺷﺪن در ﻧﻤﻮﻧﻪ دارﻧﺪ.‬ ‫ﻏﺎﻟﺒﺎً ﯾﮏ ﻃﺮح ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ﺧﺎص ﻣﺸﺨﺺ ﻣﯽ ﺳﺎزد ﮐﻪ ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی در دو ﯾﺎ ﺳﻪ ﻣﺮﺣﻠﻪ اﺟﺮا ﺷﻮد.‬ ‫اﯾﻦ ﻃﺮح را ﻃﺮح ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ﭼﻨﺪﻣﺮﺣﻠﻪای ﻣﯽﻧﺎﻣﻨﺪ. ﺑﺮای ﻣﺜﺎل، ﯾﮏ آﻣﺎرﮔﯿﺮی از ﺧﺎﻧﻮارﻫﺎ ﮐﻪ در اﯾﺎﻟﺘﯽ‬ ‫ﺑﺰرگ اﺟﺮا ﻣﯽﺷﻮد ﻣﻤﮑﻦ اﺳﺖ ﻃﺮح ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮﯾﯽ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ ﻣﺸﺨﺺ ﮐﻨﺪ ﻧﻤﻮﻧﻪای از ﻧﺎﺣﯿﻪﻫﺎ در‬ ‫داﺧﻞ اﯾﺎﻟﺖ اﻧﺘﺨﺎب ﺷﻮد و در داﺧﻞ ﻫﺮ ﻧﺎﺣﯿﻪای ﮐﻪ ﺑﺮای ﻧﻤﻮﻧﻪ اﻧﺘﺨﺎب ﻣﯽﺷﻮد ﻧﻤﻮﻧﻪای از ﺗﻘﺴﯿﻤﺎت‬ ‫ﺷﻬﺮی ﮐﻮﭼﮑﺘﺮ )ﺷﻬﺮﮐﻬﺎ( ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﻮد و در داﺧﻞ ﻫﺮ ﯾﮏ از ﺗﻘﺴﯿﻤﺎت ﺷﻬﺮی ﮐﻮﭼﮑﺘﺮ ﻧﻤﻮﻧﻪای از‬ ‫ﺧﺎﻧﻮارﻫﺎ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﻮد. در ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ﭼﻨﺪﻣﺮﺣﻠﻪای، در ﻫﺮ ﻣﺮﺣﻠﻪ از ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی از ﭼـﺎرﭼـﻮب‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ﻣﺘﻔـﺎوﺗﯽ اﺳﺘﻔﺎده ﻣﯽﺷﻮد. واﺣـﺪﻫﺎی ﻓﻬﺮﺳـﺖ ﺷﺪه در ﭼـﺎرﭼـﻮب را ﻋﻤـﻮﻣﺎً‬ ‫واﺣﺪﻫﺎی ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ﻣﯽﻧﺎﻣﻨﺪ. در ﻣﺜﺎل ﺑﺎﻻ، ﭼﺎرﭼﻮب ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ﺑﺮای ﻣﺮﺣﻠﮥ اول ﻓﻬﺮﺳﺖ ﻧﺎﺣﯿﻪﻫﺎی‬ ‫داﺧﻞ اﯾﺎﻟﺖ اﺳﺖ و ﻫﺮ ﻧﺎﺣﯿﻪ ﺑﺮای اﯾﻦ ﻣﺮﺣﻠﻪ ﯾﮏ واﺣﺪ ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی اﺳﺖ. ﻓﻬﺮﺳﺖ ﺷﻬﺮﮐﻬﺎ در داﺧﻞ‬ ‫ﻫﺮ ﻧﺎﺣﯿﻪای ﮐﻪ در ﻣﺮﺣﻠﮥ اول ﺑﺮای ﻧﻤﻮﻧﻪ اﻧﺘﺨﺎب ﺷﺪهاﻧﺪ، ﭼﺎرﭼﻮب ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ﺑﺮای ﻣﺮﺣﻠﮥ دوم و‬ ‫ﻫﺮ ﺷﻬﺮک ﯾﮏ واﺣﺪ ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ﺑﺮای اﯾﻦ ﻣﺮﺣﻠﻪ اﺳﺖ. ﺑﺎﻻﺧﺮه، ﻓﻬﺮﺳﺖ ﺧﺎﻧﻮارﻫﺎی داﺧﻞ ﻫﺮ ﺷﻬﺮک‬ ‫ﮐﻪ در ﻣﺮﺣﻠﮥ دوم ﺑﺮای ﻧﻤﻮﻧﻪ اﻧﺘﺨﺎب ﺷﺪهاﻧﺪ، ﭼﺎرﭼﻮب ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ﺑﺮای ﻣﺮﺣﻠﮥ ﺳﻮم و ﻧﻬﺎﯾﯽ اﺳﺖ و‬ ‫ﻫﺮ ﺧﺎﻧﻮار ﯾﮏ واﺣﺪ ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ﺑﺮای اﯾﻦ ﻣﺮﺣﻠﻪ اﺳﺖ. واﺣﺪﻫﺎی ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ﻣﺮﺣﻠﮥ اول را ﻋﻤﻮﻣﺎً‬ ‫واﺣﺪﻫﺎی ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی اوﻟﯿﻪ )‪ (PSUs‬ﻣﯽﻧﺎﻣﻨﺪ. واﺣــﺪﻫﺎی ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿــﺮی آﺧﺮﯾﻦ ﻣﺮﺣﻠﻪ از ﻃﺮح‬

‫ﺟﺎﻣﻌﻪ و ﻧﻤﻮﻧﻪ‬

‫42‬

‫ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ﭼﻨﺪ ﻣﺮﺣﻠﻪای واﺣﺪﻫﺎی ﺷﻤﺎرش ﯾﺎ واﺣﺪﻫﺎی ﻓﻬﺮﺳﺖ ﺑﺮداری ﻧﺎﻣﯿﺪه ﻣﯽﺷﻮﻧﺪ. درﺑﺎرۀ اﯾﻦ‬ ‫ﻣﻮارد ﻗﺒﻼً ﺑﺤﺚ ﮐﺮدهاﯾﻢ.‬

‫2.2.3 اﻧﺪازهﮔﯿﺮﯾﻬﺎی ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی و آﻣﺎرهﻫﺎی ﺧﻼﺻﻪ‬
‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﻢ ﮐﻪ ﺑﻪ ﻃﺮﯾﻘﯽ ﻧﻤﻮﻧﻪای ﺑﺎ ‪ n‬ﻋﻨﺼﺮ از ﺟﺎﻣﻌﻪای دارای ‪ N‬ﻋﻨﺼﺮ اﺧﺘﯿﺎر ﮐﺮده و ﻫﺮ ﻋﻨﺼﺮ‬

‫ﻧﻤﻮﻧﻪ را ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻣﺘﻐﯿﺮ ‪ x‬اﻧﺪازه ﻣﯽﮔﯿﺮﯾﻢ. ﺑﺮای راﺣﺘﯽ ﮐﺎر ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻧﻤﻮﻧﻪ را از 1 ﺗﺎ ‪ n‬ﺷﻤﺎرهﮔﺬاری‬
‫ﻣﯽﮐﻨﯿﻢ. )ﻣﻬﻢ ﻧﯿﺴﺖ ﮐﻪ ﺷﻤﺎرۀ اﺻﻠﯽ آﻧﻬﺎ در ﺟﺎﻣﻌﻪ ﭼﻪ ﺑﻮده اﺳﺖ(. ﻓﺮض ﻣﯽ ﮐﻨﯿﻢ 1‪ x‬ﻧﺸﺎندﻫﻨﺪۀ‬ ‫ﻣﻘﺪار ‪ x‬ﺑﺮای ﻋﻨﺼﺮ ﺷﻤﺎرۀ »1«، 2‪ x‬ﻧﺸﺎندﻫﻨﺪۀ ﻣﻘﺪار ‪ x‬ﺑﺮای ﻋﻨﺼﺮ ﺷﻤﺎرۀ »2«، و ﻫﻤﯿﻦ ﻃﻮر ﺗﺎ آﺧﺮ‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ. ﭘﺲ از اﯾﻦ ﮐﻪ ﻧﻤﻮﻧﻪ را ﮔﺮﻓﺘﯿﻢ ﻣﯽﺗﻮاﻧﯿﻢ درﺳﺖ ﻫﻤﺎن ﻃﻮر ﮐﻪ ﺑﺮای ﺟﺎﻣﻌﻪ اﻧﺠﺎم ﻣﯽدادﯾﻢ‬ ‫ﮐﻤﯿﺘﻬﺎﯾﯽ ﻫﻤﭽﻮن ﻣﺠﻤﻮﻋﻬﺎ، ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻨﻬﺎ، ﻧﺴﺒﺘﻬﺎ، و اﻧﺤﺮاف ﻣﻌﯿﺎرﻫﺎ را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﻢ. وﻟﯽ وﻗﺘﯽ اﯾﻦ ﮐﻤﯿﺘﻬﺎ‬ ‫ﺑﺮای ﻧﻤﻮﻧﻪ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﯽﺷﻮﻧﺪ، ﺑﻪ ﻣﻌﻨﺎی واﻗﻌﯽ ﮐﻠﻤﻪ، ﭘﺎراﻣﺘﺮ ﻧﯿﺴﺘﻨﺪ ﭼﻮن در ﻣﻌﺮض ﺗﻐﯿﯿﺮﭘﺬﯾﺮی‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ﻗﺮار دارﻧﺪ )ﯾﮏ ﭘﺎراﻣﺘﺮ واﻗﻌﯽ، ﻣﻘﺪاری ﺛﺎﺑﺖ اﺳﺖ(. در ﻋﻮض ﺑﻪ اﯾﻦ ﻣﻘﺎدﯾﺮ ﻧﻤﻮﻧﻪ ﻋﻤﻮﻣﺎً‬ ‫ﺑﻪ ﻋﻨﻮان آﻣﺎرهﻫﺎ، ﯾﺎ آﻣﺎرهﻫﺎی ﺧﻼﺻﻪ ﯾﺎ آﻣﺎرهﻫﺎی ﺗﻮﺻﯿﻔﯽ اﺷﺎره ﻣﯽﺷﻮد. ﺗﻌﺮﯾﻒ ﺑﺮﺧﯽ از آﻣﺎرهﻫﺎ‬ ‫ﮐﻪ در ﺑﺴﯿﺎری از ﻃﺮﺣﻬﺎی ﻧﻤﻮﻧﻪای، ﭼﻪ ﺑﻪ ﻣﻨﻈﻮر ﺗﻮﺻﯿﻒ و ﭼﻪ در ﻓﺮﻣﻮﻟﻬﺎ ﺑﺮای ﺑﺮآوردﻫﺎی ﺟﺎﻣﻌﻪای‬ ‫ﺑﻪ ﮐﺎر ﻣﯽروﻧﺪ در ﻣﺒﺤﺚ زﯾﺮ اراﺋﻪ ﺷﺪه اﺳﺖ. ﺗﻌﺮﯾﻔﻬﺎی ﺑﻘﯿﻪ ﻫﺮ ﮔﺎه ﻧﯿﺎز ﺑﺎﺷﺪ اراﺋﻪ ﺧﻮاﻫﻨﺪ ﺷﺪ.‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع ﻧﻤﻮﻧﻪای: ﻣﺠﻤﻮع ﻧﻤﻮﻧﻪای ﯾﮏ ﻣﺸﺨﺼﻪ، ﻣﻌﻤﻮﻻً ﺑﺎ ﺣﺮف ‪ x‬ﻧﺸﺎن داده ﻣﯽﺷﻮد و ﻣﺠﻤﻮع‬ ‫ﻣﻘﺎدﯾﺮ آن ﻣﺸﺨﺼﻪ در ﮐﻞ ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻧﻤﻮﻧﻪ اﺳﺖ:‬
‫‪x = ∑ xi‬‬
‫1= ‪i‬‬ ‫‪n‬‬

‫)2.9(‬

‫ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﻧﻤﻮﻧﻪ: ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﻧﻤﻮﻧﻪ ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻣﺸﺨﺼﮥ ‪ x‬ﻣﻌﻤﻮﻻً ﺑﺎ ‪ x‬ﻧﺸﺎن داده ﻣﯽﺷﻮد و از ﻓﺮﻣﻮل زﯾﺮ ﺑﻪ‬ ‫دﺳﺖ ﻣﯽآﯾﺪ:‬

‫∑‬ ‫=‪x‬‬

‫‪n‬‬ ‫1= ‪i‬‬

‫‪xi‬‬

‫‪n‬‬

‫)2.01(‬

‫ﻧﺴﺒﺖ ﻧﻤﻮﻧﻪای: ﻫﺮﮔﺎه ﻣﺸﺨﺼﮥ ﻣﻮرد اﻧﺪازهﮔﯿﺮی ‪ x‬ﻣﻌﺮف ﺑﻮد ﯾﺎ ﻧﺒﻮد ﺻﻔﺖ ﮐﯿﻔﯽ دوﺣﺎﻟﺘﯽ ﺑﺎﺷﺪ،‬ ‫ﻧﺴﺒﺖ ﻧﻤﻮﻧﻪای را ﻣﻌﻤﻮﻻً ﺑﺎ ‪ Px‬ﻧﺸﺎن ﻣﯽدﻫﻨﺪ ﮐﻪ از ﻓﺮﻣﻮل زﯾﺮ ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﯽآﯾﺪ:‬
‫= ‪Px‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪n‬‬

‫)2.11(‬

‫ﮐﻪ در آن ‪ x‬ﺗﻌﺪاد ﻋﻨﺎﺻﺮی از ﻧﻤﻮﻧﻪ اﺳﺖ ﮐﻪ آن ﺻﻔﺖ را دارﻧﺪ.‬

‫52‬

‫2.2 ﻧﻤﻮﻧﻪ‬

‫وارﯾﺎﻧﺲ ﻧﻤﻮﻧﻪ و اﻧﺤﺮاف ﻣﻌﯿﺎر: وارﯾﺎﻧﺲ ﻧﻤﻮﻧﻪ، 2 ‪ ، s‬ﺑﺮای ﻫﺮ ﻣﺸﺨﺼﮥ ‪ x‬از ﻓﺮﻣﻮل زﯾﺮ ﺑﻪ دﺳﺖ‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻣﯽآﯾﺪ:‬
‫= ‪s‬‬ ‫‪x‬‬
‫2‬ ‫2‬ ‫‪n‬‬ ‫) ‪∑ i = 1 ( xi − x‬‬

‫1− ‪n‬‬

‫)2.21(‬

‫ﻫﺮ ﮔﺎه ﻣﺸﺨﺼﮥ ‪ x‬ﯾﮏ ﺻﻔﺖ ﮐﯿﻔﯽ دوﺣﺎﻟﺘﯽ ﺑﺎﺷﺪ، وارﯾﺎﻧﺲ ﻧﻤﻮﻧﻪ، 2 ‪ ، s‬ﮐﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت ﺑﺎﻻ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﺷﺪ‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺑﻪ ﺷﮑﻞ زﯾﺮ ﺗﺒﺪﯾﻞ ﻣﯽﺷﻮد:‬
‫2‬ ‫= ‪sx‬‬

‫) ‪np x (1 − p x‬‬ ‫1− ‪n‬‬

‫)2.31(‬

‫اﮔﺮ اﻧﺪازۀ ﻧﻤﻮﻧﻪ، ‪ ،n‬ﺑﺰرگ ﺑﺎﺷﺪ )ﻣﺜﻼً ﺑﯿﺸﺘﺮ از 02( ﻣﯽﺗﻮاﻧﯿﻢ از ﺗﻘﺮﯾﺐ زﯾﺮ اﺳﺘﻔﺎده ﮐﻨﯿﻢ:‬
‫) ‪s 2 ≈ p x (1 − p x‬‬ ‫‪x‬‬

‫اﻧﺤﺮاف ﻣﻌﯿﺎر ﻧﻤﻮﻧﻪ ﺻﺮﻓﺎً، رﯾﺸﮥ دوم وارﯾﺎﻧﺲ ﻧﻤﻮﻧﻪ اﺳﺖ:‬
‫2 ) ‪ ∑ n ( xi − x‬‬ ‫1= ‪s x =  i‬‬ ‫‪‬‬ ‫1− ‪n‬‬ ‫‪‬‬
‫1‬ ‫2‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫)2.41(‬

‫ﺑﺮای راﺣﺘﯽ ﮐﺎر در ارﺟﺎﻋﺎت ﺑﻌﺪی، اﯾﻦ ﻓﺮﻣﻮﻟﻬﺎ در ﺗﺎﺑﻠﻮی 2.2 ﺧﻼﺻﻪ ﺷﺪهاﻧﺪ.‬

‫2.2.4 ﺑﺮآورد ﮐﺮدن ﻣﺸﺨﺼﻪﻫﺎی ﺟﺎﻣﻌﻪ‬
‫ﺑﺮآورد ﻣﺠﻤﻮع ﮐﻞ، ‪ ، X‬را ﻣﯽﺗﻮان از ﻣﺠﻤﻮع ﻧﻤﻮﻧﻪ، ‪ ، x‬ﺑﺎ ﻓﺮﻣﻮل زﯾﺮ ﺑﻪ دﺳﺖ آورد:‬
‫‪N ‬‬ ‫)‪x ′ =   (x‬‬ ‫‪n‬‬

‫)2.51(‬

‫ﺑﻪ ﻋﺒﺎرت دﯾﮕﺮ اﮔﺮ ﻣﺠﻤﻮع ﻧﻤﻮﻧﻪ، ‪ ، x‬را در ﻧﺴﺒﺖ ﺗﻌﺪاد ﻋﻨﺎﺻﺮ در ﺟﺎﻣﻌﻪ ﺑﻪ ﺗﻌﺪاد ﻋﻨﺎﺻﺮ در ﻧﻤﻮﻧﻪ‬ ‫ﺿﺮب ﮐﻨﯿﻢ آﻣﺎرۀ ﺑﻪ دﺳﺖ آﻣﺪه ′‪ x‬را ﻣﯽﺗﻮاﻧﯿﻢ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﺑﺮآورد ﺟﺎﻣﻌﮥ ﮐﻞ ‪ X‬ﺑﻪ ﮐﺎر ﺑﺮﯾﻢ.‬
‫2ˆ‬ ‫‪ σ x‬ﮐﻪ ﺑﺮآورد وارﯾﺎﻧﺲ ﺟﺎﻣﻌﻪ، ‪ ، σ 2x‬اﺳﺖ از ﻓﺮﻣﻮل زﯾﺮ ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﯽآﯾﺪ:‬
‫2 ‪ N −1‬‬ ‫2ˆ‬ ‫‪σx =‬‬ ‫‪ sx‬‬ ‫‪ N ‬‬

‫) (‬

‫)2.61(‬

‫در ﻣﻌﺎدﻟﮥ ﻓﻮق از ﻧﻈﺮ‬

‫1− ‪N‬‬ ‫اﮔﺮ ﺗﻌﺪاد ﻋﻨﺎﺻﺮ ‪ N‬در ﺟﺎﻣﻌﻪ ﻧﺴﺒﺘﺎ زﯾﺎد ﺑﺎﺷﺪ در آن ﺻﻮرت ﻋﺒﺎرت‬ ‫‪N‬‬

‫ﻋﺪدی ﻧﺰدﯾﮏ ﺑﻪ ﯾﮏ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد و ﻣﯽﺗﻮاﻧﯿﻢ از ﺗﻘﺮﯾﺐ زﯾﺮ اﺳﺘﻔﺎده ﮐﻨﯿﻢ:‬
‫2ˆ‬ ‫2‪σ x ≈ s‬‬ ‫‪x‬‬

