Nombre: Ing. Daniel Manangón R.
DEBER 1

Ejercicio 7-8.
Las siguientes relaciones matemáticas fueron formuladas por un analista investigador de operaciones de la Smith-Lawton-Chemical Company. ¿Cuáles con inválidas para usarse en un problema de programación lineal y por qué?

Maximizar la utilidad =4X1+3X1X2+8X2+5X3

Sujeta a: a) 2X1+X2+2X3≤50 b) X1-4X2≥6 c) 1.5X12+6X2+3X3≥21 d) 19X2-13X3=17 e) 5X1+4X2+3X3≤80 f) -X1-X2+X3=5

Los requerimientos de la Programación Lineal, señalan que los objetivos y restricciones en los problemas, deben expresar en términos de ecuaciones o desigualdades lineales.

La función objetivo en la pregunta NO es lineal, ya que las variables, en el segundo termino, aparecen más de una vez en la ecuación, a pesar de que estas tengan grado 1.

En lo concerniente a las restricciones, a), b), d), f) son ecuaciones lineales y se pueden usar para la solución de problemas en Programación Lineal.

Las restricciones c) y e) no son lineales, ya que sus variables tienes grados distintos de 1.

Problema 7-14
La Electrocomp Corporation fabrica dos productos electrónicos: acondicionador de aire y grandes ventiladores. El proceso de ensamble de cada uno es similar en el sentido que ambos requieren una cierta cantidad de alambrado y taladro. Cada acondicionador de aire requiere 3 horas de alambrado y 2 de taladro. Cada ventilador debe pasar 2 horas de alambrado y 1 hora de taladro. Durante el siguiente periodo de producción, están disponibles 240 horas de tiempo de alambrado y se pueden utilizar hasta 140 horas de tiempo de taladro. Cada acondicionador de aire vendido produce una ganancia de $ 25. Cada ventilador ensamblado puede ser vendido con una ganancia de $ 15. Formule y resuelva una situación de mezcla de producción de programación lineal para encontrar la mejor combinación de acondicionadores de aire y ventiladores que produzca la ganancia máxima. Use el método gráfico de punto de esquina.

| Horas Requeridos por Proceso | | PROCESO | Acondicionador de aire | Grandes ventiladores | Horas disponibles | Alambrado | 3 | 2 | 240 | Taladrado | 2 | 1 | 140 |

Variables de decisión: x=cantidad de acondicionadores de aire producidos por período y=cantidad de grandes ventiladores producidos por período.

Función Objetivo:
Max utilidad = 25x + 15y

Restricciones: * Restricción en horas disponibles de alambrado 3x + 2y =< 240 * Restricción en horas disponibles de taladro 2x + y =< 140 * Restricción de no negatividad x e y mayores de cero

Solución:
Una vez que se ha graficado las restricciones se ha determinado la siguiente Región Factible.

Los vértices del polígono que conforman la Región Factibles son:

A(40,60)
B (70,0)
C(0,0)
D(0,120)

Remplazando dichos puntos en la función objetivo:

a(x,y)= 25x + 15y

Se obtienen los siguientes resultados:

A : 1900
B : 1750
C : 0
D : 1800

Estos valores están expresados en dólares y representan la utilidad que se obtendría al producir la combinación de productos correspondientes. Se puede concluir que la mayor utilidad, que equivale a $1900, se obtiene al producir 40 acondicionadores de aire y 60 grandes ventiladores.

Problema 7-18
El decano de Western College of Business debe planificar las ofertas de cursos de la escuela para el semestre de otoño. Las demandas de los estudiantes hace necesario ofrecer por lo menos 30 cursos de licenciatura y 20 de posgrado en el semestre. Los contratos del profesorado también dictan que se ofrezca por lo menos 60 cursos en total. Cada curso de licenciatura impartido le cuesta a la Universidad un promedio de $2500 en salarios de profesores mientras que cada curso de posgrado cuesta $3000. ¿Cuántos cursos de licenciatura y posgrado deberán ser impartidos en el otoño de modo que los salarios de los profesores se mantengan en su mínima expresión?

