Chöông 4 TÍNH BIEÁN DAÏNG THANH

Khi tính bieán daïng thanh, ngöôøi ta thöôøng tính theo töøng tröôøng hôïp chòu löïc cuûa thanh. tröôùc heát, haõy tính bieán daïng cho töøng tröôøng hôïp ñôn giaûn nhaát.

ξ1. KHI THANH CHÒU KEÙO NEÙN ÑUÙNG TAÂM: Treân maët caét ngang thanh chòu keùo (neùn) ñuùng taâm chæ coù thaønh phaàn löïcc doïc N2 taoï ra öùng suaát phaùp σz, öùng suaát phaùp thì gaây ra bieán daïng daøi. Giaû söû thanh chòu keùo neùn ñuùng taâm döôùi taùc duïng cuûa löïc P (hình 7.1). Trong chöôg tính beàn ta ñaõ coù bieåu thöùc (6.1) duo Nz = dz EF dz A A’ Δ P

Bieåu thöùc naøy cho ta bieát bieán daïng daøi töông ñoái cuûa moät ñoaïn dz naøo ñoù thì baèng tyû soá giöõa löïc doïc Nz cuûa ñoaïn ñoù vôùi ñoä cöùng EF cuûa thanh.

Hình 7.1

(E: heä soá modules ñaøn hoài cuûa vaät lieäu, F: dieän tích tieát dieän ngang cuûa thanh) Töø (6.1) ta tính ñoä bieán daïng daøi tuyeät ñoái trong ñoaïn dz: du = Nz dz EF

(7.1)

136

Giaùo Trình CÔ KYÕ THUAÄT

CHÖÔNG 7: TÍNH BIEÁN DAÏNG THANH

Ta coù theå phaùt trieån coâng thöùc treân ñeå tính bieán daïng daøi tuyeät ñoái cho caû ñoaïn chieàu daøi cuûa thanh baèng phöông phaùp tích phaân xaùc ñònh :

Δ = ∫ du 0 = ∫
0 0

Nz dz EF

(7.2)

(7.2) laø coâng thöùc toång quaùt ñeå xaùc ñònh bieán daïng tuyeät ñoái cho caû chieàu daøi cuûa thanh chòu keùo (neùn) ñuùng taâm. Tuy nhieân trong tröôøng hôïp tính toaùn cuï theå ta coù theå chia ra caùc tröôøng hôïp sau: 1) Neáu Nz = const, EF = const trong suoát chieàu daøi cuûa thanh thì:
Δ = Nz EF

(7.3)

2) Neáu Nz ≠ const, EF ≠ const, tröôøng hôïp naøy coù theå laø bieåu ñoà löïc doïc thay ñoåi theo töøng ñoaïn, hay thanh ñöôïc laøm baèng nhieàu loaïi vaät lieäu khaùc nhau noái laïi (E≠ const) hoaëc caáu taïo thanh coù maët caét ngang thay ñoåi. Ñeå tính toaùn cho ñôn giaûn , ta neân chia N zi = const vaø thanh ra thaønh n ñoaïn sao cho treân moãi ñoaïn coù chieàu daøi laø i thì E i Fi bieán daïng daøi tuyeät ñoái cuûa thanh seõ ñöôïc tính baèng coâng thöùc:
Δ =∑ i =1 n

N zi i E i Fi

(7.4)

Thí duï 1:
D 30 mm 20 mm 20 mm C P2 = 5KN B P1 = 2KN A 2 2 NZ(KN) P3 = 7KN 4 4

Tính bieán daïng daøi tuyeät ñoái cuûa thanh coù sô ñoà chòu löïc vaø kích thöôùc nhö treân hình veõ. Cho E = 2.105 N/mm2, dieän tích maët 2 2 3 caét ngang : FAB = 20 mm , FBC = 30 mm , FCD = 60 mm2.
3

Ñeå tính toaùn bieán daïng daøi tuyeät ñoái cuûa thanh coù bieåu ñoà Nz thay ñoåi theo töøng ñoaïn, ta duøng coâng thöùc (7.3)
Δ =∑ i =1 3

Hình 7.2

N zi i N AB AB BBC BC N CD CD = + + E i Fi EFAB EFBC EFCD

137

Giaùo Trình CÔ KYÕ THUAÄT

CHÖÔNG 7: TÍNH BIEÁN DAÏNG THANH

Δ =

2.10 3.20 (−3.10 3 ).20 4.10 3.30 + + 2.10 5.20 2.10 5.30 2.10 5.60 = 0,01 − 0,01 + 0,01 = 0,01mm

Vaäy bieán daïng daøi tuyeät ñoái cuûa thanh laø 0,01 mm.

ξ2. TÍNH BIEÁN DAÏNG GOÙC KHI THANH CHÒU XOAÉN: Khi thanh chòu xoaén (xoaém thuaàn tuyù hay uoán vaø xoaén ñoàng thôøi) treân maët ccaét ngang coù moment xoaén Mz. Thaønh phaàn noiä löïc naøy gaây ra bieán daïng goùc goïi laø goùc xoaén töông ñoái ϕ cuûa thanh. Cuõng trong chöông tính beàn ta coù bieåu thöùc (6.4): dϕ MZ = dz GJ o ñöa vaøo bieåu thöùc naøy ta cuõng coù lyù luaän vaø caùch tính bieán daïng goùc khi thanh chòu xoaén töông töï nhö khi tính bieán daïng daøi khi thanh chòu keùo neùn ôû phaàn treân. dϕ = Mz M dz → ϕ = ∫ dϕ = ∫ z dz GJ o 0 0 GJ o
MZ ϕ O Z