‫ﺟﺎﻣﻌﻪ و ﻧﻤﻮﻧﻪ‬

‫62‬

‫در اﯾﻨﺠﺎ ﺗﺄﮐﯿﺪ ﻣﯽﮐﻨﯿﻢ ﮐﻪ آﻣﺎرهﻫﺎی ﻧﻤﻮﻧﻪای و ﺑﺮآوردﻫﺎی ﻣﺸﺨﺼﻪﻫﺎی ﺟﺎﻣﻌﻪ ﮐﻪ در ﺑﺎﻻ اراﺋﻪ‬ ‫ﺷﺪﻧﺪ ﺑﺮای ﻫﺮ ﻃﺮح ﻧﻤﻮﻧﻪای ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎده ﻗﺮار ﻧﻤﯽﮔﯿﺮﻧﺪ. ﺿﻤﻦ ﺑﺤﺚ در ﻣﻮرد ﻃﺮﺣﻬﺎی ﻧﻤﻮﻧﻪای‬ ‫ﻣﺸﺨﺺ در ﻓﺼﻠﻬﺎی ﺑﻌﺪی، روﺷﻬﺎی ﺑﺮآورد ﮐﺮدن ﻣﺸﺨﺼﻪﻫﺎی ﺟﺎﻣﻌﻪ را ﮐﻪ وﯾﮋۀ ﻃﺮح ﻣﺸﺨﺺ ﻣﻮرد‬ ‫ﺑﺤﺚ اﺳﺖ اراﺋﻪ ﺧﻮاﻫﯿﻢ ﮐﺮد.‬ ‫ﺗﺎﺑﻠﻮی 2.2 آﻣﺎرهﻫﺎی ﻧﻤﻮﻧﻪای‬
‫ﻣﺠﻤﻮع‬

‫‪x = ∑i =1 xi‬‬
‫‪n‬‬

‫)2.9(‬
‫ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ‬

‫∑‬ ‫=‪x‬‬
‫= ‪px‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪n‬‬ ‫1= ‪i‬‬

‫‪xi‬‬

‫‪n‬‬

‫=‬

‫‪x‬‬ ‫‪n‬‬

‫)2.01(‬
‫ﻧﺴﺒﺖ‬

‫)2.11(‬

‫ﮐﻪ در ﻣﻌﺎدﻟﮥ )2.11( ‪ ، x‬ﺗﻌﺪاد ﻋﻨﺎﺻﺮی از ﻧﻤﻮﻧﻪ اﺳﺖ ﮐﻪ دارای ﺻﻔﺖ ﮐﯿﻔﯽ دوﺣﺎﻟﺘﯽ اﺳﺖ.‬
‫وارﯾﺎﻧﺲ‬

‫∑‬ ‫= 2‪s‬‬
‫‪x‬‬

‫‪n‬‬ ‫1= ‪i‬‬

‫2 ) ‪( xi − x‬‬ ‫1− ‪n‬‬

‫)2.21(‬
‫وارﯾﺎﻧﺲ، ﺻﻔﺖ ﮐﯿﻔﯽ دوﺣﺎﻟﺘﯽ‬

‫2‬ ‫= ‪sx‬‬

‫) ‪np x (1 − p x‬‬ ‫1− ‪n‬‬
‫1‬

‫)2.31(‬
‫اﻧﺤﺮاف ﻣﻌﯿﺎر‬

‫2 ‪ ∑ n ( xi − x ) 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫)2.41(‬ ‫1= ‪s x =  i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫1− ‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫در اﯾﻦ ﺗﻌﺎرﯾﻒ، ‪ ،n‬ﺗﻌﺪاد ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻣﻮﺟﻮد در ﻧﻤﻮﻧﻪ و ‪ ، xi‬ﻣﻘﺪار ﻋﻨﺼﺮ‪ i‬ام اﺳﺖ.‬

‫ﻣﺜﺎل ﺗﺸﺮﯾﺤﯽ: ﺣﺎل اﯾﻦ ﻣﻔﺎﻫﯿﻢ را ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از دادهﻫﺎی ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ وﯾﺰﯾﺖ ﭘﺰﺷﮑﺎن از ﺧﺎﻧﻮارﻫﺎ ﮐﻪ در‬ ‫ﺟﺪول 2.1 اراﺋﻪ ﺷﺪه اﺳﺖ ﻧﺸﺎن ﻣﯽدﻫﯿﻢ. ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ، ﺑﻪ ﻃﺮﯾﻘﯽ، ﻧﻤﻮﻧﻪای از ﻧﻪ ﭘﺰﺷﮏ در اﯾﻦ ﺟﺎﻣﻌﮥ‬

‫72‬

‫2.2 ﻧﻤﻮﻧﻪ‬

‫آﻣﺎری اﻧﺘﺨﺎب ﮐﺮدهاﯾﻢ و ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﻧﻤﻮﻧﮥ ﻣﺎ ﺷﺎﻣﻞ ﻧﻪ ﭘﺰﺷﮑﯽ اﺳﺖ ﮐﻪ در ﺟﺪول 2.2 ﻓﻬﺮﺳﺖ‬ ‫ﺷﺪهاﻧﺪ.‬ ‫ﻣﯿﺎﻧﮕﯿــــﻦ ﻧﻤﻮﻧﻪ، ﻣﺠﻤــﻮع ﻧﻤﻮﻧﻪ و وارﯾﺎﻧﺲ ﻧﻤﻮﻧﻪ ﺑﺮای اﯾﻦ دادهﻫﺎ ﺑﻪ ﺷﺮح زﯾﺮ اﺳﺖ‬ ‫)ﻓﺮﻣﻮﻟﻬــﺎ را در ﺗﺎﺑﻠﻮی 2.2 ﺑﺒﯿﻨﯿﺪ(:‬
‫ﺟﺪول 2.2 دادهﻫﺎی ﻧﻤﻮﻧﻪ ﺑﺮای ﺗﻌﺪاد وﯾﺰﯾﺖ از ﺧﺎﻧﻮارﻫﺎ‬ ‫ﺗﻌﺪاد وﯾﺰﯾﺖ‬
‫7‬ ‫73‬ ‫8‬ ‫0‬

‫ﭘﺰﺷﮏ‬
‫71‬ ‫91‬ ‫12‬ ‫52‬

‫ﺗﻌﺪاد وﯾﺰﯾﺖ‬
‫5‬ ‫0‬ ‫21‬ ‫5‬ ‫6‬

‫ﭘﺰﺷﮏ‬
‫1‬ ‫6‬ ‫7‬ ‫21‬ ‫31‬

‫08/5 = ‪x‬‬
‫87/0 = ‪p y‬‬

‫98/8 = ‪x‬‬

‫11/521 = 2 ‪s‬‬ ‫‪x‬‬

‫ﻧﺴﺒﺖ ﻧﻤﻮﻧﻪ ﺑﺎ ﯾﮏ ﯾﺎ ﭼﻨﺪ وﯾﺰﯾﺖ از ﺧﺎﻧﻮار ﻋﺒﺎرت اﺳﺖ از:‬

‫4491/0 = 2 ‪s‬‬ ‫‪x‬‬

‫وارﯾﺎﻧﺲ ﻧﻤﻮﻧﻪ، ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ اﻧﺠﺎم ﯾﮏ ﯾﺎ ﭼﻨﺪ وﯾﺰﯾﺖ از ﺧﺎﻧﻮار ﻋﺒﺎرت اﺳﺖ از:‬

‫اﮔﺮ ﺑﺨﻮاﻫﯿﻢ از اﯾﻦ ﻧﻤﻮﻧﻪ، ‪ ، X‬ﻣﺠﻤﻮع ﮐﻞ وﯾﺰﯾﺖ ﺑﯿﻤﺎران ﺧﺎﻧﻮار ﺗﻮﺳﻂ ﭘﺰﺷﮑﺎن در ﺟﺎﻣﻌﻪ را‬ ‫ﺑﺮای ﻣﺪت زﻣﺎن ﻣﺸﺨﺼﯽ ﺑﺮآورد ﮐﻨﯿﻢ، اﺑﺘﺪا ﻣﺠﻤﻮع ﻧﻤﻮﻧﻪ، ‪ ، x‬وﯾﺰﯾﺖ در ﺧﺎﻧﻮار را ﺑﺮای ﻧﻪ ﭘﺰﺷﮏ‬
‫ﭘﯿﺪا ﻣﯽﮐﻨﯿﻢ، ﮐﻪ در آن 52= ‪ N‬و 9= ‪n‬‬

‫‪N‬‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪ ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﯽآورﯾﻢ. ﺳﭙﺲ ′ ‪ x‬را ﺑﺎ ﺿﺮب ﮐﺮدن ‪ x‬در‬ ‫‪n‬‬

‫اﺳﺖ. ﺧﻼﺻﻪای از ﭘﺎراﻣﺘﺮﻫﺎی ﺟﺎﻣﻌﻪ و ﺑﺮآوردﻫﺎی ﻧﻤﻮﻧﻪای )ﺑﺮ اﺳﺎس ﻓﺮﻣﻮﻟﻬﺎی ﺑﺎﻻ و ﻓﺮﻣﻮﻟﻬﺎی‬ ‫ﺟﺪاول 2.1 و 2.2( ﺑﻪ ﺷﺮح زﯾﺮ اراﺋﻪ ﻣﯽﺷﻮﻧﺪ.‬
‫ﺑﺮآورد از ﻧﻤﻮﻧﻪ‬ ‫ﭘﺎراﻣﺘﺮ ﺟﺎﻣﻌﻪ‬ ‫721 = ‪X‬‬ ‫80/5 = ‪X‬‬
‫19/76 = 2 ‪σ‬‬ ‫‪x‬‬

‫52‬ ‫22/222= )08( )‬ ‫9‬ ‫98/8 = ‪x‬‬
‫(= ‪x‬‬
‫= 2 ˆ‪σ‬‬ ‫‪x‬‬

‫= ‪py‬‬
‫2‬

‫42‬ ‫11/021 = )11/521( )‬ ‫52‬ ‫7‬ ‫87/0 = ) (‬ ‫9‬
‫(‬ ‫(‬
‫42‬ ‫6681/0 = )4491/0( )‬ ‫52‬

‫= ‪Py‬‬
‫2‬

‫65/0‬ ‫642/0‬

‫ˆ‬ ‫‪σ‬‬

‫=‬

‫‪σ‬‬

‫=‬

‫ﺟﺎﻣﻌﻪ و ﻧﻤﻮﻧﻪ‬

‫82‬

‫از ﺧﻼﺻﻪ ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت در ﻣﺜﺎل ﺑﺎﻻ ﻣﺘﻮﺟﻪ ﻣﯽﺷﻮﯾﻢ ﮐﻪ ﺑﺮآوردﻫﺎی ﭘﺎراﻣﺘﺮﻫﺎی ﺟﺎﻣﻌﻪ از ﻧﻤﻮﻧﮥ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﺪۀ‬ ‫ﺧﺎص، ﻧﻪ ﺑﺎ ﭘﺎراﻣﺘﺮﻫﺎی ﺟﺎﻣﻌﮥ ﻣﻮرد ﺑﺮآورد ﺑﺮاﺑﺮﻧﺪ و ﻧﻪ ﺣﺘﯽ ﺑﻪ ﻣﻘﺎدﯾﺮ واﻗﻌﯽ اﯾﻦ ﭘﺎراﻣﺘﺮﻫﺎ ﺧﯿﻠﯽ‬ ‫ﻧﺰدﯾﮏاﻧﺪ. اﮔﺮ ﻧﻤﻮﻧﮥ دﯾﮕﺮی ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺑﻮدﯾﻢ، ﺑﺮآوردﻫﺎﯾﯽ ﻣﺘﻔﺎوت ﺑﺎ اﯾﻦ ﭘﺎراﻣﺘﺮﻫﺎ ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﯽآوردﯾﻢ ﮐﻪ‬ ‫ﻣﻤﮑﻦ ﺑﻮد ﯾﺎ ﺑﻪ ﻣﻘﺎدﯾﺮ واﻗﻌﯽ ﭘﺎراﻣﺘﺮﻫﺎ ﻧﺰدﯾﮑﺘﺮ ﯾﺎ ﺑﺎز ﻫﻢ دورﺗﺮ ﺑﺎﺷﻨﺪ. ﭼﻮن ﻫﯿﭻ وﻗﺖ ﺣﻘﯿﻘﺘﺎ ﻣﻘﺎدﯾﺮ‬ ‫ً‬ ‫واﻗﻌﯽ ﭘﺎراﻣﺘﺮﻫﺎی ﺟﺎﻣﻌﻪ را ﮐﻪ از روی ﻧﻤﻮﻧﻪ ﺑﺮآورد ﻣﯽﮐﻨﯿﻢ ﻧﻤﯽداﻧﯿﻢ، ﻫﯿﭻ وﻗﺖ درﺳﺖ ﻧﻤﯽداﻧﯿﻢ ﮐﻪ‬ ‫ﺑﺮآوردﻫﺎی ﺟﺎﻣﻌﻪای ﻣﺎ واﻗﻌﺎً ﭼﻘﺪر ﻣﻨﺎﺳﺐ ﯾﺎ ﻧﺎﻣﻨﺎﺳﺐاﻧﺪ. وﻟﯽ اﮔﺮ ﺑﺮﻧﺎﻣﮥ ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ﻣﺎ از ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی‬ ‫اﺣﺘﻤﺎﻻﺗﯽ اﺳﺘﻔﺎده ﮐﻨﺪ در آن ﺻﻮرت ﻣﯽﺗﻮاﻧﯿﻢ از ﻧﻈﺮ رﯾﺎﺿﯽ اﯾﻦ ﺷﻨﺎﺧﺖ را ﭘﯿﺪا ﮐﻨﯿﻢ ﮐﻪ ﺑﺮآوردﻫﺎی‬ ‫ﻣﺎ اﺣﺘﻤﺎل دارد ﮐﻪ از ﻣﻘﺎدﯾﺮ واﻗﻌﯽ ﻧﺎﻣﻌﻠﻮم ﭼﻘﺪر ﻓﺎﺻﻠﻪ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ. ﺑﺮای اﻧﺠﺎم اﯾﻦ ﮐﺎر ﺑﺎﯾﺪ ﻣﻄﺎﻟﺒﯽ‬ ‫درﺑﺎرۀ ﺗﻮزﯾﻊ ﺑﺮآوردﻫﺎی ﺟﺎﻣﻌﻪای در ﺗﻤﺎم ﻧﻤﻮﻧﻪﻫﺎی ﻣﻤﮑﻦ ﺑﺪاﻧﯿﻢ ﮐﻪ ﻣﯽﺗﻮاﻧﺪ از ﺑﺮﻧﺎﻣﮥ ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی‬ ‫ﺧﺎﺻﯽ ﮐﻪ ﺑﻪ ﮐﺎر رﻓﺘﻪ اﺳﺖ ﺣﺎﺻﻞ ﺷﻮد. در ﺑﺨﺶ ﺑﻌﺪ ﺑﻪ ﺷﺮح و ﺑﺴﻂ روشﺷﻨﺎﺳﯽ ﺑﻪ دﺳﺖ آوردن‬ ‫اﯾﻦ ﻗﺒﯿﻞ اﻃﻼﻋﺎت از ﻧﻤﻮﻧﻪﻫﺎی اﺣﺘﻤﺎﻻﺗﯽ ﻣﯽﭘﺮدازﯾﻢ.‬

‫2.3 ﺗﻮزﯾﻌﻬﺎی ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی‬
‫در ﺑﺨﺶ ﻗﺒﻞ درﺑﺎرۀ ﺑﺮآورد ﭘﺎراﻣﺘﺮﻫﺎی ﺟﺎﻣﻌﻪ از روی ﻧﻤﻮﻧﻪ ﺑﺤﺚ ﮐﺮدﯾﻢ. در اﯾﻦ ﺑﺨﺶ ﺑﻪ ﺗﻮزﯾﻊ اﯾﻦ‬ ‫ﺑﺮآوردﻫﺎی ﭘﺎراﻣﺘﺮﻫﺎی ﺟﺎﻣﻌﻪ در ﻫﻤﮥ ﻧﻤﻮﻧﻪﻫﺎی ﻣﻤﮑﻦ ﻣﯽﭘﺮدازﯾﻢ ﮐﻪ ﻣﯽﺗﻮاﻧﻨﺪ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﯾﮏ ﺑﺮﻧﺎﻣﮥ‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ﺧﺎص اﯾﺠﺎد ﺷﻮﻧﺪ.‬ ‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﻢ ﯾﮏ ﺑﺮﻧﺎﻣﮥ ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی و ﺷﯿﻮۀ ﺑﺮآورد ﮐﺮدن ﺧﺎص ﺑﺘﻮاﻧﺪ ﺑﻪ ‪ T‬ﻧﻤﻮﻧﮥ ﻣﻤﮑﻦ از ﯾﮏ‬
‫ˆ‬ ‫ﺟﺎﻣﻌﮥ ﻣﻌﯿﻦ ﺑﯿﻨﺠﺎﻣﺪ و ﯾﮏ ﻧﻤﻮﻧﮥ ﺧﺎص، ﺑﺮآورد ‪ d‬را از ﭘﺎراﻣﺘﺮ ﺟﺎﻣﻌﻪای ‪ d‬ﺑﻪ دﺳﺖ دﻫﺪ. ﺗﻮزﯾﻊ‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫ﻓﺮاواﻧﯽ ﻧﺴﺒﯽ ‪ d‬در ‪ T‬ﻧﻤﻮﻧﮥ ﻣﻤﮑﻦ را ﺗﻮزﯾﻊ ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ‪ d‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺑﺮﻧﺎﻣﮥ ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ﺧﺎص و ﺷﯿﻮۀ‬

‫ﺑﺮآورد ﻣﯽﻧﺎﻣﻨﺪ.‬ ‫ﺑﺮای ﻧﺸﺎن دادن ﺗﻮزﯾﻊ ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی، ﻣﺜﺎل زﯾﺮ را ﺑﺮرﺳﯽ ﻣﯽﮐﻨﯿﻢ.‬ ‫ﻣﺜﺎل ﺗﺸﺮﯾﺤﯽ: ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﯾﮏ ﻣﺤﻠﮥ ﻓﺮﺿﯽ ﺷﺶ ﻣﺪرﺳﻪ دارد. اﯾﻦ ﺟﺎﻣﻌﮥ آﻣﺎری ﻣﺘﺸﮑﻞ از ﺷﺶ‬ ‫ﻣﺪرﺳﻪ، در ﺟﺪول 2.3 اراﺋﻪ ﺷﺪه اﺳﺖ. ﺣﺎل ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﻣﯽﺧﻮاﻫﯿﻢ ﺑﺮای ﺑﺮآورد ﮐﻞ ﺗﻌﺪاد داﻧﺶآﻣﻮزان‬ ‫اﯾﻤﻦﺳﺎزی ﻧﺸﺪه در ﺑﺮاﺑﺮ ﺳﺮﺧﮏ در اﯾﻦ ﺷﺶ ﻣﺪرﺳﮥ ﻣﺤﻠﻪ، ﻧﻤﻮﻧﻪای دو ﻣﺪرﺳﻪای ﺑﮕﯿﺮﯾﻢ. ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ‬ ‫ﯾﮏ ﺑﺮﻧﺎﻣﮥ ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﻢ ﮐﻪ ﺷﺶ ﭘﺎﮐﺖ ﻣﺸﺎﺑﻪ را ﺑﮕﯿﺮﯾﻢ و در ﻫﺮ ﯾﮏ ﮐﺎرﺗﯽ ﺑﮕﺬارﯾﻢ ﮐﻪ از 1‬ ‫ﺗﺎ 6 ﺷﻤﺎرهﮔﺬاری ﺷﺪهاﻧﺪ و در ﭘﺎﮐﺘﻬﺎ را ﺑﺒﻨﺪﯾﻢ. ﺑﻌﺪ ﭘﺎﮐﺘﻬﺎ را داﺧﻞ ﯾﮏ ﮐﻼه ﮔﺬاﺷﺘﻪ و ﺧﻮب آﻧﻬﺎ را ﺑﺮ‬ ‫ﺑﺰﻧﯿﻢ. ﺳﭙﺲ دو ﭘﺎﮐﺖ را از درون ﮐﻼه ﺑﺮداﺷﺘﻪ و دو ﻣﺪرﺳﻪای را ﮐﻪ ﺷﻤﺎرۀ آﻧﻬﺎ روی ﮐﺎرﺗﻬﺎی داﺧﻞ‬ ‫ﭘﺎﮐﺘﻬﺎی اﻧﺘﺨﺎﺑﯽ اﺳﺖ در ﻧﻤﻮﻧﻪ ﺟﺎی دﻫﯿﻢ. ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ اﻃﻼﻋﺎت ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ وﺿﻌﯿﺖ اﯾﻤﻦﺳﺎزی در‬