Variables de Decisión: x= cantidad de cursos de licenciatura en el semestre y= cantidad de cursos de posgrado en el semestre

Función Objetivo:
Min salarios = 2500x + 3000y

Restricciones: * Restricción en mínimo de cursos de licenciatura x>=30 * Restricción en mínimo de cursos de posgrado y>= 20 * Mínimo de cursos en total x + y >= 60

Solución:

Una vez que se ha graficado las restricciones se ha determinado la siguiente Región Factible.

La Región Factible tiene como límites: x>=30, y>= 20, x + y >= 60, que es el área más oscura en la gráfica. La interpretación que se da es que teóricamente se pueden dar infinitas clases de posgrado y licenciaturas, pero al ser un problema de minimización, la curva de isoutilidad al desplazarse hacia abajo deberá coincidir con alguno de los vértices siguientes para hallar el mínimo valor posible.

A(30,30)
B (40,20)

Remplazando dichos puntos en la función objetivo:

a(x,y)= 2500x + 3000y

Se obtienen los siguientes resultados:

A : 165000
B : 160000

Estos valores están expresados en dólares y representan los salaries que se obtendría al producir la combinación de cursos correspondientes. Se puede concluir que lo mínimo en salaries posibles es 160000, que se obtiene al dar 40 cursos de licenciatura y 20 cursos de posgrado.

Problema 7-20
Un ganador de la Texas Lotto decidió invertir $ 50 000 al año en el mercado de valores. Piensa adquirir acciones de una firma petroquímica y una compañía de servicios públicos. Aunque una meta largo plazo es obtener los máximos rendimientos posibles, no ha pasado por alto el riesgo que implica la compra de acciones. Se asigna un índice de riego de 1 a 10 ( 10 como el más riesgo ) a cada una de las dos acciones. En riesgo total del portafolio se encuentra multiplicando el riesgo de cada acción por los dólares invertidos en ella. La tabla siguiente proporción un resumen de la devolución y riesgo.

ACCION | RENDIMIENTO ESTIMADO | INDICE DE RIESGO | Petroquímica | 12% | 9 | Servicios | 6% | 4 |

Al inversionista le gustaría maximizar el rendimiento de la inversión, pero el índice de riesgo promedio de ésta no deberá ser más de 6. ¿Cuánto deberá invertir en cada acción? ¿Cuál es el riesgo promedio de esta inversión? ¿Cuál es el rendimiento estimado de esta inversión?

Variables de decisión: x= dinero invertido en de acciones en petroquímica y= dinero invertido ende acciones en servicios

Función objetivo:
Max rendimiento: 0.12x + 0.06y

Restricciones: * Restricción en la cantidad de dinero a invertir x + y =< 50000 * Restricción en el riesgo promedio deseado 9x + 4y ≤ 50000 ( 6) ; 9x + 4y ≤ 300000

Solución:
Una vez que se ha graficado las restricciones se ha determinado la siguiente Región Factible.

Los vértices del polígono que conforman la Región Factibles son:

A(20 000,30 000)
B (0,50000)
C(0,0)
D(33 333.33,0)

Remplazando dichos puntos en la función objetivo:

a(x,y)= 0.12x + 0.06y

Aquel que genera el mayor rendimiento es el punto A, con $4200. Valor que coincide al resolver con el método de línea de isoutilidad. Por lo tanto, la solución óptima es invertir $20000 en acciones de la empresa petroquímica y $30 000 en empresa de servicios públicos.