Hình 7.3 (7.5)

GJo: Ñoä cöùng cuûa thanh. G: heä soá modules ñaøn hoài tröôït. Jo: moment quaùn tính choáng xoaén cuûa maët caét ngang ñoái vôùi taâm O. Ñoái vôí tieát dieän troøn: J o = πR 4 πD4 ≅ ≅ 0,1D4 2 32 Mz GJ o

• Neáu Mz = const, Gjo = const: ϕ =

• Neáu Mz ≠ const,Gjo ≠ const, chia ra thaønh n ñoaïn sao cho

138

Giaùo Trình CÔ KYÕ THUAÄT n Mzi M = const ⇒ ϕ = ∑ zi i GJ i i =1 GJ oi

CHÖÔNG 7: TÍNH BIEÁN DAÏNG THANH

(7.6)

ξ3. TÍNH BIEÁN DAÏNG KHI THANH CHÒU UOÁN PHAÚNG:
3.1. Khaùi nieäm:

Khi thanh chòu uoán ngöôøi ta thöôøng goïi laø daàm. Sau khi chòu uoán truïc thanh vaãn naèm trong maët phaúng taûi troïng thì goïi laø uoán phaúng. Truïc daàm sau khi bò bieán daïng thì ñöôïc goïi laø ñöôøng ñaøn hoài. Trong maët phaúng Oyz, phöông trình cuûa ñöôøng ñaøn hoài ñöôïcc bieåu dieãn baèng haøm y = f(z). Khaûo saùt bieán daïng cuûa daàm chòu taùc duïng cuûa löïc P nhö hình 7.4. • Xeùt moät ñieåm K baát kyø treân truïc daàm, sau bieán daïng ñieåm K dòch chuyeån ñeán K’, ta goïi KK’ laø bieán daïng daøi cuûa thanh daàm taïi K. • Ñeå tính toaùn ñöôïc ñôn giaûn, ngöôøi ta phaân KK’ thaønh hai thaønh phaàn: Thaønh phaàn u song song vôùi truïc z (naèm ngang),trong ñieàu kieän daàm coù bieán daïng beù chuyeån vò u raát nhoû so vôùi v neân coù theå boû qua. Thaønh phaàn v song song vôùi truïc y (thaúng ñöùng) ñöôïc goïi laø ñoä voõng cuûa daàm. Ta thaáy ñoä voõng cuûa daàm phuï thuoäc vaøo toïa ñoä cuûa maët caét ngang cuûa daàm, neân coù theå bieåu dieãn phöông trình cuûa ñoä voõng bôûi haøm: v(z) = y(z) (phöông trình ñöôøng ñaøn hoài). dz y K u
’

θ K K’

P K θ z

v

Hình 7.4

• Trong quaù trình chòu uoán maët caét ngang vaãn phaúng vaø xoay moät goùc θ, ta goïi bieán daïng goùc θ laø goùc xoay cuûa maët caét ngang. Goùc xoay taïi K chính laø baèng heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán vôùi ñöôøng ñaøn hoài taïi K’, cho neân ta coù theå tính: θ(z) = y’(z) = v’(z)

139

Giaùo Trình CÔ KYÕ THUAÄT

CHÖÔNG 7: TÍNH BIEÁN DAÏNG THANH

Vaäy ñaïo haøm baäc nhaát cuûa ñoä voõng (hay ñöôøng ñaøn hoài) laø goùc xoay cuûa maët caét ngang khi daàm bò bieán daïng.
Toùm laïi: Khi tính bieán daïng cho thanh chiuï uoán ta caàn tính:

-

Ñoä voõng: v(z) = y(z) Goùc xoay: θ(z) = y’(z)

Nhö vaäy, ñeå tính ñoä voõng hay goùc xoay, ta phaûi bieát haøm y’(z), coù nghóa laø ta caàn phaûi coù phöông trình cuûa ñöôøng ñaøn hoài.
3.2. Phöông trình vi phaân gaàn ñuùng cuûa ñöôøng ñaøn hoài:

Xeùt moät ñoaïn cong dz hình 7.5 cuûa ñöôøng ñaøn hoài cuûa phöông trình (7.6): dθx: bieán daïng goùc cuûa hai maët caét ngang khi dz bò uoán cong ρ: baùn kính cong cuûa ñöôøng ñaøn hoài. Trong ñieàu kieän bieán daïng vaø kích thöôùc beù ta coù moái quan heä: dz = ρdθ x ⇒ 1 dθ x = ρ dz (1) dz dθ

ρ

Trong chöông tính beàn, ta ñaõ chöùng minh ñöôïc bieåu thöùc (6.2) dθ x Mx = dz EJ x

Hình 7.5

do ñoù:

1 Mx = ρ EJ x

(2)

Maëc khaùc, theo toaùn hoïc ñöôøng ñaøn hoài ñöôïc bieåu dieãn bôûi haøm y(z), neân ñoä cong cuûa noù ñöôïc tính theo coâng thöùc:
1 y '' (z) =± ρ (1 + y ' 2 (z))
3

2

(3)

So saùnh giöõa (2) & (3), ta coù theå vieát:

140

Giaùo Trình CÔ KYÕ THUAÄT

CHÖÔNG 7: TÍNH BIEÁN DAÏNG THANH

M y '' (z) =± x EJ x (1 + y ' 2 (z))
3 2

(4)

