Bravo, S. (mayo,2005). Determinación de portafolios de activos financieros : la frontera eficiente y la línea de mercado . Publicaciones en Finanzas (2) pp. 1-12. (AR19978)

DETERMINACIÓN DE PORTAFOLIOS DE ACTIVOS FINANCIEROS, LA FRONTERA EFICIENTE Y LA LÍNEA DE MERCADO
Contenido:

I. II. III. IV. V.

Resumen ejecutivo Los estadígrafos en la formación de portafolios de activos financieros Portafolios conformados por una acción y un activo libre de riesgo Portafolios de activos con riesgo negocio Determinación del punto tangente o retorno de activos Formación de la línea de mercado

Sergio Bravo Orellana Profesor ESAN

Julio, 2004

RESUMEN
Este documento desarrolla los conceptos que permiten aproximarse a la teoría de portafolio en el marco del modelo CAPM (Capital Assets Pricing Model). Con el propósito de presentar de manera simplificada las principales relaciones de la conformación de portafolios, en esta parte se simulará un modelo de mercado de únicamente dos acciones. Posteriormente, en un documento adicional, se presentarán las relaciones financieras y matemáticas que permiten conformar portafolios de múltiples acciones, siempre dentro del modelo CAPM.

I. Los estadígrafos en la formación de portafolios de activos financieros Los estadígrafos de posición y dispersión La elaboración de portafolios de activos financieros necesita de la incorporación de conceptos estadísticos. Todo activo financiero puede ser descrito a partir de dos estadígrafos: (1) un estadígrafo de posición, la media, que proporciona una medida del rendimiento promedio del activo en un determinado periodo; y (2) un estadígrafo de dispersión, la desviación estándar de los distintos rendimientos respecto al rendimiento promedio, que proporciona una medida del riesgo del activo financiero. El siguiente ejemplo ayudará Rendimiento semestral de las acciones de la empresa 1 y la empresa 2 a explicar la formación de 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 portafolios. En el cuadro r1 17,5% 21,1% 14,1% -4,2% -2,9% 20,5% 18,2% -1,3% 19,8% 18,4% adjunto se presenta los r2 8,1% 5,7% 8,6% 12,1% 10,6% 4,5% 12,5% 15,2% 8,0% 4,5% rendimientos de las acciones de dos empresas. Con fines de simplificación, los rendimientos son semestrales y corresponden a diez periodos. Para poder establecer relaciones más confiables, sería recomendable obtener rendimientos semanales y, por lo menos, de tres periodos anuales. Es conocido que el retorno medio es calculado como la suma de los rendimientos de capital (cambios en los precios de las acciones) y los pagos de dividendos.

R =

_

∑

n

i=1

ri

n
_ ⎛ ⎞ ∑1 ⎜ ri − R 1 ⎟ ⎠ i= ⎝ n −1 n 2

El retorno medio de cada una de las acciones puede ser calculado con la relación o fórmula de la izquierda: la suma de los rendimientos de cada R1 12,12% periodo dividida entre el número de periodos. Se obtiene así el R2 8,98% retorno medio de la acción 1 (R1=12,12%) y el retorno medio de la acción 2 (R2=8,98%).

El riesgo asociado a la acción individual se determina a través de la desviación estándar, cuya fórmula se presenta, igualmente, a la izquierda. σ1 10,49% Como se puede observar, es una medida de la dispersión de los σ1 = σ2 3,59% diferentes rendimientos de cada periodo con respecto al retorno medio de la acción. Aplicando la relación a las observaciones del cuadro de rendimientos semestrales, se obtiene que la desviación estándar de la acción 1 es 10,49% (σ1) y la desviación estándar de la acción 2 es 3,59% (σ2). Ahora se puede identificar cada activo financiero según su rentabilidad y riesgo asociado. La acción 1 se identificará con una rentabilidad (retorno medio) de R1=12,12% y un riesgo asociado (desviación estándar) de σ1=10,49%. Del mismo modo, la acción 2 se identificará con una rentabilidad R2=8,98% y un riesgo asociado de σ2=3,59%. Puede advertirse que entre la acción 1 y la acción 2 se establece un intercambio de rentabilidad por riesgo: a mayor –o menor– rentabilidad, mayor –o menor– es el riesgo, lo que dificulta precisar cuál de los dos activos es de mejor calidad.