‫92‬

‫2.3 ﺗﻮزﯾﻌﻬﺎی ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی‬

‫ﺑﺮاﺑﺮ ﺳﺮﺧﮏ را از ﻫﺮ ﮐﻮدک در ﻣﺪرﺳﻪﻫﺎی ﻧﻤﻮﻧﻪ ﺑﻪ دﺳﺖ آوردهاﯾﻢ. ﺗﻌﺪاد ﮐﻞ داﻧﺶآﻣﻮزان‬ ‫اﯾﻤﻦﺳﺎزی ﻧﺸﺪه در ﻣﻘﺎﺑﻞ ﺳﺮﺧﮏ ﺑﺎ روی ﻫﻢ رﯾﺨﺘﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﻬﺎی ﻧﻤﻮﻧﻪای در دو ﻣﺪرﺳﮥ ﻧﻤﻮﻧﻪ از‬ ‫ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﯽآﯾﺪ ﮐﻪ در اﯾﻨﺠﺎ 6= ‪ N‬و 2= ‪ n‬اﺳﺖ. اﯾﻦ ﺷﯿﻮه، 51 ﻧﻤﻮﻧﮥ ﻣﻤﮑﻦ ﺑﻪ دﺳﺖ‬
‫‪N‬‬ ‫ﻃﺮﯾﻖ ﻧﺴﺒﺖ‬ ‫‪n‬‬

‫ﻣﯽدﻫﺪ ﮐﻪ ﻫﻤﻪ ﺷﺎﻧﺲ ﺑﺮاﺑﺮ و ﯾﮑﺴﺎﻧﯽ ﺑﺮای اﻧﺘﺨﺎب ﺷﺪن دارﻧﺪ. ﺑﺮﺣﺴﺐ ﻧﻤﺎدﮔﺬاری ﺗﻮﺻﯿﻒ ﺷﺪه در‬
‫ˆ‬ ‫ﺗﻌﺮﯾﻒ ﺗﻮزﯾﻊ ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی، دارﯾﻢ 51= ‪ T‬و03= ‪ d = X‬و ﻫﺮ ‪ d‬ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ ′ ‪ x‬اﺳﺖ ﮐﻪ ‪ X‬و ′‪ x‬ﺑﻪ ﺗﺮﺗﯿﺐ‬

‫ﻣﺠﻤﻮع ﮐﻞ ﺟﺎﻣﻌﻪ و ﻣﺠﻤﻮع ﺑﺮآورد ﺷﺪۀ ﺟﺎﻣﻌﮥ آﻣﺎری ﻫﺴﺘﻨﺪ. 51 ﻧﻤﻮﻧﮥ ﻣﻤﮑﻦ ﮐﻪ از اﯾﻦ ﺑﺮﻧﺎﻣﮥ‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﯽآﯾﻨﺪ ﻫﻤﺮاه ﺑﺎ ﻣﻘﺎدﯾﺮ ′‪ x‬در ﺟﺪول 2.4 ﻓﻬﺮﺳﺖ ﺷﺪهاﻧﺪ.‬
‫ﺟﺪول 2.3 دادهﻫﺎی ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﺗﻌﺪاد داﻧﺶآﻣﻮزان اﯾﻤﻦ ﺳﺎزی ﻧﺸﺪه در ﺑﺮاﺑﺮ ﺳﺮﺧﮏ در ﺷﺶ ﻣﺪرﺳﮥ ﻣﺤﻠﻪ‬ ‫داﻧﺶآﻣﻮزان اﯾﻤﻦﺳﺎزی ﻧﺸﺪه در ﺑﺮاﺑﺮ ﺳﺮﺧﮏ‬ ‫ﻧﺴﺒﺖ‬ ‫860/0‬ ‫971/0‬ ‫330/0‬ ‫860/0‬ ‫491/0‬ ‫041/0‬ ‫690/0‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع‬ ‫4‬ ‫5‬ ‫3‬ ‫3‬ ‫7‬ ‫8‬ ‫03‬ ‫ﺗﻌﺪاد داﻧﺶآﻣﻮزان‬ ‫95‬ ‫82‬ ‫09‬ ‫44‬ ‫63‬ ‫75‬ ‫413‬ ‫ﻣﺪرﺳﻪ‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫4‬ ‫5‬ ‫6‬ ‫ﺟﻤﻊ‬

‫1‬ ‫ﭼﻮن ﻫﺮ ﯾﮏ از 51 ﻧﻤﻮﻧﮥ ﻓﻬﺮﺳﺖ ﺷﺪه در ﺟﺪول 2.4 ﺷﺎﻧﺲ ﯾﮑﺴﺎن ‪  ‬ﺑﺮای اﻧﺘﺨﺎب ﺷﺪن دارﻧﺪ،‬ ‫‪ ‬‬
‫ﻣﯽﺗﻮاﻧﯿﻢ ﺗﻮزﯾﻊ ﻓﺮاواﻧﯽ ′‪ x‬را ﺑﻪ دﺳﺖ آورﯾﻢ. ﺟﺪول 2.5 ﺗﻮزﯾﻊ ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ﻣﺠﻤﻮع ﺑﺮآورد ﺷﺪه، ′‪ ، x‬را‬ ‫ﻧﺸﺎن ﻣﯽدﻫﺪ.‬ ‫ﻓﺮاواﻧﯿﻬﺎی ﻧﺴﺒﯽ در آﺧﺮﯾﻦ ﺳﺘﻮن ﺟﺪول 2.5 ﻧﺸﺎندﻫﻨﺪۀ ﮐﺴﺮ ﻫﻤﮥ ﻧﻤﻮﻧﻪﻫﺎﯾﯽ اﺳﺖ ﮐﻪ ﻣﻘﺎدﯾﺮ‬
‫ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ′‪ x‬را ﻣﯽﭘﺬﯾﺮﻧﺪ. ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از اﯾﻦ ﻓﺮاواﻧﯿﻬﺎی ﻧﺴﺒﯽ ﻣﯽﺗﻮاﻧﯿﻢ ﺗﺼﻮﯾﺮی از ﺗﻮزﯾﻊ ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ′‪x‬‬

‫‪ 15 ‬‬

‫رﺳﻢ ﮐﻨﯿﻢ ﮐﻪ در ﺷﮑﻞ 2.1 ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﺳﺖ.‬ ‫ﺗﻮزﯾﻌﻬﺎی ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی را ﻣﯽﺗﻮان ﺑﺎ ﻣﺸﺨﺼﻪﻫﺎی ﻣﻌﯿﻨﯽ ﺗﻮﺻﯿﻒ ﮐﺮد. ﺑﺮای ﻣﻘﺎﺻﺪ ﻣﺎ ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ و‬ ‫وارﯾﺎﻧﺲ )ﯾﺎ رﯾﺸﮥ دوم آن ﯾﻌﻨﯽ اﻧﺤﺮاف ﻣﻌﯿﺎر( دو ﻣﺸﺨﺼﻪای ﻫﺴﺘﻨﺪ ﮐﻪ از ﻫﻤﻪ ﺑﯿﺸﺘﺮ اﻫﻤﯿﺖ دارﻧﺪ و‬ ‫ﺑﻌﺪاً ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣﯽﺷﻮﻧﺪ.‬

‫ﺟﺎﻣﻌﻪ و ﻧﻤﻮﻧﻪ‬
‫ﺟﺪول 2.4 ﻧﻤﻮﻧﻪﻫﺎی ﻣﻤﮑﻦ و ﻣﻘﺎدﯾﺮ ′‪x‬‬ ‫′‪x‬‬

‫03‬

‫ﻣﺪرﺳﻪﻫﺎی ﻧﻤﻮﻧﻪ‬ ‫1,2‬ ‫1,3‬ ‫1,4‬ ‫1,5‬ ‫1,6‬ ‫2,3‬ ‫2,4‬ ‫2,5‬ ‫2,6‬ ‫3,4‬ ‫3,5‬ ‫3,6‬ ‫4,5‬ ‫4,6‬ ‫5,6‬ ‫ﺟﺪول 2.5 ﺗﻮزﯾﻌﻬﺎی ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ﺑﺮای دادهﻫﺎی ﺟﺪول 2.4‬

‫ﻧﻤﻮﻧﻪ‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫4‬ ‫5‬ ‫6‬ ‫7‬ ‫8‬ ‫9‬ ‫01‬ ‫11‬ ‫21‬ ‫31‬ ‫41‬ ‫51‬

‫72‬ ‫12‬ ‫12‬ ‫33‬ ‫63‬ ‫42‬ ‫42‬ ‫63‬ ‫93‬ ‫81‬ ‫03‬ ‫33‬ ‫03‬ ‫33‬ ‫54‬

‫ﻓﺮاواﻧﯽ ﻧﺴﺒﯽ‬
‫1‬ ‫51‬
‫2‬

‫ﻓﺮاواﻧﯽ‬
‫1‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫1‬

‫′‪x‬‬

‫81‬ ‫12‬ ‫42‬ ‫72‬ ‫03‬ ‫33‬ ‫63‬ ‫93‬ ‫54‬

‫51‬
‫2‬

‫51‬ ‫1‬ ‫51‬
‫2‬

‫51‬
‫3‬

‫51‬
‫2‬

‫51‬ ‫1‬ ‫51‬ ‫1‬ ‫51‬

‫13‬
‫ˆ‬ ‫ﺑﺮآورد ﺷﺪه ‪ d‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﯾﮏ ﺑﺮﻧﺎﻣﮥ ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ﺧﺎص ﮐﻪ ‪T‬‬

‫2.3 ﺗﻮزﯾﻌﻬﺎی ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی‬

‫ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺗﻮزﯾﻊ ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ﭘﮏ ﭘﺎراﻣﺘﺮ‬

‫ˆ‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﮥ ﻣﻤﮑﻦ ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﯽدﻫﺪ و ﺑﻪ ‪ C‬ﻣﻘﺪار ﻣﻤﮑﻦ ﺑﺮای ‪ d‬ﻣﯽاﻧﺠﺎﻣﺪ ﺑﻪ ﻧﺎم ﻣﻘﺪار ﻣﻮرد اﻧﺘﻈﺎر ﻧﯿﺰ‬ ‫ˆ‬ ‫ﻣﻮﺳﻮم اﺳﺖ ﮐﻪ آن را ﺑﺎ ) ‪ E (d‬ﻧﺸﺎن ﻣﯽدﻫﻨﺪ و ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣﯽﺷﻮد :‬

‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫‪E (d ) = ∑ d iπ i‬‬
‫1= ‪i‬‬

‫‪c‬‬

‫)2.71(‬

‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫ﮐﻪ در آن ‪ di‬ﻣﻘﺪار ﺧﺎﺻﯽ از ‪ d‬اﺳﺖ و ‪ π i‬اﺣﺘﻤﺎل ﺑﻪ دﺳﺖ آوردن آن ﻣﻘﺪار ﺧﺎص ‪ d‬اﺳﺖ. )ﺗﻮﺟﻪ‬

‫= ‪ ، π i‬ﮐﻪ ‪ f i‬ﺗﻌﺪاد دﻓﻌﺎﺗﯽ اﺳﺖ ﮐﻪ ﻣﻘﺪار‬

‫‪fi‬‬ ‫ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ اﮔﺮ اﺣﺘﻤﺎل اﻧﺘﺨﺎب ﻫﺮ ﻧﻤﻮﻧﻪ ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎﺷﺪ، آﻧﮕﺎه‬ ‫‪T‬‬ ‫ˆ‬ ‫ﺧﺎص ‪ d i‬از ‪ d‬روی ﻣﯽدﻫﺪ(.‬

‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫وارﯾﺎﻧﺲ ﺗﻮزﯾﻊ ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ﭘﺎراﻣﺘﺮ ﺑﺮآورد ﺷﺪه ‪ d‬ﯾﻌﻨﯽ ) ‪ Var (d‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﯾﮏ ﻃﺮح ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی‬

‫ﺧﺎص از ﻓﺮﻣﻮل زﯾﺮ ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﯽآﯾﺪ:‬
‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫‪Var (d ) = ∑ [d i − E (d )]2π i‬‬
‫1= ‪i‬‬ ‫‪c‬‬

‫)2.81(‬

‫ﻫﻢ ارز ﺟﺒﺮی اﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﮐﻪ ﻣﯽﺗﻮاﻧﺪ ﺑﺮای ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت ﺑﻪ ﮐﺎر رود ﻋﺒﺎرت اﺳﺖ از:‬
‫ˆ‬ ‫2ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫) ‪Var (d ) = ∑ d i π i − E 2 (d‬‬
‫1= ‪i‬‬ ‫‪c‬‬

‫)2.91(‬

‫3‬ ‫51‬

‫ﻓﺮاواﻧﯽ ﻧﺴﺒﯽ‬

‫2‬ ‫51‬

‫1‬ ‫51‬
‫81‬
‫81‬

‫12‬

‫12‬

‫42‬

‫42‬

‫72‬

‫72‬

‫03‬

‫03‬

‫33‬

‫33‬

‫63‬

‫63‬

‫93‬

‫93‬

‫54‬

‫54‬

‫ﺑﺮآورد ﺗﻌﺪاد داﻧﺶآﻣﻮزان اﯾﻤﻦﺳﺎزی ﻧﺸﺪه‬
‫ﺷﮑﻞ 2.1 ﺗﻮزﯾﻊ ﻓﺮاواﻧﯽ ﻧﺴﺒﯽ ﺗﻮزﯾﻊ ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ′‪x‬‬

‫ﺟﺎﻣﻌﻪ و ﻧﻤﻮﻧﻪ‬

‫23‬

‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫اﻧﺤﺮاف ﻣﻌﯿﺎر ) ‪ SE (d‬ﺗﻮزﯾﻊ ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ﭘﺎراﻣﺘﺮ ﺑﺮآورد ﺷﺪه ‪ d‬ﺑﯿﺸﺘﺮ ﺑﻪ ﻧﺎم ﺧﻄﺎی ﻣﻌﯿﺎر ‪ d‬ﻣﺸﻬﻮر‬
‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫اﺳﺖ، و ﻋﺒﺎرت اﺳﺖ از رﯾﺸﮥ دوم وارﯾﺎﻧﺲ ) ‪ Var (d‬ﺗﻮزﯾﻊ ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ‪: d‬‬

‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫) ‪SE (d ) = Var (d‬‬

‫[‬

‫]‬

‫21‬

‫)2.02(‬

‫ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از اﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪﻫﺎی ﮐﻠﯽ ﻣﯽﺗﻮاﻧﯿﻢ ﻓﺮﻣﻮﻟﻬﺎﯾﯽ ﺑﺮای ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ و وارﯾﺎﻧﺲ )و از اﯾﻦ ﻃﺮﯾﻖ‬ ‫ﺑﺮای ﺧﻄﺎی ﻣﻌﯿﺎر( ﺗﻮزﯾﻊ ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻨﻬﺎ، ﻣﺠﻤﻮﻋﻬﺎ و ﻧﺴﺒﺘﻬﺎ ﺑﻪ دﺳﺖ آورﯾﻢ. ﺑﺮای راﺣﺘﯽ ﮐﺎر در‬ ‫ارﺟﺎﻋﺎت ﺑﻌﺪی، اﯾﻦ ﻓﺮﻣﻮﻟﻬﺎ در دو ﺗﺎﺑﻠﻮی ﺑﻌﺪی ﺧﻼﺻﻪ ﺷﺪهاﻧﺪ.‬ ‫وﻗﺘﯽ ﻫﺮ ﻧﻤﻮﻧﻪ، اﺣﺘﻤﺎل ﯾﮑﺴﺎن ﺑﺮای اﻧﺘﺨﺎب ﺷﺪن ﻧﺪاﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ ﯾﺎ در ﺻﻮرﺗﯽ ﮐﻪ ﺑﺨﻮاﻫﯿﻢ ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻨﻬﺎ‬ ‫و وارﯾﺎﻧﺴﻬﺎی ﺗﻮزﯾﻊ ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی را ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺎً از ﯾﮏ ﺗﻮزﯾﻊ ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ﻣﺎﻧﻨﺪ ﺗﻮزﯾﻊ اراﺋﻪ ﺷﺪه در‬ ‫ﺟﺪول 2.5 ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﻢ، ﺑﺎﯾﺪ از ﻓﺮﻣﻮﻟﻬﺎی ﺗﺎﺑﻠﻮی 2.4 اﺳﺘﻔﺎده ﮐﻨﯿﻢ.‬ ‫ﺣﺎل ﺑﺒﯿﻨﯿﻢ ﭼﮕﻮﻧﻪ ﻣﯽﺗﻮان از ﺑﻌﻀﯽ از اﯾﻦ ﻓﺮﻣﻮﻟﻬﺎ در ﻋﻤﻞ اﺳﺘﻔﺎده ﮐﺮد. ﺑﺮای اﯾﻦ ﻣﻨﻈﻮر از‬ ‫دادهﻫﺎی ﻣﺜﺎل ﻗﺒﻞ اﺳﺘﻔﺎده ﻣﯽﮐﻨﯿﻢ.‬
‫ˆ‬ ‫ﻣﺜﺎل ﺗﺸﺮﯾﺤﯽ: در ﻣﺜﺎل ﻗﺒﻞ ′‪ C = 9, T = 15 , d = x‬و ‪ π i‬ﻫﺎ ﻓﺮاواﻧﯿﻬﺎی ﻧﺴﺒﯽ واﺑﺴﺘﻪ ﺑﻪ ﻫﺮ ﯾﮏ از‬

‫ﻣﻘﺪارﻫﺎی ﺧﺎص ′‪ x‬اﺳﺖ. ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ )′‪ ، E (x‬ﺗﻮزﯾﻊ ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ′‪ ، x‬ﺑﺮای اﯾﻦ ﻣﺜﺎل )ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻓﺮﻣﻮﻟﻬﺎی‬ ‫ﺗﺎﺑﻠﻮی 2.4( ﭼﻨﯿﻦ اﺳﺖ:‬
‫9‬ ‫‪f‬‬ ‫) ‪E ( x′) = ∑ xi′( i‬‬ ‫51‬ ‫1= ‪i‬‬

‫1 ( 72 + ) 2 ( 42 + ) 2 ( 12 + ) 1‬ ‫51‬ ‫51‬ ‫51‬ ‫51‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫0 3 = ) ( 54 + ) ( 93 + ) ( 63 + ) ( 33 +‬ ‫51‬ ‫51‬ ‫51‬ ‫51‬
‫( 81 =‬