(4) laø phöông trình vi phaân toång quaùt cuûa ñöôøng ñaøn hoài. Tuy nhieân, ñeå tính toaùn ñöôïc ñôn giaûn vaø coù keát quaû ñuùng vôùi thöïc teá, ta coù xem voâ cuøng beù baäc cao y’2(z) ≈ 1 vaø choïn moät daáu sao cho phuø hôïp vôùi quy öôùc daáu cuûa y’’(z) vaø Mx (löu yù raèng EJx laø ñoä cöùng cuûa daàm, laø ñaïi löôïng luoân döông). Ñeå xeùt daáu giöõa y’’(z) vaø Mx, ta khaûo saùt quan heä cuûa chuùng qua söï bieán daïng trong heä truïc Oyz (hình 7.6). Ta nhaän thaáy:
O z

y’’(z) vaø Mx luoân ngöôïc daáu nhau, neân phöông trình vi phaân gaàn ñuùng cuûa ñöôøng ñaøn hoài seõ laø: y '' (z) = − Mx EJ x

(7.7)

y

Mx > 0 y’’ < 0 Hình 7.6

Mx < 0 y’’ > 0

Döïa vaøo (7.7), ta coù theå tính ñoä voõng vaø goùc xoay baèng phöong phaùp tích phaân baát ñònh.

3.3. Tính ñoä voõng vaø goùc xoay baèng phöông phaùp tích phaân baát ñònh:

Töø sô ñoà löïc ñaõ cho ta vieát ñöôïc bieåu thöùc moment uoán laø haøm Mx(z). Töø ñoù ta thieát laäp phöông trình vi phaân gaàn ñuùng cuûa ñöôøng ñaøn hoài: y ' ' (z ) = − M x (z ) EJ x (7.7’)

Tích phaân laàn thöù nhaát ta seõ ñöôïc phöông trình cuûa goùc xoay: θ(z) = y ' (z) = M (z ) dy = ∫− x dz + C dz EJ x

(7.8)

Tích phaân laàn thöù hai ta seõ ñöôïc phöông trình cuûa ñoä voõng hay phöông trình cuûa ñöôøng ñaøn hoài:
⎛ M (z) ⎞ v(z) = y(z) = ∫ ⎜ − ∫ x + C ⎟dz + D ⎜ ⎟ EJ x ⎝ ⎠
141

(7.9)

Giaùo Trình CÔ KYÕ THUAÄT

CHÖÔNG 7: TÍNH BIEÁN DAÏNG THANH

Trong ñoù C vaø D laø caùc haèng soá tích phaân seõ ñöôïc xaùc ñònh tuøy theo ñieàu kieän lieân keát cuûa daàm.
Thí duï 2:

Cho daàm console chòu taùc duïng cuûa taûi löïc phaân boá ñeàu q (hình 7.7). Haõy vieát phöông trình goùc xoay vaø ñoä voõng cuûa daàm. q Giaûi:

Choïn goác toïa ñoä z = 0 taïi ngaøm O. Ta coù bieåu thöùc: M x = − q ( − z )2 2

O

z

-z

A

Hình 7.7

thay vaøo (7.7) ta coù phöông trình vi phaân cuûa ñöôøng ñaøn hoài: y'' (z) = q 2 EJ x

(

2

− 2 z + z2 )

θ(z) = y ' (z) = y(z) =

q ⎛ 2 z3 ⎞ z − z 2 + ⎟ + C (a) ⎜ 2EJ x ⎝ 3⎠

q ⎛ 2z 2 z3 z4 ⎞ − + ⎟ + Cz + D (b) ⎜ 2EJ x ⎝ 2 3 12 ⎠

Xaùc ñònh haèng soá tích phaân theo ñieàu kieân lieân keát ngaøm cuûa daàm. Do tính chaát cuûa ngaøm ta coù: Taïi z = 0 thì y(0) = 0, θ(0) = 0 thay vaøo (a) vaø (b) ta ñöôïc C = D = 0. Vaäy phöông trình cuûa goùc xoay vaø ñoä voõng laø: q ⎛ 2 z3 ⎞ 2 θ(z) = y (z) = ⎜ z− z + ⎟ 2EJ x ⎝ 3⎠
'

(c)

q ⎛ 2z 2 z3 z4 ⎞ − + ⎟ y(z) = ⎜ 2EJ x ⎝ 2 3 12 ⎠

(d)

Döïa vaø (c) vaø (d), ta seõ ñöôïc goùc xoay vaø ñoä voõng taïi ñaàu töï do A coù toïa ñoä z = laø:

142

Giaùo Trình CÔ KYÕ THUAÄT

CHÖÔNG 7: TÍNH BIEÁN DAÏNG THANH

θA =

q 3 6 EJ X

; yA =

q 4 8EJ x

Thí duï 3:

Thieát laäp phöông trình goùc xoay vaø ñoä voõng cuûa thanh daàm ñaët treân hai goái töïa chòu taùc duïng cuûa löïc P nhö hình 7.8. Xaùc ñònh phaûn löïc taïi A vaø B, ta ñöôïc:
VA = Pb , VB = Pa z2 A z1 a b C P B

Baøi toaùn naøy, daàm ñöôïc chia thaønh hai ñoaïn AB vaø CB, bieåu thöùc cuûa Mx vaø phöông trình cuûa ñöôøng ñaøn hoài ñöôïc vieát nhö sau: Ñoaïn AC ( 0 ≤ z1 ≤ a)
Mx1 =
'' y1 = −

Hình 7.8

Ñoaïn CB ( a ≤ z2 ≤ )
Mx 2 = y ''2 = − y '2 = − y2 = − Pb z 2 − P( z 2 − a)