1

El estadígrafo de covariabilidad Adicionalmente a los estadígrafos de posición y dispersión, para la conformación de portafolios es necesario contar con uno adicional: la covarianza entre los rendimientos de los activos financieros. Y es que dependiendo de la forma como covaríen los rendimientos de las acciones, es posible conformar portafolios que sean más eficientes, incluso, que las acciones mismas. En otras palabras, la inversión de un monto de capital en dos acciones puede dar por resultado un rendimiento igual al promedio de estos activos financieros, pero con la posibilidad de un menor riesgo asociado a este portafolio. Para explicar el impacto de la covarianza, a continuación se presentan dos situaciones distintas. En la primera, se conforma un portafolio con acciones que covarían en el mismo sentido, mientras que en la segunda, el portafolio contiene activos que covarían en sentido inverso.
1 r1 r2 rp 7,0% 10,0% 8,5% 2 11,0% 14,0% 12,5% 3 7,0% 10,0% 8,5% 4 11,0% 14,0% 12,5%

15% 10% 5% 0% 1 2 3 4 r1 r2 rp

Para ilustrar el primer caso, supóngase dos acciones cuyos rendimientos se presentan en el cuadro adjunto. Como puede observarse, los rendimientos de los activos covarían en el mismo sentido. Es decir, tanto los rendimientos de la acción 1 como los rendimientos de la acción 2 se incrementan del periodo 1 al periodo 2 y del periodo 3 al periodo 4, y ambos descienden del periodo 2 al periodo 3, tal como puede observarse gráficamente en la figura adjunta.

Si se supone que la mitad del capital se invierte en una acción y la otra mitad en la otra acción, el rendimiento promedio obtenido varía en la misma dirección que los rendimientos individuales. Se dice que covaría de la misma manera con las acciones 1 y 2. Los valores de los estadígrafos son los siguientes: la acción 1 presenta una rentabilidad de 9% y un riesgo asociado de 2,31%, la acción 2 presenta un rendimiento de 12% y el mismo riesgo asociado, mientras la rentabilidad promedio del portafolio es de 10,5% y el riesgo asociado del portafolio también es de 2,31%.
R1 9,00% σ1 2,31% 2,31% 2,31% R2 12,00% σ2 Con estos resultados, se concluirá que el portafolio no ha colaborado Rp 10,50% σp en lograr un mejor balance entre rentabilidad y riesgo en relación con las acciones individuales. Frente a opciones de igual riesgo (2,31%), habría sido más racional invertir el 100% del capital en el activo 2, cuya rentabilidad es mayor.

Luego, se puede concluir que cuando las acciones covarían en el mismo sentido, el portafolio resultante no ofrece mayor ventaja. Para ilustrar el segundo caso, cuando las acciones convarían en 1 2 3 forma inversa, supóngase los datos del cuadro adjunto (en r1 11,0% 7,0% 11,0% realidad, son las mismas cifras del ejemplo anterior, pero r2 10,0% 14,0% 10,0% ordenadas de distinta manera). Como puede observarse, rp 10,5% 10,5% 10,5% mientras los rendimientos de la acción 1 se incrementan, los de la acción 2 descienden, y viceversa. Para fines del ejemplo, se ha establecido un rendimiento promedio único del portafolio: 10,5%.
4 7,0% 14,0% 10,5%

2

15% 10% 5% 0% 1 2 3 4 r1 r2 rp En la figura correspondiente puede observarse claramente la manera inversa como varían los rendimientos y como esto implica que el rendimiento promedio resulte una línea uniforme. En términos de los estadígrafos, la rentabilidad promedio de la acción 1 es 9% y su riesgo es de 2,31%. La acción 2 presenta el mismo riesgo, pero una rentabilidad mayor, igual a 12%.

Con estos valores, lo que sí ha variado es el riesgo asociado al R1 9,00% σ1 2,31% portafolio, ya que con una rentabilidad promedio similar al del caso R2 12,00% σ2 2,31% anterior (10,5%), la desviación estándar del portafolio es igual a 0% Rp 10,50% σp 0,00% (sin riesgo). Se puede observar, entonces, que el balance entre rentabilidad y riesgo del portafolio es claramente mejor respecto a la acción 1, mientras en el caso de la acción 2 se ha sacrificado algo de rentabilidad a cambio de disminuir significativamente el riesgo. Los ejemplos anteriores permiten percibir la ventaja de construir portafolios: a través de ellos se puede administrar el riesgo de las inversiones. Y la variable que incide en forma determinante en este proceso es la covarianza.