Nombre: Ing. Daniel Manangón R.
Cátedra: Investigación de Operaciones
DEBER 2

Ejercicio 7-27
Considere las cuatro formulaciones del PL siguientes. Con un método gráfico, determine a) Qué formulación tiene más de una solución óptima. b) Qué formulación es ilimitada c) Qué formulación no tiene solución factible d) Qué formulación es correcta como está Formulación 1:Max 10X1 + 10X2Sujeta a: 2X1 <=10 2X1 + 4X2 <=16 4X2 <=8 X1 >=6 | Formulación 2:Max 3X1 + 2X2Sujeta a: X1 +X2 => 5 X1 =>16 2X2 => 8 X1 >=6 | Formulación 3:Max X1 + 2X2Sujeta a: X1 <=1 2X2 <=2 X1 + 2X2 <=2 | Formulación 4 :Max 3X1 + 3X2Sujeta a: 4X1 +6X2 <= 48 4X1 + 2X2 =>12 3X2 => 3 2X1 >=2 |

Solución: a) La formulación 2 tiene más una opción (infinitas), ya que la curva de isoutilidad coincide con uno de los lados del polígono, como muestra la figura.

b) La formulación 3, es infinito, ya que no se forma un polígono, sino que es abierto, la curva de isoutilidad puede desplazarse ínfimamente hacia arriba. Al ser un problema de maximización, existe algún error en el planteamiento.

c) Como muestra el gráfico, la formulación 1 no tiene Región Factible, ya que no hay área común entre todas las restricciones, en otras palabas no se puede satisfacer todas las restricciones.

d) La formulación 4, está correcta, desde el punto de vista del planteamiento, ya que permite hallar el área factible y la solución se encuentra en un punto.

Problema 7-37
El Feed N Ship Ranch engorda ganado para los granjeros locales y los envía a los mercados de carne de Kansas City y Omaha. Los propietarios del rancho desean determinar las cantidades de alimento para ganado que deben comprar de modo que se satisfagan los estándares nutricionales mínimos y, al mismo tiempo, se minimicen los costos totales de alimentación. La mezcla de alimentos se puede componer de los tres granos de contienen los siguientes ingredientes por libra de alimento:

| ALIMENTO (ONZAS) | INGREDIENTE | MEZCLA X | MEZCLA Y | MEZCLA Z | A | 3 | 2 | 4 | B | 2 | 3 | 1 | C | 1 | 0 | 2 | D | 6 | 8 | 4 | | ALIMENTO (LIBRAS) | INGREDIENTE | MEZCLA X | MEZCLA Y | MEZCLA Z | A | 0.18 | 0.125 | 0.25 | B | 0.125 | 0.18 | 0.625 | C | 0.0625 | 0 | 0.125 | D | 0.375 | 0.5 | 0.15 |

El Costo por libra de las mezclas X, Y y Z son $2, $4 y $2,5, respectivamente. El requerimiento mínimo por vaca por mes es de 4 libras del ingrediente A, 5 libras del B, 1 libra del C y 8 libras del D.
El Rancho enfrenta una restricción adicional: pese a cualquier circunstancia, sólo puede obtener 500 libras de la mezcla Z por mes del proveedor de alimentos. Como por lo general hay 100 vacas en el Feed N Ship Ranch en un momento dado, esto significa que no se puede contar con más de 5 libras de la mezcla Z para usarse en la alimentación de cada vaca por mes. a) Formule un problema de PL utilizando la información proporcionada. b) Resuelva el problema con algún programa computacional PL.
Solución
a)
Variables de decisión: x = cantidad de alimento en libras de la Mezcla X por vaca y = cantidad de alimento en libras de la Mezcla Y por vaca z = cantidad de alimento en libras de la Mezcla Z por vaca

Función Objetivo: min costos : 2x+4y+2.5z

Restricciones: * Requerimiento de Ingrediente A : 0.18x + 0.125y + 0.25z >=4 * Requerimiento de Ingrediente B : 0.125x + 0.18y + 0.0625z >=5 * Requerimiento de Ingrediente C : 0.0625x + 0.125z >=1 * Requerimiento de Ingrediente D : 0.375x + 0.5y + 0.25z >=8 * Disponibilidad de Mezcla Z: z<=5

c) Mediante el uso de SOLVER, se encontraron los siguiente resultados

Celda objetivo (Mín) | | | | | Celda | Nombre | Valor original | Valor final | | | $E$3 | Coeficientes | 0 | 80 | | | | | | | | | | | | | | Celdas de variables | | | | | Celda | Nombre | Valor original | Valor final | Entero | | $B$1 | Variables | 0 | 40 | Continuar | | $C$1 | Variables | 0 | 0 | Continuar | | $D$1 | Variables | 0 | 0 | Continuar |

La solución óptima, para minimizar los costos y cumplir con los mínimos de nutrición es adquirir 40 libras de la Mezcla X.