Pb

z1

Pb z1 EJ x Pb 2 z 1 + C1 2 EJ x Pb 3 z1 + C1z1 + D1 6 EJ x

Pb P z2 + ( z 2 − a) EJ x EJ x Pb 2 P z2 + ( z 2 − a) 2 + C 2 2 EJ x 2EJ x Pb 3 P z2 + ( z 2 − a) 3 + C 2 z 2 + D 2 6 EJ x 6 EJ x

' y1 = −

y1 = −

Ñeå xaùc ñònh 4 haèng soá tích phaân C1, C2, D1, D2 ta döïa vaøo caùc ñieàu kieän lieân keát khôùp cuûa daàm nhö sau: + Taïi z1 = 0 thì y1(0) = 0 vaø z2 = thì y2( ) = 0. + Taïi z1 = z2 thì y1 = y2 vaø y1’ = y2’. Töø caùc ñieàu kieän treân ta tìm ñöôïc:

143

Giaùo Trình CÔ KYÕ THUAÄT

CHÖÔNG 7: TÍNH BIEÁN DAÏNG THANH

(1) ⎧D1 = 0 ⎪ 3 3 P( − a) ⎪ Pb (2) ⎪− 6 EJ + 6 EJ + C 2 + D2 = 0 x x ⎪ 3 ⎨ Pba Pba 3 − + C1a + D1 = − + C 2 a + D2 (3) ⎪ 6 EJ x 6 EJ x ⎪ ⎪ Pba 2 Pba 2 (4) − + C1 = − + C2 ⎪ 2 EJ x ⎩ 2 EJ x

Giaûi heä 4 phöông trình treân ta tìm ñöôïc :
D1 = D2 = 0 C1 = C 2 = Pb ( 6 EJ x
2

− b2 )

Vaäy phöông trình ñoä voõng vaø goùc xoay cuûa töøng ñoaïn daàm laø: Ñoaïn AC ( 0 ≤ z1 ≤ a ):
Pb ⎛ θ1 = y = ⎜ EJ x ⎝
' 1 2

Ñoaïn CB ( a≤ z2 ≤ ):
2 1

z ⎞ −b − ⎟ 6 2⎠
2

Pb θ2 = y = EJ x
' 2

y1 =

Pb ⎛ ⎜ EJ x ⎝

2

z3 ⎞ − b2 z1 − 1 ⎟ 6 6⎠

Pb y2 = EJ x

⎡ ( z 2 − a) 3 ( + ⎢ 6b ⎢ ⎣

⎡z2 ⎢ 2 − ⎢2 ⎣

(z

2

− a)
2

2

2b

−

2

− b 2 )z 2 6

− b2 ⎤ ⎥ 6 ⎥ ⎦

z3 ⎤ − 2⎥ 6⎥ ⎦

Qua hai thí duï treân ta thaáy, phöông phaùp tích phaân baát ñònh laø caùch tính cô baûn ñeå vieát phöông trình vaø xaùc ñònh ñoä voõng vaø goùc xoay. Tuy nhieân neáu daàm chòu löïc phöùc taïp, phaûi chia ra n ñoaïn thì caàn thieát laäp ra n phöông trình vi phaân ñöôøng ñaøn hoài. Töø ñoù phaûi xaùc ñònh 2n haèng soá tích phaân. Vieäc naøy seõ laøm baøi toaùn trôû neân phöùc taïp khi n caøng lôùn. Vì vaäy khi daàm chòu löïc phöùc taïp ta seõ duøng nhöõng phöông phaùp khaùc. Sau ñaây giaùo trình seõ giôùi thieäu hai phöông phaùp khaùc laø haøm ñaëc bieät & nguyeân lyù naêng löôïng.
3.4. phöông phaùp haøm ñaëc bieät ñeå tính ñoä voõng vaø goùc xoay: 3.4.1. Ñònh nghóa:

144

Giaùo Trình CÔ KYÕ THUAÄT

CHÖÔNG 7: TÍNH BIEÁN DAÏNG THANH

Haøm ñaëc bieät baäc n : fn(x) = < x – a >n, vôùi tính chaát:

⎧∞, x = a - Neáu n < 0: f n (x) = ⎨ ⎩0, x ≠ a

fn(x) a fn(x) a

x (x-a)n

⎧(x − a) , x ≥ a - Neáu n ≥ 0 : fn (x) = ⎨ ⎩0, x < a n x

+ Khi n < 0 :

−∞ x ∫< x −a >

x

n

dx =< x − a > n +1

< x − a > n +1 + Khi n ≥ 0 : ∫ < x − a > dx = n +1 −∞ n 3.4.2. ÖÙng duïng haøm ñaëc bieät ñeå tính chuyeån vò toång quaùt (ñoä voõng, goùc xoay) cuûa daàm chòu uoán:

ÔÛ chöông 4, coâng thöùc (4.6) & (4.7), ta coù moái quan heä:
Q y (z) = ∫ q(z)dz + C' M x (z) = ∫ Q y (z)dz + C' z + C' '

(7.10) (7.11)

Vaø trong chöông 7, coâng thöùc (7.7) vaø (7.8), ta coù coâng thöùc tính goùc xoay θ vaø ñoä voõng cuûa daàm nhö sau: EJxθ = ∫ − M x (z)dz + C EJxy = ∫ EJ x θdz + Cz + D (7.12) (7.13)

Töø 4 coâng thöùc naøy ta nhaän thaáy raèng, neáu taûi troïng ngoaøi ñöôïc dieãn taû thaønh moät haøm taûi troïng phaân boá “ lieân tuïc “ döôùi daïng ñaëc bieät, thì ta seõ tính ñöôïc haøm θ(z) vaø y(z) moät caùch nhanh choùng. Ñoù laø nhöõng haøm ñaõ ñöôïc “ lieân tuïc hoùa”.
145

Giaùo Trình CÔ KYÕ THUAÄT

CHÖÔNG 7: TÍNH BIEÁN DAÏNG THANH

Chuù yù raèng hai haèng soá C vaø C’ luoân luoân baèng khoâng, do ta choïn goác toïa ñoä taïi ñaàu traùi cuûa thanh. Nhö vaäy theo phöông phaùp naøy, sau khi tích phaân ñeå xaùc ñònh θ vaø y ta chæ caàn xaùc ñònh hai haèng soá tích phaân theo ñieàu kieän bieân.