cov(r1 , r2 ) = σ 12 = ρ12σ 1σ 2
La fórmula anterior expresa el valor numérico de la covarianza entre los rendimientos de la acción 1 y la acción 2. De aquí es interesante rescatar el índice de correlación entre los mismos rendimientos, que expresa de manera más clara la forma cómo covarían las acciones. Por ejemplo, en el primer caso, las acciones covarían en forma perfectamente directa, el coeficiente de correlación será 1 (ρ12=1); en el segundo caso las acciones covarían en forma perfectamente inversa, el coeficiente de correlación será 1 (ρ12=–1). Como quiera que en el mundo real las acciones no han de variar perfectamente, ni directa ni inversamente, se debe obtener este índice de correlación o directamente la covarianza. El índice de correlación se calcula de la siguiente manera:
0 -5.0% 2 4 6 8 10

25.0%

20.0% 15.0% 10.0%

5.0%

0.0%

Evolución del Retorno Empresa 1

-10.0%

ρ 12 =

∑
1 n 1

n

⎞ ⎞⎛ n ⎛ n ⎜ ∑ r 1i ⎟ ⎜ ∑ r 2 i ⎟ ⎠ ⎠⎝ 1 r 1i r 2 i − ⎝ 1 n ⎛ i _ ⎞ − R1 ⎟ ⎠ 2

16,0% 14,0% 12,0% 10,0% 8,0% 6,0%

∑ ⎜ r1 ⎝

∑ ⎜ r2 ⎝
1

n

⎛

i

_ ⎞ − R2⎟ ⎠

2

r1 r2 En la figura de la izquierda r1 1 puede observarse la 4,0% r2 -0,723 variación de los 2,0% rendimientos de la acción 1 Evolución del Retorno Empresa 2 0,0% y de la acción 2 del ejemplo inicial, el de los 10 0 2 4 6 8 10 periodos. Los rendimientos tienen una covariación negativa (inversa), pero no perfecta. Aplicando la relación anterior, se puede encontrar el valor numérico del índice de correlación entre estos dos activos financieros.
3

1

El cuadro se presenta como es proporcionado normalmente por una hoja de cálculo. Se lee que el índice de correlación entre una misma acción es de 1, mientras el índice de correlación entre la acción 1 y la acción 2 es de –0,723 (inversamente correlacionadas). I. Portafolios conformados por una acción y el activo libre de riesgo 1. Activos con riesgo y activos libres de riesgo El mercado de capitales selecciona los activos financieros haciendo un balance entre el nivel de rentabilidad que ofrecen y el nivel de riesgo que presentan. Así, se puede encontrar tanto activos con riesgo mínimo, como son, por lo general, los referidos a los Bonos del Tesoro de Estados Unidos (los Treasury Bills a tres meses), considerados “libres de riesgo”, como activos con riesgo del negocio o riesgo financiero –por el nivel de endeudamiento–. En realidad, los T-Bills a tres meses sí presentan variación, tal como lo muestra el cuadro adjunto. Sin embargo, en función de su tiempo de maduración (tres meses), esta variación es mínima, ya que los valores de rendimiento son predecibles. La figura adjunta presenta la evolución de los rendimientos de los T-bills a tres meses durante un periodo de cinco años.

EVOLUCIÓN DE LOS T-BILLS
8.00 7.00 6.00

Porcentaje

5.00 4.00 3.00 2.00 1.00 1995 1996 1997 1998 1999 2000

Meses

Los activos con riesgo son aquellos que presentan en el mercado premios por riesgo del negocio o por riesgo financiero. Los premios por riesgo del negocio se otorgan o establecen por la variabilidad de los flujos o resultados económicos; y los premios por riesgo financiero correspon 1 2 den al Retorno Ri 12,12% 8,98% Rentabilidad y Riesgo nivel de 13,0% Riesgo σi 10,49% 3,59% apalanca 1 12,0% miento financiero de la empresa. Estos riesgos 11,0% se incluyen en el retorno esperado de la 10,0% empresa y son resultado de las múltiples 9,0% 2 interacciones producidas en el mercado de 8,0% capitales, donde se califica cada inversión. En 7,0% el ejemplo, la interacción referida está 6,0% precisando que los accionistas de la empresa 1 5,0%
0,0% 2,0% 4,0% 6,0% 8,0% 10,0% 12,0% 4

Retorno

Riesgo

requieren 12,12% de retorno, mientras que los de la empresa 2 esperan 8,98% de retorno; y es que la primera presenta una variabilidad de 10,49%; y la segunda, de 3,59%. Se observa que las dos acciones presentan un intercambio entre rentabilidad y riesgo. Si ambas fueran las únicas acciones en el mercado, sería imposible precisar cuál sería preferible, porque mientras una muestra mayor rentabilidad, la otra presenta el beneficio del menor riesgo.

