Forskriften er givet ved følgende funktion: f(x) = asin (bx + c) + d eller f(x) = acos (bx + c) + d hvor a,b,c og d er tal
a Tallet a foran henholdsvis sin x og cos x angiver størrelsen af udsvinget på kurven a kaldes for amplituden. a værdierne kan være såvel positive som negative. Hvis a f.eks. er 3, betyder det, at svingningen svinger 3 op fra svingningsaksen og 3 ned. Hele udsvinget vil altså være på 6. [pic][pic] Hvis a er negativ, betyder det, kurven går modsat normalt. (den spejles i x-aksen.) Cos starter normalt i (0,1) og går derefter ned. Hvis a er – 1, vil kurven starte i (0,-1) og gå op. [pic] [pic] (Det svarer til, at grafen for f(x) = -x2 er en almindelig parabel, der vender nedad!) a har betydning for værdimængden. Hvis man skal bestemme værdimængden skal man tage svingningsaksen d og dertil lægge/trække fra a-værdien. Ex. Beregn Vm(f) når f(x) =2½sin(2x)-3 Vm(f) = [-3+2½;-3-2½] =[-½;-5½]=[-5½;-½]
b Tallet b viser hastigheden. En ”normal” kurve kører med en fart, så der indenfor 2[pic] netop er en tur ( 1 periode). Hvis b bliver større, kører grafen hurtigere, hvilket betyder en svingning ikke fylder så meget. Hvis b er 2 (altså dobbelt fart) bliver perioden [pic]. [pic][pic] [pic] [pic] Man bliver ofte bedt om at beregne enten perioden eller værdien for b. Hertil bruges formlen: Perioden p = [pic]
ex. 1. Beregn perioden, når f(x) = 3sin(½x) – 2, altså når b=½ Løsning: p = [pic] = 4[pic]
ex. 2. Beregn b, når perioden er 6 Løsning:
6 = [pic]( 6b = 2[pic] ( b = [pic] = [pic][pic]
c c-værdien er den sværeste at arbejde med, da den fortæller om grafen er forskudt i forhold til x-aksen. Normalt starter sinus jo i (0,0); men hvis der er tilføjet en c-værdi forskydes startstedet på y-aksen. Man skal se på den normale kurve. Hvilken værdi har den i c-værdien. Der starter funktionen.
ex. f(x) = sin(x+[pic]) [pic] [pic] Vi ved: sin([pic]) = 1. Det betyder kurven starter i (0,1), altså maximum. Hvis a er positiv, starter kurven i sit maximum. Hvis a er negativ, bliver starten i minimum.
d d- værdien fortæller om grafens forskydning i forhold til y-aksen. D er svingningsaksen. Den almindelige sin(x) svinger omkring x-aksen, men hvis der er tale om en d-værdi, bliver y = d svingningsakse.
Dette har stor betydning for svingningens værdimængde. Hvis a = 2 og d = 5, bliver værdimængden Vm(f) = [5-2;5+2] = [3;7]
Hvordan tegner man så en harmonisk svingning, hvor der er mange parametre?
Det er altid mest hensigtsmæssig, at starte med at lave en lille hjælpetegning af den ”grundkurve”, der er tale om. (Altså en skitse over sin eller cos. (Den kan direkte skrives af fra formelsamlingen s. 26)). På denne skitse kan man markere c-værdien, så man ved, om der er tale om forskydning af startsted. Forskydningen kan direkte aflæses på kurven. Dernæst kan man i et nyt koordinatsystem tegne svingningsaksen stiblet ind. Altså starter man med at se på d-værdien. Efter dette kan man se på a-værdien, og markere til venstre på x-aksen, hvor langt op/ned svingningen skal (a aftegnes opad og nedad.) Herefter vurderes perioden, så man får tegnet indenfor det område, man skal. Der står ofte i opgaverne, at man skal tegne grafen i et bestemt interval. Ved tekstopgaver bliver x-aksen ofte ikke noget med [pic], men i stedet måske noget med timer, måneder eller lignende. Det betyder b værdien indeholder [pic]! Med ovennævnte i baghovedet placeres startstedet nu på y-aksen, og kurven tegnes let!
Anvendelser? ”Flod og ebbe” opgaver Dagslængder igennem et år Vejrtrækningsopgaver – lungekapacitet. Fysikopgaver - elektricitet, lydbølger m.m.