• Caùc daïng haøm ñaëc bieät ñoái vôùi nhöõng daïng taûi troïng thoâng thöôøng: Taûi troïng q M0 a q a q a q a q a z

Haøm ñaëc bieät

q = M0.-2

(7.14)

W0

z

q = W0.< z – a >-1

(7.15)

q0

q(z) = q0 , z ≥ a …… z

q = q0.< z – a >0

(7.16)

qo b

Baäc nhaát …z

q=

q0 < z − a >1 b−a

(7.17)

qo …z b

q=

q0 < z − a >2 2 ( b − a)

(7.18)

Döïa vaøo caùc daïng haøm phaân boá ñaëc bieät cô baûn treân, ta coù theå xaùc ñònh ñöôïc haøm phaân boá ñaëc bieät cho caùc daïng taûi troïng khaùc baèng caùch chuyeån ñoåi caùc daïng taûi troïng ñoù veà 5 daïng taûi chuaån treân.

146

Giaùo Trình CÔ KYÕ THUAÄT

CHÖÔNG 7: TÍNH BIEÁN DAÏNG THANH

Thí du ï 4: q(z) q0 z a b = a q(z) q0 . . .z b q0

q(z) = qo.< z – a >0 – q0.< z – b >0

q0 A B

=

q0 A B

+

A

B q0

A q

z

q1 =

− q 0 2 2q 0 z + z a2ø a
B q0 A

z

q1 =

− q 0 2 2q 0 z + z a2ø a q0 B 2q0

2q q2 = 0 z a

q0 a = AB

q

q2 =

2q 0 z a

a = AB

Thí duï 5:

Xaùc ñònh ñoä voõng taïi ñaàu C cuûa thanh chòu löïc nhö hình 7.9.
Giaûi:
P a Hình 7.9 b

Duøng phöông phaùp haøm ñaëc bieät. Böôùc 1: Xaùc ñònh phaûn löïc lieân keát: RA = P ; MA = Pa. Böôùc 2: laäp haøm löïc phaân boá vaø tích phaân. q(z) = RA< z >-1 – MA< z >-2 – P< z – a >-1 Qy(z) = ∫ q(z)dz = R A < z > 0 −M A < z > −1 − P < z − a > 0

147

Giaùo Trình CÔ KYÕ THUAÄT

CHÖÔNG 7: TÍNH BIEÁN DAÏNG THANH

M x (z) = ∫ Q y (z)dz = R A < z >1 −M A < z > 0 −P < z − a >1 = P < z >1 −Pa < z > 0 −P < z − a >1

EJ x θ(z) = ∫ − M x dz = −

P P < z > 2 + Pa < z >1 + < z − a > 2 + C 2 2

Ñieàu kieän bieân: z = 0: θ(0) = 0 ⇒ C = 0
EJ x y(z) = ∫ EJ x θ(z)dz = − P Pa P < z >3 + < z >2 + < z − a >3 +D 6 6 2

Ñieàu kieän bieân: z = 0 ; y(0) = 0 ⇒ D = 0 Vaäy: y (z ) = P [− < z > 3 +3a < z > 2 + < z − a > 3 ] 6EJ x

Ñoä voõng taïi C: yC =
2 P [− L3 + 3aL2 + (L − a)3 ] = Pa (3L − a) > 0 : höôùng xuoáng 6EJ x 6EJ x

3.5. Tính chuyeån vò theo phöông phaùp naêng löôïng: 3.5.1. Nguyeân lyù chuyeån vò khaû dó:

Chuyeån vò khaû dó laø chuyeån vò voâ cuøng beù sao cho trong caùc chuyeån vò ñoù caùc lieân keát cuûa heä khoâng bò phaù vôõ.
Nguyeân lyù: Ñeå heä coù 1 lieân keát hoaøn thieän ôû traïng thaùi caân baèng taïi moät vò trí naøo ñoù, ñieàu kieän caàn vaø ñuû laø toång coâng cuûa taát caû caùc löïc ñaët leân heä trong caùc chuyeån vò voâ cuøng beù laø baèng khoâng.

Moät lieân keát hoaøn thieän laø 1 lieân keát maø toång coâng cuûa caùc phaûn löïc trong taát caû moïi chuyeån vò khaû dó cuûa heä laø baèng khoâng. Aùp duïng nguyeân lyù naøy cho 1 vaät theå ñaøn hoài. Ví duï coù heä ñaøn hoài ôû hình 7.10.

148

Giaùo Trình CÔ KYÕ THUAÄT

CHÖÔNG 7: TÍNH BIEÁN DAÏNG THANH

P A

1 1

ds

2 2

B

Goïi ds laø phaân toá voâ cuøng beù ñöôïc taùch ra bôûi hai maët caét (1-1) vaø (2-2) caùch nhau 1 khoaûng ds. Heä ñöôïc xem nhö 1 taäp hôïp caùc phaàn töû ñaøn hoài ds. Döôùi taùc duïng cuûa ngoaïi löïc P vaø caùc phaûn löïc taïi A vaø B, treân caùc maët (1-1) vaø (2-2) xuaát hieän caùc thaønh phaàn noäi löïc.