Problema 7-39
Un fabricante de artículos deportivos que está desarrollando un programa de producción de dos nuevos tipos de raquetas para raquetbol recibió un pedido de 180 del modelo estándar y 90 del modelo profesional que debe ser entregado al final de este mes. Se recibió otro pedido de 200 unidades del modelo estándar y 120 del modelo profesional, pero éste no tiene que ser entregado sino hasta finales del mes siguiente. La producción en cada uno de los dos meses puedes realizarse en tiempo normal o tiempo extra. En el mes en curso, una raqueta estándar puede ser producida a un costo de $40 con tiempo normal, y un modelo profesional se puede fabricar a un costo de $600 en tiempo normal. El tiempo extra eleva el costo de estos modelos a $50 y $70, respectivamente. Debido a un nuevo contrato de trabajo para el mes siguiente, todos los costos se incrementarán en 10% a fines de este mes.

El número total de raquetas que se puede producir en un mes en tiempo normal es de 230 y 80 raquetas adicionales pueden ser producidas con tiempo extra cada mes. Dado que el pedido mayor se entregará a finales del mes siguiente, la compañía planea producir algunas raquetas extra este mes y almacenarlas hasta finales del mes siguiente. El costo de conserva las raquetas en el inventario durante un mes se estima en $2 por raqueta. Con estos datos formule un modelo PL para minimizar el costo.

Variables de decisión:
X1: cantidad de raquetas estándar a costo normal en el primer mes
X2: cantidad de raquetas estándar a costo extra en el primer mes
Y1: cantidad de raqueas profesionales a costo normal en el primer mes
Y2: cantidad de raquetas profesionales a costo extra en el primer mes
W1: cantidad de raquetas estándar a costo normal en el segundo mes
W2: cantidad de raquetas estándar a costo extra en el segundo mes
Z1: cantidad de raqueas profesionales a costo normal en el segundo mes
Z2: cantidad de raquetas profesionales a costo extra en el segundo mes

Función Objetivo:

Min costo: 40X1 + 50X1 + 60Y1 + 70Y2 + 44W1 + 55W2 + 66Z1 + 77Z2 + 2(X1 + X2 – 180) + 2 (Y1 + Y2 – 90)

Min costo: 42X1 + 52X1 + 62Y1 + 72Y2 + 44W1 + 55W2 + 66Z1 + 77Z2 – 540

Restricciones: * Restricción en disponibilidad de maquina X1 + Y1 <= 230 * Restricción en disponibilidad de maquina X2 + Y2 <= 80 * Restricción en pedido mínimo X1 + X2 > 180 * Restricción en pedido mínimo Y1 + Y2 > 90 * Restricción en disponibilidad de maquina W1 + Z1 <= 230 * Restricción en disponibilidad de maquina W2 + Z2 <= 80 * Restricción en pedido W1+W2 =200–(X1+X2 -180)=380–X1–X2 ; W1 + W2 + X1 + X2 = 380 * Restricción en pedido Z1 + Z2 = 120 - (Y1 + Y2 – 90) = 210 - Y1 - Y2 ; Z1 + Z2 + Y1 + Y2 = 210

Solución: Celda objetivo (Mín) | | | | Celda | Nombre | Valor original | Valor final | | $J$2 | Coeficientes | 0 | 30274 |