‫( 03 + )‬

‫)2‬ ‫51‬

‫وارﯾﺎﻧﺲ )′‪ Var (x‬ﺗﻮزﯾﻊ ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ′‪ x‬ﭼﻨﯿﻦ اﺳﺖ:‬
‫81( = )′ ‪Var ( x‬‬

‫) 2 ( 2 ) 03 − 12( + ) 1 ( 2 ) 03 −‬ ‫51‬ ‫51‬ ‫) 3 ( 2 ) 03 − 33( + ) 2 ( 2 ) 03 − 03( + ) 1 ( 2 ) 03 − 72( + ) 2‬ ‫( 2 ) 03 − 42( +‬ ‫51‬ ‫51‬ ‫51‬ ‫51‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫8/25 = ) ( 2 ) 03 − 54( + ) ( 2 ) 03 − 93( + ) ( 2 ) 03 − 63( +‬ ‫51‬ ‫51‬ ‫51‬
‫ﺧﻄﺎی ﻣﻌﯿﺎر ′‪ x‬ﻋﺒﺎرت اﺳﺖ از:‬
‫= )′ ‪SE (x‬‬

‫82/7 = 8/25‬

‫33‬

‫2.3 ﺗﻮزﯾﻌﻬﺎی ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی‬

‫ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ و وارﯾﺎﻧﺲ ﺗﻮزﯾﻊ ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی در ﺻﻮرﺗﯽ ﮐﻪ ﻫﺮ ﻧﻤﻮﻧﻪ دارای اﺣﺘﻤﺎل‬ ‫ﺑﺮای اﻧﺘﺨﺎب ﺷﺪن ﺑﺎﺷﺪ‬
‫‪T‬‬

‫ﺗﺎﺑﻠﻮی 2.3‬

‫ﯾﮑﺴﺎن 1‬
‫ﺑﺮای ﻣﺠﻤﻮﻋﻬﺎ‬

‫∑‬ ‫= )′ ‪E ( x‬‬

‫‪T‬‬ ‫1= ‪i‬‬

‫′‪xi‬‬

‫‪T‬‬

‫∑‬ ‫= )′ ‪Var ( x‬‬

‫‪T‬‬ ‫1= ‪i‬‬

‫2])′ ‪[ xi′ − E ( x‬‬ ‫‪T‬‬

‫)2.12(‬

‫ﮐﻪ در آﻧﻬﺎ، ′‪ ، xi‬ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﺷﺪۀ ‪ i‬اﻣﯿﻦ ﻧﻤﻮﻧﮥ ﻣﻤﮑﻦ اﺳﺖ ﮐﻪ از ﺟﺎﻣﻌﻪ اﻧﺘﺨﺎب ﺷﺪه اﺳﺖ. ﺗﻮﺟﻪ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ‬ ‫ﺑﺮﺧﯽ از ﻣﻘﺪارﻫﺎی ′‪ xi‬ﻣﻤﮑﻦ اﺳﺖ از ﻧﻤﻮﻧﻪای ﺑﻪ ﻧﻤﻮﻧﮥ دﯾﮕﺮ ﯾﮑﺴﺎن ﺑﺎﺷﺪ، وﻟﯽ ﻫﻤﮥ ﻣﻘﺎدﯾﺮ ﺗﺤﻘﻖ ﯾﺎﻓﺘﻪ در‬ ‫ﺟﻤﻊ ﻣﻨﻈﻮر ﻣﯽﺷﻮﻧﺪ ﺣﺘﯽ اﮔﺮ ﺗﮑﺮاری ﺑﺎﺷﻨﺪ.‬ ‫ﺑﺮای ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻨﻬﺎ‬

‫∑‬ ‫= )‪E(x‬‬

‫‪T‬‬ ‫1= ‪i‬‬

‫‪xi‬‬

‫‪T‬‬

‫∑‬ ‫= ) ‪Var ( x‬‬

‫‪T‬‬ ‫1= ‪i‬‬

‫2]) ‪[ xi − E ( x‬‬ ‫‪T‬‬

‫)2.22(‬
‫ﺑﺮای ﻧﺴﺒﺘﻬﺎ‬

‫‪E( p y‬‬

‫∑‬ ‫=)‬

‫‪T‬‬ ‫1= ‪i‬‬

‫‪p yi‬‬

‫‪T‬‬

‫‪Var ( p y‬‬

‫∑‬ ‫=)‬

‫‪T‬‬ ‫1= ‪i‬‬

‫2]) ‪[ p yi − E ( p y‬‬ ‫‪T‬‬

‫)2.32(‬

‫در اﯾﻦ ﻓﺮﻣﻮﻟﻬﺎ ‪ ، T‬ﺗﻌﺪاد ﻧﻤﻮﻧﻪﻫﺎی ﻣﻤﮑﻦ اﺳﺖ.‬

‫ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ و وارﯾﺎﻧﺲ ﺗﻮزﯾﻊ ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی در ﺻﻮرﺗﯽ ﮐﻪ ﻫﺮ ﻧﻤﻮﻧﻪ دارای اﺣﺘﻤﺎل‬

‫ﺗﺎﺑﻠﻮی 2.4‬

‫ﯾﮑﺴﺎن ﺑﺮای اﻧﺘﺨﺎب ﺷﺪن ﻧﺒﺎﺷﺪ*.‬
‫ﺑﺮای ﻣﺠﻤﻮﻋﻬﺎ‬
‫‪E ( x ′) = ∑i =1 xi′π i‬‬
‫‪C‬‬

‫‪Var ( x ′) = ∑i =1 [ xi′ − E ( x ′)]2π i‬‬
‫‪C‬‬

‫)2.42(‬
‫ﺑﺮای ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻨﻬﺎ‬

‫‪E ( x ) = ∑i =1 xiπ i‬‬
‫‪C‬‬

‫‪Var ( x ) = ∑i =1 [ xi − E ( x )]2π i‬‬
‫‪C‬‬

‫)2.52(‬
‫ﺑﺮای ﻧﺴﺒﺘﻬﺎ‬

‫‪E ( p y ) = ∑i =1 p yiπ i‬‬
‫‪C‬‬

‫‪Var ( p y ) = ∑i =1 [ p yi − E ( p y )]2π i‬‬
‫‪C‬‬

‫)2.62(‬

‫= ‪ ، π i‬ﻧﺴﺒﺖ ﻫﻤﺎن ﻣﻘﺪار ‪ i‬اﻣﯿﻦ ﻣﻘﺪار ﯾﮑﺘﺎی‬

‫‪fi‬‬ ‫در اﯾﻦ ﻓﺮﻣﻮﻟﻬﺎ ‪ ، C‬ﺗﻌﺪاد ﻣﻘﺪارﻫﺎی ﯾﮑﺘﺎی ﻣﻤﮑﻦ آﻣﺎره، و‬ ‫‪T‬‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ و ‪ ، f i‬ﻓﺮاواﻧﯽ روﯾﺪادﻫﺎ در ﺗﻮزﯾﻊ ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ‪ i‬اﻣﯿﻦ ﺗﺤﻘﻖ و ‪ T‬ﺗﻌﺪاد ﻧﻤﻮﻧﻪﻫﺎی ﻣﻤﮑﻦ اﺳﺖ.‬

‫* ﯾﺎ در ﺻﻮرﺗﯽ ﮐﻪ ﻣﻘﺎدﯾﺮ ﻣﺠﻤﻮﻋﻬﺎ، ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻨﻬﺎ ﯾﺎ ﻧﺴﺒﺘﻬﺎ ﺑﺎ ﻓﺮاواﻧﯽ ﻧﺴﺒﯽ ﯾﮑﺴﺎن در ﺗﻤﺎم ﻧﻤﻮﻧﻪﻫﺎی ﻣﻤﮑﻦ‬
‫روی ﻧﺪاده ﺑﺎﺷﻨﺪ.‬

‫ﺟﺎﻣﻌﻪ و ﻧﻤﻮﻧﻪ‬

‫43‬

‫2.4 ﻣﺸﺨﺼﻪﻫﺎی ﺑﺮآوردﻫﺎی ﭘﺎراﻣﺘﺮﻫﺎی ﺟﺎﻣﻌﻪ‬
‫در ﺑﺨﺶ ﻗﺒﻞ، ﻣﻔﻬﻮم ﺗﻮزﯾﻊ ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ﺑﺮآورد ﯾﮏ ﭘﺎراﻣﺘﺮ ﺟﺎﻣﻌﻪ را ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﯾﮏ ﺑﺮﻧﺎﻣﮥ ﺧﺎص‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ﺷﺮح دادﯾﻢ. ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ ﻣﻔﺎﻫﯿﻢ ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺗﻮزﯾﻊ ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ﯾﮏ ﺑﺮآورد ﺟﺎﻣﻌﻪای و ﺧﻄﺎی‬ ‫ﻣﻌﯿﺎر ﺑﺮآورد را ﻧﯿﺰ اراﺋﻪ دادﯾﻢ. اﮐﻨﻮن ﻣﯽﺗﻮاﻧﯿﻢ ﺧﻮاص ﻣﻌﯿﻨﯽ از ﺑﺮآوردﻫﺎی ﺟﺎﻣﻌﻪای را ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﯾﻦ‬ ‫ﻣﻔﺎﻫﯿﻢ ﺑﻪ ﺑﺤﺚ ﺑﮕﺬارﯾﻢ. از ﻧﻈﺮ ﺷﻬﻮدی واﺿﺢ اﺳﺖ ﮐﻪ ﯾﮏ وﯾﮋﮔﯽ ﻣﻄﻠﻮب ﺑﺮای ﯾﮏ ﺑﺮﻧﺎﻣﮥ‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی و ﺷﯿﻮۀ ﺑﺮآورد ﮐﺮدن، آن اﺳﺖ ﮐﻪ ﺑﺮآوردﻫﺎﯾﯽ از ﭘﺎراﻣﺘﺮﻫﺎی ﺟﺎﻣﻌﻪ ﺑﻪ دﺳﺖ دﻫﺪ ﮐﻪ‬ ‫ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺗﻮزﯾﻊ ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی آن ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ ﭘﺎراﻣﺘﺮ ﻧﺎﻣﻌﻠﻮم واﻗﻌﯽ، ﯾﺎ ﺣﺪاﻗﻞ ﻧﺰدﯾﮏ ﺑﻪ آن ﺑﺎﺷﺪ و ﺧﻄﺎی‬ ‫ﻣﻌﯿﺎر آن ﻧﯿﺰ ﺑﺴﯿﺎر ﮐﻢ ﺑﺎﺷﺪ. در واﻗﻊ دﻗﺖ ﯾﮏ ﭘﺎراﻣﺘﺮ ﺟﺎﻣﻌﻪای ﺑﺮآورد ﺷﺪه ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﯾﻦ دو‬ ‫ﻣﺸﺨﺼﻪ ارزﺷﯿﺎﺑﯽ ﻣﯽﺷﻮد. در اﯾﻦ ﺑﺨﺶ ﻣﻔﺎﻫﯿﻤﯽ را ﻣﻌﺮﻓﯽ ﻣﯽﮐﻨﯿﻢ ﮐﻪ در ارزﯾﺎﺑﯽ ﻃﺮﺣﻬﺎی ﻧﻤﻮﻧﻪای‬ ‫ﺑﻪ ﮐﺎر ﻣﯽروﻧﺪ.‬

‫2.4.1 ارﯾﺒﯽ‬
‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫) ‪ ، B(d‬ارﯾﺒﯽ ﺑﺮآورد ‪ d‬از ﭘﺎراﻣﺘﺮ ﺟﺎﻣﻌﻪای ‪ d‬ﺑﻪ ﺻﻮرت ﺗﻔﺎوت ﺑﯿﻦ ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺗﻮزﯾﻊ ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ‪d‬‬ ‫ˆ‬ ‫ﯾﻌﻨﯽ ) ‪ E (d‬و ﻣﻘﺪار واﻗﻌﯽ ﭘﺎراﻣﺘﺮ ﻧﺎﻣﻌﻠﻮم ‪ d‬ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣﯽﺷﻮد. ﺑﻪ ﻋﺒﺎرت دﯾﮕﺮ:‬

‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫‪B (d ) = E (d ) − d‬‬

‫)2.72(‬

‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫اﮔﺮ 0 = ) ‪ B(d‬ﺑﺎﺷﺪ ﻣﯽﮔﻮﯾﯿﻢ ﺑﺮآوردﮔﺮ ‪ d‬ﻧﺎارﯾﺐ اﺳﺖ. ﺑﻪ ﻋﺒﺎرت دﯾﮕﺮ، در ﺻﻮرﺗﯽ ﮐﻪ ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺗﻮزﯾﻊ‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ‪ d‬ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ ‪ d‬ﺑﺎﺷﺪ ‪ d‬ﯾﮏ ﺑﺮآوردﮔﺮ ﻧﺎارﯾﺐ اﺳﺖ.‬

‫در ﻣﺜﺎل ﻣﻮردﻧﻈﺮ در ﺑﺨﺶ ﻗﺒﻞ، ﺑﺮآورد ′‪ x‬از ﮐﻞ ﺗﻌﺪاد ﮐﻮدﮐﺎن اﯾﻤﻦﺳﺎزی ﻧﺸﺪه در ﺑﺮاﺑﺮ ﺳﺮﺧﮏ،‬ ‫ﯾﮏ ﺑﺮآوردﮔﺮ ﻧﺎارﯾﺐ ﺑﺮای ﮐﻞ ﺟﻤﻌﯿﺖ واﻗﻌﯽ ‪ X‬اﺳﺖ، زﯾﺮا ﻣﻌﻠﻮم ﺷﺪ ﮐﻪ ‪. E ( x ′) = 30 = X‬‬ ‫ﺗﺄﮐﯿﺪ ﻣﯽﮐﻨﯿﻢ ﮐﻪ ﻫﻤﺎن ﺷﯿﻮۀ ﺑﺮآورد ﮐﻪ در ﯾﮏ ﺑﺮﻧﺎﻣﮥ ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی، ﻧﺎارﯾﺐ اﺳﺖ ﻣﯽﺗﻮاﻧﺪ ﺑﺮای ﯾﮏ‬ ‫ﺑﺮﻧﺎﻣﮥ ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی دﯾﮕﺮ ارﯾﺐ ﺑﺎﺷﺪ. ﻣﺜﺎل ﺑﻌﺪی اﯾﻦ اﯾﺪه را روﺷﻨﺘﺮ ﺑﯿﺎن ﻣﯽﮐﻨﺪ.‬ ‫ﻣﺜﺎل ﺗﺸﺮﯾﺤﯽ: ﻫﻤﺎن ﺟﺎﻣﻌﮥ ﻣﺘﺸﮑﻞ از ﺷﺶ ﻣﺪرﺳﮥ ﻣﺜﺎل ﻗﺒﻞ را در ﻧﻈﺮ ﻣﯽﮔﯿﺮﯾﻢ وﻟﯽ اﯾﻦ ﺑﺎر از ﺑﺮﻧﺎﻣﮥ‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی زﯾﺮ اﺳﺘﻔﺎده ﻣﯽﮐﻨﯿﻢ. ﮐﺎرﺗﻬﺎﯾﯽ ﺑﺎ ﺷﻤﺎرهﻫﺎی 1 ﺗﺎ 01 در ﭘﺎﮐﺖ ﻣﯽﮔﺬارﯾﻢ، در ﭘﺎﮐﺘﻬﺎ را‬ ‫ﻣﯽﭼﺴﺒﺎﻧﯿﻢ و آﻧﻬﺎ را در ﮐﻼﻫﯽ ﻗﺮار ﻣﯽدﻫﯿﻢ. ﯾﮏ ﭘﺎﮐﺖ را از داﺧﻞ ﮐﻼه ﺑﺮﻣﯽدارﯾﻢ و ﻣﺪرﺳﮥ ﻧﻤﻮﻧﻪ را‬ ‫ﻣﻄﺎﺑﻖ ﺷﯿﻮۀ ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه در ﺟﺪول 2.6 اﻧﺘﺨﺎب ﻣﯽﮐﻨﯿﻢ. اﯾﻦ ﺷﯿﻮه، ﯾﮏ ﻧﻤﻮﻧﮥ اﺣﺘﻤﺎﻻﺗﯽ اﺳﺖ، زﯾﺮا‬ ‫ﻫﺮ ﻣﺪرﺳﻪ دارای ﯾﮏ اﺣﺘﻤﺎل ﻣﻌﻠﻮم و ﻏﯿﺮﺻﻔﺮ ﺑﺮای اﻧﺘﺨﺎب ﺷﺪن در ﻧﻤﻮﻧﻪ اﺳﺖ. ﺗﻮزﯾﻊ ﻣﺠﻤﻮﻋﻬﺎی‬ ‫ﺑﺮآورد ﺷﺪه در ﺻﻮرت اﺳﺘﻔﺎده از اﯾﻦ ﺷﯿﻮه در ﺟﺪول 2.7 ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﺳﺖ.‬

‫53‬

‫2.4 ﻣﺸﺨﺼﻪﻫﺎی ﺑﺮآوردﻫﺎی ﭘﺎراﻣﺘﺮﻫﺎی ﺟﺎﻣﻌﻪ‬

‫ﭼﻮن ﻫﺮ ﯾﮏ از 01 ﻧﻤﻮﻧﮥ ﻣﻤﮑﻦ دارای اﺣﺘﻤﺎل ﯾﮑﺴﺎناﻧﺪ، ﭘﺲ ﺗــﻮزﯾﻊ ′‪ x‬را دارﯾﻢ ﮐـﻪ در‬ ‫ﺟــﺪول 2.8 ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﺳﺖ. در ﺗﻮزﯾﻊ ﺟﺪول 2.8 ﻣﻼﺣﻈﻪ ﻣﯽﮐﻨﯿﻢ ﮐﻪ )′‪ ، E (x‬ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺗﻮزﯾﻊ‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ′‪ x‬در اﯾﻦ ﺑﺮﻧﺎﻣﮥ ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ﺑﻪ ﺷﺮح زﯾﺮ ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﯽآﯾﺪ:‬
‫( 81 = )′ ‪E (x‬‬

‫9/72 = ) 1 ( 93 + ) 2 ( 63 + ) 1 ( 33 + ) 1 ( 72 + ) 2 ( 42 + ) 2 ( 12 + ) 1‬ ‫01‬ ‫01‬ ‫01‬ ‫01‬ ‫01‬ ‫01‬ ‫01‬
‫ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ﯾﮏ ﺑﺮآورد ﻧﺎارﯾﺐ از ﻣﺠﻤﻮع ﺟﺎﻣﻌﻪ، ‪ X‬ﻧﯿﺴﺖ.‬
‫ﺟﺪول 2.6 ﺷﯿﻮۀ ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ﺑﺮای ﺟﺎﻣﻌﮥ ﻣﺘﺸﮑﻞ از ﺷﺶ ﻣﺪرﺳﻪ‬

‫ﺑﻪ اﯾﻦ ﺗﺮﺗﯿﺐ ﭼﻮن ﻣﺠﻤﻮع ﺟﺎﻣﻌﻪ، ‪ ، X‬ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ 03، ﻣﺠﻤﻮع ﺑﺮآورد ﺷﺪه، ′‪ ، x‬در اﯾﻦ ﺑﺮﻧﺎﻣﮥ‬