2. Portafolios de activos con riesgo y activos libres de riesgo El activo libre de riesgo cumple la función de permitir la construcción de portafolios con intercambio lineal entre rentabilidad y riesgo. Para apreciar como se produce este intercambio, supóngase que las inversiones en las acciones 1 y 2 son excluyentes, pero que se puede invertir en portafolios conformados por una de estas acciones y por un activo libre de riesgo. La conformación de un portafolio de este tipo supone la inversión de un porcentaje del monto en el activo con riesgo (w1) y del porcentaje restante en el activo sin riesgo (w2). De esta combinación resultará un activo financiero nuevo cuya rentabilidad media RP 1 y riesgo asociado pueden ser estimados por los estadígrafos descritos.

RP 1 = w1 × R 1 + w2 × R 2 RP 1 = w1 × R 1 + w2 × r f
__ _

__

_

_

La rentabilidad media se obtiene según la relación adjunta, que muestra que la rentabilidad del portafolio es igual al promedio ponderado de la rentabilidad individual de cada activo según el porcentaje de inversión hecho en cada activo.

σ P1 = w 2σ 12 + w 2σ 12 + 2 w1 w2 ρ12σ 1σ 2 σ P1 σ P1

Por su parte, el riesgo asociado al portafolio se calcula con la fórmula adjunta. Puede apreciarse que la 1 2 desviación respecto del rendimiento medio del 2 = w12σ 12 + w2 σ 2 + 2 w1 w2 ρ1 f σ 1σ f portafolio (σP1) es función de la desviación individual de f cada acción y, algo importante, también de la = w1σ 1 covarianza entre el activo 1 y el activo 2 (ρ12σ1σ2). Como se supone que, por definición, la desviación del activo libre de riesgo es cero (no existe variación de los rendimientos con relación al rendimiento del activo libre de riesgo) e, igualmente, la correlación del activo libre de riesgo respecto a cualquier activo con riesgo (ρ12) es cero –dado que ante cualquier variación del rendimiento del activo con riesgo, el rendimiento del activo sin riesgo permanecerá igual–, la desviación con respecto al rendimiento del portafolio (σP1) será igual al porcentaje de inversión en la acción (w1) multiplicado por la desviación respecto del rendimiento de ésta (σ1). Nótese que se trata de un intercambio lineal, manteniendo constante la desviación de la acción 1. Si se aplican las relaciones anteriores, por ejemplo, a una inversión tal que el 30% del monto (w1=30%) se invierte en la acción 1 (R1=12,12%, σ1=10,49%) y el saldo se invierte en un T-Bill a tres meses (rf=5,65%, σf=0%), se obtendrá un portafolio con retorno medio de (RP1) 7,59% y una desviación respecto al mismo (σP1) de 3,15%. Obsérvese que el retorno medio del portafolio es un promedio del retorno de la acción y del retorno del T-Bill, lo mismo se puede decir del riesgo asociado a ese portafolio.
R1 rf w1 w2 12,12% 5,65% 30% 70% σ1 σf RP1 σP1 10,49% 0% 7,59% 3,15%

R2 rf w1 w2

8,98% 5,65% 70% 30%

σ2 σf RP2 σP2

3,59% 0,00% 6,65% 1,08%

De la misma manera, si se aplican las relaciones anteriores al activo financiero 2 (R2=8,98%, σ2=3,59%), considerando una inversión de 30% del monto a esta acción (w2=30%) y el saldo en un T-Bill a tres meses (rf=5,65%, σf=0%), se obtendrá un portafolio con retorno medio de (RP2) 6,65% y una desviación respecto al mismo (σP2) de 1,08%.

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Si se asigna porcentajes consecutivos del monto de inversión a la acción 1, se obtendrá una línea de portafolios 1 conformados por la acción 1 y el T-Bill. Si, igualmente, se hace variar el porcentaje del monto de inversión asignado a la acción 2, se obtendrá una línea de portafolios 2 conformados por la acción 2 y el T-Bill. Los resultados de ambos grupos de portafolios se han graficado en la figura de la derecha. Bajo el supuesto que la inversión en la acción 1 y la inversión en la acción 2 son excluyentes y que cada uno de estos Diagrama de Rentabilidad y Riesgo activos pueden conformar portafolios con el activo libre de riesgo, de los 16,0% resultados se puede concluir que con 14,0% la acción 2 es posible construir 12,0% RP1 10,0% portafolios superiores a los construidos RP2 8,0% con la acción 1. Esto, porque en 6,0% cualquier punto, a un mismo nivel de 4,0% rentabilidad media, los portafolios 2,0% construidos con la acción 2 ofrecen 0,0% un riesgo menor al ofrecido por la 0,0% 2,0% 4,0% 6,0% 8,0% 10,0% 12,0% 14,0% Desv. Std - Riesgo acción 1; e igualmente, a un mismo riesgo (igual desviación), los portafolios construidos con la acción 2 ofrecen mayor rentabilidad.
Retorno Medio - Rentabilidad