Hình 7.10

Neáu gaây ra 1 chuyeån vò khaû dó, coâng khaû dó goàm coù coâng ngoaïi löïc Wc vaø coâng noãi löïc Wi phaûi baèng khoâng. Wc + Wc = 0
3.5.2. Coâng thöùc Mohr ñeå xaùc huyeån vò: ds C Pm 1 1 H K 2 2 K D B Mm Nm 1 A a) Hình 7.11 ds b) 1 Qm 2 Mm Qm 2 Nm

(7.19)

Xeùt baøi toaùn phaúng (hình 7.11): Tính chuyeån vò theo phöông K-K cuûa troïng taâm maët caét qua D. Goïi traïng thaùi chòu löïc ñaõ cho laø traïng thaùi “m”. Noäi löïc vaø ngoaïi löïc ôû traïng thaùi naøy ñöôïc duøng chæ soá m ñeå ñaùnh daáu.

Chuyeån vò theo phöông K do löïc ôû traïng thaùi “m” gaây ra ñöôïc kyù hieäu Δkm. Pm cuõng gaây ra caùc chuyeån vò cho moät phaân toá baát kyø naøo ñoù cuûa heä. Xeùt phaân toá ds, goïi Nm, Qm, Mm laø caùc thaønh phaàn noäi löïc cuûa phaân toá (hình 7.11b) treân 2 maët caét (1-1) vaø (2-2). Caùc thaønh phaàn noäi löïc naøy taïo neân caùc chuyeån vò töông ñoái giöõa 2 maët caét: - Chuyeån vò doïc truïc: Δds m =
N m .ds EF M m .ds (hình 7.12a) EJ

(7.20) (7.21)

- Chuyeån vò goùc töông ñoái: Δdϕ m =

149

Giaùo Trình CÔ KYÕ THUAÄT

CHÖÔNG 7: TÍNH BIEÁN DAÏNG THANH

1 Δdϕm Qm γtb

2

⎞ ⎛ EJ ⎜ρ = ⇒ ds = ρ.Δdϕ m ⎟ ⎟ ⎜ Mm ⎠ ⎝

ρ 1

- Chuyeån vò tröôït töông ñoái giöõa 2 maët caét (hình 7.12b):
Qm Δβm

Mm 1

2

ds Mm 2 1 2

Δβ m = γ tb .ds =

τ tb .ds G

a) Hình 7.12

b)

trong ñoù γtb, τtb: goùc tröôït tyû ñoái trung bình vaø öùng suaát tieáp trung bình do Qm gaây ra treân maët caét.

Theo chöông 6: τ tb = η. ñeàu. Vôùi:

Qm , η laø heä soá ñieàu chænh vì do Qm gaây ra treân maët caét khoâng F

- Maët caét chöõ nhaät: η = 1,2. - Maët caét troøn Do ñoù: Δβ m = η. ds C Pm 1 1 H K

: η = 32/27. (7.22) Baây giôø ta thöû töôûng töôïng taïo ra 1 traïng thaùi “k” baèng caùch boû qua taát caû caùc löïc ôû traïng thaùi “m” vaø ñaët vaøo phöông k 1 löïc Pk (hình 7.13a). Pk vaø caùc phaûn löïc Rk gaây neân caùc thaønh phaàn noäi löïc Nk, Qk vaø Mk treân caùc maët caét (1-1) vaø (2-2) (hình 7.13b).

Q m .ds G.F
K 2Mk Pk B 2 D Mk Nk 1 ds b) Hình 7.13

1 Qk

2 Mk Qk 2 Nk

A

a)

150

Giaùo Trình CÔ KYÕ THUAÄT

CHÖÔNG 7: TÍNH BIEÁN DAÏNG THANH

Vì heä laø 1 heä caân baèng neân coâng cuûa noäi löïc vaø ngoaïi löïc cuûa heä trong baát kyø 1 chuyeån vò khaû dó naøo cuõng phaûi baèng 0. Ta choïn traïng thaùi bieán daïng cuûa traïng thaùi “m” nhö laø chuyeån vò khaû dó. Coâng cuûa ngoaïi löïc khi ñoù: Pk.Δkm = We (coâng cuûa ngoaïi löïc ôû traïng thaùi “k” ñöôïc thöïc hieän treân chuyeån vò ôû traïng thaùi “m”). Theo (7.19): Pk.Δkm + Wi = 0 (7.23)

Chuù yù raèng caùc phaûn löïc taïi A vaø B khoâng sinh coâng, vì ôû A: goái khoâng di chuyeån theo 2 phöông vuoâng goùc, taïi B: goái khoâng di chuyeån theo phöông ñöùng. Xeùt phaân toá ds, coâng ngoaïi löïc: dWe = Nk.Δdsm + Qk.Δβm + Mk.Δdϕm Theo nguyeân lyù chuyeån vò khaû dó, ta coù: dWe = Nk.Δdsm + Qk.Δβm + Mk.Δdϕm + dWi = 0 ⇒
Q .Q .ds ⎞ ⎛ M .M .ds N .N .ds dWi = −⎜ k m + k m + η. k m ⎟ EJ EF GF ⎠ ⎝

(7.24) (7.25)

Vaäy coâng cuûa ngoaïi löïc toaøn heä phaúng:
N .N .ds Q .Q .ds ⎞ ⎛ M .M .ds Wi = −⎜ Σ ∫ k m +Σ∫ k m + Σ ∫ η. k m ⎟ EJ EF GF ⎠ ⎝