‫ﻣﺪرﺳﻪﻫﺎی اﻧﺘﺨﺎب ﺷﺪه‬ ‫در ﻧﻤﻮﻧﻪ‬ ‫2,3‬ ‫2,4‬ ‫2,5‬ ‫2,6‬ ‫3,4‬

‫ﺷﻤﺎرۀ‬ ‫اﻧﺘﺨﺎب ﺷﺪه‬ ‫6‬ ‫7‬ ‫8‬ ‫9‬ ‫01‬

‫ﻣﺪرﺳﻪﻫﺎی اﻧﺘﺨﺎب ﺷﺪه‬ ‫در ﻧﻤﻮﻧﻪ‬ ‫1,2‬ ‫1,3‬ ‫1,4‬ ‫1,5‬ ‫1,6‬

‫ﺷﻤﺎرۀ‬ ‫اﻧﺘﺨﺎب ﺷﺪه‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫4‬ ‫5‬

‫ﺟﺪول 2.7 ﻧﻤﻮﻧﻪﻫﺎی ﻣﻤﮑﻦ و ﻣﻘﺎدﯾﺮ ′ ‪x‬‬ ‫′‪x‬‬

‫ﻣﺪرﺳﻪﻫﺎی ﻧﻤﻮﻧﻪ‬ ‫1,2‬ ‫1,3‬ ‫1,4‬ ‫1,5‬ ‫1,6‬ ‫2,3‬ ‫2,4‬ ‫2,5‬ ‫2,6‬ ‫3,4‬

‫ﻧﻤﻮﻧﻪ‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫4‬ ‫5‬ ‫6‬ ‫7‬ ‫8‬ ‫9‬ ‫01‬

‫72‬ ‫12‬ ‫12‬ ‫33‬ ‫63‬ ‫42‬ ‫42‬ ‫63‬ ‫93‬ ‫81‬

‫ﺟﺎﻣﻌﻪ و ﻧﻤﻮﻧﻪ‬
‫ﺟﺪول 2.8 ﺗﻮزﯾﻊ ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ′ ‪x‬‬ ‫‪π‬‬ ‫1‬ ‫01‬ ‫′‪x‬‬

‫63‬

‫81‬ ‫12‬ ‫42‬ ‫72‬ ‫33‬ ‫63‬ ‫93‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع‬

‫2‬
‫01‬

‫2‬
‫01‬ ‫1‬ ‫01‬ ‫1‬ ‫01‬

‫2‬
‫01‬ ‫1‬ ‫01‬

‫1‬

‫2.4.2 ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺗﻮان دوم ﺧﻄﺎ‬
‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺗﻮان دوم ﺧﻄﺎ ﺑﺮای ﺑﺮآورد ﺟﺎﻣﻌﻪای ‪ d‬ﺑﻪ ﺻﻮرت ) ‪ MSE (d‬ﻧﺸﺎن داده ﻣﯽﺷﻮد و ﺗﻌﺮﯾﻒ آن‬

‫ﻋﺒﺎرت از ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺗﻮان دوم ﺗﻔﺎوﺗﻬﺎی ﺑﯿﻦ ﻣﻘﺎدﯾﺮ ﺑﺮآورد و ﻣﻘﺪار واﻗﻌﯽ ‪ d‬ﺑﺮای ﯾﮏ ﭘﺎراﻣﺘﺮ ﻧﺎﻣﻌﻠﻮم در‬ ‫ﺗﻤﺎم ﻧﻤﻮﻧﻪﻫﺎی ﻣﻤﮑﻦ اﺳﺖ. ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻧﻤﺎدﻫﺎﯾﯽ ﮐﻪ در ﺑﺨﺶ آﺧﺮ اراﺋﻪ ﺷﺪﻧﺪ، ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺗﻮان دوم ﺧﻄﺎ‬ ‫ﺑﺎ راﺑﻄﮥ زﯾﺮ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣﯽﺷﻮد:‬
‫‪C‬‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫‪MSE (d ) = ∑i =1 (d i − d ) 2π i‬‬

‫)2.82(‬

‫ﺑﻪ ﺗﻔﺎوت ﺑﯿﻦ ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺗﻮان دوم ﺧﻄﺎی ﺑﺮآورد و وارﯾﺎﻧﺲ ﺑﺮآورد ﺗﻮﺟﻪ ﮐﻨﯿﺪ. ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺗﻮان دوم‬ ‫ﺧﻄﺎی ﺑﺮآورد، ﻣﻘﺪار ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺗﻮان دوم اﻧﺤﺮاﻓﻬﺎ ﺣﻮل ﻣﻘﺪار واﻗﻌﯽ ﭘﺎراﻣﺘﺮ ﻣﻮرد ﺑﺮآورد اﺳﺖ. وارﯾﺎﻧﺲ‬ ‫ﯾﮏ ﺑﺮآورد، ﻣﻘﺪار ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺗﻮان دوم اﻧﺤﺮاﻓﻬﺎ ﺣﻮل ﻣﻘﺪار ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺗﻮزﯾﻊ ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ﺑﺮآورد اﺳﺖ. اﮔﺮ‬ ‫ﺑﺮآورد ﻧﺎارﯾﺐ ﺑﺎﺷﺪ ـ ﯾﺎ ﺑﻪ ﻋﺒﺎرت دﯾﮕﺮ اﮔﺮ ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺗﻮزﯾﻊ ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ﺑﺮآورد ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ ﻣﻘﺪار واﻗﻌﯽ‬ ‫ﭘﺎراﻣﺘﺮ ﺑﺎﺷﺪ ـ آنﮔﺎه ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺗﻮان دوم ﺧﻄﺎی ﺑﺮآورد ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ وارﯾﺎﻧﺲ ﺑﺮآورد ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد، زﯾﺮا اﻧﺤﺮاﻓﻬﺎ‬ ‫ﺣﻮل ﻫﻤﺎن ﻧﻬﺎد در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺧﻮاﻫﺪ ﺷﺪ. ﺑﻪ ﻃﻮر ﮐﻠﯽ ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺗﻮان دوم ﺧﻄﺎی ﺑﺮآورد ﺑﺎ راﺑﻄﮥ زﯾﺮ ﺑﻪ‬ ‫ارﯾﺒﯽ و وارﯾﺎﻧﺲ آن ارﺗﺒﺎط ﭘﯿﺪا ﻣﯽﮐﻨﺪ:‬
‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫) ‪MSE (d ) = Var (d ) = B 2 (d‬‬

‫)2.92(‬

‫73‬

‫2.4 ﻣﺸﺨﺼﻪﻫﺎی ﺑﺮآوردﻫﺎی ﭘﺎراﻣﺘﺮﻫﺎی ﺟﺎﻣﻌﻪ‬

‫ﺑﻪ ﻋﺒﺎرت دﯾﮕﺮ، ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺗﻮان دوم ﺧﻄﺎی ﺑﺮآورد ﺟﺎﻣﻌﻪای ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ وارﯾﺎﻧﺲ آن ﺑﺮآورد ﺑﻪ اﺿﺎﻓﮥ ﺗﻮان‬ ‫دوم ارﯾﺒﯽ آن اﺳﺖ.‬ ‫ﻣﺜﺎل ﺗﺸﺮﯾﺤﯽ: در ﻣﺜﺎل ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﺷﺶ ﻣﺪرﺳﻪ، اوﻟﯿﻦ ﺑﺮﻧﺎﻣﮥ ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ﮐﻪ ﻣﻮرد ﺑﺤﺚ ﻗﺮار ﮔﺮﻓﺖ‬ ‫ﺑﺮآورد ﻧﺎارﯾﺒﯽ از ﮐﻞ ﺟﺎﻣﻌﻪ ﺑﻪ دﺳﺖ داد. ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺗﻮان دوم ﺧﻄﺎی اﯾﻦ ﺑﺮآورد ﺑﺎ ﻣﺤﺎﺳﺒﮥ زﯾﺮ ﺑﻪ دﺳﺖ‬ ‫ﻣﯽآﯾﺪ:‬
‫= )′ ‪MSE (x‬‬

‫8/25 = 20 + 8/25‬

‫ﺑﻪ ﻋﺒﺎرت دﯾﮕﺮ، ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺗﻮان دوم ﺧﻄﺎ ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ وارﯾﺎﻧﺲ ﺑﺮآورد اﺳﺖ.‬ ‫در ﻣﺜﺎل ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﺷﺶ ﻣﺪرﺳﻪ و ﺑﺮﻧﺎﻣﮥ ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ﮐﻪ ﺑﺮآورد ارﯾﺐ ′‪ x‬را ﺑﺮای ‪ X‬ﺑﻪ دﺳﺖ داد،‬ ‫وارﯾﺎﻧﺲ ′‪) x‬از ﻣﻌﺎدﻟﮥ )2.42(( ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ اﺳﺖ:‬
‫81( = )′ ‪Var ( x‬‬

‫) 2 ( 2 )9/72 − 12( + ) 1 ( 2 )9/72 −‬ ‫01‬ ‫01‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫) ( 2 )9/72 − 33( + ) ( 2 )9/72 − 72( + ) ( 2 )9/72 − 42( +‬ ‫01‬ ‫01‬ ‫01‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫94/05 = ) ( 2 )9/72 − 93( + ) ( 2 )9/72 − 63( +‬ ‫01‬ ‫01‬
‫03( + 94/05 = )′ ‪MSE (x‬‬

‫ﺑﻪ اﯾﻦ ﺗﺮﺗﯿﺐ ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺗﻮان دوم ﺧﻄﺎ ﺑﺮای ′ ‪ x‬ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ:‬

‫9/45 = 2 )9/72 −‬

‫ﺗﻮﺟﻪ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ﺑﺮﻧﺎﻣﮥ ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی دوم، ﺑﺮآوردﮔﺮ ′ ‪ x‬را ﺑﻪ ﺻﻮرﺗﯽ ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﯽدﻫﺪ ﮐﻪ وارﯾﺎﻧﺲ آن ﮐﻤﺘﺮ‬ ‫وﻟﯽ ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺗﻮان دوم ﺧﻄﺎی آن در ﻣﺠﻤﻮع ﺑﯿﺸﺘﺮ از ﺑﺮآوردی اﺳﺖ ﮐﻪ از ﺑﺮﻧﺎﻣﮥ ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی اول ﺑﻪ‬ ‫دﺳﺖ ﻣﯽآﯾﺪ.‬ ‫ﻣﺜﺎل ﺗﺸﺮﯾﺤﯽ: ﺑﻪ ﻣﺜﺎل دﯾﮕﺮی از ﮐﺎرﺑﺮد ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺗﻮان دوم ﺧﻄﺎ ﻧﮕﺎﻫﯽ ﻣﯽاﻧﺪازﯾﻢ. ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﺑﺮای‬ ‫ارزﯾﺎﺑﯽ ﺷﺪت ﺳﻮﺧﺘﮕﯿﻬﺎﯾﯽ ﮐﻪ در آﻣﺮﯾﮑﺎ روی ﻣﯽدﻫﻨﺪ ﯾﮏ آﻣﺎرﮔﯿﺮی ﻃﺮﺣﺮﯾﺰی ﻣﯽﺷﻮد. در ارﺗﺒﺎط ﺑﺎ‬ ‫اﯾﻦ آﻣﺎرﮔﯿﺮی ﺳﻪ داﻧﺸﺠﻮ در ﺳﺘﺎد آﻣﺎرﮔﯿﺮی درﺑﺎرۀ ارزﯾﺎﺑﯽ ﺑﺪن ﺑﯿﻤﺎری ﮐﻪ از ﺳﻮﺧﺘﮕﯽ درﺟﮥ ﺳﻪ رﻧﺞ‬ ‫ﻣﯽﺑﺮد آﻣﻮزش داده ﻣﯽﺷﻮﻧﺪ )ﺑﻪ اﯾﻦ ﻧﻮع ﺳﻮﺧﺘﮕﯽ، ﺳﻮﺧﺘﮕﯽ ﮐﺎﻣﻞ ﻧﯿﺰ ﻣﯽﮔﻮﯾﻨﺪ(.‬ ‫ﯾﮏ ﺟﺮاح ارﺷﺪ ﺳﻮﺧﺘﮕﯽ ﺑﺮای ارزﯾﺎﺑﯽ ﭘﯿﺸﺮﻓﺖ داﻧﺸﺠﻮﯾﺎن از ﻣﺠﻤﻮﻋﻪای ﻋﮑﺲ اﺳﺘﻔﺎده ﻣﯽﮐﻨﺪ‬ ‫ﮐﻪ از ده ﺑﯿﻤﺎر ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﺪه اﺳﺖ. ﻫﺮ ﯾﮏ از ﺑﯿﻤﺎران دﭼﺎر 73 درﺻﺪ ﺳﻮﺧﺘﮕﯽ ﮐﺎﻣﻞاﻧﺪ. ﻣﺠﻤﻮع درﺻﺪ‬ ‫ﺳﻮﺧﺘﮕﯽ در ﺳﺮاﺳﺮ ﺑﺪن اﯾﻦ ﺑﯿﻤﺎران ﯾﮑﺴﺎن اﺳﺖ وﻟﯽ در اﺟﺰای ﺑﺪن ﯾﮑﺴﺎن ﻧﯿﺴﺖ. اﯾﻦ ﺑﯿﻤﺎران از‬ ‫ﻣﯿﺎن ﺗﻌﺪاد زﯾﺎدی از ﺑﯿﻤﺎراﻧﯽ ﮐﻪ ﺟﺮاح ﻣﻌﺎﯾﻨﻪ ﮐﺮده اﺳﺖ اﻧﺘﺨﺎب ﺷﺪهاﻧﺪ.‬

‫ﺟﺎﻣﻌﻪ و ﻧﻤﻮﻧﻪ‬

‫83‬

‫ﻓﺮض ﻣﯽﮐﻨﯿﻢ اﺳﺎﻣﯽ اﯾﻦ داﻧﺸﺠﻮﯾﺎن ‪ B ،A‬و ‪ D‬اﺳﺖ. ﺟﺪول 2.9 ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻨﻬﺎ و وارﯾﺎﻧﺴﻬﺎی‬ ‫ﺑﺮآوردﻫﺎی ﺣﺎﺻﻞ ﺗﻮﺳﻂ ﻫﺮ ﯾﮏ از داﻧﺸﺠﻮﯾﺎن را ﻧﺸﺎن ﻣﯽدﻫﺪ. ﺣﺎل ﻫﺮ ﯾﮏ از اﯾﻦ ﺑﺮآوردﻫﺎ را‬ ‫ارزﯾﺎﺑﯽ ﻣﯽﮐﻨﯿﻢ.‬ ‫اﺗﻔﺎﻗﺎً ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺳﻮﺧﺘﮕﯽ ﮐﻪ ‪ A‬ارزﯾﺎﺑﯽ ﮐﺮده اﺳﺖ ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ ﻣﺘﻮﺳﻂ واﻗﻌﯽ ﺗﺼﺎوﯾﺮ ﻣﻮرد ﺑﺮرﺳﯽ اﺳﺖ‬ ‫)ﯾﻌﻨﯽ 0= 73 – 73 = ارﯾﺒﯽ(. وﻟﯽ ﺗﻐﯿﯿﺮﭘﺬﯾﺮی اﻧﺪازهﮔﯿﺮﯾﻬﺎی او ﺑﺴﯿﺎر زﯾﺎد و در ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺗﻮان‬ ‫دوم ﺧﻄﺎ ﻧﯿﺰ زﯾﺎد اﺳﺖ )ﯾﻌﻨﯽ 46 = 46 + 20 = ‪.( MSE‬‬ ‫‪ B‬ﺑﻪ ﺑﯿﺶ ﺑﺮآورد ﮐﺮدن ﻣﻘـﺪار واﻗﻌـﯽ ﺳﻮﺧﺘـﮕﯽ ﮐﺎﻣـﻞ ﮔـﺮاﯾﺶ دارد )ﯾﻌﻨﯽ5=73-24= ارﯾﺒﯽ(،‬ ‫وﻟﯽ ﺳﺎزﮔﺎر ﻋﻤﻞ ﮐﺮده اﺳﺖ. درﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺗﻮان دوم ﺧﻄﺎی ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت او )43=9+25= ‪ ( MSE‬از‬ ‫ﻧﺘﯿﺠﮥ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﺷﺪۀ ‪ A‬ﮐﻤﺘﺮ اﺳﺖ. ﺑﻪ ﺑﯿﺎن دﯾﮕﺮ، ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﻣﺮﺑﻊ اﻧﺤﺮاﻓﻬﺎی ﻫﺮ ﯾﮏ از ارزﯾﺎﺑﯿﻬﺎی‬ ‫ﺳﻮﺧﺘﮕﯽ ‪ B‬ﺣﻮل ﺳﻮﺧﺘﮕﯿﻬﺎی واﻗﻌﯽ ﮐﻤﺘﺮ از ‪ A‬اﺳﺖ.‬ ‫ارزﯾﺎﺑﯿـــﻬﺎی ‪ D‬ﻣﻘﺪار ﺳﻮﺧﺘـــﮕﯽ را ﺑﯿﺶ از ﻣﻘـﺪار واﻗﻌـــﯽ ﺑﺮآورد ﮐــــﺮده ﺑﻮدﻧــﺪ )ﯾﻌﻨـﯽ‬ ‫31=73-05= ارﯾﺒﯽ(، وﻟﯽ اﯾﻦ ارزﯾﺎﺑﯿﻬﺎ دارای ﺗﻐﯿﯿﺮﭘﺬﯾﺮی ﮐﻤﯽ ﺑﻮدﻧﺪ. در ﻧﺘﯿﺠﻪ، ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺗﻮان دوم ﺧﻄﺎ‬ ‫از ﻫﻤﻪ ﺑﯿﺸﺘﺮ اﺳﺖ )871=9+231= ‪.( MSE‬‬ ‫راﺑﻄﮥ ﺑﯿﻦ ارﯾﺒﯽ، ﺗﻐﯿﯿﺮﭘﺬﯾﺮی و ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺗﻮان دوم ﺧﻄﺎ از ﻧﻈﺮ ﺗﺼﻮﯾﺮی در ﺷﮑﻞ 2.2 اراﺋﻪ ﺷﺪه‬ ‫اﺳﺖ. در اﯾﻦ ﺷﮑﻞ ﻓﺮض ﺷﺪه اﺳﺖ ﮐﻪ اﻧﺪازهﮔﯿﺮﯾﻬﺎ ﺑﺎ ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻨﻬﺎ و وارﯾﺎﻧﺴﻬﺎی ﺑﯿﺎن ﺷﺪه ﺑﻪ ﺻﻮرت‬ ‫ﻧﺮﻣﺎل ﺗﻮزﯾﻊ ﺷﺪهاﻧﺪ. ﺗﻮﺟﻪ ﮐﻨﯿﺪ در ﺣﺎﻟﯽ ﮐﻪ ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺗﻮزﯾﻊ ‪ A‬ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ ﻣﻘﺪار واﻗﻌﯽ اﺳﺖ، ﻏﯿﺮﻋﺎدی‬ ‫ﻧﺨﻮاﻫﺪ ﺑﻮد ﮐﻪ ﻫﺮ ﯾﮏ از ارزﯾﺎﺑﯿﻬﺎی او ﺑﺎ ﺣﺎﺷﯿﮥ زﯾﺎدی از ﻣﻘﺪار واﻗﻌﯽ ﻓﺎﺻﻠﻪ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ )ﭘﺮاﮐﻨﺪﮔﯽ‬ ‫ﮔﺴﺘﺮدۀ ﺗﻮزﯾﻊ او ﻧﯿﺰ ﺣﺎﮐﯽ از ﻫﻤﯿﻦ اﻣﺮ اﺳﺖ(. ﺑﺮای ﻣﺜﺎل ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ) ‪ Pr (x > C‬ﻧﺸﺎﻧﮥ اﯾﻦ اﺣﺘﻤﺎل‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻘﺪار ﺧﺎﺻﯽ از ﻣﺘﻐﯿﺮ ﺗﺼﺎدﻓﯽ ‪ x‬از ﻣﻘﺪار ‪ C‬ﺑﯿﺸﺘﺮ ﺑﺎﺷﺪ. در اﯾﻦ ﺻﻮرت اﺣﺘﻤﺎل اﯾﻦ ﮐﻪ‬ ‫‪ A‬از ﻣﻘﺪار واﻗﻌﯽ ﺳﻮﺧﺘﮕﯽ ﺗﺎ ﺑﯿﺶ از ده ﻧﻘﻄﻪ درﺻﺪی دور ﺷﻮد از ﻓﺮﻣﻮل زﯾﺮ ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﯽآﯾﺪ:‬
‫> ‪Pr (x > 47 ) + Pr (x < 27 ) = Pr ( z‬‬