16,0%

La construcción de líneas de portafolios es importante, ya que éstas determinarán, posteriormente, el rendimiento del mercado. Obsérvese que teniendo como punto de pívot la tasa libre de riesgo, cuanto más pendiente tenga la línea, mayor será el balance entre rentabilidad y riesgo que ofrezcan esos portafolios frente a aquellos cuya línea presente menor pendiente. III. Portafolios conformados por dos acciones con riesgo negocio Como se explicó en la sección anterior, un portafolio se conforma asignando porcentajes diversos del monto de inversión a determinados activos financieros. En el ejemplo que sigue, y dado que se considera sólo dos activos, se asigna un porcentaje de la inversión a la acción 1 (w1) y el restante porcentaje a la acción 2 (w2). El portafolio resultante, al igual que las acciones individuales, será __ _ _ identificado por el retorno medio y la desviación respecto al mismo, o R P = w × R 1 + w × R 2 1 2 riesgo asociado. Para iniciar el análisis, recuérdese que el retorno medio de un portafolio de dos acciones es igual al promedio ponderado de los retornos individuales de los activos financieros que lo conforman. Si se invierte el 30% de un capital en la acción 1 (w1=30%), cuyo retorno medio es de 12,12% (R1), y el saldo (w2=70%) en la acción 2, que presenta un retorno medio de 8,98% (R2), w1 30% R1 12,12% se obtendrá un retorno medio del portafolio de 9,92%. RP 9,92% La inversión en el portafolio origina una nueva desviación respecto al retorno medio de dicho portafolio, la que se calcula con la relación mostrada en el cuadro adjunto. Obsérvese que el riesgo asociado al retorno 2 del portafolio (σp) depende de la desviación respecto al σ P = w 2σ 12 + w 2σ 2 + 2 w1 w2 ρ 12σ 1σ 2 1 2 retorno de cada acción y de la covarianza entre las dos acciones. Este estadígrafo resulta de enorme importancia para la conformación de portafolios, como se explicó anteriormente, ya que según el valor resultante cov(r1 , r2 ) = σ 12 = ρ12σ 1σ 2 se podrá obtener portafolios con un mejor balance entre rentabilidad y riesgo. En el caso de únicamente dos acciones, se w2 70% R2 8;98%

6

puede observar que si la covarianza es negativa –esto es, si las acciones varían en forma inversa– el portafolio resultará con una menor varianza y desviación respecto a las varianzas o desviaciones individuales. Como se observa en la fórmula, la covarianza depende de la correlación entre los rendimientos de las dos acciones. En el ejemplo, el índice de correlación (ρ12) entre el rendimiento de la acción 1 y el rendimiento de la acción 2 es de –72,3%. Si el índice de correlación resultara negativo –lo que significa que las acciones covarían en forma inversa–, se estaría cumpliendo con el principio de la construcción de portafolios: administrar el riesgo. En menor medida –aunque también es importante–, la desviación del portafolio depende de la desviación individual de las acciones y de la magnitud de la inversión en cada una de ellas. Considerando el mismo ejemplo, si se asigna 30% (w1) del w1 30% 10,49% σ1 monto de inversión a la acción 1, que tiene una desviación ρ12 -72,3% 2,19% σP respecto al retorno medio del 10,49% (σ1), y 70% (w2) del w2 70% 3,59% σ2 monto de inversión a la acción 2, que tiene una desviación respecto al retorno medio del 3,59% (σ2), y, además, las acciones covarían negativamente con un índice de correlación del –72,3% (ρ12), entonces, el resultado de la aplicación es una desviación respecto al retorno del portafolio equivalente a 2,19% (σP). Como se señaló anteriormente, la desviación del rendimiento del portafolio resulta ser menor que las desviaciones de los rendimientos individuales de cada acción. Se puede concluir que, respecto a la acción 1, el retorno del portafolio ha descendido (de 12,12% a 9,92%); sin embargo, el riesgo asociado ha bajado significativamente (de 10,49% a 2,19%). En el caso de la acción 2, los resultados son incluso más halagüeños, el retorno del portafolio se ha incrementado (de 8,98% a 9,92%) y el riesgo asociado ha disminuido (de 3,59% a 2,19%). Estos resultados muestran que un inversionista podría diversificar riesgo si construye portafolios cuya covarianza le permita reducir la desviación respecto al rendimiento medio del portafolio. Si se asigna porcentajes consecutivos de inversión a la acción 1 (w1) y, por lo tanto, también a la acción 2 (w2), se obtendrá un conjunto de portafolios que pueden ser identificados por su rendimiento medio (RP) y por su riesgo asociado (σP). Los resultados pueden observarse en el cuadro adjunto, donde los porcentajes de inversión varían desde 0% hasta 120% y con ellos se determinan los valores de w2, el RP y la σP.
1 wA wB RP σP 0,0% 100,0% 8,98% 3,59% 2 5,0% 95,0% 9,14% 3,06% 3 10,0% 90,0% 9,29% 2,58% 4 15,0% 85,0% 9,45% 2,20% 5 20,0% 80,0% 9,61% 1,99% 6 25,0% 75,0% 9,77% 1,98% ... .... ... ... ... 20 5,0% 21 0,0% 22 23 24 25