(7.26)

Daáu Σ chæ toång caùc thanh trong heä, ∫ chæ pheùp toaùn tích phaân treân suoát chieàu daøi cuûa moãi thanh. Thay (7.26) vaøo (7.23) vaø choïn Pk = 1 ñôn vò khoâng thöù nguyeân, ta seõ coù coâng thöùc tính chuyeån vò Δkm (chuyeån vò toång quaùt):
N .N .ds Q .Q .ds ⎞ ⎛ M .M .ds Δ km = ⎜ Σ ∫ k m + Σ ∫ k m + Σ ∫ η. k m ⎟ EJ EF GF ⎠ ⎝

(7.27)

Trong ñoù: Mk , N k , Qk laø caùc thaønh phaàn noäi löïc trong heä ôû traïng thaùi “k”: Pk = 1 gaây neân.

Coâng thöùc (7.27) goïi laø coâng thöùc Mohr. Ñoái vôùi baøi toaùn khoâng gian, coâng thöùc Mohr coù daïng:
151

Giaùo Trình CÔ KYÕ THUAÄT

CHÖÔNG 7: TÍNH BIEÁN DAÏNG THANH

Δ km = Σ ∫ +Σ∫

M .M .ds Mxk .M xm .ds M .M .ds + Σ ∫ yk ym + Σ ∫ zk zm + EJ x EJ y EJ p Q .Q .ds N zk .N zm .ds Q .Q .ds + Σ ∫ η. xk xm + Σ ∫ η. yk ym EF GF GF

(7.28)

Chuù yù raèng khi Δkm > 0 thì chuyeån vò thöïc seõ cuøng chieàu vôùi chuyeån vò löïc ñôn vò Pk vaø ngöôïc laïi.
Pk = 1 Mk = 1 D K

Mk = 1 Pk = 1 K Hình 7.14

Treân ñaây ta tìm chuyeån vò thaúng theo phöông k. Muoán tìm goùc xoay taïi K, ta seõ taïo ra traïng thaùi “k” baèng caùch ñaët vaøo D moät moment: Mk = 1 vaø aùp duïng (7.24). Luùc ñoù, Δkm = ϕ (goùc xoay). Do ñoù Δkm goïi laø chuyeån vò toång quaùt. Khi muoán tìm chuyeån vò thaúng hay goùc xoay töông ñoái giöõa 2 maët caét taïi 2 ñieåm baát kyø, ta taïo traïng thaùi “k” baèng caùch daët 1 heä 2 löïc hay 1 heä 2 moment ngöôïc chieàu khoâng thöù nguyeân vaø trò soá: 1 ñôn vò.

3.5.3. Moät soá ñònh lyù quan troïng: a) Ñònh lyù veà coâng töông hoã: Phaùt bieåu: “Coâng cuûa ngoaïi löïc ôû traïng thaùi “m” thöïc hieän treân chuyeån vò cuûa traïng thaùi “k” thì baèng coâng cuûa ngoaïi löïc ôû traïng thaùi “k” thöïc hieän treân chuyeån vò ôû traïng thaùi “m” ”.
P k .Δ km = Pm .Δ mk = ∑ ∫ M k .M m N .N Q .Q ds + ∑ ∫ k m ds + ∑ ∫ η k m ds (7.29) EJ EF GF

b) Ñònh lyù veà chuyeån vò ñôn vò:

Neáu hai traïng thaùi “m” vaø “k” ñeàu laø traïng thaùi do löïc ñôn vò taùc duïng theo phöông m vaø phöông k gaây neân. Khi ñoù caùc chuyeån vò Δkm vaø Δmk laø caùc chuyeån vò ñôn vò vaø ñöôïc kyù hieäu laø δkm vaø δmk. δ km = δ mk = ∑ ∫ M k .M m N .N Q .Q ds + ∑ ∫ k m ds + ∑ ∫ η k m ds EJ EF GF

(7.30)

Phaùt bieåu: Chuyeån vò ñôn vò theo phöông k do löïc ñôn vò theo phöông m gaây neân thì baèng chuyeån vò theo phöông m do löïc ñôn vò theo phöông k gaây neân.
152

Giaùo Trình CÔ KYÕ THUAÄT

CHÖÔNG 7: TÍNH BIEÁN DAÏNG THANH

Thí duï 6: Tìm ñoä voõng taïi B vaø goùc xoay taïi A cuûa 1 thanh chòu löïc nhö hình (7.15a) (boû qua caùc aûnh höôûng cuûa löïc caét). Giaûi:
1 a) A z /2 1 B /2 q C z

- Ta xem traïng thaùi ñaõ cho cuûa thanh laø traïng thaùi “m”. Heä truïc toïa ñoä ñaõ ñöôïc choïn nhö hình veõ. Goïi z laø toïa ñoä cuûa maët caét 1-1:
Mm = q qz 2 qz .z − = ( − z) 2 2 2

Hình 7.15 A z 1 1 Pk = 1 2 2 C z

b)

- Ñeå tính ñoä voõng taïi B, ta taïo traïng thaùi “k” nhö hình 7.15b: z z 1 M k (1−1) = ; M k ( 2−2 ) = − = ( − z) 2 2 2 2

z

Mk = 1 z Aùp duïng (7.27): c) A

1 1
2 0

C

z

Δ km = y B = ∫

Mk (1−1) .M m M .M dz + ∫ k ( 2−2 ) m dz EJ EJ
2

y B = 2.