Celdas de variables | | | | | | | | Final | Reducido | Objetivo | Permisible | Permisible | | Celda | Nombre | Valor | Coste | Coeficiente | Aumentar | Reducir | | $B$1 | Variables | 181 | 0 | 42 | 0 | 8 | | $C$1 | Variables | 0 | 0 | 52 | 1E+30 | 0 | | $D$1 | Variables | 49 | 0 | 62 | 8 | 0 | | $E$1 | Variables | 42 | 0 | 72 | 0 | 6 | | $F$1 | Variables | 199 | 0 | 44 | 8 | 1E+30 | | $G$1 | Variables | 0 | 11 | 55 | 1E+30 | 11 | | $H$1 | Variables | 119 | 0 | 66 | 6 | 1E+30 | | $I$1 | Variables | 0 | 11 | 77 | 1E+30 | 11 |

La solución óptima, en la cual se minimiza el costo a $30 274 es:

X1: 181
X2: 0
Y1: 49
Y2: 42
W1: 199
W2: 0
Z1: 119
Z2: 0

Nombre: Ing. Daniel Manangón R.
Cátedra: Investigación de Operaciones
DEBER 3

Ejercicio 7-31
Considere el siguiente problema de PL:
Maximizar la utilidad = 5x + 6y
Sujeta: 2x + y <= 120 2x + 3y <= 240 x, y < = 0 a) ¿Cuál es la solución óptima de este problema? Resuélvalo gráficamente b) Si un avance técnico elevó la utilidad por una unidad de X a $8, ¿afectará este aumento la solución óptima? c) En lugar de un incremento en el coeficiente de utilidad X a $8, suponga que la utilidad fue sobre estimada y sólo será de $3 ¿Cambia la solución óptima?
Solución

a) La solución óptima, es la coordenada del punto B en la gráfica, que corresponde a: x= 30 e y=60, generando un utilidad máxima de $120 b) Ecuación de restricción 2x + 3y =240, pendiente – 2/3
Ecuación de restricción 2x + y = 120, pendiente -2
Ecuación de curva de isoutilidad 5x + 6y = 2, pendiente – 5/6
El intervalo de optamilidad es: -2 <= -c1/6 <= -2/3 4 <= c1 <= 12

Por lo tanto, si los valores de la utilidad de x, varía entre 4 y 12, y el valor de la utilidad de y se mantienen, la solución óptima no cambia. Entonces, al variar la utilidad de $5 a $8, se mantiene la solución óptima de x=30 e y=60 c) Al cambiar el valor de la utilidad de X a $3, sale del intervalo de optimalidad, por lo que la solución óptima es diferente. Realizando los cálculos correspondientes, obtendríamos en este caso una solución óptima de x= 0 e y= 80, para generar una utilidad total máxima de $480.
Problema 7-33
Los resultados, de computada que se presentan son del problema 7-31. Úselos para responder las siguientes preguntas. a) ¿Cuánto se podría incrementar o disminuir la utilidad de X sin cambiar los valores de X e Y? b) Si se incrementara el lado derecho de la restricción 1 en 1 unidad, ¿cuántos se incrementaría la utilidad? c) Si el lado derecho de las restricción 1 se incrementaría en 10 unidades, ¿cuánto se incrementaría la utilidad?

Solución a) La utilidad de X, podría reducirse en 1 y aumentar en 7, sin afectar la solución óptima, es decir, los valores de X e Y no cambien. b) Aumentar el lado derecho de la restricción en 1, que está dentro del intervalo donde se aplicaría el precio dual, la utilidad aumentaría en $0.75 c) Aumentar el lado derecho de la restricción en 10, saldría del intervalo, por lo que el valor dual calculado no sirve para pronosticar el valor de la utilidad. En este caso, habría que evaluar el problema con los nuevos parámetros.

Problema 7-34
Los resultados de computadora siguiente son de un problema de mezcla de productor y tres restricciones de recursos. Úselos para responder las siguientes preguntas. Suponga que, en cada caso, se desea maximizar la utilidad. a) ¿Cuántas unidades del producto 1 y del producto 2 se deberá producir? b) ¿Cuánto de cada uno de los tres recursos se está utilizando? c) ¿Cuáles son los precios duales de cada recurso? d) Si pudiera obtener más de uno de los recursos, ¿Cuál debería obtener? ¿cuánto estaría dispuesto a pagar por ello? e) ¿Qué le pasaría a la utilidad si, con los resultados originales, la administración decidió producir más de una unidad del producto 2?