95,0% 100,0% 105,0% 110,0% 115,0% 120,0% -5,0% -10,0% -15,0% -20,0% 11,96% 12,12% 12,28% 12,43% 12,59% 12,75% 9,84% 10,49% 11,15% 11,81% 12,46% 13,12%

Obsérvese que incluso w1 puede tomar valores superiores a 100%, lo que significa que se está tomando una posición short en la acción 2, es decir, el inversionista se ha prestado títulos de la acción 2 y los ha vendido en el mercado. Después que liquide su posición tendrá que devolverlos al precio que rija al momento de la liquidación; de ahí los valores negativos en w2. En el cuadro se observa que el retorno del portafolio se incrementa a partir de 8,98%, que corresponde al retorno de la acción 2 (R2) cuando w1=0% y w2=100%, llega a 12,12%, que corresponde a la acción 1 (R1) cuando w1=100% y w2=0%, y luego se incrementa por encima de este valor dentro de la posición short en la acción 2.

7

Por su parte, el riesgo asociado o la desviación respecto al retorno medio (σP) empieza en un valor de 3,59% cuando el 100% de la inversión se destina al activo 2, se va reduciendo conforme la inversión se traslada hacia la acción 1, pero sólo hasta el nivel de 1,98%, cuando w1=25%, luego se va incrementando y se observa que en la zona de posición short en la acción 2 se incrementa en paralelo al rendimiento del portafolio. El siguiente gráfico muestra los intercambios entre rentabilidad y riesgo. La desviación (σP) ocupa el eje de las X; y el rendimiento del portafolio (RP), el eje de las Y. Cada punto corresponde a una posición de inversión con determinados w1 y w2. Si se une los
DIAGRAMA DE RENTABILIDAD Y RIESGO DE PORTAFOLIOS
13% Rendimiento Medio del Portafolio (Rp) 12% 11% 10% 9% 8% 7% 6% 5% 0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% Desviación(σp) sobre Rp o Riesgo Asociado

"Frontera Eficiente"

valores del cuadro y la representación gráfica, se podrá observar que el punto inferior corresponde a un w1=0% y un w2=100%, mientras el punto extremo superior corresponde a un w1=120% y a un w2= 20% (posición short en la acción 2). Puede percibirse que los portafolios ubicados en la parte superior del gráfico presentan un balance entre rentabilidad y riesgo superior al balance de los portafolios ubicados en la parte inferior. A cualquier posición de desviación similar, los portafolios de la parte superior muestran una rentabilidad mayor. Por esta razón, esta parte superior se denomina frontera eficiente.

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IV.

Determinación del punto tangente (T) o retorno de mercado En la frontera eficiente se encuentran distintos portafolios cuyos balances entre rentabilidad y riesgo no son posibles de discriminar como superiores o inferiores. Se puede decir, en una primera aproximación, que ello dependerá de la aversión al riesgo del inversionista. Sin embargo, tal como se explicó en la sección anterior, es posible construir portafolios con acciones y un activo libre de riesgo y conformar con ellos una línea de portafolio. Así, se puede elaborar un gráfico que contenga la frontera eficiente señalada, los portafolios formados por cada acción individual y por un activo libre de riesgo y agregar a ello otros dos portafolios: uno superior a los anteriores, conformado por el portafolio X (ver gráfico) y por un activo libre de riesgo, y uno que a su vez es superior al anterior, que resulta ser tangente a la frontera eficiente (punto T).