‫73 -74‬ ‫46‬

‫12/0 = )52/1- < ‪= 1/25) + Pr ( z‬‬

‫ﮐﻪ در آن ‪ ، z‬اﻧﺤﺮاف ﻧﺮﻣﺎل اﺳﺘﺎﻧﺪارد اﺳﺖ.‬
‫ﺟﺪول 2.9 دادهﻫﺎی ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﺑﺮآوردﻫﺎی ﺳﻮﺧﺘﮕﯽ‬

‫وارﯾﺎﻧﺲ2 )%(‬

‫ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ )درﺻﺪ(‬

‫داﻧﺸﺠﻮ‬
‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬

‫46‬ ‫9‬ ‫9‬

‫73‬ ‫24‬ ‫05‬

‫93‬

‫2.4 ﻣﺸﺨﺼﻪﻫﺎی ﺑﺮآوردﻫﺎی ﭘﺎراﻣﺘﺮﻫﺎی ﺟﺎﻣﻌﻪ‬

‫‪B‬‬

‫‪D‬‬

‫ﻣﻘﺪار واﻗﻌﯽ‬

‫‪A‬‬

‫72‬

‫73‬

‫24‬

‫74‬

‫05‬

‫ﺳﻮﺧﺘﮕﯽ ﮐﺎﻣﻞ )%(‬

‫ﺷﮑﻞ 2.2 راﺑﻄﻪ ﺑﯿﻦ ارﯾﺒﯽ، ﺗﻐﯿﯿﺮﭘﺬﯾﺮی و ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺗﻮان دوم ﺧﻄﺎ ﺑﺮای دادهﻫﺎی ﺟﺪول 2.9‬ ‫ﻣﻘﺎدﯾﺮ اﻧﺪازهﮔﯿﺮﯾﻬﺎی ‪ B‬ﻣﻌﻤﻮﻻً زﯾﺎد اﺳﺖ، وﻟﯽ ﻏﺎﻟﺒﺎً ﻃﻮری ﻧﯿﺴﺖ ﮐﻪ ﺑﯿﺶ از ده ﻧﻘﻄﻪ درﺻﺪی ﺑﺎ‬ ‫ﻣﻘﺪار واﻗﻌﯽ ﻓﺎﺻﻠﻪ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ. در ﻣﻮرد ‪: B‬‬
‫> ‪Pr (x > 47 ) + Pr (x < 27 ) = Pr ( z‬‬

‫24-74‬ ‫9‬

‫50/0 = )00/5− < ‪= 1/67) + Pr ( z‬‬

‫ﺑﺎﻻﺧﺮه، ﻫﻤﺎن ﻃﻮر ﮐﻪ ﻣﻘﺪار زﯾﺎد ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺗﻮان دوم ﺧﻄﺎ ﻧﺸﺎن ﻣﯽدﻫﺪ، اﺣﺘﻤﺎل اﯾﻨﮑﻪ ‪ D‬ﻣﻘﺪار واﻗﻌﯽ‬ ‫ﺳﻮﺧﺘﮕﯽ را ﺑﺎ ﻓﺎﺻﻠﻪای ﺑﯿﺶ از ده ﻧﻘﻄﻪ درﺻﺪی اراﺋﻪ ﻧﺪﻫﺪ ﺑﺴﯿﺎر زﯾﺎد اﺳﺖ:‬
‫> ‪Pr (x > 47 ) + Pr (x < 27 ) = Pr ( z‬‬

‫05-74‬ ‫9‬

‫48/0 = )76/7- < ‪= -1) + Pr ( z‬‬

‫در اﯾﻦ ﻣﺜﺎل دﯾﺪﯾﻢ ﮐﻪ ﻫﻨﮕﺎم ارزﺷﯿﺎﺑﯽ ﺑﺮآوردﻫﺎی ﺧﺎص ﺑﺴﯿﺎر اﻫﻤﯿﺖ دارد ﮐﻪ ارﯾﺒﯽ و وارﯾﺎﻧﺲ‬ ‫ﻫﺮ دو اﻣﺘﺤﺎن ﺷﻮﻧﺪ. ﻫﺮ دوی اﯾﻨﻬﺎ در ﺗﻌﯿﯿﻦ اﻧﺪازۀ ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺗﻮان دوم ﺧﻄﺎ ﻧﻘﺶ ﻣﻬﻤﯽ اﯾﻔﺎ ﻣﯽﮐﻨﻨﺪ.‬

‫2.4.3 اﻋﺘﺒﺎر، ﻗﺎﺑﻠﯿﺖ اﻋﺘﻤﺎد و درﺳﺘﯽ‬
‫در ﺑﺨﺸﻬﺎی ﭘﯿﺸﯿﻦ از ﻣﻄﻠﻮﺑﯿﺖ اﺳﺘﻔﺎده از ﻃﺮﺣﻬﺎی ﻧﻤﻮﻧﻪای ﮐﻪ ﺑﺮآوردﻫﺎی ﻣﻌﺘﺒﺮ و ﻗﺎﺑﻞ اﻋﺘـﻤﺎد‬ ‫ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﯽدﻫﻨــﺪ ﺻﺤﺒﺖ ﮐﺮدﯾـﻢ. وﻟﯽ ﻫﯿﭻ وﻗﺖ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻧﮑﺮدﯾﻢ ﮐﻪ اﺻﻄﻼﺣــﺎت »ﻣﻌﺘﺒــﺮ« و‬ ‫»ﻗـﺎﺑﻞ اﻋﺘﻤﺎد« از ﻧﻈﺮ ﻣﺸﺨﺼﻪﻫﺎی ﺑﺮآوردﻫﺎ ﭼﻪ ﻣﻌﻨﯽ ﻣﯽدﻫﻨﺪ. اﮐﻨﻮن ﺑﻪ آن اﻧﺪازۀ ﮐﺎﻓﯽ، ﻣﻔﺎﻫﯿﻢ و‬

‫ﺟﺎﻣﻌﻪ و ﻧﻤﻮﻧﻪ‬

‫04‬

‫ﻧﻤﺎدﻫﺎی ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﺑﺮآوردﻫﺎ را ﺑﺴﻂ دادهاﯾﻢ ﮐﻪ ﺑﺘﻮاﻧﯿﻢ اﯾﻦ دو اﺻﻄﻼح ﺑﻪ اﺿﺎﻓﻪ اﺻﻄﻼح ﺳﻮم،‬ ‫»درﺳﺘﯽ« ﯾﮏ ﺑﺮآورد را ﺗﻌﺮﯾﻒ ﮐﻨﯿﻢ ﮐﻪ ﺳﻮﻣﯽ ﺑﻪ ﻃﻮری ﮐﻪ ﺧﻮاﻫﯿﻢ دﯾﺪ از اﻋﺘﺒﺎر و ﻗﺎﺑﻠﯿﺖ اﻋﺘﻤﺎد‬ ‫ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣﯽﺷﻮد.‬ ‫ﻗﺎﺑﻠﯿﺖ اﻋﺘﻤﺎد ﺑﺮآورد ﯾﮏ ﻣﺸﺨﺼﮥ ﺟﺎﻣﻌﻪای ﺑﻪ اﯾﻦ اﺷﺎره دارد ﮐﻪ ﺑﺮآوردﮔﺮ در ﺗﮑﺮارﻫﺎی ﻓﺮاﯾﻨﺪ‬ ‫ﺗﻮﻟﯿـﺪ ﮐﻨﻨﺪۀ ﺑﺮآوردﮔﺮ ﺗﺎ ﭼﻪ اﻧﺪازه ﻗﺎﺑﻞ ﺗﮑﺜﯿﺮ اﺳﺖ. اﮔﺮ ﻓﺮض ﮐﻨﯿﻢ ﮐﻪ در آﻣﺎرﮔﯿﺮی ﻫﯿﭻ ﺧﻄﺎی‬ ‫اﻧﺪازهﮔﯿﺮی ﻧﺒﻮده اﺳﺖ آنﮔﺎه ﻗﺎﺑﻠﯿﺖ اﻋﺘﻤﺎد ﺑﺮآوردﮔﺮ را ﻣﯽﺗﻮان ﺑﺮﺣﺴﺐ وارﯾﺎﻧﺲ ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ﯾﺎ‬ ‫ﻫﻢارز آن، ﺑﺮﺣﺴﺐ ﺧﻄﺎی ﻣﻌﯿﺎر آن ﺑﯿﺎن ﮐﺮد. ﻫﺮ ﭼﻪ ﺧﻄﺎی ﻣﻌﯿﺎر ﯾﮏ ﺑﺮآوردﮔﺮ ﮐﻤﺘﺮ ﺑﺎﺷﺪ ﻗﺎﺑﻠﯿﺖ‬ ‫اﻋﺘﻤﺎد آن ﺑﯿﺸﺘﺮ اﺳﺖ.‬ ‫اﻋﺘﺒﺎر ﺑﺮآورد ﯾﮏ ﻣﺸﺨﺼﮥ ﺟﺎﻣﻌﻪ ﺑﺮ اﯾﻦ اﺷﺎره دارد ﮐﻪ ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺑﺮآوردﮔﺮ در ﺗﮑﺮارﻫﺎی ﻓﺮاﯾﻨﺪ‬ ‫ﺗﻮﻟﯿﺪ ﮐﻨﻨﺪۀ آن ﺑﺮآوردﮔﺮ ﭼﻘﺪر ﺑﺎ ﻣﻘﺪار واﻗﻌﯽ ﭘﺎراﻣﺘﺮ ﻣﻮرد ﺑﺮآورد ﺗﻔﺎوت دارد. ﺑﺎز اﮔﺮ ﻓﺮض ﮐﻨﯿﻢ ﮐﻪ‬ ‫در آﻣﺎرﮔﯿﺮی ﻫﯿﭻ ﺧﻄﺎی اﻧﺪازهﮔﯿﺮی ﻧﺒﻮده اﺳﺖ، اﻋﺘﺒﺎر ﺑﺮآوردﮔﺮ را ﻣﯽﺗﻮان ﺑﺎ اﻣﺘﺤﺎن ﮐﺮدن ارﯾﺒﯽ‬ ‫ﺑﺮآوردﮔﺮ ارزﺷﯿﺎﺑﯽ ﮐﺮد. ﻫﺮ ﭼﻪ ارﯾﺒﯽ ﮐﻤﺘﺮ ﺑﺎﺷﺪ اﻋﺘﺒﺎر ﺑﯿﺸﺘﺮ اﺳﺖ.‬ ‫درﺳﺘﯽ ﺑﺮآوردﮔﺮ ﺑﻪ اﯾﻦ اﺷﺎره دارد ﮐﻪ ﻣﻘﺪار ﺧﺎﺻﯽ از ﯾﮏ ﺑﺮآورد ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺘﻮﺳﻂ ﭼﻘﺪر از ﻣﻘﺪار‬ ‫واﻗﻌﯽ ﭘﺎراﻣﺘﺮ ﻣﻮرد اﻧﺪازهﮔﯿﺮی ﺑﻪ دور اﺳﺖ. درﺳﺘﯽ ﺑﺮآوردﮔﺮ را ﻣﻌﻤﻮﻻً ﺑﺮ ﻣﺒﻨﺎی ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺗﻮان دوم‬ ‫ﺧﻄﺎ ﯾﺎ ﻫﻢارز آن، ﺑﺮ اﺳﺎس رﯾﺸﮥ دوم ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺗﻮان دوم ﺧﻄﺎ ) ﮐﻪ ﺑﺎ ﻋﻼﻣﺖ ‪ RMSE‬ﻧﺸﺎن داده، آن را‬ ‫»رﯾﺸﮥ ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺗﻮان دوم ﺧﻄﺎ« ﻣﯽﺧﻮاﻧﻨﺪ( ارزﺷﯿﺎﺑﯽ ﻣﯽﮐﻨﻨﺪ. ﻫﺮ ﭼﻪ ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺗﻮان دوم ﺧﻄﺎ ﮐﻮﭼﮑﺘـﺮ‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ، درﺳﺘﯽ ﺑﺮآورد ﺑﯿﺸﺘﺮ اﺳﺖ.‬

‫2.5 ﻣﻼﮐﻬﺎی ﻃﺮح ﻧﻤﻮﻧﻪای ﺧﻮب‬
‫در ﺑﻘﯿﮥ اﯾﻦ ﮐﺘﺎب ﺑﻪ ﺑﺤﺚ ﻃﺮﺣﻬﺎی ﻧﻤﻮﻧﻪای ﮔﻮﻧﺎﮔﻮن ﺧﻮاﻫﯿﻢ ﭘﺮداﺧﺖ و ﻧﺸﺎن ﺧﻮاﻫﯿﻢ داد ﮐﻪ‬ ‫ﭼﮕﻮﻧﮕﯽ دﺳﺘﮑﺎری در ﻃﺮح ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی، ﺷﯿﻮۀ ﺑﺮآورد، ﯾﺎ ﻗﺎﻋﺪۀ ﺷﻤﺎرش، ﺑﺮ ﻗﺎﺑﻠﯿﺖ اﻋﺘﻤﺎد و اﻋﺘﺒﺎر‬ ‫ﺑﺮآوردﻫﺎی ﺣﺎﺻﻞ ﻣﯽﺗﻮاﻧﺪ اﺛﺮ ﺑﮕﺬارد. ﺑﺤﺚ ﺧﻮد را ﺑﻪ ﻧﻤﻮﻧﻪﻫﺎی اﺣﺘﻤﺎﻻﺗﯽ ﻣﺤﺪود ﺧﻮاﻫﯿﻢ ﮐﺮد، زﯾﺮا‬ ‫اﯾﻨﻬﺎ ﺗﻨﻬﺎ ﻃﺮﺣﻬﺎی ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ﻫﺴﺘﻨﺪ ﮐﻪ ارزﺷﯿﺎﺑﯽ ﻗﺎﺑﻠﯿﺖ اﻋﺘﻤﺎد ﺑﺮآوردﻫﺎ را از روی دادهﻫﺎی‬ ‫ﺟﻤﻊآوری ﺷﺪه در آﻣﺎرﮔﯿﺮی ﻣﯿﺴﺮ ﻣﯽﺳﺎزﻧﺪ. ﭼﻮن درﺳﺘﯽ ﯾﮏ ﺑﺮآورد، ﻫﻢ ﺑﺎ ﻗﺎﺑﻠﯿﺖ اﻋﺘﻤﺎد و ﻫﻢ ﺑﺎ‬ ‫اﻋﺘﺒﺎر ﻣﺮﺑﻮط اﺳﺖ و ﭼﻮن درﺳﺘﯽ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺗﻮان دوم ﺧﻄﺎ اﻧﺪازهﮔﯿﺮی ﻣﯽﺷﻮد، ﯾﮑﯽ از‬ ‫ﻣﻼﮐﻬﺎی ﻣﺎ ﺑﺮای اﻧﺘﺨﺎب ﯾﮏ ﻃﺮح ﻧﻤﻮﻧﻪای، اﻧﺪازۀ ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺗﻮان دوم ﺧﻄﺎﺳﺖ ﮐﻪ ﺑﺮای ﺑﺮآوردﻫﺎی‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ اﻧﺘﻈﺎر دارﯾﻢ.‬

‫14‬

‫2.6 ﺧﻼﺻﻪ‬

‫ﻋﻼوه ﺑﺮ ﻣﻼک ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺗﻮان دوم ﺧﻄﺎ، ﻫﺰﯾﻨﮥ ﻻزم ﺑﺮای اﺟﺮای آﻣﺎرﮔﯿﺮی ﻃﺒﻖ ﯾﮏ ﻃﺮح ﻧﻤﻮﻧﻪای‬ ‫ﺧﺎص ﻧﯿﺰ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﻼﮐﯽ ﺑﺮای ارزﺷﯿﺎﺑﯽ آن ﻃﺮح ﻧﻤﻮﻧﻪای ﺧﺎص ﺑﻪ ﮐﺎر ﺧﻮاﻫﺪ رﻓﺖ. ﻣﻼﮐﻬﺎی ﻫﺰﯾﻨﻪ‬ ‫و درﺳﺘﯽ را ﻣﯽﺗﻮان در ﯾﮏ ﻣﻼک ﻣﺮﮐﺐ ﺗﺮﮐﯿﺐ ﮐﺮد ﺑﻪ اﯾﻦ ﺗﺮﺗﯿﺐ ﮐﻪ اﺑﺘﺪا در ﻣﻮرد ﮐﻞ ﻫﺰﯾﻨﻪای ﮐﻪ‬ ‫ﻗﺮار اﺳﺖ ﺑﻪ آﻣﺎرﮔﯿﺮی اﺧﺘﺼﺎص ﯾﺎﺑﺪ ﺗﺼﻤﯿﻢﮔﯿﺮی ﻣﯽﺷﻮد و ﺳﭙﺲ ﻃﺮﺣﯽ ﻧﻤﻮﻧﻪای اﻧﺘﺨﺎب ﻣﯽﺷﻮد‬ ‫ﮐﻪ ﺑﺮآوردﻫﺎﯾﯽ ﺑﻪ دﺳﺖ دﻫﺪ ﮐﻪ ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻫﺰﯾﻨﮥ ﺧﺎص، ﮐﻤﺘﺮﯾﻦ ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺗﻮان دوم ﺧﻄﺎ را داﺷﺘﻪ‬ ‫ﺑﺎﺷﻨﺪ. ﺑﺮﻋﮑﺲ، ﻣﯽﺗﻮاﻧﯿﻢ وﯾﮋﮔﯿﻬﺎی ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺗﻮان دوم ﺧﻄﺎی ﺑﺮآوردﻫﺎ را ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﻢ و ﻃﺮﺣﯽ ﻧﻤﻮﻧﻪای‬ ‫را ﺑﺮﮔﺰﯾﻨﯿﻢ ﮐﻪ ﺑﺎ ﮐﻤﺘﺮﯾﻦ ﻫﺰﯾﻨﮥ ﻣﻤﮑﻦ ﺑﺘﻮاﻧﺪ ﺑﺮآوردﻫﺎﯾﯽ ﺑﻪ دﺳﺖ دﻫﺪ ﮐﻪ وﯾﮋﮔﯿﻬﺎی ﺗﻌﯿﯿﻦ ﺷﺪۀ‬ ‫ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺗﻮان دوم ﺧﻄﺎ را ﺗﺄﻣﯿﻦ ﮐﻨﺪ.‬ ‫ﺑﺎﻻﺧﺮه، ﻋﻼوه ﺑﺮ درﺳﺘﯽ و ﻫﺰﯾﻨﻪ، ﻣﻼک ﺳﻮﻣﯽ ﮐﻪ ﺑﻪ ﮐﺎر ﻣﯽﺑﺮﯾﻢ، ﺷﺪﻧﯽ ﺑﻮدن اﺟﺮای ﯾﮏ ﻃﺮح‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪای ﺧﺎص اﺳﺖ. ﻫﺮ ﻗﺪر ﻃﺮح ﺧﺎﺻﯽ از ﻧﻈﺮ ﻫﺰﯾﻨﻪ ﻣﻘﺮون ﺑﻪ ﺻﺮﻓﻪ ﺑﺎﺷﺪ اﮔﺮ اﺟﺮای آن ﺷﺪﻧﯽ‬ ‫ﻧﺒﺎﺷﺪ ﻫﯿﭻ ﻓﺎﯾﺪهای ﻧﺨﻮاﻫﺪ داﺷﺖ.‬