Solución: a) 25 unidades del producto 1 y 0 unidades del producto 2 b) Recurso 1: tiene un excedente de 20. Recurso 2: Tiene un excedente de 12 y el Recurso 3 está utilizando todo el recurso de esta restricción. c) Recurso 1: 25
Recurso 2: 75
Recurso 3: 50 d) Aquel recursos concerniente a la restricción 3, ya que cada recurso adicional, hasta 58, aumentará la utilidad en $25 por cada unidad adicional. e) La utilidad disminuiría, ya que eso implicaría que deje de producir el producto 1, que es el que genera mayor utilidad ($50) y producir el producto que tan solo le dejo $20 de utilidad

Problema 7-35
Resuelva gráficamente el siguiente problema:
Max la utilidad = 8X1 + 5Y2
Sujeta a: X1+X2 <= 10 X1 <= 6 X1, X2 >=0 a) ¿Cuál es la solución óptima? b) Cambie el lado derecho de la restricción 1 a 11 (en lugar de 10) y resuelva el problema. ¿Cuánto se incrementaría la utilidad como consecuencia de este cambio? c) Cambie el lado derecho de la restricción 1 a 6 (en lugar de 10) y resuelva el problema. ¿Cuánto disminuiría la utilidad como consecuencia de este cambio? Examine la gráfica y explique qué sucedería si el valor del lado derecho se reduce por debajo de 6. d) Cambie el valor del lado derecho de la restricción 1 a 5 (en lugar de 10) y resuelva el problema. ¿Cuánto disminuiría la utilidad con respecto a la original a consecuencia de este cambio? e) ¿Qué conclusiones se pueden sacar de estos resultados con respecto a los límites de los valores del lado derecho y el precio dual?
Solución:
a)

La solución óptima son las coordenadas del punto B: X1=6 y X2=4, generando una utilidad de $68

b) Restricciones | | | | | | | | | Final | Sombra | Restricción | Permisible | Permisible | | Celda | Nombre | Valor | Precio | Lado derecho | Aumentar | Reducir | | $D$4 | | 10 | 5 | 10 | 1E+30 | 4 | | $D$5 | | 6 | 3 | 6 | 4 | 6 |

El intervalo en el cual, aplica el precio sombra de la primera restricción, es desde 6 hasta el infinito. El precio sombra es 5, por lo tanto al aumentar en uno el lado derecho, la utilidad aumenta en 5, dando un total de $73

c ) Restricciones | | | | | | | | | Final | Sombra | Restricción | Permisible | Permisible | | Celda | Nombre | Valor | Precio | Lado derecho | Aumentar | Reducir | | $D$4 | | 10 | 5 | 10 | 1E+30 | 4 | | $D$5 | | 6 | 3 | 6 | 4 | 6 |

La disminución en 4, continúa dentro del intervalo. Entonces habría una disminución de 5*4 =20, dando un total de $68 - $20 = $48

d)
Disminuir en 5, sale del intervalo, por lo que no se puede utilizar el precio sombra obtenido en el cálculo original. Hay que volver a calcular. Se obtienen los siguientes resultados:
La utilidad, al disminuir de 10 a 5 el lado derecho de la restricción es $40, existe una disminución de $28.

e)
La tabla siguiente muestra en análisis correspondientes a los precios duales de las restricciones y los aumentos y disminución correspondientes, en los cuales se puede predecir el aumento o disminución de la utilidad. Restricciones | | | | | | | | | Final | Sombra | Restricción | Permisible | Permisible | | Celda | Nombre | Valor | Precio | Lado derecho | Aumentar | Reducir | | $D$4 | | 10 | 5 | 10 | 1E+30 | 4 | | $D$5 | | 6 | 3 | 6 | 4 | 6 |

Se Concluye que el valor de la restricción 1, puede aumentar hasta el infinito y disminuir en 4 y la restricción 2, puede aumentar en 4 y disminuir en 6, manteniendo la proporción en el aumento o disminución de la utilidad en base al precio sombra.