Diagrama de Rentabilidad y Riesgo
16.00%

RML
14.00%

X

12.00%

Re torno M e dio - Re nta bilida d

T
10.00%

RP1
8.00%

RP2
Frontera Eficiente

6.00%

4.00%

2.00%

0.00% 0.00% 1.00% 2.00% 3.00% 4.00% 5.00% 6.00% 7.00%

Desv. Std - Riesgo

8.00% 9.00% 10.00% 11.00% 12.00% 13.00% 14.00% 15.00% 16.00%

Como es posible deducir, se ha logrado la línea con mayor pendiente y no es posible tener una línea superior. A esta línea que resulta ser la combinación del portafolio de acciones en el punto T y el activo libre de riesgo se le denomina línea de mercado. Entonces, la preocupación será determinar ese punto T, al que también se denomina retorno de mercado, porque representa la inversión más eficiente que el mercado puede seleccionar realizando un balance entre rentabilidad y riesgo. El punto T podrá ser determinado si se halla el porcentaje de capital que deberá invertirse en la acción 1 (w1) y aquél que deberá invertirse en la acción 2 (w2). Una vez determinados estos porcentajes que definen el punto T, se podrá determinar el retorno (RT) y la desviación o riesgo asociado (σT) del punto T. El retorno del punto T es el retorno del mercado (RM).

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El problema es, entonces, matemático. Utilizando las σ w + σ w = R − r 11 1 12 2 1 f propiedades estadísticas se puede deducir que se puede hallar los porcentajes de inversión en la acciones 1 y 2 σ 21 w 1 + σ 22 w 2 = R 2 − r f (w1 y w2) aplicando las relaciones mostradas en el Donde : cuadro adjunto. 2

σ 11 = ρ 11 σ 1σ 1 = σ 1 Allí se expresa dos ecuaciones con dos incógnitas, w1 y σ 12 = σ 21 = ρ 12 σ 1σ w2. Donde:

2 2 2

σ

22

= ρ 22 σ 2 σ

2

=σ

es la covarianza de la acción 1 respecto así Se _ puede _ exp resar : 2 misma; en términos prácticos, la varianza de la σ 1 w 1 + ρ 12 σ 1σ 2 w 2 = R 1 − r f acción 1, σ 1 . Este tipo de expresión será importante cuando se generalicen las fórmulas.
2

σ 11

ρ 12 σ 1σ 2 w 1 + σ 22 w 2 = R 2 − r f

igual a σ 21 , y ambas expresiones serán iguales a la covarianza.

σ 12

es la covarianza de la acción 1 respecto a la inversión 2 ó viceversa, que también será

ρ 12σ 1σ 2 , que resulta ser la fórmula de
2 σ2 .

σ 22

es la covarianza de la acción 2 respecto así misma o la varianza de la acción 2,

R1 y R2, son los retornos medios de la acción 1 y la acción 2, respectivamente; y rf es el retorno del activo libre de riesgo. Todos los datos, varianzas –o desviaciones al cuadrado–, índice de correlación y retornos ya se conocen, pues corresponden al ejemplo inicialmente utilizado. Por lo tanto, se puede resolver la ecuación de dos incógnitas.
R1 σ1 R2 σ2 12,12% 10,49% 8,98% 3,59%

Rf 5,65% Resueltas las ecuaciones, el valor de w1 es igual a 25,7 y el de w2 es igual a Corr -72,3% 80,1. Para encontrar las participaciones relativas de la inversión en cada una de las acciones se efectúa un cambio de escala. Se totalizan los w1 y w2 provisionales y se encuentra la participación relativa dividiendo cada valor entre el total. Así, resulta que el punto T está determinado por una inversión en la acción 1 de 24,30% del w2 = 80,1 75,70% monto total (w1) y una inversión en la acción 2 de 75,70% del monto w1 = 25,7 24,30% total (w2). 105,8 RT σT 9,74% 1,97%