‫2.6 ﺧﻼﺻﻪ‬
‫در اﯾﻦ ﻓﺼﻞ ﺑﻪ ﺑﺴﻂ ﻣﻔﺎﻫﯿﻢ ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﺟﺎﻣﻌﻪﻫﺎ، ﻧﻤﻮﻧﻪﻫﺎ، و ﺑﺮآوردﻫﺎ ﭘﺮداﺧﺘﯿﻢ.‬ ‫ﺗﻌﺮﯾﻒ ﮐﺮدﯾﻢ ﮐﻪ ﻣﻨﻈﻮر ﻣﺎ از ﺟﺎﻣﻌﻪ ﭼﯿﺴﺖ و ﮔﻔﺘﯿﻢ ﮐﻪ ﭼﮕﻮﻧﻪ ﻋﻨﺎﺻﺮ ﺟﺎﻣﻌﻪ ﻏﺎﻟﺒﺎً ﺑﺮای ﻣﻘﺎﺻﺪ‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی در واﺣﺪﻫﺎی ﺷﻤﺎرش ﯾﺎ واﺣﺪﻫﺎی ﻓﻬﺮﺳﺖﺑﺮداری ﮔﺮوهﺑﻨﺪی ﻣﯽﺷﻮﻧﺪ. ﻧﺸﺎن دادﯾﻢ ﮐﻪ‬ ‫ﭼﮕﻮﻧﻪ واﺣﺪﻫﺎی اوﻟﯿﻪ و واﺣﺪﻫﺎی ﺷﻤﺎرش ﻏﺎﻟﺒﺎً ﺑﺎ ﯾﮏ ﻗﺎﻋﺪۀ ﺷﻤﺮدن ﺑﺎ ﻫﻢ ﭘﯿﻮﻧﺪ ﭘﯿﺪا ﻣﯽﮐﻨﻨﺪ.‬ ‫ﭘﺎراﻣﺘﺮﻫﺎی ﺧﺎﺻﯽ را ﮐﻪ ﺗﻮزﯾﻊ ﻣﺘﻐﯿﺮﻫﺎ در ﺟﺎﻣﻌﻪ را ﻣﺸﺨﺺ ﻣﯽﮐﻨﻨﺪ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﮐﺮدﯾﻢ. ﭘﺎراﻣﺘﺮﻫﺎی ﻣﻮرد‬ ‫ﺑﺤﺚ ﺷﺎﻣﻞ ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺟﺎﻣﻌﻪ، ﻣﺠﻤﻮع ﯾﺎ ﻣﺠﻤﻮع ﺗﺠﻤﻌﯽ، ﻧﺴﺒﺖ، وارﯾﺎﻧﺲ، اﻧﺤﺮاف ﻣﻌﯿﺎر، ﺿﺮﯾﺐ‬ ‫ﺗﻐﯿﯿﺮات، و وارﯾﺎﻧﺲ ﻧﺴﺒﯽ ﺑﻮدﻧﺪ.‬ ‫ﻣﻔﻬﻮم ﮔﺮﻓﺘﻦ ﻧﻤﻮﻧﻪ از ﯾﮏ ﺟﺎﻣﻌﻪ را ﻣﻮرد ﺑﺤﺚ ﻗﺮار دادﯾﻢ و ﻣﯿﺎن ﻧﻤﻮﻧﻪﻫﺎی اﺣﺘﻤﺎﻻﺗﯽ و‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪﻫﺎی ﻏﯿﺮاﺣﺘﻤﺎﻻﺗﯽ ﺗﻤﺎﯾﺰ ﻗﺎﯾﻞ ﺷﺪﯾﻢ. در ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎده از ﭼﺎرﭼﻮﺑﻬﺎی ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی در اﻧﺘﺨﺎب‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪﻫﺎﯾﯽ از ﺟﺎﻣﻌﻪ و اﺳﺘﻔﺎده از اﻧﺘﺨﺎب ﭼﻨﺪ ﻣﺮﺣﻠﻪای ﻧﻤﻮﻧﻪ ﺑﺤﺚ ﮐﺮدﯾﻢ. آﻣﺎرهﻫﺎی ﺧﻼﺻﮥ ﻣﺮﺑﻮط‬ ‫ﺑﻪ ﻧﻤﻮﻧﻪﻫﺎ از ﻗﺒﯿﻞ ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﻧﻤﻮﻧﻪ، ﻣﺠﻤﻮع ﻧﻤﻮﻧﻪ، ﻧﺴﺒﺖ ﻧﻤﻮﻧﻪ، و وارﯾﺎﻧﺲ ﻧﻤﻮﻧﻪ ﻣﻌﺮﻓﯽ ﺷﺪﻧﺪ و‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده ازآﻧﻬﺎ را در ﺗﻬﯿﮥ ﺑﺮآوردﻫﺎی ﻣﺸﺨﺼﻪﻫﺎ ﯾﺎ ﻣﺘﻐﯿﺮﻫﺎی ﺟﺎﻣﻌﻪ ﻣﻮرد ﺑﺤﺚ ﻗﺮار دادﯾﻢ.‬ ‫ﻣﻔﺎﻫﯿﻢ ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﺗﻮزﯾﻊ ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ﺑﺮآوردﻫﺎ، از ﺟﻤﻠﻪ ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺗﻮزﯾﻊ ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ﺑﺮآورد، وارﯾﺎﻧﺲ‬ ‫و ﺧﻄﺎی ﻣﻌﯿﺎر آن، ارﯾﺒﯽ آن، و ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺗﻮان دوم ﺧﻄﺎی آن ﺷﺮح داده ﺷﺪ. ﺳﭙﺲ ﻣﻔﺎﻫﯿﻢ ﻗﺎﺑﻠﯿﺖ‬

‫ﺟﺎﻣﻌﻪ و ﻧﻤﻮﻧﻪ‬

‫24‬

‫اﻋﺘﻤﺎد، اﻋﺘﺒﺎر و درﺳﺘﯽ ﺑﺮآورد ﯾﮏ ﻣﺸﺨﺼﮥ ﺟﺎﻣﻌﻪ در راﺑﻄﻪ ﺑﺎ ﻣﻔﺎﻫﯿﻢ وارﯾﺎﻧﺲ، ارﯾﺒﯽ و ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺗﻮان‬ ‫دوم ﺧﻄﺎ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﺷﺪﻧﺪ.‬

‫ﺗﻤﺮﯾﻦ‬
‫‪ D ،C ، B، A‬و ‪E‬‬

‫ﺟﺪول زﯾﺮ ﺟﺎﻣﻌﻪای ﻣﺘﺸﮑﻞ از ﭘﻨﺞ ﺑﯿﻤﺎرﺳﺘﺎن را اراﺋﻪ ﻣﯽدﻫﺪ ﮐﻪ ﺑﺎ ﻧﺸﺎﻧﻪﻫﺎی‬ ‫ﻧﺎﻣﮕﺬاری ﺷﺪهاﻧﺪ. ﺗﻌﺪاد ﮐﻞ ﺗﺨﺘﻬﺎی ﻫﺮ ﺑﯿﻤﺎرﺳﺘﺎن ﻧﯿﺰ اراﺋﻪ ﺷﺪه اﺳﺖ.‬
‫ﺗﻌﺪاد ﺗﺨﺖ‬ ‫061‬ ‫022‬ ‫058‬ ‫015‬ ‫011‬ ‫ﺑﯿﻤﺎرﺳﺘﺎن‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬

‫2.1‬

‫اﻟﻒ. ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺗﻌﺪاد ﺗﺨﺘﻬﺎ، ‪ ، x‬و اﻧﺤﺮاف ﻣﻌﯿﺎر ﺗﻮزﯾﻊ ﺗﻌﺪاد ﺗﺨﺘﻬﺎ، ‪ ، σ x‬را در ﺟﺎﻣﻌﮥ ﻣﺘﺸﮑﻞ از‬ ‫ﭘﻨﺞ ﺑﯿﻤﺎرﺳﺘﺎن ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ.‬ ‫ب. از اﯾﻦ ﺟﺎﻣﻌﮥ ﻣﺘﺸﮑﻞ از ﭘﻨﺞ ﺑﯿﻤﺎرﺳﺘﺎن، ﭼﻨﺪ ﻧﻤﻮﻧﮥ ﻣﺘﺸﮑﻞ از 2 ﺑﯿﻤﺎرﺳﺘﺎن ﻣﯽﺗﻮان‬ ‫اﻧﺘﺨﺎب ﮐﺮد؟‬ ‫پ. ﻫﺮ ﯾﮏ از ﻧﻤﻮﻧﻪﻫﺎی ﻣﻤﮑﻦ ﻣﺘﺸﮑﻞ از دو ﺑﯿﻤﺎرﺳﺘﺎن را ﻓﻬﺮﺳﺖ ﮐﻨﯿﺪ و ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺗﻌﺪاد‬ ‫ﺗﺨﺘﻬﺎ را ﺑﺮای ﻫﺮ ﻧﻤﻮﻧﻪ ﺑﻪ ازای ﻫﺮ ﺑﯿﻤﺎرﺳﺘﺎن ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ.‬ ‫ت. ﺑﺎ ﻓﺮض اﯾﻦ ﮐﻪ ﻫﺮ ﯾﮏ از ﻧﻤﻮﻧﻪﻫـﺎی ﻓﻬﺮﺳﺖ ﺷﺪه در ﺑﺨﺶ پ اﺣﺘـــﻤﺎل ﺑﺮاﺑﺮ ﺑـــﺮای‬ ‫اﻧﺘﺨــــﺎب ﺷـﺪن داﺷﺘــﻪ ﺑﺎﺷﻨـﺪ، ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ) ‪ E (x‬و ) ‪ ، Var (x‬وارﯾﺎﻧﺲ ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻨﻬﺎی ﺗﻮزﯾـﻊ‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ‪ x‬را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ. ﻣﻘﺎﯾﺴﮥ ) ‪ E (x‬ﺑﺎ ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺟﺎﻣﻌﻪای ‪ X‬ﭼﮕﻮﻧﻪ اﺳﺖ؟‬ ‫ث. ﺧﻄﺎی ﻣﻌﯿﺎر ‪ x‬را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ. ﻣﻘﺎﯾﺴﮥ ) ‪ SE (x‬ﺑﺎ اﻧﺤﺮاف ﻣﻌﯿﺎر ﺟﺎﻣﻌﻪ، ‪ ، σ x‬از ﭼﻪ ﻗــﺮار‬ ‫اﺳﺖ؟‬ ‫ج. ﭼﻨﺪ ﻧﻤﻮﻧﮥ ﻣﺨﺘﻠﻒ ﻣﺘﺸﮑﻞ از ﭼﻬﺎر ﺑﯿﻤﺎرﺳﺘﺎن ﻣﯽﺗﻮان از اﯾﻦ ﺟﺎﻣﻌﻪ ﺑﻪ دﺳﺖ آورد؟ ﻫﺮ‬ ‫ﯾﮏ از اﯾﻦ ﻧﻤﻮﻧﻪﻫﺎ را ﻫﻤﺮاه ﺑﺎ ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﻧﻤﻮﻧﻪ، ‪ ، x‬ﺑﺮای ﻫﺮ ﻧﻤﻮﻧﻪ ﻓﻬﺮﺳﺖ ﮐﻨﯿﺪ.‬ ‫چ. ) ‪ E (x‬و ) ‪ Var (x‬را ﺑﺮای ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻨﻬﺎی ﻧﻤﻮﻧﮥ ﻓﻬﺮﺳﺖ ﺷﺪه در ﺑﺨﺶ ج ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ.‬ ‫ﻣﻘﺎﯾﺴﮥ اﯾﻦ ﻣﻘﺎدﯾﺮ ﺑﺎ ) ‪ E (x‬و ) ‪ Var (x‬ﮐﻪ در ﺑﺨﺶ ت ﺑﻪ دﺳﺖ آﻣﺪهاﻧﺪ از ﭼﻪ ﻗﺮار‬ ‫اﺳﺖ؟‬

‫34‬

‫ﺗﻤﺮﯾﻦ‬

‫2.2 ﻣﺸﺨـﺺ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ﺑﺮای ﻫﺮ ﯾﮏ از ﻣﺴﺌﻠﻪﻫﺎی زﯾﺮ ﭼﮕﻮﻧﻪ ﺑﺎﯾﺪ ﯾﮏ ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی را اﺟـــﺮا ﮐﺮد.‬ ‫ﻣﻮارد زﯾﺮ را ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ:‬ ‫اﻟﻒ. ﺟﺎﻣﻌﻪ‬ ‫ب. ﻣﺘﻐﯿﺮ)ﻫﺎ(‬ ‫پ. واﺣﺪ اوﻟﯿﻪ‬ ‫ت. ﭼﺎرﭼﻮب‬ ‫ث. واﺣﺪ ﺷﻤﺎرش‬ ‫1. ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﻣﯽﺧﻮاﻫﯿﻢ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﻫﺰﯾﻨﮥ ﻋﻤﻞ ﺟﺮاﺣﯽ آﭘﺎﻧﺪﯾﺲ را در ﯾﮏ اﯾﺎﻟﺖ‬ ‫ﻣﺸﺨﺺ ﺑﺮآورد ﮐﻨﯿﻢ. اﯾﻦ اﯾﺎﻟﺖ 72 ﺑﯿﻤﺎرﺳﺘﺎن دارد.‬ ‫2. ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﻣﯽﺧﻮاﻫﯿﻢ ﯾﮏ آﻣﺎرﮔﯿﺮی ﺗﻐﺬﯾﻪ اﻧﺠﺎم دﻫﯿﻢ ﺗﺎ ﻣﻘﺪار ﻣﺘﻮﺳﻂ ﻓﯿﺒﺮ‬ ‫ﻣﺼﺮف ﺷﺪه ﺗﻮﺳﻂ اﻓﺮاد را در ﯾﮏ ﺷﻬﺮ ﺑﺮآورد ﮐﻨﯿﻢ. ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﻫﯿﭻ ﻓﻬﺮﺳﺘﯽ از‬ ‫ﺧﺎﻧﻮادهﻫﺎی اﯾﻦ ﺷﻬﺮ ﻣﻮﺟﻮد ﻧﯿﺴﺖ وﻟﯽ ﻧﻘﺸﻪای ﻫﺴﺖ ﮐﻪ ﻫﺮ ﺑﻠﻮک ﺷﻬﺮ را ﺑﺎ‬ ‫ﺟﺰﯾﯿﺎت ﮐﺎﻣﻞ ﻧﺸﺎن ﻣﯽدﻫﺪ.‬ ‫3. ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﻣﯽﺧﻮاﻫﯿﻢ ﻧﺴﺒﺖ ﮔﻮﺳﺎﻟﻪﻫﺎﯾﯽ را ﺑﻪ دﺳﺖ آورﯾﻢ ﮐﻪ ﺗﺎ ﻗﺒﻞ از رﺳﯿﺪن‬ ‫ﺑﻪ ﯾﮏ ﺳﺎﻟﮕﯽ در ﺗﻤﺎم داﻣﺪارﯾﻬﺎی ﭘﺮورشدﻫﻨﺪۀ ﮔﺎو ﺷﯿﺮی در ﯾﮏ اﯾﺎﻟﺖ ﺧﺎص‬ ‫ﺗﻠﻒ ﻣﯽﺷﻮﻧﺪ.‬ ‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﯾﮏ آﻣﺎرﮔﯿﺮی ﺑﺮای ﺑﺮآورد ﮐﺮدن ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺗﻌﺪاد ﺳﺎﻋﺘﻬﺎی ورزش روزاﻧﮥ ﺑﺰرﮔﺴﺎﻻن‬ ‫)81 ﺳﺎﻟﻪ ﺑﻪ ﺑﺎﻻ( در ﯾﮏ ﻣﺤﻠﮥ ﺧﺎص در دﺳﺖ ﺑﺮﻧﺎﻣﻪرﯾﺰی اﺳﺖ. ﻓﻬﺮﺳﺘﯽ از اﻓﺮاد ﺳﺎﮐـــﻦ در‬ ‫اﯾﻦ ﺷﻬﺮ ﻣﻮﺟﻮد ﻧﯿﺴﺖ، وﻟﯽ ﻓﻬﺮﺳﺘﯽ از ﺗﻤﺎم ﺧﺎﻧﻮارﻫﺎ در دﻓﺘﺮ ﺛﺒﺖ اﺣﻮال ﺷﻬﺮ ﻣﻮﺟﻮد اﺳﺖ.‬ ‫ﺑﺮای ﺳﻬﻮﻟﺖ ﮐﺎر ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ اﯾﻦ ﻓﻬﺮﺳﺖ ﺷﺎﻣﻞ 9 ﺧﺎﻧﻮار اﺳﺖ و اﮔﺮ ﺑﻪ ﺧﺎﻧﻮارﻫﺎ ﻣﺮاﺟﻌﻪ‬ ‫ﻣﯽﮐﺮدﯾﺪ اﻃﻼﻋﺎﺗﯽ ﺑﻪ ﺷﺮح ﺟﺪول زﯾﺮ ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﯽآوردﯾﺪ.‬ ‫اﻟﻒ. ﻣﻮارد زﯾﺮ را ﺗﻌﺮﯾﻒ ﮐﻨﯿﺪ:‬ ‫1. ﺟﺎﻣﻌﻪ‬ ‫2. واﺣﺪ اوﻟﯿﻪ‬ ‫3. واﺣﺪ ﺷﻤﺎرش‬ ‫4. ﭼﺎرﭼﻮب‬ ‫5. ﻣﺘﻐﯿﺮ‬ ‫2.3‬

‫ﺟﺎﻣﻌﻪ و ﻧﻤﻮﻧﻪ‬

‫44‬

‫ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺗﻌﺪاد ﺳﺎﻋﺘﻬﺎی ورزش روزاﻧﮥ ﻫﻤﮥ ﺑﺰرﮔﺴﺎﻻن‬

‫ﺗﻌﺪاد ﺑﺰرﮔﺴﺎﻻن‬

‫ﺧﺎﻧﻮار‬

‫1‬ ‫3‬ ‫7‬ ‫8‬ ‫4‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫0‬

‫2‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫5‬ ‫3‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫2‬