5q 4 5 q 4 . = > 0 ⇒ ñieåm B chuyeån vò theo chieàu Pk . 4.192.EJ 384 EJ

- Ñeå tính goùc xoay taïi A, ta taïo neân traïng thaùi “k” nhö hình 7.15c:
Mk = z −1 , 0 ≤ z ≤

z q −q 3 z( − z)( − 1)dz = < 0 ⇒ goùc xoay taïi A coù chieàu ngöôïc 2EJ ∫ 24 EJ 0 vôùi chieàu M k ñaõ choïn.
⇒ Δ km = ϕ A =
3.5.4. Phöông phaùp nhaân bieåu ñoà Vereshchagin:

153

Giaùo Trình CÔ KYÕ THUAÄT

CHÖÔNG 7: TÍNH BIEÁN DAÏNG THANH

Khi maët caét ngang cuûa thanh khoâng thay ñoåi hay thay ñoåi treân töøng ñoaïn, khi ñoù caùc tích phaân trong coâng thöùc Mohr seõ coù daïng:
I = ∫ F(z).f (z)dz
0

(7.31) Chuù yù raèng traïng thaùi “k” laø do löïc taäp trung hoaëc moment taäp trung baèng ñôn vò gaây neân. Do ñoù, Mk (z) ôû traïng thaùi naøy luoân laø haøm baäc nhaát. Vì theá, trong daáu tích phaân cuûa (7.31) luoân coù 1 haøm baäc nhaát theo z. Tröôøng hôïp naøy pheùp tích phaân coù theå ñöôïc thöïc hieän baèng phöông phaùp ñoà thò nhö sau: - Giaû thieát treân 1 ñoaïn daøi töø 0 ñeán naøo ñoù cuûa

F(z) f(z)

dΩ G

f(z)

0

z zG

dz

z F(z)

thanh, haøm f(z) laø 1 ñöôøng cong baát kyø, coøn F(z)=az + b laø phöông trình 1 ñöôøng thaúng (hình7.16). z F(zG)

0 Hình 7.16

- Thay vaøo (7.31): I = ∫ (az + b).f (z)dz
0

Trong ñoù: f(z)dz = dΩ: vi phaân dieän tích cuûa ñoà thò f(z). Do ñoù: I = ∫ (az + b).dΩ = a∫ z.dΩ + b∫ dΩ = a.z G .Ω + b.Ω
0
Ω Ω

I = (a.zG + b).Ω = Ω.F(zG)

(7.32)

Vôùi zG: hoaønh ñoä troïng taâm cuûa dieän tích Ω cuûa ñoà thò f(z) vaø F(zG) laø tung ñoä cuûa ñoà thò F(z) taïi zG cuûa ñoà thò f(z). Ñoái vôùi 1 soá daïng ñoà thò thöôøng gaëp, dieän tích vaø toïa ñoä troïng taâm ñöôïc cho trong baûng sau:

Bieåu ñoà

Dieän tích
154

Toïa ñoä troïng taâm

Giaùo Trình CÔ KYÕ THUAÄT

CHÖÔNG 7: TÍNH BIEÁN DAÏNG THANH

zG h 2 2 3

- zG
1 3

zG

-zG

h

G

h1

zG a G zG Baäc 2

-zG b -zG G -zG h

h2

G

( h1 + h 2 ) 2

(h1 + 2h 2 ) 3(h1 + h 2 )

(h 2 + 2 h 1 ) 3( h 1 + h 2 )

h 2

a+ 3

b+ 3

zG

h 3

3 4

1 4

h

Baäc 3

zG

G -zG

h 4

4 5

1 5

h

Baäc 2 zG

G -zG

2 h 3

5 8

3 8

h

Baäc 2 zG

G -zG

2 h 3

2

2

h

155

Giaùo Trình CÔ KYÕ THUAÄT

CHÖÔNG 7: TÍNH BIEÁN DAÏNG THANH

Bieåu ñoà

Dieän tích

Toïa ñoä troïng taâm zG - zG

qa 2 2

zG

Baäc 2

G q (a + 2 -zG

)2

a

q [ 6

2

+ 3a(a + )]

6a 2 + 8a 2 + 3 3 zG = . 2 4 3a + 3a 2 + 3
6a 2 + 4a − zG = . 2 4 3a + 3a
2 2

+ +

3 3

Baäc n

zG

G -zG

h

h n +1

n +1 n+2

1 n+2

G zG -zG

h

h

1 2

1 2

Thí duï 7: Laøm laïi thí duï 6 baèng phöông phaùp bieåu ñoà Vereshchagin. q a) A B /2 q 2/8 /2 C

- Goùc xoay taïi A: taïo traïng thaùi “k” nhö hình 7.17b: Theo (7.32):
2 q 2 . θA = . 3 8

Mk = 1 b) C

−q 3 ⎛ 1⎞ 1 .⎜ − ⎟. = ⎝ 2 ⎠ EJ x 24 EJ x

- Tính ñoä voõng taïi B: taïo traïng thaùi “k” nhö hình 7.17c:
1 5 q 4 ⎛2 q 2 ⎞ 5 = y B = 2⎜ . . ⎟. . . . 3 8 2 ⎠ 8 4 EJ x 384 EJ x ⎝

Mk

1

1/2 156

Giaùo Trình CÔ KYÕ THUAÄT

CHÖÔNG 7: TÍNH BIEÁN DAÏNG THANH

Pk = 1 c) /4 C

Nhö vaäy: goùc xoay taïi A seõ ngöôïc chieàu vôùi chieàu cuûa Mk vaø ñoä voõng taïi B cuøng chieàu vôùi Pk.

Mk
Hình 7.17

157