Vækstmodeller Lineærvækstmodel: Den lineære funktion har følgende funktionsforskrift: fx=ax+b eller y=ax+b. Heraf er a hældningskoefficienten, altså hvor meget en funktion vokser eller aftager, hvis a er et positivt tal vokser funktionen og hvis a er negativ aftager funktionen, og b = f(0), altså skæringen med 2. aksen. Den lineære funktion har en vækst der siger at; når x vokser med Δx, så får f(x) en tilvækst af a· Δx. Der er tre forskellige former for lineære funktioner; den voksende (a>0), den aftagende (a<0) og den stillestående (a=0). Grafen til venstre viser de tre former for lineære funktioner: Den røde funktion, f2(x)=2x+1, er voksende, da a er størrere end 0. Den sorte funktion, f3(x)=-x+0, er aftagende, da a er mindere end 0. Den blå funktion, f1(x)=0x+3, er stillestående, da a er lige med 0. Man kan finde en lineærfunktions forskrift ud fra to punkter, ved at bruge topunktsformlen: a=y2-y1x2-x1 og b=y1-a∙x1
Bevis
Første punkt ligger i koordinatet (x1, y1) og andet punkt ligger i koordinatet (x2, y2), da begge punkter må være en del af funktionen gælder det, at y1=ax1+b og y2=ax2+b. Vi starter med at trække den første ligning fra den sidste ligning: y2-y1=ax2+b-ax1+b Dernæst opløser vi parenteserne, hvilket skifter fortegnet på indholdet af parentesen: y2-y1=ax2+b-ax1-b Så forkorter vi ligningen, da b’erne går ud med hinanden: y2-y1=ax2-ax1 Derefter faktoriserer vi a’erne fra x’erne: y2-y1=a(x2-x1) Til sidst isolerer vi a, ved at dividere (x2-x1) på begge sider: a=y2-y1x2-x1 B bestemmes dernæst ved at bruge a, da b nu er den eneste ubekendte i ligningerne: y1=ax1+b og y2=ax2+b. Begge ligninger kan bruges til at finde b, og vi vælger den første af dem: y1=ax1+b Det eneste vi skal gøre er at isolere b i ligningen, ved at trække ax1 fra på begge sider: y1-ax1=b Eksponentielvækstmodel: Den eksponentielle funktion har følgende forskrift: fx=b∙ax, heraf er a er fremskrivningsfaktoren, altså hastigheden f(x)-værdien vokser med og b er, ligesom i den lineære funktion, skæringen med 2. aksen. Eksponentielfunktionen skærer aldrig med 1. aksen og så har den en vækst der siger at; når x vokser med Δx, så ganges f(x) med aΔx. Der er to former for eksponentielfunktioner; den voksende (a>1) og en aftagende (0<a<1).

Grafen til venstre viser de to former for eksponentielfunktioner: Den blå funktion, f1(x)=2x, er voksende, da a er mere end 1. Den røde funktion, f2(x)=0.5x, er aftagende, da a er højere end 0, men på samme til lavere end 1.

Man kan finde en eksponentielfunktions forskrift ud fra to punkter, ved at bruge topunktsformlen: a=x2-x1y2y1 og b=y1ax1
Bevis
Første punkt ligger i koordinatet (x1, y1) og andet punkt ligger i koordinatet (x2, y2), da begge punkter må være en del af funktionen gælder det, at y1=b∙ax1 og y2=b∙ax2. Vi starter med at dividere den anden ligning med den første ligning: y2y1=b∙ax2b∙ax1 Dernæst forkorter vi brøken så b udgår i både nævner og tæller: y2y1=ax2ax1 Så bruger vi potensregnereglerne: y2y1=ax2-x1 Til sidste isolere vi a ved at tage den x2-x1 rod på begge sider: a=x2-x1y2y1 B bestemmes dernæst ved at bruge a, da b nu er den eneste ubekendte i ligningerne: y1=b∙ax1 og y2=b∙ax2. Begge ligninger kan bruges til at finde b, og vi vælger den første af dem: y1=b∙ax1 Det eneste vi skal gøre er at isolere b i ligningen, ved at dividere ax1 fra på begge sider: b=y1ax1 Fordobblingskonstanten (Anders)

Potensvækstmodel: Potensfunktionen har følgende forskrift: fx=b∙xa, heraf er a eksponenten, og har betydning for udseendet af funktionens graf, og b=f(1), altså skæringen med 2. aksen fra punktet (1,b), dette skyldes at alle potensfunktioner starter i punktet (0,0). Der findes fem former for potensfunktioner: Den voksende med aftagende hældning (0<a<1), den voksende med stigende hældning (a>1), den aftagende (a<0), den lineære (a=1) og ligesom den lineære funktion er der også en stillestående. Grafen til venstre viser de fem former for potensfunktioner: Den grønne funktion, f5(x)=x0.5, er voksende med aftagende hældning, da a er større end 0, men mindre end 1. Den sorte funktion, f3(x)=x2, er voksende med stigende hældning, da a er større end 1. Den røde funktion, f2(x)=x-1, er aftagende, da a er mindre end 0. Den lyserøde funktion, f4(x)=x1, er en lineære, da a er lige med 1. Den blå funktion, f1(x)=x0, er den stillestående, da a er lige med 0.

Man kan finde en potensfunktions forskrift ud fra to punkter, ved at bruge topunktsformlen: a=logy2-log⁡(y1)logx2-log⁡(x1)=lny2-ln⁡(y1)lnx2-ln⁡(x1) og b=y1x1a
Bevis
Første punkt ligger i koordinatet (x1, y1) og andet punkt ligger i koordinatet (x2, y2), da begge punkter må være en del af funktionen gælder det, at y1=b∙x1a og y2=b∙x2a. Vi starter med at dividere den anden ligning med den første ligning: y2y1=b∙x2ab∙x1a Dernæst forkorter vi brøken så b udgår i både nævner og tæller: y2y1=x2ax1a Så bruger vi potensregnereglerne: y2y1=x2x1a Derefter tager vi logaritmen på begge sider: logy2y1=a∙logx2x1 Til sidst isolere vi a ved at dividere med logx2x1 på begge sider: a=logy2y1logx2x1 B bestemmes dernæst ved at bruge a, da b nu er den eneste ubekendte i ligningerne: y1=b∙x1a og y2=b∙x2a. Begge ligninger kan bruges til at finde b, og vi vælger den første af dem: y1=b∙x1a Det eneste vi skal gøre er at isolere b i ligningen, ved at dividere x1a fra på begge sider:
b=y1x1a