‫1‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫4‬ ‫5‬ ‫6‬ ‫7‬ ‫8‬ ‫9‬

‫ب. ﺑـﺮای ﺑﺮآورد زﻣﺎن ﻣﺘﻮﺳــﻄﯽ ﮐﻪ روزاﻧﻪ ﺻـﺮف ورزش ﺗﻮﺳـﻂ ﺑﺰرﮔﺴـﺎﻻن ﺳــﺎﮐﻦ در‬ ‫ﻣﺤﻠﻪ ﻣﯽﺷﻮد ﯾﮏ ﻃﺮح ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ﺗﻬﯿﻪ ﮐﻨﯿﺪ.‬ ‫پ. ﺑﺎ اﺳﺘﻔــــﺎده از اﯾﻦ ﭼﺎرﭼﻮب، ﺗﻤﺎم ﻧﻤﻮﻧﻪﻫـﺎی ﻣﺘﺸـــﮑﻞ از دو ﺧﺎﻧـﻮار را اﻧﺘﺨــﺎب و‬ ‫ﻣﺘﻮﺳﻂ زﻣﺎن ورزش را ﺑﺮای ﻫﺮ ﯾﮏ از اﻓﺮاد ﻫﺮ ﻧﻤﻮﻧﻪ ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ.‬ ‫ت. ﻣﻘـــﺪار ﻣﻮرد اﻧﺘﻈﺎر ﺑﺮآورد ﺧــﻮد را ﺣﺴﺎب و آن را ﺑﺎ ﭘﺎراﻣﺘﺮ واﻗﻌﯽ ﺟﺎﻣﻌﻪ ﻣﻘﺎﯾﺴﻪ‬ ‫ﮐﻨﯿﺪ.‬ ‫ث. ﺧﻄﺎی ﻣﻌﯿﺎر ﺑﺮآورد ﺧﻮد را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ.‬ ‫ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﺑﺨﺸﯽ از ﯾﮏ ﺑﺮﻧﺎﻣﮥ آﻣــﻮزش اﯾﺪز، ﺑﻪ 021 ﻧﻔـﺮ از ﻣﺼﺮفﮐﻨﻨﺪﮔﺎن ﻣــﻮاد ﻣﺨـــﺪر‬ ‫ﺗﺰرﯾﻘﯽ ﮐﻪ آزﻣﺎﯾﺶ ﺧﻮن آﻧﻬﺎ در اوﻟﯿﻦ ﻏﺮﺑﺎﻟﮕﺮی ﺑﺮای ‪) 1 HIV‬وﯾﺮوس ﮐﺎﻫﺶ اﯾﻤﻨﯽ اﻧﺴﺎن(‬ ‫ﻣﻨﻔﯽ ﺑﻮد ﮔﻔﺘﻪ ﺷﺪ ﮐﻪ ﺳﻮزﻧﻬﺎی ﺧﻮد را ﺿﺪﻋﻔﻮﻧﯽ و »رواﺑﻂ ﺟﻨﺴﯽ ﺳﺎﻟﻢ« ﺑﺮﻗﺮار ﮐﻨﻨﺪ. ﯾﮏ‬ ‫ﺳﺎل ﭘﺲ از ﺷﺮوع ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ، ﻧﻤﻮﻧﻪای ﻣﺘﺸﮑﻞ از 03 ﻧﻔﺮ از اﯾﻦ آزﻣﻮدﻧﯿﻬﺎ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﺪ ﺑﻪ اﯾﻦ ﺗﺮﺗﯿﺐ‬ ‫ﮐﻪ ﺑﻪ ﺷﺮﮐﺖﮐﻨﻨﺪﮔﺎن از 1 ﺗﺎ 021 ﺷﻤﺎره داده ﺷﺪ و ﻫﻤﮥ ﮐﺴﺎﻧﯽ ﮐﻪ ﺷﻤﺎرۀ آﻧﻬﺎ ﺑﻪ ﭼﻬﺎر ﻗﺎﺑﻞ‬ ‫ﻗﺴﻤﺖ ﺑﻮد اﻧﺘﺨﺎب ﺷﺪﻧﺪ )ﺑﺮای ﻣﺜﺎل 4، 8، 21 و اﻟﺦ(.‬ ‫اﻟﻒ. ﺷﺎﻧﺲ ﻫﺮ ﯾﮏ از اﻓﺮاد ﺑﺮای اﻧﺘﺨﺎب ﺷﺪن در ﻧﻤﻮﻧﻪ ﭼﻘﺪر اﺳﺖ؟‬ ‫ﻣﺜﺒﺖ ﺑﺎﺷﺪ،‬
‫‪HIV‬‬

‫2.4‬

‫ب. اﮔﺮ ﻧﺘﯿﺠﮥ آزﻣﺎﯾﺶ ﺧﻮن آزﻣﻮدﻧﯿﻬﺎی ﺷﻤﺎرۀ 1، 3، 4، 8، 92 و 56ﺑﺮای‬ ‫ﻧﺴﺒﺖ ﺗﻐﯿﯿﺮ وﺿﻊ آزﻣﺎﯾﺶ ﺧﻮن آزﻣﻮدﻧﯿﻬﺎ ﺑﺮای اﯾﻦ ﺟﺎﻣﻌﻪ ﭼﻘﺪر اﺳﺖ؟‬

‫1‬

‫‪Human Immunodeficiency Virus‬‬

‫54‬

‫ﺗﻤﺮﯾﻦ‬

‫پ. ﻧﺴﺒﺖ آزﻣﻮدﻧﯿﻬﺎی ﺑﺎ ﺗﻐﯿﯿﺮ وﺿﻌﯿﺖ در ﻧﻤﻮﻧﻪ ﭼﻘﺪر اﺳﺖ؟ آﯾﺎ اﯾﻦ ﺑﺮآورد ﻧﺴﺒﺖ ﺟﺎﻣﻌﻪای‬ ‫ﻧﺎارﯾﺐ اﺳﺖ؟‬ ‫ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﺑﺨﺸﯽ از ﯾﮏ ﺑﺮﻧﺎﻣﮥ ﺑﺎزارﯾﺎﺑﯽ، ﯾﮏ ﺑﻠﻮک ﺷﻬﺮی دارای 4 ﺧﺎﻧﻮار اﻧﺘﺨﺎب ﺷﺪه و از آن‬ ‫ﻧﻤﻮﻧـﻪای ﻣﺘﺸﮑﻞ از 3 ﺧﺎﻧﻮار ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﺪ: آﻗﺎی ‪ ،J‬دﺳﺘﯿﺎر ﺗﺤﻘﯿﻖ، ﺧﺎﻧﻮارﻫﺎ را‬ ‫ﺷﻨﺎﺳﺎﯾﯽ و ﻫﺮ ﯾﮏ را از 1 ﺗﺎ 4 ﺷﻤﺎرهﮔﺬاری ﮐﺮد. ﺳﭙﺲ ﺗﻤﺎم ﺗﺮﮐﯿﺒﻬﺎی دوﺗﺎﯾﯽ از 4 ﺧﺎﻧﻮار را‬ ‫ﻓﻬﺮﺳﺖ ﮐﺮد. اﯾﻦ ﺗﺮﮐﯿﺒﻬﺎ ﭼﻨﯿﻦاﻧﺪ:‬
‫1, 4‬ ‫3, 4‬ ‫1, 3‬ ‫2, 4‬ ‫1, 2‬ ‫2, 3‬

‫2.5‬

‫ﻣﺘﺎﺳﻔﺎﻧﻪ، آﻗﺎی ‪ J‬ﺑﺴﯿﺎر ﺑﯽدﻗﺖ ﺑﻮد و اﯾﻦ ﮐﺎر را ﺑﻪ اﯾﻦ دﻟﯿﻞ ﺑﻪ دﺳﺖ آورده ﺑﻮد ﮐﻪ ﺑﺎ رﺋﯿﺲ‬ ‫اداره ﻧﺴﺒﺘﯽ داﺷﺖ. اوﺗﺮﮐﯿﺐ 3 , 4 را ﻓﺮاﻣﻮش ﮐﺮد. ﯾﮏ ﺷﻤﺎرۀ ﺗﺼﺎدﻓﯽ را ﺑﯿﻦ 1 و 5 اﻧﺘﺨﺎب‬ ‫ﮐﺮد )ﮐﻪ ﺗﺼﺎدﻓﺎً 4 درآﻣﺪ( وﺗﺮﮐﯿﺐ 2, 3 ﺑﺮای ﻧﻤﻮﻧﻪ اﻧﺘﺨﺎب ﺷﺪ. ﻣﺘﻐﯿﺮ ﻣﻮردﻧﻈﺮ، ﻫﺰﯾﻨﻪﻫﺎی‬ ‫درﻣﺎﻧﯽ ﻧﻘﺪی ﺑﻮد ﮐﻪ ﻫﺮﺧﺎﻧﻮار ﻣﺘﻘﺒﻞ ﻣﯽﺷﺪ. اﯾﻦ ﻫﺰﯾﻨﻪﻫﺎ ﺑﺮای 4 ﺧﺎﻧﻮار ﺑﻪ ﺷﺮح زﯾﺮ ﺑﻮدﻧﺪ:‬
‫ﻫﺰﯾﻨﻪﻫﺎ )ﺑﻪ دﻻر(‬ ‫ﺧﺎﻧﻮار‬

‫/543‬‫/621‬‫/294‬‫-/269‬

‫1‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫4‬

‫اﻟﻒ. ﺑﺮ اﺳﺎس ﺷﯿﻮۀ ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی ‪ ، J‬ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ، ﺧﻄﺎی ﻣﻌﯿﺎر و ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺗـﻮان دوم ﺧﻄﺎی ﺑﺮآورد‬ ‫ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﻫﺰﯾﻨﻪﻫﺎی درﻣﺎﻧﯽ ﻧﻘﺪی ﭼﻘﺪر اﺳﺖ؟‬ ‫ب. آﯾﺎ ﺑﺮآورد ﺣﺎﺻﻞ از اﯾﻦ ﺷﯿﻮۀ ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی، ﻧﺎارﯾﺐ اﺳﺖ؟‬ ‫پ. آﯾﺎ ﻫﺮ ﺧﺎﻧﻮار ﺷﺎﻧﺲ ﯾﮑﺴﺎﻧﯽ ﺑﺮای اﻧﺘﺨﺎب ﺷﺪن در ﻧﻤﻮﻧﻪ دارد؟ ﭼﺮا آری؟ ﭼﺮا ﻧﻪ؟‬ ‫ﻣﺎﯾﻞاﻧﺪ ﺑﺮای ﮐﻨﺘﺮل ﮐﯿﻔﯿﺖ دادهﻫﺎی آزﻣﺎﯾﺸﮕﺎﻫﯽ، از ﯾــﮏ آزﻣﺎﯾﺶ ﺑﺎﻟﯿﻨﯽ ﺑﺰرگ ﺑﻪ ﻣﻨﻈــــﻮر‬ ‫ﺑﺮآورد ﮐﺮدن ﻧﺴﺒﺖ ﻣﻘﺎدﯾﺮ آزﻣﺎﯾﺸﮕﺎﻫﯽ ﻏﯿﺮ ﻣﻌﺘﺒﺮﻣﻮﺟﻮد در ﭘﺎﯾﮕﺎه اﻃﻼﻋﺎﺗﯽ ﺑﺮرﺳﯿﯽ اﻧﺠﺎم‬ ‫دﻫﻨﺪ. دراﯾﻦ آزﻣﺎﯾﺶ ﺑﺎﻟﯿﻨﯽ 493 ﺑﯿﻤﺎر ﺣﻀﻮر دارﻧﺪ ﮐﻪ ﺑﺮای ﻫﺮ ﯾﮏ از 06 ﺗﺎ 002 ﺗﺸﺨﯿﺺ‬ ‫آزﻣﺎﯾﺸﮕﺎﻫﯽ در ﻃﯽ دورۀ آزﻣﺎﯾﺶ ﺑﻪ دﺳﺖ آﻣﺪه اﺳﺖ. ﺑﺮﻧﺎﻣﮥ ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی اﻧﺘﺨﺎﺑﯽ، اﻧﺘﺨﺎب ﯾﮏ‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﮥ ﺗﺼﺎدﻓﯽ ﻣﺘﺸﮑﻞ از 01 ﺑﯿﻤﺎر ﺑﻮد و ﺑﺮای ﻫﺮ ﻓﺮد ﻧﻤﻮﻧﻪ 01 ﺗﺸﺨﯿﺺ آزﻣﺎﯾﺸﮕﺎﻫﯽ ﺑﻪ‬ ‫2.6‬

‫ﺟﺎﻣﻌﻪ و ﻧﻤﻮﻧﻪ‬

‫64‬

‫ﺻﻮرت ﻧﻤﻮﻧﮥ ﺗﺼﺎدﻓﯽ اﻧﺘﺨﺎب ﺷﺪ ﮐﻪ ﺑﻌﺪاً ﺑﺮرﺳﯽ درﺳﺘﯽ آن ﺑﺎ ﺳﻮاﺑﻖ درﻣﺎﻧﯽ ﺑﯿﻤﺎر ﭼﮏ‬ ‫ﻣﯽﺷﺪ.‬ ‫اﻟﻒ. واﺣﺪﻫﺎی اوﻟﯿﻪ در اﯾﻦ ﻃﺮح ﻧﻤﻮﻧﻪای ﮐﺪاماﻧﺪ؟‬ ‫ب واﺣﺪﻫﺎی ﻧﻤﻮﻧﻪﮔﯿﺮی در اﯾﻦ ﻃﺮح ﻧﻤﻮﻧﻪای ﮐﺪاماﻧﺪ؟‬ ‫پ. آﯾﺎ ﻫﺮ ﯾﮏ از اﻓﺮاد ﺟﺎﻣﻌﻪ ﺷﺎﻧﺲ ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺮای اﻧﺘﺨﺎب ﺷﺪن در ﻧﻤﻮﻧﻪ را دارﻧﺪ؟‬ ‫ت. آﯾﺎ ﻫﺮ ﺗﺸﺨﯿﺺ آزﻣﺎﯾﺸﮕﺎﻫﯽ در اﯾﻦ ﺟﺎﻣﻌﻪ، ﺷﺎﻧﺲ ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺮای اﻧﺘﺨﺎب ﺷﺪن در ﻧﻤﻮﻧﻪ را‬ ‫دارد؟‬ ‫دادهﻫﺎی ﺣﺎﺻﻞ از ﻧﻤﻮﻧﮥ ﺗﻮﺻﯿﻒ ﺷﺪه در ﺗﻤﺮﯾﻦ 2.6 ﺑﻪ ﺷﺮح زﯾﺮ اﺳﺖ:‬
‫ﮐﻞ ﻣﻘﺎدﯾﺮ ﻧﺎﻣﻌﺘﺒﺮ آزﻣﺎﯾﺸﮕﺎﻫﯽ در 01 ﻧﻤﻮﻧﻪ‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫2‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫آزﻣﻮدﻧﯽ‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫4‬ ‫5‬ ‫6‬ ‫7‬ ‫8‬ ‫9‬ ‫01‬

‫2.7‬

‫ﺑﺮ اﺳﺎس اﯾﻦ دادهﻫﺎ، ﺑﺮآورد ﻧﺴﺒﺖ ﻧﺘﺎﯾﺞ آزﻣﺎﯾﺸﮕﺎﻫﯽ ﻧﺎﻣﻌﺘﺒﺮ ﭼﻘﺪر اﺳﺖ؟‬ ‫ﺟﺪول زﯾﺮ ﺗﻌﺪاد ﮐﻞ ﺗﺸﺨﯿﺼﻬﺎی آزﻣﺎﯾﺸﮕﺎﻫﯽ ﺑﺮای 01 ﺑﯿﻤﺎر ﻧﻤﻮﻧﮥ ﺗﻮﺻﯿﻒ ﺷﺪه در ﺗﻤــﺮﯾﻦ‬ ‫2.6 ﻫﻤﺮاه ﺑﺎ ﺗﻌﺪاد ﺗﺸﺨﯿﺼﻬﺎی ﻧﺎﻣﻌﺘﺒﺮ ﺑﯿﻦ 01 ﺗﺸﺨﯿﺺ ﻧﻤﻮﻧﻪ را ﻧﺸﺎن ﻣﯽدﻫﺪ:‬ ‫ﺑﺮ اﺳﺎس اﯾﻦ دادهﻫﺎ، ﻧﺴﺒﺖ ﻣﻘﺎدﯾﺮ آزﻣﺎﯾﺸﮕﺎﻫﯽ ﻧﺎﻣﻌﺘﺒﺮ را ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻫﻤﮥ دادهﻫﺎی ﺟﺪول‬ ‫ﺑﺎﻻ ﺑﺮآورد ﮐﻨﯿﺪ.‬ ‫2.8‬

47

‫ﮐﺘﺎﺑﺸﻨﺎﺳﯽ‬

‫ﻣﺠﻤﻮع ﻣﻘﺎدﯾﺮ ﻧﺎﻣﻌﺘﺒﺮ آزﻣﺎﯾﺸﮕﺎﻫﯽ در 01 ﻧﻤﻮﻧﻪ‬ 1 0 2 0 1 0 0 0 0 1

‫ﻣﺠﻤﻮع ﻣﻘﺎدﯾﺮ آزﻣﺎﯾﺸﮕﺎﻫﯽ‬ 103 123 93 200 128 165 132 189 176 180

‫آزﻣﻮدﻧﯽ‬ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

.‫اﺻﻄﻼح ﺳﺘﻮن 1 را ﺑﺎ ﻣﻨﺎﺳﺒﺘﺮﯾﻦ اﺻﻄﻼح ﺳﺘﻮن 2 ﺟﻮر ﮐﻨﯿﺪ‬
2 ‫ﺳﺘﻮن‬ 1 ‫ﺳﺘﻮن‬ ‫1- ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺗﻮان دوم ﺧﻄﺎ‬ ‫2- ﻗﺎﺑﻠﯿﺖ اﻋﺘﻤﺎد‬ ‫3- ارﯾﺒﯽ‬ ‫4- ﺟﺎﻣﻌﻪ‬ ‫5- ﻣﺠﻤﻮع ﻧﻤﻮﻧﻪ‬ ‫6- ﻣﺠﻤﻮع ﺟﺎﻣﻌﻪ‬

9.2

∑ ∑

n

i =1 i

x .‫اﻟﻒ‬

‫ﺟﺎﻣﻌﻪ‬ ‫درﺳﺘﯽ‬
N i =1

.‫ب‬ .‫پ‬ .‫ت‬ .‫ث‬ .‫ج‬

Xi

‫اﻋﺘﺒﺎر‬ ‫وارﯾﺎﻧﺲ‬

‫ﮐﺘﺎﺑﺸﻨﺎﺳﯽ‬
The sampling texts cited in Chapter 1 [1-16] all develop the concepts discussed in this chapter, each in its own way. The following sampling text by Hajek [1] presents in Chapter 1 an especially good discussion of the concepts developed in this chapter. 1. Hajek, J. H., Sampling from a Finite Population, Marcel Dekker, New York and Basel, 198 1 . The concept of counting rule will be developed further in a later chapter when we discuss the topic of network sampling. The following articles give examples of the use of counting rules in sample surveys. 2. Sirken, M. G., Household surveys with multiplicity. Journal of the American Statistical Association, 65: 257, l 970. 3. Sirken, M. G., and Levy, P. S., Multiplicity estimation of proportions based on ratios of random variables. Journal of the American Statistical Association, 69: 68, 1974.

‫ﺟﺎﻣﻌﻪ و ﻧﻤﻮﻧﻪ‬

48

4. Czaja, R., and Blair, J., Using network sampling in victimization surveys. Journal of Quantitative Criminology, 6: 186. 1990. 5. Sirken, M. G., Network sampling. In The Encyclopedia of Bioslatistics. Armitage, P. A., and Colton, T., Eds. Wiley, Chichester, U.K., 1998. The following expository articles appearing in The Encyclopedia of Biostatistics provide a more complete discussion of some of the topics discussed in this chapter. 6. King, B., Quota, representative, and other methods of purposive sampling. In The Encyclopedia of Biostatistics, Armitage, P. A., and Colton, T., Eds. Wiley, Chichester, U.K., 1998. 7. Warnecke, R. B., Sampling frames. In The Encyclopedia of Biostatistics, Armitage, P. A., and Colton, T., Eds. Wiley, Chichester, U.K., 1998. 8. Xia, Z., Probability sampling. In The Encyclopedia of Biostatistics. Armitage, P. A., and Colton, T., Eds. Wiley, Chichester, U.K., 1998.