Reemplazando en la fórmula los valores de w1 y w2, determinados anteriormente, se halla el retorno del portafolio T, que es RT=9,74%, y su riesgo asociado, que es σT=1,97%. Se puede decir que el retorno de este mercado de dos acciones es de RM=9,74%. Como puede observarse, la desviación del portafolio T resulta menor que las desviaciones individuales de cada acción. Respecto a la acción 1, el retorno del portafolio ha descendido (de 12,12% a 9,74%), pero el riesgo asociado ha bajado significativamente (de 10,49% a 1,97%). En el caso de la acción 2, los resultados son mejores, el retorno del portafolio se ha incrementado (de 8,98% a 9,74%) y el riesgo asociado ha disminuido (de 3,59% a 1,97%). Estos resultados muestran que el inversionista no tendrá mejor alternativa de diversificación de riesgo, ya que este portafolio es el que ofrece mejor balance entre rentabilidad y riesgo. Respecto a la acción 2, no hay duda que se generó un portafolio superior. Sin embargo, también es posible estar claramente en una posición superior respecto a la acción 1. Con el portafolio del punto T es posible, ahora, generar un nuevo grupo de portafolios que combinen este portafolio (RT y σT) con el activo libre de riesgo.
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_ Así, utilizando las relaciones anteriormente analizadas y deducidas se __ puede hallar el retorno para el conjunto de combinaciones de inversión R LM = w1 × R T + w2 × r f en el portafolio T (w1) y en el activo libre de riesgo (w2). De la misma manera, se puede calcular el riesgo asociado a estos nuevos portafolios con la σ LM = w1σ T relación que se presenta a la izquierda. Nótese que la desviación del portafolio es una función lineal de la desviación del portafolio T (σT). El resultado será la línea de mercado. En el gráfico se observa esta línea en una posición tangente a la frontera eficiente en el punto T.

PUNTO DE TANGENCIA Y RETORNO DE MERCADO
17% Re ndim ie nto M e dio de l Por tafolio (Rp)

15%

13%

T
11%

9%

7%

5% 0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% Desviación sobre Rp o Riesgo Asociado

En el gráfico anterior se puede notar una relación importante. Los puntos que conforman la línea de mercado constituyen portafolios superiores a los que forman la frontera eficiente. Y es que a un mismo nivel de riesgo, siempre será posible encontrar un portafolio constituido por el portafolio del punto T y el activo libre de riesgo que ofrezca mayor rentabilidad que el portafolio correspondiente en la frontera eficiente. Si bien este portafolio de la frontera eficiente es susceptible de ser combinado con el activo libre de riesgo, no será posible lograr mayor pendiente que la establecida por el portafolio del punto T. En ese sentido, la línea de mercado siempre constituirá el conjunto de portafolios de mejor balance entre rentabilidad y riesgo. En consecuencia, el portafolio del punto T será superior –sin duda– a la acción 1 individual y a cualquier otra combinación o acción individual en este mercado de dos acciones.

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V. Colofón Este documento permite introducir los conceptos de formación de portafolios sustentados en el modelo CAPM. Incorpora la importancia de los estadígrafos de rentabilidad –retornos medios o esperados– y riesgo –desviación sobre el retorno medio–, pero revela la importancia del estadígrafo de covariabilidad entre los retornos individuales de las acciones. Es justamente la forma o valor que adquiera la covarianza lo que permite conformar portafolios superiores a las acciones individuales. Se ha analizado la forma como se construyen portafolios de acciones con riesgo negocio y el activo libre de riesgo para advertir la formación de líneas de portafolios y la importancia de la pendiente de estas líneas. Se pudo observar que entre acciones consideradas individualmente no se puede determinar cuál es superior, pero sí es posible hacerlo a través de las líneas de portafolio. Se ha analizado la conformación de portafolios de acciones o activos con riesgo negocio y se ha logrado establecer distintas combinaciones de portafolios. Se pudo observar que ha sido posible delinear la frontera eficiente, aquella combinación o portafolio de acciones que resulta superior por mejor balance entre rentabilidad y riesgo. Una vez determinada la frontera eficiente, es difícil precisar cuál de los portafolios es el más eficiente, porque entre un y otro existen premios –o castigos– de rentabilidad y riesgo. Sin embargo, si cada uno de esos portafolios se combina con el activo libre de riesgo es posible determinar el portafolio más eficiente, que resulta ser el punto T o el portafolio donde la línea de portafolios –entre portafolios de la frontera eficiente y el activo libre de riesgo– es tangente a la frontera eficiente. La combinación de este portafolio del punto T y el activo libre de riesgo constituye la línea de mercado, que es el conjunto de portafolios de mejor combinación de rentabilidad y riesgo que es posible conformar en este mundo de dos acciones.

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